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高等数学(经管类)下,林伟初郭安学主编,复旦大学出版社,课后习题答案

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1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限：

A (2，1,-6)，

B (0，2，0)，

C (-3，0,5)，

D (1，-1，-7). 解：A 在 V 卦限，B 在 y 轴上，C 在 x Oz 平面上，D 在 V III 卦限。 2. 已知点 M (-1，2，3)，求点 M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则

(1) 由 x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点 M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由 x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点 M 关于 x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点 M 关于 y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于 z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3).

(3)由 x =-1，y =2，z +3=0，得到点 M 关于 xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3). 同理，M 关于 yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于 zOx 面的对称点的坐标为： (-1，-2，3). 3. 在 z 轴上求与两点 A (-4，1，7)和 B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为 M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即

(-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.

14 解之得 z =11，故所求的点为 M (0，0，

4. 证明以 M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得 M 1M 2 =14 ， M 1M 3

= 6, M 2M 3 = 6

所以以 M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为 a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程.

x y z

解：所求平面方程为 + + =1 。

2 -

3 5

6. 求通过 x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过 x 轴，故可设其方程为 Ay +Bz =0.

又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A -B =0.即 B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于 y 轴且过 M 1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于 y 轴，故可设其方程为

Ax +Cz +D =0.

又点 M 1 和 M 2 都在平面上，于是

?A + D = 0

?C + D = 0

可得关系式：A =C =－D ,代入方程得：－Dx －Dz +D =0. 显然 D ≠0,消去 D 并整理可得所求的平面方程为 x +z －1=0. 8. 方程 x 2+y 2+z 2－2x +4y =0 表示怎样的曲面？

解：表示以点（1，-2，0）为球心，半径为的球面方程。

9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x －2y =1； (2) x 2+y 2=1； (3) 2x 2+3y 2=1； (4) y =x 2.

解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。

(4)表示抛物线、抛物柱面。

x y x y xy xy xy xy

? ? ? ? ? 1. 下列各函数表达式: (1) 已知 f (x ,y )=x 2+y 2,求 f (x - y ,

) ；

(2) 已知 f (x - y , ) = x 2 + y 2, 求 f (x ,y ).

解：（1） f (x - y , ) = (x - y )2 +( )2 = x 2 - xy + y 2

（2） f (x - y , ) = x 2 + y 2 = (x - y )2 + 2( )

所以 f (x , y ) = x 2 - 2y 2

2. 求下列函数的定义域，并指出其在平面直角坐标系中的图形：

1 (1) z = sin ； (2) z x

2 + y 2 -1

(3) f (x , y ) =

x - y ) ； (4) arcsin(3 - x 2 - y 2 )

f (x , y )

解：（1）由 x 2 + y 2 -1≠ 0可得 x 2 + y 2 ≠1

故所求定义域为 D ={(x ,y )| （2）由

x 2 + y 2 ≠1}表示 xOy 平面上不包含圆周的区域。

可得 ? ?1- x 2 ≥ 0 ?y 2

-1 ≥ 0 -1≤ x ≤1

?y ≥1或y ≤ -1

故所求的定义域为 D ={(x ,y )| （3）由

-1≤ x ≤1且y ≥1或y ≤ -1}，表示两条带形闭域。 ?1- x ≥ 0 ?x - y > 0

可得

? x ≥1 ?y < x

故所求的定义域为 D ={(x ,y )| 标 x ≥1的部分。

（4）由

x ≥1且y < x }，

表示 x Oy 平面上直线 y =x 以下且横坐 ?-1≤ 3 - x 2 - y 2 ≤1 ? x - y 2

≥ 0

可得

?2 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 ? y 2

≤ x

故所求的定义域为 D ={(x ,y )| 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4且y 2 ≤ x }。 3. 说明下列极限不存在： 3

(1) lim x - y

；

(2) x →0 x + y

y →0

lim x y

x →0 x 6 + y 2

y →0

解：（1）当点 P (x ,y )沿直线 y =kx 趋于点(0,0)时，有

lim x - y = lim (k -1)x = k -1 。 ( x , y )→(0,0) x + y y =kx

x →0 (k +1)x k +1

kx 2 2 ? ?

? ?

显然，此时的极限值随 k 的变化而变化。因此，函数 f (x ,y )在(0,0)处的极限不存在。

（2）当点 P (x ,y )沿曲线 y = kx 3

趋于点(0,0)时，有

lim

x 3 y 6 = lim = k 。 (x , y )→(0,0) x 6 + y 2 y =kx

x →0 (k 2 +1)x 6 k 2 +1

显然，此时的极限值随 k 的变化而变化。因此，函数 f (x ,y )在(0,0)处的极限不存在。

4. 计算下列极限：

x (1) lim e + y ；

(2) x →0 x + y y →1

lim (x ,y )→(0,3) sin(xy ) ;

(3) lim

(x ,y )→(0,0) sin(x 3 + y 3

) x + y

； (4)

e x + y

lim

(x ,y )→(0, 0)

解：（1）因初等函数 f (x , y ) =

x 在(0,1)处连续，故有

x + y

lim e + y = e 0 +1 = 2

（2）

lim x →0 x + y y →1

sin(xy ) = 0 +1

lim

sin(xy ) y = 3 (x , y )→(0,3) x ( x , y )→(0,3) xy

3 3 3 3

（3）

（4） lim (x , y )→(0,0) lim sin(x + y ) = x + y

= lim ( x , y )→(0,0)

lim sin(x + y ) (x 2

- xy + y 2 ) = 0 x 3 + y 3 = lim = 1 。

(x , y )→(0, 0) ( x , y )→( x , y )→4 5. 究下列函数的连续性：

?x - y , (x , y ) ≠ (0,0) (1) f (x , y ) = ?

x + y

?0, (x , y ) = (0,0) ?x 2 - y 2

(2) f (x , y ) = ?x 2 + y

2 , (x , y ) ≠ (0,0)

?0, (x , y ) = (0,0) 解：(1) lim ( x , y )→(0,0) x 2 - y 2

x + y

= lim (x - y ) = 0 = f (0,0)

( x , y )→(0,0) 所以 f (x,y)在(0,0)处连续.

x 2 - y 2 x 2 - kx 2 1- k 2

(2) lim ( x , y )→(0,0) y =kx

= lim =

x 2 + y 2 x →0 x 2 + k 2 x 2 1+ k 2 该极限随着 k 的取值不同而不同，因而 f (x,y)在(0,0)处不连续.

6. 下列函数在何处间断？

(1) z = ； (2) x 2 - y 2 z =

解：(1)z 在{(x ,y )| x = y }处间断.

(2)z 在{(x ,y )| x 2 + y 2 ≥1}处间断.

(- z ).

y 2

(1) 2x , (-e -z

)

2x e arctan( x + x +4 2 2 2 2

1. 求下列函数偏导数： (1) z =x 3

+3xy +y 3

； (2) 习题 7-3

sin y 2

z = x

;

(3) z =ln(x -3y ) ；

(4) z z = x y +ln xy (x > 0，y > 0,x ≠1)

(5) u = x y

； (6) u =cos(x 2 - y 2 +e -z )

解：(1) ?z = 3x 2 + 3y , ?z

= 3x + 3y 2. ?x ?y

(2) ?z = - sin y , ?z = 1 cos y 2 ?x x 2 ?y x (3) ?z = 1 , ?z = -3 .

?x x - 3y ?y x - 3y

(4) ?z = yx y -1 + y = yx y -1 + 1 , ?z = x y ln x + 1 .

?x xy x ?y y

(5) ?u = z x ?x y z

z -1

y , ?u = x y ?y ln x ?u = x y

ln x ?z y (6) ?u = -sin(x 2 - y 2 + e -z ) ?x

?z = -sin(x 2 - y 2 + e -z ) (-2y ) = 2y sin(x 2 - y 2 + e -z ). ?y

?u = -sin(x 2 - y 2 + e -z ) ?z

= e -z sin(x 2 - y 2 + e -z ) 2. 求下列函数在指定点处的偏导数： (1) f (x ,y )=x 2－xy +y 2，求 f x (1,2)，f y (1,2);

2 2 (2) f (x , y ) =arctan x + y ;求 f x - y x

(1,0)

(3) f (x , y ) =ln

sin(x 2 -1)e arctan(x +; 求 f x (1,2) ；

(4) f (x ,y ,z ) =ln(x - yz ) , 求 f x (2,0,1), f y (2,0,1), f z (2,0,1) . 解：(1)

(2)

f x (x , y ) = 2x - y , f y (x , y ) = -x + 2y .

∴ f x (1,2) = 2 - 2 = 0, f y (1,2) = -1+ 4 = 3. f (x ,0) = arctan x ,故f (x ,0) = 1

1+ x 2

因此 f (1,0) = 1 = 1

1+1 2 1 2

2 arctan(x + x +4)

(3) f (x ,2) = 2

ln(x + 4) +sin(x -1)e

因此

f (x , 2) = 1 2x + c os(x 2 -1) )

x 2 x 2 + 4

+sin(x 2 -1)e arctan( x + x + 2y .

2r ?r ?x = r ?x ?y ? ?z ? ?y ?r x ? ? 所以 f (1, 2) = 1 + 2e arctan(1+ 5) .

x 5

(4) f (x , y , z ) =

1 , f (x , y , z ) = -z , f (x , y , z ) = -y . x

x - yz y x - yz z x - yz

故 f (2,0,1) = 1 , f (2,0,1) = - 1 , f (2,0,1) = 0.

3．设 r

，证明：

? ?r ?

(1) ? ? ? +? ?r ? ? ? +? ?r ? ? ? = 1 ;

?2r ?2r ?2

r 2 (2) + + = ;

?x 2 ?y 2 ?z 2

r ?2 (ln r ) ?2 (ln r ) ?2

(ln r ) 1 (3) ?x 2 + ?y 2 + = .

?z 2 r 2 证明： ?r = x ?x = x , r

利用函数关于自变量的对称性，可推断得到： ?r = y , ?r = z .

