高中文科数学高考模拟试卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.
1.如果复数)()2(
R a i ai ∈+的实部与虚部是互为相反数,则a 的值等于
A .2
B .1
C .2-
D .1- 2.已知两条不同直线1l 和2l 及平面α,则直线21//l l 的一个充分条件是
A .α//1l 且α//2l
B .α⊥1l 且α⊥2l
C .α//1l 且α?2l
D .α//1l 且α?2l 3.在等差数列}{n a 中,69327a a a -=+,n S 表示数列}{n a 的前n 项和,则=11S
A .18
B .99
C .198
D .297
4.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据, 可得该几何体的表面积是
A .π32
B .π16
C .π12
D .π8
5.已知点)4
3cos ,43
(sin ππP 落在角θ的终边上,且)2,0[πθ∈,则θ的值为
A .
4
π B .
4
3π C .
4
5π D .
4
7π 6.按如下程序框图,若输出结果为170,则判断框内应补充的条件为
A .5i >
B .7i ≥
C .9i >
D .
7.若平面向量)2,1(-=与的夹角是?180,且||=b A .)6,3(- B .)6,3(- C .)3,6(- 8.若函数)(log )(b x x f a +=的大致图像如右图,其中则函数b a x g x
+=)(的大致图像是
A B C D
9.设平面区域D 是由双曲线1422
=-x y 的两条渐近线和椭圆12
22
=+y x 的右准线所围成的三角形(含边界与内部).若点D y x ∈),(,则目标函数y x z +=的最大值为 A .1 B .2 C .3 D .6
~
10.设()11x
f x x
+=
-,又记()()()()()11,,1,2,,k k f x f x f x f f x k +===则()2009=f x
俯视图
A .1x
-
B .x
C .
1
1
x x -+ D .
11x
x
+- 11. 等差数列{}n a 中,8776
,S S S S ><,真命题有__________(写出所有满足条件的序号)
①前七项递增,后面的项递减 ② 69S S <
③1a 是最大项 ④7S 是n S 的最大项
A .②④
B .①②④
C .②③④
D .①②③④
12. 已知()f x 是定义在R 上的且以2为周期的偶函数,当01x ≤≤时,2
()f x x =,如果直线y x a =+与曲线
()y f x =恰有两个交点,则实数a 的值为
A .0
B .2()k k Z ∈
C .122()4k k k Z -
∈或 D .1
22()4
k k k Z +∈或 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,满分16分。
13.某大型超市销售的乳类商品有四种:纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉,且纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成
人奶粉分别有30种、10种、35种、25种不同的品牌.现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n 的样本进行三聚氰胺安全检测,若抽取的婴幼儿奶粉的品牌数是7,则=n 。
&
14.若关于x 的不等式2
||20ax x a -+<的解集为?,则实数a 的取值范围为 。
15.在ABC Rt ?中,若a BC b AC C ===∠,,900
,则ABC ?外接圆半径2
2
2b a r +=。
运用类比方法,若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为c b a ,,,则其外接球的半径
R = 。
16. 在OAB 中,O 为坐标原点,(1,cos ),(sin ,1),0,
2A B πθθθ??
-∈????
。 ⑴若,OA OB OA OB θ+=-=则 ,⑵OAB ?的面积最大值为 。 三、解答题:本大题6小题,满分74分。
17.(本小题满分12分)已知函数2()2cos cos(
)sin cos 6
f x x x x x x π
=-+.
(Ⅰ)求()f x 的最小正周期;(Ⅱ)设]2
,3[π
π-∈x ,求()f x 的值域.
-
18.(本小题满分10分)先后随机投掷2枚正方体骰子,其中x 表示第1枚骰子出现的点数,y 表示第2枚骰子
出现的点数.
(Ⅰ)求点),(y x P 在直线1-=x y 上的概率; (Ⅱ)求点),(y x P 满足x y 42
<的概率.
}
F
A
!
19.(本小题满分13分)
如图,AB 为圆O 的直径,点E 、F 在圆O 上,EF AB //,矩形ABCD 所在的平面 和圆O 所在的平面互相垂直,且2=AB ,1==EF AD . (Ⅰ)求证:⊥AF 平面CBF ;
(Ⅱ)设FC 的中点为M ,求证://OM 平面DAF ;
(Ⅲ)设平面CBF 将几何体EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为ABCD F V -,
CBE F V -,求ABCD F V -CBE F V -:.
