相似与动点

相似与动点

1.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90o，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0

1）求证：△ACD∽△BAC；

2）求：DC的长；

3）试探究：△BEF可以为等腰三角形吗？若能，求t的值；

若不能，请说明理由．

2.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时

出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E 、G 的速度均为2cm/s ，点F 的速度为4cm/s ，当点F 追上点G （即点F 与点G 重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t 秒时，△EFG 的面积为S （cm2）

（1）当t=1秒时，S 的值是多少？

（2）写出S 和t 之间的函数解析式，并指出自变量t 的取值范围

（3）若点F 在矩形的边BC 上移动，当t 为何值时，以点E 、B 、F 为顶点的三角形与以点F 、C 、G 为顶点的三角形相似？请说明理由．

3．如图1所示，一张三角形纸片ABC ，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB 的中线CD 把这张纸片剪成11AC D ?和22BC D ?两个三角形（如图2所示）.将纸片11AC D ?沿直线2D B

（AB ）方向平移（点12,,,A D D B 始终在同一直线上），当点1D 于点B 重合时，停止平移.在平移过程中，11C D 与2BC 交于点E,1AC 与222C D BC 、分别交于点F 、P.

（1）当11AC D ?平移到如图3所示的位置时，猜想图中的1D E 与2D F 的数量关系，并证明你的猜想；

（2）设平移距离21D D 为x ，11AC D ?与22BC D ?重叠部分面积为y ，请写出y 与x 的函数关系式，以及自变量的取值范围；

（3）对于（2）中的结论是否存在这样的x 的值；使得重叠部分的面积等于原ABC ?面积的

1

4

？若不存在，请说明理由.

C

B D A 图

1

1

2

2

图3

C 2

D 2

C 1B

D 1A

图2

A B B C(E)D F

E 图1图2

4.已知，把R t △ABC 和R t △DEF 按图1摆放，（点C 与E 点重合），点B 、C 、E 、F 始终在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°, ∠DEF=45°,AC=8,BC=6,EF=10,如图2，△DEF 从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向△ABC 匀速移动，同时，点P 从A 出发，沿AB 以每秒1个单位向点B 匀速移动，AC 与△DEF 的直角边相交于Q ，当P 到达终点B 时，△DEF 同时停止运动.连接PQ ，设移动的时间为t(s).解答下列问题： (1)△DEF 在平移的过程中，当点D 在R t △ABC 的AC 边上时，求t 的值；

(2)在移动的过程中，是否存在△APQ 为等腰三角形，若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由.

(3)在移动的过程中，当0

人教版数学中考复习《因动点产生的相似三角形问题》

因动点产生的相似三角形问题 例1 2018上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题 如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2, m)．（1）求k与m的值； （2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积； （3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标． 图1 例2 2017年武汉市中考第24题 如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发， 在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ． （1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值； （2）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值； （3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上． 图1 图2

例3 2017年苏州市中考第29题 如图1，已知抛物线211(1)444 b y x b x = -++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ． （1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由． 图1 例4 2018年黄冈市中考模拟第25题 如图1，已知抛物线的方程C 1：1(2)()y x x m m =-+- (m ＞0)与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧． （1）若抛物线C 1过点M (2, 2)，求实数m 的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE 的面积； （3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使得BH ＋EH 最小，求出点H 的坐标； （4）在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由． 图1

因动点产生的相似三角形问题)

1.1 因动点产生的相似三角形问题 例1 2011年上海市闸北区中考模拟第25题 直线113 y x =-+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°后得到△COD ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A 、C 、D 三点． (1) 写出点A 、B 、C 、D 的坐标； (2) 求经过A 、C 、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G 的坐标； (3) 在直线BG 上是否存在点Q ，使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形与△COD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 图1 思路点拨 1．图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角． 2．用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标． 3．第（3）题判断∠ABQ ＝90°是解题的前提． 4．△ABQ 与△COD 相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点Q 与点B 的位置关系分上下两种情形，点Q 共有4个． 满分解答 （1）A (3，0)，B (0，1)，C (0，3)，D (－1，0)． （2）因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (3，0)、C (0，3)、D (－1，0) 三点，所以930,3,0.a b c c a b c ++=??=??-+=? 解得1,2,3.a b c =-??=??=? 所以抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，顶点G 的坐标为(1，4)． （3）如图2，直线BG 的解析式为y ＝3x ＋1，直线CD 的解析式为y ＝3x ＋3，因此CD //BG ．

