勾股定理单元测试题
1、如图,在Rt △ABC 中,∠B =90°,BC =15,AC =17,以AB 为直径作半圆,则此半圆的面积为( ).
A .16π
B .12π
C .10π
D .8π
2、已知直角三角形两边的长为3和4,则此三角形的周长为( ).
A .12
B .7+7
C .12或7+7
D .以上都不对 3、如图,梯子AB 靠在墙上,梯子的底端A 到墙根O 的距离为2m , 梯子的顶端B 到地面的距离为7m ,现将梯子的底端A 向外移动到A ′, 使梯子的底端A ′到墙根O 的距离等于3m .同时梯子的顶端B 下降 至B ′,那么BB ′( ).
A .小于1m
B .大于1m
C .等于1m
D .小于或等于1m 4、将一根24cm 的筷子,置于底面直径为15cm ,高8cm 的圆柱
形水杯中,如图所示,设筷子露在杯子外面的长度为h cm ,则h 的取 值范围是( ).
A .h ≤17cm
B .h ≥8cm
C .15cm ≤h ≤16cm
D .7cm ≤h ≤16cm 5、在Rt △ABC 中,∠C =90°,且2a =3b ,c =213,则a =_____,b =_____. 6、如图,矩形零件上两孔中心A 、B 的距离是_____(精确到个位).
7、如图,△ABC 中,AC =6,AB =BC =5,则BC 边上的高AD =______.
8、某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米售价a 元,则购买这种草皮至少需要 元. 9、如图,设四边形ABCD 是边长为1的正方形,以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ,再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ,如此下
去. (1)记正方形ABCD 的边长为a 1=1,按上述方法所作的正方形的边长
依次为a 2,a 3,a 4,……,a n ,请求出a 2,a 3,a 4的值;
(2)根据以上规律写出a n 的表达式.
150o
20
米
30米
10、如图,某公园内有一棵大树,为测量树高,小明C
处用侧角仪测得树顶端A的仰角为30°,已知侧角仪高DC=1.4m,
BC=30米,请帮助小明计算出树高AB.(3取1.732,结果保留
三个有效数字)
11、如图,甲船以16海里/时的速度离开港口,向东南航行,
乙船在同时同地向西南方向航行,已知他们离开港口一个半小时后
分别到达B、A两点,且知AB=30海里,问乙船每小时航行多少
海里?
12、去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性
大学,为了方便A、B两地师生的交往,学校准备在相距2.732km的A、B两地之间修筑一条笔直公路(即图中的线段AB),经测量,在A地
的北偏东60°方向、B地的西偏北45°方向C处有一个半径为0.7km
的公园,问计划修筑的这条公路会不会穿过公园?为什么?(3≈1.732)
参考答案与提示
1、D (提示:在Rt △ABC 中,AB 2=AC 2-BC 2=172-152=82,∴AB =8.∴S 半圆
=
21πR 2=21π×(2
8
)2=8π.故选D );
2、C (提示:因直角三角形的斜边不明确,结合勾股定理可求得第三边的长为5或7,所以直角三角形的周长为3+4+5=12或3+4+7=7+7,故选C );
3、A (提示:移动前后梯子的长度不变,即Rt △AOB 和Rt △A ′OB ′的斜边相等.由勾股定理,得32+B ′O 2=22+72,B ′O =44,6<B ′O <7,则O <BB ′<1.故应选A );
4、D (提示:筷子在杯中的最大长度为22815+=17cm ,最短长度为8cm ,则筷子露在杯子外面的长度为24-17≤h ≤24-8,即7cm ≤h ≤16cm ,故选D ).
5.a =b ,b =4(提示:设a =3k ,b =2k ,由勾股定理,有
(3k )2+(2k )2=(213)2,解得a =b ,b =4.); 6.43(提示:做矩形两边的垂线,构造Rt △ABC ,利用勾股定理,AB 2=AC 2+BC 2=192+392=1882,AB ≈43); 7.3.6(提示:设DC =x ,则BD =5-x .在Rt △ABD 中,AD 2=52-(5-x )2,在Rt △ADC 中,AD 2=62-x 2,∴52-(5-x )2=62-x 2,x =3.6.故AD =226.36-=4.8); 8、150a .