(1) (?r )

+? ?r ? +(?r )

?y = x + y + z = r = r ?z r 2 2 2 2 ? ?z r 2 r 2 1

r = r - x ?x = r - r = r 2 - x 2 (2) ?x r r 2 r 2

2 2 2 2 2 利用函数关于自变量的对称性，可推断得到： ? r = r - y , ? r = r - z ?y 2 r

3 ?z 2 r 3

?2r ?2r ?2r 3r 2 - x 2 - y 2 2r 2

2 ∴ + + =

?x 2 ?y 2 ?z 2 r 3

= r 3 = r . (3) ln r = 1 ln(x 2 + y 2 + z 2 ), ?(ln r ) = x = x

?2 (ln r ) ?x 2 2 r 2

- x = r 4

?x x 2 + y 2 + z 2 2 - 2x 2 r 4

r 2 ?2 (ln r ) r 2 - 2y 2 ?2 (ln r )

r 2 - 2z 2

利用函数关于自变量的对称性，可推断得到： = ?y 2 r 4 , = . ?z 2 r 4

?2 (ln r ) ?2 (ln r ) ?2 (ln r ) 3r 2 - 2(x 2 + y 2 + z 2

) 1 ∴ + + = = .

?x 2 ?y 2 ?z 2 ?2

z ? 2z r 4 r 2 ?2z

4. 求下列函数的二阶偏导数 , , ：

?x 2 ?y 2

?y ?x

(1) z = 4x 3 + 3x 2y -3x y 2 - x + y ； (2) z = x ln(x + y ) .

解：(1) ?z =12x 2 + 6xy - 3y 2 -1,

? z = 24x + 6y . ?x ?z 2

z ?x 2

= 3x - 6xy +1, = -6x . ?y 2 ?z 1 ?2 z 1

x + y - x x + 2y (2) ?x = ln(x + y ) + x x + y , ?x 2 = x + y + (x + y )2

= .

(x + y )2 ?z = x ?2

z = - x

?y x + y , ?y 2 (x + y )2 .

5. 某水泥厂生产 A ,B 两种标号的水泥，其日产量分别记作 x ,y (单位：吨)，总成本(单位：

元)为

C (x ,y )=20+30x 2+10xy +20y 2,

求当 x =4,y =3 时，两种标号水泥的边际成本，并解释其经济含义. 解： C x (x , y ) = 60x +10y ,C y (x , y ) =10x + 40y ,

∴C x (4,3) = 270,C y (x , y ) =160.

经济含义:当 A ,B 两种标号的水泥日产量分别 4 吨和 3 吨时，如果 B 水泥产量不变，而 A 水泥的产量每增加 1 吨，成本将增加 270 元；如果 A 水泥产量不变，而 B 水泥的产量每增加 1 吨，成本将增加 160 元。 6. 设某商品需求量 Q 与价格为 p 和收入 y 的关系为

Q =400－2p +0.03y .

求当 p =25,y =5000 时，需求 Q 对价格 p 和收入 y 的偏弹性，并解释其经济含义. 解： Q p ( p , y ) = -2,Q y ( p , y ) = 0.03,

Q p (25,5000) = -2,Q y (25,5000) = 0.03.

经济含义: 价格为 25 和收入为 5000 时，如果价格不变，而收入增加 1 个单位，商品的需求量将增加 0.03；如果收入不变，而价格增加 1 个单位，商品的需求量将减少 2.

1. 求下列函数的全微分： (1) z =4xy 3+5x 2y 6；

(2)

习题 7-4

(3) u =ln(x －yz )； (4) u = x +sin y + e yz

解：(1) ?z = 4y 3 +10xy 6 , ?z =12xy 2 + 30x 2 y 5

, ?x ?y

所以 d z = 2y 3 (2 +5xy 3 )d x + 6xy 2 (2 +5xy 3 )d y .

(2) ?z =?x ,

?z =

所以

d z x y .

(3) ?u = 1 , ?u = -z , ?u = -y ,

?x x - yz ?y x - yz ?z x - yz

所以 d u = 1 d x + -z d y + -y dz . x - yz x - yz x - yz

(4) ?u =1, ?u = 1 cos y + ze yz , ?u

= ye yz ,

?x ?y 2 2 ?z

所以 d u = d x + (1 cos y + ze yz )d y + ye yz dz . 2 2 2. 计算函数 z =x y

在点(3，1)处的全微分.

解： ?z = yx y -1, ?z = x y ln x , ?x ?y

所以 d z = yx y -1d x + x y ln x d y . dz (3,1) = d x + 3ln3d y .

3. 求函数 z =xy 在点(2，3)处，关于Δx =0.1，Δy =0.2 的全增量与全微分.

(2,3) 2

解： ?z = y , ?z = x , 所以 ?z = 3

= 2,

?x ?y

?x (2,3) ?z

≈?x

+?y = 0.3 + 0.4 = 0.7

dz = 3d x + 2d y .

4. 计算 (1.04) 2.02 的近似值.

设函数 f (x ,y )=x y .x =1,y =2,Δx =0.04,Δy =0.02.

f (1,3)=13=1,f x (x ,y )=yx y -1,f y (x ,y )=x y ln x ,

f x (1,2)=2,f y (1,2)=0.

由二元函数全微分近似计算公式(7-18)，得

(1.05) 3.02≈1+2×0.04+0×0.02=1.08.

5. 设有一个无盖圆柱形玻璃容器，容器的内高为 20 cm ，内半径为 4 cm ，容器的壁与底的厚度均为 0.1 cm ，求容器外壳体积的近似值.

解：解设圆柱的直径和高分别用 x ，y 表示，则其体积为

V = f (x , y ) = π(x )2 y = 1

πx 2y .

2 4

于是，将所需的混凝土量看作当 x +Δx =8+2×0.1，y +Δy =20+0.1 与 x =8，y =20 时的两个圆柱体的体积之差ΔV (不考虑底部的混凝土)，因此可用近似计算公式

ΔV ≈d V =f x (x ,y )Δx +f y (x ,y )Δy . 又 f x (x , y ) = 1 πx y , f 2

y (x , y ) = 1 πx 2

，代入 x =8，y =20，Δx =0.2，

4 Δy =0.1，得到

?V ≈ d V = 1π ?8? 20?0.2 + 1π ?82 ? 0.1=17.6π ≈ 55.264.(m 3).

2 4 因此，大约需要 55.264m 3

的混凝土.

习题 7-5

1. 求下列函数的全导数：

(1) 设 z =e 3u +2v ，而 u =t 2,v =cos t ,求导数 d z ； d t

(2) 设 z =arctan(u －v ),而 u =3x ,v =4x 3,求导数 d z

;

d x

(3) 设 z =xy +sin t ,而 x =e t

,y =cos t ,求导数 d z .

d t

解： (1) dz = ?z ? d u + ?z ? d v

dt ?u d t ?v d t

= 3e 3u +2v ? 2t + 2e 3u +2v ?(-sin t )

= 6te 3t +2cos t - 2sin te 3t +2cos t

(2) dz = ?z ? d u + ?z ? d v

dx ?u d x ?v d x

= 1 ? 3 + -1 ?12x 1+ (u - v )2 1+ (u - v )2

= 3 ? (1- 4x ). 1+ (3x - 4x 3 )2

(3) dz = ?z ? d x + ?z ? d y

+ ?z

dt ?x d t ?y d t ?t

? ? = y ? e t

+ x (? s -i n t ) +c = c o t s ? e t - e t s t i +n t c

2. 求下列函数的偏导数(其中 f 具有一阶连续偏导数)：

(1) 设 z =u 2v －uv 2，而 u =x sin y ,v =x cos y ，求 ?z 和 ?

z ；

?x ?y

(2) 设 z =(3x 2+y 2)4x +2y ，求 ?z 和 ?z ； ?x ?y

(3) 设 u =f (x ,y ,z )=e x +2y +3z ,z =x 2cos y ，求 ?u 和 ?

u ；

?x ?y

(4) 设 w =f (x ，x 2y ，xy 2z )，求 ?w , ?w , ?w . ?x ?y ?z

解：(1) ?z = ?z ? ?u + ?z ? ?v = (2uv - v 2 )sin y + (u 2 - 2uv )cos y ?x ?u ?x ?v ?x

= (x 2 sin2y - x 2 cos 2 y )sin y +(x 2 sin 2 y - x 2 sin2y )cos y

?z = ?z ? ?u + ?z ? ?v = (2uv - v 2 )x cos y - (u 2 - 2uv )x sin y

?y ?u ?y ?v ?y

=(x 2 s i n y 2- x 2

c 2o s y x ) c +y o s 2x ( 2 s -y i n 2x s y i n

(2) 令 u = 3x 2 + y 2 ,v = 4x + 2y ,则z = u v . ?z = ?z ? ?u + ?z ? ?v = vu v -1 ? 6x + u v ln u ? 4 ?x ?u ?x ?v ?x

= 6x (3x 2 + y 2 )4x +2y -1

+ 4(3x 2 + y 2 )4x +2y

ln(3x 2 + y 2 ) ?z = ?z ? ?u + ?z ? ?v = vu v -1 ? 2y + u v ln u ? 2

?x ?u ?y ?v ?y

= 2y (3x 2 + y 2 )4x +2y -1

+ 2(3x 2 + y 2 )4x +2y

ln(3x 2 + y 2 )

(3) ?w = f + f ? 2xy + f ? y 2 z

?x 1 2 3

?w 2

?y = f 2

? x + f 3 ? 2xyz ?w = f 3

? x y 2 x + y

3. 应用全微分形式的不变性，求函数 z = arctan 1 - xy

的全微分.

解：令 u = x + y ,v =1- xy ,则z = arctan u

dz = d (arctan u ) = 1 1 du - 1 u dv v 1+ (u )2 v 1+ (u )2 v 2

v v

而 d u = dx + dy ,dv = -ydx - xdy

故 d z = 1 1 [dx + dy - (x + y )(-ydx - xdy )] ? x + y ?2 1- xy 1+ 1- xy ?

1- xy

dy = + . 1+ x 2 1+ y 2

4. 已知 sin xy －2z +e z =0,求 ?z 和 ?z .. ?x ?y

解：两同时对 x 求偏导，可得

y cos xy - 2 ?z + e z ?z = 0. ?x ?x

故 ?z = y cos xy . ?x 2 - e z 两边同时对 y 求偏导，可得

x cos xy - 2 ?z + e z ?z = 0. ?y ?y 故 ?z =

x cos xy . ?y 2 - e z

5. 若 f 的导数存在，验证下列各式：

(1) 设 u =yf (x 2－y 2

)，则 y 2 ?u + x y ?u = x u ；

?x ?y

(2) 设 z = x y + x f ( y ) ，则 x ?z + y ?z = z + x y .

x ?x ?y

证：(1)

?u = yf '(x 2 - y 2 ) ? 2x , ?u = f (x 2 - y 2 ) - 2y 2 f '(x 2 - y 2 ).

