第一章 三角形的证明

八年级数学·下新课标[北师]

第一章三角形的证明

1.经历探索、猜想、证明的过程,进一步体会证明的必要性,提高推理能力.

2.进一步了解作为证明基础的几条基本事实的内容,掌握基本的证明方法,结合实例体会反证法的含义.

3.能够证明等腰三角形、等边三角形、直角三角形、线段的垂直平分线、角平分线的性质定理及判定定理.

4.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.

5.结合具体例子了解原命题及逆命题的概念,会识别两个互逆命题,并明确原命题成立其逆命题不一定成立.

6.已知底边及底边上的高线,能用尺规作出等腰三角形;已知一条直角边和斜边,能用尺规作出直角三角形;能用尺规过一点作已知直线的垂线.

经历探索、猜测、证明的过程,进一步体会证明的必要性,培养学生的推理论证能力.

发展勇于质疑、严谨求实的科学态度.

“三角形的证明”是新旧教材转换中变化比较大的一部分内容,无论是《标准》对证明的要求上,还是对“证明”在数学教学中价值的重新定位,以及证明在整套教材中的编排顺序,都和我们传统几何教学中的证明大有不同.

本章是平行线的证明的继续,首先给出作为继续进行证明基础的几条公理,并与平行线的证明中给出的几条公理一起展开这一章对命题的逻辑证明.

本章中所涉及的很多命题(如等腰三角形的性质、直角三角形全等的条件、勾股定理及其逆定理等)在前几册教材中学生们已经通过一些直观的方法进行了探索,所以学生们对这些结论已经有所了解.对于这些命题,教材力争将证明的思路展现出来.

教材中首先利用提问题的方式使学生们回忆这些结论,并回忆用来探索这些结论的方法和过程,因为这些方法和过程往往会对证明的思路有所启发,然后再利用公理和已有的定理去证明.上述过程将抽象的证明与直观的探索联系起来,

本章中还涉及一些以前没有探索过的命题,这些命题的获得,有些是直接通过证明得到的,而对于有些命题,教材则尽可能地创设一些问题的情境,为学生提供自主探索发现的空间,然后再进行证明,从而将证明作为探索活动的自然延续和必要发展,使学生经历“探索——发现——猜想——证明”的过程,体会合情推理与论证推理在获得结论中各自发挥的作用.

此外,教材还注意渗透数学思想方法,如由特殊结论到一般结论的归纳思想、类比思想、转化思想等.一方面为学生设置了可将结论进行推广和一般化的空间,将探索发现和证明有机地结合起来.另一方面教材还注意引导学生探索证明的不同思路和方法,并进行适当的比较和讨论,开阔学生的视野,提高学生的思维能力.

【重点】

1.等腰三角形的性质.

2.等腰三角形的判定.

3.直角三角形的性质.

4.直角三角形的判定.

5.线段的垂直平分线的性质定理.

6.线段的垂直平分线的性质定理的逆定理.

7.角平分线的性质定理.

8.角平分线的性质定理的逆定理.

【难点】

1.等腰三角形的性质的证明.

2.添加辅助线的方法.

3.勾股定理的证明.

4.勾股定理的逆定理的证明.

5.三线共点的证明方法.

6.用尺规作等腰三角形.

7.应用本章的知识证明或者解决有关的问题.

推理与论证的学习方法是在不同层次中展开的,在探索图形性质的活动中,学习合情推理;在交流的过程中,学习有条理思考;在积累了一定的活动经验与掌握一些图形的性质的基础上,从几个基本事实出发,证明一些有关三角形、四边形的基本性质,从而体会证明的必要性,理解证明的基本过程,掌握演绎推理的基本格式.这些内容有利于学生主动地进行观察、试验、猜测、验证、推理、交流与反思等数学活动.

因此在前几册的学习中,学生们已经经历了探索图形性质的过程,并且发现了图形的很多性质,但没有给出严格的证明.从平行线的证明开始,逐渐地开始证明已探索过的图形的性质,同时也证明一些新的结论.在本章的教学中应重点注意在证明思路和方法上对学生的引导,帮助学生分析如何添加辅助线、如何构造辅助图形.在这个过程中,原来在进行图形的折叠、拼剪等探索图形性质时所使用的方法对证明的思路也是很重要的,应注意引导和启发.

很多图形的性质及结论的证明方法和途径都不是唯一的,辅助线的添加方法也是多样的,因此,在教学时要注意引导学生探索证明的不同方法,提倡证明方法的多样性,并引导学生在与他人的交流中比较证明方法的异同,发散逻辑思维.另外,通过一定数量的推理证明的训练,逐步使学生掌握证明方法和思路.具体建议如下:

1.等腰三角形:教材直截了当地提出等腰三角形的性质,进而去探讨证明的思路,我认为创设问题的情境不足,学生准备不充分.我采用先折纸,再复习等腰三角形的性质,而后提出证明,并分析证明的思路,让学生在循序渐进的过程中学习.

2.直角三角形:利用图形割补的方法可以证明勾股定理,但证明有一定的难度,因此在“读一读”中介绍了两种方法,可供有兴趣的学生阅读,而不作为对所有学生的要求.

3.勾股定理的逆定理的证明方法新颖,对学生来说有一定难度,教学中只要学生能接受证明的方法和过程即可,不必做更多要求.

4.线段的垂直平分线:对于作图学生没有困难,但要求学生会写已知、求证、及说明作图的理由,学生就会感到困难,在教学中,应注意引导学生会说明理由,学生的思路可能较多,应鼓励学生多种思维发展;应让学生在作图的基础上,学会用尺规作已知直线的垂线(过直线上一点或直线外一点)、已知底边和底边上的高作等腰三角形,作三角形三边的垂直平分线.注意利用线段的垂直平分线的性质及判定定理解决有关的实际问题及简单的证明与计算.

5.角平分线:学生已经探索过角平分线上的点的性质,此处可先让学生回顾其性质和探索过程,并尝试证明.在前面的学习中,学生已经了解了如何构造一个命题的逆命题.学习线段的垂直平分线时,也经历了构造其逆命题的过程,因此,学生会类比构造角平分线性质定理的逆命题.在叙述其逆命题时,可不加什么条件,但验证其真假时,教师应引导学生注意角平分线是在角的内部的射线,所以就要附加“在角的内部”这个条件.

1等腰三角形4课时

2直角三角形2课时

3线段的垂直平分线2课时

4角平分线2课时

回顾与思考1课时

1等腰三角形

1.理解并能说出全等三角形的判定方法和等腰三角形的性质.

2.能够证明判定三角形全等的“角角边”定理和等腰三角形的性质,掌握证明的基本步骤和书写格式.

3.能用三角形全等的判定定理和等腰三角形的性质证明或解决有关的问题.

4.理解并能说出等腰三角形的判定定理,且能用其判定一个三角形是否为等腰三角形.

5.能说出并能够证明等边三角形的性质和判定方法,且能够用其证明或解决有关的问题.

6.能说出并能够证明在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半,且能够应用其证明或解决有关的问题.

7.了解反证法的思想和方法.

1.经历“角角边”定理、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定的探索证明过程,感受数学的严谨性.

2.在探索和证明中,提高学生的数学语言表达能力.

在探索证明中,培养学生严谨求学的态度和尊重理论事实的正确价值观.

【重点】

1.等腰三角形的性质定理及判定定理的证明及其应用.

2.等边三角形的性质定理和判定定理的证明及其应用.

【难点】

1.对本节定理的证明方法和辅助线的添加方法的探索.

2.对反证法的认识和了解.

第课时

1.了解作为证明基础的几条公理的内容.

2.使学生经历“探索——发现——猜想——证明”的过程,学会用综合法证明等腰三角形的有关性质定理.

让学生学会分析几何证明题的思路,并掌握证明的基本步骤和书写格式.

经历作辅助线的证明过程,进一步发展学生的合情推理意识,培养主动探究的习惯,进一步体会数学与现实生活的紧密联系.

【重点】等腰三角形的性质及推论.

【难点】命题的书写格式.

【教师准备】多媒体课件.

【学生准备】复习三角形全等的判定方法.

导入一:

请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条:

1.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;

2.两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等;

3.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS);

4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA);

5.三边对应相等的两个三角形全等(SSS).

在此基础上回忆三角形全等的另一个判别条件:

两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS),并要求学生利用前面所提到的公理进行证明.

已知:如图所示,在△ABC和△DEF中,有∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.

