微积分及三角函数公式合集.docx
第一部分：常用积分公式
基本积分公式:
kdx = kx + c
庠m+c J X
f a x dx -———F c J lno [e x dx = e x + c cos xdx = sinx + c sin xdx = 一 cosx + c
—\—dx - f sec 1 2 xdx = tan x + c cos x J —\— = f esc 2 xdx = -cotx + c sin" x 」 1 ]
----- 7 dx = arctan x + c 1 + x 2
1
^ = arcsinx + c
tan xdx = - In cos x +c cot xdx = In sinx + c sec xdx = In sec x + tan x + c esc xdx = In esc x 一 cot x\ + c 1 , 1 X
-- ----- -ax =—arctan —+ c a" + a a
x-a x^a
1 . ? X i ? ax = arcsin — + c
j x p dx
-+ c
“+1
形如 x n e ax dx ，令 u = x n , dv = e ax dx 形如 x n sin xdx 令 u 二 x n , dv = sin xdx 形如 x" cos xdx 令 u = x", dv = cos xdx 形如 x" arctan xdx ，令” =arctan x, dv = x n dx 形如 x n In xdx ,令 u =\nx, dv = xdx
形如 j e ax sin xdx , j e ax cos xdx 令 u = e ax ,sin x,cos x 均可。 常用凑微分公式
1. J/(tzx + b^lx = ~\f {ax + (^ax + Z?)
J.f(lnx)?一d = ” (lnx”(lnx)
f /
dx = In x + \Jx 2 ±a 2
J
Vx 2±a 2
19 分部积分法公式: + c
2.
3. 4.
\f(e x \e x d x\f(e x )d(e x ) 5. 6.
"㈤心宀/“(刁
㈤
7. j f (cos x) ? sin xd = (cos
(cos x)
”0 an %)? sec 2 xd =|jf (tanx)J(tanx) -[/(-)
J
X X
11. j/(cot x)- esc 2 xd = j / (cot x^d (cot x)
8.
=^|/(\/7x(Vx)
第二部分：常用微分、导数公式
（C 二常数）
(3) limV^(d 〉o) = l
n-?oo
JI
(6) lim arc tanx =
xty 2
(9) lim e x = 0
X-?-co
(13) ]im 型+
—/(兀)
Ax
A
2、常用等价无穷小关系（XTO ）
3、导数的四则运算法则
(10)
lim e x = oo
X->+00
(11)
lim x v = 1
x-?0+
(12) lim
X —>00
ci^x n
+ i — ? + ci n b^x m
+ byX m
i 4 ----- b m
b°
=< 0
00
（系数不为0的情况）
1、极限
(1) lim^ = l
XT O %
(4) hmyfn = 1 (7) limarccotx = 0
X —>CC
(5) limarctanx = —
XTOO
2
(8) lim arc cot x = TI A —
sinx ?x tan 兀?兀 1
cosx ?—x
ln(l + x)?x
arcsin 兀?x e x _ ]?牙
arctan x ?x a x 一 1 ?
丄 9
—jr
2
Jl + xsinx -1
\ll + x 2 - Vl-x 2 ?x 2
(W ± v) =u±v f
4、基本导数公式 ⑴(c/=0 (4) (cosx) = -sinx
(5)(tanx) = sec 2
x
①_心一 s'
V 2
(3)(sinx) = cosx
(6)(cot x) = - esc 2 % (7) (secx) = sec % ? tan x
(8) (cscx) =-cscx-cotx
2
2
sec x -1
sin 3 x ?(x)3
(11)
(in %)
6、基本初等函数的n 阶导数公式 (1) (x w )W =n!