9、解析:利用勾股定理求斜边长.
(1)∵四边形ABCD 是正方形,∴AB =BC =1,∠B =90°.∴在Rt △ABC 中,AC =
22BC AB +=
2211+=2.同理:AE =2,EH =22,…,即a 2=2,a 3=2,a 4=22.
(2)a n =12-n (n 为正整数).
10、解析:构造直角三角形,利用勾股定理建立方程可求得.过点D 作DE ⊥AB 于点E ,则ED =BC =30米,EB =DC =1.4米.设AE =x 米,在Rt △ADE 中,∠ADE =30°,则AD =2x .由勾股定理得:AE 2+ED 2=AD 2,即x 2+302=(2x )2,解得x =103≈17.32.∴AB =AE +EB ≈17.32+1.4≈18.7(米). 答:树高AB 约为18.7米.
11、解析:本题要注意判断角的大小,根据题意知:∠1=∠2=45°,从而证明△ABC 为直角三角形,这是解题的前提,然后可运用勾股定理求解.B 在O 的东南方向,A 在O 的西南方向,所以∠1=∠2=45°,所以∠AOB =90°,即△AOB 为Rt △.BO =16×2
3=24(海里),AB =30海里,根据勾股定理,得AO 2=AB 2-BO 2=302-242=182,所以AO =18.所以乙船的速度=18÷23=18×3
2=12(海里/时). 答:乙船每小时航行12海里.
12、解 如图所示,过点C 作CD ⊥AB ,垂足为点D ,由题意可得∠CAB =30°,∠CBA =45°,在Rt △CDB 中,∠BCD =45°,∴∠CBA =∠BCD ,∴BD =CD .在Rt △ACD 中,∠CAB =30°,∴AC =2CD .设CD =DB =x ,∴AC =2x .由勾股定理 得AD =
22CD AC -=224x x -=3x .∵AD +DB =2.732,
∴3x +x =2.732,∴x ≈1.即CD ≈1>0.7, ∴计划修筑的这条公路不会穿过公园.
八年级下学期数学测试卷 一、选择题: 1.如果代数式有意义,那么x的取值范围是() A.x≥0 B.x≠1 C.x>0 D.x≥0且x≠1 2. 下列各组数中,以a、b、c为边的三角形不是直角三角形的是() A 1.5,2,3 a b c === B 7,24,25 a b c === C 6,8,10 a b c === D 3,4,5 a b c === 3.如图,直线l上有三个正方形a b c ,,,若a c ,的面积分别为5和11,则b的面积为() A.4 B.6 C.16 D.55 4. 如图,在平行四边形ABCD中,下列结论中错误的是() A.∠1=∠2B.∠BAD=∠BCD C.A B=CD D.A C⊥BD 5. 如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是边AD,AB的中点,EF交AC于点H ,则的值为() A.1B.C.D.6.0) y kx b k =+≠ (的图象如图所示,当0 y>时,x的取值范围是 () A.0 x< B.0 x> C.2 x< D.2 x> 7. 体育课上,20人一组进行足球比赛,每人射点球5次,已知某一组的进球总数为49个,进球情况记录如下表,其中进2个球的有x人,进3个球的有y人, 进球数0 1 2 3 4 5 人数 1 5 x y 3 2 A.y=x+9与y= 3 x+ 3 B.y=-x+9与y= 3 x+ 3 C.y=-x+9与y=- 2 3 x+ 22 3 D.y=x+9与y=- 2 3 x+ 22 3 8. 已知一次函数y=kx+b(k、b为常数且k≠0)的图象经过点A(0,﹣2)和点B(1,0),则k=,b= 9.已知:ΔABC中,AB=4,AC=3,BC=7,则ΔABC的面积是( ) A.6 B.5 C.1.57 D.27 10. 如图,已知一条直线经过点A(0,2)、点B(1,0),将这条直线向左平移与x轴、y 轴分别交与点C、点D.若DB=DC,则直线CD的函数解析式为. a b c
勾股定理专项训练 专训1.巧用勾股定理求最短路径的长 名师点金: 求最短距离的问题,第一种是通过计算比较解最短问题;第二种是平面图形,将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中,然后借助勾股定理解决;第三种是立体图形,将立体图形展开为平面图形,在平面图形中将路程转化为两点间的距离,然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离).用计算法求平面中最短问题 1.如图,学校有一块长方形花圃,有极少数人从A走到B,为了避免拐角C走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”,他们仅仅少走了________步路(假设2步为1 m),却踩伤了花草. (第1题) 2.小明听说“武黄城际列车”已经开通,便设计了如下问题:如图,以往从黄石A坐客车到武昌客运站B,现在可以在黄石A坐“武黄城际列车”到武汉青山站C,再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B.设AB=80 km,BC=20 km,∠ABC=120°.请你帮助小明解决以下问题: (1)求A,C之间的距离.(参考数据21≈4.6) (2)若客车的平均速度是60 km/h,市内的公共汽车的平均速度为40km/h,“武黄城际列车”的平均速度为180 km/h,为了在最短时间内到达武昌客运站,小明应选择哪种乘车方案?请说明理由.(不计候车时间) (第2题) 用平移法求平面中最短问题 3.如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别是50 cm,30c m,10 cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只壁虎,它想到B点去吃可口的食物,请你想一想,这只壁虎从A点出发,沿着台阶面爬到B点,至少需爬( ) A.13 cm B.40 cmC.130 cm D.169 cm