求证△ABC≌△DEF.

证明:∵∠A=∠D,∠B=∠E(已知),

又∠A+∠B+∠C=180°,∠D+∠E+∠F=180°(三角形内角和等于180°),

∴∠C=180°-(∠A+∠B),∠F=180°-(∠D+∠E),

∴∠C=∠F(等量代换).

又∵BC=EF(已知),

∴△ABC≌△DEF(ASA).

[设计意图]经过一个假期,学生对上学期所学知识难免有所遗忘,因此,在第一课时,回顾有关内容,既是对前面学习内容的一个简单梳理,也为后续有关证明做足了知识准备.

导入二:

我们已经证明了有关平行线的一些结论,运用下面的公理和已经证明的定理,我们还可以证明有关三角形的一些结论.

我们已学过的部分基本事实:

1.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;

2.两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等;

3.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 (SAS);

4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 (ASA);

5.三边对应相等的两个三角形全等 (SSS).

通过上面的这些结论,我们能否证明等腰三角形的底角相等呢?

[设计意图]帮助学生理解公理在证明定理过程中的作用,同时通过设问引入本课时的学习内容.

[过渡语]等腰三角形有哪些性质?以前是如何探索这些性质的,你能再次通过折纸活动验证这些性质吗?并根据折纸过程,得到这些性质的证明吗?

定理:等腰三角形的两底角相等.

这一定理可以简述为:等边对等角.

已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC.

求证∠B=∠C.

〔解析〕我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等.实际上,折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形.这启发我们,可以作一条辅助线把原三角形分成两个全等的三角形,从而证明这两个底角相等.

证明:取BC的中点D,连接AD.(如图所示)

∵AB=AC,BD=CD,AD=AD,

∴△ABD△≌△ACD(SSS).

∴∠B=∠C (全等三角形的对应角相等).

[设计意图]通过折纸活动,获得有关命题的证明思路,并通过进一步的整理,再次感受证明是探索的自然延伸,熟悉证明的基本步骤和书写格式.

二、三线合一

[过渡语]在上图中,线段AD还具有怎样的性质?为什么?由此你能得到什么结论?

让学生回顾前面的证明过程,思考线段AD具有的性质,讨论图中存在哪些相等的线段和相等的角,发现等腰三角形性质定理的推论,这一结论通常简述为“三线合一”.

推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.

证明:过顶点A作∠BAC的平分线AD,交BC于点D,

∵AD是△ABC中的角平分线,

∴∠BAD=∠CAD.

在△ABD和△ACD中,

∴△ABD≌△ACD(SAS),

∴BD=CD(全等三角形的对应边相等),

∠ADB=∠ADC(全等三角形的对应角相等).

∴AD是BC边上的中线,

∠BDA=90°,

∴AD是BC边上的高,

∴等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.

[设计意图]教师和学生一起完成证明,可以让学生经历自主命题的证明过程.同时,对学生书写格式的规范起到引领作用.

[知识拓展]“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合”的定理是将“等腰三角形”作为一个前提条件得到的三个真命题,在学习等腰三角形的性质定理后,可将该定理作如下的延伸.

如图所示,已知△ABC,①AB=AC,②∠1=∠2,③AD⊥BC,④BD=DC中,若其中任意两组成立,可推出其余两组成立.

已知:;

求证:;

证明:.

例如:已知②∠1=∠2,④BD=DC,求证①AB=AC,③AD⊥BC.根据等腰三角形的“三线合一”定理即可得证.

证明:延长AD至E,使DE=AD,连接CE.(如图所示)

在△ABD和△ECD中,

∴△ABD≌△ECD(SAS).

∴AB=EC,∠1=∠E.

∵∠1=∠2,

∴∠E=∠2,

∴CE=AC,∴AC=AB.

∴AD⊥BC.

1.定理:等腰三角形的两底角相等.

2.推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.

1.一个等腰非等边三角形中,它的角平分线、中线及高线的条数共为(重合的算一条) ()

A.9

B.7

C.6

D.5

解析:等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角的平分线是一条.故选B.

2.在△ABC中,如果AB=AC,那么在这个三角形中,重合的线段是()

A.∠A的平分线,AB边上的中线,AB边上的高线

B.∠A的平分线,BC边上的中线,BC边上的高线

C.∠B的平分线,AC边上的中线,AC边上的高线

D.∠C的平分线,AB边上的中线,AB边上的高线

解析:本题主要考查等腰三角形三线合一的性质.故选B.

3.若等腰三角形中有一个角为110°,则其余两角分别为.

解析:因为110°的角只能是顶角,所以其余两角均为35°.故填35°,35°.

4.如果等腰三角形的一边长为6 cm,周长为14 cm,那么另外两边的长分别为.

解析:边长为6 cm的边有可能是腰也有可能是底.

答案:6 cm,2 cm或4 cm,4 cm

5.如图所示,在△ABC中,AB=AC,D是AC上一点,且AD=BD=BC.求∠A的度数.

解:设∠A=x°,

∵AD=BD,∴∠1=∠A.

∴∠2=∠1+∠A=2x°.

∵BD=BC,∴∠C=∠2=2x°.

∵AB=AC,

∴∠ABC=∠C=2x°.

由三角形内角和定理可知∠A+∠ABC+∠C=180°,即5x=180, 解得x=36.∴∠A的度数为36°.

6.(2015·佛山中考)如图所示,△ABC是等腰三角形,AB=AC.请你用尺规作图将△ABC分成两个全等三角形,并说明这两个三角形全等的

理由.(保留作图痕迹,不写作法)

解:由作图可知∠BAD=∠CAD,又AB=AC,AD=AD,则△ABD≌△ACD(SAS).

第1课时

一、等腰三角形的两底角相等

二、三线合一

一、教材作业

【必做题】

教材第3页随堂练习的1,2题.

【选做题】

教材第4页习题1.1的1,2题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.在△ABC中,若AB=AC,∠A=44°,则∠B=度.

2.已知等腰三角形两条边的长分别是3和6,则它的周长等于.

3.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,延长BC到D,使CD=AC,则∠CDA=度.

4.如图所示,已知AB=AC,FD⊥BC于D,DE⊥AB于E,若∠AFD=145°,则∠EDF=度.

5.等腰直角三角形中,若斜边长为16,则直角边的长为.

【能力提升】

6.一个等边三角形的边长为a,它的高是()

A.a

B.a

C.a

D.a

7.至少有两边相等的三角形是()

A.等边三角形

B.等腰三角形

C.直角三角形

D.锐角三角形

8.如图所示,△ABC中,AC=BC,直线l经过点C,则()

A.l垂直AB

B.l平分AB

C.l垂直平分AB

D.l与AB的位置关系不能确定

9.(2015·宜昌中考)如图所示,在方格纸中,以AB为一边作△ABP,使之与△ABC全等,从P1,P2,P3,P4四个点中找出符合条件的点P,则点P有()

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

10.若等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45°,则这个三角形是()

A.锐角三角形

B.钝角三角形

C.等边三角形

D.等腰直角三角形

【拓展探究】

11.如图所示,点D是△ABC内一点,AB=AC,∠1=∠2.求证AD平分∠BAC.

12.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15 cm和11 cm两部分,求此三角形的底边长.

【答案与解析】

1.68(提示:等腰三角形的两底角相等.)

2.15(解析:腰长是6,底边长是3,故周长为6+6+3=15.)

3.15

4.55(解析:易求出∠CFD=35°,因为AB=AC,所以∠B=∠C=55°,从而求出∠A=70°,再根据四边形内角和是360°可求出∠EDF=55°.)

5.8(解析:由勾股定理可求.)

6.B

7.B

8.D

9.C(解析:要使△ABP与△ABC全等,点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离,故点P1,P3,P4均符合条件,共3个.故选C.)

10.D(解析:有一个底角为45°的等腰三角形是等腰直角三角形.)

11.证明:∵∠1=∠2,∴BD=DC.∵AB=AC,AD=AD,∴△ADB≌△ADC.∴∠BAD=∠CAD.即AD平分∠BAC.

12.提示:分两种情况,底边长为6 cm或 cm.

本节通过学生对已学知识的回顾,经历了“探索——发现——猜想——证明”的活动过程,关注了学生自主探究过程,学生发挥了主体作用,取得了较好的教学效果.注重在学期初对以往知识的整合和串联,从整册教材的角度构想本课时的教学.

