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物理竞赛讲义(六)曲线运动、抛体运动

郑梁梅高级中学高一物理竞赛辅导讲义

第六讲：曲线运动、抛体运动

【知识要点】

一、质点的匀速圆周运动

1．线速度度t

s v ??=

, 2．角速度t ?θ?ω=, 3．角加速度t ?ω?β=, 4．线速度和角速度的关系R v ω=, 5．角速度与时间的关系t βωω+=0, 6．角度与时间和关系2021t t βωθ+=, 7．向心加速度(改变速度方向)v R R

v a n ωω===22, 8．切向加速度(改变速度大小)R t v a t t β??== 9．质点的加速度(法向和切向的合成)t n a a a +=.

二、刚体的定轴转动、瞬时轴

1．刚体运动时，刚体上或其延展部分有一根不动直线，该直线称为定轴，刚体绕这一轴转动。刚体作定轴转动时，其上各点都在与轴垂直的平面内作圆周运动，各点作圆周运动的半径不同，在某一时刻，刚体上所有各点的角位移、角速度和角加速度都是相同的。而各点的线位移、线速度和线加速度则随各点离开转轴的垂直距离不同而不同。

2．瞬时轴是指某瞬间截面上速度为零的点，这样，刚体的平面平行运动看成仅作绕瞬时轴的转动。确定方法：任意两点的速度方向垂直的直线的交点，它与某点的距离R =v /ω。瞬时轴的速度为零，加速度不一定为零。

【典型例题】

【例题1】如图所示，利用定滑轮绳索拉物体，已知拉绳索的速率v 恒定不变。求如图时刻：物体离定滑轮的水平距离为s 、物体离定滑轮的竖直距离为h 时物体的加速度。

【例题2】(2009 年同济大学)距河岸(看成直线)500m 处有一艘静止的船，船上的探照灯以

转速n=1r/min 转动，当光束与岸边成60o 角时，光束沿岸边移动的速率是多少？

【例题3】如图，A 船从赶港口P 出发去拦截正以速度v 0沿直线航行的船B ，P 与B 所在航线的垂直距离为a ，A 船启航时，B 与P 的距离为b （b ＞a ），若忽略A 启动的时间，并认为A 一起航就匀速运动，为使A 船能以最小速率拦截到B 船，下列说法正确的是：

A ．A 船应以PC 方向运动

B ．A 船应以PD 方向运动

C ．A 船的最小速率为b a v 0

D ．A 船的最小速率为b

a b v 220 【例题4】如图所示，合页构件由三个菱形组成，其边长之比为3∶2∶1，顶点A 3以速度V 沿水平方向向右运动，求当构件所有角都为直角时，顶点B 2的速度V B2．

【练习】

1．质点以加速度a 从静止出发做直线运动，在某时刻t ，加速度变为2a ；在时刻2t ，加速度变为3a ；…；在nt 时刻，加速度变为（n +1）a ，求：

（1）nt 时刻质点的速度；（2）nt 时间内通过的总路程.

答案：nt v at n n )1(21+=；.)12)(1(12

12at n n n s ++=

2．高为H 的灯柱顶部有一小灯，灯下有一高为h 的行人由灯柱所在位置出发，沿直线方向在水平面上背离灯柱而去。设某时刻该人的行走速度为v 0，试求此时行人头顶在地面的投影的前进速度v 。答案：h H Hv v o -=

3．物体A 在地面上足够高的空中以速度v 1平抛，与此同时，物体B 在A 正下方距离h 处以速度v 2竖直上抛，不计空气阻力，则二者在空中运动时的最近距离为

A ．21v v h

B ．12v v h

C ．22211v v v h +

D ．22

212v v v h + 答案：D

4．如图所示，两个边长相同的正方形线框相互叠放，且沿对角线方向，A 有向左的速度v ，B 有向右的速度2v ，求交点P 的速度。

答案：v 2

高中物理竞赛辅导讲义第篇运动学

高中物理竞赛辅导讲义第2篇运动学【知识梳理】一、匀变速直线运动二、运动的合成与分解运动的合成包括位移、速度和加速度的合成，遵从矢量合成法则（平行四边形法则或三角形法则）。我们一般把质点对地或对地面上静止物体的运动称为绝对运动，质点对运动参考照系的运动称为相对运动，而运动参照系对地的运动称为牵连运动。以速度为例，这三种速度分别称为绝对速度、相对速度、牵连速度，则 v 绝对 = v 相对 + v 牵连或 v 甲对乙 = v 甲对丙 + v 丙对乙位移、加速度之间也存在类似关系。三、物系相关速度正确分析物体（质点）的运动，除可以用运动的合成知识外，还可充分利用物系相关速度之间的关系简捷求解。以下三个结论在实际解题中十分有用。 1．刚性杆、绳上各点在同一时刻具有相同的沿杆、绳的分速度（速度投影定理）。 2．接触物系在接触面法线方向的分速度相同，切向分速度在无相对滑动时亦相同。 3．线状交叉物系交叉点的速度，是相交物系双方运动速度沿双方切向分解后，在对方切向运动分速度的矢量和。四、抛体运动： 1．平抛运动。 2．斜抛运动。五、圆周运动： 1．匀速圆周运动。 2．变速圆周运动：线速度的大小在不断改变的圆周运动叫变速圆周运动，它的角速度方向不变，大小在不断改变，它的加速度为a = a n + a τ，其中a n 为法向加速度，大小为2 n v a r =，方向指向圆心；a τ为切向加速度，大小为0lim t v a t τ?→?=?，方向指向切线方向。六、一般的曲线运动一般的曲线运动可以分为很多小段，每小段都可以看做圆周运动的一部分。在分析质点经过曲线上某位置的运动时，可以采用圆周运动的分析方法来处理。对于一般的曲线运动，向心加速度为2n v a ρ =，ρ为点所在曲线处的曲率半径。七、刚体的平动和绕定轴的转动 1．刚体所谓刚体指在外力作用下，大小、形状等都保持不变的物体或组成物体的所有质点之间的距离始终保持不变。刚体的基本运动包括刚体的平动和刚体绕定轴的转动。刚体的任

