全等证明--辅助线(三)

全等证明——辅助线（三） ——中点问题

中线类辅助线作法：

1、遇到三角形的中线，可以倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，通过全等将分散的条件集中起来，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．

2、遇到题中有中点，可以构造三角形的中位线，利用中位线的性质转移线段关系．

3、遇到三角形的中线或与中点有关的线段，如果有直角三角形，可以取直角三角形斜边的中点，试图构造直角三角形斜边的中线，利用斜边中线的性质转移线段关系．

考点一 中线倍长

1、如图，在ABC ?中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点

F ，交EF 于点

G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ?的角平分线．

2、如图所示，在ABC ?中，D 是BC 的中点，DM 垂直于DN ，如果2222BM CN DM DN +=+，求证()2221

4

AD AB AC =

+．

F

G

E

D

C

B

A

A

3、如图所示，在ABC ?中，AB AC =，延长AB 到D ，使BD AB =，E 为AB 的中点，连接CE 、CD ，求证2CD EC =．

4、如图，菱形ABCD 中，∠ABC=120°，E 、F 分别为BC 、CD 边上上的点，满足∠DAE=∠BAF ， （1）求证：△CEF 为等边三角形；

（2）G 为AF 中点，已知GD 的长.

5、如图，等腰直角ABC ?与等腰直角BDE ?，P 为CE 中点，连接PA 、PD .

探究PA

、PD 的关系.

6、在菱形ABCD 和正三角形BGF 中，∠ABC=60°，P 是DF 的中点，连接PG 、PC ． （1）如图1，当点G 在BC 边上时，若AB=10，BF=4，求PG 的长；

（2）如图2，当点F 在AB 的延长线上时，线段PC 、PG 有怎样的数量关系，写出你的猜想；并给予证明.

（3）如图3，当点F 在CB 的延长线上时，(2)问中关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明.

7、已知：△ACB 与△DCE 为两个有公共顶点C 的等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC ，DC=EC ．把△DCE 绕点C 旋转，在整个旋转过程中，设BD 的中点为N ，连接CN ．

（1）如图①，当点D 在BA 的延长线上时，连接AE ，求证：AE=2CN ；

（2）如图②，当DE 经过点A 时，过点C 作CH ⊥BD ，垂足为H ，设AC 、BD 相交于F ，若NH=4，BH=16，求CF 的长．

A

B C D G

F

P

A

A

B B

C C

D D G

G

F

F

P

P 图1

图2

图3

8、如图，∠BAC ＝60°，∠CDE ＝120°，AB ＝AC ，DC ＝DE ，连接BE ，P 为BE 的中点 (1) 如图1，若A 、C 、D 三点共线，求∠P AC 的度数 (2) 如图2，若A 、C 、D 三点不共线，求证：AP ⊥DP

(3) 如图3，若点C 线段BE 上，AB ＝1，CD ＝2，请直接写出PD 的长度

考点二中位线

1、在ABC ?中，90ACB ∠=?，1

2

AC BC =，以BC 为底作等腰直角BCD ?，E 是CD 的中点，求证：AE EB ⊥且AE BE =．

E

D

C

B

A F A

B

C

E

D

2、已知，如图四边形ABCD 中，AD BC =，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，AD 、EF 、

BC 的延长线分别交于M 、N 两点．求证：AME BNE ∠=∠．

3、如图1，正方形ABCD 中，AC 是对角线，等腰CMN Rt ?中，

?=∠90CMN ，MN CM =，点M 在CD 边上；连接AN ，点E 是AN 的中点，连接BE ． （1）若2=CM ，6=AB ，求AE 的值； （2）求证：CN AC BE +=2；

（3）当等腰CMN Rt ?的点M 落在正方形ABCD 的BC 边上，如图2，连接AN ，点E 是AN 的中点，连接BE ，延长NM 交AC 于点F ．请探究线段BE 、AC 、CN 的数量关系，并证明你的结论．

A C

D

M F

E N B A H

C

D M F

E N

B

图 1

图2

4、在菱形ABCD 中，A ∠=60°，以D 为顶点作等边三角形DEF ，连接EC ，点N P 、分别

为EC 、BC 的中点，连接NP .

（1）如图1，若点E 在DP 上，EF 与CD 交于点M ，连接MN ，3=CE ,求MN 的长； （2）如图2，若M 为EF 中点，求证：MN PN =；

（3）如图3，若四边形ABCD 为平行四边形,且A DBC ∠=∠≠60°,以D 为顶点作三角形

DEF ，满足DE DF =且EDF ABD ∠=∠,M N P 、、仍分别为EF 、EC 、BC

的中点，请探究ABD ∠与MNP ∠的和是否为一个定值，并证明你的结论.

考点三 直角三角形斜边上的中线

1、如图1，在ABC △中，点P 为BC 边中点，直线a 绕顶点A 旋转，若点B P 、在直线a 的异侧，BM ⊥直线a 于点M ，CN ⊥直线a 于点N ，连接.PM PN 、

（1）延长MP 交CN 于点E （如图2），①求证：BPM CPE △≌△；②求证：PM PN =；

（2）若直线a 绕点A 旋转到图3的位置时，点B P 、在直线a 的同侧，其它条件不变.此时

PM PN =还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）若直线a 绕点A 旋转到与BC 边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形

MBCN 的形状及此时PM PN =还成立吗？不必说明理由.