"
20.(本题满分12分)已知函数d cx bx ax x f +++=2
3)(,)(R x ∈在任意一点))(,(00x f x 处的切线的斜
率为)1)(2(00+-=x x k 。
?
(1)求c b a ,,的值;
(2)求函数)(x f 的单调区间;
(3)若)(x f y =在23≤≤-x 上的最小值为2
5
,求)(x f y =在R 上的极大值。
|
21.(本题满分13分)
如图,两条过原点O 的直线21,l l 分别与x 轴、y 轴成?30的角,已知线段PQ 的长度为2,且点),(11y x P 在直线1l 上运动,点),(22y x Q 在直线2l 上运动. (Ⅰ)求动点),(21x x M 的轨迹C 的方程;
(Ⅱ)设过定点)2,0(T 的直线l 与(Ⅰ)中的轨迹C 交于不同的两点A 、B ,且AOB ∠
为锐角,求直线l 的斜率k 的取值范围.
!
22.(本小题满分14分)
设数列{}n a 的前n 项和为n S ,11=a ,且对任意正整数n ,点()n n S a ,1+在直线022=-+y x 上.
/
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;
(Ⅱ)是否存在实数λ,使得数列?
??
?
??+
?+n
n n S 2λλ为等差数列若存在,求出λ的 值;若不存在,则说明理由.
(Ⅲ)求证:2
1
)1)(1(26111<++≤∑=+-n k k k k a a .
.
`
2010年高中文科数学高考模拟试卷
答案及评分标准
一、ABBCD DABCD CC
二、13.20. 14.)4+∞. 15.2222c b a ++. 16.8,23
π. 三、解答题:本大题满分74分.
17.解:(Ⅰ)∵2
()cos sin )sin cos f x x x x x x x =++
22sin )2sin cos x x x x =-+x x 2sin 2cos 3+=)3
2sin(2π
+
=x .
)(x f ∴的最小正周期为π.
(Ⅱ)∵]2,
3[π
π-
∈x ,3
43
23
π
π
π
≤
+
≤-
∴x , ………… 9分 %
又)3
2sin(2)(π
+
=x x f ,]2,3[)(-∈∴x f ,()f x 的值域为]2,3[-.
18.解:(Ⅰ)每颗骰子出现的点数都有6种情况,所以基本事件总数为3666=?个. 2分
记“点),(y x P 在直线1-=x y 上”为事件A ,A 有5个基本事件:
)}5,6(),4,5(),3,4(),2,3(),1,2{(=A , .36
5)(=
∴A P …… 5分
(Ⅱ)记“点),(y x P 满足x y 42
<”为事件B ,则事件B 有17个基本事件: 当1=x 时,;1=y 当2=x 时,2,1=y ; …………… 6分
当3=x 时,3,2,1=y ;当4=x 时,;3,2,1=y ……………… 8分 当5=x 时,4,3,2,1=y ;当6=x 时,4,3,2,1=y .
.36
17
)(=
∴B P ………… 10分 19.(Ⅰ)证明: 平面⊥ABCD 平面ABEF ,AB CB ⊥,
《
平面 ABCD 平面ABEF =AB ,⊥∴CB 平面ABEF ,
?AF 平面ABEF ,CB AF ⊥∴ ,又AB 为圆O 的直径,BF AF ⊥∴,
⊥∴AF 平面CBF 。 …………………… 5分
(Ⅱ)设DF 的中点为N ,则MN //
CD 21,又AO //CD 2
1
, 则MN //AO ,MNAO 为平行四边形,//OM ∴AN ,又?AN 平面DAF ,?OM 平面DAF ,//
OM ∴平面DAF 。
(Ⅲ)过点F 作AB FG ⊥于G , 平面⊥ABCD 平面ABEF ,
⊥∴FG 平面ABCD ,FG FG S V ABCD ABCD F 3
2
31=?=∴-, ⊥CB 平面ABEF ,
CB S V V BFE BFE C CBE F ?==∴?--31FG CB FG EF 6
1
2131=???=,ABCD F V -∴1:4:=-CBE F V .
