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高考数学立体几何大题30题

高考数学立体几何大

题30题

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

立体几何大题

1．如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4cm ，CD 是斜边上的高沿CD 把△ABC 折成直二面角．

（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A ，B 的位置，使二面角A －CD －B 是直二面角？证明你的结论．

（2）试在平面ABC 上确定一个P ，使DP 与平面ABC 内任意一条直线都垂直，证明你的结论．

（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值．

解：（1）用直尺度量折后的AB 长，若AB ＝4cm ，则二面角A －CD －B 为直二面角．

∵ △ABC 是等腰直角三角形，

(),cm 22DB AD ==∴

又∵ AD ⊥DC ，BD ⊥DC ．

∴ ∠ADC 是二面角A －CD －B 的平面角．

有时当,cm 4AB ,22DB AD ===

.90ADB .AB DB AD 222?=∠∴=+

（2）取△ABC 的中心P ，连DP ，则DP 满足条件 ∵ △ABC 为正三角形，且 AD ＝BD ＝CD ．

∴ 三棱锥D －ABC 是正三棱锥，由P 为△ABC 的中心，知DP ⊥平面ABC ， ∴ DP 与平面内任意一条直线都垂直．

（3）当小球半径最大时，此小球与三棱锥的4个面都相切，设小球球心为0，半径为r ，连结OA ，OB ，OC ，OD ，三棱锥被分为4个小三棱锥，且每个小三棱锥中有一个面上的高都为r ，故有ABC O ABD O ADC O BCD O BCD A V V V V V -----+++=代入得3

23r -=，即半径最大的小球半径为

23-．

A B C 第1题图 A

B C

D 第1题图

2．如图，已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A 1B ，过A 作AF ⊥A 1B 垂足为F ，且AF 的延长线交B 1B 于E 。

（Ⅰ）求证：D 1B ⊥平面AEC ；（Ⅱ）求三棱锥B —AEC 的体积；（Ⅲ）求二面角B —AE —C 的大小. 证（Ⅰ）∵ABCD —A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，

∴D 1D ⊥ABCD .

连AC ，又底面ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD ，

由三垂线定理知 D 1B ⊥AC . 同理，D 1B ⊥AE ，AE ∩AC = A ， ∴D 1B ⊥平面AEC .

解（Ⅱ）V B －AEC = V E －ABC . ∵EB ⊥平面ABC ，

∴EB 的长为E 点到平面ABC 的距离. ∵Rt △ABE ~ Rt △A 1AB ，

∴EB =.4

12 A A AB

∴V B －AEC = V E －ABC =31

S △ABC ·EB

=31×21×3×3×49

=.827

（10分）

解（Ⅲ）连CF ，

∵CB ⊥平面A 1B 1BA ，又BF ⊥AE ，

由三垂线定理知，CF ⊥AE .

于是，∠BFC 为二面角B —AE —C 的平面角，

在Rt △ABE 中，BF =

=?AE BE BA ，在Rt △CBF 中，tg ∠BFC =35

， ∴∠BFC = arctg 35

即二面角B —AE —C 的大小为arctg 35

3．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为1，点 M 在BC 上，△AMC 1是以M 为直角顶点的等腰直角三角形.

（I ）求证：点M 为BC 的中点；（Ⅱ）求点B 到平面AMC 1的距离；

（Ⅲ）求二面角M —AC 1—B 的正切值.

答案：（I ）证明：∵△AMC 1是以点M 为直角顶点的等腰直角三角形， ∴AM ⊥MC 1且AM=MC 1 ∵在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，

有CC 1⊥底面ABC.

A 1

B 1

C 1

第3题

∴C 1M 在底面内的射影为CM ，由三垂线逆定理，得AM ⊥CM. ∵底面ABC 是边长为1的正三角形，

∴点M 为BC 中点. （II ）解法（一）

过点B 作BH ⊥C 1M 交其延长线于H. 由（I ）知AM ⊥C 1M ，AM ⊥CB ， ∴AM ⊥平面C 1CBB 1.

∴AM ⊥BH. ∴BH ⊥平面AMC 1. ∴BH 为点B 到平面AMC 1的距离. ∵△BHM ∽△C 1CM. AM=C 1M=

,23 在Rt △CC 1M 中，可求出CC 1.2

2 .66

2211=?=?=∴

BH BH M C BM CC BH 解法（二）

设点B 到平面AMC 1的距离为h. 则11BMC A AMC B V V --=

由（I ）知 AM ⊥C 1M ，AM ⊥CB ， ∴AM ⊥平面C 1CBB 1

∵AB=1，BM=.2

,23,2111==

=CC MC AM 可求出 AM S h S MB C AMC ?=???113

232221213123232131????=???h 6

h （III ）过点B 作BI ⊥AC 1于I ，连结HI.

∵BH ⊥平面C 1AM ，HI 为BI 在平面C 1AM 内的射影. ∴HI ⊥AC 1，∠BIH 为二面角M —AC 1—B 的平面角. 在Rt △BHM 中，

1,66==

BM BH ∵△AMC 1为等腰直角三角形，∠AC 1M=45°. ∴△C 1IH 也是等腰直角三角形. 由C 1M=

.33

2,63,23122==-=H C BH BM HM 有 ∴.3

HI .2

∠∴HI BH BIH tg 4．如图，已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，三角形ACD 是正三角形，且AD=DE=2，AB=1，F 是CD 的中点．

（Ⅰ）求证：AF ∥平面BCE ；（Ⅱ）求多面体ABCDE 的体积；（Ⅲ）求二面角C-BE-D 的正切值．

证：（Ⅰ）取CE 中点M ，连结FM ，BM ，则

有AB DE FM //21

//．

∴四边形AFMB 是平行四边形． ∴AF//BM ，

∵?BM 平面BCE ， ?AF 平面BCE ，

∴AF//平面BCE ．

（Ⅱ）由于DE ⊥平面ACD ，则DE ⊥AF ．

又△ACD 是等边三角形，则

AF ⊥CD ．而CD∩DE=D ，因此AF ⊥平面CDE ．

又BM//AF ，则BM ⊥平面CDE ．

BM AB V V V CDE B ACD B ABCDE ????+??=

+=--222

131243312322

3233=??+=

．（Ⅲ）设G 为AD 中点，连结CG ，则CG ⊥AD ．由DE ⊥平面ACD ，?CG 平面ACD ，则DE ⊥CG ，又AD∩DE=D ， ∴CG ⊥平面ADEB ．

作GH ⊥BE 于H ，连结CH ，则CH ⊥BE ． ∴∠CHG 为二面角C-BE-D 的平面角．

由已知AB=1，DE=AD=2，则3=CG ，

∴2

122111212)21(21=??-??-?+=?GBE S ．

不难算出5=BE ．

∴23

521=??=?GH S GBE ，∴53=GH ．

∴3

==∠GH CG CHG tg ． 5．已知：ABCD 是矩形，设PA=a ，PA ⊥平面ABCD.M 、N 分别是AB 、PC 的中点.