?x ?y 所以 y 2 ?u + xy ?u = y 3 f '(x 2 - y 2 ) ? 2x + xy [ f (x 2 - y 2 ) - 2y 2 f '(x 2 - y 2 )] = xu . ?x ?y

?z y y 1 ?z

y 1 (2)

?x = y + f ( x ) + xf '( x ) ? (- x 2 ) , ?y = x + xf '( x ) x .

所以 x ?z + y ?z = x [y + f ( y ) + f '( y ) ? (- 1)] + y [x + xf '( y ) 1] = z + xy .

?x ?y x x x x x 6. 求下列函数的二阶偏导数(其中 f 具有二阶连续偏导数)：

x + y

(1) z = arctan 1 - xy

；

(2) z =y ln x ；

(3) z =f (xy ,x 2－y 2).

?z 1 ?z

dy 解：(1)由第 3 题可知 ?x = 1+ x 2 , ?y = 1+ y 2

故 ?2 z = -2x , ?2 z = -2y , ?2 z ? ? = ?2 z ? ? = 0 . ?x 2 (1+ x 2 )2 ?y 2 (1+ y 2 )2

(2) ?z = y ln x ln y 1 , ?z

= ln xy ln x -1.

?x x ?y

故 ? z = y ln x ln 2 y 1 - y ln x ln y 1 , ?x 2

x 2 x 2 ? z = ln x (ln x -1)y ?y 2

2 2 ln x -2 ,

? z = ? z = 1 y ln x -1 + ln x ? y ln x -1 ln y ? 1 = 1 y ln x -1(1+ ln x ln y ).

?x ?y ?y ?x x x x

?z ?z

(3) ?x = f 1 y + f 2 2x , ?y = f 1x - f 2 2y . ?2 z 2 2 故 = y ( f y + f 2x ) + 2 f +2x ( f y + f 2x ) = y f + 4xyf + 4x f + 2 f .

?x 2

11 12 2 21 22 11 12 22 2 2 ? z 2 2

= x ( f x - f 2y ) - 2 f - 2y ( f x - f 2y ) = x f - 4xyf + 4y f - 2 f .

?y 2

11 12 2 21 22 11 12 22 2 2 2 ? z ? z 2 2

?x ?y = ?y ?x = f 1

+ y ( f 11x - 2yf 12 ) + 2x ( f 21x - 2yf 22 ) = f 1 + xyf 11 + (2x - 2y ) f 12 - 4xyf 22. 7. 求由下列方程所确定的隐函数 z =f (x ,y )的偏导数 ?z , ?z ：

(1) x 2+y 2+z 2－4z =0；

?x ?y

? ??

f (2) z 3－3xyz =1.

解：(1)两边同时对 x 求偏导得 2x + 2z ?z - 4 ?z = 0, 故 ?z = 2x

?x ?x ?x 4 - 2z

两边同时对 y 求偏导得 2y + 2z ?z - 4 ?z = 0, 故 ?z = 2y .

?y ?y ?y 4 - 2z

(2) 两边同时对 x 求偏导得 3z 2 ?z - 3y (z + ?z ) = 0, 故 ?z = 3yz . ?x ?x

?z 3xz

?x 3z 2 - 3y 两边同时对 y 求偏导得故 ?y = 3z 2 - 3x

习题 7-6

1. 求下列函数的极值：

(1) f (x ,y )=x 2+y 3－6xy +18x －39y +16； (2) f (x ,y )=3xy －x 3－y 3+1.

?? f x (x , y ) = 2x - 6y +18 = 0

解：(1) 先解方程组 ??

f (x , y ) = 3y 2

- 6x - 39 = 0 得驻点为(-6,1),(6,5).

f xx = 2, f xy (x , y ) = -6, f yy (x , y ) = 6y,

在点(-6，1)处，Δ=AC -B 2=2×6-36<0,所以 f (-6，1)不是极值；在点(6，5)处，Δ= AC -B 2=2×30-36>0，又 A >0，所以函数在(6，5)处有极小值 f (6，5)=-90.

? f (x , y ) = 3y - 3x 2 = 0 (2) 先解方程组 ? x

? y (x , y ) = 3x - 3y 2

= 0 得驻点为(0,0),(1,1). f xx = -6x , f xy (x , y ) = 3, f yy (x , y ) = -6y, 在点(0，0)处，Δ=AC -B 2=-9<0,所以 f (0，0)不是极值；在点(1，1)处，Δ=AC -B 2=27>0,又 A <0，所以函数在(1，1)处有极大值 f (1，1)=2.

2. 求函数 f (x ,y )=x 2－2xy +2y 在矩形区域 D ={(x ,y )|0≤x ≤3,0≤y ≤2}上的最大值和最小值.

解：(1)先求函数在 D 内的驻点，解方程组 ?? f x (x , y ) = 2x - 2y = 0 ? ?? f y (x , y ) = -2x + 2 = 0 得唯一驻点(1,1),且 f (1,1)=1. (2) 再求 f (x ,y )在 D 的边界上的最值.

在边界 x =0, 0 ≤ y ≤ 2上, f (x ,y )=2y ，因此最大值为 f (0,2)=4，最小值为 f (0,0)=0；在边界 x =3, 0 ≤ y ≤ 2上, f (x ,y )= -4y +9，因此最大值为 f (3,0)=9，最小值为 f (3,2)=1；在边界 y =0, 0 ≤ x ≤ 3 上, f (x ,y )= x 2，因此最大值为 f (3,0)=9，最小值为 f (0,0)=0；在边界 y =2, 0 ≤ x ≤ 3 上, f (x ,y )= x 2－4x +4，因此最大值为 f (3,2)=1，最小值为 f (2,2)=0； (3) 比较上述得到的函数值，从而得到 f (3,0)=9 为最大值，f (0,0)=0 为最小值. 3. 求函数 f (x ,y )=3x 2+3y 2－x 3 在区域 D :x 2+y 2≤16 上的最小值. 解：(1)先求函数在 D 内的驻点，解方程组 ? f (x , y ) = 6x + 6y - 3x 2

= 0 ? x ?

f y (x , y ) = 6y = 0 得驻点(0,0), (2,0)，且 f (0,0)=0， f (2,0)=4.

? λ ?

? (2) 再求 f (x ,y )在 D 的边界上的最值.

这里啊

在边界 x 2+y 2=16 上，f (x ,y )=48－x 3, 因此最大值为 f (0,4)=48，最小值为 f (4,0)=-16； (3) 比较上述得到的函数值，从而得到 f (0,4)=48 为最大值，f (4,0)=-16 为最小值. 4. 求下列函数的条件极值： (1) z =xy ，x +y =1；

(2) u =x －2y +2z ， x 2+y 2+z 2=1.

解：(1) 作拉格朗日函数 L (x ,y ,λ)=xy +λ(x +y －1).写出方程组

? L x = y + λ = 0 ? L y = x + λ = 0 ?L = x + y -1 = 0 得到 P ( 1 , 1 ) ,因此，z =xy 在 P ( 1 , 1 ) 处取得最大值 1 . 2 2 2 2 4

(2) 作拉格朗日函数 L (x ,y ,z ,λ)= x －2y +2z +λ(x 2+y 2+z 2－1).写出方程组

? L x =1+ 2λx = 0 ? L y = -2 + 2λ y = 0 ?

? L z = 2 + 2λz = 0 L = x 2 + y 2 + z 2－1 = 0 ? λ 1 2 2 1 2 2 得到 P 1 ( 3, - 3 , 3 ) , P 1 (- 3 , 3 ,- 3 ) . 因此，u =x －2y +2z 在 P (- 1 , 2 ,- 2

) 处取得最小值-3.

3 3 3

5. 要用铁板做成一个体积为 8m 3 的有盖长方体水箱，如何设计才能使用料最省？解设长方体的三棱长分别为 x ，y ，z ，则问题就是在约束条件

xyz =8

下求函数 S =2(xy +yz +xz )的最大值. 构成辅助函数

解方程组

F (x ，y ，z )= 2(xy +yz +xz )+λ(xyz －8)，

?F x (x , y , z ) = 2y + 2z + λ yz = 0, ?F y (x , y , z ) = 2x + 2z + λxz = 0, ?

?F z (x , y , z ) = 2x + 2y + λxy = 0, ?xyz = 8 得 x = y = z = 2,这是唯一可能的极值点. 因为由问题本身可知最小值一定存在，所以最小值就在这个可能的极值点处取得.即：体积为8m 3的有盖长方体水箱中,以棱长为2的正方体的表面积为最小，最小表面积 S = 24.

6. 某工厂生产甲、乙两种产品的日产量分别为 x 件和 y 件，总成本函数为

C (x ,y )=1000+8x 2－xy +12y 2(元),

要求每天生产这两种产品的总量为 42 件，问甲、乙两种产品的日产量为多少时，成本最低？

解：问题是在约束条件 x +y =42(x >0，y >0)下，函数

y y 3 x y ? ?

的条件极值问题.令

C (x ,y )=1000+8x 2－xy +12y 2(元)

L (x , y , λ) =1000 +8x 2－xy +12y 2 + λ(x + y - 42)

由 L x =16x - y + λ = 0, L y = -x + 24y + λ = 0, x + y = 42 得 x =25,y =17. 根据问题本身的意义及驻点的唯一性知，当投入两种产品的产量分别为 25 件和 17 件时，可使成本最低. 7. 某公司通过电视和报纸两种媒体做广告，已知销售收入 R (单位:万元)与电视广告费 x (单位:万元)和报纸广告费 y (单位:万元)之间的关系为

R (x ,y )=15+14x +32y －8xy －2x 2－10y 2，

(1) 若广告费用不设限，求最佳广告策略.

(2) 若广告费用总预算是 2 万元，分别用求条件极值和无条件极值的方法求最佳广告策

略. 解：(1) 令R x =14 - 8y - 4x = 0, R y = 32 - 8x - 20y = 0. 得唯一驻点(1.5,1).由此可知，当电视广告费为 1.5 万元，报纸广告费为 1 万元时，广告策略最佳。 (2) 问题是在约束条件 x +y =2(x >0，y >0)下，函数

R (x ,y )=15+14x +32y －8xy －2x 2－10y 2

的条件极值问题.令

L (x , y , λ) =15+14x + 32y －8xy －2x 2－10y 2 + λ(x + y - 2) 由 L x =14 - 8y - 4x + λ = 0, L y = -8x + 32 - 20y + λ = 0, x + y = 2

解得 x =0.75,y=1.25. 由此可知，当电视广告费为 0.75 万元，报纸广告费为 1.25 万元时，广告策略最佳。由 x +y =2，可得 y =2-x ,代入 R 得

R (x ,y )=-4 x 2+6x +39

令 R x = 0,得x = 0.75 .因此 y =1.25.