高中物理竞赛辅导(2)

高中物理竞赛辅导（2）静力学力和运动共点力的平衡 n个力同时作用在物体上，若各力的作用线相交于一点，则称为共点力，如图1所示。作用在刚体上的力可沿作用线前、后滑移而不改变其力学效应。当刚体受共点力作用时，可把这些力沿各自的作用线滑移，使都交于一点，于是刚体在共点力作用下处于平衡状态的条件是：合力为零。（1）用分量式表示：（2） [例1]半径为R的刚性球固定在水平桌面上，有一质量为M的圆环状均匀弹性细绳圈，原长为，绳圈的弹性系数为k。将圈从球的正上方轻放到球上，并用手扶着绳圈使其保持水平，最后停留在平衡位置。考虑重力，不计摩擦。①设平衡时绳圈长，求k值。②若，求绳圈的平衡位置。

分析：设平衡时绳圈位于球面上相应于θ角的纬线上。在绳圈上任取一小元段，长为，质量为，今将这元段作为隔离体，侧视图和俯视图分别由图示（a）和（b）表示。元段受到三个力作用：重力方向竖直向下；球面的支力N方向沿半径R 指向球外；两端张力，张力的合力为位于绳圈平面内，指向绳圈中心。这三个力都在经线所在平面内，如图示（c）所示。将它们沿经线的切向和法向分解，则切向力决定绳圈沿球面的运动。解：（1）由力图（c）知：合张力沿经线切向分力为：重力沿径线切向分力为：（2-2）当绳圈在球面上平衡时，即切向合力为零。（2-3）由以上三式得（2-4）式中

由题设：。把这些数据代入（2-4）式得。于是。（2）若时，C=2，而。此时（2-4）式变成 tgθ=2sinθ-1, 即 sinθ+cosθ=sin2θ, 平方后得。在的范围内，上式无解，即此时在球面上不存在平衡位置。这时由于k值太小，绳圈在重力作用下，套过球体落在桌面上。 [例2]四个相同的球静止在光滑的球形碗内，它们的中心同在一水平面内，今以另一相同的球放以四球之上。若碗的半径大于球的半径k倍时，则四球将互相分离。试求k值。分析：设每个球的质量为m，半径为r ，下面四个球的相互作用力为N，如图示（a）所示。又设球形碗的半径为R，O' 为球形碗的球心，过下面四球的球心联成的正方形的一条对角线 AB作铅直剖面。如图3（b）所示。当系统平衡时，每个球所受的合力为零。由于所有的接触都是光滑的，所以作用在每一个球上的力必通过该球球心。上面的一个球在平衡时，其重力与下面四个球对它的支力相平衡。由于分布是对称的，它们之间的相互作用力N，大小相等以表示，方向均与铅垂线成角。

动画运动规律

1.在动画运动规律技巧方面美国与日本动画的区别在技巧方面，非常充分的运用了传统的动画表现手法，展现各类物体的物理现象，我们常常称其为运动规律。弹性运动，曲线运动，预备和缓冲运动。美国动画片被当做艺术品和经典作品来完成，多为电影大片，制作周期长，品质优良。在运动规律方面，日本动画制作张数仅为美国动画的五分之一。常常“停格”。因此，日本动画大量运用大量摄影技巧来弥补运动方面的不足，日本动画多为电视动画，周期短，产量大。 2.什么是动画设计稿设计师根据分镜头台本的构图人物造型比例以及场景样稿画设计稿，设计稿最主要的任务是统一背景和人物的透视。 3.什么是动漫动漫是由“cartoon”包括两方面内容，动画和漫画，静止不动的称为漫画，像电影一样会动的称之为动画 4.视觉残留（名词解释）物体在移动前其影像在人眼的视网膜上会有八分之一秒左右的停留，如果这个物体形象的动作每三格动一下，观者看到的就不是静止的画面，而是运动的画面。 4.画运动规律的专用设备叫“透台”又叫“拷贝台” 5.动画专用纸有三个定位孔，叫做“动画纸”用“定位尺”来固定 6.动画线条绘制标准“准，挺，匀，活” 7.日文的“中割”也称之为“动画”，即运动物体关键动态之间呈渐变过程的，已构成一个形体的画，对一个单一的动作而言，两头极限的两张叫做原画，中间的画面就叫做中间画8.动画中有哪几种变形主要有四类变形（1）荒诞变形（2）弹性运动变形（3）预备和缓冲变形（4）阻力变形 9.什么是弹性运动变形物体受到力的作用时，形态会发生改变，这种改变在物理学上称之为弹性，当作用力大于反作用力时就成生了变形，物体在发生形变时会产生弹力想，当形变消失时，弹力也随之消失10.预备和缓冲变形预备动作是指动画角色在同某一方向运动前呈现的一个反方向动作，加了物体的夸张，缓冲室物体受到惯性的影响，一时止不住而产生的物理现象，也会引起物体的变形，预备和缓冲引起的变形和夸张是动画设计中常用的一种技巧，目的是使动画片更具有戏剧性。 11.阻力变形物体受到阻力和离心力时也会变形，阻力变形会使动作充满力度 12.什么是转面转面就是绘制角色或物体的朝向连续变化的过程，是运动规律中最基本的技法 13.头部转面要点用十字线（眼线和中线）表示头部的朝向，用一个圆球概括头部形状来绘制转面，首先要注意角色自身的结构，在转面过程中基本保持角色结构不变。同时要注意两种透视关系：即切割的距离和造型的透视。 14.自然转面法绘制转面时，还有一些技巧需要注意，才能使转面过程自然生动，称为自然转面法，如果眼神与头部同步运动，那么画出的效果就很机械，绘制转面时，可以让眼神先与头部运动，或者滞后，同时配合抬头——低头的过程，使转面呈现出弧线效果，都是自然转面常用的技巧。 15.表情绘制表情主要通过口型和五官运动来表示