(2)(严学)=
(5) [cos @=a n
(4) d (cos x) = - sin xdx
(5)(1 (tan x) = sec 2
xdx
⑻ d (esc x) = - esc x ? cot xdx
(11) J (lnx) = —rfx
X
dx (13) d (arcsin 兀)=/ 】 dx (14) d (arccos x)=——,
dx
(16) d (arccot 兀)=一]】° d 兀
、
⑷
a n -n\
> \"+l ax + b)
[1心+对~(-]厂目害
yax + b)
7、微分公式与微分运算法则 (l)d(c) = 0
(2)d(x") = jLix^~l dx
(-1)[ (3) cl (sin x) = cos xdx
(15)(arctanx/ =
'
l + x 2
5、高阶导数的运算法则 (1)
(14)( arccos 兀丫 = -- !——
V 7
1-x 2
(16)(arccot%y = _〔丨，(17)(兀)=1(18)(V^)
丄
2y[x
)⑴土 ”⑴丫) ”⑴⑷土吩严
(2)
cu (兀)丁") =cd")(兀)
(3) u^ax + b)⑷
=a'u^ (ax + b) (4)
w(x)-v(x)⑷
严之”sin9 +方+ m 兰
71
2>
(6)d (cotx) = -csc 2 xdx
(15) d (arctan x) = 厶 8、微分运算法则 ⑴ d ("士 u) = du ± du
⑵ d (cw) = cdu
第三部分：常用三角函数公式
1 ?和差公式
sin(A + B)二 sin A cos B + cos A sin B
sin(A 一 B) = sin A cos B 一 cos A sin B
cos(A + B) = cos A cos B-s\nA sin B cos(A
一 B) = cos A cos B + sin A sin B
tan(A + B)= tan A + tan B
1 - tan A tan B
cot(A + B)= cot A ? cot B - 1 cot B + cotA
2?倍角公式
cos24 = cos 2 A-sin 2 A = l-2sin 2 A = 2cos 2 A-\
sin (<7 +ft) cos a ? cos b
5?积化和差公式
sin a sin b =——cos(d + b) -cos(d-/?) 2 cos a cosh = — cos(d + b) + cos(d-b) 2
1「? -i
cos tz sin/? = — sin(a + /?)-sin(d-b)
6?万能公式
(3) d (wv) = vdu + uclv
vdu 一 udv
v 2
tan(A-B)=
tan A - tan B 1 + tan A tan B cot(A-B) = COtA>COtg + 1
cot B - cot A
sin2A = 2sin Acos A
tan 2A = 2 tan A
1 一伽2
A
3 ?半角公式 .A /1-cosA
Sin 7_
V~2-
A /1 + cos A cos — = J ------------------------
2 V 2
A
11 - cos A tan
7~ Vl + cosA
sin A 1 + cosA
A /1 + cosA sin A
cot — = J -------------- = -------------
2 V 1 - cos A 1-cos A
4?和差化积公式
? ?, r ? ci + b a-b sin a + sin b = 2 sin ----------- cos --------
2 2
. c a + b a-b cos a + cos b =
2 cos —— 2
?cos
. ? f r a+b ? a-b
sin (7-sin/? = 2 cos ------------ s in --------
2 2
f c . a+h ? a -b
cos a 一 cos b =-2 sin --------- sin --------
2 2
tan a + tan /?=
2 tan
2 sin a = ------- —
1 + tarr
2
7 ?平方关系
- ? CI
l-tarr —
2 cos a = ----------- -
1 +tarr
2
小 a 2 tan —
2
tan a = ---------- —
1 一 tarr
2
? 2
2
i
sin x + cos x = l sec 2 x-tan 2 x = 1
csc 2x-cot 2x = l
8 ?倒数关系
tan x ? cot 兀=1 9 ?商数关系 sinx
tan x = --------
cosx 10?正弦定理：—
sec x ? cos x = 1 cosx
cot x = --------
sinx c
11?余弦定理：c 2 =a 2 +h 2 -2abcosC
12?反三角函数性质： arcsin x = ---- arccosx
2
=2R
sin A sin B sin C
71
arctgx = ------- a rcctgx
(7) d (sec 兀)= secx ? tan xdx
1 厂. -i sin <7 cos/? = — sin(d+b) + sin(d-b)