因动点产生的相似三角形问题(学生版李佳颐)

因动点产生的相似三角形 【做题方法】 1、观察两三角形是否为特殊三角形，找出两三角形相等的角。 2、一般两个三角形会有一个角是相等的，另外两组对应角不确定，找出相等的角，多为直角和钝角，再利用分类讨论。 3、设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后运用相似对应边成比例来列方程求解。 2（a≠0）交x轴于A、1.(2014.市中区一模)（9分）如图，抛物线c =2 - y+ ax ax B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长； （3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由。

2.(2014.历城区二模)（9分）如图,直线22 1 +=x y 分别与x 轴、y 轴相交于A 、B,与双曲线x k y = (其中（x>0）相交于第一象限内的点P(2,0y ),作轴于x PC ⊥轴于C. (1)求双曲线的解析式; (2)观察图象直接写出不等式22 1 += x y 的解集; (3)在(1)中所求的双曲线上是否存在点Q(m,n)(其中m>0),作x QH ⊥轴于H,使得QCH ?与AOB ?相似?若存在,请求出Q 点坐标;若不存在,请说明理由.

3.（201 4.历城区二模）已知抛物线4 7 -32x x y -=的顶点为点D ，并与x 轴相交 于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C 。 （1）求点A 、B 、C 、D 的坐标; （2）在y 轴的正半轴上是否存在点P ，使以点P 、O 、A 为顶点的三角形与AOB ?相似?若存在，求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由; (3)取点)0,23(-E 和点)4 3 ,0(-F ，直线l 经过E 、F 两点，点G 是线段BD 的中点。 ①点G 是否在直线l 上，请说明理由; ②在抛物线上是否存在点M ，使点M 关于直线l 的对称点在x 轴上?若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由。

2020年中考数学压轴题精讲：动点产生的相似三角形问题

2020年中考数学压轴题精讲：动点产生的相似三角形问题 例1：如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2, m)．（1）求k与m的值； （2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积； （3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标． 图1 满分解答 （1）将点A(2, m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点A的坐标为(2, 4)． 将点A(2, 4)代入 k y x =，得k＝8． （2）将点B(n, 2)，代入 8 y x =，得n＝4． 所以点B的坐标为(4, 2)． 设直线BC为y＝x＋b，代入点B(4, 2)，得b＝－2． 所以点C的坐标为(0,－2)． 由A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0,－2)，可知A、B两点间的水平距离和竖直距离都是2，B、C两点间的水平距离和竖直距离都是4． 所以AB＝22，BC＝42，∠ABC＝90°． 所以S△ABC＝1 2 BA BC ?＝ 1 2242 2 ??＝8． （3）由A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,－2)，得AD＝22，AC＝210． 由于∠DAC＋∠ACD＝45°，∠ACE＋∠ACD＝45°，所以∠DAC＝∠ACE．所以△ACE与△ACD相似，分两种情况： ①如图3，当CE AD CA AC =时，CE＝AD＝22． 图2

此时△ACD≌△CAE，相似比为1． ②如图4，当CE AC CA AD =时， 210 21022 =．解得CE＝102．此时C、E两点间的水 平距离和竖直距离都是10，所以E(10, 8)． 图3 图4 例2：如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值； （2）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值； （3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上． 图1 图2 满分解答 （1）Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10． △BPQ与△ABC相似，存在两种情况： ①如果BP BA BQ BC =，那么 510 848 t t = - ．解得t＝1． ②如果BP BC BQ BA =，那么 58 8410 t t = - ．解得 32 41 t=．