20.(本小题满分12分)解:(1)c bx ax x f ++='23)(2
(1分)
而)(x f 在))(,(00x f x 处的切线斜率)1)(2(23)(0002
00+-=++='=x x c bx ax x f k
|
∴ 2,12,13-=-==c b a ∴ 31=a ,2
1
-=b ,2-=c (3分) (2)∵ d x x x x f +--=
22131)(2
3 由0)1)(2(2)(2
≥+-=--='x x x x x f 知)(x f 在]1,(--∞和),2[+∞上是增函数 由0)1)(2()(≤+-='x x x f 知)(x f 在]2,1[-上为减函数(7分) (3)由)1)(2()(+-='x x x f 及23≤≤-x 可列表
)(x f 在]2,3[-由d f +-=-215)3(,d f +-=310
)2(知)2()3(f f <-(9分)
于是25215)3(=+-=-d f 则10=d (11分)∴ 6
67
)1()(=
-=f x f 极大值 ;
即所求函数)(x f 在R 上的极大值为
6
67
(12分) 21.解:(Ⅰ)由已知得直线21l l ⊥,1l :x y 3
3
=, 2l :x y 3-=, ……… 2分
),(11y x P 在直线1l 上运动,),(22y x Q 直线2l 上运动,
113
3
x y =
∴,223x y -=, …………………… 3分 由2=PQ 得4)()(2
2222121=+++y x y x ,
即443
42
221=+x x ,?13222
1=+x x , …………………… 4分
∴动点),(21x x M 的轨迹C 的方程为1322
=+y x . …………………… 5分
(Ⅱ)直线l 方程为2+=kx y ,将其代入
13
22
=+y x , 化简得0912)31(22=+++kx x k , ……… 7分
设),(11y x A 、),(22y x B
0)31(36)12(22>+?-=?∴k k ,12>?k ,
且2
21221319
,3112k
x x k kx x x +=+-=+, …………………… 9分 AOB ∠ 为锐角,0>?∴OB OA , …………………… 9分
;
即02121>+y y x x ,?0)2)(2(2121>+++kx kx x x ,
04)(2)1(21212
>++++∴x x k x x k .
将2
2
1221319
,3112k x x k kx x x +=+-
=+代入上式, 化简得03131322>+-k k ,3
132
<
?k . …………………… 11分 由12>k 且3
132
设数列{}n a 的前n 项和为n S ,11=a ,且对任意正整数n ,点()n n S a ,1+在直线022=-+y x 上. (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)是否存在实数λ,使得数列? ?? ? ??+?+n n n S 2λλ为等差数列若存在,求出λ的值;若不存在,则说明理由. (Ⅲ)求证: 2 1 )1)(1(26111<++≤∑=+-n k k k k a a . ~ 解:(Ⅰ)由题意可得: .0221=-++n n S a ① 2≥n 时, .0221=-+-n n S a ② …………………… 1分 ①─②得()221 02211≥=?=+-++n a a a a a n n n n n , 2 1 22,12121=?=+=a a a a …………………… 3分 ∴{}n a 是首项为1,公比为21的等比数列,.211 -??? ??=∴n n a ……………… 4分 (Ⅱ)解法一:.2122 112111--=--= n n n S ……………… 5分 若???? ?? +n n S 2λ为等差数列, 则3322123,22,2λ λλλλλ++++++S S S 成等差数列, ……………… 6分 2,82547231492328252349312λλλλλλ+++ =?? ? ??+?+++=??? ??+S S S 得.2=λ ……………… 8分 * 又2=λ时,222 2 2+=+ +n n S n n ,显然{}22+n 成等差数列, 故存在实数2=λ,使得数列???? ?? ++n n n S 2λλ成等差数列. ……………… 9分 解法二: .2122112111--=--= n n n S ……………… 5分 ().2 1 22221221n n n n n n n n S -++=++-=++∴-λλλλλλ …………… 7分 欲使???? ?? +?