第一讲1.4直角三角形的射影定理

第一讲相似三角形的判定及有关性质

1.4 直角三角形的射影定理

A 级 基础巩固

一、选择题

1．线段MN 在直线l 上的射影不可能是( )

A ．点

B ．线段

C ．与MN 等长的线段

D ．直线 解析：由射影的概念易知线段的射影不可能是直线．

答案：D

2．直角三角形斜边上的高把斜边分成的两条线段长分别为6 cm 和4

cm ，则斜边上的高是(

) A ．10 cmB ．2 cmC ．26 cmD ．24 cm

解析：由直角三角形的射影定理得，斜边上的高为6×4＝26(cm)．

答案：C

3．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，若AC AB ＝34，则BD CD

等于(

)

A.34

B.43

C.169

D.916

解析：如图所示，由射影定理，得AC 2＝CD ·BC ，AB 2＝BD ·BC .

所以AC2AB2＝CD BD ＝? ????342，即CD BD ＝916，

所以BD CD ＝169.

答案：C

4．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ∶BD ＝2∶

3，则△ACD 与△CBD 的相似比为(

) A ．2∶3

B ．4∶9 C.6∶3

D ．不确定 解析：如图所示，在Rt △ACB 中，CD ⊥AB ，

由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，

即CD AD ＝BD CD .

又因为∠ADC ＝∠BDC ＝90°，

所以△ACD ∽△CBD .

又因为AD ∶BD ＝2∶3，

设AD ＝2x ，BD ＝3x (x >0)，

所以CD 2＝6x 2，所以CD ＝6x ，

易知△ACD ∽△CBD 的相似比为

AD CD ＝2x 6x ＝6

3＝6∶3.

答案：C

5.如图所示，在矩形ABCD 中，BE ⊥

AC 于点F ，点E 恰是CD 的中点，下列式子成立的是(

)

A ．BF 2＝1

2AF 2

B ．BF 2＝1

3AF 2

C ．BF 2>12AF 2

D ．BF 2

<13AF 2 解析：根据射影定理可得

BF 2＝AF ·CF ，

因为△ABF ∽△CEF ，

所以CF ∶AF ＝CE ∶AB ＝1∶2，

所以BF 2

＝AF ·12AF ＝12AF 2. 答案：A

二、填空题

6．如图所示，小明在A 时测得某树的影长为2

m ，在B 时又测得该树的影长为8

m ．若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为________m.

解析：依题意作图如下，

在Rt △CDE 中，EF ⊥CD .

由射影定理，得EF 2＝CF ·DF ＝2×8＝16，所以树的高度EF ＝4 m.

答案：4

7．在Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，过点D 作DE ⊥AC ，DF ⊥

BC ，则CE ·CA ＝________．

解析：在Rt △ADC 中，DE ⊥AC ，

所以由射影定理知CD 2＝CE ·CA .

同理CD 2＝CF ·CB ，

所以CE·CA＝CF·CB.

答案：CF·CB 8．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AC＝12 cm，BC＝15

cm，则S△ACD∶S△BCD＝________．

解析：因为∠ACB＝90°，CD是高，

所以AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，

所以AD∶BD＝AC2∶BC2.

又因为S△ACD＝1

2·AD·CD，

S△BCD＝1 2·BD·CD，

所以S△ACD∶S△BCD＝AD∶BD＝AC2∶BC2.

又因为AC＝12，BC＝15，

所以S△ACD∶S△BCD＝144∶225＝16∶25.

答案：16∶25

三、解答题9．如图所示，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，DE是在Rt△

BCD斜边BC上的高，若BE＝6，CE＝2，求AD的长．

解：因为CD⊥AB，所以△BCD为直角三角形，

即∠CDB＝90°，

因为DE⊥BC.

由射影定理可知：DE2＝CE·BE＝12，

所以DE＝23，

CD2＝CE·BC＝16，所以CD＝4，

因为BD2＝BE·BC＝48，

所以BD＝43，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，由射影定理可得：CD2＝AD·BD，

所以AD＝CD2

BD＝

16

43

＝

43

3.