1.1因动点产生的相似三角形问题

1.1 因动点产生的相似三角形问题 例1 2012年苏州市中考第29题 如图1，已知抛物线211(1)444 b y x b x = -++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ． （1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由． 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B 在x 轴的正半轴上运动，可以体验到，点P 到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB 的面积等于2b 的时刻．双击按钮“第（3）题”，拖动点B ，可以体验到，存在∠OQA ＝∠B 的时刻，也存在∠OQ ′A ＝∠B 的时刻． 思路点拨 1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC 暗示了点P 到两坐标轴的距离相等． 2．联结OP ，把四边形PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b 的式子表示． 3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q 最大的可能在经过点A 与x 轴垂直的直线上． 满分解答 （1）B 的坐标为(b , 0)，点C 的坐标为(0, 4 b )． （2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ． 因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x, x)．

2017年中考专题 函数中因动点产生的相似三角形问题

函数中因动点产生的相似三角形问题 例题 如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。 ⑴求抛物线的解析式；（用顶点式．．． 求得抛物线的解析式为x x 4 1 y 2+-=） ⑵若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标； ⑶连接OA 、AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。 分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线．．．．．．．为四边形的边和对角线来考虑问题以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB 为边和对角线两种情况 2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 ① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角． 的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度， 之后利用相似来列方程求解。

练习1、已知抛物线2 y ax bx c =++ 经过0P E ? ???? 及原点(00)O ，． （1）求抛物线的解析式．（由一般式．．． 得抛物线的解析式为223y x x =-+） （2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由． （3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形 OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？

新苏科版九年级数学下册《6章 图形的相似 因动点产生的相似三角形专题》教案_22

因动点产生的相似三角形专题 一、教学目标： 1、引导学生找判定三角形相似的条件。 2、引导学生根据基本模型解决因动点产生的相似三角形问题。 二、教学重难点： 引导学生找判定三角形相似的条件。 二、教学过程： 复习回顾： 1.应如何理解＂△ABC∽△EFD＂与＂△ABC与△EFD相似＂。 2.请列举出相似三角形的几种基本图形。 热身练习： 1、在△ABC中，点D、E分别是边AB、 AC上的动点： 当∠ B =____或＿＿= ＿＿时，△ABC∽△ADE 当∠ B =____或＿＿= ＿＿时，△ABC∽△AED 2、在平面直角坐标系，B（1，0）, A（3，－3）, C（3，0）,点P 在y轴的正半轴上运动，若以O，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，则点P的坐标是__________________. 如果点P在y轴上运动，若以O，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，

则点P的坐标是__________________. 实战： 3、如图，AD∥BC，∠D=90°，DC=6，AD=2，BC=4．若在边DC上有动点P，△PAD∽△PBC时，求PD的值。 变式： 如图，AD∥BC，∠D=90°，DC=6，AD=2，BC=4．若在边DC上有动点P使△PAD和△PBC相似，求PD的值。 自主编题： 请你自主设计一个由动点引起的相似三角形问题？（小组内交流）能力提升： 4、在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，AC=16cm,点P从点A开始沿A---B 边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿B---C边向点C以4cm/s的速度移动，同时出发，到端点则停止，问经过几秒钟，△PBQ 与△ABC相似？ 方法提炼：

因动点产生的相似三角形问题(解析)

因动点产生的相似三角形问题(解析) 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°． （1）求这条抛物线的表达式； （2）连结OM ，求∠AOM 的大小； （3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标． 图1 1．第（2）题把求∠AOM 的大小，转化为求∠BOM 的大小． 2．因为∠BOM ＝∠ABO ＝30°，因此点C 在点B 的右侧 时，恰好有∠ABC ＝∠AOM ． 3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC 与 △AOM 相似． 满分解答 （1）如图2，过点A 作AH ⊥y 轴，垂足为H ． 在Rt △AOH 中，AO ＝2，∠AOH ＝30°， 所以AH ＝1，OH A (1-． 因为抛物线与x 轴交于O 、B (2,0)两点， 设y ＝ax (x －2)，代入点A (1-，可得 a = 图2 所以抛物线的表达式为2(2)y x x x x =-=． （2）由221)y x x ==- 得抛物线的顶点M 的坐标为(1,．所以tan BOM ∠=． 所以∠BOM ＝30°．所以∠AOM ＝150°． （3）由A (1-、B (2,0)、M (1,，