2、如图，已知正方形ABCD ，点E 是BC 上一点，点F 是CD 延长线上一点，连接EF ，若BE=DF ，点P 是EF 的中点． （1）求证：DP 平分∠ADC ；

（2）若∠CEF =75°，CF

=1+△AEF 的面积．

3、如图1，在△ACB 和△AED 中，AC=BC ，AE=DE ，∠ACB=∠AED=90°，点E 在AB 上，F 是线段BD 的中点，连接CE 、FE ．

（2

）求证：EF CE 2=；

（3）将图1中的△AED 绕点A 顺时针旋转，使△AED 的一边AE

恰好与△AC B 的边AC 在同一条直线上（如图2），连接BD ，取BD 的中点F ，问（2）中的结论是否仍然成立，并说明理由；

A

D

4、如图所示，P 是ABC ?内的一点，PAC PBC ∠=∠，过P 作PM AC ⊥于M ，PL BC ⊥于

L ，D 为AB 的中点，求证D M D L =．

5、等腰Rt △ABC 中，∠BAC=90°，CD ⊥AC ，点M 是AC 上一点，且AM=CD ，AH ⊥BC 于点H ，当点E 是AD 的中点时，连接BE 交AH 、AC 于点N 、M ， 求证：AD=

H

D

H

D

6、如图，在△ABC ，AC=BC ，点D 是AB 边上一点，连接DC ，满足DA=DC ， （1）如图1，点G 在AB 边上且BG=BC 连接CG ，若∠ACB=80°求∠GCD 的度数； （2）如图2，点E 是BC 边上一点且DE=DB ，点F 和点H 分别是AB 和EC 的中点，连接CD 交FH 于点G ，求证：CD=FH+DF

图2

图1

G

D

B

C

F

E

C

A

A

B

D

G

H

图2

课后作业：

1、AD 是ABC ?的中线，F 是AD 的中点，BF 的延长线交AC 于E ．求证：1

3

AE AC =．

2、如图，点E 是矩形ABCD 的边BC 延长线上一点，连接AE ，交CD 于点,F G 是AF 的中点，再连接DG 、DE ，且DE DG =。 （1）求证2DEA AEB ∠=∠；

（2）若2BC AB =，求AED ∠的度数。

3、如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=?，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．

F

A D

E C

B

F

A D

E G C

B

E

D

F

C

B

A

N

M

E

D

F C

B

A

4、在Rt △ABC 中，90ACB ∠=?，1

tan 2

BAC ∠=．点D 在边AC 上（不与A ，C 重合），连结BD ，F 为BD 中点．

（1）若过点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CF 、EF 、CE ，如图1． 设CF kEF =，则k =； （2）若将图1中的△ADE 绕点A 旋转，使得D 、E 、B 三点共线，点F 仍为BD 中点，如图2所示．求证：2BE DE CF -=；

（3）若6BC =，点D 在边AC 的三等分点处，将线段AD 绕点A 旋转，点F 始终为BD 中点，求线段CF 长度的最大值．

【解析】（1）1k =；

（2）如图2，过点C 作CE 的垂线交BD 于点G ，设BD 与AC 的交点为Q . 由题意，1

tan 2

BAC ∠=

，∴ 12BC DE AC AE ==.

∵ D 、E 、B 三点共线，∴ AE ⊥DB .

∵BQC AQD ∠=∠，90ACB ∠=?，∴QBC EAQ ∠=∠．

∵90ECA ACG ∠+∠=?，90BCG ACG ∠+∠=?，∴ECA BCG ∠=∠． ∴ BCG ACE △∽△，∴

12

BC GB AC AE ==，∴GB DE =. ∵ F 是BD 中点，∴ F 是EG 中点. 在Rt ECG △中，1

2

CF EG =

，∴ 2BE DE EG CF -==． （3）情况1：如图，当1

3

AD AC =时，取AB 的中点M ，连结MF 和CM ，

∵90ACB ∠=?， 1

tan 2

BAC ∠=，且 6BC =, ∴12AC =

，AB =B C

A

D

E F

B D

E

A F

C

B

A

C

1

图2

图备图

∵M 为AB

中点，∴CM =1

3

AD AC =，∴4AD =.

∵M 为AB 中点，F 为BD 中点，∴1

22

FM AD =

=． ∴当且仅当M 、F 、C 三点共线且M 在线段CF 上时CF 最大，此

时2CF CM FM =+=+情况2：如图，当2

3

AD AC =

时，取AB 的中点M ，连结MF 和CM ， 类似于情况1，可知CF

的最大值为4+ 综合情况1与情况2，可知当点D 在靠近点C 的 三等分点时，线段CF

的长度取得最大值为4+.

5、如图，在□ABCD 中,点M 为边AD 的中点，过点C 作AB 的垂线交AB 于点E ，连接ME.

（1）若AM=2AE=4，∠BCE=30°,求□ABCD 的面积；

（2）若BC=2AB ，求证：∠EMD=3∠MEA.

2

图B

D E

A

F

C

G

Q

6、如图1，在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，若点E 在AB 的延长线上，EF ∥AD ，EF=BE ，点P 是DE 的中点，连接FP 并延长交AD 于点G ．

（1）过D 作DH ⊥AB,垂足为H ，若

DH=BE=1

4

AB,求DG 的长； （2）连接CP ，求证：CP ⊥FP ；

（3）如图2，在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，若点E 在CB 的延长线上运动，点F 在

AB 的延长线上运动，且BE=BF ，连接DE,点P 为DE 的中点，连接FP 、CP ，那么第（2）问的结论成立吗？若成立，求出PF

CP

的值；若不成立，请说明理由．

7、四边形ABCD 是正方形，BEF ?是等腰直角三角形，90BEF ∠=?，BE EF =，连接DF ，G 为DF 的中点，连接EG ，CG ，EC 。

（1）如图24-1，若点E 在CB 边的延长线上，直接写出EG 与GC 的位置关系及

EC

GC

的值； （2）将图24-1中的BEF ?绕点B 顺时针旋转至图24-2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

（3）将图24-1中的BEF ?绕点B 顺时针旋转α（090α?<

，AB =当E ，F ，D 三点共线时，求DF 的长。

图

图

备用

图1

8、中点、平行线、等腰直角三角形、等边三角形都是最常见的几何图形！

（1）如图1，若D为等腰直角三角形ABC斜边BC的中点，点E、F分别在AB、AC边上，

且EDF90

∠= ，当BC=，FC=2时，求EF的长度；

（2）如图2，若D为等边三角形ABC边BC的中点，点E、F分别在AB、AC边上，且∠= ；M为EF的中点，连接CM；当DF∥AB时，证明：3ED=2MC；

EDF90

（3）如图3，若D为等边三角形ABC边BC的中点，点E、F分别在AB、AC边上，且EDF90

∠= ，当BE=6，CF=0.8时，直接写出EF的长度。

图1

图2

图3

初中几何辅助线技巧秘籍

初中几何辅助线技巧大全 一初中几何常见辅助线口诀 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。 线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为△和□。 平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。 上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。 圆形 半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。 注意点 辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。