在具体活动中,如何在学生活动与结论总结之间建立一个恰当的衔接,各部分时间比例的分配需要根据班级学生具体状况进行适度地调整.

在等腰三角形的性质定理的运用上,让学生猜想、实践、探索、反思,提出自己的见解,在教学中鼓励

学生积极合作,充分交流,感受学生在学习活动中获得成功的喜悦,促使学生学习方式的改变.

随堂练习(教材第3页)

1.提示:(1)70°.(2)36°.

2.(1)证明:∵BC=CD,AC=AC,∠ACB=∠ACD=90°,∴△ACB≌△ACD(SAS),∴AB=AD,即△ABD是等腰三角形.(2)提示:90°.

习题1.1(教材第4页)

1.已知已知公共边SSS全等三角形对应角相等

2.证明:∵BE=CF,∴BC=EF,在△ABC和△DEF中,AB=DE,AC=DF,BC=EF,∴△ABC≌△DEF.∴∠A=∠D.

3.解:∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠CAD.∵∠BAC=108°,∴∠BAD=×108°=54°.

4.解:∠BAD=∠CAD,∠BEA=∠CEA,∠ABE=∠ACE, ∠BED=∠CED, ∠EBD=∠ECD, ∠BDE=∠CDE,

∠ABC=∠ACB.由图中易得△ABD≌△ACD, △ABE≌△ACE, △BED≌△CED,继而得到以上各组相等的角.

5.已知:如图所示,在等腰三角形ABC和等腰三角形DEF中,∠A=∠D,BC=EF.求证△ABC≌△DEF.证

明:∵△ABC和△DEF都是等腰三角形,∠A=∠D,∴∠B=∠E,∠C=∠F,∵BC=EF,∴△ABC≌△DEF(AAS

或ASA).

6.解:BD=CE,证明如下:如图所示,过点A作AF⊥BC于点

F,∵AB=AC,∴BF=CF,∵AD=AE,∴DF=EF,∴BD=CE..

在“八年级上册第七章平行线的证明”中,学生已经感受了证明的必要性,并通过平行线有关命题的证明过程,得出了一些基本的证明方法并积累了一定的证明经验;在七年级下册的学习中,学生也已经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题,这些都为证明本节有关命题做了铺垫.

本节回顾了判定三角形全等的有关定理,并进一步利用这些定理、公理证明等腰三角形的性质定理.由于具备了上面所说的活动经验和认知基础,本节可以让学生在回顾的基础上,自主地寻求命题的证明.

如图所示,已知∠A=15°,AB=BC=CD=DE=EF,求∠DEF的度数.

解:∵∠A=15°,AB=BC=CD=DE=EF,

∴∠CBD=∠BAC+∠BCA=30°,

∴∠BCD=120°,

∴∠DCE=∠CED=180°-15°-120°=45°,

∴∠EDF=∠A+∠AED=15°+45°=60°,

∴∠DEF=60°.

如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AE∥BC.求证AE平分∠DAC.

证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.

∵AE∥BC,

∴∠C=∠EAC,∠B=∠DAE.

∴∠DAE=∠EAC,

∴AE平分∠DAC.

第课时

使学生能用多种方法证明等腰三角形两底角的平分线相等.

引导学生分析几何证明题的思路,并掌握证明的基本步骤和规范的书写格式.

经历作辅助线的证明过程,进一步增强学生的合情推理意识,培养主动探究的习惯,进一步体会数学与现实生活的紧密联系.

【重点】等腰三角形的性质.

【难点】命题书写的格式.

【教师准备】多媒体课件.

【学生准备】复习等腰三角形的性质.

导入一:

在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等),你能发现其中一些相等的线段吗?能证明你的结论吗?

试作图,写出已知、求证和证明过程.

还可以有哪些证明方法?

通过学生的自主探究和同伴的交流后得出:

等腰三角形两底角的平分线相等;

等腰三角形两腰上的高相等;

等腰三角形两腰上的中线相等.

并对这些命题给出多种方法的证明.

[设计意图]让学生再次经历“探索——发现——猜想——证明”的过程,进一步体会证明的必要性,感受证明方法的多样性.

导入二:

在回忆上节课学习的等腰三角形性质的基础上,在等腰三角形中作出一些线段(利用多媒体课件演示),观察后解答下列问题:

(1)你能从图中发现一些相等的线段吗?

(2)你能用一句话概括你所得到的结论吗?

(3)你能结合图形分别写出已知、求证和证明过程吗?

[设计意图]通过知识的回顾,直接提出新的问题,过渡自然,引入本课研究内容,而新的问题是原有性质的一个自然拓广,有助于培养学生自主提出问题的能力.

[过渡语]同学们对于“等腰三角形两底角的平分线相等”我们如何来证明呢?

(教材例1)证明:等腰三角形两底角的平分线相等.

已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD和CE是△ABC的角平分线.

求证:BD=CE.

证法1:∵AB=AC,

∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).

∵BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB,

∴∠1=∠ABC,∠2=∠ACB,

∴∠1=∠2.

在△BDC和△CEB中,

∵∠ACB=∠ABC,BC=CB,∠1=∠2,

∴△BDC≌△CEB(ASA).

∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).

证法2:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.

∵BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB,

∴∠3=∠ABC,∠4=∠ACB,

∴∠3=∠4.

在△ABD和△ACE中,

∵∠3=∠4,AB=AC,∠A=∠A,

∴△ABD≌△ACE(ASA).

∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).

在证明过程中,学生的思路一般还较为清楚,但严格证明表述经验尚显不足,因此,教师应注意对证明过程提出一定的要求,可以让学生板书其中部分证明过程或借助多媒体课件展示部分证明过程.同时注意对证明有困难的学生给予帮助和指导.

如何证明等腰三角形两腰上的中线、两腰上的高线也分别相等呢?同学们可以自己来证明.

(补充例题)如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC.

(1)如果∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB呢?由此,你能得到一个什么结论?

(2)如果AD=AC,AE=AB,那么BD=CE吗?如果AD=AC,AE=AB呢?由此,你能得到什么结论?

解:(1)BD=CE.这和证明等腰三角形两底角的平分线相等类似.证明如下:

∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).

∵∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB,

∴∠ABD=∠ACE.

在△BDA和△CEA中,

∵∠ABD=∠ACE,BA=CA,∠A=∠A,

∴△BDA≌△CEA(ASA).

∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).

由此我们可以发现:

在△ABC中,AB=AC,∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB,就一定有BD=CE成立(n≥1).

(2) 在△ABC中,AB=AC,如果AD=AC,AE=AB,那么BD=CE;如果

AD=AC,AE=AB,那么BD=CE.由此我们得到了一个结论:在△ABC

中,AB=AC,AD=AC,AE=AB,那么BD=CE(n≥1).证明如下:

∵AB=AC,AD=AC,AE=AB,

∴AD=AE.

在△ADB和△AEC中,

∵AB=AC,∠A=∠A,AD=AE,

∴△ADB≌△AEC(SAS).

∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).

[设计意图]提高学生解决变式问题的能力,并培养学生学习的自主性.

[过渡语]同学们还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?请同学们在等腰三角形性质定理的基础上,思考等边三角形的特殊性质.

定理:等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60°.

已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC=BC.

求证:∠A=∠B=∠C=60°.

证明:∵AB=AC,

∴∠B=∠C(等边对等角).

又∵AC=BC(已知),

∴∠A=∠B(等边对等角).

∴∠A=∠B =∠C.

在△ABC中,

∵∠A+∠B +∠C=180°,

∴∠A=∠B=∠C=60°.

[设计意图]让学生规范地写出对于“等边三角形三个内角都相等,并且每个角都等于60°”的证明过程.

1.等腰三角形两底角的平分线相等.

2.等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60°.

1.等腰三角形的一个角是80°,则它顶角的度数是()

A.80°

B.80°或20°

C.80°或50°

D.20°

解析:这个角可能是顶角也可能是底角.故选B.

2.(2015·衡阳中考)已知等腰三角形的两边长分别为5和6,则这个等腰三角形的周长为()

A.11

B.16

C.17

D.16或17

解析:分两种情况:当三边长为5,5,6时,周长为16;当三边长为5,6,6时,周长为17.故选D.

3.如图所示,在△ABC中,AB=AC,DE∥BC,若∠ADE=48°,则下列结论中不正确的是()

A.∠B=48°

B.∠AED=66°

C.∠A=84°

D.∠B+∠C=96°

答案:B

4.如图所示,在△ABC中,AB=AC,△ABC的外角∠DAC=130°,则∠B=.