得tan 3ABO ∠=，AB =3 OM =． 所以∠ABO ＝30°， OA OM = 因此当点C 在点B 右侧时，∠ABC ＝∠AOM ＝150°． △ABC 与△AOM 相似，存在两种情况： ①如图3，当BA OA BC OM ==时，2BC ===．此时C (4,0)． ②如图4，当BC OA BA OM ==时，6BC ==．此时C (8,0)． 图3 图4 2、如图1，已知抛物线211(1)444 b y x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ． （1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由． 图1 思路点拨 1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC 暗示了点P 到两坐标轴的距离相等． 2．联结OP ，把四边形PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b 的式子表示． 3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q

中考专题练习-函数中因动点产生的相似三角形问题(含答案)

综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题 例题 如图1,已知抛物线的顶点为Ａ(2，1)，且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。 ⑴求抛物线的解析式;（用顶点式．．． 求得抛物线的解析式为x x 4 1y 2 +-=) ⑵若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上,且以Ｏ、Ｃ、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标; ⑶连接OA 、A Ｂ，如图２，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ,使得△OBP 与△O ＡB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。 分析:１.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线．．．．．．．为四边形的边和对角线来考虑问题以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB 为边和对角线两种情况 2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 ① 求相似三角形的第三个顶点时,先要分析已知三角形的边．和角． 的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角,在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③若两个三角形的各边均未给出,则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之 后利用相似来列方程求解。

练习1、已知抛物线2 y ax bx c =++ 经过02P E ?? ? ??? 及原点(00)O ，． （1）求抛物线的解析式．（由一般式．．． 得抛物线的解析式为2233 y x x =-+) （2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点,在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上,任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点,交直线PC 于B 点,直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC .是否存在点Q ,使得OPC △与PQB △相似?若存在,求出Q 点的坐标;若不存在，说明理由. (３）如果符合(2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ,矩形OABC 内的四个三角形 OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？ 练习２、如图,四边形OA ＢC 上，将边BC 折叠,使点Ｂ落在边OA 的点D 处。已知折叠CE =，且3 tan 4 EDA ∠= 。 （1）判断OCD △与ADE △是否相似？请说明理由； (２)求直线CE 与x 轴交点Ｐ的坐标； （3)是否存在过点D 的直线ｌ,使直线ｌ、直线CE 与x 轴所围成的三角形和直线ｌ、直线C Ｅ与y 轴所围成的三角形相似?如果存在,请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在,请说明理由。 练习３、在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A B ，两点 (点A 在点B 的左边）,与y 轴交于点C ，其顶点的横坐标为1,且过点(23)， 和(312)--，. (１)求此二次函数的表达式；(由一般式．．． 得抛物线的解析式为2 23y x x =-++）

因动点产生的相似三角形问题 - 专题

因动点产生的相似三角形问题 关键词：动点、相似三角形 动点：运动的点或者说是不确定的点，有时题目中会明确指出动点，有时题目中相关点的坐标含有参数，换言之就是在不同的条件下会有不同的位置，或者满足条件的位置有多个。 相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个或多个三角形，两个三角形相似的判定定理一般说来有3个， 定理1：两个角对应相等，两三角形相似‘AA” 定理2：两边对应成比例且夹角相等“SAS” 定理3：三边对应成比例。“SSS” 相似三角形的判定这3个定理，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等． 判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验． 如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边表示出来， 按照对应边成比例，分AB DE AC DF =和 AB DF AC DE =两种情况列方程． 应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）． 两个直角三角形相似的判定方法 （1）有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似． （2）两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似． （3）斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似． 如果要讨论相似的两个三角形中有一个是直角三角形：如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题． 由动点产生的相似三角形问题一般在函数和几何图中出现，其中以函数表现居多。 题型一般有是否存在点P，使得： ①△PDE∽△ABC ②以P、D、E为顶点的三角形与△ABC相似 或者通过动点产生相似解决有关问题 一般以大题为主，也有出现在填空后两题。