基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。 二 由角平分线想到的辅助线 口诀： 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 （一）、截取构全等 几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地 去猜想，按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。 如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 图1-1 O A B D E F C A D E

几种证明全等三角形添加辅助线方法

全等三角形复习课 适用学科数学适用年级初中二年级 适用区域通用课时时长（分钟）120 知识点全等三角形的性质和判定方法 熟练掌握全等三角形的性质和判定方法，并学会用应用 教学目标 学会做辅助线证明三角形全等，常用的几种作辅助线的方法 教学重点 通过学习全等三角形，提高学生观察能力和分析能力 教学难点 教学过程 构造全等三角形几种方法 在几何解题中，常常需要添加辅助线构造全等三角形，以沟通题设与结论之间的联系。现分类加以说明。 一、延长中线构造全等三角形 例1.如图1，AD是厶ABC的中线，求证：AB+ AC>2AD。 图1 图2 证明：延长AD至E,使AD= DE,连接CE如图2。??? AD是厶ABC的中线，二BD= CD。 又???/ 1 = Z 2，AD= DE, ???△ ABD^A ECD( SAS。AB= CE ???在△ ACE中，CE+ AC>AE, ??? AB+ AC> 2AD。 、沿角平分线翻折构造全等三角形

例 2.如图 3,在厶 ABC 中，/ 1 = / 2,/ ABC = 2/C 。求证：AB + BD = AC 。 A D 图3 ■ 3 ---- -- C 图4 证明：将厶ABD 沿AD 翻折，点B 落在AC 上的E 点处，即：在AC 上截取 AE = AB,连接EDb 如图4。 ???/ 1 = / 2, AD =AD , AB = AE, ???△ ABD^A AED ( SAS 。 ??? BD = ED,/ ABC =/ AED = 2/C 。 而/AED =/ C +/ EDC ???/ C =/ EDC 所以 EC = ED = BD 0 ??? AC = AE + EC,二 AB + BD = AG 三、作平行线构造全等三角形 例3.如图5,A ABC 中，AB = AG E 是AB 上异于A 、B 的任意一点，延长 AC 至U D , 使 CD = BE,连接 DE 交 BC 于 F 。求证：EF = FD 证明：过E 作EM // AC 交BC 于M ，如图6 则/ EMB =/ ACB / MEF =/ CDR ??? AB = AC,A / B =/ ACB ???/ B =/ EMB 。故 EM = BE ??? BE = CD,二 EM = CB 又???/ EFM=/ DFC / MEF =/ CDF

专题：全等三角形常见辅助线做法及典型例题

《全等三角形》辅助线做法总结 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 一、截长补短法（和，差，倍，分） 截长法：在长线段上截取与两条线段中的一条相等的一段，证明剩余的线段与另一段相等（截取----全等----等量代换） 补短法：延长其中一短线段使之与长线段相等，再证明延长段与另一短线段相等（延长----全等----等量代换） 例如：1，已知，如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB=AC+CD。 2，已知：如图，AC∥BD，AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E．求证：（1）AE⊥BE；（2）AB=AC+BD． 二、图中含有已知线段的两个图形显然不全等（或图形不完整）时，添加公共边（或一其中 一个图形为基础，添加线段）构建图形。（公共边，公共角，对顶角，延长，平行）例如：已知：如图，AC、BD相交于O点，且AB＝DC，AC＝BD，求证：∠A＝∠D。 三、延长已知边构造三角形 例如：如图6：已知AC＝BD，AD⊥AC于A ，BC⊥BD于B，求证：AD＝BC D C B A 1 10 图 O A B C D E O

四、遇到角平分线，可自角平分线上的某个点向角的两边作垂线（“对折”全等） 例如：已知，如图，AC 平分∠BAD ，CD=CB ，AB>AD 。求证：∠B+∠ADC=180。 五、遇到中线，延长中线，使延长段与原中线等长（“旋转”全等） 例如：1如图，AD 为 △ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD 。（三角形一边上的中线小 于其他两边之和的一半） 2，已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 。 3，如图，已知：AD 是△ABC 的中线，且CD=AB ，AE 是△ABD 的中线，求证：AC=2AE. E C B D A 六、遇到垂直平分线，常作垂直平分线上一点到线段两端的连线（可逆 ：遇到两组线段相等， 可试着连接垂直平分线上的点） 例如：在△ABC 中，∠ACB=90，AC=BC,D 为△ABC 外一点，且AD=BD,DE ⊥AC 交AC 的延长 线于E,求证：DE=AE+BC 。 七、遇到等腰三角形，可作底边上的高，或延长加倍法（“三线合一”“对折”） A D B C C A E B D

2017中考全等三角形专题(8种辅助线的作法)

全等三角形问题中常见得辅助线得作法【三角形辅助线做法】 图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折瞧,对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试瞧。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半,延长缩短可试验。 三角形中两中点,连接则成中位线。三角形中有中线,延长中线等中线。 1、等腰三角形“三线合一”法:遇到等腰三角形,可作底边上得高,利用“三线合一”得性质解题 2、倍长中线:倍长中线，使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形 3、角平分线在三种添辅助线 4、垂直平分线联结线段两端 ５、用“截长法”或“补短法”: 遇到有二条线段长之与等于第三条线段得长, 6、图形补全法:有一个角为6０度或１２0度得把该角添线后构成等边三角形 7、角度数为30、6０度得作垂线法：遇到三角形中得一个角为３0度或6０度,可以从角一边上一点向角得另一边作垂线,目得就是构成３0-6０-9０得特殊直角三角形,然后计算边得长度与角得度数,这样可以得到在数值上相等得二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间得相等条件。 8、计算数值法:遇到等腰直角三角形,正方形时,或3０-60-９0得特殊直角三角形,或40－6０-80得特殊直角三角形,常计算边得长度与角得度数，这样可以得到在数值上相等得二条边或二个角,从而为证明全等三角形创造边、角之间得相等条件。 常见辅助线得作法有以下几种:最主要得就是构造全等三角形,构造二条边之间得相等,二个角之间得相等。 1)遇到等腰三角形，可作底边上得高,利用“三线合一”得性质解题,思维模式就是全等变 换中得“对折”法构造全等三角形. 2)遇到三角形得中线,倍长中线，使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用得思 维模式就是全等变换中得“旋转”法构造全等三角形. 3)遇到角平分线在三种添辅助线得方法，（１)可以自角平分线上得某一点向角得两边作垂

