函数与方程-1981-2019年历年数学联赛50套真题WORD版分类汇编含详细答案
1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编
函数与方程部分
2019A1、已知正实数a 满足()89a
a a a =，则()log 3a a 的值为 ． ◆答案：
916
★解析：由条件知18
9a a =，故916
3a a ==，所以()9
log 316
a a =。
2019A 二、（本题满分 40 分）设整数122019,,
,a a a 满足122019199a a a =≤≤≤= ． 记
()()22212201913243520172019f a a a a a a a a a a a =++
+-+++
+，求f 的最小值0f ．并确定使
0f f =成立的数组()122019,,,a a a 的个数．
★解析：由条件知(
)()2017
2
2
2221
2
2018
2019
21
2i i i f a a a
a
a a +==++++-∑． ①
由于12,a a 及2i i a a +-（1,2,2016i =）均为非负整数，故有22
112
2,a a a a ≥≥且()
2
22i i i i a a a a ++-≥-．于是()()()20162016
2
2
21
2
2122201720181
1
i i i i i i a a a a a a a a a a ++==++-≥++-=+∑∑②
………………10 分
由①、②得()2
22
201720182019201720182019
2f a a a a a a ≥++-++，结合20192019a =及201820170a a ≥>，可知
()()222
2201720172017201712999949740074002f a a a a ??≥
+-++=-+≥?
? ．③ ………20 分
另一方面，令1219201a a a ====，19202119202k k a a k +-+==（1,2,
,49k =），201999a =
此时验证知上述所有不等式均取到等号，从而f 的最小值07400f =．………………30 分 以下考虑③的取等条件．此时2018201749a a ==，且②中的不等式均取等， 即121a a ==，{}20,1i i a a +-∈（1,2,
2016i =）。
因此122018149a a a =≤≤≤=，且对每个k （149k ≤≤），122018,,,a a a 中至少有两项
等于k ．易验证知这也是③取等的充分条件． 对每个k （149k ≤≤），设122018,,
,a a a 中等于k 的项数为1k n +，则k n 为正整数，且
()()()12491112018n n n ++++++=，即 12491969n n n ++
+=④，该方程的正整数解
()1249,,
,n n n 的组数为48
1968
C ，且每组解唯一对应一个使④取等的数组()122019,,,a a a ，
故使0f f =成立的数组()122019,,
,a a a 有48
1968
C 个………………40 分
2019B 10. （本题满分20分）设,,a b c 均大于1，满足lg log 3
lg log 4b a a c b c +=??+=?
，求lg lg a c ?的最大值。
★解析：设lg x a =，lg y b =，lg z c =，由,,1a b c >，可知,,0x y z >。
由条件及换底公式得3z x y +
=，4z
y x
+=，即34xy z y x +==，由此令3,4x t y t ==（0t >），则2
412120z x xy t t =-=->，得01t <<。所以
()()()3
2
2216lg lg 31211821833t t t a c t t t t t ++-???=?-=-≤?= ?
??
，当且仅当22t t =-，即23t =时取得等号，相应的8
3
100,10a b c ===，所以lg lg a c ?的最大值为
163
。
2018A 5、设)(x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]1,0上严格递减，且满足1)(=πf ，
2)2(=πf ，则不等式组???≤≤≤≤2
)(121x f x 的解集为
◆答案：[]ππ28,2-- ★解析：由)(x f 为偶函数及在区间[]1,0上严格递减知，)(x f 在[]0,1-上递增，结合周期性知，)(x f 在[]2,1上递增，又1)()2(==-ππf f ，2)2()2()28(==-=-πππf f f ， 所以不等式等价于)28()()2(ππ-≤≤-f x f f ，又22821<-<-<ππ 所以ππ282-<<-x ，即不等式的解集为[]ππ28,2--
2018A ，B 9、（本题满分16分）
已知定义在+
R 上的函数)(x f 为?
??--=x x x f 41log )(39,9
0,>≤ 实数，满足)()()(c f b f a f ==，求abc 的取值范围。 ★解析：不妨设c b a <<，由于)(x f 在(]3,0上递减，在[]9,3上递增，在[)+∞,9上递减，且0)3(=f ， 1)9(=f ，结合图像知：()3,0∈a ，()9,3∈b ，()+∞∈,9c ，且()1,0)()()(∈==c f b f a f 。 由)()(b f a f =得2log log 33=+b a ，即9=ab ，此时c abc 9=， 又c c f -=4)(，由140<- 2018B 7、设)(x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]2,1上严格递减，且满足1)(=πf ， 0)2(=πf ，则不等式组?? ?≤≤≤≤1 )(01 0x f x 的解集为 ◆答案：[]ππ--4,62 ★解析：由)(x f 为偶函数及在区间[]2,1上严格递减知，)(x f 在[]1,2--上递增，结合周期性知，)(x f 在[]1,0上递增，又1)()4(==-ππf f ，0)2()62(==-ππf f ，所以不等式等价于)4()()62(ππ-≤≤-f x f f ，又14620<-<-<ππ，即不等式的解集为[]ππ--4,62. 2017A1、设)(x f 是定义在R 上函数，对任意的实数x 有1)4()3(-=-?+x f x f ，又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为 ◆答案： 2 1- ★解析：由条件知，1)()7(-=+x f x f ，即1)14()7(-=++x f x f ，故)14()(+=x f x f ，即函数)(x f 的周期为14，所以2 1 )5(1)2()100(-=- =-=-f f f 2017B 3、设)(x f 是定义在R 上的函数，若2)(x x f +是奇函数，x x f 2)(+是偶函数，则)1(f 的值为 ◆答案：74 - ★解析：由条件知，2 (1)1((1)(1))(1)1f f f +=--+-=---，1(1)2(1)2 f f +=-+， 两式相加消去(1)f -，可知：12(1)32f +=- ，即7(1)4 f =-. 2016A 3、正实数u ，v ，w 均不等于1，若5log log =+w vw v u ，3log log =+v u w v ，则log w u 的值为 ◆答案： 5 4 ★解析：令a v u =log ，b w v =log ，则 a u v 1log =，b v w 1 log =，ab a w v v vw v u u u +=?+=log log log log 条件化为5=++b ab a ， 311=+b a ，由此可得45 =ab ，因此 5 4 log log log ==?=u v u v w w ． 2016A 10、（本题满分20分）已知)(x f 是R 上的奇函数，1)1(=f ，且对任意0 )()1( x xf x x f =-。求)51 1 ()501()981()31()991()21()1001()1(f f f f f f f f ++++ 的值。 ★解析：设n n f a n )(1 (==1，2，3，…），则1)1(1==f a ． 在)()1(x xf x x f =-中取*)(1N k k x ∈-=，注意到 111111+=---=-k k k x x ，及)(x f 为奇函数．可知 )1 (1)1(1)11( k f k k f k k f =--=+……………………5分 即k a a k k 11=+，从而)!1(1 1111 111-==?=∏∏-=-=+n k a a a a n k n k k k n ．……………………10分 因此 ∑∑∑===--?=--=49 050 150 1 101)! 99(!1 )!100()!1(1i i i i i i i i i a a !992221!991)(!991!9919899 490 99999949099=??=+==∑∑=-=i i i i i C C C ……………………20分 2015A1、设a 、b 为两不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2 )(满足)()(b f a f =，则)2(f 的值为 ◆答案：4 ★解析：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得 22 a b a +=-，即20a b +=，所以(2)424f a b =++=． 2015A 9、（本题满分16分）若实数c b a ,,满足c b a 242=+，c b a 424=+，求 c 的最小值。 ★解析：将2,2,2a b c 分别记为,,x y z ，则,,0x y z >． 由条件知，2 2 2 ,x y z x y z +=+=，故2 2 22 2 2 4 ()2z y x z y z y z y -==-=-+．8分 因此，结合平均值不等式可得， 4221111(2)244y y z y y y y +==++≥?=．12分 当2 12y y = ，即y =时，z x ． 由于2log c z =，故c 的最小值225 log log 33 =-．16分 2016B 4、已知)(x f ,)(x g 均为定义在R 上的函数，)(x f 的图像关于直线1=x 对称，)(x g 的图像关于点)2,1(-中心对称，且19)()(3 ++=+x x g x f x ，则)2()2(g f 的值为 ◆答案：2016 ★解析：由条件知()()002,f g += ① ()()22818190.f g +=++= ② 由()(),f x g x 图像的对称性，可得()()()()02,024,f f g g =+=-结合①知， ()()()()22400 2.f g f g --=+= ③ 由②、③解得()()248,242,f g ==从而()()2248422016.f g =?= 另解：因为()()391x f x g x x +=++， ① 所以()()2290.f g += ② 因为()f x 的图像关于直线1x =对称，所以()()2.f x f x =- ③ 又因为()g x 的图像关于点()1,2-中心对称，所以函数()()12h x g x =++是奇函数，()()h x h x -=-， ()()1212g x g x ??-++=-++??，从而()()2 4.g x g x =--- ④ 将③、④代入①，再移项，得()()3229 5.x f x g x x ---=++ ⑤ 在⑤式中令0x =，得()()22 6.f g -= ⑥ 由②、⑥解得()()248,246.f g ==于是()()222016.f g = 2014A1、若正数a 、b 满足)(log log 2log 2632b a b a +=+=+，则b a 1 1+的值为 ◆答案：108 ★解析：设k b a b a =+=+=+)(log log 3log 2632，则22-=k a ，33-=k b ，k b a 6=+，从而 108323 26113232=?