高中物理竞赛辅导讲义-7.1简谐振动

7.1简谐振动一、简谐运动的定义 1、平衡位置：物体受合力为0的位置 2、回复力F ：物体受到的合力，由于其总是指向平衡位置，所以叫回复力 3、简谐运动：回复力大小与相对于平衡位置的位移成正比，方向相反 F k x =- 二、简谐运动的性质 F kx =- ''mx kx =- 取试探解（解微分方程的一种重要方法） cos()x A t ω?=+ 代回微分方程得： 2m x kx ω-=- 解得： 22T π ω== 对位移函数对时间求导，可得速度和加速度的函数 cos()x A t ω?=+ sin()v A t ωω?=-+ 2cos()a A t ωω?=-+ 由以上三个方程还可推导出： 222()v x A ω += 2a x ω=- 三、简谐运动的几何表述一个做匀速圆周运动的物体在一条直径上的投影所做的运动即为简谐运动。因此ω叫做振动的角频率或圆频率， ωt +φ为t 时刻质点位置对应的圆心角，也叫做相位，φ为初始时刻质点位置对应的圆心角，也叫做初相位。

四、常见的简谐运动 1、弹簧振子 (1)水平弹簧振子 (2)竖直弹簧振子 2、单摆（摆角很小） sin F mg mg θθ=-≈- x l θ≈ 因此： F k x =- 其中： mg k l = 周期为：222T π ω=== 例1、北京和南京的重力加速度分别为g 1=9.801m/s 2和g 2=9.795m/s 2，把在北京走时准确的摆钟拿到南京，它是快了还是慢了？一昼夜差多少秒？怎样调整？例2、三根长度均为l=2.00m 、质量均匀的直杆，构成一正三角彤框架 ABC ．C 点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动．杆AB 是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨运动，如图所示．现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动?

初中物理竞赛试题运动学

初中物理竞赛试题精选:运动学1.Ａ、Ｂ两辆车以相同速度ｖ０同方向作匀速直线运动，Ａ车在前，Ｂ车在后．在两车上有甲、乙两人分别用皮球瞄准对方，同时以相对自身为2ｖ０的初速度水平射出，如不考虑皮球的竖直下落及空气阻力，则（）Ａ．甲先被击中Ｂ．乙先被击中Ｃ．两人同时被击中Ｄ．皮球可以击中乙而不能击中甲 2.如图所示，静止的传送带上有一木块正在匀速下滑，当传送带突然向下开动时，木块图2滑到底部所需时间ｔ与传送带始终静止不动所需时间ｔ０相比是（）Ａ．ｔ＝ｔ０Ｂ．ｔ＜ｔ０Ｃ．ｔ＞ｔ０Ｄ．Ａ、Ｂ两种情况都有可能 3.如图所示，A、B为两个大小和材料都相同而转向相反的轮子，它们的转轴互相平行且在同一水平面内。有一把均匀直尺C，它的长度大于两轮转轴距离的2倍。把该直尺静止地搁在两转轮上，使尺的重心在两轮之间而离B轮较近。然后放手，考虑到轮子和尺存在摩擦，则直尺将() A保持静止。B向右运动，直至落下。 C开始时向左运动，以后就不断作左右来回运动。 D开始时向右运动，以后就不断作左右来回运动。 4.在一辆行驶的火车车厢内，有人竖直于车厢地板向上跳起，落回地板时，落地点() A 在起跳点前面；B在起跳点后面； C与起跳点重合；D与火车运动情况有关，无法判断。

5.在水平方向作匀速直线高速飞行的轰炸机上投下一颗炸弹，飞机驾驶员和站在地面上的观察者对炸弹运动轨迹的描述如图12所示。其中有可能正确的是() 图12 6.一列长为s的队伍以速度V沿笔直的公路匀速前进。一个传令兵以较快的速度v 从队末向队首传递文件，又立即以同样速度返回到队末。如果不计递交文件的时间，那么这传令兵往返一次所需时间是 7.甲、乙两车站相距100千米，一辆公共汽车从甲站匀速驶向乙站，速度为40千米/时。当公共汽车从甲站驶出时，第一辆大卡车正好从乙站匀速开往甲站，而且每隔15分钟开出一辆。若卡车的速度都是25千米/时，则公共汽车在路途中遇到的卡车总共有() (A).20辆。(B)15辆。(C)10辆。(D)8辆 8.某高校每天早上都派小汽车准时接刘教授上班。一次，刘教授为了早一点赶到学校，比平时提前半小时出发步行去学校，走了27分钟时遇到来接他的小汽车，他上车后小汽车立即掉头前进。设刘教授步行速度恒定为v，小汽车来回速度大小恒定为u，刘教授上车以及小汽车掉头时间不计，则可判断() A.刘教授将会提前3分钟到校，且v:u=1:10。 B.刘教授将会提前6分钟到校，且v:u=1:10。 C.刘教授将会提前3分钟到校，且v:u=1:9。 D.刘教授将会提前6分钟到校，且v:u=1:9。 9.一氢气球下系一重为G的物体P，在空中做匀速直线运动。如不计空气阻力和风力影响，物体恰能沿MN方向(如图1中箭头指向)斜线上升，图1中OO’为竖直方向，则在图1中气球和物体P所处的情况正确的是() 10.某段铁路有长度L的铁

新版高一物理竞赛讲义

高中物理《竞赛辅导》力学部分目录：力学中的三种力【知识要点】（一）重力重力大小G=mg，方向竖直向下。一般来说，重力是万有引力的一个分力，静止在地球表面的物体，其万有引力的另一个分力充当物体随地球自转的向心力，但向心力极小。（二）弹力 1．弹力产生在直接接触又发生非永久性形变的物体之间(或发生非永久性形变的物体一部分和另一部分之间)，两物体间的弹力的方向和接触面的法线方向平行，作用点在两物体的接触面上．2．弹力的方向确定要根据实际情况而定． 3．弹力的大小一般情况下不能计算，只能根据平衡法或动力学方法求得．但弹簧弹力的大小可用．f=kx(k 为弹簧劲度系数，x为弹簧的拉伸或压缩量)来计算．在高考中，弹簧弹力的计算往往是一根弹簧，而竞赛中经常扩展到弹簧组．例如：当劲度系数分别为k1,k2,…的若干个弹簧串联使用时．等效弹簧的劲度系数的倒数为：，即弹簧变软；反之．若