中考数学压轴题---因动点产生的相似三角形问题[含答案]

因动点产生的相似三角形问题 例1（2011年上海市闸北区中考模拟第25题）直线113 y x =- +分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，△AOB 绕点O 按 逆时针方向旋转90°后得到△COD ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A 、C 、D 三点． (1) 写出点A 、B 、C 、D 的坐标； (2) 求经过A 、C 、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G 的坐标； (3) 在直线BG 上是否存在点Q ，使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形与△COD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 图1 满分解答 （1）A (3，0)，B (0，1)，C (0，3)，D (－1，0)． （2）因为抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 经过A (3，0)、C (0，3)、D (－1，0) 三点，所以930,3,0.a b c c a b c ++=??=??-+=? 解得1, 2,3.a b c =-??=??=? 所以抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，顶点G 的坐标为(1，4)． （3）如图2，直线BG 的解析式为y ＝3x ＋1，直线CD 的解析式为y ＝3x ＋3，因此CD //BG ． 因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB ⊥CD ．因此AB ⊥BG ，即∠ABQ ＝90°． 因为点Q 在直线BG 上，设点Q 的坐标为(x ，3x ＋1)，那么22 (3)10BQ x x x = +=±． Rt △COD 的两条直角边的比为1∶3，如果Rt △ABQ 与Rt △COD 相似，存在两种情况： ①当 3B Q B A =时， 10310 x ±=．解得3x =±．所以1(3,10)Q ，2(3,8)Q --． ②当 13 B Q B A = 时， 1013 10 x ±= ．解得13 x =±．所以31(,2)3 Q ，41 (,0)3 Q -． 图2 图3

初三数学提优专题3(动点产生的相似三角形问题)

第三节 动点产生的相似三角形问题 讲方法 一、操作原理：相似的三个判定定理 二、操作方法 1.找目标三角形 分析目标三角形的边角关系,找出目标三角形与已知三角形的相同元素 常见相同元素:相等角 2.建立等式 (1)相等钝角:根据角的两边对应成比例建立等式 (2)相等锐角:先分类讨论确定相等角,再根据角的两边对应成比例建立等式 3.计算 (1)根据两点间距离公式,表示边长,根据角的两边对应成比例建立等式 (2)根据相等角的三角函数值相等建立等式 学思路 铺垫 （新疆中考)如图,抛物线y=22 3212++-x x 与x 轴交于点A,B,与y 轴交于点C,M 为AB 中点, (1)则A 、B 、C 的坐标分别为____________、____________、____________ (2)在该抛物线对称轴上是否存在点P,使△BMP 与△BAC 相似?若存在,请直接写出所有满足条件的P 点的坐标;若不存在,请说明理由 提示： (1)找相等角:∠BMP=∠BCA=90° (2)根据对应边成比例建立等式,由于BC=2AC,可知MP=2BM 或BM=2MP

压轴题 (海南中考)抛物线y=ax 2+bx+3经过点A(1,0)和点B(5,0) (1)抛物线所对应的函数解析式为____________ (2)该抛物线与直线y=35 3+x 相交于C 、D 两点,点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方，直线PM∥y 轴,分别与x 轴和直线CD 交于点M 、N.连接PB,过点C 作CQ⊥PM,垂足为如图1-3-2,是否存在点P,使得△CNQ 与△PBM 相似?若存在,求出满足条件的点P 的坐标;若不存在,说明理由 提能力 1.(湖南郴州中考)如图,抛物线y=c x ax ++ 582与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于点C,且A(2,0),C(0,-4),直线y=42 1--x 与x 轴交于点D,点P 是抛物线y=c x ax ++5 82上的一动点,过点P 作PH⊥y 轴,垂足为H,连接AC (1)抛物线表达式为____________ (2)试问当P 点横坐标为何值时,使得以点P 、C 、H 为顶点的三角形与△ACD 相似?