=?=+=+--k k k ab b a b a 。 2015B1、已知函数???+∞∈∈-=) ,3(log ]3,0[)(2 x a x x a x f x ，其中a 为常数，如果)4()2(f f <，则a 的取值 范围为 ◆答案： ()+∞-,2 ★解析：(2)2,(4)2f a f a =-=，所以22a a -<，解得：2a >-． 2015B 2、已知3 )(x x f y +=为偶函数，且15)10(=f ，则)10(-f 的值为 ◆答案： 2015 ★解析：由己知得33 (10)(10)(10)10f f -+-=+，即(10)(10)2000f f -=+=2015． 2014A 3、若函数|1|)(2 -+=x a x x f 在),0[+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为 ◆答案： ]0,2[- ★解析：在),1[+∞上，a ax x x f -+=2 )(单调递增，等价于12 ≤- a ，即2-≥a 。在]1,0[上，a ax x x f +-=2)(单调递增，等价于 02 ≤a ，即0≤a ，因此实数a 的取值范围是]0,2[- 2014B1、若函数)(x f 的图像是由依次连接点)0,0(，)1,1(，)3,2(的折线，则=-)2(1 f ◆答案： 2 3 ★解析：可求得直线2=y 与函数图像的交点为?? ? ??2,2 3，即223=?? ? ??f ，根据反函数的性质知 2 3)2(1= -f 。 2014B 8、设()g x =是定义在区间[0,1]上的函数，则函数()y xg x =的图像与x 轴所围成图形的面积为 ◆答案： 16 π ★解析：显然)(x g 的图像与x 轴围成一个半圆，我们用A 表示)(x xg 与x 轴围成的图形。直线12=x 是半圆的对称轴，它将A 分成左右两个部分。我们知道： )()()1()()1()1()(x g x g x x xg x g x x xg =-+=--+（2 10≤ ≤x ），这个式子的几何意义如下图所 示： 根据祖暅原理的二维形式，A 的左半部分与右半部分的面积之和恰好是四分之一圆的面积。即我们 要求的面积是16 21412 π π=??? ??。 2014B 二、（本题满分40分）在同一直角坐标系中，函数4)(+= ax x f （0≠a ）与其反函数 )(1 x f y -=的图像恰有三个不同的交点. 求实数a 的取值范围，并证明你的结论。 ★解析：由题意可得其反函数() 41)(21 -=-x a x f ， 记)(x f 与其反函数)(1x f -的交点坐标为()v u ,，则???+=+=4 422au v av u ，两式子相减得()()0=++-a v u v u ，得v u =或0=++a v u ， 若0>a ，显然两个函数的图像都在第一象限，所以0>++a v u ，联立v u =和 42+=av u ，得到一个交点（另一个是负数），与题目要求三个交点不相符，故0 当0 ? ??+-+-+-+-2163,216322a a a a 或??? ? ??+---+---2163,216322a a a a ，考虑这两个交点不重合，且坐标非负，故???≥--->-0316031622a a a 解得233 4-≤<-a ，即所求的范围为?? ? ??--2,334。 2013A 5、设b a ,为实数，函数b ax x f +=)(满足：对任意]1,0[∈x ，都有1)(≤x f ，则ab 的最大值为 ◆答案： 4 1 ★解析：由题意得)0()1(f f a -=，)0(f b = 所以()41)1(41)1(41)1(21)0()0()1()0(222 ≤≤+?? ? ??--=-?=f f f f f f f ab ，当且仅当 1)1()0(2±==f f ，即21± ==b a 时，41=ab ，故所求最大值为4 1。 2013A 7、若实数y x ,满足y x y x -=-24，则实数x 的取值范围为 ◆答案：{}[]20,40 ★解析：令 a y =， b y x =-，显然0≥a ，0≥b ，且 22b a x +=，y x y x -=-24即为b a b a 2422=-+， 亦为()()5122 2 =-+-b a （0≥a ，0≥b ），以()b a ,为坐标 作图如图示，在平面aOb 内，()b a ,的轨迹为如图所示 的实线部分含原点O ，因此22b a +{}[] 52,20 ∈， 即∈+=2 2 b a x {}[]20,40 。 2013A 11、（本题满分20分）设函数b ax x f +=2 )(，求所有的正实数对),(b a ，使得对任意的实数 y x ,均有)()()()(y f x f y x f xy f ≥++。 ★解析：已知即可变为：()()()()()b ay b ax b y x a b y ax ++≥++++2 222① 先寻找b a ,所满足的必要条件。 ①式中，令0=y ，的对任意的x 都有()()0212≥-+-b b ax b ，由于0>a ，故2 ax 可以取到任意大的正值，因此必有01≥-b ，即10≤ ①式中，令x y -=，得 ()() 2 24 b ax b b ax +≥++，即对任意实数x ，有 ()() 022224 2 ≥-+--b b a b x x a a ② 记()()2 24222)(b b abx x a a x g -+--=，即() ()b a a b a b x a a x g ---+ ?? ? ??---=2211)(2 22 要0)(≥x g 恒成立，则()??? ??≥--->-022102 b a a b a a ，即10< 下面证明对满足③的任意实数对()b a ,及任意实数y x ,，总有①成立， 令0)2(2))(1()(),(2 22222≥-+++-+-=b b axy y x b a y x a a y x h 恒成立， 事实上，在③成立时，有0)1(≥-b a ，02 >-a a ， ()0221≥---b a a b ，又xy y x 222-≥+，可得)2(2))(1()(),(2 22222b b axy y x b a y x a a y x h -+++-+-= )2(2)2)(1()(2222b b axy xy b a y x a a -++--+-≥ )2(2)(2222b b abxy y x a a -++-= ()≥---+ ?? ? ?? -+-=b a a b a b xy a a 2211)(2 2 综上所述，满足条件的),(b a 为(){}22,10,10,≤+<<≤ 2013B 2、设i =232013232013i i i i ++++= ． ◆答案：i 10071006+ ★解析：因为232013232013i i i i ++++= ()()i i 1007100620132011753120122010864210061005+=+-+-+-++--+-+- 项 项 2013B 5、在区间[)0,π中，方程sin12x x =的解的个数为 ． ◆答案：4 ★解析：因为当1>x 时，x x <≤112sin ，方程无解；当[]1,0∈x 时，ππ4123<<，做出 x y 12sin =及x y =的图像即可得到。 2013B 6、定义在实数上的函数()) f x x R =∈的最小值是 ． ◆答案：3 3 2- ★解析：因为43432112 2 ≥+??? ? ? +=++x x x ，1sin ≤x π，知3324 31)(= ≤x f ， 又当2 1 -=x 时，332)21(-=-f ，所以所求最小值为332-。 2013B 7、设,a b 为实数，函数()f x ax b =+满足：对任意[]0,1x ∈，()1f x ≤，则ab 的最大值为 ． ◆答案： 4 1 ★解析：由题意得)0()1(f f a -=，)0(f b = 所以()41)1(41)1(41)1(21)0()0()1()0(222 ≤≤+?? ? ??--=-?=f f f f f f f ab ，当且仅当 1)1()0(2±==f f ，即21±==b a 时，41=ab ，故所求最大值为4 1 。 2012A 3、设]1,0[,,∈z y x ，则||||||x z z y y x M -+-+-=的最大值为 ◆答案：12+ ★解析：不妨设01,x y z ≤≤≤≤则M = = 所以 1.M ≤=≤ 当且仅当1 ,0,1,2 y x z y x z y -=-=== 时上式等号同时成立. 故max 1.M = 2012A 6、设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2 )(x x f =.若对任意的]2,[+∈a a x ，不等式)(2)(x f a x f ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是 ◆答案：).+∞ ★解析：由题设知2 2(0) ()(0) x x f x x x ?≥?=?- 则2()).f x f =因此, 原不等式等价于 ()).f x a f +≥ 因为()f x 在R 上是增函数, 所以,x a +≥ 即1).a x ≥又[,2],x a a ∈+所以当2 x a =+时 ,1)x 取得最大值1)(2).a +因此 ,1)(2),a a ≥+ 解得a ≥故a 的取值范围 是).+∞ 2012A 9、（本题满分16分） 已知函数2 1 32cos 21sin )(+-+- =a a x x a x f ，0,≠∈a R a . ⑴若对任意R x ∈,都有0)(≤x f ，求实数a 的取值范围； ⑵若2≥a ，且存在R x ∈,使得0)(≤x f ，求实数a 的取值范围； ★解析：⑴令x t sin =，则11≤≤-t ，函数)(x f 即为a a at t t g 3 )(2 - ++=，由0)(≤x f 即0)(≤t g 对任意11≤≤-t 恒成立，即?? ?? ? ≤-+=≤-=-0 3 21)1(031)1(a a g a g ，解得10≤ ⑵因为2≥a ，所以)(t g 的对称轴12-≤-=a x ，有)(t g 在[]1,1-上递增， 所以)(t g 的最小值为a g 31)1(-=-，即)(x f 的最小值为a 31-，由03 1≤-a ，解得30≤ 又2≥a ，故所求实数a 的取值范围为(]3,2 2012B 4、若关于x 的不等式组???≤-->--+0 120 33223ax x x x x ，（0>a ）的整数解有且只有一个，则a 的 取值范围为 ◆答案：??? ???34, 43 ★解析：由0332 3>--+x x x 解得13-<<-x 或1>x ，所以不等式组的唯一整数解只可能为2 -或2。记函数12)(2 --=ax x x f ，由于对称轴0>=a x ，所以整数解只能是2，因此有 ?? ???>-=≤-=>+=-0 68)3(043)2(0 43)2(a f a f a f ，解得3443<≤a ，故所求范围为??? ???34,43。 2012B 7、设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2 )(x x f =.若对任意的]2,[+∈a a x ，不等式)(2)(x f a x f ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是 ◆答案：).+∞ ★解析：由题设知2 2(0) ()(0) x x f x x x ?≥?=?- 则2()).f x f =因此, 原不等式等价于 ()).f x a f +≥因为()f x 在R 上是增函数, 所以,x a +≥ 即1).a x ≥-又 [,2],x a a ∈+所以当2x a =+时 ,1)x 取得最大值1)(2).a + 因此 ,1)(2),a a ≥+ 解得a ≥故a 的取值范围是).