+n n n S 2λλ成等差数列,只须02=-λ即2=λ便可. ……………8分 故存在实数2=λ,使得数列???? ?? ++n n n S 2λλ成等差数列. ……………… 9分 (Ⅲ)=+++)1)(1(11k k a a (21)121)(121(11k k k =++--+1211k )12 11 1+-k …… 10分 ∑∑==+--+=++∴n k k n k kt k k a a 1111211()1)(1(2)1211 1 +-k ………… 11分 ++-+=)1111211( ++-+)1211 1211(2-++1211( t )12 111+-k + +-=111 1211+k 2 1122-+=k k ………… 12分 } 又函数=+=1 22x x y 1211 +x 在),1[∞+∈x 上为增函数, 112212211<+≤+∴k k , ………… 13分 211211222132-<-+≤-∴k k ,2 1)1)(1(26111<++≤∑=+-n k k k k a a . ……… 14分 - 向你推荐高考状元复习法: 朱坤(北京大学光华管理学院学生,河南省高考文科状元): 数学是我最讨厌,也是最头疼的科目之一。不过,它对于文科生又至关重要,成为衡量优秀学生与一般学生的最重要的尺度。我高一高二时,数学基础不好,时常不及格,因此心里对它实在是有些害怕。高三数学复习要经过三轮,第一轮先将各知识点重讲一遍,第二轮将各个知识点串联起来,比较有系统性,第三轮则是做综合试题。每一轮都离不了大量的题目,如若题题都做,实在精力不逮,况且其他几科的复习又都如箭在弦上,不得不发,因此事实上我做的题目连20%也没有。我更注重于对各个知识点的理解,只有理解了才会运用,这是很明显的道理,况且高考试题又都不是很难,花费大量时间去钻所谓难题以提高能力实在不值得去效仿。做数学题比做其他题更注重技巧,比如数学中的解答题,参考答案标明了每一步骤各有多少分,少一个步骤就要丢掉多少多少分,实在很可惜。我做题就是步骤尽可能的繁复,以期别人抓不到破 绽。我觉得这个方法还蛮有用。再有就是碰到过难的题,也要尽量多写;实在写不下去,只好胡猜一个结果,以图侥幸。至于有些选择题、填空题技巧,一般老师都多有秘诀,我在这儿就不多说了。 胡湛智(北京大学生命科学学院学生,贵州省高考理科状元): 数学是理科的支柱,数学基础不好往往影响到理化成绩的提高,因此必须给予足够的重视。高中的数学可以分为几个大的“板块”:一是函数板块,二是三角板块,三是立体几何板块,四是解析几何板块,五是数列极限板块,六是排列组合板块,七是复数板块。其中第一、二、四板块是尤其重要的,比较难的大题大多出自这三块,因此可以多花一些力气。复习时可以先按照大的板块复习,争取搞清每一个板块的各种题型,并做到能熟练地对付每种题型。这可以找一本系统复习的参考书来练习,最好是能跟上老师复习的进度并稍超前些,复习起来就比较轻松了。虽然大家都不提倡“题海战术”,我也不主张,那太费精力,但这并不意味着不做足够数量的习题就能把数学学好,这一点必须引起注意。买的参考书和老师布置的习题一定要尽自己的力量做,空着不做会留下遗憾的空白。关于做题难度的选择问题,我有一点自己的看法。首先,高考题的难度分布为30%的简单题,50%的中等题,20%的难题。这意味着基础题占了120分,它是复习中练题的主要部分,决不能厌烦它。要知道,高考不仅考你对知识的掌握程度,还要考做题的速度,许多同学就是在高考时因时间不够,丢掉了平时能做出来的中等难题才考砸的,这些教训值得大家三思。 鉴于此,我建议大家在中等以下难度的题上多花时间。做难题并非做得越多越好,只能根据自己的情况适量地做:这一是因为对大多数同学来说做难题感到很头疼,容易 产生厌烦情绪;二是做难题过多太费时间;三是因为大多数难题是由中等难度题组成的,基础题做熟练了,再来做难题会相对容易些。我的数学老师说过一句话:“越是表面复杂的题越有机可乘”。这句话非常有道理,而高考的难题绝大部分就属于这种表面复杂的类型,它往往给出较多的条件,仔细分析条件的特点通常都能击破它。做难题的关键在于平时总结,自己总结一些小经验、小结论并记牢是非常有用的,能力也提高得快,有余力的同学不妨试试。 