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2008高考上海数学文科试卷含详细解答

2008年全国普通高等学校招生统一考试

上海数学试卷（文史类）

考生注意：

1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．

2．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．

一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，

每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．不等式11x -＜的解集是．【答案】(0,2)

【解析】由11102x x -<-

2．若集合{}|2A x x =≤，{}

|B x x a =≥满足{2}A B = ，则实数a = ．【答案】2

【解析】由{2}, 22A B A B a =??= 只有一个公共元素. 3．若复数z 满足(2)z i z =- (i 是虚数单位)，则z = ．【答案】1i +

【解析】由22(1)

(2)11(1)(1)

i i i z i z z i i i i -=-?=

==+++-. 4．若函数()f x 的反函数为12()log f x x -=，则()f x = ．【答案】()2

x R ∈

【解析】令2log (0),y x x => 则y R ∈且2,y

x =()()2

f x x R ∴=∈

5．若向量a ，b 满足12a b == ，

且a 与b 的夹角为3

，则a b += ．

【解析】2||()()2a b a b a b a a b b a b +=++=++

22||||2||||cos 73

a b a b π

=++=

||a b ?+=

6．若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = ．【答案】-1

【解析】直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点(1,0),F 则10 1.a a +=∴=- 7．若z 是实系数方程220x x p ++=的一个虚根，且2z =，则p = ．【答案】4

【解析】设z a bi =+,则方程的另一个根为z a bi '=-,

且22z =?

=，

由韦达定理直线22,1,z z a a '+==-∴=

-23,b b ∴==

所以(1)(1) 4.p z z '=?=--=

8．在平面直角坐标系中，从五个点：(00)(20)(11)(02)(22)A B C D E ，，

，，，，，，，中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）．【答案】

【解析】由已知得 A C E B C D 、

、三点共线,、、三点共线, 所以五点中任选三点能构成三角形的概率为3

.5C C -= 9．若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数，且它的值域为(]4-∞，，则该函数的解析式()f x = ．【答案】2

24x -+

【解析】2

()()(2)(2)2f x x a bx a bx a ab x a =++=+++是偶函数，则其图象关于

y 轴对称, 202,a ab b ∴+=?=-2

()22,f x x a ∴=-+且值域为(]4-∞，，

224,a ∴=2

()2 4.f x x ∴=-+

10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别．【答案】10.5,10.5a b ==

【解析】中位数为10.521,a b ?+=根据均值不等式知，只需10.5a b ==时，

总体方差最小.

11．在平面直角坐标系中，点A B C ，，的坐标分别为(01)(42)(26)，，，，，．如果()P x y ，是ABC △围成的区域（含边界）上的点，那么当xy ω=取到最大值时，点P 的坐标是．【答案】5,52??

???

【解析】作图知xy ω=取到最大值时，点P 在线段BC 上,:210,[2,4],BC y x x =-+∈

(210),xy x x ω∴==-+故当5

,52

x y ==时, ω取到最大值.

二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．

12．设p 是椭圆

12516

x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于（） A ．4 B ．5

C ．8

D ．10

【答案】D

【解析】由椭圆的第一定义知12210.PF PF a +==

13．给定空间中的直线l 及平面α．条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直” 是“直线l 与平面α垂直”的（）

Ａ．充分非必要条件Ｂ．必要非充分条件

C ．充要条件Ｄ．既非充分又非必要条件【答案】C

【解析】“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”?“直线l 与平面α垂直”. 14．若数列{}n a 是首项为1，公比为3

a =

的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ，则a 的值是（）

Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．12 Ｄ．54

【答案】B

【解析】由

||1

||122

a a a

S a

q a

?==

=-+

???

-???=

???

???<<

或

15．如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点．若点()

P x y

，、点()

P x y

'''

，满足x x'

≤且y y'

≥，则称P优于P'．如果Ω中的点Q满足：不存在Ω中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧（D）

Ａ． AB B． BC C． CD D． DA

【答案】D

【解析】由题意知，若P优于P',则P在P'的左上方,

∴当Q在 DA上时, 左上的点不在圆上,

∴不存在其它优于Q的点,

∴Q组成的集合是劣弧 DA.

三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16．(本题满分12分)

如图，在棱长为2的正方体

1111

ABCD A BC D

-中，E是BC1的中点．求直线DE与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

16. 【解】过E作EF⊥BC，交BC于F，连接DF.

∵EF⊥平面ABCD，

∴∠ED F是直线DE与平面ABCD所成的角. ……………4分

由题意，得EF=

CC=

∵

CF CB DF

==∴=..8分

∵EF⊥DF，∴tan

EDF

∠==……………..10分

故直线DE与平面ABCD所成角的大小是arctan

….12分

17．（本题满分13分）

如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD DC ，，且拐弯处的转角为120

．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．

17. 【解法一】设该扇形的半径为r 米. 由题意，得 CD =500（米），DA =300（米），∠CDO=0

在CDO ?中，22022cos60,CD OD CD OD OC

+-???=……………6分即()()2

5003002500300,2

r r r +--??-?