+∞ 2012B 9、（本题满分16分） 已知函数2 1 32cos 21sin )(+-+- =a a x x a x f ，0,≠∈a R a . ⑴若对任意R x ∈,都有0)(≤x f ，求实数a 的取值范围； ⑵若2≥a ，且存在R x ∈,使得0)(≤x f ，求实数a 的取值范围； ★解析：⑴令x t sin =，则11≤≤-t ，函数)(x f 即为a a at t t g 3 )(2 - ++=，由0)(≤x f 即0)(≤t g 对任意11≤≤-t 恒成立，即?? ?? ? ≤-+=≤-=-0 3 21)1(031)1(a a g a g ，解得10≤ ⑵因为2≥a ，所以)(t g 的对称轴12-≤-=a x ，有)(t g 在[]1,1-上递增， 所以)(t g 的最小值为a g 31)1(-=-，即)(x f 的最小值为a 31-，由03 1≤-a ，解得30≤ 又2≥a ，故所求实数a 的取值范围为(]3,2 2011A 2、函数1 1 )(2-+=x x x f 的值域为 ◆答案： (,(1,)2 -∞- +∞ ★解析：提示：设2 2 ,tan π θπ θ< <- =x ，且4 π θ≠ ，则 ) 4 sin(21cos sin 1 1tan cos 1 )(π θθ θθθ-= -=-=x f ．设)4 sin(2π θ-= u ，则12<≤-u ，且 0≠u ，所以 ),1(]2 2,(1)(+∞--∞∈= u x f ． 2011A 3、设b a ,为正实数，221 1≤+b a ，32)(4)(a b b a =-，则=b a log ◆答案： 1- ★解析：由 221 1≤+b a ，得a b b a 22≤+． 又 23322)(8)(24)(44)(4)(ab ab ab ab ab b a ab b a =??≥+=-+=+，即ab b a 22≥+． ① 于是 ab b a 22=+．② 再由不等式①中等号成立的条件，得1=ab ．与②联立解得???+=-=, 12,12b a 或?? ?-=+=, 12,12b a ， 故1log -=b a ． 2011A 9、（本题满分16分） 已知函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数b a ,（b a <）满足)2 1 ()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f . 求实数b a ,的值。 ★解析：因为)21()(++-=b b f a f ，所以|)2lg(||)2 1 lg(||)121lg(||)1lg(|+=+=+++-=+b b b b a ， 所以21+=+b a 或1)2)(1(=++b a ，又因为b a <，所以21+≠+b a ，所以1)2)(1(=++b a ． 又由|)1lg(|)(+=a a f 有意义知10+ 所以12 10 )2(6)2(6)1(101)21610(>+++=+++=+++b b b a b a ． 从而]2 10 )2(6lg[|]210)2(6lg[|)21610(+++=++ +=++b b b b b a f ． 又2lg 4)21610(=++b a f ，所以2lg 4]2 10 )2(6lg[=+++b b ， 故162 10)2(6=+++b b ．解得31 -=b 或1-=b （舍去）． 把31-=b 代入1)2)(1(=++b a 解得52 -=a ． 所以 52-=a ，3 1 -=b ． 2011B 3、若正实数b a ,满足221 1≤+b a ，32)(4)(a b b a =-，则=b a log . ◆答案： 1- ★解析：由 221 1≤+b a ，得a b b a 22≤+． 又 23322)(8)(24)(44)(4)(ab ab ab ab ab b a ab b a =??≥+=-+=+，即ab b a 22≥+． ① 于是 ab b a 22=+．② 再由不等式①中等号成立的条件，得1=ab ．与②联立解得???+=-=, 12,12b a 或?? ?-=+=, 12,12b a ， 故1log -=b a ． 2011B 9、（本题满分16分） 已知实数,,x y z 满足：x y z ≥≥，1x y z ++=，2 2 2 3x y z ++=.求实数x 的取值范围. ★解析：令t x +=1，由1x y z ++=得y t z --=，代入2 2 2 3x y z ++=得 0122=-+++t t ty y * 由方程*有实根，得0)1(42 2 ≥-+-=?t t t ，解得3 22≤ ≤-t 。 由方程*及z y >可得2 3442t t t y --+-= ，2 3442 t t t z ----=，又y x ≥，所以 234412t t t t --+-≥+，即234432t t t --≥+，解得0≥t ，综上可得320≤≤t ， 即??????∈+=35,11t x ，所以实数x 的取值范围为?? ? ???35,1。 2011B 三、（本题满分50分）设实数,,1a b c ≥，且满足 2222224428abc a b c ca cb a b c ++++--+-=，求a b c ++的最大值. ★解析：由已知等式可得，()()()()16112 1 112 2 2 =+-+ +++-c b a c b a ① 令1/-=a a ，1/+=b b ，则1/+=a a ，1/ -=b b ，则①式等价于 ()() 162 1 //22/2/=+++c b a c b a ② 易知{}4,,min // /，则l c b a c b a c b a =++=+++-=++//)1()1(。 设c b a x ca c b b a lx x c x b x a x x f / /////23//)())()(()(-+++-=---=，则 32162)4(2+-=l l f 。 当{ } c b a x ,,min / />时，由平均不等式得()3/ /327 1 ))()((l x c x b x a x -≤ ---③ 所以()312271 )4(l f -≤ ，从而()321227 132162l l l -≤+-，整理得032271823≤?-+l l ， 即()() 02462462 ≤?++-l l l ，所以6≤l 。 ③式中等号成立的条件是c x b x a x -=-=-//，即c b a ==//，代入②得2/ /===c b a ，因此2,1,3===c b a ，l 的最大值即c b a ++的最大值为6。 2010AB1、函数x x x f 3245)(---=的值域为 ◆答案： ]3,3[- ★解析：易知)(x f 的定义域是[]8,5，且)(x f 在[]8,5上是增函数，从而可知)(x f 的值域为]3,3[-. 2010AB 2、已知函数x x a y sin )3cos (2 -=的最小值为3-，则实数a 的取值范围为 ◆答案：122 3 ≤≤- a ★解析：令t x =sin ，则原函数化为t a at t g )3()(2-+-=，即t a at t g )3()(3 -+-=. 由3)3(3 -≥-+-t a at ，0)1(3)1(2≥----t t at ，0)3)1()(1(≥-+--t at t 及01≤-t 知 03)1(≤-+-t at 即 3)(2-≥+t t a . （1） 当1,0-=t 时（1）总成立；对20,102 ≤+<≤ 1 ,012<+≤-<<-t t t . 从而可知 122 3 ≤≤- a 2010AB 5、函数23)(2-+=x x a a x f （0>a ，且1≠a ）在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值为 ◆答案：4 1- ★解析：令,y a x =则原函数化为23)(2 -+=y y y g ,)(y g 在3(,+)2 -∞上是递增的. 当10< -∈a a y ,211 max 1()32822 g y a a a a ---=+-=?=?= ， 所以 4 1 2213)21()(2min -=-?+=y g ； 当1>a 时，],[1 a a y -∈，2823)(2max =?=-+=a a a y g ， 所以 412232)(1 2min -=-?+=--y g . 综上)(x f 在]1,1[-∈x 上的最小值为4 1 -. 2010AB 9、（本题满分16分） 已知函数d cx bx ax x f +++=2 3 )(，（0≠a ），当10≤≤x 时，1)(/≤x f ，求实数a 的最大值。 ★解析：解法一： ,23)(2 c bx ax x f ++='由 ???????++='++='='c b a f c b a f c f 23)1(,43)2 1(,)0(得 )2 1 (4)1(2)0(23f f f a '-'+'=. 所以)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=)2 1(4)1(2)0(2f f f '+'+'≤ 8≤， 所以38≤ a . 又易知当m x x x x f ++-=2 3438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为3 8. 解法二：c bx ax x f ++='23)(2 . 设1)()(+'=x f x g ，则当10≤≤x 时，2)(0≤≤x g . 设 12-=x z ，则11,2 1 ≤≤-+=z z x . 14 322343)21()(2++++++=+=c b a z b a z a z g z h . 容易知道当11≤≤-z 时，2)(0,2)(0≤-≤≤≤z h z h . 从而当11≤≤-z 时， 22)()(0≤-+≤z h z h ， 即21434302≤++++≤c b a z a ， 从而 0143≥+++c b a ,2432≤z a ，由 102≤≤z 知3 8≤a . 又易知当m x x x x f ++-=2 3438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为3 8. 2010A 11、（本题满分20分）证明：方程02523 =-+x x 恰有一个实根r ，且存在唯一严格递增的 正整数数列{}n a ，使得 +++=32152 a a a r r r 。 ★证明：令252)(3-+=x x x f ，则056)(2 >+='x x f ，所以)(x f 是严格递增的.又 043)21(,02)0(>=<-=f f ，故)(x f 有唯一实数根1 (0,)2 r ∈. 所以32520r r +-=， 即3 152r r -=4710r r r r =++++. 故数列),2,1(23 =-=n n a n 是满足题设要求的数列. 若存在两个不同的正整数数列 <<< 5 2 321321=+++=+++ b b b a a a r r r r r r ，去掉上面等式两边相同的项，有 +++=+++321321t t t s s s r r r r r r ， 这里 <<<<<<321321,t t t s s s ，所有的i s 与j t 都是不同的. 不妨设11t s <，则 ++=++<21211 t t s s s r r r r r ， 112 111111 121211=--<--= ++≤++<--r r r r r s t s t ， 矛盾.故满足题设的数列是唯一的. 2009*1、函数2 1)(x x x f += ，且 f n n x f f f f x f 个)]]([[)() (=，则=)1()99(f ◆答案： 10 1 ★解析：由题意得2 ) 1(1)()(x x x f x f += =，2 ) 2(21)]([)(x x x f f x f += =，······ 2 )99(991)(x x x f +=.故 101)1() 99(=f . 