解析:∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵∠DAC=130°,∴∠BAC=50°,∴∠C=∠B=65°.故填65°.

5.如图所示,在△PBQ中,BP=6,点A,C,D分别在BP,BQ,PQ上,且CD∥PB,AD∥BQ,∠QDC=∠PDA,则四边形ABCD的周长为.

答案:12

6.如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD⊥AC于点D,则∠CBD=.

解析:根据已知求得底角∠ABC=72°,再根据三角形内角和定理求得∠ABD=54°,从而求得∠DBC=18°.

故填18°.

第2课时

一、等腰三角形的性质.

二、等边三角形的性质.

一、教材作业

【必做题】

教材第6页随堂练习的1,2题.

【选做题】

教材第7页习题1.2的2,3题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于 ()

A.顶角

B.顶角的一半

C.顶角的2倍

D.底角的一半

2.已知一等腰三角形的两边长x,y满足方程组则此等腰三角形的周长为()

A.5

B.4

C.3

D.5或4

3.在等腰三角形ABC中,AB=AC,其周长为20 cm,则AB边的取值范围是()

A.1 cm

B.5 cm

C.4 cm

D.4 cm

4.如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D,E在BC上,连接AD,AE,若只添加一个条件使∠DAB=∠EAC,则添加的条件不能为()

A.BD=CE

B.AD=AE

C.DA=DE

D.BE=CD

5.(2014·苏州中考)如图所示,在△ABC中,AB=AC,D为BC中点,∠BAD=35°,则∠C的度数为()

A.35°

B.45°

C.55°

D.60°

【能力提升】

6.如图所示,△ABC为等边三角形,AQ=PQ,PR=PS,PR⊥AB于R,PS⊥AC于S,则下列四个结论正确的是

()

①点P在∠BAC的平分线上; ②AS=AR;③QP∥AR; ④△BRP≌△CSP.

A.全部正确

B.仅①和②正确

C.仅②③正确

D.仅①和③正确

7.在等腰三角形中,马彪同学做了如下研究:已知一个角是60°,则另两个角是唯一确定的(60°,60°),已知一个角是90°,则另两个角也是唯一确定的(45°,45°),已知一个角是120°,则另两个角也是唯一确定的(30°,30°).由此马彪同学得出结论:在等腰三角形中,已知一个角的度数,则另两个角的度数也是唯一确定的.马彪同学的结论是的.(填“正确”或“错误”)

8.如图所示,在等边三角形ABC中,AB=6,D是BC上一点,且BC=3BD,△ABD绕点A旋转后得到△ACE,则CE的长度为.

9.如图所示,已知AB∥CD,AB=AC,∠ABC=68°,则∠ACD=.

【拓展探究】

10.如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD=BC,AD=DE=BE,求∠A的度数.

【答案与解析】

1.B (解析:根据三角形内角和定理可求出.故选B.)

2.A(解析:先解方程组,求边长,要注意能否组成三角形.)

3.B(解析:根据三角形的三边关系.)

4.C(解析:根据三角形全等的判定定理.)

5.C(解析:因为AB=AC,D为BC中点,所以∠BAC=2∠BAD=70°,所以∠C的度数为55°.)

6.A(提示:可证三角形全等.)

7.错误(解析:这个角有可能是顶角也有可能是底角.)

8.2

9.44°(解析:根据等边对等角和两直线平行同旁内角互补求得∠ACD=44°.)

10.

解:∵AD=DE=BE,∴∠EBD=∠EDB,∠A=∠DEA.∵BC=BD,∴∠C=∠CDB,∵∠DEA=∠EBD+∠EDB=∠A ,∴∠EBD=∠A.又∠C=∠BDC=∠A+∠EBD=∠A ,∴2×∠A+∠A=180°,∴∠A=45°.

本课时关注了问题的变式与拓广,引导学生经历了提出问题、解决问题的过程,因而较好地提高了学生研究问题的能力、自主学习的能力,但也应注意根据学生的实际接受情况进行适度的调整.

因为学生自主探索的经验较少,因而对一些学生而言,完成这节课的全部教学任务可能时间偏紧,为此,教学中可以适当减少一些内容,将部分内容延伸到课外.

在巩固等边三角形的性质的同时,进一步掌握综合证明法的基本要求和步骤,规范学生证明的书写格式.

随堂练习(教材第6页)

1.解:如图所示,∵BD,CE分别是等边三角形ABC的中线,∴BD,CE分别是∠ABC,∠ACB的平分

线,∴∠1=∠2=∠ABC=30°,∴∠BOE=∠1+∠2=60°.∴等边三角形两条中线相交所成锐角的度数为

60°.

2.解:由已知条件D,E是BC的三等分点,有BD=DE=EC,又∵△ADE是等边三角

形,∴AD=DE=AE,∠ADE=∠DAE=∠AED=60°,∴AD=BD,∴∠B=∠DAB=30°,同理,得

∠EAC=∠C=30°,∴∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠EAC=30°+60°+30°=120°.

习题1.2(教材第7页)

1.解:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,又∵BD=BC,∴∠BDC=∠C,∴∠ABC=∠BDC=∠C.又∵BD平分

∠ABC,∴∠DBC=∠ABC.在△DBC

中,∠DBC+∠C+∠BDC=180°,∴∠ABC+∠ABC+∠ABC=180°,∴∠ABC=72°,∴∠A=180°-72°-

72°=36°.

2.证明:∵AB=AC,AE=AF,∴∠B=∠C,AB-AE=AC-AF,即EB=FC,又

∵BD=DC,∴△EBD≌△FCD(SAS),∴DE=DF.

3.证明:∵△ABC是等边三角形,∴AC=BC,∠A=∠BCA.又∵AD=CE,∴△ADC≌△CEB(SAS),∴CD=BE.

4.提示:(1)可证明△BEC≌△DFC,从而得到EC=FC.(2)相等.相等.如果==(n≥1),那么EC=FC.(3)如∠DFC=∠BEC或∠BCE=∠DCF等.

如图所示,已知:l∥m,等边三角形ABC的顶点B在直线m上,边BC与直线m所夹锐角为20°,求∠α的度数.

解:过点C作CE∥直线m,(如图所示)

∵l∥m,∴l∥m∥CE,

∴∠ACE=∠α,∠BCE=∠CBF=20°.

在等边三角形ABC中,∠ACB=60°,

∴∠α+∠CBF=∠ACB=60°,

∴∠α=40°.

第课时

1.理解等腰三角形的判定定理,并会运用其进行简单的证明.

沪科版数学八年级上册专题：三角形的有关计算与证明

专题：三角形的有关计算与证明 三角形的有关计算和证明是中考的必考内容之一，这类试题解法比较灵活，通常以全等三角形、等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质和判定为考查重点，以计算题、证明题的形式出现，解答这类问题时，不仅要熟练掌握有关的公式定理，更要注意它们之间的相互联系. 例如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB 交BE的延长线于点D.CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG. 求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE. 【思路点拨】(1)要证明AF＝CG，可以利用“ASA”证明△ACF≌△CBG来得到； (2)要证明CF＝2DE，由(1)得CF=BG，则只要证明BG=2DE，又利用△AED≌△CEG可得DG=2DE，故证明DG=BG即可. 【解答】证明：(1)∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，AC＝BC. ∴∠BCG＝∠CAB＝45°. 又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝BC， ∴△ACF≌△CBG(ASA), ∴CF＝BG，AF＝CG. (2)延长CG交AB于点H. ∵AC＝BC，CG平分∠ACB， ∴CH⊥AB，H为AB中点. 又∵AD⊥AB，∴CH∥AD, ∴G为BD中点，∠D＝∠EGC. ∵E为AC中点，∴AE＝EC. 又∵∠AED＝∠CEG， ∴△AED≌△CEG(AAS), ∴DE＝EG,∴DG＝2DE,∴BG＝DG＝2DE. 由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE. 方法归纳：解答与线段或角相等的有关问题时，通常将它转化为全等三角形问题来求解. 1.如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O.