2014挑战中考数学压轴题_1.1因动点产生的相似三角形问题

第一部分函数图象中点的存在性问题 1.1 因动点产生的相似三角形问题 例1 2013年上海市中考第24题 如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A 和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°． （1）求这条抛物线的表达式； （2）连结OM，求∠AOM的大小； （3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标． 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“13上海24”，拖动点C在x轴上运动，可以体验到，点C在点B的右侧，有两种情况，△ABC与△AOM相似． 请打开超级画板文件名“13上海24”，拖动点C在x轴上运动，可以体验到，点C在点B的右侧，有两种情况，△ABC与△AOM相似．点击按钮的左部和中部，可到达相似的准确位置。 思路点拨 1．第（2）题把求∠AOM的大小，转化为求∠BOM的大小． 2．因为∠BOM＝∠ABO＝30°，因此点C在点B的右侧时，恰好有∠ABC＝∠AOM．3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC与△AOM相似． 满分解答 （1）如图2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H． 在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°， -． 所以AH＝1，OH A(1 因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点， -，可得设y＝ax(x－2)，代入点A(1

3 a = ． 图2 所以抛物线的表达式为2(2)y x x x x = -=． （2）由221)y x x = =- 得抛物线的顶点M 的坐标为(1,．所以tan BOM ∠= ． 所以∠BOM ＝30°．所以∠AOM ＝150°． （3）由A (1-、B (2,0)、M (1,， 得tan ABO ∠= AB =OM = 所以∠ABO ＝30°， OA OM = 因此当点C 在点B 右侧时，∠ABC ＝∠AOM ＝150°． △ABC 与△AOM 相似，存在两种情况： ①如图3，当 BA OA BC OM ==时，2BC ===．此时C (4,0)． ②如图4，当 BC OA BA OM ==时，6BC =．此时C (8,0)． 图3 图4 考点伸展 在本题情境下，如果△ABC 与△BOM 相似，求点C 的坐标． 如图5，因为△BOM 是30°底角的等腰三角形，∠ABO ＝30°，因此△ABC 也是底角为30°的等腰三角形，AB ＝AC ，根据对称性，点C 的坐标为(－4,0)．

上海中考数学压轴题专题09 动点产生的相似三角形(原卷版)

上海中考数学压轴题 专题09 动点产生的相似三角形 教学重难点 1.掌握相似基本图形中的相似三角形和各种比例式； 2.通过观察了解因动点产生的相似三角形问题的特点，熟悉对应的解题方法， 掌握“动中取静，以静窥动”的解题策略； 3.培养学生对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力； 4.培养学生学会挖掘题目中的隐藏条件，从未知到已知的一个转变； 5.掌握动点产生的相似三角形的分类讨论情况，并能根据题目中的条件进行求解。 【注意】： 1.此部分知识点梳理，先提问学生学过的基本图形，并且画出来，再结合讲义讲解； 2.部分基本图形的比例式，可以在白板上先画出基本图形再让学生找相似三角形，并写出比比例式，尤其是第四、五个基本图形一定要让学生写，部分地方让学生填写完，建议8分钟左右完成。 相似三角形的基本图形产生的结论结论： A 字型： ① 正A 字型 ②斜A 字型 ③其它A 字型 ABC ∽??ADE ACB ∽??ADE ACB ∽??ABE AC AE AB AD = AB AE AC AD = AC AB AB AE = AB AE AC AD ?=? AC AE AB AD ?=? AC AE AB ?=2 X 型： ①正X 字型 ②斜X 字型 C C C

AED ∽??ABC ADE ∽??ABC AB AE AC AD = AC AE AB AD = AC AE AB AD ?=? AB AE AC AD ?=? 直角三角形： CDB ∽ACB ∽???ADC ①AB AD AC AB AC ADC ?=?=? ??2AC AD ACB ∽ ②AB BD BC BC BD BDC ?=?=???2AB BC BCA ∽ BD AD CD BD CD ADC ?=?=???2CD AD CDB ∽ 直线型（一线三角）： 其他基本型： CEF ∽??BDE AEB ∽??ADC 和ACB ∽??ADE CF BE CE BD = AB AE AC AD = BE CE CF BD ?=? AC AE AB AD ?=? C C C B

