经济学中的数学应用

实变函数和泛函分析在经济学中的用处非常大。首先，实变函数是研究L积分理论的，这种L积分使积分理论得以应用的函数范围大大推广了，实际上除了数学家刻意构造出来的奇异函数，一般的函数，特别是我们在分析实际问题时遇到的函数，都是L可积的。因此L积分的理论可以用于我们分析实际问题时遇到的所有函数。L积分的理论中哪些内容是极其重要的呢？从应用的角度来讲，最有价值的就是测度理论和积分的三个相互等价控制收敛定理。测度论使的概率论变得更加威力强大，可以解决很多以前被认为是古怪的无法分析的问题。也使很多概率理论变得更加严格。比如无限可分事件的概率以及用西格玛域来阐述的条件概率等等。没有测度论就无法分析连续鞅等等。另外，积分收敛定理解决了积分运算与极限运算互换的问题，使得很多极限问题变得可以计算。所以支持大样本统计理论的概率极限理论就建立起来了。如果搞懂了实变函数，你对统计，计量，金融工程等问题的研究就可以一枪刺到底，从基本概念的学习开始可以一路畅通的达到对前沿理论的深刻理解。没有实变函数的基础，学计量，统计和金融工程就是隔靴挠痒。

再看泛函分析，泛函分析是建立在实变函数的基础上的。为什么这么说呢？其实就分析的问题的思路来讲，泛函和实变还是有很大差别的，但是泛函研究的是函数空间，研究函数空间中的收敛和连续等拓扑概念必须依赖范数的定义，而函数空间的范数的定义依赖于积分理论，所以实变函数就成了泛函的基础。所以一般都是先学实变，再学泛函。当然，也有先学直接学泛函的，这时就只能直接的接受积分定义的范数概念，或者干脆只从抽象范数的角度来研究，不去管范数的具体形式。从理解泛函本身的理论来讲并没有什么不妥，只是在用泛函解决实际问题时就有麻烦，因为研究实际问题就要给出具体的范数定义，没有实变函数的积分理论就不行了。所以，纯粹学习泛函，而不讲究实用，可以直接学泛函，大不了在学习时补充一点范数的具体形式就可以了。

泛函分析有什么用呢？无非是泛函可以让我们在更广义的层次上分析最优化问题。泛函分析不仅给出的是最优路径，而不是微积分中的最优点。当然，你也可以说最优路径就是函数空间中的最优点。一般在运筹学中用处很多。那在博弈论中有什么应用呢？我们说，理性经纪人的行为就是给定约束和目标下的最优路径。所以分析经济行为当然离不开泛函分析了。但是想把泛函分析理论用来解决经济学中的优化问题并不容易。即因为首先你要把研

究的问题数学模型化，然后在定义一个恰当的函数空间，一般是线性空间，然后在这个空间中定义出恰当的范数。然后把你的优化问题转化为这个空间中的最小范数问题，或者最佳逼近问题，再借助泛函分析中有关函数空间的范数理论和逼近理论来求解。这个过程实在不容易，因为要很巧妙的定义空间和范数来把你的问题装进去，是多年经验和敏锐直觉的结合，既是科学又是艺术。就算你是数学系专门研究泛函理论的人，也不一定能做到这一点。所以泛函在实际问题中的应用还是很少的，只有少数极其成熟的问题才能直接用泛函理论来解决，这些问题主要是变分问题。套用欧拉－拉个朗日方程来解决问题，比如金融上的跨代且考虑消费的最佳投资问题，宏观经济里的最优增长问题等等。这些问题都是变分问题，都可以直接套用现成的欧拉－拉个朗日方程，所以已经被人解决了。其他的非变分泛函问题就鲜有人能解决。一般经济学者总是想，我从中找到一个理论套到我研究的问题上得出解，就可以出成果了。但是泛函问题中除了变分问题可以直接套现成的结论外，其他都需要研究者对问题理解很深刻，对泛函整体理论理解也很深刻，同时有丰富的构造函数空间和范数的经验，才能解决。可以这么说，如果你做到了上述三点，你可以把经济学，包括博弈论中的很多问题，论重新研究一边，用更为普遍适用的结论替代以前在给定重重约束之下才得出的狭隘结论。

实际上泛函中的不动点理论还不如它优化理论重要。



数学与经济学的关系

数学分析和线性代数——中级经济学的基础。

实变函数和泛函分析——高级运筹学、高级经济学的基础。

运筹学和概率统计——经济金融建模的基础。

数学物理方程、常微、偏微——金融衍生品定价基础。

Lingo、SAS、Mathlab——经济金融实验与实证分析的基础。