全等三角形辅助线秘籍-中线倍长发(优质讲义)可编辑打印

全等三角形的辅助线秘籍（一）—中线倍长学生/课程年级学科 授课教师日期时段 核心内容中线倍长的辅助线添加课型 教学目标1.让学生理解中线倍长的思想方法，明确什么时候需要添加此种辅助线. 2.让学生掌握中线倍长的特点，构造SAS型全等. 重、难点中线倍长辅助线的添加 知识导图 知识梳理 1.中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线． 2.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线（或类中线）延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 3.倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，用SAS证全等。倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。口诀：遇中线，先倍长；证全等，找关系。 4.利用中线倍长我们通常可以解决：线段的不等关系（结合三角形的三边关系），线段相等，线段倍分。 5.遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．（8字型） △ABC中，AD是BC边中线

（1）方式1：延长AD到E，使DE=AD，连接BE （2）延长MD到N，使DN=MD，连接CD 导学一：利用中线倍长证明线段的等量关系 例 1. 已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF。 我爱展示 1. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，DE⊥CE．求证：AD+BC=DC． 导学二：利用中线倍长证明线段的等量关系 例 1. 如图，在△ABC中，点0为BC的中点，点M为AB上一点，ON⊥OM交AC于N．求证：BM+CN＞MN．

全等三角形中常见辅助线的添加方法

全等三角形中常见辅助线的添加方法举例 一． 有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。 例：如图1：已知AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE ＋CF ＞EF 。 二、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍 此线段，构造全等三角形。 例：：如图2：AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE ＋CF ＞EF 三、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造 全等三角形。 例：如图3：AD 为 △ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD 。 图3 练习：已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图4， 求证EF ＝2AD 。 A B C D E F N 1 图1234 2 图A B C D E F M 123 4A B C D E A B C D E F 4 图

四、截长补短法作辅助线。 例如：已知如图5：在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任一点。 求证：AB －AC ＞PB －PC 。 五、延长已知边构造三角形： 例如：如图6：已知AC ＝BD ，AD ⊥AC 于A ，BC ⊥BD 于B ， 求证：AD ＝BC 六、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。 例如：如图8：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∠1＝∠2，CE ⊥BD 的延长于E 。求证：BD ＝2CE 7 七、连接已知点，构造全等三角形。 例如：已知：如图9；AC 、BD 相交于O 点，且AB ＝DC ，AC ＝BD ，求证：∠A ＝∠D 。 八、取线段中点构造全等三有形。 例如：如图10：AB ＝DC ，∠A ＝∠D 求证：∠ABC ＝∠DCB 。 A B C D N M P 5图12A B C D E 6 图O D B A 110 图O 10图D C B A M N

全等辅助线(倍长中线,截长补短,旋转,角分线)

D C B A E D F C B A 全等三角形常用辅助线 一、倍长中线（线段）造全等 1：（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________. 2：如图△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. 3：如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE. E D C B A

E D A 中考应用 （09崇文二模）以ABC ?的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ?和等腰Rt ACE ?，90,BAD CAE ∠=∠=?连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系． （1）如图① 当ABC ?为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ， 线段AM 与DE 的数量关系是 ； （2）将图①中的等腰Rt ABD ?绕点A 沿逆时针方向旋转? θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由． 二、截长补短 1.如图，ABC ?中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC 2、如图，AC ∥BD ，EA,EB 分别平分∠CAB,∠DBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AC+BD C D B A

D C B A P 2 1 D C B A P Q C B A 3：如图，已知在ABC 内，0 60BAC ∠=，0 40C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 4：如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠，求证：0 180=∠+∠C A 5:如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证;AB-AC ＞PB-PC

全等三角形中常用辅助线(经典)

三角形中的常用辅助线 课程解读 一、学习目标： 归纳、掌握三角形中的常见辅助线 二、重点、难点： 1、全等三角形的常见辅助线的添加方法。 2、掌握全等三角形的辅助线的添加方法并提高解决实际问题的能力。 三、考点分析： 全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他知识的基础。判断三角形全等的公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL，如果所给条件充足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。一些较难的证明题要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。 典型例题 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 全等三角形辅助线 找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等； （3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种： （1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 例1：如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。

全等三角形之辅助线(习题及答案)

全等三角形之辅助线（习题） 例题示范 例1：已知：如图，在△ABC 中，∠C =90°，D 是AB 边上一点，AD =AC ，过点D 作DE ⊥AB ，交BC 于点E ． 求证：CE =DE ． 【思路分析】1 读题标注：2梳理思路： 要证CE =DE ，考虑把这两条线段放在两个三角形中证全等，利用全等三角形对应边相等来证明． 观察图形，发现不存在全等的三角形． 结合条件，AC =AD ，∠C =∠ADE =90°，考虑连接AE ，证明△ACE ≌△ADE ． 【过程书写】 证明：如图，连接AE ∵DE ⊥AB ∴∠ADE =90° ∵∠C =90° ∴∠C =∠ADE 在Rt △ACE 和Rt △ADE 中 AE AE AC AD =??=?（公共边）（已知）∴Rt △ACE ≌Rt △ADE （HL ） ∴CE =DE （全等三角形对应边相等） 过程规划：1．描述辅助线：连接AE 2．准备条件：∠C =∠ADE =90°3．证明△ACE ≌△ADE 4．由全等性质得，CE = DE