以上弹簧并联使用时，弹簧的劲度系数为：k=k 1+…k n ，即弹簧变硬．(k=k 1+…k n 适用于所有并联弹簧的原长相等；弹簧原长不相等时，应具体考虑) 长为的弹簧的劲度系数为k ，则剪去一半后，剩余的弹簧的劲度系数为2k （三）摩擦力 1．摩擦力一个物体在另一物体表面有相对运动或相对运动趋势时，产生的阻碍物体相对运动或相对运动趋势的力叫摩擦力。方向沿接触面的切线且阻碍物体间相对运动或相对运动趋势。 2．滑动摩擦力的大小由公式f=μN 计算。 3．静摩擦力的大小是可变化的，无特定计算式，一般根据物体运动性质和受力情况分析求解。其大小范围在0＜f≤f m 之间，式中f m 为最大静摩擦力，其值为f m =μs N ，这里μs 为最大静摩擦因数，一般情况下μs 略大于μ，在没有特别指明的情况下可以认为μs =μ。 4．摩擦角将摩擦力f 和接触面对物体的正压力N 合成一个力F ，合力F 称为全反力。在滑动摩擦情况下定义tgφ=μ=f/N ，则角φ为滑动摩擦角；在静摩擦力达到临界状态时，定义tgφ0=μs =f m /N ，则称φ0为静摩擦角。由于静摩擦力f 0属于范围0＜f≤f m ，故接触面作用于物体的全反力同接触面法线的夹角≤φ0，这就是判断物体不发生滑动的条件。换句话说，只要全反力的作用线落在（0，φ0）范围时，无穷大的力也不能推动木块，这种现象称为自锁。本节主要内容是力学中常见三种力的性质。在竞赛中以弹力和摩擦力尤为重要，且易出错。弹力和摩擦力都是被动力，其大小和方向是不确定的，总是随物体运动性质变化而变化。弹力中特别注意轻绳、轻杆及胡克弹力特点；摩擦力方向总是与物体发生相对运动或相对运动趋势方向相反。另外很重要的一点是关于摩擦角的概念，及由摩擦角表述的物体平衡条件在竞赛中应用很多，充分利用摩擦角及几何知识的关系是处理有摩擦力存在平衡问题的一种典型方法。【典型例题】【例题1】如图所示，一质量为m 的小木块静止在滑动摩擦因数为μ=的水平面上，用一个与水平方向成θ角度的力F 拉着小木块做匀速直线运动，当θ角为多大时力F 最小？【例题2】如图所示，有四块相同的滑块叠放起来置于水平桌面上，通过细绳和定滑轮相互联接起来.如果所有的接触面间的摩擦系数均为μ，每一滑块的质量均为 m ，不计滑轮的摩擦.那么要拉动最上面一块滑块至少需要多大的水平拉力?如果有n 块这样的滑块叠放起来，那么要拉动最上面的滑块，至少需多大的拉力? 【例题3】如图所示，一质量为m=1㎏的小物块P 静止在倾角为θ=30°的斜面上，用平行于斜面底边的力F=5N 推小物块，使小物块恰好在斜面上匀速运动，试求小物块与斜面间的滑动摩擦因数（g 取10m/s 2 ）。【练习】 1、如图所示，C 是水平地面，A 、B 是两个长方形物块，F 是作用在物块B 上沿水平方向的力，物块A 和B 以相同的速度作匀速直线运动，由此可知， A 、 B 间的滑动 θ F P θ F A B F C N F f m f 0 α φ

《动画运动规律》大纲

《动画运动规律》课程教学大纲一、课程名称：动画运动规律/ The rule of animartion sport 二、课程代码： 162Y043 三、课程类别：专业课四、课程性质：专业必修五、学时/学分： 40 / 2.5 六、先修课程：基础素描、动画速写、动画素描七、适应专业：动画专业八、教学内容及要求课程目的：该课程的性质为学科基础课的必修课。在动画片中人物的运动规律是我们动画创作过程中最核心的一个环节，对于人物动画的制作也是动画设计中的重中之重、难中之难。基本任务与要求：该课程通过对人物在行走、奔跑、跳跃等动作的分析与讲解，使学

生熟练的掌握人物在不同运动状态下的规律与特征。也启发学生对不同性格角色的人物在运动中的差异性，为今后的人物动画设计打下良好的基础。第一章.人物运动规律的概念。（2学时） 1、了解人物运动规律 2、理解人物运动规律特点 3、掌握人物运动规律的特点重点内容：.何谓人物运动规律。教学难点：人物运动规律的特点。第二章.人物运动规律的分类（8学时） 1、了解人物运动规律的不同种类 2、理解人物运动规律的不同种类 3、掌握人物运动在动画设计中的地位主要内容：行走、跑、跳、重点内容：人物运动规律的不同种类教学难点：人物运动在动画设计中的地位第三章.动物运动规律（8学时） 1、了解动物行走的特点 2、理解动物慢走、快走、匀速行走的特点 3、掌握行走与桢的运用重点内容：慢走、快走、匀速行走教学难点：行走与桢的运用第四章. 自然现象的运动规律（8学时） 1、了解自然现象的运动规律的特点 2、理解自然现象的运动规律 3、掌握自然现象的运动规律的特征重点内容：风、雨、雷、电、水的运动规律教学难点：自然现象的运动规律的差异性