2020年全国各地中考数学压轴题按题型(几何综合)汇编(一)三角形中的计算和证明综合(原卷版)

2020全国各地中考数学压轴题按题型（几何综合）汇编 一、三角形中的计算和证明综合题 1.（2020贵州黔东南州）如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形． 探究发现 （1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由． 拓展运用 （2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长． （3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长． 2.（2020黑龙江牡丹江）在等腰△ABC中，AB＝BC，点D，E在射线BA上，BD＝DE，过点E作EF∥BC， 交射线CA于点F．请解答下列问题：

（1）当点E 在线段AB 上，CD 是△ACB 的角平分线时，如图①，求证：AE +BC ＝CF ；（提示：延长CD ，FE 交于点M ．） （2）当点E 在线段BA 的延长线上，CD 是△ACB 的角平分线时，如图②；当点E 在线段BA 的延长线上，CD 是△ACB 的外角平分线时，如图③，请直接写出线段AE ，BC ，CF 之间的数量关系，不需要证明； （3）在（1）、（2）的条件下，若DE ＝2AE ＝6，则CF ＝ ． 3.（2020武汉）问题背景：如图（1），已知△ABC ∽△ADE ，求证：△ABD ∽△ACE ； 尝试应用：如图（2），在△ABC 和△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∠ABC ＝∠ADE ＝30°，AC 与DE 相交于点F ，点D 在BC 边上， AD BD = √3，求 DF CF 的值； 拓展创新 如图（3），D 是△ABC 内一点，∠BAD ＝∠CBD ＝30°，∠BDC ＝90°，AB ＝4，AC ＝2√3，直接写出AD 的长． 4.（2020湖南常德）已知D 是Rt △ABC 斜边AB 的中点，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，过点D 作Rt △DEF 使∠DEF ＝90°，∠DFE ＝30°，连接CE 并延长CE 到P ，使EP ＝CE ，连接BE ，FP ，BP ，设BC 与DE 交于M ，PB 与EF 交于N ． （1）如图1，当D ，B ，F 共线时，求证： ①EB ＝EP ； ②∠EFP ＝30°； （2）如图2，当D ，B ，F 不共线时，连接BF ，求证：∠BFD +∠EFP ＝30°．

等腰三角形计算和证明题集锦(全)

一、计算题： 1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数 2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数 3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上， DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ， 若∠EDF=70°，求∠AFD 的度数 4. 如图，△ABC 中， AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数 6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点， 作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=1/2，DE+BC=1, 求∠ABC 的度数 7. 如图，△ABC 中， AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值 二、证明题 8、如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ， 过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E 求证：DE=BD+AE 9、如图，△DEF 中，∠EDF=2∠E ，FA ⊥DE 于点A ，问：DF 、AD 、AE 间有什么样的大小关系。 10、如图，△ABC 中，∠B=60°，角平分线AD 、CE 交于点O 求证：AE+CD=AC A B C D F E

11、11. 如图，△ABC中，AB=AC, ∠A=100°，BD 平分∠ABC, 求证：BC=BD+AD 12、12. 如图,△ABC中,AB=AC,D为△ABC外一点，且∠ABD=∠ACD =60° 求证：CD=AB-BD 13、13.已知：如图，AB=AC=BE，CD为△ABC中AB 边上的中线 求证：CD=1/2 CE 14、如图，△ABC中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC 求证：BD=ED 15、如图，△ABC中，AB=AC,BE=CF,EF交BC于点G 求证：EG=FG 16、如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是BC边上的高，B到点E，使BE=BD 求证：AF=FC 17、如图，△ABC中，AB=AC,AD和BE两条高， 交于点H，且AE=BE 求证：AH=2BD 18、如图，△ABC中，AB=AC, ∠BAC=90°，BD=AB，∠ABD=30°求证：AD=DC 19、如图，等边△ABC中，分别延长BA至点E， 延长BC至点D，使AE=BD 求证：EC=ED 20、如图，四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180°AD、BC的延长线交于点F，DC、AB的延长线交于点E，∠E、∠F的平分线交于点H 求证：EH⊥FH

三角形中的五种常见证明类型

专训一：三角形中的五种常见证明类型名师点金：学习了全等三角形及等腰三角形的性质和判定后，与此相关的几何证明题的类型非常丰富，常见的类型有：证明数量关系、位置关系，线段的和差关系、倍分关系、不等关系等． 证明数量关系 题型1证明线段相等 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC 上的点，且AE＝AF，求证：DE＝DF. (第1题) 题型2证明角相等 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD 于F交BC于E. 求证：∠ADB＝∠CDE. (第2题) 证明位置关系 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且BD＝CF，BE＝CD，点G是EF的中点，求证：DG⊥EF.

(第3题) 证明倍分关系 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的高，AD，BE相交于点H，且AE＝BE，求证：AH＝2BD. (第4题) 证明和、差关系 5．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC.求证：AB＋BD＝AC. (第5题) 证明不等关系 6．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，P是AD上的任意一点，且AB ＞AC，求证：AB－AC＞PB－PC.

(第6题) 专训二：构造全等三角形的六种常用方法 名师点金：在进行几何题的证明或计算时，需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中，能比较容易找到一些量之间的关系，使数学问题得以较轻松地解决．常见的辅助线作法有：构造法、平移法、旋转法、翻折法、加倍折半法和截长补短法，目的都是构造全等三角形． 构造基本图形法 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF. 求证：∠ADC＝∠BDF. (第1题) 翻折法

以圆为背景的相似三角形的计算与证明

以圆为背景的相似三角形的计算与证明 【经典母题】 如图Z13－1，DB为半圆的直径，A为BD延长线上的一点，AC切半圆于点E，BC⊥AC于点C，交半圆于点F.已知AC＝12，BC＝9，求AO的长． 图Z13－1 经典母题答图解：如答图，连结OE，设⊙O的半径是R，则OE＝OB＝R. 在Rt△ACB中，由勾股定理，得 AB＝AC2＋BC2＝15.

∵AC 切半圆O 于点E ，∴OE ⊥AC ， ∴∠OEA ＝90°＝∠C ，∴OE ∥BC ， ∴△AEO ∽△ACB ， ∴OE BC ＝AO AB ，∴R 9＝15－R 15，解得R ＝458， ∴AO ＝AB －OB ＝15－R ＝758 . 【思想方法】 利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形，从而得到相似三角形，利用比例线段求AO 的长． 【中考变形】 1．如图Z13－2，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，O 是AC 边上的一点，以O 为圆心，OC 为半径的圆与AB 相切于点D ，连结OD . (1)求证：△ADO ∽△ACB ； (2)若⊙O 的半径为1，求证：AC ＝AD ·BC . 证明：(1)∵AB 是⊙O 的切线，∴OD ⊥AB ， ∴∠C ＝∠ADO ＝90°，∵∠A ＝∠A ， ∴△ADO ∽△ACB ； (2)由(1)知，△ADO ∽△ACB .∴AD AC ＝OD BC ， ∴AD ·BC ＝AC ·OD ，∵OD ＝1，∴AC ＝AD ·BC . 2．[2017·]如图Z13－3，已知Rt △ABC ，∠C ＝90°，D 为BC 的中点，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点E . (1)求证：DE 是⊙O 的切线； 图Z13－2

培优专题四 三角形中角度的证明与计算

三角形中角度的证明与计算 类型一：三角形中两个角的角平分线的夹角 1、两个内角平分线的夹角 如图，在△ABC 中，O 点是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，求∠O 与∠A 之间的关系。 2、一个内角平分线与一个外角平分线的夹角 如图，在?ABC 中，D 点是∠ABC 和∠ACE 的角平分线的交点，求∠D 与∠A 之间的关系。 3、两个外角平分线的夹角 如图，在?ABC 中，E 点是∠ABC 和∠ACD 的角平分线的交点，求∠E 与∠A 之间的关系。 练习1、如图，在?ABC 的三条内角平分线交于点I ，AI 的延长线与BC 交于点D ，BC IH ⊥于H ，试比较∠CIH 和∠BID 的大小 练习2、如图，在?ABC 中，∠A=n o ，∠ABC 和∠ACD 的平分线交 于点A 1，得∠A 1，∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2， 得2A ∠， BC A 2014∠和CD A 2014∠的平分线交于点2015A ， 求2015A ∠ = 。 类型二：三角形中两条边的高线的夹角 如图，在?ABC 中，O 点是BC 和AC 边上高的交点，求∠AOB 与∠ D C