复习题 7 （A ）

1. 设 z = + f (3 x -1) ，且已知 y =1 时，z =x 则 f (x ) = (x +1)3 -1, z = + x -1. 解：由 y =1 时，z =x ，得 f (3 x -1)=x -1.

令 -1=t.得x = (t +1)3 ,因此f (t ) = (t +1)3 -1.即f (x ) = (x +1)3

-1 ， z = + x -1.

? x 3

, (x , y ) ≠ (0,0)

2. 设 f (x , y ) = ?

x 2 + y 2 ?0, (x , y ) = (0,0) ，则 f x (0,0) = 1 , f y (0,0) = 0 .

解： f (0,0) = lim f (0 + ?x ,0) - f (0,0)

= lim ?x =1,

?x →0 ?x

?x →0 ?x f (0,0) = lim f (0,0 + ?y ) - f (0,0) = lim 0 = 0. x

?x →0 ?y ?x →0 ?y 3. 设 z = arctan x + y

,,则 d z = .

x - y

解：令 u = x + y ,v = x - y ,则z = arctan u

dz = d (arctan u ) = 1 1 du - 1 u

dv v 1+ (u )2 v 1+ (u )2 v 2

v v

而 d u = dx + dy ,dv = dx - dy

? ? 2 2

2 故 d z = 1 1 [dx + dy - (x + y )(dx - dy )] ? x + y ?x - y x - y 1+ 1- xy ?

xdy - ydx .

x 2 + y 2

4. 设 u = yf ( y ) + xg ( x ) ,其中 f ,g 具有二阶连续偏导数,则 x ? u + y ? u = x y 解： ?u = yf '( y )?-

y ? + g ( x ) + xg '( x ) 1 , ?x 2

?x ?y .

?x x x 2 ? y y y

? ?

y ? y 2 ? y 2 y x 1 x 1 x 1 = y f ' ' ( ) 4? + y f ' ( )3+ g ' ( + ) g '+( ) x g '2 ?x

x ? x ? x x y y y y y y ?2u y ? y 2 ? y 2y x x x x 2

x x = - f ''( ) ? - f '( ) - g '( ) - g ''( ) - g '( ) , ?x

x ? x 3 ? x x 2 y y 2 y y 3 y y 2 所以 x ? u + y ? u = 0. ?x 2

?x ?y 5. 若函数 z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)处的偏导数存在，则在该点处函数 z = f (x ,y ) A 有极限 B 连续 C 可微 D 以上三项都不成立解：因为偏导数存在，不能推出极限存在，所以 A BC 三项不一定正确. 6. 偏导数 f x (x 0,y 0)，f y (x 0,y 0)存在是函数 z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)连续的( D ) A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 即非充分也非必要条件解：同 5. 7. 设函数 f (x ,y )=1－x 2+y 2,则下列结论正确的是( D ) A 点(0,0)是 f (x ,y )的极小值点 B 点(0,0)是 f (x ,y )的极大值点 C 点(0,0)不是 f (x ,y )的驻点 D f (0,0)不是 f (x ,y )的极值 8. 求下列极限：

( D )

(1) lim (x 2 + y 2 )sin 1 ； (2)

lim

(x ,y )→(0,0) xy

(x ,y )→(0, 0) 解：(1) 因为 lim (x 2 + y 2 ) = 0，而sin 1 有界.所以 lim (x 2 + y 2 )sin 1 = 0.

( x , y )→(0,0) (2)

xy ( x , y )→(0,0) xy

lim = lim = lim xy ( x , y )→(0, 0)

( x , y )→( x , y )→=0

9. 设 u =e 3x －

y ，而 x 2+y =t 2,x －y =t +2,求 d u .

d t t =0

解：由 x 2+y =t 2,x －y =t +2,可得 2x dx + dy = 2t , dx - dy

=1, 所以 dt dt dt dt dx = 2t +1 , dy = 2t - 2x . dt 2x +1 dt 2x +1

因此，

du = du dx + du dy = 3e 3x - y 2t +1 - e 3x - y 2t - 2x . dt dx dt dy dt 2x +1 2x +1

令 t = 0,得x = -2, y = -4或x =1, y = -1.

-2 2 2

?? f

故 d u d t t =0 = 5 e 4或e . 3 3

2 2

10. 设 z =f (x ,y )由方程 xy +yz +xz =1 所确定,求 ?z , ? z , ? z . 解：两边同时对 x 求偏导，得

?x ?x 2 ?x ?y

y + y ?z + z + x ?z = 0,因此?z = - y + z ,由对称性可得?z = - x + z

?x ?x ?x x + y ?y x + y

?z - y + z x + y - y - z ?2 z = - ?x ?x (x + y ) - (y + z ) = - (x + y )

x + y ( )

(x + y )2 = 2y + 2z . (x + y )2 ?2

z (1+ ?z )(x + y ) - (y + z ) (1- x + z )(x + y ) - y - z ?y x + y 2z ? ? = - = - = x y (x + y )2 (x + y )2 2 2 . (x + y )2

11. 设 f (u ,v )具有二阶连续偏导数,且满足 ? f + ? f

= 1 ，又

g (x , y ) = f [x y , 1(x 2 - y 2 )] , ?u 2 试证

2 2

?v 2 2

? g + ? g

= x 2 + y 2 . ?x 2 ?y 2

证：设u = xy ,v = 1 (x 2 - y 2 ),则g (x , y ) = f (u ,v ). 则

?g = ?f ?u + ?f ?v = ?f y + ?f x , ?g = ?f ?u + ?f ?v = ?f x - ?f y , ?x ?u ?x ?v ?x ?u ?v ?y ?u ?y ?v ?y ?u ?v 2 2 2 2 2 ? g ? f ?u ? f ?v ?f ? f 2 ? f 2 ?f

= y + x + = y ?x 2 ?u 2 ?x ?v 2 ?x ?v ?u 2 + x ?v 2

+ ?v , 2 2 2 2 2

? g ? f ?u ? f ?v ?f ? f 2 ? f 2 ?f

= x - y - = x ?y 2 ?u 2 ?y ?v 2 ?y ?v ?u 2 ?2g ?2g 所以 + = x + y .

+ y ?v 2 - ?v ,

?x 2 ?y 2

12. 求函数 f (x ,y )=x 2(2+y 2)+y ln y 的极值.

? f (x , y ) = 2x (2 + y 2 ) = 0 解：先解方程组 ? x

? y

(x , y ) = 2x 2 y + ln y +1 = 0 得驻点为(0,1).

f = 2(2 + y 2 ), f (x , y ) = 4xy , f (x , y ) = 2x 2 + 1 , xx xy yy

在点(0，1)处,Δ=AC -B 2=6×1-0>0,又 A >0,所以函数在(0，1)处有极小值 f (0，1)=0.

（B ）

1. 设 z =e －x +f (x －2y )，且已知 y =0 时，z =x 2,则 ?z

= .

?解：令 y = 0得f (x ) = x 2 - e x ,因此，z = e x

+(x - 2y )2 - e x -2y ,

所以 ?z = e x + 2(x - 2y ) - e x -2 y . ?x 2. 设 f (x ,y ,z )=e x yz 2，其中 z =z (x ,y )是由 x +y +z +xyz =0 确定的隐函数，则 f (0,1,-1) = .

解：由x + y + z + xyz = 0可得1+ ?z + y (z + x ?z

) = 0.

?x ?x

x y x

2 y 2

故

?z ?x 1+ yz =- 1+ xy

f (x , y , z ) = y (e x z 2 + e x ? 2z ?z ) = y (e x z 2 - 2e x z 1+ yz

) x

?x 因此 f x (0,1,-1) =1.

1+ xy

3. 设 z = ln( + ) ,则 x ?z + y ?z

= .

?x ?y 1 1

1 1 解： ?z

= ?x 2 x , ?z = x + y ?y 2 y ，

x + y 所以 x ?z ?x 1 ( + + y ?z =

?y +) 1 . 2

?2z 4. 设 z = 1 f (x y ) + yg (x + y ) ,,其中 f ,g 具有二阶连续偏导数,则 x

?x ?y =

解： ?z = - 1 f (xy ) + y

f '(xy ) + y

g '(x + y ), ?x x 2

x ?2

z = - 1 f ' (xy ) + 1 f '(xy ) + y f ''(xy )x + g '(x + y ) + yg ''(x + y ) ?x ?y x x x

= y f ' ' (x y )+ g ' (+x y +) y g ' '+(x .

5. 函数 f (x , y ) = (0,0)处的偏导数存在的情况是( C ).

A f x (0,0)，f y (0,0)都存在

B f x (0,0)存在，f y (0,0)不存在

C f x (0,0)不存在，f y (0,0)存在

D f x (0,0)，f y (0,0)都不存在

解： f x (0,0) = lim ?x →0 f (0 + ?x ,0) - f (0,0) ?x = lim ?x →0 e ?x -1 ?x = l ?x →, f y (0,0) = lim ?x →0 f (0,0 + ?y ) - f (0,0) ?y

= lim ?x →0 e ?y -1 = l ?x →0 =0. 6. 设 f (x ,y ),g (x ,y )均为可微函数，且 g y (x ,y )≠0，已知(x 0,y 0)是 f (x ,y )在约束条件 g (x ,y )=0 下的一个极值点，下列结论正确的是( D ) A 若 f x (x 0,y 0)=0,则 f y (x 0,y 0)=0 B 若 f x (x 0,y 0)=0,则 f y (x 0,y 0)≠0 C 若 f x (x 0,y 0)≠0,则 f y (x 0,y 0)=0 D 若 f x (x 0,y 0)≠0,则 f y (x 0,y 0)≠0 解：作拉格朗日函数 L (x , y ,λ) = f (x , y ) + λg (x , y )，则有

L x (x , y ,λ) = f x (x 0 , y 0 ) + λg x (x 0 , y 0 ) = 0 ， L y (x , y ,λ) = f y (x 0 , y 0 ) + λg y (x 0 , y 0 ) = 0 .

由于 g y (x ,y )≠0，所以当 f x (x 0,y 0)≠0， λ ≠ 0, 因此 λg y (x 0 , y 0 ) ≠ 0 ，从而 f y (x 0,y 0)≠0. 7. 设函数 u =f (x ,y ,z )有连续偏导数，且 z =z (x ,y )是由 x e x －y e y =z e z 所确定的隐函数，求 d u .