【课题名称】八上数学《勾股定理》 【考纲解读】 1.掌握勾股定理的含义; 2.理解勾股数,并且会熟练地运用勾股数; 3.能够根据勾股定理,解决实际问题。 【考点梳理】 考点1:勾股定理 (1)勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 (2)勾股定理的表示:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c += (3)勾股定理的证明:勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图法。图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变。根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理。 考点2:勾股定理的适用围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。 考点3:勾股数 (1)能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数。 (2)记住常见的勾股数可以提高解题速度,比如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25;8,15,17等。 考点4:勾股定理的应用 (1)已知直角三角形的任意两边长,求第三边。在A B C ?中,90C ∠=?,则c , b ,a ; (2)已知直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系; (3)可以运用勾股定理解决一些实际问题,比如圆柱和长方体的最短距离问题。 【例题讲解】 c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A
一、 选择题 1、在Rt △ABC 中,∠C=90°,三边长分别为a 、b 、c ,则下列结论中恒成立的是 ( ) A 、2ab
八年级(下)期末数学试卷 一、选择题(本题有10小题,每小题3分,满分30分) 1.下列二次根式中,是最简二次根式的是() A. B.C.D. A.94 B.96 C.113 D.113.5 3.在一个直角三角形中,已知两直角边分别为6cm,8cm,则下列结论不正确的是() A.斜边长为10cm B.周长为25cm C.面积为24cm2D.斜边上的中线长为5cm 4.如图,?ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OA=3,若要使平行四边形ABCD为矩形,则OB的长度为() A.4 B.3 C.2 D.1 x与方差S2: 平均数 ) A.甲B.乙C.丙D.丁 6.下列各命题的逆命题成立的是() A.全等三角形的对应角相等 B.如果两个数相等,那么它们的绝对值相等 C.对角线互相平分的四边形是平行四边形 D.如果两个角都是90°,那么这两个角相等 7.已知直线y=kx+b与y=2x﹣5平行且经过点(1,3),则y=kx+b的表达式是() A.y=x+2 B.y=2x+1 C.y=2x+2 D.y=2x+3 8.已知正比例函数y=kx,且y随x的增大而减少,则直线y=2x+k的图象是() A. B. C. D. 9.如图,?ABCD中,AB=4,BC=3,∠DCB=30°,动点E从B点出发,沿B﹣C﹣D﹣A运动至A 点停止,设运动的路程为x,△ABE的面积为y,则y与x的函数图象用图象表示正确的是()
A . B . C . D . 10.在平面直角坐标系中,点A (0,4),B (3,0),且四边形ABCD 为正方形,若直线l :y=kx +4与线段BC 有交点,则k 的取值范围是( ) A .k ≤ B .﹣≤k ≤﹣ C .﹣≤k ≤﹣1 D .﹣≤k ≤ 二、填空题(共6小题,每小题3分,满分18分) 11.化简: = . 12.如图,?ABCD 中,∠DCE=70°,则∠A= . 13.如果菱形有一个内角是60°,周长为32,那么较短对角线长是 . 14.如图,?ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ,E 为BC 边中点,已知AB=6cm ,则OE 的长为 cm . 15.直线l 1:y=x +1与直线l 2:y=mx +n 相交于点P (a ,2),则关于x 的不等式x +1≥mx +n 的解集为 . 16.如图,在矩形ABCD 中的AB 边长为6,BC 边长为9,E 为BC 上一点,且CE=2BE ,将△ABE 翻折得到△AFE ,延长EF 交AD 边于点M ,则线段DM 的长度为 .