类型三：三角形中同一顶点的高线与角平分线的夹角 如图，在 ABC 中，AD 是BC 边上高，AE 是∠BAC 的平分线，求∠DAE 与∠B 和∠C 之间的关系。 练习3、如图，在△ABC 中，AE 平分∠BAC ，∠B ＝40°，∠C ＝70°，F 为射线AE 上一点(不与E 点重合)，且FD ⊥BC. (1)若点F 与点A 重合，如图1，求∠EFD 的度数； (2)若点F 在线段AE 上(不与点A 重合)，如图2，求∠EFD 的度数； (3)若点F 在△ABC 外部，如图3，此时∠EFD 的度数会变化吗？是多少？ 类型四：三角形中两边中垂线的交点（锐角、直角、钝角三角形分类讨论） 如图，在△ABC 中，OD 垂直平分AB 交AB 于点D ，OE 垂直平分AC 交AC 于点E ，连接OB ，OC ，求∠BOC 与∠A 之间的关系。 练习4 （1）在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=100°，ME 和NF 分别垂直平分AB 和AC ，求∠MAN?的度数． （2）在（1）中，若无AB=AC 的条件，你还能求出∠MAN 的度数吗？若能，请求出；?若不能，请说明理由． 类型五：“8”字形图案的两条角平分线的夹角 如图，已知线段AB 、CD 相交于点O ，连接AD ，CB ，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD ，AB 分别相交于点M ，N 如图2，试回答下列问题： 在图1中，直接写出∠A ，∠B ，∠C ，∠D 之间的数量关系 在图2中，∠D 与∠B 为任意角，试探究∠P 与∠D 、∠B 之间是否存在一定的数量关系，若存在，写出它们之间的关系并证明，若不存在，说明理由。

专题07 三角形及四边形的计算与证明(解析版)

专题07 三角形及四边形的计算与证明 一、三角形 1．三角形的概念及性质 概念：（1）由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．（2）三角形按边可分为：非等腰三角形和等腰三角形；按角可分为：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形． 性质：（1）三角形的内角和是180°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．（2）三角形的任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边． 2．三角形中的重要线段 （1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．特性：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心． （2）三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称高．特性：三角形的三条高线相交于一点． （3）三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．特性：三角形的三条中线交于一点． 3．全等三角形的性质与判定 概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 性质：全等三角形的对应边、对应角分别相等． 判定：（1）有三边对应相等的两个三角形全等，简记为（SSS）； （2）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为（SAS）； （3）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为（ASA）； （4）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为（AAS）； （5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为（HL）． 4．等腰三角形 等腰三角形的有关概念及分类：有两边相等的三角形叫等腰三角形，三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形；等腰三角形分为腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形． 等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的两个底角相等（简称为“等边对等角”）； （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称为“三线合一”）； （3）等腰三角形是轴对称图形．

三角形的证明练习题

八年级下册数学第一章提高训练 9.等腰三角形的周长是 2 + J 3，腰长为1，则其底边上的高为 _________________ . 12 .已知：如图，AB = AC,/A= 36°,AB 的垂直平分线交AC 于D,则下列结论：①/C= 72。：②总。是/AB C 的平分线；③AAB D 是等腰三角形；④ABCD 是等腰三角形，其中正确的有（ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 13 .如图，已知在 AABC 中，AB = AC,/C= 30°,AB±AD,AD = 10 .以长为1、 . 2、2 ,5、3,中的三条线段为边长可以构成 个直角三角形 . （11题图） 二计算题 11 .如图，在△AEC,/C= 90° ZB= 15°,AB 的中垂线DE 交EC 于D,E 为垂足，若BD = 10 cm,^ UAC 等 于( )A. 10 cm B. 8 cm C. 5cm D. 2. 5cm 3 cm,_KU AC 的长等于（ ） A. 2 2 cm B. 2.3 cm C. 3 2 cm D. 3 .. 3 cm （13题图） 14.如图，加条件能满足 AAS 来判断/ AC*/ABE 的条件是（ A. / AEB = / ADC / C = / D B.Z AEB = / ADC CD = BE C. AC = AB AD = AE D . AC = AB / C =/ B 一、填空题（每小题2分，共20分） 1. 在△ ABD 和厶ACE 中，有下列四个论断：① AB= AC;②AD= AE ;③/ B =Z C ;④BD= CE 请以其中三个论断作为条件，余 下的一个作为结论，写出一个正确的判断（000^0的形式写出来） ________________________________ . 2. ______________________________________________________________ 如图，在△ ABC 中，AD= DE AB= BE,/ A = 80° 则/ DEC= ________________________________________________________ . （2题图） （3题图） （4题图） 4.如图，/ AO =/ BO =15°，PC// OA PDLOA 若 PC = 4,贝U PD= . 5?等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°,则其顶角的度数为 _________________ 度. 6. 已知：如图，在厶ABC 中，AB=15m AC=12m AD 是/ BAC 的外角平分线，DE// AB 交AC 的延长线于点 E ，那么CE= _cm 7. ______________________________________________________________________________________________ 如图，人。是厶ABC 的中线，/ ADC= 45°，把△ ADC 沿 AD 对折，点 C 落在C 的位置，如果 BC=2, _则BC' = ______________ &在联欢晚会上，有 A 、B 、C 三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩一个游戏，要求在他们中间放一个木 ABC （6题图） （7题 （12题 图）

(完整word版)三角形的证明练习题

A B P C D O （7题图） （6题图）（11题图） 八年级下册数学第一章提高训练 一、填空题（每小题2分，共20分） 1．在△ABD和△ACE中，有下列四个论断：①AB＝AC；②AD＝AE；③∠B＝∠C；④BD＝CE 请以其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，写出一个正确的判断（⊙⊙⊙→⊙的形式写出来）． 2．如图，在△ABC中，AD＝DE，AB＝BE，∠A＝80°则∠DEC＝． 3．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝AC＋CD，则∠B与∠C的关系是． （2题图）（3题图）（4题图） 4．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD＝． 5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则其顶角的度数为度． 6．已知：如图，在△ABC中，AB=15m，AC=12m，AD是∠BAC的外角平分线，DE∥AB交AC的延长线于点E，那么CE＝ cm．7．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，点C落在C/的位置，如果BC=2，则BC′= ．8．在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩一个游戏，要求在他们中间放一个木凳，使他们抢坐到凳子的机会相等，试想想凳子应放在△ABC的三条线的交点最适当． 9．等腰三角形的周长是2＋3，腰长为1，则其底边上的高为__________． 10．以长为1、2、2 、5、3，中的三条线段为边长可以构成个直角三角形． 二计算题 11．如图，在△ＡＢＣ，∠Ｃ＝90°，∠Ｂ＝15°，ＡＢ的中垂线ＤＥ交ＢＣ于Ｄ，Ｅ为垂足，若ＢＤ＝10ｃｍ，则ＡＣ等于（）Ａ．10ｃｍＢ．8ｃｍＣ．5ｃｍＤ．2．5ｃｍ 12．已知：如图，ＡＢ＝ＡＣ，∠Ａ＝36°，ＡＢ的垂直平分线交ＡＣ于Ｄ，则下列结论：①∠Ｃ＝72°；②ＢＤ是∠ＡＢＣ的平分线；③△ＡＢＤ是等腰三角形；④△ＢＣＤ是等腰三角形，其中正确的有（） Ａ．1个Ｂ．2个Ｃ．3个Ｄ．4个 13．如图，已知在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠Ｃ＝30°，ＡＢ⊥ＡＤ，ＡＤ＝3ｃｍ，则AC的长等于（） Ａ．2 2ｃｍＢ．3 2ｃｍＣ．2 3ｃｍＤ．3 3ｃｍ 14.如图 ,加条件能满足AAS来判断⊿ACD≌⊿ABE的条件是（） A．∠AEB = ∠ADC ∠C = ∠D B．∠AEB = ∠ADC CD = BE C．AC = AB AD = AE D．AC = AB ∠C =∠B A B C D E A B C D （14题图） （12题图） （13题图）

中考数学考点专题(六) 与三角形有关的计算与证明

中考数学复习专题(六) 与三角形有关的计算与证明 1．(2016·河北)如图，点B ，F ，C ，E 在直线l 上(F ，C 之间不能直接测量)，点A ，D 在l 异侧，测得AB ＝DE ，AC ＝DF ，BF ＝EC. (1)求证：△ABC ≌△DEF ； (2)指出图中所有平行的线段，并说明理由． 解：(1)证明：∵BF ＝EC ， ∴BF ＋FC ＝EC ＋FC ，即BC ＝EF. 又∵AB ＝DE ，AC ＝DF ， ∴△ABC ≌△DEF. (2)AB ∥DE ，AC ∥DF. 理由：∵△ABC ≌△DEF ， ∴∠ABC ＝∠DEF ，∠ACB ＝∠DFE. ∴AB ∥DE ，AC ∥DF. 2．(2017·苏州)如图，∠A ＝∠B ，AE ＝BE ，点D 在AC 边上，∠1＝∠2，AE 和BD 相交于点O. (1)求证：△AEC ≌△BED ； (2)若∠1＝42°，求∠BDE 的度数． 解：(1)证明：∵AE 和BD 相交于点O ， ∴∠AOD ＝∠BOE. 又∵∠A ＝∠B ， ∴∠BEO ＝∠2. 又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠BEO. ∴∠AEC ＝∠BED. 在△AEC 和△BED 中， ???∠A ＝∠B ， AE ＝BE ， ∠AEC ＝∠BED ， ∴△AEC ≌△BED(ASA )． (2)∵△AEC ≌△BED ， ∴EC ＝ED ，∠C ＝∠BDE. 在△EDC 中，∵EC ＝ED ，∠1＝42°， ∴∠C ＝∠EDC ＝69°. ∴∠BDE ＝∠C ＝69°. 3．(2016·襄阳)如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD ＝CD ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F.