=…………………….9分解得4900

44511

r =≈（米）. …………………………………………….13分

【解法二】连接AC ，作OH ⊥AC ，交A C 于H …………………..2分

由题意，得CD =500（米），AD =300（米），0

120CDA ∠=2220

222

,2cos12015003002500300700,

ACD AC CD AD CD AD ?=+-???=++???=在中 ∴ AC =700（米）

…………………………..6分

22211

cos .214AC AD CD CAD AC AD +-∠==??………….…….9分

在直角11

,350

,cos 0,14

HAO AH HA ?=∠=中（米） ∴ 4900

445cos 11

AH OA HAO =

=≈∠（米）. ………………………13分

18．（本题满分15分）本题共有2个小题，第1个题满分5分，第2小题满分10分．

已知函数f (x )=sin2x ，g (x )=cos π26x ?

，直线()x t t =∈R 与函数()()f x g x ，的图象分别交于M 、N 两点．（1）当π

t =

时，求｜MN ｜的值；

（2）求｜MN ｜在π02t ??∈????

，时的最大值．

18、【解】（1）sin 2cos 2446MN πππ?

??=?

-?+ ? ??

?…………….2分 23

1cos

.32

π=-=………………………………5分

（2）sin 2cos 26MN t t π?

=-+

3sin 2222t t =-……...8分

26t π?

…………………………….11分 ∵ 0,,2,,2666t t πππππ????∈-∈--??????

?? …………13分

∴ ｜MN ……………15分

19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．已知函数||1()22

x f x =-

．（1）若()2f x =，求x 的值；

（2）若2(2)()0t

f t mf t +≥对于[1

2]t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围． 19、【解】（1）()()1

00;0,22

x x x f x x f x <=≥=-当时，当时. …………….2分

由条件可知，2122,22210,

2x x x

=-?-=即解得 21x =…………6分

∵ (220,log 1x x >∴=+ …………..8分

（2）当2211[1,2],2220,22t t t t t t m ???

?∈-+-≥ ? ????

?时 ……………10分

即 ()()

242121.t t m -≥--

()22210,21.t t m ->∴≥+ ………………13分

()2[1,2],12[17,5],t t ∈∴-+∈--

故m 的取值范围是[5,)-+∞ …………….16分

20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，

第3小题满分7分．

已知双曲线22

x C y -=：．

（1）求双曲线C 的渐近线方程；

（2）已知点M 的坐标为(01)，．设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点．

记MP MQ λ=

．求λ的取值范围；

（3）已知点D E M ，，的坐标分别为(21)(21)(01)---，

，，，，，P 为双曲线C 上在第一象限内的点．记l 为经过原点与点P 的直线，s 为DEM △截直线l 所得线段的长．试将s 表示为直线l 的斜率k 的函数．

20、【解】（1）所求渐近线方程为0,0y x y == ……………...3分（2）设P 的坐标为()00,x y ，则Q 的坐标为()00,x y --， …………….4分 ()()000,1,1o MP MQ x y x y λ=?=-?---

200031 2.2

x y x =--+=-+ ……………7分

λ∴的取值范围是(,1].-∞-

……………9分

（3）若P 为双曲线C 上第一象限内的点，

则直线l 的斜率.k ?∈ ??

……………11分

由计算可得，当()1(0,],2k s k ∈时

当()1,2k s k ?∈= ??

时

……………15分

∴ s 表示为直线l 的斜率k 的函数是

(

)1(0,],21.2k s k k ∈=?∈ ??….16分

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分４分，第2小题满分６分，

第3小题满分8分．已知数列{}n a ：11a =，22a =，3a r =，32n n a a +=+（n 是正整数），与数列 {}n b ：11b =，20b =，31b =-，40b =，4n n b b +=（n 是正整数）．记112233n n n T b a b a b a b a =++++ ．

（1）若1231264a a a a ++++= ，求r 的值；（2）求证：当n 是正整数时，124n T n =-；

（3）已知0r >，且存在正整数m ，使得在121m T +，122m T +，，1212m T +中有4项为100．

求r 的值，并指出哪4项为100．

【解】（1） 123

12...a a a a ++++ ()()()12342564786r r r r =++++++++++++++

484.r =+

………………..2分

∵ 48464, 4.r r +=∴=

………………..4分

【证明】（2）用数学归纳法证明：当12,4.n n Z T n +∈=-时

① 当n=1时，1213579114,T a a a a a a =-+-+-=-等式成立….6分 ② 假设n=k 时等式成立，即124,k T k =- 那么当1n k =+时，

()121211231251271291211121k k k k k k k k T T a a a a a a +++++++=+-+-+-………8分

()()()()()()481884858488k k k r k k k r k =-++-+++-++++-+

()4441,k k =--=-+等式也成立.

根据①和②可以断定：当12,4.n n Z T n +∈=-时…………………...10分

【解】（3）

()1241.

121,12241;

123,12441;

125,12645;127,1284;129,121044;

m n n n n T m m n m m T m n m m T m r n n m m T m r n m m T m r n m m T m =-≥=++=+=++=-+-=++=+-=++=--=++=+当时，当时，当时，当时，当时，

1211,1212,4 4.n n m m T m =++=--当时………………………..13分

∵ 4m+1是奇数，41,4,44m r m r m -+-----均为负数，

∴ 这些项均不可能取到100. ………………………..15分

此时，293294297298,,,T T T T 为100. …………………………18分