巩固练习1.已知：如图，B ，C ，F ，E 在同一条直线上，AB ，DE 相交于点G ，且BC =EF ，GB =GE ，∠A =∠D ．求证：DC =AF ． 2.已知：如图，∠C =∠F ，AB =DE ，DC = AF ，BC =EF ．求证：AB ∥DE ．过程规划： 过程规划：

3.已知：如图，AB∥CD，AD∥BC，E，F分别是AD，BC的 中点．求证：BE=DF． 4.已知：如图，在正方形ABCD中，AD=AB，∠DAB=∠B=90°， 点E，F分别在AB，BC上，且AE=BF，AF交DE于点G．求证：DE⊥AF．

三角形全等添加辅助线的5种常用方法

三角形全等添加辅助线的5种常用方法 三角形全等的证明及相关问题，是初中几何部分的基础，也是重点和难点，不管是在中考还是平时的考试中，都是高频出现。 全等三角形的基础知识点就那么几条，很容易掌握，但是一般考试中的题目，不可能直接给出几组条件让我们直接写出证明过程，很多时候都要经过分析思考，添加辅助线，才能得到全等三角形。 下面就简单介绍一下构造全等三角形的五种常用方法。 一、等腰三角形三线合一法 当我们遇到等腰三角形（等边三角形）相关题目时，用三线合一性质，很容易找出思路。它的原理就是利用三角形全等变换中的对折重叠。 我们来看一个例题： 二、倍长中线法 遇到一个中点的时候，通常会延长经过该中点的线段。倍长中线指延长中线至一点，使所延长部分与该中线相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，得到两个三角形全等。如图所示，点D为△ABC边BC的中点．延长AD至点E，使得DE＝AD，并连接BE，则△ADC≌△EDB（SAS）。

我们来看一个例题： 三、遇角平分线作双垂线法 在题中遇见角平分线，做双垂直，必出全等三角形。可以从角平分线上的点向两边作垂线，也可以过角平分线上的点作角平分线的垂线与角的两边相交。在很多综合几何题当中，关于角平分线的辅助线添加方法最常用的就是这个。看看在具体题目中怎么操作吧！

四、作平行线法 在几何题的证明中，作平行线的方法也非常实用，一般来讲，在等腰、等边这类特殊的三解形中，作平行线绝对是首要考虑。 五、截长补短法 题目中出现线段之间的和、差、倍、分时，考虑截长补短法；截长补短的目的是把几条线段之间的数量关系转换为两条线段间的等量关系。

全等三角形中辅助线的添加解析

全等三角形中辅助线的添加 一.教学内容：全等三角形的常见辅助线的添加方法、基本图形的性质的掌握及熟练应用。 二．知识要点： 1、添加辅助线的方法和语言表述 （1）作线段：连接……； （2）作平行线：过点……作……∥……； （3）作垂线（作高）：过点……作……⊥……，垂足为……； （4）作中线：取……中点……，连接……； （5）延长并截取线段：延长……使……等于……； （6）截取等长线段：在……上截取……，使……等于……； （7）作角平分线：作……平分……；作角……等于已知角……； （8）作一个角等于已知角：作角……等于……。 2、全等三角形中的基本图形的构造与运用 常用的辅助线的添加方法： （1）倍长中线（或类中线）法：若遇到三角形的中线或类中线（与中点有关的线段），通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形。 （2）截长补短法：若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。①截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；②补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。 （3）一线三等角问题（“K”字图、弦图、三垂图）：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边。 （4）角平分线、中垂线法：以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。 （5）角含半角、等腰三角形的（绕顶点、绕斜边中点）旋转重合法：用旋转构造三角形全等。 （6）构造特殊三角形：主要是30°、60°、90°、等腰直角三角形(用平移、对称和弦图也可以构造)和等边三角形的特殊三角形来构造全等三角形。 三、基本模型： （1） △ABC中AD是BC边中线 方式1：延长AD到E，使DE=AD，连接BE

(完整版)三角形全等添加辅助线口诀

三角形全等添加辅助线口诀人说几何很困难点就在辅助线，辅助线，如何添加？把握定理和概念， 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验， 图中有角平分 线， 可向两边引垂线， 也可将图对折 看， 对称以后关系现， 角平分线平行 线， 等腰三角形来添， 角平分线加垂 线， 三线合一试试看， 线段垂直平分 线， 常向两边把线连， 要证线段倍与 半， 延长缩短可试验， 三角形中两中 点， 连接则成中位线， 三角形中有中 线， 延长中线等中线。 几何，不谈战术谈战略 学而思中考研究中心施佳辰 作为和代数并列为初中数学两大知识点的几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。话虽如此，变形金刚也不是无敌的，最终仍旧是人类的智慧更胜一筹。实际上，每一道几何题目背后都有着一定的法则和规律，每一类题都有着相似的解题思想，这种思想的集中体现，便是模型（变形金刚的原力所在）对于几何，我们不仅仅要在战术上坚定执行，在战略层面上也要对几何在初中三年的整体学习有一个明确的了解。 得模型者得几何，而模型思想的建立又并非一朝一夕，是需要同学们在大量的实战做题和不断总结方法中培养出来的。对于模型的理解和认识，分为很多层面，最浅的是基本的形似，看到图形相仿或相似的题目，能够有意识的联想以前学过的题型并加以运用，套用，这是最简单的模型思想。高一些的是神似，看到一些关键点，关键线段或是题目所给