2009*6、若关于x 的方程)1lg(2lg +=x kx 仅有一个实根，则实数k 的取值范围为 ◆答案：0 ★解析：由题意，方程等价于??? ??+=>+>2 ) 1(0 10x kx x kx ，当且仅当 0>kx （1） ；01>+x （2）；01)2(2 =+-+x k x （3） 对（3）由求根公式得]42[2 1,2 21k k k x x -±-= （4） 又0042 ≤?≥-=?k k k 或4≥k )(i 当0 10 22121x x k x x ，所以21x x 同为负根。 又由（4）知，???<+>+010 12 1x x ，所以原方程有一个解1x 。 )(ii 当4=k 时，原方程有一个解.112 =-= k x )(iii 当4>k 时，由（3）得???>=>-=+010 22 121x x k x x ，所以21,x x 同为正根，且21x x ≠，不合题意。 综上可得0 2009*11、（本题满分15分）求函数x x x y +-++=1327的最大和最小值。 ★解析：函数的定义域为]13,0[。因为)13(213271327x x x x x x y -+++=-+++= 1327+≥ 1333+= 当0=x 时等号成立。故y 的最小值为1333+· 又由柯西不等式得22 )1327(x x x y -+++ = ,121))13(3)27(2)(31 121(=-+++++≤x x x 所以.11≤y ····················10分 由柯西不等式等号成立的条件，得,27)13(94+=-=x x x 解得9=x .故当9=x 时等号成立。因此 y 的最大值为11.· ········· ·············15分 2008AB1、函数x x x x f -+-=245)(2 在)2,(-∞上的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 ◆答案：C ★解析：当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)22x x f x x x x +-+==+---2≥2=，当且仅当122x x =--时取等号．而此方程有解1(,2)x =∈-∞，因此()f x 在(,2)-∞上的最小 值为2． 2008A 7、设b ax x f +=)(，其中b a ,为实数，)()(1x f x f =，))(()(1x f f x f n n =+， ,3,2,1=n ， 若381128)(7+=x x f ，则=+b a ◆答案：5 ★解析：由题意知1 2 ()(1)n n n n f x a x a a a b --=+++ ++1 1 n n a a x b a -=+?-，由7()128381 f x x =+得7 128a =，71 3811 a b a -?=-，因此2a =，3b =，5a b +=． 2008B 7、设b ax x f +=)(，其中b a ,为实数，)()(1x f x f =，))(()(1x f f x f n n =+， ,3,2,1=n ，若381128)(7+=x x f ，则=)2(2f ◆答案： 17 ★解析：由题意知1 2 ()(1)n n n n f x a x a a a b --=+++ ++1 1 n n a a x b a -=+?-， 由7()128381f x x =+得7 128a =，71 3811 a b a -?=-，因此2a =，3b =． 因此 222 2121 (2)28317121 a f a b a --=+ ?=+?=--． 2008AB 8、设)cos 1(22cos )(x a x x f +-=的最小值为2 1 ，则实数=a ◆答案： 32+- ★解析：2()2cos 122cos f x x a a x =---221 2(cos )2122 a x a a =----， (1) 2a >时，()f x 当cos 1x =时取最小值14a -； (2) 2a <-时，()f x 当cos 1x =-时取最小值1； (3) 22a -≤≤时，()f x 当cos 2a x =时取最小值21 212 a a ---． 又2a >或2a <-时，()f x 的c 不能为1 2 -，故2112122a a ---=-， 解得2a =-2a =-舍去)． 2008A 11、设)(x f 是定义在R 上的函数，若2008)0(=f ，且对任意R x ∈，满足 x x f x f 23)()2(?≤-+，x x f x f 263)()6(?≥-+，则=)2008(f ◆答案： 20072 2008 + ★解析：方法一：由题设条件知 (2)()((4)(2))((6)(4))((6)())f x f x f x f x f x f x f x f x +-=-+-+-+-+++- 24323263232x x x x ++≥-?-?+?=?， 因此有(2)()32x f x f x +-=?，故 (2008)(2008)(2006)(2006)(2004)(2)(0)(0)f f f f f f f f =-+-++-+ 2006200423(2221)(0)f =?+++++ 1003141 3(0)41 f +-=?+- 200822007=+． 方法二： 令()()2x g x f x =-，则 2(2)()(2)()2232320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≤?-?=， 6(6)()(6)()226326320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≥?-?=， 即(2)(),(6)()g x g x g x g x +≤+≥，故()(6)(4)(2)()g x g x g x g x g x ≤+≤+≤+≤，得()g x 是周期为2的周期函数，所以200820082008(2008)(2008)2(0)222007f g g =+=+=+． 2008B 11、设)(x f 是定义在R 上的函数，若2009)0(=f ，且对任意R x ∈，满足 x x f x f 23)()2(?≤-+，x x f x f 263)()6(?≥-+，则=)2008(f ◆答案： 20082 2008 + ★解析：[解法一] 由题设条件知 (2)()((4)(2))((6)(4))((6)())f x f x f x f x f x f x f x f x +-=-+-+-+-+++- 24323263232x x x x ++≥-?-?+?=?， 因此有(2)()32x f x f x +-=?，故 (2008)(2008)(2006)(2006)(2004)(2)(0)(0)f f f f f f f f =-+-++-+ 2006200423(2221)(0)f =?+++++ 1003141 3(0)41f +-=?+- 2008 22008=+． [解法二] 令()()2x g x f x =-，则 2(2)()(2)()2232320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≤?-?=， 6(6)()(6)()226326320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≥?-?=， 即(2)(),(6)()g x g x g x g x +≤+≥， 故()(6)(4)(2)()g x g x g x g x g x ≤+≤+≤+≤， 得()g x 是周期为2的周期函数，所以200820082008(2008)(2008)2(0)222008f g g =+=+=+． 2008A B14、解不等式)1(log 1)1353(log 4 26810122++<++++x x x x x ★解析： 方法一：由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于 1210864353122x x x x x ++++<+．即1210864353210x x x x x +++--<． 分组分解得12108x x x +- 1086222x x x ++- 864444x x x ++- 642x x x ++- 4210x x ++-<， 864242(241)(1)0x x x x x x +++++-<， 所以4210x x +-> ，即2 2(0x x <。 解得x (． 方法二： 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于 1210864353122x x x x x ++++<+． 即64222322621 33122(1)2(1)x x x x x x x x +>+++++=+++， 32322211()2()(1)2(1)x x x x +>+++， 令3()2gt t t =+，则不等式为221 ()(1)g g x x >+， 显然3()2g t t t =+在R 上为增函数，由此上面不等式等价于 221 1x x >+，即222()10x x +-< ，解得2x < 不等式解集为(． 2008A 二、（本题满分50分）设)(x f 是周期函数，T 和1是)(x f 的周期且10< ⑴若T 为有理数，则存在素数p ，使 p 1 是)(x f 的周期； ⑵若T 为无理数，则存在各项均为无理数的数列{}n a 满足011>>>+n n a a ，（ ,2,1=n ）,且每个 n a （ ,2,1=n ）都是)(x f 的周期。 ★证明：（1）若T 是有理数，则存在正整数,m n 使得n T m = 且(,)1m n =，从而存在整数,a b ，使得 1ma nb +=．于是 11ma nb a bT a b T m m +==+=?+?是()f x 的周期．又因01T <<，从而2m ≥．设p 是m 的素因子，则m pm '=，m *'∈N ，从而 11 m p m '=?是()f x 的周期． （2）若T 是无理数，令 11 1a T T ??=-????，则101a <<，且1a 是无理数，令 21111a a a ??=-???? ， 111n n n a a a +?? =-????， 由数学归纳法易知n a 均为无理数且01n a <<．又111n n a a ??- =- ．因此{}n a 是递减数列． 最后证：每个n a 是()f x 的周期．事实上，因1和T 是()f x 的周期，故11 1a T T ??=-???? 亦是()f x 的 周期．假设k a 是()f x 的周期，则111k k k a a a +?? =-???? 也是()f x 的周期．由数学归纳法，已证得n a 均 是()f x 的周期． 2006*2、设12log )12(log 2 ->-+x x x x ，则实数x 的取值范围为 A. 121< 1 >x ，且1≠x C. 1>x D.10< 0,1210x x x x >≠?? +->? ，解得 1 ,12x x >≠. 由2log (21)log 2 1x x x x +->-32 log (2)log 2x x x x x ?+-> 3 2 01 22 x x x x < ?? +- 解得 01x <<；或 32 122x x x x >??+->? 解得 1x >，所以x 的取值范围为 1 , 12x x >≠且. 2006*5、设函数)1(l o g )(223++ +=x x x x f ，则对于任意实数b a ,，0≥+b a 是0)()(≥+b f a f 的 A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ◆答案：A ★解析：显然(32()log f x x x =+为奇函数，且单调递增。于是 若0a b +≥，则a b ≥-，有()()f a f b ≥-，即()()f a f b ≥-，从而有()()0f a f b +≥. 