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椭圆类型题

类型一:椭圆的标准方程(说明:椭圆的标准方程有两个,因而要考虑两种情况.) 1、已知方程22

111x y k k

+=+-表示椭圆,则k 的取值范围是( )

A -1

B k>0

C k ≥0

D k>1或k<-1

2、求满足以下条件的椭圆的标准方程:长轴长为10,短轴长为6

类型二:椭圆的离心率

1、椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别是F 1、F 2,过点F 1作x 轴的垂线交椭圆于P 点, 若∠F 1PF 2=60°,则椭圆的离心率为_________

2、已知正方形ABCD ,则以A 、B 为焦点,且过C 、D 两点的椭圆的的离心率为_______

3、 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率.

4、已知椭圆1982

2=++y k x 的离心率2

1

=e ,求k 的值.

类型三:椭圆与直线

1.椭圆与直线的位置关系的判定: 例1.当m 为何值时,直线y x m =+与椭圆22

1169

x y

+=相交?相切?相离?

例2.如图,已知椭圆

22

14520

x y +=的焦点分别是1F 、2F ,过中心O 作直线与椭圆相交于A 、B 两点,若要使2ABF ?的面积是20,求该直线方程. (430x y ±=.)

说明:

2.弦长问题:

例3.求直线24y x =-被椭圆22

4199

x y +=所截得的弦长.

说明:

3.中点弦问题

例1.求以椭圆22

185

x y +=内的点(2,1)A -为中点的弦所在直线方程.

类型四:焦半径问题 P 是椭圆

2

22

2b

y a

x +

=1)0(>>b a 上一点,E 、F 是左、右焦点,e 是椭圆的离心率,则(1)P ex a PE +=||,

(2)P ex a PF -=||。

1、用于求椭圆离心率e 的取值范围 例1:已知)0,(),0,(21c F c F -为椭圆

2

22

2b

y a

x +

=1)0(>>b a 的焦点,若椭圆上恒存在点P ,使21PF PF ⊥,

求离心率e 的取值范围。

2、用于求焦半径的取值范围 例1:若),(00y x P 是椭圆115202

22

2=+y x 上的点,F 为椭圆的焦点,求|PF|的取值范围。

3、用于求两焦半径之积 例、若)0,(),0,(21c F c F -为椭圆

2

22

2b y a x +=1)0(>>b a 的左、右焦点,),(00y x P 为椭圆上任意一点,求

||||21PF PF ?的最值。

4、用于求点的坐标

例1、 若),(00y x P 为椭圆19

252

2=+y x 上的点,21,F F 为椭圆的焦点,且21PF PF ⊥,则P 的横坐标为

_________。

例2、已知椭圆

1342

2=+y

x ,1F 、2F 为两焦点,问能否在椭圆上找一点M ,使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项?若存在,则求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.

5、用于证明定值问题 已知),(111y x P ),(222y x P 为椭圆

2

22

2b y a x +=1)0(>>b a 上两点,)0,(0a P 为椭圆的顶点,F 为焦点,若

|P |||||201F F P F P 、、

成等差数列,求证:21x x +为定值。

类型五:椭圆的最值问题

(一)焦点三角形角度最值

1. 已知椭圆C :22

221(0)x y a b a b

+=>>两个焦点为12,F F ,如果曲线C 上存在一点Q ,使1

2FQ F Q ⊥,求椭圆离心率的最小值。

{

2

2} 2. 21F F 、为椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x 的左、右焦点,如果椭圆上存在点P ,使?=∠9021PF F

求离心率e 的取值范围。 {???

?

?

??122,} 3. 若B A ,为椭圆)0(12222>>=+b a b

y a x 的长轴两端点,Q 为椭圆上一点,使0

120=∠AQB ,求

此椭圆离心率的最小值。 {

13

6

<≤e }

(二)一动点两定点最值 1. 若椭圆

13

4

22=+

y x 内有一点()1,1P ,F 为右焦点,椭圆上的点M 使得||2||MF MP +的值最

小,则点M 的坐标为

椭圆类型题

3

2. 已知112

16,)3,2(2

2=+-y x F A 是

的右焦点,点M 为椭圆的动点,求MF MA 2+的最小值,并求出此时点M 的坐标。

3、 定点(2, 1)A ,1F 为椭圆22

:

12516

x y C +=的左焦点,点P 为C 上,则13||5||PA PF +的最小值

椭圆类型题

4、 P(-2,3),F 2为椭圆116

252

2=+y x 的右焦点,点M 在椭圆上移动,求︱MP ︱+︱MF 2︱的最值

最大值12,最小值8

5、 P(-2,6),F 2为椭圆116

252

2=+y x 的右焦点,点M 在椭圆上,求︱MP ︱+︱MF 2︱最值。

最大值10+37,最

小值61 (一)

点到线最值---------参数法

1、求椭圆14

22

=+y x 上点M(x,y)到直线l :x+2y=4的距离的最值。 {5

10254+,5

10254-}

2. 椭圆2

2

7428x y +=上的点到直线:32160l x y --=的距离最短. 1013

24

3. 椭圆22

1164

x y +=

上的点到直线20x y +=的最大距离及相应坐标. 10

)2,22(--

椭圆类型题

(二)面积最值(组合式)---------参数法

1. 椭圆1222

=+y x 的内接矩形面积的最大值. 22 2. 点P 在椭圆

22

12516

x y +=上运动,则x y ?的最大值。 10 3. 椭圆122

22=+b

y a x 与x 轴、y 轴正方向相交于A 、B 两点,在椭圆的劣弧AB (第一象限内)上取一

点C ,使四边形OACB 的面积最大,求最大面积。

4.设(,)P x y 是椭圆

22

16436

x y +=上一点,那么22x y -的最大值是 .22x y +的最大值是 最小值是 。 20, 36, 64 (三)

分式最值---------斜率法

1、 若点(,)x y 在椭圆2

2

44x y +=上,求

1

2y x --最大值为_____ _,最小值为___ __.3132+,3

132- 2、若点(,)x y 在椭圆11422=+y x 上,求3

-x y

最大值为_____ _,最小值为___ __. 0 (四)

点到点最值---------二次函数法

1、 求定点A(2,0)到椭圆19

162

2=+y x )上的点之间的最短距离。 2

结论:椭圆122

22=+b

y a x 上的点M(x,y)到定点A(m,0)或B(0,n)距离的最值问题,可以用两点间距离

公式表示︱MA ︱或︱MB ︱,通过动点在椭圆上消去y 或x,转化为二次函数求最值,注意自变量的取值范围。