解：由 x e x －y e y =z e z 可得 e x + xe x

= ?z e z + z e z ?z .故 ?z = e x + xe x ,同理?z -e y

- ye y = . ?x 因此 d u = f x dx + f y dy + f z dz

e x + xe x ?x e y + ye y

?x e z

+ ze z ?y e z + ze z

= f x dx + f y dy + f z (

e z + ze z

dy )

y .

x -z

， e x + xe x e y + ye y

= ( f x + f z e z + ze z + ( f y - f z e z + ze z

8. 设函数 u =f (x ,y ,z )有连续偏导数，且 y =y (x ),z =z (x )分别由下列两式确定：

e x y - x y = 2,e x = ?

sin t d t ， 0 t d u d x .

xy 解：由 e xy - xy = 2,可得e xy

(y + x dy ) -(y + x dy ) = 0,因此 dy = e y - y = - y .

x x -z dx dx dx x x x - e xy

x x

由 e = sin t d t ,可得e = sin(x - z ) (1- dz )，因此

dz =1- e (x - z ) .

?0 t x - z dx dx x

sin(x - z )

故 d u = f + f dy + f dz = f - f y + f [1- e (x - z ) ] .

d x x y

dx z dx x y x z sin(x - z ) 9. 设 z =z (x ,y )由方程 x 2+y 2－z =g (x +y +z )所确定，其中 g 具有二阶连续偏导数且 g ′≠－1. (1) 求 d z ;

(2) u (x , y ) = 1 ( ?z - ?z ) ,求 ?u .

x - y ?x ?y

?x 解：(1)由x 2 + y 2－z = g (x + y + z ) ,两边分别同时对 x 、y 求偏导得 2x - ?z = g '(x + y + z )(1+ ?z ), 2y - ?z = g '(x + y + z )(1+ ?z ).

?x ?x ?y ?y

因此 ?z = 2x - g '(x + y + z ) , ?z = 2y - g '(x + y + z ).

?x g '(x + y + z )+1 ?y g '(x + y + z )+1 dz = 2x - g '(x + y + z ) dx () + 2y - g '(x + y + z ) dy .

()

(2) u (x , y ) = 1 (?z - ?z ) = 1 2x - 2y = 2 ,

x - y ?x ?y x - y g '(x + y + z )+1 g '(x + y + z )+1

?z -2g ''(x + y + z )[1+ 2x - g '(x + y + z )]

-2g ''(x + y + z )(1+ ) ?u = ?x = ?x [g '(x + y + z ) +1]2 . [g '(x + y + z ) +1]2

10. 求函数 u =x 2+y 2+z 2 在约束条件 z =x 2+y 2 和 x +y +z =4 下的最大值和最小值. 解：由 z =x 2 + y 2 , x + y + z = 4可得x 2 + y 2 = 4 - x - y .因此，问题转化为求

u = 4 - x - y +( 4 -x -2y )在约束条件 2 x +2

y =4 -x 下的极值问题.

令 L (x , y ,λ) = 4 - x - y +(4 - x - y )2 + λ(x 2 + y 2 - 4 + x + y ) ,

L x (x , y ,λ) = -1- 2(4 - x - y ) + 2λx + λ = 0 ，

L y (x , y ,λ) = -1- 2(4 - x - y ) + 2λ y + λ = 0 .

x 2 + y 2 - 4 + x + y = 0,

解得: x = -2, y = -2或x =1, y =1. 因此, z=8或z=2. 又 f (-2,-2,8) = 72, f (1,1,2) = 6.

所以最大值为 72，最小值为 6.

习题 8-1

1. 设有一平面薄片，在 xOy 平面上形成闭区域 D ，它在点(x ,y )处的面密度为μ(x ,y )，且

μ(x ,y )在 D 连续，试用二重积分表示该薄片的质量.

解： m = ??

μ(x , y )d σ .

求 g '(x + y + z ) +1

y ?

2 2 2

3 2 20 y

x 2. 试比较下列二重积分的大小：

(1) ??

(x + y )2dσ 与 ??

(x + y )3dσ ，其中 D 由 x 轴、y 轴及直线 x +y =1 围成；

(2) ??ln(x + y )d σ 与 ??

??ln(x + y )?? d σ ，其中

D 是以 A (1,0)，B (1,1)，C (2，0）为顶点 D

的三角形闭区域.

解：(1)在 D 内， 0 ≤ x + y ≤1，故(x + y )2

≥(x + y )3

， ??

(x + y )2d σ ≥ ??

(x + y )3d σ .

(2) 在 D 内，1≤ x + y ≤ 2，故0 ≤ ln(x + y ) ≤1, 从而ln(x + y ) ≥ln 2( x + y ) ,

??ln(x + y )d σ ≥ ??[ln(x + y )]2

d σ

习题 8-2 1. 画出积分区域，并计算下列二重积分： (1) ??

(x + y )dσ ，其中 D 为矩形闭区域： x D ≤1, y ≤1；

(2) ??(3x + 2y )dσ ，其中 D 是由两坐标轴及直线 x +y =2 所围成的闭区域； D

(3) ??(x 2 + y

-x )dσ ,其中 D 是由直线 y =2,y =x ,y =2x 所围成的闭区域；

(4) ??x 2ydσ ,其中 D 是半圆形闭区域:x 2+y 2≤4,x ≥0； D

(5) ??x ln ydσ ,其中 D 为:0≤x ≤4,1≤y ≤e ；

x 2 1

(6)

?? 2 dσ 其中 D 是由曲线 x y =1, x = 2 , y = x 所围成的闭区域. D

解：(1)

??(x + y )d σ = ?-1

dx ?-1

(x + y )dy =?-1

2xdx = 0.

(2) ??(3x + 2y )d σ = ? 2

2-x

dx (3x + 2y )dy = ?2

[3x (2 - x ) + (2 - x )2

]dx 0 0 0

2 = ? [-2x + 2x + 4]dx = - x + x + 4x = . 0

3 0 3

2 y 2 19y 3

(3) ??(x 2 + y 2 - x )d σ = ? dy ? (x 2 + y 2 - x )dx = ? ( - 3 y 2 )dy

0 2 0 24 8 19 y 4 - 1 y 3 2 = 13. 96 8 0 6

(4) 因为被积函数是关于 y 的奇函数，且 D 关于 x 轴对称，所以 ??

x 2 yd σ = 0.

4 e 4

e e e -1 2 4 (5) ?? x ln yd σ = ? dx ? x ln ydy = ? x (y ln y - ln y 1 )dx = x = 2(e -1) . 2 0 0 1 0

D x x

11 x

9 2 1 1 2 1

3 2 (6) ?? 2 d σ = ?1 dx ?x 2 dy = -?1 = ?1 (x - x )dx = ( 2 -= 6

4 .

D y 2 y 2 2. 将二重积分 ??

f (x , y )dσ 化为二次积分（两种次序）其中积分区域 D 分别如下：

(1) 以点(0,0),(2,0),(1,1)为顶点的三角形； (2) 由直线 y =x 及抛物线 y 2=4x 所围成的闭区域；

? ? ?

? ? e

? ?

? ? 1

? ? ? ? ? ? 0 0

(3) 由直线 y =x ,x =2 及双曲线 y = 1 所围成的闭区域；

(4) 由曲线 y =x 2

及 y =1 所围成的闭区域. 解：(1)

? dx ? f (x , y )dy + ? 2

2-x

dx 1

2- y

f (x , y )dy = dy f (x , y )dx . 0 0

1 0 0 y

(2) ? 4 2 x

dx f (x , y )dy =? dy ? f (x , y )dx .

0 1 y

2 2

(3) ?1 dy ?1 f (x , y )dx + ? dy ? f (x , y )dx =? dx ?1 f (x , y )dy .

x 1

(4)

? dx ? f (x , y )dy =? dy ? f (x , y )dx .

-1

- y

3. 交换下列二次积分的积分次序： (1)

? dy ? 2 2y

f (x , y )dx ；

（2） dy f (x , y )dx ；

0 0

y (3) ? dx

? ln x

f (x ,y )dy ； (4) 1

dy 3 3-y

f (x , y )dx + dy f (x , y )dx .

0 0

解：(1) ? dy ? f (x , y )dx = ? dx ? f (x , y )dy . 0 0 0

(2) ? 2

2 y dy f (x , y )dx = ? d x ? x

f (x , y )dy .

y 0

e ln x

1 e

(3) ? dx ?

f (x , y )dy = ? dy ? f (x , y )dx

1 0 0

e 1 2 y

(4)

dy 3

3- y

f (x , y )dx + dy f (x , y )dx = ? 2

3-x

dx x f (x , y )dy .

4. 求由平面 x =0,y =0,x =1,y =1 所围成的柱体被平面 z =0 及 2x +3y +z =6 截得的立体体积.

1 1 1 3 7

解：V = ?0 dx ?0 (6 - 2x - 3y )dy =?

0 (6 - 2x - 2)dx = 2

5. 求由平面 x =0,y =0,x +y =1 所围成的柱体被平面 z =0 及曲面 x 2+y 2=6－z 截得的立体体积.

1 1-x

2 2

1 2 (1- x )3 34 解：V = ? dx ? (6 - x - y )dy =? [6(1- x ) - (1- x )x - 3 dx = 12 .

0 0 0

习题 8-3

1. 画出积分区域，把二重积分 ??

f (x , y )dσ 化为极坐标系下的二次积分,其中积分区域 D

是：

(1) x 2+y 2≤a 2 (a >0)；

(2) x 2+y 2≤2x ；

(3) 1≤x 2+y 2≤4； (4) 0≤y ≤1－x ,0≤x ≤1.

解：(1)

2π

?? f (x , y )d σ = ? d θ ? f (r cos θ,r sin θ)rdr .

2cos θ

2 (2) ?? f (x , y )d σ = ? π d θ ?

f (r cos θ,r sin θ )rdr .

- 2 0 2π

(3)

?? f (x , y )d σ = ? d θ ? f (r cos θ,r sin θ)rdr .

1 D

(4) ?? f (x , y )d σ = ? 2 d θ ?cos θ +sin θ

f (r cos θ,r sin θ)rdr . D

2. 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值： (1) ? a dy x 2 + y 2 )dx ；

(2)

? dx ?; 0

a π a

π a 4

解：(1)

? dy x 2 + y

)dx = ? 2

d θ ? r 3

dr = ? = . 0

2 4 8

4 y y

4 a

-5 -3

-π π (x 2 + y 2 )2

? ? a a 1 π sin θ 2 1 π sin 3 θ ?0

dx ?