反之，若()()0f a f b +≥，则()()()f a f b f b ≥-=-,推出 a b ≥-，即 0a b +≥。 2006*15、（本题满分20分）设a x x f +=2)(.记)()(1x f x f =，))(()(1 x f f x f n n -=， ,3,2=n ，集合{|R a M ∈=对所有正整数n ，} 2)0(≤n f 。证明：?? ??? ?-=4 1,2M ★证明：（１）如果2a <-，则1 (0)||2f a =>，a M ?。 （２）如果124a -≤≤ ，由题意 1 (0)f a =，12(0)((0))n n f f a -=+,2,3,n =. 则 ① 当 104a ≤≤时，1(0)2n f ≤（1n ?≥）. 事实上，当1n =时，1 1(0)2 f a =≤, 设1 n k =- 2020年一模汇编——函数 一、填空题 【杨浦1】函数12 ()f x x - =的定义域为 【答案】(0,)x ∈+∞ 【解析】12 ()f x x -== (0,)x ∈+∞ 【长宁，嘉定，金山2】方程27x =的解为 【答案】2log 7x = 【解析】本题考察了对数的概念 【杨浦3】已知函数()f x 的反函数1 2()log f x x -=，则(1)f -= 【答案】 12 【解析】因为2 1log 12=-，所以1(1)2 f -= 【宝山3】函数)1(3 1 <=-x y x 的反函数是 . 【答案】1log 3+=x y ，]1,0(∈x 【解析】y x ,互换，1 3 -=y x ?1log 3 +=x y ]1,0(∈x 【普陀5】设函数()log (4)(01)a f x x a a =+≠＞且，若其反函数的零点为2，则a =__________. 【答案】2 【解析】反函数-1 (2)0f =，有2 (0)log (04)=log 2=2a a f =+，易知2a = 【崇明5】函数 ()f x =的反函数是 ． 【答案】1 2()1(0)f x x x -=-≥ 【解析】令1+= x y ,2211y x x y ∴=+?=- 【徐汇5】 已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，且它在[0,)+∞上单调递增，那么使得(2)()f f a -≤成立的实数a 的取值范围是 【答案】 (][),22,-∞-+∞U 【解析】由题，()y f x =是定义在R 上的偶函数，且它在[0,)+∞上单调递增，则 ()f x 在 (],0-∞上单调递减，(2)()f f a -≤，则2a -≤，解得a 的取值范围是(][),22,-∞-+∞U 【闵行6】设函数22log (1)1 ()log 1 x f x x --= ，则方程()1f x =的解为 【答案】2x = 【解析】22222log (1)1 ()=log (1)log log (1)1log 1 x f x x x x x x --= -+=-=Q ()()12 100x x x x -=?? ∴-??? ＞＞2x ∴= 【奉贤8】已知点()3,9在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数为()1 f x -= __________. 【答案】()2log 1x - 【解析】将点()3,9代入函数()1x f x a =+中得2a =，所以()12x f x =+，用y 表示x 得 ()2log 1x y =-，所以()1f x -=()2log 1x - 【虹口8】设1()f x -为函数2()log (41)x f x =-的反函数，则当1()2()f x f x -=时，x 的值为_________. 【答案】1 【解析】由于函数2()log (41)x f x =-的反函数为)12(log 4+=x y ，当1()2()f x f x -=， 即)12(log 2)14(log 42+=-x x ，计算出1=x 【松江8】已知函数()y f x =存在反函数()-1y f x =，若函数()+2y f x =的图像经过 点 ()16 ，，则函数()-12+log y f x x =的图像必过点__________. 【答案】 ()43， . 第8课时分类讨论题 在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略． 分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行． 类型之一直线型中的分类讨论 直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要. 1．（沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50°B．80°C．65°或50° D．50°或80° 2.(?乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（） A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm 3. （江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处， (1)求证：B′E=BF；(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明. 类型之二 圆中的分类讨论 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等． 4.（湖北罗田）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4.若以C 点为圆心， r 为半径 所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是___ __． 5.（上海市）在△ABC 中，AB=AC=5，3cos 5 B ．如果圆O 的半径为10，且经过点B 、C ，那么线段AO 的长等于 ． 6.（?威海市）如图，点A ，B 在直线MN 上，AB ＝11厘米，⊙A ，⊙B 的半径均 为1厘米．⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r （厘米）与时间t （秒）之间的关系式为r ＝1+t （t≥0）． （1）试写出点A ，B 之间的距离d （厘米）与时间t （秒）之间的函数表达式； （2）问点A 出发后多少秒两圆相切？ 2013年高考理科数学试题分类汇编：三角函数（附答案）一、选择题 1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））已知 2 10 cos 2sin ,= +∈αααR ,则=α2tan A. 34 B. 43 C.43- D.3 4- 2 ．（2013年高考陕西卷（理））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））在△ABC 中 , ,3,4 AB BC ABC π ∠== =则sin BAC ∠ = 4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））将函数 sin(2)y x ?=+的图象沿x 轴向左平移 8 π 个单位后,得到一个偶函数的图象,则?的一个可 能取值为 (A) 34π (B) 4π (C)0 (D) 4π - 5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））在ABC ?,内角 ,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1 sin cos sin cos ,2 a B C c B A b +=且a b >,则B ∠= A.6π B.3π C.23π D.56 π 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知函数()=cos sin 2f x x x ,下列结论中错误的是 (A)()y f x =的图像关于(),0π中心对称 (B)()y f x =的图像关于直线2 x π =对称 (C)()f x ()f x 既奇函数,又是周期函数 7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））函数 §2 分类讨论思想 方法解读 1．分类讨论思想就是将一个复杂的数学问题分解成若干个 简单的基础性问题，通过对基础性问题的解答，解决原问题的思维策略，实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略，分类讨论可以优化解题思路，降低问题难度． 2．分类的原则是：(1)分类的对象确定，标准统一；(2)不重 复，不遗漏；(3)分层次，不越级讨论． 3．回顾总结中学数学教材中分类讨论的知识点，大致有： ①绝对值概念的定义；②一元二次方程根的判别式与根的情况；③二次函数二次项系数的正负与抛物线的开口 方向；④反比例函数y ＝k x (x ≠0)的反比例系数k ，正比例函数y ＝kx 的比例系数k ，一次函数y ＝kx ＋b 的斜率k 与图象位置及函数单调性的关系；⑤幂函数y ＝x a 的幂指数a 的正、负与定义域、单调性、奇偶性的关系；⑥指数函数y ＝a x 及其反函数y ＝log a x 中底数a ＞1及a ＜1对函数单调性的影响；⑦等比数列前n 项和公式中q ＝1与q ≠1的区别；⑧不等式性质中两边同乘(除)以正数或负数时对不等号方向的影响；⑨直线与圆锥曲线位置关系的讨论；⑩运用点斜式、斜截式直线方程时斜率k 是否存在． 4．分类讨论的一般流程： 明确讨论的对象确定讨论的全体 选择分类的标准 逐类进行讨论获得初步结果 归纳整合写出结论 分类突破 一、根据概念分类 例1若函数f(x)＝a x－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________． a＞1 解析设函数y＝a x(a＞0且a≠1)和函数y＝x＋a.则函数f(x)＝a x－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，就是函数y ＝a x(a＞0且a≠1)的图象与函数y＝x＋a的图象有两个交点．由图象可知，当0＜a＜1时，两函数只有一个交点，不符合；当a＞1时，因为函数y＝a x(a＞1)的图象过点(0,1)，而直线y＝x＋a的图象与y轴的交点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a的取值范围是a＞1. 归纳拓展有许多核心的数学概念是分类的，比如：直线斜率、指数函数、对数函数等，与这样的数学概念有关的问题往往需要根据数学概念进行分类，从而全面完整地解决问题． 江苏高考数学_函数_十年汇编（2005-2017） 一．基础题组 1. 【2005江苏，理2】函数123()x y x R -=+∈的反函数的解+析表达式为（ ） （A ）22log 3y x =- （B ）23 log 2x y -= （C ）23log 2x y -= （D ）22 log 3y x =- 2. 【2005 江苏，理 15】函数y =的定义域 为 . 3. 【2005江苏，理16】若3a =0.618,a ∈[),1k k +,k ∈Z ，则k = . 4. 【2005 江苏，理 17】已知 a , b 为常数，若 22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++则5a b -= . 5. 【2007江苏，理6】设函数f （x ）定义在实数集上，它的图像关于直线x =1 对称，且当x ≥1时，f （x ）＝3x -1，则有（ ） A.f （31）＜f （23）＜f （32） B.f （32）＜f （23）＜f （31） C.f （32）＜f （31）＜f （23） D.f （23）＜f （32）＜f （3 1） 6. 