中考数学专题测试卷：等边(腰)三角形相关计算与证明

2021年江西省中考数学专题测试卷：等边（腰）三角形相关计算与证明 一、选择题 1.等腰三角形的两边长分别为5cm和7cm，则它的周长为（） A．17cm B．19cm C．21cm D．17cm或19cm 2.若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为( ) A．40°B． 50°C．60°D．70° 3．如图，△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和C为圆心，以大于 1 2AC的长为半径画弧，两弧相交于M，N,作直线MN，交BC于D，连接AD，则∠BAD的度数为（） A.65° B.60° C.55° D.45° 4．如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（） A．8 B．9 C．10 D．11 5．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，连接DE．下面给出的四个结论，①BD⊥AC； ②BD平分∠ABC；③BD=DE；④∠BDE=120°．其中正确的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 6．如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是边PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为( ). A.44° B.66° C.88° D.92°

二、填空题 7．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为______． 8.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是______． 1．如图，已知点B、C、D、E在同一直线上，△ABC是等边三角形，且CG=CD，DF=DE， 则∠E=______． 10.如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=72°，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，它们的交点为F，则图中等腰三角形有______个． 三、解答题 11.如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．

三角形相关计算与证明练习题

三角形相关计算与证明练习题 姓名： ☆1、如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点G、F在BC边上， 四边形DEFG是正方形．若DE=2cm，则 AC的长为（） A． B．4cm C ．D． ☆2、如图，EF是△ABC的中位线，将△AEF沿AB方向平移到△EBD的位置，点D在BC 上，已知△AEF的面积为5，则图中阴影部分的面积为． 1题2题3题 ☆3、如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=60°，BC=6，把△ABC沿直线AD折叠，点C落 在C′处，连接BC′，那么BC′的长为． ☆☆4、如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中：①BE=DC； ②∠BOD=60°；③△BOD∽△COE．正确的序号是． 4题5题6题 ☆5、如图，在Rt△ABC中，∠ABC = 900, AB = 8cm , BC = 6cm , 分别以A,C为圆心，以 AC 2 的长为半径作圆, 将Rt△ABC截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为 cm2（结果保留π） 6、在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，若点P在边AC上移动，则BP 的最小值是 . 7、如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD =3，则EF的长是 7题8题 8、如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，CE是∠BCD的平分线，且CE⊥AB，E为垂足， BE=2AE，若四边形AECD的面积为1，则梯形ABCD的面积为． 9、如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC 的延长线上，且∠CBF= 1 2 ∠CAB． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （ 2）若AB=5，sin∠BC和BF的长． 10、如图（1），Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD 于点E，交CB于点F （1 ）求证：CE=CF． A D E O

人教版数学中考复习：全等三角形的相关计算与证明(含答案)

全等三角形的相关计算与证明 一．选择题 1．如图，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（） A．40°B．35°C．30°D．25° 2．已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（） A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙 3．AD是△ABC的角平分线，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，下列结论错误的是（） A．DE＝DF B．AE＝AF C．BD＝CD D．∠ADE＝∠ADF 4．如图，若AB＝CD，DE＝AF，CF＝BE，∠AFB＝80°，∠D＝60°，则∠B的度数是（）A．80° B．60° C．40° D．20° 5.如图，△ABC中，若∠B＝∠C，BD＝CE，CD＝BF，则∠EDF＝（） A．90°－∠A B． A ∠ - 2 1 90o C．180°－2∠A D． A ∠ - 2 1 45o 6．如图，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（） A．∠A=∠D B．BC=EF C．∠ACB=∠F D．AC=DF 7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分

别以点M，N的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（） A．15 B．30 C．45 D．60 二、填空题 8．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，则还需加条件_______. 9.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO，下列结论 ①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC；④DA=DC，其中正确结论的序号是_______. 10.如图，在△ABC中，分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接 AE、BD交于点O，则∠AOB的度数为_____． 三、解答题 11．如图，点O是线段AB和线段CD的中点． （1）求证：△AOD≌△BOC； （2）求证：AD∥BC． 12.如图，点A、B、C、D在同一直线上，CE//DF，EC=BD，AC=FD.求证：AE=FB.

三角形角度证明与计算教案

三角形中角度的证明与计算教案 教材分析： 本节复习课是在学生学习了三角形、等腰三角形、直角三角形、勾股定理、三角形的全等等知识后，对所学知识进行系统的整理、归纳、提升。本节课选择三角形中的角度证明与计算作为小专题进行复习，虽然仅是三角形问题的一个侧面，但整个教学设计是以数学思想方法为主线来安排的。数学思想与方法是数学的灵魂，学生一旦拥有它，将长期受益。所以专题虽小，却可以由小及大。同时选择一个侧面来组织教学，不仅使课堂更紧凑，也有利于现阶段学生的思维发展。 我们学过的四边形、平行四边形、多边形，都可以转化为三角形的边、角、线问题，华师大教材九年级上册中的三角形的相似、解直角三角形等内容，仍然是三角形中的边、角、线问题。有关圆的问题，也仅仅是以圆为载体，最终转化为三角形、四边形问题。因此边、角、线是整个初中几何体系中的关键因素，角又是由边与线构成的，三者是融合在一起的，所以角度问题虽是一个侧面，却是一个综合问题。可以由点及面。掌握基本的角度证明与计算，有利于学生顺利进行后续的学习。 教学重点： 1、三角形知识框架的构建。 2、类比、归纳、转化的数学思想和方法。 教学难点： 1、归纳求证角度相等的主要方法。 2、根据角的位置不同选择角度的不同转化方式。 教学目标： 1、熟练掌握三角形中证明角度相等的主要方法 2、熟练掌握三角形中求角度的主要方法 3、通过操作、讨论、合作等解决问题的数学活动，探索灵活应用各种数学思想方法的技巧、 培养学生探索、归纳、转化的数学思想。 教学流程 1．自主预习，交流提升 （1）引导学生构建三角形知识框架 教师展示如下框图 一般三角形 等腰三角形 直角三角形 30度）

北师大版三角形的证明(全章节复习题)

等腰三角形（基础）知识讲解 【学习目标】 1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性； 2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图． 3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力. 4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题. 【要点梳理】 要点一、等腰三角形的定义 1.等腰三角形 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 2.等腰三角形的作法 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a. 作法：1.作线段BC=a； 2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧 相交于点A; 3.连接AB,AC. △ABC为所求作的等腰三角形 3.等腰三角形的对称性 (1)等腰三角形是轴对称图形； (2)∠B＝∠C； (3)BD＝CD，AD为底边上的中线.