高中物理必修二__第一章曲线运动知识点归纳

必修二知识点第一章曲线运动（一）曲线运动的位移研究物体的运动时，坐标系的选取十分重要.在这里选择平面直角坐标系．以抛出点为坐标原点，以抛出时物体的初速度v0方向为x轴的正方向，以竖直方向向下为y轴的正方向，如下图所示．当物体运动到A点时，它相对于抛出点O的位移是OA，用l表示. 由于这类问题中位移矢量的方向在不断变化，运算起来很不方便，因此要尽量用它在坐标轴方向的分矢量来表示它. 由于两个分矢量的方向是确定的，所以只用A点的坐标(x A、y A)就能表示它，于是使问题简化. （二）曲线运动的速度 1、曲线运动速度方向：做曲线运动的物体，在某点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向． 2．对曲线运动速度方向的理解如图所示， AB割线的长度跟质点由A运动到B的时间之比，即v＝Δx AB Δt ，等于AB 过程中平均速度的大小，其平均速度的方向由A指向B.当B非常非常接近A时，AB割线变成了过A点的切线，同时Δt变为极短的时间，故AB间的平均速度近似等于A点的瞬时速度，因此质点在A点的瞬时速度方向与过A点的切线方向一致．（三）曲线运动的特点 1、曲线运动是变速运动：做曲线运动的物体速度方向时刻在发生变化，所以曲线运动是变速运动．（曲线运动是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动） 2、做曲线运动的物体一定具有加速度曲线运动中速度的方向(轨迹上各点的切线方向)时刻在发生变化，即物体的运动状态时刻在发生变化，而力是改变物体运动状态的原因，因此，做曲线运动的物体所受合力一定不为零，也就一定具有加速度．（说明：曲线运动是变速运动，只是说明物体具有加速度，但加速度不一定是变化的，例如，抛物运动都是匀变速曲线运动．）（四）物体做曲线运动的条件：物体所受的合外力的方向与速度方向不在同一直线上，也就是加速度方向与速度方向不在同一直线上．（只要物体的合外力是恒力，它一定做匀变速运动，可能是直线运动，也可能是曲线运动）当物体受到的合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体做曲线运动的速率将增大；当物体受到的合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体做曲线运动的速率将减小；当物体受到的合外力方向与速度的方向垂直时，该力只改变速度方向，不改变速度的大小．（五）曲线运动的轨迹做曲线运动的物体，其轨迹向合外力所指一方弯曲，若已知物体的运动轨迹，可判断出物体所受合力的大致方向．速度和加速度在轨迹两侧，轨迹向力的方向弯曲，但不会达到力的方向．（六）运动的合成与分解的方法

高中物理竞赛辅导讲义-1.4运动学综合题

1.4运动学综合题例1、如图所示，绳的一端固定，另一端缠在圆筒上，圆筒半径为R，放在与水平面成α角的光滑斜面上，当绳变为竖直方向时，圆筒转动角速度为ω，(此时绳未松弛)，试求此刻圆筒与绳分离处A 的速度以及圆筒与斜面切点C的速度例2、如图所示，湖中有一小岛A，A与直湖岸的距离为d,湖岸边有一点B，B沿湖岸方向与A点的距离为l．一人自B点出发，要到达A 点．已知他在岸上行走的速度为v1，在水中游泳的速度为v2，且v1>v2，要求他由B至A所用的时问最短，问此人应当如何选择其运动路线?

例3、一根不可伸长的细轻绳，穿上一粒质量为m的珠子（视为质点），绳的下端固定在A点，上端系在轻质小环上，小环可沿固定的水平细杆滑动（小环的质量及与细杆摩擦皆可忽略不计），细杆与A在同一竖直平面内．开始时，珠子紧靠小环，绳被拉直，如图所示，已知，绳长为l，A点到杆的距离为h，绳能承受的最大 T，珠子下滑过程中到达最低点前绳子被拉断，张力为 d 求细绳被拉断时珠子的位置和速度的大小（珠子与绳子之间无摩擦）例4、在某铅垂面上有一光滑的直角三角形细管轨道，光滑小球从顶点A沿斜边轨道自静止出发自由滑到端点C所需时间恰好等于小球从A由静止出发自由地经B滑到C所需时间，如图所示．设AB为铅直轨道，转弯处速度大小不变，转弯时间忽略不计，在此直角三角形范围内可构建一系列如图中虚线所示的光滑轨道，每一轨道由若干铅直和水平的部分连接而成，各转弯处性质都和B点相同，各轨道均从A点出发到C点终止，且不越出△ABC的边界．试求小球在各条轨道中，从静止出发自由地由A到C所需时间的上限与下限之比值．

高中物理竞赛辅导讲义静力学

高中物理竞赛辅导讲义第1篇静力学【知识梳理】一、力和力矩 1．力与力系（1）力：物体间的的相互作用（2）力系：作用在物体上的一群力 ①共点力系 ②平行力系 ③力偶 2．重力和重心（1）重力：地球对物体的引力（物体各部分所受引力的合力）（2）重心：重力的等效作用点（在地面附近重心与质心重合） 3．力矩（1）力的作用线：力的方向所在的直线（2）力臂：转动轴到力的作用线的距离（3）力矩 ①大小：力矩=力×力臂，M =FL ②方向：右手螺旋法则确定。右手握住转动轴，四指指向转动方向，母指指向就是力矩的方向。 ③矢量表达形式：M r F =? （矢量的叉乘），||||||sin M r F θ=? 。 4．力偶矩（1）力偶：一对大小相等、方向相反但不共线的力。（2）力偶臂：两力作用线间的距离。（3）力偶矩：力和力偶臂的乘积。二、物体平衡条件 1．共点力系作用下物体平衡条件：合外力为零。（1）直角坐标下的分量表示 ΣF ix = 0，ΣF iy = 0，ΣF iz = 0 （2）矢量表示各个力矢量首尾相接必形成封闭折线。（3）三力平衡特性 ①三力必共面、共点；②三个力矢量构成封闭三角形。 2．有固定转动轴物体的平衡条件：