【2007江苏，理8】设f （x ）=l g （a x +-12 ）是奇函数，则使f （x ）＜0 的x 的取值范围是（ ） A.（-1，0） B.（0，1） C.（-∞，0） D.（-∞，0）∪（1，+∞） 7. 【2007江苏，理16】某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t =0时，点A 与钟面上标12的点B 重合.将A 、B 两点间的距离d （cm ）表示成t （s ）的函数，则d = __________，其中t ∈0，60]. 8. 【2009江苏，理10】.已知1 2 a = ，函数()x f x a =，若实数m 、n 满足()()f m f n >，则m 、n 的大小关系为 ▲ .9. 【2010江苏，理5】设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为__________． 10. 【2011江苏，理2】函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是 . 11. 【2011江苏，理8】在平面直角坐标系xoy 中，过坐标原点的一条直线与函数()x x f 2 = 的图象交于Q P ,两点，则线段PQ 长的最小值为 . 中考数学专题复习——分类讨论问题 一、教学目标 使学生养成分类讨论思想，并掌握一定的分类技巧，以及常见题型的分类方法。形成一定的分类体系，对待问题能有更严谨、缜密的思维。 二、教学重点 对常见题型分类方法的掌握；能够灵活运用一般的分类技巧。 三、教学难点 对于分类的“界点”、“标准”把握不准确，容易出现重复解、漏解等现象。 四、板书设计 1：分式方程无解的分类讨论问题； 2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题； 3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题； 4：分类问题在动点问题中的应用； 4.1常见平面问题中动点问题的分类讨论； 4.2组合图形（二次函数、一次函数、平面图形等组合）中动点问题 的分类。 1：分式方程无解的分类讨论问题 例题1：（2011武汉） 解：去分母，得： 猜想：把“无解”改为“有增根”如何解？ 例题2：（2011郴州） 2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题 例题3：（2010上海）已知方程有实数根，求m的取值范围。 （1）当时，即m=0时，方程为一元一次方程x+1=0，有实数根x= （2）当时，方程为一元二次方程，根据有实数根的条件得：，且综（1）（2）得， 常见病症：（很多同学会从（2）直接开始而且会忽略的条件） 总结：字母系数的取值范围是否要讨论，要看清题目的条件。一般设置问题的方式有两种（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。这都是表明是二次方程，不需要讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求，本题是根据二次项系数是否为零进行讨论的。 例题4：（2011益阳）当m是什么整数时，关于x的一元二次方程与的 根都是整数。 解：因为是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即，， 同理，且，又因为m为整数 （1）当m=—1时，第一个方程的根为不是整数，所以m=—1舍去。 （2）当m=1时，方程1、2的根均为整数，所以m=1. 练习：已知关于ｘ的一元二次方程有实数根，则ｍ的取值范围是： 3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题 例题:5：（2011青海）方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ） Ａ 12 Ｂ 12或15 Ｃ 15 Ｄ不能确定 例题6：（2011武汉）三角形一边长AB为13cm，另一边AC为 15cm，BC上的高为12cm,求此三角形的面积。（54或84）例题8：（2011四校联考）一条绳子对折后成右图A、B, A.B上一点C，且有BC=2AC,将其从C点剪断，得到的线段中最长的一段为40cm,请 问这条绳子的长度为：60cm或120cm A B C 4：动点问题的分类分类讨论问题 4.1：常见平面问题中动点问题的分类讨论； 例题9：（2011永州）正方形ABCD的边长为10cm，一动点P从点A出发，以2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。如图，回到A点停止，求点P运动t秒时， P，D两点间的距离。 初中数学中的分类讨论解题法 数学思想是人们在长期的实践经验和社会生活中得出的有关现实世界的数量关系、空间结构等科学意识的反应，是人类思维活动的结晶。数学思想在漫长的历史演变中逐渐发展，帮助人类掌握学习知识的技巧，提供最优质的解决方案，常见的数学思想包括数形结合、分类讨论、换元思想、函数与方程、等效思想等等。本文就以分类讨论思想为例，探讨其在初中数学中的具体运用。 一、分类讨论思想的意义 分类讨论思想其最主要本质就是“化整为零，积零为整”的解题策略。当我们在解决数学问题时，当所面对的问题不能进行整体统一的研究时，根据数学的本质属性需进行分类讨论和研究，这种逻辑思维解决方法就是“分类讨论思想”。 而分类讨论思想在中学数学中，历年是考试的侧重点，主要是考查学生对于知识面的分析能力和解题思路技巧，分类讨论思想不仅有利于提高学生在学习数学中的广泛兴趣，还有利于培养思维能力的条理性和缜密性。学生可以通过分类讨论思想掌握数学当中分类方法、一题多解和对知识结构认知的能力。在教学中，教师可以利用小组合作充分发挥分类讨论的作用，为学生营造一种合作交流积极应变的氛围。因此，分类讨论思想可以有效地培养学生的思维灵活性和解题思路的能力，在初中数学解题应用中具有非常重要的作用和意义。 二、分类讨论思想具体解题步骤探讨 在学生能够基本掌握分类讨论思想的情况下，教师要引导学生运用正确的解题思路，大体可以从以下几个方面去引导，一是要认真仔细阅读题目，明白题目要考查的知识点；二是要明确分类讨论的对象，列举所有可能的结果，不可以遗漏，不可以重复；三是要讨论出所有列举问题的结论；四是要认真总结归纳，对于做过的题目要能够总结出规律和解题思路。对于数学问题的研究要有效针对各种属性的对象，研究的结果也自然会因为研究对象的不同而产生差异，因此对于不同的研究对象就需要采用不同的研究思想，又或者说在研究过程中出现了不同的状况，就需要采用不同的分类研究的思想。 三、分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用实例分析 导数 1.【2017课标II ，理11】若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ） A.1- B.32e -- C.35e - D.1 【答案】A 【解析】()()2121e x f x x a x a -'??=+++-??? ， 则()()324221e 01f a a a -'-=-++-?=?=-????， 则()()211e x f x x x -=--?，()()212e x f x x x -'=+-?， 令()0f x '=，得2x =-或1x =， 当2x <-或1x >时，()0f x '>， 当21x -<<时，()0f x '<， 则()f x 极小值为()11f =-． 【考点】 函数的极值；函数的单调性 【名师点睛】(1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同。 (2)若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值。 2.【2017课标3，理11】已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = A ．12- B ．13 C ．12 D ．1 【答案】C 【解析】由条件，211()2(e e )x x f x x x a --+=-++，得： 221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e ) 4442(e e )2(e e ) x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++ ∴(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴， 由题意，()f x 有唯一零点， ∴()f x 的零点只能为1x =， 即21111(1)121(e e )0f a --+=-?++=， 解得12 a =． 【考点】 函数的零点；导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想 【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的 十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学 专题03函数 1.(2019?天津?理T8)已知a ∈R,设函数f(x)={x 2-2ax +2a ,x ≤1, x -alnx ,x >1.若关于x 的不等式f(x)≥0在R 上恒成立, 则a 的取值范围为( ) A.[0,1] B.[0,2] C.[0,e] D.[1,e] 【答案】C 【解析】(1)当a ≤1时,二次函数的对称轴为x=a.需a 2 -2a 2 +2a ≥0.a 2 -2a ≤0.∴0≤a ≤2. 而f(x)=x-aln x,f'(x)=1-a x = x -a x >0 此时要使f(x)=x-aln x 在(1,+∞)上单调递增,需1-aln 1>0.显然成立. 可知0≤a ≤1. (2)当a>1时,x=a>1,1-2a+2a ≥0,显然成立. 此时f'(x)= x -a x ,当x ∈(1,a),f'(x)<0,单调递减,当x ∈(a,+∞),f'(x)>0,单调递增. 需f(a)=a-aln a ≥0,ln a ≤1,a ≤e,可知11. 若关于x 的方程f(x)=-1 4x+a(a ∈R)恰有两个互异的实 数解,则a 的取值范围为( ) A.54,9 4 B. 54,94 C. 54,9 4 ∪{1} D.54, 94 ∪{1} 【答案】D 【解析】当直线过点A(1,1)时,有1=-14+a,得a=5 4. 当直线过点B(1,2)时,有2=-14+a,a=9 4. 故当54≤a≤9 4时,有两个相异点. 当x>1时,f'(x 0)=-1x 0 2=-1 4,x 0=2. 此时切点为2,1 2,此时a=1.故选D. 上海市各区县2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编 三角函数 一、填空题 1、（宝山区2015届高三上期末）函数3tan y x =的周期是 2、（虹口区2015届高三上期末）在ABC ?中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若75,60,A B b =?=?=，则c = 3、（黄浦区2015届高三上期末）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角α的终边与圆心在原点的单位圆(半径为1的圆)交于第二象限内的点4 (,)5 A A x ，则sin 2α＝ ．(用数值表示) 4、（嘉定区2015届高三上期末）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A c C a cos 2cos 3=， 3 1 tan = A ，则= B _________ 5、（金山区2015届高三上期末）方程：sin x +cos x =1在[0，π]上的解是 ▲ 6、（静安区2015届高三上期末）已知△ABC 的顶点)6,2(A 、)1,7(B 、)3,1(--C ，则△ABC 的内角BAC ∠的大小是 .