10．如图所示，已知BD、CE是△ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA 的延长线于点G、H，交CE于点F，且∠H＝∠BCF.求证：GD2＝GF·GH.

证明：因为∠H＝∠BCE，CE⊥BH，

所以△BCE∽△BHG.

所以∠BEC＝∠BGH＝90°，

所以HG⊥BC.

因为BD⊥AC，在Rt△BCD中，

由射影定理得，

GD2＝BG·CG.①

因为∠H＝∠BCF，

所以∠FGC＝∠BGH＝90°，

所以△FCG∽△BHG，

所以FG

BG＝

CG

GH，

所以BG·CG＝GH·FG.②

由①②，得GD2＝GH·FG.

B级能力提升

1．在Rt△ACB中，∠C＝90°，CD⊥

AB于D，若BD∶AD＝1∶4，则tan∠BCD的值是( )

A.14

B.13

C.12

D ．2 解析：如图所示，由射影定理得

CD 2＝AD ·BD ，

又因为BD ∶AD ＝1∶4，

令BD ＝x ，则AD ＝4x (x >0)，

所以CD 2＝AD ·BD ＝4x 2，所以CD ＝2x .

在Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 2x ＝12

. 答案：C

2．已知在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，∠D ＝90°，AC

⊥BC .AB ＝10 cm ，AC ＝6 cm ，则此梯形的面积为________．

解析：如图所示，过C 点作CE ⊥AB 于E ，

在Rt △ACB 中，

因为AB ＝10 cm ，AC ＝6 cm ，所以BC ＝8 cm.

在Rt △ABC 中，由射影定理易得

BE ＝6.4 cm ，AE ＝3.6 cm.

所以CE ＝ 6.4×3.6＝4.8(cm)，

所以AD ＝4.8 cm.

又因为在梯形ABCD 中，CE ⊥AB ，

所以DC ＝AE ＝3.6 cm.

所以S梯形ABCD＝（10＋3.6）×4.8

2＝32.64(cm

2)．

答案：32.64 cm2

3.如图所示，四边形ABCD是正方形，E为AD上一点，且AE＝1 4

AD，N是AB的中点，NF⊥CE于F.

求证：FN2＝EF·FC.

证明：如图所示，连接NE、NC.设正方形的边长为a.

因为AE＝1

4a，AN＝1

2a，

所以NE＝a2

16

＋

a2

4＝

5a

4，

因为BN＝1

2a，BC＝a，

所以NC＝a2

4

＋a2＝

5a

2.

因为DE＝3

4a，DC＝a，

所以EC＝9a2

16

＋a2＝

5a

4.

所以NE2＝5a2

16，NC

2＝

5a2

4，EC

2＝

25a2

16.

所以NE2＋NC2＝EC2.

所以EN⊥NC，△ENC是直角三角形．又因为NF⊥EC，所以NF2＝EF·FC.

(完整版)相似三角形中的射影定理

相似三角形 ——相似直角三角形及射影定理 【知识要点】 1、直角三角形的性质： （1）直角三角形的两个锐角 （2）Rt△ABC中，∠C=90o，则2+ 2= 2 （3）直角三角形的斜边上的中线长等于 （4）等腰直角三角形的两个锐角都是，且三边长的比值为 （5）有一个锐角为30o的直角三角形，30o所对的直角边长等于，且三边长的比值为 2、直角三角形相似的判定定理（只能用于选择填空题） 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 3、双垂直型： Rt△ABC中，∠C=90o，CD⊥AB于D，则 ①∽∽ ②射影定理： CD2= ·AC2= ·BC2= · 【常规题型】 1、已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，S△ABC=20，AB=10。求AD、BD的长. 2、已知，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D。（1）若AD=8，BD=2，求AC的长。（2）若AC=12，BC=16，求CD、AD的长。 B A