条件的相似便能够联想到所学知识点，通过推理和演绎逐步取得正确的解法，记住的是一些具体模型，这，是第二种层次。最高的境界是，心中只有很少几种基本模型，这些模型就像种子，看到一道题目就会发芽，开花结果，随着对于题目的深入理解，不断地寻找适合的花朵，每一朵花上面都有着一种具体的模型，而每种模型之间，都会有树枝相连，相互间并不是孤立的，而是借由其他条件贯穿连接的。达到这样的理解才能算是包罗万象，驾轻就熟。 我们对于模型的把控能不应当仅限于会用于具有明显模型特征的题目，对于一些特征并不明显的题目， 我们要有能力添加辅助线去挖掘图形当中的隐藏属性。这就要求同学们对于每一种基本图形的理解要十分深刻，不仅仅要认识模型，还要会补全模型，甚至构造模型来解决问题，这对于同学们动手添加辅助线的能力要求就很高了。 学好几何无非做好以下几点想学好几何，一定要注意以下几点： 1、多做题，在起步初期，多见一些题，对一些模型有初步认识。 2、多总结，尽量在老师的帮助下能够总结出一些模型的主要辅助线做法和解题方法。 3、多应用，多用模型解决问题，不要没有方法的撞大运，要根据图形特点思考解法。 4、多完善，不断做题总会有新的知识添加到已有的模型体系中来，不断壮大自己的知识树。 5、多思考，对于任何一道题都有可能存在不止一种方法，每种方法涉及到的模型不尽相同，要能够通过一 题多解发现模型之间的相互关系，增强自己对模型的理解深度。 从长远的角度来说，中考几何压轴的考察趋势越来越倾向于竞赛化的趋势，而考察重点则是以三大变化为主题的综合题目。如今三大变换的思想也在不断的渗透在初二几何的题目中来，平移、旋转、轴对称这些技巧也会慢慢被我们所熟识。然而仅仅熟悉并不够，我们还要结合模型把他们灵活掌握并能够精确与用到实际的题目中去，这样才能使我们做几何题目的能力有所提高。 初二这一年是模型大爆炸得时期，上学期的全等三角形的模型，下学期的四边形模型以及很多学校在初二 暑假就会开设的圆的知识，很多都是需要同学们运用模型思想解决的问题。这些知识点不仅多，而且十分重要，可以说初中几何部分的重点全部集中在初二这一年，故而打好基础，勤加练习，多做总结是我们不得不去完成的任务。 同学们，希望大家能够确实从初二开始抓紧模型和方法的积累，不仅仅是为即将到来的其期中、期末 做好准备，更要着眼于未来的，毕竟我们的目标是中考，拥有充裕的知识储备和良好的解题习惯才是成功的关键。现在，我们要保证走的每一步都不会留下遗憾，保证每一次学习都会有所收获！ 几个字驾驭初二几何题 学而思施佳辰

全等三角形常用辅助线做法

五种辅助线助你证全等 姚全刚 在证明三角形全等时有时需添加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言往往是难点?下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们学习时参考. 一、截长补短 一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用 截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等. 例1.如图1，在△ ABC 中，/ ABC=60 ° , AD、CE 分别平分/ BAC、/ ACB .求证: AC=AE+CD . 分析：要证AC=AE+CD , AE、CD不在同一直线上.故在AC上截取AF=AE，则只要证明 CF=CD . 证明：在AC上截取AF=AE，连接OF. ?/ AD、CE 分别平分/ BAC、/ ACB，/ ABC=60 ° ???/ 1 + Z 2=60 ° ,A Z 4=Z 6= / 1 + Z 2=60 ° . 显然，△ AEO ◎△ AFO，?/ 5= / 4=60 ° ,?/ 7=180° — (/ 4+ / 5) =60 ° 在厶DOC 与厶FOC 中，/ 6= / 7=60°，/ 2= / 3, OC=OC ???△ DOC ◎△ FOC, CF=CD ? AC=AF+CF=AE+CD 截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等, 或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作 法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

例2:如图甲，AD// BC 点E在线段AB上，/ ADE=/CDE / DC=Z ECB 求证： CD=AD F BC 思路分析： 1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。 2）解题思路：结论是CDAC+BC,可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CE，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。 解答过程： 证明：在CD上截取CF=BC如图乙 6 = CS CE= CE ???△ FCE^A BCE(SAS， ???/ 2=Z 1。 又??? AD// BC ???/ ADG-Z BCD：180°， ???/ DC+Z CD=90°,

全等三角形辅助线专题

1、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AC＝AB＋BD，求证：∠B＝2∠C 证明：在AC上截取AE＝AB，连结DE ∵AD是∠BAC的角平分线 ∴∠BAD＝∠EAD 在△BAD与△EAD中，有： AB＝AE （已知） ∠BAD＝∠EAD （已证） AD＝AD （公共边） ∴△BAD≌△EAD （SAS） ∴∠B＝∠AED （全等三角形对应角相等） ∵∠AED＝∠EDC＋∠C （三角形的外角等于不相邻的内角和） ∴∠B＝∠EDC＋∠C （等量代换） ∵△BAD≌△EAD （已证） ∴BD＝ED （全等三角形对应边相等） ∵AC＝AB＋BD （已知） AB＝AE （已知） BD＝ED （已证） ∴ED＝CE （等量代换） ∴∠C＝∠EDC （等边对等角） ∵∠B＝∠EDC＋∠C （已证） ∴∠B＝2∠C 2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB＞AC，试判断AB－AC与BD－CD 的大小并说明理由。 证明：在AB上截取AE＝AC，连结DE ∵AD是∠CAB的角平分线 ∴∠CAD＝∠EAD 在△CAD与△EAD中，有： AC＝AE （已知） ∠CAD＝∠EAD （已证） AD＝AD （公共边） ∴△CAD≌△EAD （SAS） ∴CD＝ED （全等三角形对应边相等） ∵AC＝AE （已知） ∴AB－AC＝AB－AE＝BE （等量代换） ∵BD－CD＝BD－DE＜BE （三角形两边之差少于第三边） ∴BD－CD＝AB－AC 3、如图，O为∠BAC内一点，且AB＝AC，OB＝OC，反向延长OB 交AC于D，反向延长OC交AB于E，求证：AD＝AE 证明方法一：连结BC ∵AB＝AC，OB=OC ∴∠ABC＝∠ACB，∠OBC＝∠OCB （等边对等角） ∴∠ABC－∠OBC＝∠ACB－∠OBC