（结果用反三角函数值表示） 7、（静安区2015届高三上期末）已知αtan 、βtan 是方程04332=++x x 的两根，α、)2 ,2(π πβ- ∈，则 βα+= . 8、（浦东区2015届高三上期末）函数sin y x x =的最大值为 9、（普陀区2015届高三上期末）函数?? ? ??-π=x y 4tan 的单调递减区间是 10、（普陀区2015届高三上期末）在ABC ?中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若32=a ，2=c ， 120=A ，则=?ABC S 11、（青浦区2015届高三上期末）已知函数2cos y x =与2sin(2)(0)y x ??π=+≤<，它们的图像有一个横坐标为 3 π 的交点，则?的值是 12、（松江区2015届高三上期末）已知函数()sin()3 f x x π ω=+（R x ∈，0>ω）的最小正周期为π，将) (x f y =图像向左平移?个单位长度)2 0(π ?< <所得图像关于y 轴对称，则=? ▲ 13、（徐汇区2015届高三上期末）已知3 sin 5 θ=- ，则cos 2θ=__ __ 高中数学分类讨论归纳总结（二）：集合中的分类讨论 一、参数取值引起的分类讨论 1．已知函数y ＝2x ，x ∈[2,4]的值域为集合A ，y ＝log 2[－x 2＋(m ＋3)x －2(m ＋1)]的定义域为 集合B ，其中m ≠1.设全集为R ，若A ??R B ，求实数m 的取值范围． 解析： 由－x 2＋(m ＋3)x －2(m ＋1)＞0，得(x －m －1)(x －2)＜0， 若m ＞1，则B ＝{x |2＜x ＜m ＋1}，所以?R B ＝{x |x ≤2或x ≥m ＋1}． 因为A ??R B ，所以m ＋1≤4，所以1＜m ≤3. 若m ＜1，则B ＝{x |m ＋1＜x ＜2}，所以?R B ＝{x |x ≤m ＋1或x ≥2}， 此时A ??R B 成立． 2．已知集合A ＝{a －2,2a 2＋5a,12}，且－3∈A ，则a ＝__________. 解析：∵－3∈A ，∴－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a . ∴a ＝－1或a ＝－32 . 当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，与元素互异性矛盾，应舍去． 当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3. ∴a ＝－32满足条件．答案：－32 二、空集引起的分类讨论 1、已知集合A ＝{x|－2≤x ≤7}，B ＝{x|m ＋1＜x ＜2m －1}．若B ?A ，则实数m 的取值范围是( ) A ．－3≤m ≤4 B ．－3＜m ＜4 C ．2＜m ≤4 D ．m ≤4 思维启迪：若B ?A ，则B ＝?或B ≠?，要分两种情况讨论． 解析：当B ＝?时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠?时，若B ?A ，如图． 则????? m ＋1≥－2，2m －1≤7， m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4. 综上，m 的取值范围为m ≤4，故选D . 2、．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝{x |x －2x －(3a ＋1)＜0}，B ＝{x |x －a 2－2x －a ＜0}．命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围． 解析：∵a 2＋2＞a ，∴B ＝{x |a ＜x ＜a 2＋2}． ①当3a ＋1＞2，即a ＞13 时，A ＝{x |2＜x ＜3a ＋1}．∵p 是q 的充分条件，∴A ?B . 上海市2019届高三年级（一模）考试数学试题分类汇编--函数 一、填空、选择题 1、（宝山区2019届高三）方程ln(931)0x x +-=的根为 ． 2、（崇明区2019届高三）若函数2()log 1 x a f x x -=+的反函数的图像经过点(3,7)-，则a = 3、（奉贤区2019届高三）设函数()2x y f x c ==+的图像经过点(2,5)，则()y f x =的反函数 1()f x -= 4、（虹口区2019届高三）设常数a ∈R ，若函数3()log ()f x x a =+的反函数的图像经过点(2,1)，则a = 5、（金山区2019届高三）已知函数2()1log f x x =+，则1(5)f -= 6、（浦东新区2019届高三）若函数()y f x =的图像恒过点(0,1)，则函数1 ()3y f x -=+的图像一 定经过定点 7、（普陀区2019 届高三）函数2 ()f x x =的定义域为 8、（青浦区2019届高三） 已知函数()2f x +=，当(0,1]x ∈时，2()f x x =，若在区间[1,1] -内()()(1)g x f x t x =-+有两个不同的零点，则实数t 的取值范围是 9、（松江区2019届高三）已知函数()y f x =的图像与函数x y a =(0,1)a a >≠的图像关于直线 y x =对称，且点(4,2)P 在函数()y f x =的图像上，则实数a = 10、（徐汇区2019届高三）已知函数()f x 是以2为周期的偶函数，当01x ≤≤时，()lg(1)f x x =+，令函数[]()()(1,2)g x f x x =∈，则()g x 的反函数为______________________. 11、（杨浦区2019届高三）下列函数中既是奇函数，又在区间[1,1]-上单调递减的是（ ） A. ()arcsin f x x = B. ()lg ||f x x = C. ()f x x =- D. ()cos f x x = 12、（长宁区2019届高三）已知幂函数()a f x x = 的图像过点(2,2，则()f x 的定义域为 13、（闵行区2019届高三）已知函数()|1|(1)f x x x =-+，[,]x a b ∈的值域为[0,8]， 则a b +的取值范围是 14、（宝山区2019届高三）函数()y f x =与ln y x =的图像关于直线y x =-对称，则 ()f x = ． 15、（奉贤区2019届高三）函数()g x 对任意的x ∈R ，有2()()g x g x x +-=，设函数 2 ()()2 x f x g x =-，且()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，若2()(2)0f a f a +-≤，则实数a 的取值 范围为 16、（虹口区2019届高三）函数8 ()f x x x =+，[2,8)x ∈的值域为 17、（虹口区2019届高三）已知函数2()1f x ax x =-+，1,1(),111,1x g x x x x -≤-?? =-< 2020年高考数学分类汇编：函数、导数及其应用 4. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()t I （t 的单位：天）的Logistic 模型：()() 0.23531t K I t e --= +， 其中K 为的最大确诊病例数.当() 0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（ln19≈3） A.60 B.63 C.66 D.69 4. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()t I （t 的单位：天）的Logistic 模型：()() 0.23531t K I t e --= +， 其中K 为最大确诊病例数.当() 0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（In19≈3） A.60 B.63 C.66 D.69 6．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天 D ．3.5天 8．若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是 A ．[)1,1][3,-+∞ B ．3,1][,[01]-- C ．[)1,0][1,-+∞ D ．1,0]3][[1,- 中考数学专题复习——分类讨论问题 一、教学目标 使学生养成分类讨论思想，并掌握一定的分类技巧，以及常见题型的分类方法。形成一定的分类体系，对待问题能有更严谨、缜密的思维。 二、教学重点 对常见题型分类方法的掌握；能够灵活运用一般的分类技巧。 三、教学难点 对于分类的“界点”、“标准”把握不准确，容易出现重复解、漏解等现象。 四、板书设计 1：分式方程无解的分类讨论问题； 2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题； 3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题； 4：分类问题在动点问题中的应用； 4.1常见平面问题中动点问题的分类讨论； 4.2组合图形（二次函数、一次函数、平面图形等组合）中动点问题的分类。 1：分式方程无解的分类讨论问题 例题1：（2011武汉）=+=-+-a 3 49332无解，求x x ax x 解：去分母，得： 1 .6,801a 31 -a 21-31-a 21-211-a )3(4)3(3=-==∴=-=-=-=?-=++a a a x x ax x 或者或或由已知）（ 猜想：把“无解”改为“有增根”如何解？ 68-==a a 或 例题2：（2011郴州） ==--+a 21 12无解，求x a x 2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题 例题3：（2010上海）已知方程01)12(22=+++x m x m 有实数根，求m 的取值范围。 （1） 当02 =m 时，即m=0时，方程为一元一次方程x+1=0，有实数根x=1- （2） 当02 ≠m 时，方程为一元二次方程，根据有实数根的条件得：4 1-m ,0144)12(22≥≥+=-+=?即m m m ，且02≠m 综（1）（2）得，4 1-≥m 常见病症：（很多同学会从（2）直接开始而且会忽略02≠m 的条件） 总结：字母系数的取值范围是否要讨论，要看清题目的条件。一般设置问题的方式有两种（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。这都是表明是二次方程，不需要讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求，本题是根据二次项系数是否为零进行讨论的。 例题4：（2011益阳）当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程0442=+-x mx 与0544422=--+-m m mx x 的根都是整数。 解：因为是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即02≠m ，0≠m ， 1.m ,01≤≥?解得 同理，.45 m ,02-≥≥?解得1m 4 5≤≤-∴且0≠m ，又因为m 为整数.11或取-∴m （1）当m=—1时，第一个方程的根为222±-=x 不是整数，所以m=—1舍去。 （2）当m=1时，方程1、2的根均为整数，所以m=1. 