【典型例题】 例1．如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，AM 是BC 边的中线，CN ⊥AM 于N 点，连接BN ，求证：BM 2=MN ·AM 。 例2．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90o，DF ⊥AC 于E ，且与AB 的延长线相交于F ，与BC 相交于G 。求证：AD 2=AB ·AF 例3．（1）已知ABC ?中，?=∠90ACB ，AB CD ⊥，垂足为D ，DE 、DF 分别是BDC ADC ??和的 高，这时CAB DEF ??和是否相似？ 【拓展练习】 1、已知：如图，AD 是△ABC 的高，BE ⊥AB ，AE 交BC 于点F ，AB ·AC=AD ·AE 。求证：△BEF ∽△ACF A B A B C N D C

直角三角形的射影定理

直角三角形的射影定理 学习目标： 了解射影的概念，掌握射影定理,会用射影定理解决简单问题。 学习过程： 一、学习准备——什么叫“射影” 1．如图，太阳光垂直于l 照在A 点，留在直线l 上的影子应是点'A ，线段AB 留在MN 上的影子是线段''B A . 定义：过线段AB 的两个端点分别作直线l 的垂线，垂足'A ，'B 之间的线段''B A 叫做线段AB 在直线l 上的正射影，简称射影. 随堂练习一： 1.如图：CD 是直角三角形ABC 的斜边AB 上的高， 顶点C 在斜边AB 上的射影是：______， 直角边AC 在斜边AB 上的射影是：______， 直角边BC 在斜边AB 上的射影是：______. 2.画出图中各线段在直线MN 上的射影. 二、学习新知——“射影定理” 1.已知：如图，?=∠90ACB ，AB CD ⊥于D . (1) 图中有几对相似三角形?可写出几组比例式? (2) 观察第(1)题的结果，有几个带有比例中项的比例式? (3) 由上可得到哪些等积式? 能否用一句话概括叙述这几个比例中项的表达式? 2.直角三角形的射影定理： 直角三角形斜边上的高是 的比例中项； 两直角边分别是 的比例中项. 请同学们自己写出已知条件并证明. 已知： 求证： 证明： M N A C

三、巩固新知——“射影定理”的使用 例1 已知：ABC Rt ?中，?=∠90C ，AB CD ⊥于D . ⑴若6=AD ，24=BD ，求CD ,AC ,BC ； ⑵若4=AC ，3=BC ， 求BD ,DA ,CD ； ⑶若23= AD ，2 5 =AC ，求AB ,BC ,CD . 随堂练习二： 1.如图，?=∠90ACB ，AB CD ⊥于D ,已知6=AD ，4=BD ，则图中其他线段的长 CD =_______，AB =________，AC =_______，BC =_________. 2.如图，已知?=∠90BAC ，BC AD ⊥于D , 4=AB ，6=AC . 求BD 、DC 的长 .

相似三角形---射影定理的运用

相似三角形------射影定理的推广及应用 射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论（这里暂且称之为射影定理的推广），而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。下面结合例子从它的变式推广上谈谈其应用。 一、射影定理 射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。 如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高， 则有ＣD２＝ＢＤ?A D、 ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ或 ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ。（证明略） 二、变式推广 １．逆用如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ ?ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。 （证明略） ２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。（后文简称：射影定理变式（2）） 如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ?A B；反之，若△ ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ， 可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。 （证明略） 三、应用 例１如图（３），已知：等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，高ＡＤ、ＢＥ交于点Ｈ， 求证：４ＤＨ?ＤＡ＝ＢＣ２ 分析：易证∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ=900-∠C＝∠H B D，联想到射影定理变式 （2），可得ＢＤ２＝ＤＨ?ＤＡ，又ＢＣ＝２ＢＤ，故有结论成立。 （证明略）