（Ⅰ）求证：MN ⊥AB ；

（Ⅱ）若PD=AB ，且平面MND ⊥平面PCD ，求二面角P —CD —A 的大小；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求三棱锥D —AMN 的体积. （Ⅰ）连结AC ，AN. 由BC ⊥AB ，AB 是PB 在

底面ABCD 上的射影. 则有BC ⊥PB. 又BN 是Rt △PBC 斜边PC 的中线，

即PC BN 2

. 由PA ⊥底面ABCD ，有PA ⊥AC ，

则AN 是Rt △PAC 斜边PC 的中线，

即PC AN 2

BN AN =∴ 又∵M 是AB 的中点，

AB MN ⊥∴

（也可由三垂线定理证明）

（Ⅱ）由PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥DC ，有PD ⊥DC.

则∠PDA 为平面PCD 与平面ABCD 所成二面角的平面角

由PA=a ，设AD=BC=b ，CD=AB=c ，又由AB=PD=DC ，N 是PC 中点，

则有DN ⊥PC

又∵平面MND ⊥平面PCD 于ND ， ∴PC ⊥平面MND ∴PC ⊥MN ，而N 是PC 中点，则必有PM=MC.

b a

c b c a =∴+=+∴.41412222 此时4

,1π=∠=∠PDA PDA tg .

即二面角P —CD —A 的大小为4

（Ⅲ）AMD N AMN D V V --=，连结BD 交AC 于O ，连结NO ，则NO 21

PA. 且NO ⊥平面AMD ，由PA=a

231a NO S V AMD AMD N =?=

∴?-. 6．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 、M 、N 分别为棱DD 1、AB 、BC 的中点。（I ）求二面角B 1—MN —B 的正切值；

∥ ＝ A

B C

D P A 1

B 1

C 1

D 1

M N

（II ）证明：PB ⊥平面MNB 1；

（III ）画出一个正方体表面展开图，使其满足 “有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，并求出展开图中P 、B 两点间的距离。

解：（I ）连接BD 交MN 于F ，则BF ⊥MN ，连接B 1F

∵B 1B ⊥平面ABCD ∴B 1F ⊥MN 2分

则∠B 1FB 为二面角B 1—MN —B 的平面角在Rt △B 1FB 中，设B 1B=1，则FB =24

∴tg B FB ∠122= 4分

（II ）过点P 作PE ⊥AA 1，则PE ∥DA ，连接BE 又DA ⊥平面ABB 1A 1，∴PE ⊥平面ABB 1A 1 又BE ⊥B 1M ∴PB ⊥MB 1

又MN ∥AC ，BD ⊥AC ，∴BD ⊥MN 又PD ⊥平面ABCD

∴PB ⊥MN ，所以PB ⊥平面MNB 1 11分（III ）PB =

，符合条件的正方体表面展开图可以是以下6种之一：

7．如图，四棱锥P—ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，点M、N分别在棱PD、PC上，且PC⊥平面AMN.

（Ⅰ）求证：AM⊥PD；

（Ⅱ）求二面角P—AM—N的大小；

（Ⅲ）求直线CD与平面AMN所成角的大小.

（I）证明：∵ABCD是正方形，∴CD⊥AD，

∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD.

∴CD⊥平面PAD

∵AM 平面PAD，∴CD⊥AM.

∵PC⊥平面AMN，∴PC⊥AM.

∴AM⊥平面PCD.

∴AM⊥PD

（II）解：∵AM⊥平面PCD（已证）.

∴AM⊥PM，AM⊥NM.

∴∠PMN为二面角P-AM-N的平面角

∵PN⊥平面AMN，∴PN⊥NM.

在直角△PCD中，CD=2，PD=22，∴PC=23.

∵PA=AD ，AM ⊥PD ，∴M 为PD 的中点，

PM=2

PD=2

由Rt △PMN ∽Rt △PCD ，得 ∴PC

PM CD MN ?=.

arccos .33322)cos(=∠∴====

∠∴PMN PC CD PM MN PMN 即二面角P —AM —N 的大小为3

3arccos .

（III ）解：延长NM ，CD 交于点E.

∵PC ⊥平面AMN ，∴NE 为CE 在平面AMN 内的射影 ∴∠CEN 为CD （即（CE ）与平在AMN 所成的角 ∵CD ⊥PD ，EN ⊥PN ，∴∠CEN=∠MPN. 在Rt △PMN 中，

arcsin )2,0(.3

)sin(=∠∴∈∠==

∠MPN MPN PM MN MPN π

∴CD 与平面AMN 所成的角的大小为3

arcsin

8．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB=90°. BC=CC 1=a ，AC=2a . （I ）求证：AB 1⊥BC 1；

（II ）求二面角B —AB 1—C 的大小；（III ）求点A 1到平面AB 1C 的距离. （1）证明：∵ABC —A 1B 1C 1是直三棱柱，

∴CC 1⊥平面ABC ， ∴AC ⊥CC 1. ∵AC ⊥BC ， ∴AC ⊥平面B 1BCC 1. ∴B 1C 是AB 1在平面B 1BCC 1上的射影. ∵BC=CC 1， ∴四边形B 1BCC 1是正方形，

∴BC 1⊥B 1C. 根据三垂线定理得， AB 1⊥BC 1

（2）解：设BC 1∩B 1C=O ，作OP ⊥AB 1于点P ，连结BP.∵BO ⊥AC ，且BO ⊥B 1 C ， ∴BO ⊥平面AB 1C.

∴OP 是BP 在平面AB 1C 上的射影. 根据三垂线定理得，AB 1⊥BP.

∴∠OPB 是二面角B —AB 1—C 的平面角 ∵△OPB 1~△ACB 1， ∴,

11AB OB AC

∴.3

311a AB AC OB OP =?= 在Rt △POB 中，2

=∠OP

OPB tg ，

∴二面角B —AB 1—C 的大小为.2

6arctg

（3）解：[解法1] ∵A 1C 1//AC ，A 1C 1?平面AB 1C ，∴A 1C 1//平面AB 1C. ∴点A 1到平面AB 1C 的距离与点C 1到平面AB 1C.的距离相等.∵BC 1⊥平面AB 1C ，

∴线段C 1O 的长度为点A 1到平面AB 1C 的距离.