= ?0 d θ ?0 r dr = 3 ?0 d θ cos 6 θ (2) 4

cos θ 4 π - 2

θ π

π = - 1 ? 4 1 c o s d ( c o θs =)- ?4[1d (θc o -s ? 1 θ (

3 0 cos 6 θ 3 0 cos 6θ

0cos θ4

= - 1 (- cos θ + cos θ= 2( 2 +1) .

3 5 3 45 3. 在极坐标系下计算下列二重积分： x +y 2

(1) e

dσ ,其中 D 是圆形闭区域: x +y ≤1；

D (2) 区域；

??ln(1+ x 2

+ y 2

)dσ ,其中 D 是由圆周 x 2+y 2=1 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭

(3)

arctan y dσ ，其中 D 是由圆周 x 2+y 2=1,x 2+y 2=4 及直线 y =0,y =x 所围成的在第一

象限内的闭区域；

(4) D

其中 D 由圆周 x 2+y 2=Rx (R >0)所围成.

x + y

2π

1 r

1 r 1

解：(1) ??e d σ = ? d θ ? e rdr = 2π ? 2

e = π (e -1).

0 0 0 D π 1 2 2 2

2 π r 2

2 1 1 r

3 (2) ??ln(1+ x + y )d σ = ? d θ ? ln(1+ r )rdr = 2 [ 2 ln(1+ r ) 0 - ? 1+ r dr ]

0 0

0 2 D

r (1+ r 2 ) - r π

= 4 [ln 2 - 2?0 1+ r 2 dr ] = 4 (2ln 2 -1) .

y π 2 π 2 π 2 3 3π 2 (3) ??arctan d σ = ? d θ ? arctan(tan θ ) ? rdr = ? 4 θd θ ? rdr = ? = .

x 0 1 0 1 D

32 2 64 2 R cos 1 2 2 2 2 3 R cos θ π π

(4) ??= ? π d θ ? = - ? π (R - r )2 d θ - 2 0 π 3

2 - 2

3 0 = - 1 3 ? 2 (R 3 s i n 3

θ - R 2

d θ) = π R . 3 4. 求由曲面 z =x 2

+y 2

与 z =

. 解：两条曲线的交线为 x 2+

y 2=1，因此，所围成的立体体积为：

V = ??2π 1

(x 2 + y 2 )]d σ =? d θ ? (r - r 2 )rdr = .

0 0 6 D

习题 8-4

1. 计算反常二重积分 ??

e -(x +y )dx dy ，其中 D ：x ≥0,y ≥x .

2. 计算反常二重积分

?? dx dy ，其中 D ：x 2+y 2

≥1. D

解：1. dx e -x - y dy = ? (e -2x - e -x -a )dx = - e -2a - 1 + e -2a - e -a 0 x 0 -2a 所以 ??e -( x + y )

dxdy = lim(

- e -1 + e -2a - e -a ) = 1. a →+∞ 2 2

? y

? 1 ? ? 1

? ? y 1 2 4x 1 2x x x 1 2 y

? 2π R 1 1 1 dxdy 1

1 ?0

1 3

2 2

R →+∞

2. 由

d θ

dr = 2π (2 - 2R ) ，得 D (x + y ) = lim 2π (2 - 2R

= π.

复习题 8

（A ）

1. 将二重积分 ??

f (x , y )d x d y 化为二次积分(两种次序都要)，其中积分区域 D 是：

(1) ︱x ︱≤1,︱y ︱≤2; (2) 由直线 y =x 及抛物线 y 2=4x 所围成.

1 2

2 1

解：(1)

?-1 dx ?-2

f (x , y )dy =?-2 dy ?-1

f (x , y )dx . (2) ? 4

2 x

dx f (x , y )dy =? dy ?y f (x , y )dx .

2. 交换下列两次积分的次序： (1) ? d y ? y

f (x , y )d x ;

(2) y

d x f (x , y )d y ;

0 0 (3) ? d x

? 2

2-x

f (x , y )d y + d x f (x ,y )d y ． 0

解：(1) ? d y ? f (x , y )d x = ? d x ? f (x , y )d y .

(2)

d x f (x , y )d y = ? a

a d y ?

f (x , y )d x . 0

a (3) ? d x ? f (x , y )d y + ? 2

2-x

d x

1 2- y

f (x , y )d y = d y f (x , y )d x .

3. 计算下列二重积分： (1) ??e

x +y

d σ ， D : ︱x ︱≤1,︱y ︱≤1;

D (2) ??x 2

y d x d y ,D 由直线 y =1,x =2 及 y =x 围成；

３

(3) ??(x -1)d x d y ,D 由 y =x 和 y =x

围成；

(4)

??(x 2

+ y 2

)d x d y ，D :︱x ︱+︱y ︱≤1; D

(5)

sin y d σ ，D 由 y 2 = π

x 与 y =x 围成； ?? 2

(6)

??(4 - x - y )d σ ，D 是圆域 x 2

＋y 2

≤R 2

；

x + y

1 x + y

x +1

x -1

x +1

x -1

1 1 2

解: (1) ??e d σ = ? dx ? e dy = ? (e - e

)dx = (e - e ) - = (e - e ) .

-1 -1 D 2 2 x 2

-1 1 2 4 2 1 x 5 1 x 3 2 29 (2) ?? x y d x d y = ? dx ? x ydy = 2 ? (x - x )dx = 2 ( 5 - 3 ) 1 = 15 .

1 1

1 D

1 x 1

2 4 3

1 1 1 1 7 (3) ??(x -1)d x d y = ? dx ? (x -1)dy = ? (x - x - x + x )dx = 3 -

2 - 5 + 4 = - 60 .

0 x 0

1-x 2

(4) ??(x D

+ y )d x d y = 4?0

(x + y )dy

3 3 2

4 1 = 4? (2x - x - + )dx = 4( - - + x ) = . 0 3 3 3 2 3 3 0 3

4 x

知到网课答案高等数学经管类上海财经大学版课后作业答案.docx

知到网课答案高等数学经管类上海财经大学版课后作业答案问：属于企业成长机理的是：()。答：范围经济问：利益冲突可能转化为情感冲突。（）答：√ 问：《道德经》分为上篇《德经》和下篇《道经》。答：错问：企业初创成功后必须选择快速发展。（）答：× 问：以下哪些属于考古学的工作过程?() 答：保护发现传承

问：企业组织正规化意味着绝不能有冗余部门的存在。（）答：× 问：考古学研究的对象包括人类诞生以前的所产生的现象和遗留。() 答：错误问：传世品与发掘品在科研信息上具有差别性。() 答：√ 问：公益创业的核心是用创新方法解决社会焦点问题。（）答：正确问：移动互联网是指移动通信和互联网两者结合起来。（）答：正确问：（）提出要把“主义”和“道路”相结合的思想。答：八七会议问：Google是一个答：搜索引擎

问：马克思主义中国化的提出源于中国革命进程中的两次胜利和失败，其中第二次胜利是指（）。答：1930年的土地革命战争问：马克思主义中国化的两大理论成果属于马克思主义的科学体系，可以取代马克思主义。（）答：× 问：企业初创期的当务之急是完善组织架构。( ) 答：错误问：急救技术不包含以下哪些?() 答：阑尾切除术引产术创伤修复术问：毛泽东思想的理论渊源中，马列主义思想和中国优秀传统文化的作用同等重要。（）答：× 问：（）是党内第一个提出毛泽东思想科学概念的人。答：王稼祥问：最早提到王官采诗的大致情况的先秦典籍是（）。

答：《左传》问：支配直肠和肛管的动脉答：髂内动脉肠系膜下动脉阴部内动脉

微积分课后题答案第九章习题详解

第9章习题9-1 1．判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑．解：（1）该级数为等比级数，公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2） Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质

知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5）Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7）Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8）Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2．判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑．解：Q （1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且其和为1+ 12=3 2 . （2）Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++??

高等数学课后习题答案第六章 (1)

习题六 1. 指出下列各微分方程的阶数： (1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： 2(1)2,5xy y y x '==; 解：由25y x =得10y x '=代入方程得故是方程的解. (2)0,3sin 4cos y y y x x ''+==-; 解：3cos 4sin ;3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+ 代入方程得 3sin 4cos 3sin 4cos 0x x x x -++-=. 故是方程的解. 2(3)20,e x y y y y x '''-+== ; 解：2222e e (2)e ,(24)e x x x x y x x x x y x x '''=+=+=++ 代入方程得 2e 0x ≠. 故不是方程的解. 解：12122211221122e e ,e e x x x x y C C y C C λλλλλλλλ'''=+=+ 代入方程得故是方程的解. 3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解：证：方程22 x xy y C -+=两端对x 求导：得 22x y y x y -'= - 代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解. 证：方程ln()y xy =两端对x 求导： 11y y x y ''= + (*) 得 (1)y y x y '=-. (*)式两端对x 再求导得将,y y '''代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解. 4. 从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线：解：当0x =时，y = 5.故C =-25 故所求曲线为：22 25y x -= 解： 2212(22)e x y C C C x '=++ 当x =0时，y =0故有1 0C =. 又当x =0时，1y '=.故有21C =. 故所求曲线为：2e x y x =. 5. 求下列各微分方程的通解： (1)ln 0xy y y '-=;

大学期末复习试题资料整理《高等数学2》经管类期末试卷

一、填空题(本大题共5题,每题2分,共10分。请直接将正确结果填入各题的空格处) 1. 函数221y x z --=的定义域； 2. 由方程z e xz yz xy =+-所确定的隐函数),(y x z z =在点()1,1处的全微分1 1==y x dz = ； 3. 变换二重积分 ??= =b a x a I dy y x f dx I 的积分次序后),( ； 4. 将函数()2 cos x x f =展开成x 的幂级数为； 5. 微分方程0='-''y y 的通解是。二、选择题(本大题共5题,每题2分,共10分。每小题有四个选项,其中有且只有一个选项正确,请将正确选项的代号字母填入括号内) 6. 在空间解析几何中方程42 2=+y x 表示( )。 A.圆 B.平面 C.圆柱面 D.球面 7. 设函数2 2y x z =,则=??22x z ( )。 A. 22y B. xy 4 C. y 4 D. 0 8. 设(){ }01,01,≤≤-≤≤-=y x y x D ,则??D dxdy 等于( )。 A.－1 B.1 C.2 D.－2 9. 级数∑ ∞ =121 n n ( )。 A. 发散 B.收敛,其和为2 C.收敛,其和为1 D.收