直角三角形的射影定理教案

第一讲 相似三角形的判定及有关性质 3.4 直角三角形的射影定理 备课组：高二数学组 主备人：柴海斌 持案人： 授课班级： 授课时间： 教学目标 知识与技能：掌握直角三角形中成比例的线段的性质，并能初步用它解决“直角三角形斜边上的高”图形中的计算和证明问题. 方法与过程： 通过问题设计，层层跟进，引导学生探索和发现射影定理。 情感与价值观：培养特殊化研究问题的方法和方程、转化思想。 教学重难点 重点：直角三角形的射影定理的证明及应用； 教学过程 二、教学引入 点和线段的正射影简称为射影 （让学生复习并挖掘下图中的基本性质.） 已知：如图，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D. (1)图中有几条线段? (答：6条，分别记为AB=c,AC=b,BC=a,CD=h,AD=m,BD=n.) (2)图中有几个锐角?数量有何关系? (3)图中有几对相似三角形?可写出几组比例式? 由图中ΔACD ∽ΔCBD ∽ΔABC ，可分别写出三组比例式： CD AD BD CD CB AC == (ΔACD ∽ΔCDB);AC CD BC BD AB CB == (ΔCBD ∽ΔABC); CA DA BC CD AB AC == (ΔACD ∽ΔABC). (4)观察第(3)题的结果，有几个带有比例中项的比例式?如何用一句话概括叙述这几个比例 中项的表达式? 只有三个比例中项的表达式，CD AD BD CD =，BC BD AB CB =，CA DA AB AC = (5)由上可得到哪些等积式? CD 2=AD ·BD ，BC 2=BD ·BA ，AC 2=AD ·AB （二）直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项。 请同学们自己写出已知条件并证明。 已知：在RT △ABC 中，∠ABC=90。 ，CD ⊥AB 于D 。 求证：CD 2=AD*BD BC 2=BD*AB AC 2=AD*AB 证明：在RT △ABC 中，因为∠ABC=90。 CD ⊥AB ∠B+∠DCB=90o , ∠ACD+∠DCB=90o A B A B

相似三角形射影定理的运用

相似三角形----射影定理的推广及应用 射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中 应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。一般地，若将定理中的直角三 角形条件非直角化，亦可得到类似的结论（这里暂且称之为射影定理的推广） ，而此结论又可作为证明其 它命题的预备定理及联想思路， 熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时, “柳暗花明又一村”地迎刃而解。下面结合例子从它的变式推广上谈谈其应用。 一、 射影定理 射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项； 上的射影和斜边的比例中项。 如图（1） : R t △ABC 中，若CD 为高， 则有c D 2=BD ?AD BC 2 = BD ?AB 或 AC 2 = AD ?AB 。（证明略） 二、 变式推广 1 ?逆用 如图（1）:若AABC 中，CD 为高，且有DC 2 = AD 或AC 2 =AD ?AB 或BC 2=BD ?AB ，则有ZDCB = ZA 或/ACD = /B ，均可等到AAB C 为直角三角形。 （证明略） 2 ?—般化，若AABC 不为直角三角形，当点D 满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。 文简称：射影定理变式（2）） （证明略） 三、应用 例1 如图（3）,已知：等腰三角形ABC 中， AB-AC,高AD 、 BE 交于点H, 求证：4DH ?DA=BC 2 分析： 易证ZBAD = ZCAD =900- / C -Z HBD 联想到射影定理变式（2）,可得 BD 2 = DH ? DA,又BC-2BD ，故有结论成立。 （证明略） 例2 如图（4）:已知OO 中，D 为弧AC 中点，过点D 的弦BD 被弦AC 分为4和12 两部分， 如图（2） : △ABC 中， D 为 AB 上 一点，若 ZCDB = ZACB ，或/ DCB = ZA ，则有△CDBs^ACB ，可得BC 2 = BD ?AB;反之，若AA BC 中，D 为AB 上 一点，且有BC 2 = BD ?AB,则有△CDBs^ACB, 可得到ZCDB = ZACB ，或ZDCB = ZAo 且每条直角边都是它在斜边 （后 原 1 >