∴点A 1到平面AB 1C 的距离为.2

21a O C =

[解法2]连结A 1C ，有C AA B C AB A V V 1111--=，设点A 1到平面AB 1C 的距离为h. ∵B 1C 1⊥平面ACC 1A 1， ∴111

C B S h S AC A ACB ?=???，

又21212

1,22

a A A AC S a C B AC S AC A ACB =?==?=??，

∴.2

222

2a a a a h =

∴点A 1到平面AB 1C 的距离为.

22a

9．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB =BC =2，BB 1=3，连接BC 1，过B 1作B 1E ⊥BC 1交CC 1于点E (Ⅰ)求证：AC 1⊥平面B 1D 1E ； (Ⅱ)求三棱锥C 1－B 1D 1E 1的体积； (Ⅲ)求二面角E －B 1D 1－C 1的平面角大小

(1)证明：连接A 1C 1交B 1D 1于点O ∵ABCD －A 1B 1C 1D 1是长方体

∴AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，A 1C 1是AC 1在平面A 1B 1C 1D 1上的射影

∵AB =BC ，∴A 1C 1⊥B 1D 1，根据三垂线定理得：AC 1⊥B 1D 1； ∵AB ⊥平面BCC 1B 1，且BC 1⊥B 1E ， ∴AC 1⊥B 1E ∵B 1D 1∩B 1E =B 1，

∴AC 1⊥平面B 1D 1E 1

(2)解：在RT △BB 1C 1中，111113

tg 2

B B B

C B B C ∠=

= 在RT △EC 1B 1中，C 1E =B 1C 1·tg ∠C 1B 1E =B 1C 1·ctg ∠BC 1B 1=22

433

=， ∴V C 1－B 1D 1E = V D 1－B 1C 1E =11

11111111118()3329

B C E S C D B C C E C D ?=???=

(3)解：连接OE ，∵△B 1C 1E 1 ≌△D 1C 1E 1 ， ∴B 1E =D 1E

∵O 是B 1D 1中点， ∴B 1D 1⊥OE ， ∴∠C 1OE 是二面角E ―B 1D 1―C 1的平面角在RT △OC 1E 中，∵111

tg C E C OE OC ∠=

所以，二面角E ―B 1D 1―C 1的平面角为22

arctg

， 10．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，E 为DC 的中点，沿AE 将△AED 折起，使二面角D －AE －B 为60 ．

（Ⅰ）求DE 与平面AC 所成角的大小；（Ⅱ）求二面角D －EC －B 的大小．

答案：如图1，过点D 作DM ⊥AE 于M ，延长DM 与BC 交于N ，在翻折过程中DM ⊥AE ，MN ⊥AE 保持不变，翻折后，如图2，∠DMN 为二面角D －AE －B 的平面角，∠DMN ＝60 ，AE ⊥平面DMN ，又因为AE ?平面AC ，则AC ⊥平面DMN ．

（Ⅰ）在平面DMN 内，作DO ⊥MN 于O ， ∵平面AC ⊥平面DMN ， ∴DO ⊥平面AC ．

连结OE ，DO ⊥OE ，∠DEO 为DE 与平面AC 所成的角．如图1，在直角三角形ADE 中，AD ＝3，DE ＝2，

,1323DE AD AE 2222=+=+=

A D B

E A B C E

第10

.13

4AE DE ME ,136AE DE AD DM 2===?=

如图2，在直角三角形DOM 中，,13

3360sin DM DO =

??=在直角三角形DOE 中，

13233DE DO DEO sin ==

∠，则.26

393arcsin DEO =∠ ∴DE 与平面AC 所成的角为.26

3arcsin

（Ⅱ）如图2，在平面AC 内，作OF ⊥EC 于F ，连结DF ，

∵DO ⊥平面AC ，∴DF ⊥EC ，∴∠DFO 为二面角D －EC －B 的平面角．

如图1，作OF ⊥DC 于F ，则Rt △EMD ∽Rt △OFD ，,DE

DO OF =

∴.DE

DO OF ?=

如图2，在Rt △DOM 中，OM ＝DMcos ∠DMO ＝DM·cos60 ＝13

．

如图1，.1318

OF ,13

9MO DM DO ==+=

在Rt △DFO 中，,2

13OF DO DFO tg ==

∠ ∴二面角D －EC －B 的大小为2

arctg ．

11．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝CB ＝AA 1＝2，∠ACB ＝90°，E 是BB 1的中点，

D ∈AB ，∠A 1D

E ＝90°.

（Ⅰ）求证：CD ⊥平面ABB 1A 1；（Ⅱ）求二面角D －A 1C －A 的大小.

分

平面，平面平面，平面，平面知，平面－由直三棱柱，分

的中点是），，（，即，有①、②由②

，又①，）（，∥）

，，（，

），，（）

，，（），，（则分

，），，（，可设，），，（，），，（又），，（，）

，，（则坐标系如图，为原点，建立空间直角以2.

.0111.

10902022202202221220020002.1202021111111111111????????⊥∴=??⊥⊥∴=?????????∴===∴=?∴?=∠=+∴=+-∴-=-=∴--=--=????????∈→

-→--→

-→

-→-→--→

-A ABB CD AB A ABB ABC ABC CD A ABB ABC C B A ABC AB CD CB AC AB D D n m mn ED D A DE A n m n m AB AD AB n m AD n m D A n m ED n m D AB D B A E A C

（Ⅱ）解：

分

的大小为－－二面角＞，＜分

），，（的法向量，故可取平面平面显然），，（可取，可得令，即，且则有，），，（的法向量为设平面），，（，），，（3.3

3arccos

.331

31|

|||cos 4.010.

111.

11.

022000.20201112121212111111111?????????∴=

?∴?????????=⊥-=∴==-==+∴??

?=+=+=?=?===→

→

→-→

→

-→

→

--→-A C A D n n n

n n n n CA A CA A CB n z y x z x z x y x CA n CD n z y x n C DA CA CD

12．如图，已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，AC=BC=a ，点A 1在底面ABC 上的射影

恰为AC 的中点D ，BA 1⊥AC 1。（I ）求证：BC ⊥平面A 1ACC 1；（II ）求点A 1到AB 的距离

（III ）求二面角B —AA 1—C 的正切值

解：

答案：如图，已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，AC=BC=a ，点A 1在底面ABC 上的射影

恰为AC 的中点D ，BA 1⊥AC 1。

（I ）求证：BC ⊥平面A 1ACC 1；（II ）求点A 1到AB 的距离

（III ）求二面角B —AA 1—C 的正切值解：（1）由题意，A 1D ⊥平面ABC ，∴A 1D ⊥BC 。

A B

B 1

C 1

D C

又AC ⊥BC ，∴BC ⊥平面A 1ACC 1

（II ）过D 作DH ⊥AB 于H ，又A 1D ⊥平面ABC ，∴AB ⊥A 1H ∴A 1H 是H 1到AB 的距离

∵BA 1⊥AC 1，BC ⊥平面A 1ACC 1，由三垂线定理逆定理，得A 1C ⊥AC 1 ∴ A 1ACC 1是菱形 ∴A 1A=AC=a, A 1D=

a 2

3. 13．如图，正三棱柱AC 1中，AB=2，D 是AB 的中点，E 是A 1C 1的中点，F 是B 1B 中点，异面直线CF 与DE 所成的角为90°. （1）求此三棱柱的高；

（2）求二面角C —AF —B 的大小.