几种证明全等三角形添加辅助线的方法

教学难点通过学习全等三角形，提高学生观察能力和分析能力教学过程 构造全等三角形几种方法 在几何解题中，常常需要添加辅助线构造全等三角形，以沟通题设与结论之间的联系。现分类加以说明。 一、延长中线构造全等三角形 例1. 如图1，AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。 证明：延长AD至E，使AD＝DE，连接CE。如图2。 ∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD。 又∵∠1＝∠2，AD＝DE， . ∴△ABD≌△ECD（SAS）。AB＝CE。 ∵在△ACE中，CE＋AC＞AE， ∴AB＋AC＞2AD。 二、沿角平分线翻折构造全等三角形 例2. 如图3，在△ABC中，∠1＝∠2，∠ABC＝2∠C。求证：AB ＋BD＝AC。

证明：将△ABD沿AD翻折，点B落在AC上的E点处，即：在AC 上截取AE＝AB，连接ED。如图4。 ∵∠1＝∠2，AD＝AD，AB＝AE， ∴△ABD≌△AED（SAS）。 ∴BD＝ED，∠ABC＝∠AED＝2∠C。 而∠AED＝∠C＋∠EDC， ∴∠C＝∠EDC。所以EC＝ED＝BD。 ∵AC＝AE＋EC，∴AB＋BD＝AC。 三、作平行线构造全等三角形 例3. 如图5，△ABC中，AB＝AC。E是AB上异于A、B的任意一点，延长AC到D，使CD＝BE，连接DE交BC于F。求证：EF＝FD。 .

证明：过E作EM∥AC交BC于M，如图6。 则∠EMB＝∠ACB，∠MEF＝∠CDF。 ∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB。 ∴∠B＝∠EMB。故EM＝BE。 ∵BE＝CD，∴EM＝CD。 又∵∠EFM＝∠DFC，∠MEF＝∠CDF， ∴△EFM≌△DFC（AAS）。EF＝FD。 四、作垂线构造全等三角形 例4. 如图7，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC。M是AC边的中点。AD⊥BM交BC于D，交BM于E。求证：∠AMB＝∠DMC。

(完整版)几种证明全等三角形添加辅助线的方法

教学过程 构造全等三角形几种方法 在几何解题中，常常需要添加辅助线构造全等三角形，以沟通题设与结论之间的联系。现分类加以说明。 一、延长中线构造全等三角形 例1. 如图1，AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。 证明：延长AD至E，使AD＝DE，连接CE。如图2。 ∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD。 又∵∠1＝∠2，AD＝DE， ∴△ABD≌△ECD（SAS）。AB＝CE。 ∵在△ACE中，CE＋AC＞AE， ∴AB＋AC＞2AD。

二、沿角平分线翻折构造全等三角形 例2. 如图3，在△ABC中，∠1＝∠2，∠ABC＝2∠C。求证：AB＋BD＝AC。 证明：将△ABD沿AD翻折，点B落在AC上的E点处，即：在AC上截取AE＝AB，连接ED。如图4。 ∵∠1＝∠2，AD＝AD，AB＝AE， ∴△ABD≌△AED（SAS）。 ∴BD＝ED，∠ABC＝∠AED＝2∠C。 而∠AED＝∠C＋∠EDC， ∴∠C＝∠EDC。所以EC＝ED＝BD。 ∵AC＝AE＋EC，∴AB＋BD＝AC。 三、作平行线构造全等三角形 例3. 如图5，△ABC中，AB＝AC。E是AB上异于A、B的任意一点，延长AC到D，使CD＝BE，连接DE交BC于F。求证：EF＝FD。 证明：过E作EM∥AC交BC于M，如图6。 则∠EMB＝∠ACB，∠MEF＝∠CDF。 ∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB。 ∴∠B＝∠EMB。故EM＝BE。 ∵BE＝CD，∴EM＝CD。

又∵∠EFM＝∠DFC，∠MEF＝∠CDF， ∴△EFM≌△DFC（AAS）。EF＝FD。 四、作垂线构造全等三角形 例4. 如图7，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC。M是AC边的中点。AD ⊥BM交BC于D，交BM于E。求证：∠AMB＝∠DMC。 证明：作CF⊥AC交AD的延长线于F。如图8。 ∵∠BAC＝90°，AD⊥BM， ∴∠FAC＝∠ABM＝90°－∠BAE。 ∵AB＝AC，∠BAM＝∠ACF＝90°， ∴△ABM≌△CAF（ASA）。 ∴∠F＝∠AMB，AM＝CF。 ∵AM＝CM，∴CF＝CM。 ∵∠MCD＝∠FCD＝45°，CD＝CD， ∴△MCD≌△FCD（SAS）。所以∠F＝∠DMC。 ∴∠AMB＝∠F＝∠DMC。 五、沿高线翻折构造全等三角形 例5. 如图9，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAD＞∠CAD。求证：AB＞AC。

全等三角形辅助线技巧

注意全等三角形的构造方法 搞清了全等三角形的证题思路后， 还要注意一些较难的一些证明问题， 只要构造合适 的 全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了?下面举例说明几 种常见的构造方法，供同学们参考. 1 ?截长补短法 例1.如图（1）已知：正方形 ABCD 中, 求证：AB+BE=AC 由已知△ AEF ^A AEC, ???/ F=Z ACE=45）, ??? BF=BE ?- AB+BE=AB+BF=AF=AC 解法（二）（截长法或分割法）在AC 上截取AG=AB,由已知 △ ABE BA AGE, ? EG=BE, / AGE=Z ABE,： / ACE=45o, ? CG=EG, ? AB+BE=AG+CG=AC 2 .平行线法（或平移法） 若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对 Rt △,有时可作出斜边的中线. 例 2. △ ABC 中，/ BAC=60 , / C=40° AP 平分/ BAC 交 BC 于 P , BQ 平分/ ABC 交 AC 于 Q , 求证：AB+BP=BQ+AQ 证明：如图（1），过 O 作 OD// BC 交 AB 于 D , ?/ ADO=/ ABC =180 ° - 60°- 40 ° =80°，又???/ AQO=/ C+/ QBC=80°, ???/ ADO=/ AQO ，又I/ DAO=/ QAO , OA=AO, ? △ ADO BA AQO ,「. OD=OQ , AD=AQ ，又T OD / BP, ? / PBO=/ DOB ，又 T/ PBO=/ DBO, ?/ DBO=/ DOB , ? BD=OD,「. AB+BP=AD+DB+BP 解法（一） （补短法或补全法）延长AB 至F 使AF=AC F