最新人教版高中数学选修4-1《直角三角形的射影定理》课堂探究

课堂探究 知能点一：求线段的长 直角三角形的射影定理在求解线段的长度时，往往需要创造应用射影定理 的条件，即构造垂直关系，可以构造直角三角形，也可以构造垂直关系． 【例1】如图，在△ABC 中，D 、F 分别在AC 、BC 上，且AB ⊥AC ，AF ⊥BC ，BD ＝DC ＝FC ＝1，求AC ． 由题意可得，△ABC 是直角三角形，AF 为斜边上的高线，CF 是直角边AC 在斜边上的射影，AC 为所求，已知BD ＝DC ＝1，即△BDC 是等腰三角形．因此，可以过D 作DE ⊥BC ．由于DE 、AF 均垂直于BC ，可以利用比例线段的性质，逐步等价转化求得AC ． 解：在△ABC 中，设AC 为x ， ∵AB ⊥AC ，AF ⊥BC ，又FC ＝1，根据射影定理，得AC 2＝FC ·BC ，即BC ＝x 2. 再由射影定理，得AF 2＝BF ·FC ＝(BC －FC )·FC ，即AF 2＝x 2－1.∴AF ＝x 2－1. 在△BDC 中，过D 作DE ⊥BC 于E ， ∵BD ＝DC ＝1，∴BE ＝EC ． 又∵AF ⊥BC ，∴DE ∥AF . ∴DE AF ＝DC AC . ∴DE ＝DC ·AF AC ＝x 2－1x . 在Rt △DEC 中，∵DE 2＋EC 2＝DC 2， 即? ????x 2－1x 2＋??? ?x 222＝12，∴x 2 －1x 2＋x 44＝1. 整理得x 6＝4.∴x ＝32.∴AC ＝32. 1．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，CD ＝6，AD ＋DB ＝5，则AD ＝__________. 答案：2或3 解析：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ， ∴CD 2＝AD ·DB ．

【人教a版】高中数学：第一讲1127.4直角三角形的射影定理

第一讲 相似三角形的判定及有关性质 1.4 直角三角形的射影定理 A 级 基础巩固 一、选择题 1．线段MN 在直线l 上的射影不可能是( ) A ．点 B ．线段 C ．与MN 等长的线段 D ．直线 解析：由射影的概念易知线段的射影不可能是直线． 答案：D 2．直角三角形斜边上的高把斜边分成的两条线段长分别为6 cm 和4 cm ，则斜边上的高是( ) A ．10 cm B ．2 cm C ．2 6 cm D ．24 cm 解析：由直角三角形的射影定理得，斜边上的高为 6×4＝26(cm)． 答案：C 3．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，若AC AB ＝34，则BD CD 等于( ) A.34 B.43 C.169 D.916 解析：如图所示，由射影定理，得AC 2＝CD ·BC ，AB 2＝BD ·BC.

所以AC 2AB 2＝CD BD ＝? ?????342，即CD BD ＝916 ， 所以BD CD ＝169 . 答案：C 4．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ∶BD ＝2∶3，则△ACD 与△CBD 的相似比为( ) A ．2∶3 B ．4∶9 C.6∶3 D ．不确定 解析：如图所示，在Rt △ACB 中，CD ⊥AB ， 由射影定理得CD 2＝AD ·BD ， 即CD AD ＝BD CD . 又因为∠ADC ＝∠BDC ＝90°， 所以△ACD ∽△CBD. 又因为AD ∶BD ＝2∶3， 设AD ＝2x ，BD ＝3x(x>0)， 所以CD 2＝6x 2，所以CD ＝6x ， 易知△ACD ∽△CBD 的相似比为 AD CD ＝2x 6x ＝63＝6∶3.

三角形射影定理

几何证明 射影就是正投影，从一点到过顶点垂线垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影，即射影定理。 直角三角形射影定理 直角三角形射影定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下： （1）（AD）2=BD·DC， （2）（AB）2=BD·BC ， （3）（AC）2=CD·BC 。 证明：在△BAD与△ACD中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠D AC，又∵∠BDA=∠ADC=90°，∴△BAD∽△ACD相似，∴AD/BD＝CD/AD，即（A D）^2=BD·DC。其余类似可证。 注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得： （AB）2+（AC）2=BD·BC+CD·BC =（BD+CD)·BC=（BC）2 即（AB）2+（AC）2=（BC）2。 任意三角形射影定理 任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”： 设⊿ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有 a＝b·cosC＋c·cosB，

b＝c·cosA＋a·cosC， c＝a·cosB＋b·cosA。 注：以“a＝b·cosC＋c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。 证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且 BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC＋c·cosB. 同理可证其余。 1.圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 2.圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等. 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半. 2．弦切角定理推论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 进一步指出：由于过已知点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点；反过来，过切点垂直于切线的直线一定经过圆心，因此可以得到两个推论： 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 引导学生分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，总结出如下结论： 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个． (1)垂直于切线；(2)过切点；(3)过圆心．