解：（1）取BC 、C 1C 的中点分别为H 、N ，连结HC 1，

连结FN ，交HC 1于点K ，则点K 为HC 1的中点，因 FN//HC ，则△HMC ∽△FMK ，因H 为BC 中点

BC=AB=2，则KN=2

3,21=FK ，∴,3

1===MK

HM FK

则HM=15

1HC ，在Rt △HCC 1，HC 2=HM·HC 1，

解得HC 1=5，C 1C=2.

另解：取AC 中点O ，以OB 为x 轴，OC 为y 轴，按右手系建立空间坐标系，设棱柱高为h ，则C （0，1，0），F （2

,0,3h ），D （

0,2

1,23-），E （0，0，h ），∴),2

1,23(),2

,1,3(h CE h CF -=-=，由CF ⊥DE ，得

21232

=+--

=?h

DE CF ，解得h=2.

（2）连CD ，易得CD ⊥面AA 1B 1B ，作DG ⊥AF ，连CG ，

由三垂线定理得CG ⊥AF ，所以∠CGD 是二面角C —AF —B

的平面角，又在Rt △AFB 中，AD=1，BF=1，AF=5，从而DG=,5

5∴tan ∠CGD=15=DG

DC ，

故二面角C —AF —B 大小为arctan 15.

14.已知ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=a ，2AD a =，M 、N 分别是AD 、PB 的中点。

（Ⅰ）求证：平面MNC ⊥平面PBC ；（Ⅱ）求点A 到平面MNC 的距离。解：（I ）连PM 、MB ∵PD ⊥平面ABCD

∴PD ⊥MD…1分

222222222

323a AM AB BM a MD PD PM =+==

+=∴又 ∴PM=BM 又PN=NB ∴MN ⊥PB………3分

,22,BC a PC a BC a DC PD ==∴===

得NC ⊥PB ∴PB ⊥平面MNC……5分 ?PB 平面PBC ∴平面MNC ⊥平面PBC……6分

（II ）取BC 中点E ，连AE ，则AE//MC ∴AE//平面MNC ， A 点与E 点到平面MNC 的距离相等…7分

取NC 中点F ，连EF ，则EF 平行且等于2

∵BN ⊥平面MNC ∴EF ⊥平面MNC ，EF 长为E 点到平面MNC 的距离……9分 ∵PD ⊥平面ABCD ， BC ⊥DC ∴BC ⊥PC.

1,222a

PB BN EF a PC BC PB ====+=∴

即点A 到平面MNC 的距离为2

……12分

15．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长的3，侧棱AA 1=

3D 是CB 延长线上一点，且BD=BC. （Ⅰ）求证：直线BC 1//平面AB 1D ；（Ⅱ）求二面角B 1—AD —B 的大小；（Ⅲ）求三棱锥C 1—ABB 1的体积. （Ⅰ）证明：CD//C 1B 1，又BD=BC=B 1C 1， ∴ 四边形BDB 1C 1是平行四边形， ∴BC 1//DB 1. 又DB 1?平面AB 1D ，BC 1?平面AB 1D ， ∴直线BC 1//平面AB 1D.

（Ⅱ）解：过B 作BE ⊥AD 于E ，连结EB 1， ∵B 1B ⊥平面ABD ，∴B 1E ⊥AD ，

∴∠B 1EB 是二面角B 1—AD —B 的平面角， ∵BD=BC=AB ，

∴E 是AD 的中点， .2

1==AC BE

在Rt △B 1BE 中，

.32

2311===∠BE

B B BE B tg ∴∠B 1EB=60°

。即二面角B 1—AD —B 的大小为60° （Ⅲ）解法一：过A 作AF ⊥BC 于F ，∵B 1B ⊥平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，

∴AF ⊥平面BB 1C 1C ，且AF=∴=?,323323 AF S V V C B B C BB A ABB C ?==?--1

111

1 .

27233)3233

1(31=?

??=即三棱锥C 1—ABB 1的体积为.8

解法二：在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，

111111111

C B A A B AA C ABB C B AA ABB V V V S S ---??==∴=

27233)3434(313

1211

11=???=?=?AA S C

B A 即三棱锥

C 1—ABB 1的体积为.8

16．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，BC=BB 1=1，D 为BC 上一点，

且满足AD ⊥C 1D.

（I ）求证：截面ADC 1⊥侧面BC 1；（II ）求二面角C —AC 1—D 的正弦值；（III ）求直线A 1B 与截面ADC 1距离.

（I ）由题知：1111111BC ADC ADC AD BC AD AD D C AD C C ABC AD ABC C C 面面平面底面底面⊥??

?⊥????⊥⊥?

???⊥

立体几何练习题及答案

… 数学立体几何练习题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．如图，在正方体－A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为 A 1 B 和上的点，A 1M ＝＝，则与平面1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定 2．将正方形沿对角线折起，使平面⊥平面，E 是中点，则AED ∠的大小为（） A.45 B.30 C.60 D.90 ] 3．，，是从P 引出的三条射线，每两条的夹角都是60o，则直线与平面所成的角的余弦值为（） A ．12 B 。 3 C 。 3 D 。 6 4．正方体—A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是1与1的中点，则直线与D 1F 所成角的余弦值是 A ．15 B 。13 C 。12 D 。 3 5．在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面的中心，E 、 F 分别是1CC 、的中点，那么异面直线和1FD 所成的角的余弦值等于（） A ． 5 10 B ．32 C ． 5 5 D ． 5 15

6．在正三棱柱1B 1C 1中，若2，A A 1=1，则点A 到平面A 1的距离为（） A ． 4 3 B ． 2 3 C ． 4 33 D ．3 ： 7．在正三棱柱1B 1C 1中，若1,则1与C 1B 所成的角的大小为（） o B. 90o o D. 75o 8．设E ，F 是正方体1的棱和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A 1成60°角的对角线的数目是（） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.在正方体－A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱1和1的中点，则〈CM ，1D N 〉的值为. 10．如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点， A 、B 、M 是顶点，那么点M 到截面的距离是 . 11．正四棱锥的所有棱长都相等，E 为中点，则直线与截面所成的角为． 12．已知正三棱柱1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线与平面B 1所成角的正弦值为 . ： 13．已知边长为的正三角形中，E 、F 分别为和的中点，⊥面，且2，设平面α过且与平行，则与平面α间的距离 A B | D C