3．一般物体的平衡条件：（1）合外力为零。（2）合力矩为零。 4．摩擦角及其应用（1）摩擦力 ①滑动摩擦力：f k = μk N（μk－动摩擦因数） ②静摩擦力：f s ≤μs N（μs－静摩擦因数） ③滑动摩擦力方向：与相对运动方向相反（2）摩擦角：正压力与正压力和摩擦力的合力之间夹角。 ①滑动摩擦角：tanθk=μ ②最大静摩擦角：tanθsm=μ ③静摩擦角：θs≤θsm （3）自锁现象三、平衡的种类 1．稳定平衡：当物体稍稍偏离平衡位置时，有一个力或力矩使之回到平衡位置，这样的平衡叫稳定平衡。2．不稳定平衡：当物体稍稍偏离平衡位置时，有一个力或力矩使它的偏离继续增大，这样的平衡叫不稳定平衡。 3．随遇平衡：当物体稍稍偏离平衡位置时，它所受的力或力矩不发生变化，它能在新的位置上再次平衡，这样的平衡叫随遇平衡。【例题选讲】 1．如图所示，两相同的光滑球分别用等长绳子悬于同一点，此两球同时又支撑着一个等重、等大的光滑球而处于平衡状态，求图中α（悬线与竖直线的夹角）与β（球心连线与竖直线的夹角）的关系。面圆柱体不致分开，则圆弧曲面的半径R最大是多少？（所有摩擦均不计） R

高中物理竞赛辅导运动学

高中物理竞赛辅导运动学 §2.1质点运动学的差不多概念 2．1．1、参照物和参照系要准确确定质点的位置及其变化，必须事先选取另一个假定不动的物体作参照，那个被选的物体叫做参照物。为了定量地描述物体的运动需要在参照物上建立坐标，构成坐标系。通常选用直角坐标系O –xyz ，有时也采纳极坐标系。平面直角坐标系一样有三种，一种是两轴沿水平竖直方向，另一是两轴沿平行与垂直斜面方向，第三是两轴沿曲线的切线和法线方向〔我们常把这种坐标称为自然坐标〕。 2．1．2、位矢位移和路程在直角坐标系中，质点的位置可用三个坐标x ，y ，z 表示，当质点运动时，它的坐标是时刻的函数 x=X 〔t 〕 y=Y 〔t 〕 z=Z 〔t 〕这确实是质点的运动方程。质点的位置也可用从坐标原点O 指向质点P 〔x 、y 、z 〕的有向线段r 来表示。如图2-1-1所示, 也是描述质点在空间中位置的物理量。的长度为质点到原点之间的距离，的方向由余弦αcos 、βcos 、γcos 决定,它们之间满足 1cos cos cos 222=++γβα 当质点运动时,其位矢的大小和方向也随时刻而变,可表示为r =r (t)。在直角坐标系中,设分不为、、沿方向x 、y 、z 和单位矢量，那么r 可表示为 t z t y t x t )()()()(++= 位矢与坐标原点的选择有关。研究质点的运动，不仅要明白它的位置，还必须明白它的位置的变化情形，假如质点从空间一点),,(1111z y x P 运动到另一点),,(2222z y x P ，相应的位矢由r 1 变到r 2，其改变量为? z z y y x x r r )()()(12121212-+-+-=-=? 称为质点的位移，如图2-1-2所示，位移是矢量，它是从初始位置指向终止位置的一个有向线段。它描写在一定时刻内质点位置变动的大小和方向。它与坐标原点的选择无关。 2．1．3、速度平均速度质点在一段时刻内通过的位移和所用的时刻之比叫做这段时刻内的平均速度 ) 2z y 图2-1-1

高中物理竞赛辅导讲义：原子物理

原子物理自1897年发现电子并确认电子是原子的组成粒子以后，物理学的中心问题就是探索原子内部的奥秘，经过众多科学家的努力，逐步弄清了原子结构及其运动变化的规律并建立了描述分子、原子等微观系统运动规律的理论体系——量子力学。本章简单介绍一些关于原子和原子核的基本知识。 §1.1 原子 1．1．1、原子的核式结构 1897年，汤姆生通过对阴极射线的分析研究发现了电子，由此认识到原子也应该具有内部结构，而不是不可分的。1909年，卢瑟福和他的同事以α粒子轰击重金属箔，即α粒子的散射实验，发现绝大多数α粒子穿过金箔后仍沿原来的方向前进，但有少数发生偏转，并且有极少数偏转角超过了90°，有的甚至被弹回，偏转几乎达到180°。 1911年，卢瑟福为解释上述实验结果而提出了原子的核式结构学说，这个学说的内容是：在原子的中心有一个很小的核，叫原子核，原子的全部正电荷和几乎全部质量都集中在原子核里，带负电的电子在核外的空间里软核旋转，根据α粒子散射的实验数据可估计出原子核的大小应在10-14nm 以下。 1、1． 2、氢原子的玻尔理论 1、核式结论模型的局限性通过实验建立起来的卢瑟福原子模型无疑是正确的，但它与经典论发生了严重的分歧。电子与核运动会产生与轨道旋转频率相同的电磁辐射，运动不停，辐射不止，原子能量单调减少，轨道半径缩短，旋转频率加快。由此可得两点结论： ①电子最终将落入核内，这表明原子是一个不稳定的系统； ②电子落入核内辐射频率连续变化的电磁波。原子是一个不稳定的系统显然与事实不符，实验所得原子光谱又为波长不连续分布的离散光谱。如此尖锐的矛盾，揭示着原子的运动不服从经典理论所表述的规律。为解释原子的稳定性和原子光谱的离经叛道的离散性，玻尔于1913年以氢原子为研究对象提出了他的原子理论，虽然这是一个过渡性的理论，但为建立近代量子理论迈出了意义重大的一步。 2、玻尔理论的内容：一、原子只能处于一条列不连续的能量状态中，在这些状态中原子是稳定的，电子虽做加速运动，但并不向外辐射能量，这些状态叫定态。二、原子从一种定态（设能量为E 2）跃迁到另一种定态（设能量为E 1）时，它辐射或吸收一定频率的光子，光子的能量由这种定态的能量差决定，即 γh =E 2-E 1 三、氢原子中电子轨道量子优化条件：氢原子中，电子运动轨道的圆半径r 和运动初速率v 需满足下述关系： π2h n rmv =，n=1、2…… 其中m 为电子质量，h 为普朗克常量，这一条件表明，电子绕核的轨道半径是不连