敛,其和为3 10. 下列方程中,( )是二阶线性齐次微分方程。 A.y y dx y d ='+22 B.y x y '+=''2)( C. y y x y '+=''2 D. x y y y +'=''2 )( 三、计算题(本大题共9题,每题7分,共63分。解答须有主要解题步骤, 说明必要的理由) 11. 设),(v u f z =,y x u 2 =,y x v =,求y z x z ????,。 12. 求函数 12 2++=y x z 在条件03=-+y x 下的极值。 13. ?? D xyd σ,其中D 是由抛物线x y =2 及直线2-=x y 所围成的闭区域。 14. 计算??D dxdy y 2,其中D 为:412 2≤+≤y x 。(要求画草图。提示: 在极坐标下计算) 15. 计算由y x z ++=1,1=+y x , 0=x ,0=y 及0=z 所围成立体的体积 16. 判断级数∑∞ =1 2 sin n n n α的敛散性； 17. 求幂级数n n x n ∑∞ =1 1的收敛区间与和函数。 18. 求解微分方程xy x y -='1。 19. 求微分方程x x x y y sin =+ '满足π π22=??? ??y 的特解。

郑州大学高等数学下课后习题答案解析

习题7.7 3.指出下列方程所表示的曲线. （1）???==++;3, 25222x z y x （2）???==++;1,3694222y z y x （3）???-==+-;3, 254222x z y x （4）???==+-+.4,08422y x z y 【解】（1）表示平面3=x 上的圆周曲线1622=+z y ；（2）表示平面1=y 上的椭圆19 32322 2=+z x ；（3）表示平面3-=x 上的双曲线14 162 2=-y z ；（4）表示平面4=y 上的抛物线642-=x z . 4.求() () ?????=++=++Γ2, 21, :2 22 2 222Rz z y x R z y x 在三个坐标面上的投影曲线. 【解】（一）（1）、（2）联立消去z 得 2224 3R y x = + 所以，Γ在xoy 面上的投影曲线为 ?????==+.0, 4 322 2z R y x （二）（1）、（2）联立消去y 得 R z 2 1 = 所以，Γ在zox 面上的投影曲线为 .23.0,21R x y R z ≤ ?? ? ??==

（三）（1）、（2）联立消去x 得 R z 21 = 所以，Γ在yoz 面上的投影曲线为 .23.0, 21R y x R z ≤ ????? == 6.求由球面224y x z --= ①和锥面() 223y x z += ②所围成的立体在xoy 面上的投影区域. 【解】联立①、②消去z 得 122=+y x 故Γ在xoy 面上的投影曲线为 ? ??==+.0, 122z y x 所以，球面和锥面所围成的立体在xoy 面上的投影区域为(){}1|,22≤+=y x y x D . 习题7.8 2.设空间曲线C 的向量函数为(){} t t t t t r 62,34,122--+=，R t ∈.求曲线C 在与 20=t 相应的点处的单位切向量. 【解】因(){}64,4,2-=t t t r ，故C 相应20=t 的点处的切向量为 (){}2,4,42='r . C 相应20=t 的点处的单位切向量为 (){}.31,32,322,4,4612? ?????±=± =' 3.求曲线32,,:t z t y t x ===Γ在点)1,1,1(0M 处的切线方程和法平面方程. 【解】0M 对应参数1=t .Γ在0M 点处的切线方向为

高等数学课后习题及解答

高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5

D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解向量 a 的单位向量为，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4

高等数学经管类参考答案与提示

参考答案与提示习题1-2 1、 7)0(=f ；27)4(=f ； 9)2 1 (=-f ； 732)(2+-=a a a f ； 62)1(2++=+x x x f 2、1)2(-=-f ；0)1(=-f ；1)0(=f ；2)1(=f 3、（1）[)(]1,00,1 -；（2）1>x （3）[]3,1- （4）()()()+∞∞-,22,11, 4、（1）x y 2cos 2+= （2）2 3cot x arc y = 习题1-3 1. （1）5；（2）1；（3）不存在；（4）不存在 2．（1）2；（2） 25；（3）2 3 ；（4）32-；（5）12-；（6）1. 习题1-4 1. (1)无穷小；（2）无穷大；（3）无穷大（∞-）；（4）- →0x 时是无穷小；+ →0x 时是无穷大； 2. （1）同阶无穷小；（2）高阶无穷小；（3）等价无穷小 3. （1）1；（2） 21；（3）2 3 ；（4）1 习题1-5 （1）．24;（ 2）.0;（ 3）.35；（4）.∞；（5）.50 30 305 32?；（6）.21-；（7）.0；（8）.1259-；

（9）. 24 9 25+；（10）.0 习题1-6 1．（1） 35；（2）1x x sin lim x -=-→ππ ；（3）4；（4）32（5）2；（6）2 2．（1）8 e ；（2）1 -e ；（3）3 2 - e ；（4）2-e （5）5 e ；（6）e 习题1-7 1.1=a ；1=b 2.（1）1±=x 是第二类间断点中无穷间断点；（2）0x =是第二类间断点中的无穷间断点；（3）1=x 是第一类间断点中可去间断点；（4）1-=x 是第二类间断点中的无穷间断点，1=x 是第一类间断点中的跳跃间断点 3.（1）)1ln(+e ；（2） 23 2 ；（3）e a log 3；（4）1 复习题一 1、（1）1；（2）[]2,1)0,2(?-；（3）[)3,0；（4）3；（5）k e ；（6）2 3 ；（7）2；（8）第一类间断点且可去间断点 2、（1）C ；（2 C （A.1x y -=；1x y .C --=）；（3）B ；（4）B ；（5）C ；（6）D ；（7）A ；（8）A 3、（1）34；（2）3 12x x )1x sin(21x lim =-+-→；（3）2 -e ；（4）1)x (sin x sin 330x lim =→；（5）31；（6） 0)2x (sin x x 3 x 2 x lim =+-+∞→；（7）a cos ；（8）4 π - 4、1=a 5、2 3 = a 6、6 b ,4a == 7、（1） 2 1 ；（2）a 2

高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析

高等数学第六版上册课后习题答案及解析第一章习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +∞), A ? B =[-10, -5), A \ B =(-∞, -10)?(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B )C =A C ?B C . 证明因为 x ∈(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ∈A C 或x ∈B C ? x ∈A C ?B C , 所以 (A ?B )C =A C ?B C . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f (A ?B )=f (A )?f (B ); (2)f (A ?B )?f (A )?f (B ). 证明因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ? y ∈f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )? y ∈ f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B ). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中I X 、 I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 证明因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中

高等数学经管类

一. 单项选择题(共45分,每题3分) 请务必将选择题答案填入下面的答题卡 1. 数列{}n x 有界就是数列{}n x 收敛的( ) A 、充分条件 B 、充要条件 C 、必要条件 D 、非充分又非必要条件 2.设极限0(1)(12)(13)a lim 6x x x x x →++++=,则a =( ) A 、 1 B 、 2 C 、 3 D 、 -1 3.当1x →时,函数 1 2111 x x e x ---的极限就是( ) A 、 2 B 、不存在也不就是∞ C 、 ∞ D 、 0 4.如果函数()y f x =在点0x x =处取得极大值,则( ) A 、 0()0f x '= B 、 0()0f x ''< C 、 0()0f x '=且0()0f x ''< D 、 0()0f x '=或0()f x '不存在 5.若两曲线2 y x ax b =++与3 21y xy =-+在点(1,1)-处相切,则,a b 的值为( ) A 、 0,2a b ==- B 、 1,3a b ==- C 、 3,1a b =-= D 、 1,1a b =-=- 6.某商品的价格P 与需求量Q 的关系为100.01P Q =-,则4P =时的边际收益为( ) A 、 300 B 、 200 C 、 100 D 、 0 7.设函数()f x 可导,且0 lim ()1x f x →'=,则(0)f ( ) A 、就是()f x 的极大值 B 、就是()f x 的极小值 C 、不就是()f x 的极值 D 、不一定就是()f x 的极值 8.设()f x 就是连续函数,则下列计算正确的就是( ) A 、 11 221 ()2()f x dx f x dx -=? ? B 、 131 ()0f x dx -=?

中国人民大学出版社第四版高等数学一第6章课后习题详解

高等数学一第6章课后习题详解课后习题全解习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。知识点：平面图形的面积思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可解：见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<<

∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π，（或D 表达为Y-型：???<<<

∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<<

高等数学上复旦第三版课后习题答案

283 高等数学上（修订版）（复旦出版社）习题六无穷数级答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)111135 7 ++++ ； (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ； (3)3579 3579 a a a a -+-+ ；解：(1)1 21 n U n =-； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ； (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑； (3)23 111 5 55+ ++ ；解：(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++??

284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+，故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-，即级数的和为12-． (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =，即级数的和为14 ． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ； (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ；

关于高等数学课后习题答案

习题6?2 1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1) 解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 6 1]2132[)(10 22310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A ? 解法二画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e ?

(3) 解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A ? (4) 解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12= -+=-+=--?x x x dx x x A ?

2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 22 1x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)? 解? 3 423 8cos 16402+=-=?ππ tdt ? 3 46)22(122-=-=ππS A ? (2)x y 1=与直线y ?x 及x ?2? 解? 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A ?

(3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1? 解? 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解所求的面积为 3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解? y ???2 x ?4?