立体几何高考真题大题

立体几何高考真题大题 1．（2016 高考新课标 1 卷）如图 , 在以 A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中, 面 ABEF为正方形 ,AF=2FD,AFD 90 ,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是 60 ． D C F （Ⅰ）证明：平面ABEF平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 2 19 19 【解析】试题分析：（Ⅰ）先证明 F平面FDC ,结合F平面 F ,可得平面F 平面 FDC ．（Ⅱ）建立空间坐标系, 分别求出平面C的法向量 m 及平面 C 的法向量 n ,再利用 cos n, m n m 求二面角．n m 试题解析：（Ⅰ）由已知可得F DF, F F, 所以F平面 FDC ．又F平面F,故平面 F 平面FDC ．（Ⅱ）过 D 作DG F ,垂足为 G ,由（Ⅰ）知 DG平面 F ．以 G 为坐标原点,GF 的方向为 x 轴正方向, GF 为单位长度, 建立如图所示的空间直角坐标系 G xyz ．由（Ⅰ）知DF为二面角D F的平面角,故DF60,则DF 2, DG3,可得1,4,0 ,3,4,0,3,0,0, D0,0, 3 ．由已知 ,// F,所以//平面FDC ．又平面CD平面FDC DC,故//CD , CD// F ．由//F,可得平面FDC ,所以 C F为二面角 C F 的平面角, C F60 ．从而可得C2,0,3．

设 n x, y, z 是平面C的法向量,则 n C 0, 即x 3z 0, n0 4 y0 所以可取 n3,0, 3 ．设 m 是平面 m C0 CD 的法向量,则, m0 同理可取 m0, 3, 4 ．则 cos n, m n m 2 19． n m19 故二面角C 219的余弦值为． 19 考点：垂直问题的证明及空间向量的应用【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明, 空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系, 其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理, 要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面, 该类题目难度不大 , 以中档题为主．第二问一般考查角度问题, 多用空间向量解决． 2 ．（ 2016 高考新课标 2 理数）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD交于点 O ， AB 5,AC 6，点 E, F 分别在 AD,CD 上， AE CF 5 ，EF交BD于点H．将4 DEF 沿 EF 折到 D EF 位置，OD10．（Ⅰ）证明： D H平面 ABCD ；（Ⅱ）求二面角 B D A C 的正弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）295 ．25

立体几何经典大题(各个类型的典型题目)

1．如图，已知△ABC 是正三角形，EA ，CD 都垂直于平面ABC ，且EA ＝AB ＝2a ，DC ＝a ，F 是BE 的中点．（1）FD ∥平面ABC ；（2）AF ⊥平面EDB ． 2．已知线段PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点。（1）求证：MN //平面PAD ；（2）当∠PDA ＝45°时，求证：MN ⊥平面PCD ； F C B A E D

A B C D E F 3．如图，在四面体ABCD 中，CB=CD,BD AD ⊥，点E ，F 分别是AB,BD 的中点．求证：（1）直线EF// 面ACD ；（2）平面⊥EFC 面BCD ． 4．在斜三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，底面是等腰三角形，AB =AC ，侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC （1）若D 是BC 的中点，求证AD ⊥CC 1；（2）过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ，若AM =MA 1，求证截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ；（3）AM =MA 1是截面MBC 1⊥平面BB 1C 1C 的充要条件吗？请你叙述判断理由 ] 立体几何大题训练(3) C 1

5. 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、G 分别是A 1A ，D 1C ，AD 的中点．求证：（1）MN//平面ABCD ；（2）MN ⊥平面B 1BG ． 6.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点．（1）求证：EF ∥平面CB 1D 1；（2）求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．立体几何大题训练(4) 7、如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB=4，BC=CD=2，AA 1=2，_ G _ M _ D _1 _ C _1 _ B _1 _ A _1 _ N _ D _ C _ B _ A B A 1 F

近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总

高考真题集锦（立体几何部分） 1.(2016.理1）如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（） A 20π B24π C28π D.32π 2. βα，是两个平面，m,n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n,m ⊥α，n ∥β，那么βα⊥；（2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n. （3）如果αβα?m ，∥那么m ∥β。（4）如果m ∥n,βα∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。其中正确的命题有___________ 3.（2016年理1）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是π328，则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α//平面11D CB ，?α平面ABCD =m ， ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为（） A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.（2016年理1）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD ，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .（12分）（Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ；（Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值.

6. (2015年理1）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积是16+20π，则r=（） A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点，BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明：平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截取部分体积和剩余部分体积的比值为（） 9.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E ，F 分别在1111C D B A ，上，411==F D E A ，过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=45 ，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置，OD ’=10 （1）证明：D ’H ⊥平面ABCD （2）求二面角B-D ’A-C 的正弦值

立体几何大二轮深刻复习的策略

立体几何的解题思路四川省成都第七中学张世永巢中俊周建波《高中数学课程标准》建议：立体几何教学应注意引导学生通过对实际模型的认识，学会将自然语言转化为图形语言和符号语言.教师可以使用具体的长方体的点、线、面关系作为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中一般的点、线、面之间的位置关系；通过对图形的观察、实验和说明，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用问题。理科学生不仅要掌握必修2《立体几何初步》，还要掌握选修2-1《空间中的向量与立体几何》.文科学生要求掌握必修2《立体几何初步》，为了更好地解答立体几何问题，建议教师补充讲授选修2-1《空间中的向量与立体几何》中的坐标法，让文科学生能熟练地使用坐标法，而对空间中的向量的其它知识不做介绍，以免加重文科学生的负担。另外，文科学生不要求掌握求二面角的问题。一.求解空间三类角：两直线所成角、直线与平面所成角、二面角，关键是转化为空间两直线所成角，常常要借助于平面的法向量.要善于一题多变. 例1．（1）已知直线b a ,所成角为o 60，经过空间中一点P 作直线l ，使直线l 与a 、b 所成角均为o 60，则这样的直线l 有几条？解：经过点P 作直线m//a, n//b, 则直线n m ,所成角为o 60或 120, 点P 作直线n m ,的两条角平分线，其中有一条与n m ,所成角均为o 60，另一条与n m ,所成角均为 30，把这条角平分线沿着点P 旋转可以得到两条直线与n m ,所成角均为o 60，从而与a 、b 所成角均为o 60的直线有三条. 问题的推广：已知直线b a ,所成角为o 60，经过空间中一点P 作直线l ，使直线l 与a 、 b 所成角均为θ，这样的直线l 有四条，则角θ应满足什么条件？有两条呢？有一条呢？有零条呢？答案：有四条时，o o 9060<<θ；有两条时，o o 6030<<θ；有一条时，o o 90,30=θ;有零条时， 300<<θ. 变式：（1）已知直线a 与平面α所成角的大小为o 60，经过空间中一点P 作直线l ，使直线l 与直线a 和平面α所成角均为o 45，则这样的直线l 有几条？（2）已知平面α与平面β所成锐二面角的大小为o 60，经过空间中一点P 作直线l ，使直线l 与平面α和平面β所成角均为o 60，则这样的直线l 有几条？ (3)正三棱锥P —ABC 中，CM=2PM ，CN=2NB ，对于以下结论： ①二面角B —PA —C 大小的取值范围是（ 3 π ，π）；