相似三角形_射影定理、圆

1 相似三角形 经典模型 “平行型”: A 字型和8字型 由DE ∥BC 可得：AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行. 例1：如图，111EE FF MM ∥∥，若 AE EF FM MB ===， 则1 11 1 1 1 :::_________AEE EE F F FF M M MM CB S S S S ?=四边形四边形四边形 M 1F 1E 1M E F A B C 总结：相似比和面积比，周长比的关系是 例2:如图，AD EF MN BC ∥∥∥，若9AD =，18BC =，::2:3:4AE EM MB =,则_____EF =， _____MN = M N A B C D E F

2 例3.已知，P 为平行四边形ABCD 对角线，AC 上一点，过点P 的直线与AD ，BC ，CD 的延长线，AB 的延长线分别相交于点E ，F ，G ，H 求证： PE PH PF PG = P H G F E D C B A 例4.已知：在ABC ?中，D 为AB 中点，E 为AC 上一点，且 2AE EC =,BE 、CD 相交于点F ， 求 BF EF 的值 例5.已知：在ABC ?中，12AD AB = ，延长BC 到F ,使1 3 CF BC =,连接FD 交AC 于点E 求证：①DE EF = ②2AE CE = A B C D F E 7.如图，在ABC ?中，D 是AC 边的中点，过D 作直线EF 交AB 于E ,交BC 的延长线于F 求证：AE BF BE CF ?=? F E D C B A F E D C B A

相似三角形中的射影定理知识讲解

相似三角形 ——相似直角三角形及射影定理【知识要点】 1、直角三角形的性质： （1）直角三角形的两个锐角 （2）Rt △ABC中，∠C=90o，则2+ 2= 2 （3）直角三角形的斜边上的中线长等于 （4）等腰直角三角形的两个锐角都是，且三边长的比值为 （5）有一个锐角为30o的直角三角形，30o所对的直角边长等于，且三边长的比值为 2、直角三角形相似的判定定理（只能用于选择填空题） 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 3、双垂直型： Rt△ABC中，∠C=90o，CD⊥AB于D，则 ①∽∽ ②射影定理： CD2= ·AC2= ·BC2= · 【常规题型】 1、已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，S△ABC=20，AB=10。求AD、BD的长. 2、已知，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D。（1）若AD=8，BD=2，求AC的长。（2）若AC=12，BC=16，求CD、AD的长。B A 精品文档

精品文档 【典型例题】 例1．如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，AM 是BC 边的中线，CN ⊥AM 于N 点，连接BN ，求证：BM 2=MN ·AM 。 例2．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90o，DF ⊥AC 于E ，且与AB 的延长线相交于F ，与BC 相交于G 。求证：AD 2=AB ·AF 例3．（1）已知ABC ?中，?=∠90ACB ，AB CD ⊥，垂足为D ，DE 、DF 分别是BDC ADC ??和的 高，这时CAB DEF ??和是否相似？ 【拓展练习】 1、已知：如图，AD 是△ABC 的高，BE ⊥AB ，AE 交BC 于点F ，AB ·AC=AD ·AE 。求证：△BEF ∽△ACF A B A B C N D C