曲线运动教学总结与反思

曲线运动教学总结与反思一、曲线运动的地位与意义：曲线运动规律及其应用历来是高考的重点、难点和热点,它不仅涉及力学中的一般的曲线运动、平抛运动、圆周运动,在下一步的学习中，还常常涉及天体运动问题,带电粒子在电场、磁场或复合场中的运动问题,动力学问题,功能问题. 尤其以现实生活中的问题(如体育竞技,军事上的射击,交通运输和航空航天等)为模型,在高考中高频率、高密度出现，更是突现了本章重要地位。二、知识要点总结与反思：（一）、熟悉曲线运动的特点及规律------建立起清晰而准确的判断依据。 1、物体作曲线运动的条件：物体做曲线运动的条件是所受合外力（加速度）不为零，合外力（加速度）的方向与速度方向有一个不为“0”，也不为“180”的夹角。 [例题] 关于互成角度的两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动，下列说法中正确的是（） A 、一定是直线运动 B 、一定是抛物线运动 C 、可能是直线运动，也可能是抛物线运动 D 、以上说法都不对 [析与解] 合运动的性质和轨迹也应当由合运动的初速度v 和加速度a 来确定。两个运动的初速度的合成、加速度的合成如图4-2所示，当a 与v 共线时，物体作直线运动，当a 恒定与v 不共线时，物体作抛物线运动。由于题目没有两运动的初速度和加速度的具体数值及方向，所以，以上两种情况都有可能，故正确选项为C 。 2、曲线运动的特点：曲线运动跟直线运动的明显区别是它的速度方向时刻在变化，因此，做曲线运动的物体必有加速度，而且同一时刻加速度和瞬时速度的方向必不在同一直线上。 3、曲线运动的分类：若力是恒力，物体做匀变速曲线运动，这时物体加速度大小，方向保持不变。比如平抛运动；若物体受的力是变力（包括方向变），则做变加速曲线运动。比如匀速圆周运动。学生在判断物体是不是做匀变速运动时，很多学生总是凭感觉，而不是寻找判断的依据，这点我们要注意。 4、曲线运动的力学特征物体做曲线运动，它在某一点（或某一时刻）的加速度（合外力）方向指向曲线的凹 2224 图

高中物理竞赛运动学。

运动学 1如图所示，物体A 置于水平面上，A 前固定一滑轮B ，高台上有一定滑轮D ，一根轻绳一端固定在C 点，再绕过B 、D ，BC 段水平，当以恒定水平速度V 拉绳上的自由端时，A 沿水平面前进，求当跨过B 的两段绳子的夹角为α时，A 的运动速度。（V A ＝α cos 1+V ） 2. 缠在轴上的线被绕过滑轮Ｂ后，以恒定速度ｖ０拉出。这时线轴沿水平平面无滑动滚动。求线轴中心点Ｏ的速度随线与水平方向的夹角 α 的变化关系。线轴的内、外半径分别为ｒ和Ｒ。 3．均匀光滑细棒AB 长l ，以速度v 搁在半径为r 的固定圆环上作匀速平动，试求在图13位置时，杆与环的交点M 的速度和加速度. 图13 4一个半径为 R 的半圆柱体沿水平方向向右做加速度为 a 的匀加速运动。在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动（如图）。当半圆柱体的速度为 v 时，杆与半圆柱体接触点 P 与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ，求此时竖直杆运动的速度和加速度。

5 A ，B ，C 三个芭蕾舞演员同时从边长为l 的三角形顶点A ，B ，C 出发，以相同的速率v 运动；运动中始终保持A 朝着B ，B 朝着C ，C 朝着A .试问经多少时间三人相聚？每个演员跑了多少路径？ 6．三只小虫A 、B 、C 沿水平面爬行，A 、B 的速度都能达到v =1cm/s 。开始时，这些虫子位于一个等边三角形的三个顶点上。C 应具有什么样的速度，才能在A 、B 任意移动的情况下使三小虫仍保持正三角形？ 7 在掷铅球时，铅球出手时距地面的高度为h ，若出手时的速度为V 0，求以何角度掷球时，水平射程最远？最远射程为多少？（α=gh v v 22sin 2001 +-、 x=g gh v v 2200+） 7、模型飞机以相对空气v = 39km/h 的速度绕一个边长2km 的等边三角形飞行，设风速u = 21km/h ，方向与三角形的一边平行并与飞机起飞方向相同，试求：飞机绕三角形一周需多少时间？ 9如图所示，合页构件由两菱形组成，边长分别为２L 和 L ，若顶点Ａ以匀加速度ａ水平向右运动，当 BC 垂直于 OC 时，A 点速度恰为 v ，求此时节点Ｂ和节点 C 的加速度各为多大?