高等数学经管类

高等数学经管类-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

一. 单项选择题（共45分，每题3分）请务必将选择题答案填入下面的答题卡 1．数列{}n x 有界是数列{}n x 收敛的（） A. 充分条件 B. 充要条件 C. 必要条件 D. 非充分又非必要条件 2．设极限0(1)(12)(13)a lim 6x x x x x →++++=，则a =（） A. 1 B. 2 C. 3 D. -1 3．当1x →时，函数 1 2111 x x e x ---的极限是（） A. 2 B. 不存在也不是∞ C. ∞ D. 0 4．如果函数()y f x =在点0x x =处取得极大值，则（） A. 0()0f x '= B. 0()0f x ''< C. 0()0f x '=且0()0f x ''< D. 0()0f x '=或0()f x '不存在 5．若两曲线2y x ax b =++与321y xy =-+在点(1,1)-处相切，则,a b 的值为（） A. 0,2a b ==- B. 1,3a b ==- C. 3,1a b =-= D. 1,1a b =-=- 6．某商品的价格P 和需求量Q 的关系为100.01P Q =-，则4P =时的边际收益为（） A. 300 B. 200 C. 100 D. 7．设函数()f x 可导，且0 lim ()1x f x →'=，则(0)f （） A. 是()f x 的极大值 B. 是()f x 的极小值

C. 不是()f x 的极值 D. 不一定是()f x 的极值 8．设()f x 是连续函数，则下列计算正确的是（） A. 1 1 221 ()2()f x dx f x dx -=?? B. 1 31 ()0f x dx -=? C. 0+∞-∞ =? D. 11 221 0()2()f x dx f x dx -=? ? 9．设2sin ()sin x t x F x e tdt π+=? ，则()F x （） A. 为正常数 B. 为负常数 C. 恒为零 D. 不为常数 10．设直线1158 :121x y z L --+== -，20:23 x y L y z -=??+=?，则12,L L 的夹角为（） A. 6 π B. 4π C. 3 π D. 2 π 11．设()f x,y 在点()a,b 处偏导数存在，则极限()() n f a x,b f a x,b lim x →+∞ +--= （） A. ()x f a,b B. ()2x f a,b C. ()2x f a,b D. ()1 2 x f a,b 12．设函数()f x 连续，则22 0()dt x d tf x t dx -=?（） A. ()2xf x B. ()2xf x - C. ()22xf x D. ()22xf x - 13．设二次积分2sin 0 d (cos ,sin )d I f r r r r π θθθθ=??，则I 可写成（） A. 2 2d (,)d x f x y y -? B. 2 20 d (,)d y f x y x -? C. 2 0d (,)d x f x y y ? D. 2 d (,)d y f x y x ? 14．点(0,0)是函数z xy =的（） A. 极大值点 B. 极小值点 C. 驻点 D. 非驻点

高等数学课后习题与解答

高等数学课后习题及解答 1. 设 u =a -b +2c ，v =-a +3b -c .试用 a ，b ， c 表示 2u -3v . 解 2u -3v =2（ a -b +2c ） -3（-a +3b -c ） =5a -11b +7c . 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形. 证如图 8-1 ，设四边形 ABCD 中 AC 与 BD 交于 M ，已知 AM = MC ， DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即 AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形 ABCD 是平行四边形. 3. 把△ ABC 的 BC 边五等分，设分点依次为 D 1，D 2，D 3，D 4，再把各分点与点 A 连接.试以 AB =c, BC =a 表向量证如图 8-2 ，根据题意知 1 D 1 A , 1 D 2 A , D 3 A , D A . 4 1 D 3 D 4 BD 1 1 a, 5 a, D 1D 2 a, 5 5 1 D 2D 3 a, 5 故 D 1 A =- （ AB BD 1 ）=- a- c 5

D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解向量 a 的单位向量为，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6） = 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其中 a 6 2 7 2 ( 6) 2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4

知到全套答案高等数学经管类上海财经大学版课后作业答案.docx

知到全套答案高等数学经管类上海财经大学版课后作业答案问：中国的养生学说和体育活动的基本思想是大力发展、充分利用人体自身的潜能（）答：对问：下面哪个不是传统保健运动养生原则（）答：高强度锻炼问：下面哪个不是传统保健运动养生原则（）答：高强度锻炼问：严重腹泻可引起（）答：脱水性休克问：双手攀足固肾腰可预防（）答：腰肌劳伤坐骨神经痛问：一根毛细管插入水中，液面上升的高度为h，当在水中加入少量的NaCl，这时毛细管中液面的高度（）h。[低于、高于、等于] 答：第一空：高于问：马德堡半球证明了（）。答：真空的存在

问：谁提出了“信仰自由” 答：洛克问：南方土壤污染要轻于北方。() 答：错误问：1987年10月,党的十三大把邓小平“三步走”的发展战略构想确定下来,明确提出() 答：第一步,从1981年到1990年实现国民生产总值比1980年翻一番,解决人民的温饱问题第二步,从1991年到20世纪末,使国民生产总值再翻一番,达到小康水平第三步,到21世纪中叶,国民生产总值再翻两番,达到中等发达国家水平,基本实现现代化问：＂Catabile＂意指诙谐地。答：错问："CCVO"的“O”代表的是（）。答：opportuist 问："Memory" should best be thought of as a __________. 答：Plural verb 问："Oe page busiess pla"就是指用一页纸的篇幅描述商业的计划。答：正确问：＂piaissimo＂表示甚强。答：错问：下列能够影响债券内在价值的因素有：答：债券的计息方式票面利率债券的付息方式问：掌握必要的沟通技巧，有助于有效沟通。（）

高等数学经管类(下)复习重点

物流班高数复习重点题型：选择题3'X 5=15 填空3'X 5=15 解答题 ? X8 =60 应用10'X1=10 #1、P15判断二元函数在某点处的极限例5 例6 2、P20偏导数的计算例5 P27 1（1）(5) 3、P29 7.4.2可微于连续、偏导数存在之间的关系两个定理 P51 5 ，6 # 4、P35 多元复合求偏导例4 P31 全微分计算例3 例4 #5 P44 求二元函数的极值例4 #6 P49 拉格朗日乘数发求各种极值问题例9 P50 6 , 7 7、P60交换积分次序例2 例3 #8、P61 直角坐标下的二重积分例4 Y型积分区域 #9、P65求坐标系下二重积分计算例1 10、P73常见的级数敛散性1）等比级数2）调和收敛3）P级数 11、P73常数项级数性质1——3 P75级数收敛必要条件 12、P82比值判断法1、（5） 13、任意项级数、绝对收敛、条件收敛、例3 P86 1、（1） 14、P90求幂级数的收敛性例2 #15、P92求幂级数的和函数例4 P92 2、（1） =1+x+x2+……+x n(|x|<1) 16、P98 将f(x) 展开成幂级数4个e x sin x1 1?x ln(1+x) 17、P111可分变量的微分方程例1----例4 18、P115齐次方程求解例7 19、P120 一阶线性方程例1 例2 #20、P125可降阶的高阶微分方程类型II（不含y）例3 例4 #21、P132 表10—1 例7、例8、例9 P134 2、指数函数情形f(x)=A e ax 这时二阶常系数线性非齐次方程为y′′+p y′+qy=A e ax

微积分课后题答案习题详解

微积分课后题答案习题详解 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

第二章习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立. 证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =，所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞ 2 22111(1) (2)n n n ??+++ ?+?? =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 222 222111 112(1)(2)n n n n n n n n n n ++≤+++ ≤≤=+ 而且 21lim 0n n →∞=， 2lim 0n n →∞=，所以由夹逼定理，得 22211 1lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++ = ?+? ? . （2）因为22222240!123 1n n n n n < =<-，而且4 lim 0n n →∞=，

微积分(经管类)第五章答案

微积分（经管类）第五章答案 5.1 定积分的概念与性质一、1、∑=→?n i i i x f 1 )(lim ξλ； 2、被积函数,积分区间,积分变量； 3、介于曲线)(x f y =,x 轴,直线b x a x ==,之间各部分面积的代数和； 4、? b a dx ； 5、 ?? +b c c a dx x f dx x f )()(； 6、b a a b M dx x f a b m b a <-≤≤-? ,)()()(； 7、 ? b a dx x f )( ?-=a b dx x f )(； 8、)(ξf 与a b -为邻边的矩形面积；二、略. 三、 ? -231 cos xdx . 四、略。五、(1)+； (2)-； (3)+. 六、(1)<; (2)<. 七、略。 5.2. 微积分基本定理一、1、0； 2、)()(a f x f -； 3、 )1ln(23 +x x ； 4、 6 5 ； 5、(1)ππ,； (2)0,0； 6、(1)0； (2)0。 7、;6 1 45 8、 6 π ； 9、1. 二、1、 1 sin cos -x x ；2、)sin cos()cos (sin 2 x x x π?-； 3、2-.

三、 1、852； 2、3 π； 3、14+π ； 4、4. 四、1、0； 2、10 1 . 五、略。六、 3 35π , 0. 七、???? ???>≤≤-<=π πφx x x x x ,10,)cos 1(210,0)(. 5.3. 定积分的换元积分法与分部积分法一、1、0； 2、34-π； 3、2π； 4、32 3 π； 5、0. 6、e 21- ； 7、)1(412+e ； 8、2 3 ln 21)9341(+-π. 二、1、 41； 2、3 322-； 3、1-2ln 2； 4、34； 5、22； 6、 8 π；7、417；8、2ln 21 ； 9、1-e . 10、211cos 1sin +-e e ； 11、)11(2e -； 12、21 2ln -； 13、 2ln 3 3 -π； 14、22+π；15、3ln 24-；16、2+)2ln 3(ln 21-。三、 )1ln(1 -+e . 六、2. 八、8. 5.5 反常积分一、1、1,1≤>p p ；2、1,1≥k k ； 4、发散， 1； 5、过点x 平行于y 轴的直线左边,曲线)(x f y =和x 轴所围图形的面积 . 二、1、 1 2 -p p ； 2、π； 3、!n ； 4、发散；

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大学数学A （1）课后复习题第一章一、选择题 1.下列各组函数中相等的是. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（） A .2 ln )(,ln 2)(x x g x x f == B .0 )(,1)(x x g x f == C .1)(,11)(2-=-?+= x x g x x x f D .2)(|,|)(x x g x x f == 2.下列函数中为奇函数的是. ……. …….. …………………………………………………………………………………….（）. A .)1ln()(2++=x x x f B .| |)(x e x f = C .x x f cos )(= D .1 sin )1()(2--= x x x x f 3.极限??? ? ?+++∞→22221lim n n n n n 的值为………………………………………………………………………..…….（） A ．0 B ．1 C ．2 1 D ．∞ 4.极限x x x x sin lim +∞→的值为.. …….. ……..……………………………………………………………………………...…….（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．∞ 5.当0→x 时，下列各项中与 2 3 x 为等价无穷小的是…………………………………………………….（） A ．)1(3-x e x B ．x cos 1- C ．x x sin tan - D ．)1ln(x + 6.设12)(-=x x f ，则当0→x 时，有…………………………………………………………………………..…….（）. A ．)(x f 与x 是等价无穷小 B ．)(x f 与x 同阶但非等价无穷小 C ．)(x f 是比x 高阶的无穷小 D ．)(x f 是比x 低阶的无穷小 7.函数)(x f 在点x 0可导是)(x f 在点x 0连续的____________条件. ………...………………....…..（） A .充分不必要 B .必要不充分 C .充要 D .既不充分也不必要 8.设函数?? ? ??<≤--<≤≤≤-=01,110, 21,2)(2x x x x x x x f ，则下述结论正确的是……………………………………….（）

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