(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线. 结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴. 4.等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. 要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为 钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝180 2 A ?-∠ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 要点二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．推论：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 2.等腰三角形中重要线段的性质 等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等. 要点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论： （1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。 （2）等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等. （3）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离相等，到底边两端上的距离相等. （4）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等. 要点三、等腰三角形的判定定理 1.等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 2.等边三角形的判定定理 三个角相等的三角形是等边三角形. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 3. 含有30°角的直角三角形

2017中考数学专题训练(四)三角形、四边形中的相关证明及计算

2017中考数学专题训练(四)三角形、四边形中的相关证明及计算 纵观近5年中考题，三角形常与旋转、折叠、平移等知识点结合起来考查；四边形中要特别关注平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质和判定，以及运用其性质解决有关计算的问题． 三角形的有关计算及证明 【例1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D.CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG. 求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE. 【解析】(1)要证明AF＝CG，可以利用“ASA”证明△ACF≌△CBG来得到；(2)要证明CF＝2DE，由(1)得CF ＝BG，则只要证明BG＝2DE，又利用△AED≌△CEG可得DG＝2DE，再证明DG＝BG即可．【学生解答】证明：(1)∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，AC＝BC.∴∠BCG＝∠CAB＝45°.又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝BC，∴△ACF≌△CBG(ASA)，∴CF＝BG，AF＝CG；(2)延长CG交AB于点H.∵AC＝BC，CG平分∠ACB，∴CH⊥AB，H为AB中点．又∵AD⊥AB，∴CH∥AD，∠D＝∠EGC.又∵H为AB中点，∴G为BD中点，∵E为AC中点，∴AE＝EC.又∵∠AED＝∠CEG，∴△AED≌△CEG(AAS)，∴DE＝EG，∴DG＝2DE，∴BG＝DG＝2DE.由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE. 1．已知：如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝10，D为△ABC外一点，连接AD，BD，过D 作DH⊥AB，垂足为H，交AC于E.若△ABD是等边三角形，求DE的长． 解：∵△ABD是等边三角形，AB＝10，∴∠ADB＝60°，AD＝AB＝10.∵DH⊥AB，∴AH＝1 2AB＝5.∴DH＝ AD2－AH2＝102－52＝5 3.∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°.∴∠AEH＝45°.∴EH＝AH＝5.∴DE＝DH－EH＝53－5. 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在边BC上．若DE＝DF，AD＝2，BC＝6，求四边形AEDF的周长． 解：∵AB＝AC，E，F分别是边AB，AC的中点，∴AE＝AF＝1 2AB.又∵DE＝DF，AD＝AD，

《第13章 三角形中的边角关系、命题与证明》学习指导

《第13章 三角形中的边角关系、命题与证明》 学习要求： 1．理解三角形的角平分线、中线、高线的概念及性质。会用刻度尺和量角器画出任意三角形的角平分线、中线和 高。 2．掌握三角形的分类，理解并掌握三角形的三边关系。 3．掌握三角形内角和定理及推论，三角形的外角性质与外角和。 4．了解三角形的稳定性。 知识要点： 一、三角形中的边角关系 1．三角形有三条内角平分线，三条中线，三条高线，它们都相交于一点。 注意：三角形的中线平分三角形的面积。 2. 三角形三边间的不等关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 注意：判断三条线段能否构成一个三角形时，就看这三条线段是否满足任何两边之和大于第三边，其简便方法 是看两条较短线段的和是否大于第三条最长的线段。 3．三角形各角之间的关系： ①三角形的内角和定理：三角形的三个内角和为180°。 ②三角形的外角和等于360°（每个顶点处只取一个外角）； ③三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； ④三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 4．三角形的分类 ①三角形按边的关系可以如下分类： ?? ? ?????等边三角形 角形底和腰不相等的等腰三 等腰三角形不等边三角形三角形 ②三角形按角的关系可以如下分类： ?? ? ??????) ()() (形有一个角为钝角的三角钝角三角形形三个角都是锐角的三角锐角三角形斜三角形形有一个角为直角的三角直角三角形三角形Rt 5．三角形具有稳定性。 知识结构： 二、命题与证明 1．判断一件事情的句子是命题，疑问句、感叹句不是命题，计算不是命题，画法不是命题。 2．命题都可以写成：“如果……，那么……。”的形式。为了语句通顺往往要加“字”，但不改变顺序。 3．命题由题设、结论两部分组成。“如果”后面的是题设，“那么”后面的是结论。 4．命题分为真命题和假命题。真命题需要证明，假命题只要举出一个反例。 5．将命题的题设和结论交换就得到原命题的逆命题。逆命题可真可假。 6．公理和定理都是真命题，公理不需要证明，定理必须证明。

等腰三角形计算和证明题集锦(全)

等腰三角形计算和证明题集锦 一、计算题： 1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数 2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数 3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上， DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ， 若∠EDF=70°，求∠AFD 的度数 4. 如图，△ABC 中， AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数 6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点， 作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=1/2，DE+BC=1, 求∠ABC 的度数 7. 如图，△ABC 中， AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值 二、证明题 8、如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ， 过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E 求证：DE=BD+AE 9、如图，△DEF 中，∠EDF=2∠E ，FA ⊥DE 于点A ，问：DF 、AD 、AE 间有什么样的大小关系。 10、如图，△ABC 中，∠B=60°，角平分线AD 、CE 交于点O 求证：AE+CD=AC C

等腰三角形计算和证明题集锦 11、11. 如图，△ABC中，AB=AC, ∠A=100°，BD 平分∠ABC, 求证：BC=BD+AD 12、12. 如图,△ABC中,AB=AC,D为△ABC外一点，且∠ABD=∠ACD =60° 求证：CD=AB-BD 13、13.已知：如图，AB=AC=BE，CD为△ABC中AB 边上的中线 求证：CD=1/2 CE 14、如图，△ABC中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC 求证：BD=ED 15、如图，△ABC中，AB=AC,BE=CF,EF交BC于点G 求证：EG=FG 16、如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是BC边上的高，B到点E，使BE=BD 求证：AF=FC 17、如图，△ABC中，AB=AC,AD和BE两条高， 交于点H，且AE=BE 求证：AH=2BD 18、如图，△ABC中，AB=AC, ∠BAC=90°，BD=AB，∠ABD=30°求证：AD=DC 19、如图，等边△ABC中，分别延长BA至点E， 延长BC至点D，使AE=BD 求证：EC=ED 20、如图，四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180°AD、BC的延长线交于点F，DC、AB的延长线交于点E，∠E、∠F的平分线交于点H 求证：EH⊥FH

专题三 与三角形有关的计算与证明

专题三与三角形有关的计算与证明 1.已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E. (1)求证：△ABD≌△CAE； (2)连结DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论． 【简析】(1)由AB＝AC及AE∥BC易得∠B＝∠CAE，然后由AD是中线可得∠ADB＝∠CEA，由AAS证明两个三角形全等；(2)由(1)可得AE＝BD，结合已知条件AE∥BC可得四边形ABDE是平行四边形，根据平行四边形的性质得出DE与AB平行且相等． 变式：如图，△ABC中，A B＝AC，E在BA的延长线上，AD平分∠CAE. (1)求证：AD∥BC； (2)过点C作CG⊥AD于点F，交AE于点G，若AF＝4，求BC的长． 2.如图，在四边形ABCD，∠ABC＝90°，AC＝AD，M、N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN. (1)求证：BM＝MN； (2)若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长． 6

【简析】(1)由M 是Rt △ABC 中AC 的中点，BM ＝12 AC ，又M ，N 分别是AC 、CD 的中点，MN ＝12AD ，从而得证；（2）由（1）知，BM ＝12AC ＝AM ＝MC ，则60BMC ??,又 30,90,CMN BMN BN ?靶=?故所以。 变式：如图，在ABC ?中，AD BC ⊥于D ，BD AD =，DG DC =，E ，F 分别是BG ，AC 的中点． （1）求证：DE DF =，DE DF ⊥； （2）连接EF ，若10AC =，求EF 的长． 3. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,AM 为△ABC 的角平分线,将线段BM 绕点B 顺时针方向旋转使点M 刚好落在AM 的延长线上的点N 处,此时作ND ⊥BC 于点D. (1)求证：∠ABN ＝90°； (2)求证：CM ＝BD ； (3)若BD ＝32 DM ，AB ＝10，求线段BN 的长． 【简析】（1）由BM ＝BN ，则∠CMA ＝∠BMN ＝∠BNM ，又AM 平分∠BAC ，则∠CAM ＝∠BAM.从而∠ABN ＝∠C ＝90°；（2）过点M 作ME ⊥AB 于点E.易证△MEB ≌△BDN ，从而MC ME BD ==；（3）设DM ＝2x ，则CM ＝BD ＝3x ，BN ＝BM ＝BD ＋DM ＝5x.则 DN ＝BN 2－BD 2＝4x.易得∠BAM ＝∠CAM ＝∠MND.那么tan ∠BAM ＝tan ∠MN D ＝12 .在Rt △ABN 中，BN ＝AB·tan ∠BAM ＝10×12 ＝5.