练习：已知关于ｘ的一元二次方程01)1(2 =++-x x m 有实数根，则ｍ的取值范围是： 1m 450 01≠≤????≥?≠-且m m 3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题 例题:5：（2011青海）方程01892=+-x x 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ） Ａ 12 Ｂ 12或15 Ｃ 15 Ｄ 不能确定 例题6：（2011武汉）三角形一边长AB 为13cm ，另一边AC 为15cm ，BC 上的高为12cm,求此三角形的面积。（54或84） 分类讨论 在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略． 分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行． 类型之一直线型中的分类讨论 直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要. 1．（沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50°B．80°C．65°或50° D．50°或80° 2.(?乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（） A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm 3. （江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处， (1)求证：B′E=BF；(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明. 类型之二 圆中的分类讨论 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等． 4.（湖北罗田）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4.若以C 点为圆心， r 为半径 所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是___ __． 5.（上海市）在△ABC 中，AB=AC=5，3cos 5 B ．如果圆O 的半径为10，且经过点B 、C ，那么线段AO 的长等于 ． 6.（?威海市）如图，点A ，B 在直线MN 上，AB ＝11厘米，⊙A ，⊙B 的半径均 为1厘米．⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r （厘米）与时间t （秒）之间的关系式为r ＝1+t （t≥0）． （1）试写出点A ，B 之间的距离d （厘米）与时间t （秒）之间的函数表达式； （2）问点A 出发后多少秒两圆相切？ 2019年全国各地高考文科数学试题分类汇编2：函数 一、选择题 1 ．（2019年高考重庆卷（文））函数21 log (2) y x = -的定义域为 （ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(2,3) (3,)+∞ D ．(2,4)(4,)+∞ 【答案】C 2 ．（2019年高考重庆卷（文））已知函数3 ()sin 4(,)f x ax b x a b R =++∈,2(lg(log 10))5f =,则 (lg(lg 2))f = （ ） A ．5- B ．1- C ．3 D ．4 【答案】C 3 ．（2019年高考大纲卷（文））函数()()()-1 21log 10=f x x f x x ? ?=+ > ??? 的反函数 （ ） A ． ()1021x x >- B ．()1 021 x x ≠- C ．()21x x R -∈ D ．()210x x -> 【答案】A 4 ．（2019年高考辽宁卷（文））已知函数()) ()21ln 1931,.lg 2lg 2f x x x f f ?? =+++= ??? 则 （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】D 5 ．（2019年高考天津卷（文））设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则 （ ） A ．()0()g a f b << B ．()0()f b g a << C ．0()()g a f b << D ．()()0f b g a << 【答案】A 6 ．（2019年高考陕西卷（文））设全集为R , 函数()1f x x =-M , 则C M R 为 （ ） A ．(-∞,1) B ．(1, + ∞) C ．(,1]-∞ D ．[1,)+∞ 【答案】B 7 ．（2019年上海高考数学试题（文科））函数 ()()211f x x x =-≥的反函数为()1f x -,则()12f -的值是 分类讨论专题 在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略． 分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏． 分类的原则： （1）分类中的每一部分是相互独立的； （2）一次分类按一个标准； （3）分类讨论应逐级有序进行． （4）. （5）以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型. 综合中考的复习规律，分类讨论的知识点可分为三大类： 1.代数类：代数有绝对值、方程及根的定义，函数的定义以及点（坐标未给定）所在象限 等. 2.几何类：几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等. 3.综合类：代数与几何类分类情况的综合运用. 代数类 考点1与数与式有关的分类讨论 1.化简：|x-1|+|x-2| ： 2.已知α、β是关于x的方程x2+x+a=0的两个实根。 (1)求a的取值范围； (2)试用a表示|α|+|β|。 3. 代数式 a a b b ab ab |||||| ++的所有可能的值有（ ） · A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 无数个 考点2 与方程有关的分类讨论 4. 解方程：①（a -2）x =b -1 ②试解关于x 的方程111 =--x )x ( ） 5. 关于x 的方程2 2 (21)10k x k x +-+=有实数根，则k 的取值范围是（） A ．4k ≤ B.104 k k ≤ ≠或 <14 D. k≥14 6. 已知关于x 的方程2 2(4)(4)0kx k x k +++-= （1）若方程有实数根，求k 的取值范围 （2）若等腰三角形ABC 的边长a=3，另两边b 和c 恰好是这个方程的两个根，求ΔABC 的周长. （ 考点3 函数部分 2020年高考数学 函数试题分类汇编 理 （安徽）设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2 =2-，则()f 1= （A ）-3 (B) -1 （Ｃ）１ （Ｄ）３ （安徽）已知函数()sin(2)f x x ?=+，其中?为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2 f f π π>，则() f x 的单调递增区间是（A ）,()3 6k k k Z π πππ?? - + ∈??? ? （B ）,()2k k k Z πππ? ?+∈??? ? （C ）2,()6 3k k k Z π πππ? ?+ + ∈??? ? （D ）,()2k k k Z πππ?? -∈???? （安徽） （北京）．根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ??? ? ?? ? ≥<=A x A c A x x c x f ,, ,)(（A ，C 为常数）。 已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是A ．75，25 B ．75，16 C ．60，25 D ．60，16 （北京）设()0,0A ,()4,0B ，()4,4C t +,()(),4D t t R ∈.记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的 个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数()N t 的值域为 A ．{}9,10,11 B ．{}9,10,12 C ．{}9,11,12 D ．{}10,11,12 （福建） 1 ?（e 2 +2x ）dx 等于A.1 B.e-1 C.e D.e+1 （福建）对于函数f （x ）=asinx+bx+c(其中，a,b ∈R,c ∈Z),选取a,b,c 的一组值计算f （1）和f （-1），所得出的正确结果一定不可能．．．．．是A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2 （福建）已知函数f(x)=e+x ，对于曲线y=f （x ）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断： ①△ABC 一定是钝角三角形②△ABC 可能是直角三角形③△ABC 可能是等腰三角形④△ABC 不可能是等腰三角形，其中，正确的判断是A.①③ B.①④ C. ②③ D.②④ （广东）设函数()f x 和g(x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 A ．()f x +|g(x)|是偶函数 B ．()f x -|g(x)|是奇函数 C ．|()f x | +g(x)是偶函数 D ．|()f x |- g(x)是奇函数 （湖北）已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()222f x g x a a -+=-+(a ＞0,且0a ≠).若 ()2g a =，则()2f =A ．2 B. 154 C. 17 4 D. 2a （湖北）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰 变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：30 0()2 t M t M -=，其中M 0为t=0时铯137的含量。已知t=30时，铯137含量的变化率是-10In2 （太贝克／年），则M （60）=A.5太贝克 B.75In2太贝克 C.150In2太贝克 D.150太贝克 （湖南）设直线x t =与函数2 (),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为（ ） A ．1 B ． 1 2 C ．52．22答案：D 解析：由题2 ||ln MN x x =-，(0)x >不妨令2 ()ln h x x x =-，则1 '()2h x x x =- ，令'()0h x =解得22x =，因 2(0, 2x ∈时，'()0h x <，当2,)2x ∈+∞时，'()0h x >，所以当2 2 x =时，||MN 达到最小。即22t =。 （江西）若) 12(2 1log 1)(+= x x f ,则)(x f 的定义域为 ( ) A. (21-,0) B. (21-,0] C. (2 1 -,∞+)D. (0,∞+) 答案： A 解析： ()? ? ? ??-∈∴<+<∴>+0,211 120,012log 2 1x x x上海2020高三数学一模分类汇编-函数(详答版)
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