另外,还要特别重视画图的作用。数学中几乎所有的内容都可以用图形给予直观简明的表示,因而常使繁琐的题目简单化;特别地,通过图形发现的一些几何关系有时正是解题的关键,因此要掌握各种函数图象的特点,达到熟练的程度。 邓芳(北京大学法律系学生,江西省高考文科状元): 数学相对文科生来说则属于偏理的科目,因此也是很多文科生的弱项。所以,学好数学在激烈的高考竞争中是占有极大优势的。我觉得,学数学首先要掌握基本的公式、原理,其次就要懂得灵活运用。第一步背公式,稍花点功夫大家都能做到,而要学会灵活运用公式、原理解题则需要一定的训练。我的意思不是搞“题海”战术,题目是永远都做不完的。我认为,除了老师布置的作业和学校发的卷子,只要适当精选一两本课外参考书就够了。有些人买一大堆参考书,结果手忙脚乱做不过来,到处象征性地“蜻蜒点水”一下,最终还是一无所获。与其这样,还不如集中精力吃透一本参考书的效果好。学习数学,思考总结非常重要。很多人做题象完成任务似的,做完就不 管了。还有的人一旦做出一道难题就欣喜异常、大受鼓舞;想乘胜追击解出下一道难题,因而又把做出的那道题扔在了一边。这两种做法是十分不可取的。我们每做一道题都要注意思考总结,做完之后回想一下自己的解题思路,从中总结出这一类型题目的一般解法,尤其是做完了难题,更应从中掌握这种题的特殊技巧。对于错题和没做出来的题,则要搞懂答案的解题思路,并和自己的思维方法作对比,看看问题出在哪一环。只有这样,做过的题才算真正消化吸收,变成了你自己的东西,否则下次碰到同类的题又束手无策,那就白练习了。 所以,学数学主要就在背熟公式、原理的基础上,通过典型的例题的训练,从中掌握一些题型的基本解法和某些特殊技巧,以不变应万变。另外,在练习过程中要重视基础题,不能光想攻克难题,钻牛角尖。因为试卷上的难题毕竟不多,大多数还是容易题和中等题,而且有些难题也只是在基础题上稍作变化而已。 2007年高考数学试题分析—高中文科数学复习资料 摘要:二、复习方法建议(一)总要求1. 指导思想准确标高,夯实基础;强化过手,狠抓落实;突出思想,发展思维;分层推进,全面提高。2. 总体策略(1)找准目标,分层推进的策略普通高中有各种各样的层次,各自... 二、复习方法建议 (一)总要求 1. 指导思想 准确标高,夯实基础;强化过手,狠抓落实;突出思想,发展思维;分层推进,全面提高。 2. 总体策略 (1)找准目标,分层推进的策略 普通高中有各种各样的层次,各自的目标,从而复习的起点、难度控制、方法与策略都应有所不同。 (2)坚持扎实基础,提高能力并举的策略 数学试题区分度的增加是必然的,但考查基础的趋势是不会变的,主要是适当增加创新成分,同时罩保留一定的基础分。 因此,基础题仍然是试题的主要构成,是学生得分的主要来源。 ①扎实基础是各个阶段复习的最重要策略 第一阶段复习要注意检查公式记忆是否落实;对教材中的基本概念、性质、限制条件、图形等基础知识等也不能只布置,还要有检查。 第一阶段复习不能留下盲点,尤其要重视对教材中的阅读材料、想一想、实习作业、补充例、习题和研究性课题等的复习。 ②坚持以中低档题为主的训练策略 第一轮复习的要点一是要对准110分,加强低、中档题的训练,尤其是对选择题和填空题的训练;二是在“三基”的训练中,力求过手。 ③条件好的中学要适当注意训练材料的实践性、开放性、探究性的策略 学习方法 生源条件较好的学校还应注意探究性、应用性问题的训练。 (3)坚持提高复习课课堂效益的策略 3. 树立两个意识 (1)“平台”意识 即是关注学生已有的知识和经验。 (2)“抓分”意识 即各个复习阶段怎样让学生得分的目标要拒体、要落实。 4. 做到三个回归 数学总复习一般要经历三个阶段: (1)系统复习阶段; (2)专题复习阶段; (3)综合训练(适应性训练)阶段。 在每个阶段都要做到三个回归,即“回归教材,回归基础,回归近几年的高考题”。(二)拒体要求 (Ⅰ)明确复习的作用 1.深化对“三基”的理解、掌握和运用 高考试题改革的重点是:从“知识立意”向“能力立意”转变。考试大岗提出的数学学科能力要求是:能力是指思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新 意识。 摘要: 新课标提出的数学学科的能力为:数学地提出问题、分析问题和解决问题的能力,数学探究能力,数学建模能力,数学交流能力,数学实践能力,数学思维能力。学习方法 2. 形成有效的知识网络知识网络:就是知识之...