专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题(中考压轴解析)

专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题 例题1：已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。 ⑴求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为） ⑵若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标； ⑶连接OA 、AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。 分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB 为边和对角线两种情况 例题1、解:⑴由题意可设抛物线的解析式为 1)2x (a y 2+-= ∵抛物线过原点，∴ 1)20(a 02 +-=∴41a -=. 抛物线的解析式为1)2x (41y 2+--=,即x x 41 y 2+-= ⑵如图1,当OB 为边即四边形OCDB 是平行四边形时,CD ∥＝OB, 由1)2x (41 02+--=得4 x ,0x 21==,∴B(4,0),OB ＝4.∴D 点的横坐标为6 将x ＝6代入1 )2x (41 y 2+--=,得y ＝－3,∴D(6,－3); 根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB 是平行四边形,此时D 点的坐标为(－2,－3), 当OB 为对角线即四边形OCBD 是平行四边形时,D 点即为A 点,此时D 点的坐标为(2,1) ⑶如图2，由抛物线的对称性可知:AO ＝AB,∠AOB ＝∠ABO.若△BOP 与△AOB 相似,必须有∠POB ＝∠BOA ＝∠BPO 设OP 交抛物线的对称轴于A′点,显然A′(2,－1) ∴直线OP 的解析式为x 21y -= 由x x 41x 212+-=-, 得 6x ,0x 21==∴P(6,－3) 过P 作PE ⊥x 轴,在Rt △BEP 中,BE ＝2,PE ＝3, ∴PB ＝ 13≠4.∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO,∴△PBO 与△BAO 不相似, 同理可说明在对称轴左边的抛物线 上也不存在符合条件的P 点. 所以在该抛物线上不存在点P,使得△BOP 与△AOB 相似.

因动点产生的相似三角形问题)

1.2 因动点产生的等腰三角形问题 例1 2011年湖州市中考第24题 如图1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．P (0,m )是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ． （1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）当△APD 是等腰三角形时，求m 的值； （3）设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ，过点O 作直线ME 的垂线，垂足为H （如图2）．当点P 从O 向C 运动时，点H 也随之运动．请直接写出点H 所经过的路长（不必写解答过程）． 图1 图2 思路点拨 1．用含m 的代数式表示表示△APD 的三边长，为解等腰三角形做好准备． 2．探求△APD 是等腰三角形，分三种情况列方程求解． 3．猜想点H 的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt △OHM 的斜边长OM 是定值，以OM 为直径的圆过点H 、C ． 满分解答 （1）因为PC //DB ，所以 1CP PM MC BD DM MB ===．因此PM ＝DM ，CP ＝BD ＝2－m ．所以AD ＝4－m ．于是得到点D 的坐标为(2，4－m )． （2）在△APD 中，22(4)AD m =-，224AP m =+，222(2)44(2)PD PM m ==+-． ①当AP ＝AD 时，2(4)m -24m =+．解得3 2 m =（如图3）． ②当P A ＝PD 时，24m +244(2)m =+-．解得4 3 m =（如图4）或4m =（不合题意， 舍去）． ③当DA ＝DP 时，2(4)m -244(2)m =+-．解得2 3 m =（如图5）或2m =（不合题意， 舍去）． 综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为32，43或2 3 ．

中考压轴题之一因动点问题产生的相似三角形问题

中考压轴题之一因动点问题产生的相似三角形问题 Revised by Jack on December 14,2020

因动点产生的相似三角形问题 例1 2012年苏州市中考第29题 如图1，已知抛物线211(1)444 b y x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ． （1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由． 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B 在x 轴的正半轴上运动，可以体验到，点P 到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB 的面积等于2b 的时刻．双击按钮“第（3）题”，拖动点B ，可以体验到，存在∠OQA ＝∠B 的时刻，也存在∠OQ ′A ＝∠B 的时刻． 思路点拨 1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC 暗示了点P 到两坐标轴的距离相等． 2．联结OP ，把四边形PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b 的式子表示．