高考立体几何大题20题汇总情况

高考立体几何大题20 题汇总情况 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

(2012江西省）（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 是线段AB 上的两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AB=12，AD=5， BC=42，DE=4.现将△ADE ，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合与点G ，得到多面体CDEFG. （1）求证：平面DEG ⊥平面CFG ；（2)求多面体C DEFG 的体积。 2012，山东(19) (本小题满分12分) 如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形， ,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =； (Ⅱ)若∠120BCD =?，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 2012浙江20．（本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥1111ABCD A B C D -中，,AD BC //AD 11,2,2,4,2,AB AB AD BC AA E DD ⊥====是的中点，F 是平面11B C E 与直线1AA 的交点。（Ⅰ）证明：（i） 11;EF A D //ii （）111;BA B C EF ⊥平面（Ⅱ）求1BC 与平面11B C EF 所成的角的正弦值。 (第20题图) F E C 1 B 1 D 1A 1 A D B C

（2010四川）18、(本小题满分12分)已知正方体''''ABCD A B C D -中，点M 是棱'AA 的中点，点O 是对角线'BD 的中点，（Ⅰ）求证：OM 为异面直线'AA 与'BD 的公垂线；（Ⅱ）求二面角''M BC B --的大小； 2010辽宁文（19）（本小题满分12分）如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥ （Ⅰ）证明：平面11A B C ⊥平面11A BC ；（Ⅱ）设D 是11A C 上的点，且1//AB 平面1B CD ，求11:A D DC 的值。

高考立体几何大题经典例题.

N M P C B A <一 >常用结论 1.证明直线与直线的平行的思考途径:(1转化为判定共面二直线无交点; (2转化为二直线同与第三条直线平行; (3转化为线面平行; (4转化为线面垂直; (5转化为面面平行 . 2.证明直线与平面的平行的思考途径:(1转化为直线与平面无公共点; (2转化为线线平行; (3转化为面面平行 . 3. 证明平面与平面平行的思考途径:(1 转化为判定二平面无公共点; (2 转化为线面平行; (3转化为线面垂直 . 4.证明直线与直线的垂直的思考途径:(1转化为相交垂直; (2转化为线面垂直; (3转化为线与另一线的射影垂直; (4转化为线与形成射影的斜线垂直 . 5.证明直线与平面垂直的思考途径:(1转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2转化为该直线

与平面内相交二直线垂直; (3转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直 . 6.证明平面与平面的垂直的思考途径:(1转化为判断二面角是直二面角; (2转化为线面垂直 . 3、如图,在正方体 1111ABCD A B C D -中, E 是 1AA 的中点, 求证: 1//AC 平面BDE 。 5、已知正方体 1111ABCD A B C D -, O 是底 ABCD 对角线的交点 . 求证:(1 C1O ∥面 11AB D ; (21 AC ⊥面 11AB D . 9、如图 P 是ABC ?所在平面外一点, , PA PB CB =⊥平面 PAB , M 是 PC 的中点, N 是 AB 上的点, 3AN NB = A D 1 C B D C D D B A C 1

立体几何练习题

数学立体几何练习题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝ 2a 3 ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定 2．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面CBD ，E 是CD 中点，则AED ∠的大小为（） A.45 B.30 C.60 D.90 3．PA ，PB ，PC 是从P 引出的三条射线，每两条的夹角都是60o，则直线PC 与平面PAB 所成的角的余弦值为（） A ． 12 B C D 4．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1与CC 1的中点，则直线ED 与D 1F 所成角的余弦值是 A ． 15 B 。13 C 。 12 D 5．在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、 AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于（） A ．510 B ．3 2 C ．55 D ．515 6．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，A A 1=1，则点A 到平面A 1BC 的距离为（） A ． 4 3 B ． 2 3 C ． 4 3 3 D ．3 7．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2BB 1,则AB 1与C 1B 所成的角的大小为（） A.60o B. 90o C.105o D. 75o 8．设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面 A 1ECF 成60°角的对角线的数目是（） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则 sin 〈CM ，1D N 〉的值为_________. 10．如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点， A 、B 、M 是顶点，那么点M 到截面ABCD 的距离是 . A B M D C

立体几何高考真题大题

立体几何高考真题大题 1．（2016高考新课标1卷）如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD, 90AFD ∠=o ,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60o ．（Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ；（Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）19 - 【解析】试题分析：（Ⅰ）先证明F A ⊥平面FDC E ,结合F A ?平面F ABE ,可得平面F ABE ⊥平面FDC E ．（Ⅱ）建立空间坐标系,分别求出平面C B E 的法向量m u r 及平面C B E 的法向量 n r ,再利用cos ,n m n m n m ?=r r r r r r 求二面角．试题解析：（Ⅰ）由已知可得F DF A ⊥,F F A ⊥E ,所以F A ⊥平面FDC E ．又F A ?平面F ABE ,故平面F ABE ⊥平面FDC E ．（Ⅱ）过D 作DG F ⊥E ,垂足为G ,由（Ⅰ）知DG ⊥平面F ABE ．以G 为坐标原点,GF u u u r 的方向为x 轴正方向,GF u u u r 为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -．由（Ⅰ）知DF ∠E 为二面角D F -A -E 的平面角,故DF 60∠E =o ,则DF 2=,DG 3=,可得()1,4,0A ,()3,4,0B -,()3,0,0E - ,(D ．由已知,//F AB E ,所以//AB 平面FDC E ．又平面CD AB I 平面FDC DC E =,故//CD AB ,CD//F E ．由//F BE A ,可得BE ⊥平面FDC E ,所以C F ∠E 为二面角C F -BE -的平面角, C F 60∠E =o ．从而可得(C -．所以(C E =u u u r ,()0,4,0EB =u u u r ,(C 3,A =--u u u r ,()4,0,0AB =-u u u r ．设(),,n x y z =r 是平面C B E 的法向量,则 C 0 0n n ??E =???EB =??u u u r r u u u r r , 即040x y ?=?? =??, 所以可取(3,0,n =r ．