全等辅助线秘籍一

全等辅助线秘籍一 1 全等三角形定义： 经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。 形状一样，大小也一样的两个三角形称为全等三角形。 边边边（SSS ） ②边角边（SAS ） ③角边角（ASA ） ④角角边（AAS ） ⑤斜边，直角边（HL ） 全等三角形的性质： 1．全等三角形的对应角相等、对应边相等。 2．全等三角形的对应边上的高，中线，角平分线对应相等。 3．全等三角形周长，面积相等。 注意： 1．使用判定定理时，是否为夹边，夹角要看清，没有边边角（SSA ）这个判定定理。 2．书写三角形、线段和角的名称的时候注意对应点应在对应的位置上。 常见辅助线写法： ⑴过点A 作BC 的平行线AF 交DE 于F ⑵过点A 作BC 的垂线，垂足为D ⑶延长AB 至C ，使BC ＝AC ⑷在AB 上截取AC ，使AC ＝DE ⑸作∠ABC 的平分线，交AC 于D ⑹取AB 中点C ，连接CD 交EF 于G 点 图3 图1 图2

例1 如图，AB＝CD＝1，∠AOC＝60°，证明：AC＋BD≥1。 O C D A B 例2 (北京中考）如图，已知△ABC ⑴请你在BC边上分别取两点D、E（BC的中点除外），连接AD、AE，写出使此图中只存在两对面积相 等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形； ⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明AB＋AC＞AD＋AE。

例3 已知线段OA、OB、OC、OD、OE、OF。 ∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝60°。且AD＝BE＝CF＝2。 求证：S△OAB＋S△OCD＋S△OEF3。 例4 如图1，在四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，如果∠1＝∠2，那么∠3＝∠4。仔细阅读以上材料，完成下面的问题。 如图2，设P为□ABCD内一点，∠P AB＝∠PCB，求证：∠PBA＝∠PDA。 图1 图2

全等三角形几何证明-常用辅助线

几何证明-常用辅助线 (一)中线倍长法: 例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。 已知：如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，求证：AD ﹤2 1 (AB+AC) 分析：要证明AD ﹤ 2 1 (AB+AC)，就是证明AB+AC>2AD ，也就是证明两条线段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。待证结论AB+AC>2AD 中，出现了2AD ，即中线AD 应该加倍。 证明：延长AD 至E ，使DE=AD ，连CE ，则AE=2AD 。 在△ADB 和△EDC 中， ∴△ADB ≌△EDC(SAS) ∴AB=CE 又 在△ACE 中， AC+CE ＞AE ∴AC+AB ＞2AD ，即AD ﹤2 1 (AB+AC) 小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边AB 、AC 和两个角∠BAD 和∠CAD 集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。 课题练习:ABC ?中，AD 是BAC ∠的平分线，且BD=CD ，求证AB=AC 例2: 中线一倍辅助线作法 △ABC 中 方式1： 延长AD 到E ，

AD 是BC 边中线 使DE=AD ， 连接BE 方式2：间接倍长 作CF ⊥AD 于F ，延长MD 到N ， 作BE ⊥AD 的延长线于使DN=MD ， 连接BE 连接CD 例3：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值围 例4：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且 DF=EF ，求证：BD=CE 课堂练习：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF

三角形全等辅助线的做法.doc

线段垂直平分线，常向两端把线连。还要刻苦加钻研, 找岀规律凭经验。 八年级数学（上）专题复习一 ——全等三角形常见辅助线作法 在初中数学学习中，如何添加辅助线是同学们经常感到头疼的问题，许多同学常常因辅 助线的 添加方法不当，造成解题困难，考试时也常因辅助线的添法不当而导致既得不到本题 的分数，乂口口浪费了考试时间。为了解决这个问题我根据多年初中儿何教学经验，把全等 三角形的几种常见辅助线作法编成一个“顺口溜”，现将该“顺口溜”写岀来供同学们参考, 但愿能给同学们的学习、复习带来一些帮助。 人人都说几何难，难就难在辅助线。辅助线，如何添？构造全等很关键。 图中有角平分线，可向两边作垂线。三角形中有中线，延长中线造全等。 角平分线加平行，构造等腰三角形。角平分线加垂线，三线合一试试看。 下面举出一些具体的例子说明如下: 例1?已知：如图1所示，AD 为AABC 的中线，J Z LZ1 = Z2,Z3=Z4O 求证：BE+CF>EFo 分析：要证BE+CF>EF ,可利用三角形三边关系定理证明，须把BE, CF, EF 移到同一 个三角形屮，而由已知Z1=Z2, Z3=Z4,可在角的两边截取相等 的线段，利用全等三角形的对应边相等，把EN, FN, EF 移到同个三角形屮。 证明：在DN 上截取DN 二DB,连接NE, NF 。 在ABED 与ANED 中 Z1=Z2, DN=DB, ED=ED A ABED^ANED ???BE=EN 同理可得 FC=FN 在ZXNEF 中，EN+FN>EF ??? BE+CF>EF 注意：当证明题中有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角 形，然后 用全等三角形的性质得到相等元素。 例2?已知：如图2所示，ABC 的屮线，且Z1=Z2, Z3=Z4, 求证：BE+CF>EFo 证明：延长ED 至M,使DM=DE,连接CM, 在厶 EBD A/AMCD 中 DM=DE,Z 1 = ZCDM ,BD 二DC A AEBD^AMCD ??? BE=CM MF 。 图-2