3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q 最大的可能在经过点A 与x 轴垂直的直线上． 满分解答 （1）B 的坐标为(b , 0)，点C 的坐标为(0, 4 b )． （2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ． 因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x, x)． 如图3，联结OP ． 所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝115242 8 b x b x bx ??+??=＝2b ． 解得165x =．所以点P 的坐标为(1616,55)． 图2 图3 （3）由2111(1)(1)()4444 b y x b x x x b =-++=--，得A (1, 0)，OA ＝1． ①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ． 当BA QA QA OA =，即2QA BA OA =?时，△BQA ∽△QOA ． 所以2()14 b b =- ．解得8b =±Q 为 (1,2． ②如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∠OQC ＝90°。 因此△OCQ ∽△QOA ． 当BA QA QA OA =时，△BQA ∽△QOA ．此时∠OQB ＝90°． 所以C 、Q 、B 三点共线．因此BO QA CO OA =，即1 4b QA b =．解得4QA =．此时Q (1,4)． 图4 图5 考点伸展

1.1 因动点产生的相似三角形问题

1.1 因动点产生的相似三角形问题 例1 2012年苏州市中考第29题 如图1，已知抛物线211(1)444 b y x b x = -++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ． （1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由． 图1 思路点拨1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC 暗示了点P 到两坐标轴的距离相等． 2．联结OP ，把四边形PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b 的式子表示． 3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q 最大的可能在经过点A 与x 轴垂直的直线上． 满分解答（1）B 的坐标为(b , 0)，点C 的坐标为(0, 4 b )． （2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ． 因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x, x)． 如图3，联结OP ．所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝1152428 b x b x bx ??+??=＝2b ． 解得165x =．所以点P 的坐标为(1616,55 )． 图2 图3 （3）由2111(1)(1)()4444 b y x b x x x b =-++=--，得A (1, 0)，OA ＝1． ①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ． 当BA QA QA OA =，即2QA BA OA =?时，△BQA ∽△QOA ． 所以2()14 b b =-．解得8b =±Q 为(1,2． ②如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∠OQC ＝90°。 因此△OCQ ∽△QOA ． 当BA QA QA OA =时，△BQA ∽△QOA ．此时∠OQB ＝90°．

二次函数-因动点产生的相似三角形问题典型例题

二次函数-因动点产生的相似三角形问题 【例1】如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2 ＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°． （1）求这条抛物线的表达式； （2）连结OM ，求∠AOM 的大小； （3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标． 图1 思路点拨 1．第（2）题把求∠AOM 的大小，转化为求∠BOM 的大小． 2．因为∠BOM ＝∠ABO ＝30°，因此点C 在点B 的右侧时，恰好有∠ABC ＝∠AOM ． 3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC 与△AOM 相似． 满分解答 （1）如图2，过点A 作AH ⊥y 轴，垂足为H ． 在Rt △AOH 中，AO ＝2，∠AOH ＝30°， 所以AH ＝1，OH A (1-． 因为抛物线与x 轴交于O 、B (2,0)两点， 设y ＝ax (x －2)，代入点A (1-，可得 a = 图2 所以抛物线的表达式为2(2)y x x x x = -=． （2）由221)y x x = =-

得抛物线的顶点M 的坐标为(1,3- ．所以tan 3 BOM ∠= ． 所以∠BOM ＝30°．所以∠AOM ＝150°． （3）由A (1-、B (2,0)、M (1,， 得tan ABO ∠，AB =OM = 所以∠ABO ＝30°， OA OM = 因此当点C 在点B 右侧时，∠ABC ＝∠AOM ＝150°． △ABC 与△AOM 相似，存在两种情况： ①如图3，当 BA OA BC OM ==时，2BC ===．此时C (4,0)． ②如图4，当 BC OA BA OM ==时，6BC ===．此时C (8,0)． 图3 图4 考点伸展 在本题情境下，如果△ABC 与△BOM 相似，求点C 的坐标． 如图5，因为△BOM 是30°底角的等腰三角形，∠ABO ＝30°，因此△ABC 也是底角为30°的等腰三角形，AB ＝AC ，根据对称性，点C 的坐标为(－4,0)． 图5