高考立体几何大题20题汇总

(2012XX省）（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=42，DE=4.现将△ADE ，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG. （1）求证：平面DEG⊥平面CFG；（2)求多面体CDEFG的体积。 2012，(19)(本小题满分12分) 如图，几何体EABCD是四棱锥，△ABD为正三角形， CBCD,ECBD. (Ⅰ)求证：BEDE； (Ⅱ)若∠BCD120，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面 BEC. BC 2012XX20．（本题满分15 分）如图，在侧棱锥垂直 A D 底面的四棱锥ABCDA1B1C1D1中，AD//BC,AD FE AB,AB2,AD2,BC4,AA2,E是DD的中点，F 11 是平面B C E 与直线AA1 的交点。 1 1 A1 B1 D1 ( 第20题图) C1 （Ⅰ）证明：（i ）E F//A1D1;（ii）BA1平面B1C1EF; （Ⅱ）求BC与平面B1C1EF所成的角的正弦值。 1 （2010）18、(本小题满分12分)已知正方体ABCDA'B'C'D'中，点M是棱AA' 的中点，点O是对角线BD'的中点，（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA'与BD'的公垂线；

（Ⅱ）求二面角MBC'B'的大小； 2010XX文（19）（本小题满分12分）如图，棱柱 ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1CA1B （Ⅰ）证明：平面A B C平面A1BC1； 11 （Ⅱ）设D 是A C上的点，且 11 AB1//平面BCD，求 1 A1D :DC1的值。 2012（18）(本小题满分12分) 如图，直三棱柱/// ABCABC，BAC90， ABAC2,AA′=1，点M，N分别为/ AB和// BC的中点。 (Ⅰ)证明：MN∥平面// AACC;

2020届高三一轮复习立体几何大题

P A B C D E 1如图，在直三棱柱111ABC A B C - 中，190,30,1,o o ACB BAC BC AA ∠=∠===M 是棱1CC 的中点. (1)求证：1A B AM ⊥； (2)求直线AM 与平面11AA BB 所成角的正弦值. 2图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ?为等腰直角三角形，90BAC ∠=，且 1,,AB AA E F =分别是1,CC BC 的中点（1）求证：1B F ⊥平面AEF ；（2）求锐二面角1B AE F --的余弦值. 3四棱锥P -ABCD 中，直角梯形ABCD 中，AD ⊥CD ，AB ∥CD ，∠APD =60°，PA =CD =2PD =2AB =2，且平面PDA ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点．（Ⅰ）求证：PD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求直线PD 与平面BDE 所成角的大小． F E C 1 B 1 A 1 C B A

E F A B C P D 4如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，⊥PA 平面ABCD ，F E ,分别是PC AB ,的中点，12 1 == AD AB ．（1）求证：//EF 平面PAD （2）若4 π =∠PDA ，求直线AC 与平面PCD 所成角的正弦值． 5如图，在四棱柱ABCD -PGFE 中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱垂直于底面，AB //DC ，∠ABC ＝45o ，DC ＝1，AB ＝2，PA ＝1． (1)求PD 与BC 所成角的大小； (2)求证：BC ⊥平面PAC ； (3)求二面角A -PC -D 的大小． 6如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AA C C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AA C C ， 3,5AB BC == （Ⅰ）求证：1AA ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求二面角111C A B C --的大小；（Ⅲ）若点D 是线段BC 的中点，请问在线段1AB 上是否存在点E ，使得DE ∥面11AA C C ？若存在，请说明点E 的位置；若不存在，请说明理由. A B C 11

高考立体几何大题及答案理

1.如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面 ABCD ，2AD =，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上， ∠ABM=60 。（I ）证明：M 是侧棱SC 的中点； ()II 求二面角S AM B --的大小。 2.如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1（Ⅰ）证明：AB =AC （Ⅱ）设二面角A -BD -C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小 3.如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，22AC BC EB DC ====，120ACB ∠=，,P Q 分别为,AE AB 的中点．（I ）证明：//PQ 平面ACD ；（II ）求 AD 与平面ABE 所成角的正弦值． 4.如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形， PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.（Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；（Ⅱ）当2PD AB =且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小. 5.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形， PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =．以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M ． B C D E O A P B M

（1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ；（2）求直线PC 与平面ABM 所成的角；（3）求点O 到平面ABM 的距离． 6.如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ?==∠=（I ）求证：EF BCE ⊥平面；（II ）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，求证： PM ∥BCE 平面（III ）求二面角F BD A --的大小。 7.如图，四棱锥S -ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ,SD ＝AD ＝a ,点E 是SD 上的点，且DE ＝λa (0<λ≦1). (Ⅰ)求证：对任意的λ∈（0、1），都有AC ⊥BE : (Ⅱ)若二面角C -AE -D 的大小为600C ，求λ的值。 8.如图3，在正三棱柱111ABC A B C -中，AB =4, 17AA =,点D 是BC 的中点，点E 在AC 上，且DE ⊥1A E .（Ⅰ）证明：平面1A DE ⊥平面 11ACC A ;（Ⅱ）求直线AD 和平面1A DE 所成角的正弦值。 9.如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ?==∠= （I ）求证：EF BCE ⊥平面；

立体几何典型例题精选(含答案)

F E D C B A 立体几何专题复习热点一：直线与平面所成的角例1．（2014，广二模理 18）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形， EF ∥平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ?=∠=，3AE =. （1）求证：AB ⊥平面BCF ；（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值. 变式1：（2013湖北8校联考）如左图，四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，2,1,5,DB DC BC === 2.AB AD ==将左图沿直线BD 折起，使得二面角A BD C --为60,?如右图. （1）求证：AE ⊥平面;BDC （2）求直线AC 与平面ABD 所成角的余弦值. 变式2：[2014·福建卷] 在平面四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD .将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图1-5所示． (1)求证：AB ⊥CD ； (2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．

热点二：二面角例2．[2014·广东卷] 如图1-4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E. (1)证明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角D-AF-E的余弦值．变式3：[2014·浙江卷] 如图1-5，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝ 2. (1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角B-AD-E的大小．变式4：[2014·全国19] 如图1-1所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC 上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2. (1)证明：AC1⊥A1B; (2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3，求二面角A1 -AB -C的大小．

历年全国理科数学高考试题立体几何部分精选(含答案)

（一） 1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的俯视图可以为 2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,23 ==,则棱锥 AB BC -的体积为。 O ABCD 3.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。

（一） 1.D 2.83 3. 解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=，由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD （Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则 ()1,0,0A ，()03,0B ，，()1,3,0C -，()0,0,1P 。 (1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=- 设平面PAB 的法向量为n=（x ，y ，z ），则0,0,{n AB n PB ?=?= 即 30 30x y y z -+=-= 因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ，则 m 0,m 0,{PB BC ?=?= 可取m=（0，-1，3-） 27cos ,727 m n ==- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27-

（二） 1. 正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 33 C 23 D 63 2. 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ?的最小值为 (A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+ 3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A) 23 (B)43 (C) 23 (D) 83 4. 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1， DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC . （Ⅰ）证明：SE=2EB ；（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .

高中数学《立体几何》大题和答案与解析

.WORD 格式整理 .. 高中数学《立体几何》大题及答案解析( 理) 1.（ 2009 全国卷Ⅰ）如图，四棱锥S ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， SD底面ABCD，AD 2 ，DC SD 2 ，点 M 在侧棱 SC 上，∠ABM=60。（I ）证明：M是侧棱SC的中点；求二面角 S AM B 的大小。 2.（ 2009 全国卷Ⅱ）如图，直三棱柱ABC-A 1B1C1中， AB ⊥ AC,D 、E 分别为 AA 1、 B1C 的中点，DE ⊥平面 BCC 1（Ⅰ）证明： AB=AC（Ⅱ）设二面角A-BD-C 为 60°,求 B 1C 与平面 BCD 所成的角的大小 A 1 C1 B1 D E A C B 3. （ 2009浙江卷）如图， DC平面 ABC， EB//DC ， AC BC EB 2DC 2， ACB120 ， P,Q 分别为 AE , AB 的中点．（I）证明： PQ / / 平面ACD；（II）求AD与平面 ABE 所成角的正弦值．

.WORD 格式整理 .. 4.（ 2009 北京卷）如图，四棱锥P ABCD 的底面是正方形， PD 底面ABCD ，点E在棱PB上.（Ⅰ）求证：平面 AEC平面PD B；（Ⅱ）当 PD2AB 且E为PB的中点时，求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小. 5.（ 2009 江西卷）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA平面ABCD， PA AD 4 ， AB 2 ．以 BD 的中点 O 为球心、 BD 为直径的球面交PD于点 M ．（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直线PC与平面ABM所成的角；（3）求点O到平面ABM的距离． P M A D O B C 6（. 2009 四川卷）如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ ABE是等腰直角三角形，AB AE, FA FE, AEF45 （I）求证： EF平面 BCE ；（ II）设线段 CD 、 AE 的中点分别为 P 、 M ，求证： PM ∥平面BCE （ III）求二面角 F BD A 的大小。

立体几何高考真题大题

立体几何咼考真题大题 1. （2016高考新课标1 卷）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形,AF=2FD, NAFD =90：且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60：（I ）证明：平面 ABEF 丄平面EFDC （n ）求二面角 E-BC-A 的余弦值. 【答案】（I ）见解析；（n ） -2蜃 19 【解析】试题分析：（I ）先证明AF 丄平面E FDC ,结合直F U 平面AB E F ,可得平面ABE F 丄平面E FDC . （n ）建立空间坐标系，分别求出平面E C E 的法向量m 及平面E C E 的法试题解析：（I ）由已知可得 A F 丄DF, A F 丄F E|,所以A F 丄平面E FDC . 又A F U 平面 AE E F ,故平面AEE F 丄平面|E F D C . _ （n ）过D 作DG 丄E F ,垂足为G ,由（I ）知DG 丄平面［A E 百F . 以G 为坐标原点，GF 的方向为x 轴正方向，GF 为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系G —xyz . 由（I ）知N DF E 为二面角D -A F -E 的平面角，故N DF E =60：贝U DF = 2 , DG|=3,可得九(1,4,0 ), B(—3,4,0 ), E(—3,0,0 ), D (0,0, 73 ). 由已知，AE //E F ,所以AE //平面E FDC . 又平面 A ECD n 平面 |E FDC = DC ,故〕AB //CD , CD//EF . 由EE //A F ,可得EE 丄平面I E F DC ,所以N C E F |为二面角C —EE —F 的平面角，向量n ,再利用cos （n,m ）求二面角. n ||m |

历年江苏高考数学立体几何真题汇编含详解

历年江苏高考数学立体几何真题汇编（含详解）（2008年第16题）在四面体ABCD 中， CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点，求证：（1）直线EF ∥平面ACD （2）平面EFC ⊥平面BCD 证明：（1） ? ??? ?E ，F 分别为AB ，BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ，EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD （2）??????? ?? ?CB ＝CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ??? ?AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD ，所以平面EFC ⊥平面BCD （2009年第16题）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上， A 1D ⊥ B 1 C . 求证：（1）EF ∥平面ABC （2）平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C 证明：（1）由E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点知EF ∥BC ，因为EF ?平面ABC ，BC ?平面ABC ，所以EF ∥平面ABC （2）由三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱知CC 1⊥平面A 1B 1C 1，又A 1D ?平面A 1B 1C 1，故CC 1⊥A 1D ，又因为A 1D ⊥B 1C ，CC 1∩B 1C ＝C ， CC 1、B 1C ?平面BB 1C 1C 故A 1D ⊥平面BB 1C 1C ，又A 1D ?平面A 1FD ，故平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C （2010年第16题）

高中立体几何经典题型练习题(含答案)

高中数学立体几何练习题精选试卷姓名班级学号得分说明：１、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分100分。考试时间90分钟。２、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。考试结束后，只收第Ⅱ卷第Ⅰ卷（选择题）一．单选题（每题2分，共40分） 1．设直线l，m和平面α，β，下列条件能得到α∥β的有（） ①l?α，m?α，且l∥β，m∥β； ②l?α，m?α且l∥m； ③l∥α，m∥β且l∥m． A．1个B．2个C．3个D．0个 2．一个四面体中如果有三条棱两两垂直，且垂足不是同一点，这三条棱就象中国武术中的兵器--三节棍，所以，我们常把这类四面体称为“三节棍体”，三节棍体ABCD四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别为A（0，0，0）、B（0，4，0）、C（4，4，0）、D（0，0，2），则此三节棍体外接球的表面积是（） A．36πB．24πC．18πD．12π

3．一个圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，它的表面积为a，则它的底面积为（）A．B．C．D． 4、如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为4，且侧棱AA1⊥底面ABC，其主视图是边长为4的正方形，则此三棱柱的侧视图的面积为（） A．16B．2C．4D． 5．三棱锥P-ABC的侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=2，则三棱锥P-ABC的外接球的体积是（） A．2πB．4πC．πD．8π 6．在正方体ABCD-A′B′C′D′中，过对角线BD‘的一个平面交AA′于点E，交CC′于点F．则下列结论正确的是（） ①四边形BFD′E一定是平行四边形 ②四边形BFD′E有可能是正方形 ③四边形BFD′E在底面ABCD的投影一定是正方形 ④四边形BFD′E有可能垂于于平面BB′D． A．①②③④B．①③④C．①②④D．②③④ 7．如图，在四面体A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB=BC=CD=1，则AD=（）

高考数学立体几何大题30题

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