勾股定理知识点归纳和题型归类 一.知识归纳 1.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; 表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c += 2.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法,用拼图的方法验证勾股定理的思路是: ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一: 4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,2214()2 ab b a c ?+-=, 化简可证. 方法二: 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++,所以 222a b c += 方法三: 1 ()()2S a b a b =+?+梯形, 211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形,化简 得证 3.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形 4.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长,求第三边 在ABC ?中,90C ∠=?, 则c b ,a ②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ,b , c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是 否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a , b , c 为三边的三角形是直角三角形;若 222a b c +<,时,以a ,b ,c 为三边的三角形 是钝角三角形;若222a b c +>,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是锐角三角形; c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A
18.2 勾股定理的逆定理 达标训练 一、基础·巩固 1.满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是( ) A.三内角之比为1∶2∶3 B.三边长的平方之比为1∶2∶3 C.三边长之比为3∶4∶5 D.三内角之比为3∶4∶5 2.如图18-2-4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ,AD ∥BC ,斜腰DC 的长为10 cm ,∠D=120°,则该零件另一腰AB 的长是________ cm (结果不取近似值). 图18-2-4 图18-2-5 图18-2-6 3.如图18-2-5,以Rt △ABC 的三边为边向外作正方形,其面积分别为S 1、S 2、S 3,且S 1=4,S 2=8,则AB 的长为_________. 4.如图18-2-6,已知正方形ABCD 的边长为4,E 为AB 中点,F 为AD 上的一点,且AF= 4 1AD ,试判断△EFC 的形状. 5.一个零件的形状如图18-2-7,按规定这个零件中∠A 与∠BDC 都应为直角,工人师傅量得零件各边尺寸:AD=4,AB=3,BD=5,DC=12 , BC=13,这个零件符合要求吗? 图18-2-7 6.已知△ABC 的三边分别为k 2-1,2k ,k 2+1(k >1),求证:△ABC 是直角三角形.
二、综合·应用 7.已知a、b、c是Rt△ABC的三边长,△A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c,那么△A1B1C1是直角三角形吗?为什么? 8.已知:如图18-2-8,在△ABC中,CD是AB边上的高,且CD2=AD·BD. 求证:△ABC是直角三角形. 图18-2-8 9.如图18-2-9所示,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为A(3,1),B(2,4),△OAB是直角三角形吗?借助于网格,证明你的结论. 图18-2-9 10.阅读下列解题过程:已知a、b、c为△ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC 的形状. 解:∵a2c2-b2c2=a4-b4,(A)∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2),(B)∴c2=a2+b2,(C)∴△ABC 是直角三角形. 问:①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的?请写出该步的代号_______; ②错误的原因是______________ ; ③本题的正确结论是_________ _.