1.4《直角三角形的射影定理》教案

D 直角三角形的射影定理 教学目标 （一） 知识与技能 1．能应用相似三角形的性质解决相关的几何问题； 2．通过对射影定理的探究，使学生经历探索数学问题的过程，逐步形成探究问题的意识，发展探究问题的能力． （二）过程与方法 类比正方体、长方体的表面积，讨论柱体、锥体、台体的表面积的求法． （三） 情感态度与价值观 通过小组活动，让学生体验合作学习的愉悦，培养学生团队合作精神． 教学重点 射影定理的证明． 教学难点 建立三角形以外的、和三角形有关的元素与三角形相似比之间的关 系． 教学方法 师生协作共同探究法． 教学用具 黑板 多媒体 教学过程设计 一 复习引入 前面已经学习了相似三角形的判定定理及性质定理，请学生回答以下两个问题：1．相似三角形的判定定理及性质定理分别是什么？ 2．如何判定两个直角三角形相似？ （通过这两个问题很自然地过渡到本节课要讨论的问题．） 二 新知探究 如图，⊿ABC 是直角三角形， CD 为斜边AB 上的高． 提出问题： 图1 1．在这个图形中,有哪几组相似三角形？（三组：△ACD 与△CBD ，△BDC 与△BCA ，△CDA 与△BCA ） 2．把学生分为三组，分组讨论：结合相似三角形对应边成比例的性质，寻找 C B A

A A ′ M N N A A ′ B ′ B 每组三角形中的线段长度关系： △ACD 与△CBD 中，CD 2= AD·BD , △BDC 与△BCA 中，BC 2= BD·AB , △CDA 与△BCA 中，AC 2= AD·AB ． 这三个关系式形式上完全一样，但不便于记忆，因此，在这里教师适时的引入射影的定义： 从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影． 一条直线在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影之间的线段． 点和线段的正射影简称为射影． 图2 请学生结合射影定义及图1，观察三个关系式的特点，在此基础上，即可得出射影定理： 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项． 三 例题分析 例1 如图3，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ．AD=2，DB=8,求CD 、AC 和BC 的长． 解：∵∠ACB 是半圆上的圆周角， ∴∠ACB=90°，即⊿ABC 是直角三角形． 由射影定理可得： CD 2=AD·BD=2×8=16，解得CD=4； AC 2=AD·AB=2×10=20，解得AC=25； BC 2=BD·AB=8×10=80，解得BC= 45． （师生一起分析思路，由学生完成求解．） M N

第一讲1.4直角三角形的射影定理

第一讲相似三角形的判定及有关性质 1.4 直角三角形的射影定理 A 级 基础巩固 一、选择题 1．线段MN 在直线l 上的射影不可能是( ) A ．点 B ．线段 C ．与MN 等长的线段 D ．直线 解析：由射影的概念易知线段的射影不可能是直线． 答案：D 2．直角三角形斜边上的高把斜边分成的两条线段长分别为6 cm 和4 cm ，则斜边上的高是( ) A ．10 cmB ．2 cmC ．26 cmD ．24 cm 解析：由直角三角形的射影定理得，斜边上的高为6×4＝26(cm)． 答案：C 3．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，若AC AB ＝34，则BD CD 等于( ) A.34 B.43 C.169 D.916 解析：如图所示，由射影定理，得AC 2＝CD ·BC ，AB 2＝BD ·BC . 所以AC2AB2＝CD BD ＝? ????342，即CD BD ＝916， 所以BD CD ＝169. 答案：C

4．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ∶BD ＝2∶ 3，则△ACD 与△CBD 的相似比为( ) A ．2∶3 B ．4∶9 C.6∶3 D ．不确定 解析：如图所示，在Rt △ACB 中，CD ⊥AB ， 由射影定理得CD 2＝AD ·BD ， 即CD AD ＝BD CD . 又因为∠ADC ＝∠BDC ＝90°， 所以△ACD ∽△CBD . 又因为AD ∶BD ＝2∶3， 设AD ＝2x ，BD ＝3x (x >0)， 所以CD 2＝6x 2，所以CD ＝6x ， 易知△ACD ∽△CBD 的相似比为 AD CD ＝2x 6x ＝6 3＝6∶3. 答案：C 5.如图所示，在矩形ABCD 中，BE ⊥ AC 于点F ，点E 恰是CD 的中点，下列式子成立的是( ) A ．BF 2＝1 2AF 2 B ．BF 2＝1 3AF 2