高中物理竞赛辅导讲义-微积分初步

微积分初步一、微积分的基本概念 1、极限极限指无限趋近于一个固定的数值两个常见的极限公式 0sin lim 1x x x →= *1lim 11x x x →∞??+= ??? 2、导数当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限叫做导数。 0'lim x dy y y dx x ?→?==? 导数含义，简单来说就是y 随x 变化的变化率。导数的几何意义是该点切线的斜率。 3、原函数和导函数对原函数上每点都求出导数，作为新函数的函数值，这个新的函数就是导函数。 00()()'()lim lim x x y y x x y x y x x x ?→?→?+?-==?? 4、微分和积分由原函数求导函数：微分由导函数求原函数：积分微分和积分互为逆运算。例1、根据导函数的定义，推导下列函数的导函数（1）2y x = （2） (0)n y x n =≠ （3）sin y x = 二、微分 1、基本的求导公式（1）()'0 ()C C =为常数（2）()1' (0)n n x nx n -=≠ （3）()'x x e e = *（4）()'ln x x a a a = （5）()1ln 'x x = *（6）()1log 'ln a x x a =

（7）()sin 'cos x x = （8）()cos 'sin x x =- （9）()21tan 'cos x x = （10）()21cot 'sin x x = **（11）() arcsin 'x = **（12）()arccos 'x = **（13）()21arctan '1x x =+ **（14）()2 1arccot '1x x =-+ 2、函数四则运算的求导法则设u =u (x )，v =v (x ) （1）()'''u v u v ±=± （2）()'''uv u v uv =+ （3）2'''u u v uv v v -??= ??? 例2、求y=tan x 的导数 3、复合函数求导对于函数y =f (x )，可以用复合函数的观点看成y =f [g (x)]，即y=f (u )，u =g (x ) 'dy dy du y dx du dx == 即：'''u x y y u = 例3、求28(12)y x =+的导数例4、求ln tan y x =的导数三、积分 1、基本的不定积分公式下列各式中C 为积分常数（1） ()kdx kx C k =+?为常数（2）1 (1)1n n x x dx C n n +=+≠-+?

物理竞赛大纲

物理竞赛大纲力学 1. 运动学参考系坐标系直角坐标系 ※平面极坐标※自然坐标系矢量和标量质点运动的位移和路程速度加速度匀速及匀变速直线运动及其图像运动的合成与分解抛体运动圆周运动圆周运动中的切向加速度和法向加速度曲率半径角速度和※角加速度相对运动伽里略速度变换 2.动力学重力弹性力摩擦力惯性参考系牛顿第一、二、三运动定律胡克定律万有引力定律均匀球壳对壳内和壳外质点的引力公式（不要求导出） ※非惯性参考系※平动加速参考系中的惯性力 ※匀速转动参考系惯性离心力、视重 ☆科里奥利力 3.物体的平衡共点力作用下物体的平衡力矩刚体的平衡条件 ☆虚功原理 4.动量

冲量动量质点与质点组的动量定理动量守恒定律 ※质心※质心运动定理 ※质心参考系反冲运动 ※变质量体系的运动 5.机械能功和功率动能和动能定理※质心动能定理重力势能引力势能质点及均匀球壳壳内和壳外的引力势能公式（不要求导出）弹簧的弹性势能功能原理机械能守恒定律碰撞弹性碰撞与非弹性碰撞恢复系数 6.※角动量冲量矩角动量质点和质点组的角动量定理和转动定理角动量守恒定律 7.有心运动在万有引力和库仑力作用下物体的运动开普勒定律行星和人造天体的圆轨道和椭圆轨道运动 8.※刚体刚体的平动刚体的定轴转动刚体绕轴的转动惯量平行轴定理正交轴定理刚体定轴转动的角动量定理刚体的平面平行运动 9.流体力学静止流体中的压强

浮力 ☆连续性方程☆伯努利方程 10.振动简谐振动振幅频率和周期相位振动的图像参考圆简谐振动的速度（线性）恢复力由动力学方程确定简谐振动的频率简谐振动的能量同方向同频率简谐振动的合成阻尼振动受迫振动和共振（定性了解） 11.波动横波和纵波波长频率和波速的关系波的图像 ※平面简谐波的表示式波的干涉※驻波波的衍射（定性）声波声音的响度、音调和音品声音的共鸣乐音和噪声（前3项均不要求定量计算） ※多普勒效应热学 1. 分子动理论原子和分子大小的数量级分子的热运动和碰撞布朗运动※压强的统计解释 ☆麦克斯韦速率分布的定量计算；※分子热运动自由度※能均分定理；温度的微观意义分子热运动的动能 ※气体分子的平均平动动能分子力分子间的势能

弧线运动和波浪型运动规律、S型曲线运动规律_二维动画设计

第二讲：运动规律（一）：曲线运动规律一、曲线运动的运动轨迹质地坚硬的物体受外力的影响较小，质地柔软的物体受外力影响较大。旗杆和旗帜承受同样大的风力，但却做出了不同的反应（如图1）。这就是不同材质、不同比重的物体对外界作用力的不同反应。旗帜的飘扬以外部形状的波浪状交替变换过程来显现。这种波浪曲线运动的形成是因为力的作用于柔软物体时，首先作用于一个受力点，然后再从该点慢慢扩散到其他部分。物体在外部形状上的变化，也是先发生在受力点上，然后再随着力的扩散，体现在其他部分上（如图2）。图1 图2 由于力量是从一个点扩散开来的，所以物体表面的每一个点在受力时间上就有了先后差别。力量扩散是以依次逐点的方式传递的，受力的物体也因此依次产生了形状或位置上的变化。这种有秩序的运动过程就是柔软物体基本的运动特征，即它们的运动轨迹都是曲线，且一般呈s形或波浪形。二、波形曲线运动的封闭形式： 1、被画框限制住的局部波形曲线运动为它的封闭形式。在这个形式中，运动物体的波峰顺着力的放向移动时，会产生入画和出画的视觉效果。动画师据此发明了“循环画技法”如图三所示：（图三） 2、封闭形式中的循环动画技法：（1）绘出原画。例如想让模式图中的波形动起来，使它的波峰源源不断的按“→”方向入画、出画，所以原画绘出了原画①和原画⑤，如图四所示：

（图四）（2）按规律把原画①放在原画⑤之下，将它们叠起来，如图五所示：（图五）（3）做记号在波峰①和波峰⑤之间的相对应的位置上，用铅笔在两个波峰1/2处点个点作为记号，为加小原画找到准确位置，如图六所示：（图六）（4）动画人员在①和⑤中间加小原画△3，如图七所示：（5）动画人员再在⑤和①中间加小原画△7，如图八所示：（图七）（图八）