多面体内切外接球问题
多面体内切外接球问题如何突破
此类问题是高考的热点，主要考查多面体、球的结构特征及有关计算，考查学生的理解水平和应用能力，考查空间想象能力、计算求解能力、转化与化归能力和分析问题解决问题的能力. 试题源于教材、高于教材，解决此类问题的关键是找到球心、计算出球半径. 笔者在多年的教学中总结出解决此类问题的求解策略如下.
教学中，在引导学生掌握“球”的体积与表面积的计算公式的同时，要帮助学生掌握“球”的接切问题如何突破. 突破点就是两个知识点.
其一，球面可以看作空间中到一个定点距离等于定长的点的集合. 其二，用一个平面去截一个球，截面是一个圆，圆心与球心连线、截面圆半径、球半径构成直角三角形（垂径关系）. 关键点是怎样帮助学生学会画球的截面图.
高考命题专家喜欢考球面题目，是因为球面题最能考出所谓的“空间想象能力”，球的题我们永远也画不清楚，除非画出截面图，从而将立体问题转化为平面问题，能正确分析出图形中的基本元素及其相互关系，而这也正是立体几何教学的能力要求.
关于球的题都比较难，解题突破点都是：学生要有能力看到球面就能画出截面图，然后寻找与球心的关系. 因此从知识层面上来说，都没有超过我们所说的两个知识点. 但这两个知识点在教科书上又都是没有的，需要教师引申、拓展. 因此高三阶段在复习“球”的内容时，需要做一个专题，球与三棱锥、球与四棱锥，球与三棱柱，球与四棱柱（长方体、正方体），球与圆柱等的内接、外切都要研究清楚.
一. 掌握确定球心位置、计算球半径的常见结论
对于一些规则的多面体而言，其外接球和内切球的球心位置或半径都有规律可循.
1. 长方体的外接球
球心为体对角线的交点；半径为体对角线长的一半. 2. 正方体的外接球、内切球及与各棱相切的球
外接球：球心是正方体中心；
半径r=
2
3a ( a 为正方体的棱长）.
内切球：球心是正方体中心；
半径r=
2
1a ( a 为正方体的棱长）.
与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；
半径r=
2
2a ( a 为正方体的棱长）.
3. 正四面体的外接球与内切球（正四面体可以看作是正方体的一部分） 外接球：球心是正四面体的中心；
半径r=
4
6a ( a 为正四面体的棱长）.
内切球：球心是正方体中心；
半径r=
12
6a ( a 为正四面体的棱长）.
4. 正棱柱、圆柱的外接球和内切球
外接球和内切球的球心在上、下底面中心连线的中点处 .
5. 正棱锥的外接球
正棱锥的外接球的球心在其顶点和底面中心的连线上，设正棱锥的底面四边形外接圆半径为r ，高为h ，则其外接球半径R=
h
h r 22
2 , R 2 = r 2 +（h - R)2 .
对于一般不规则的外接球球心不好找，放到长方体中不失为一种很好的方法！ 二. 确定球心位置、计算球半径的特殊方法
对于某些特殊形状的多面体，有一些巧妙的方法来解.
1. 若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，则可将这个三棱锥补成一个长方体，长方体的对角线长度、中点即为该外接球的直径、球心.
2. 另一种特殊三棱锥也可补成长方体，如三棱锥D-ＡＢＣ中，ＤＡ与平面ＡＢＣ垂直，ＡＢ与ＢＣ垂直，可构图求之．
3. 正四面体也可补成正方形（如图）．正四面体的棱长为2
ａ，则正方体的棱长为ａ，
外接球的棱长为3
ａ．
4. 一般四面体外接球可找相邻面，过外心与相应面垂直的垂线交点即为外接球球心． 例1. 已知三棱锥P--ABC 的正视图和俯视图如图所示，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A. 4π
B. 12π
C. 3
16
π D.
3
64π
例2. 如图四面体A--BCD 中，ＡＢ＝ＡＤ＝ＣＤ＝１，ＢＤ＝
2
，ＢＤ⊥ＣＤ，平面
ＡBD ⊥平面BCD ，若四个顶点在同一球面上，则该球的体积为（ ）
A.
3
2π B. 3π C.
2
3π D. 2π
例3. 在菱形ABCD 中, A=600 ，AB ＝3
，将?ABD 沿BD 折起到?PBD 的位置,若二面
角P--BD--C 的大小为 3
2
π，则三棱锥P--BCD 的外接球体积为
例4.一个棱长为26的正四面体内部有一个任意旋转的正方体，当正方体的棱长取得最大值时，正方体的外接球的表面积是（ ）
A.π4
B. π6
C. π12
D. π24
练习：１. 2009 年新课标I ·理科第15 题（5 分）直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1 的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA 1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于_____． 答案为：20π
2. 2010 年新课标I ·理科第10 题（5 分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
3. 2011 年新课标I ·理科第15 题（5 分）（5 分）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为
4 的球O 的球面上，且AB=6，BC=2 ，则棱锥 O
﹣
ABCD
的体积为
．答案：8 4. 2012 年新课标I ·理科第11 题（5 分） 已知三棱锥S ﹣ABC 的所有顶点都在球
O 的表面上，△ABC 是边长为1 的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（ ）
5.
6．2015 年新课标I ·理科第11 题（5 分） 圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表
面积为16+20π，则r=（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8 答案： 选B 7．2016 年新课标I ·理科第6 题（5 分） 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几
何体的体积是
3
28
，则它的表面积是（ ）
A ．17π
B ．18π
C ．20π
D ．28π 答案： 选A
8. 在边长为2
3
的菱形ABCD 中, A=600 ，将?ABD 沿BD 折起到?PBD 的位置,使二
面角A--BD--C 的大小为1200 的四面体，则四面体A--BCD 的外接球表面积为
3
3
28π
简单多面体外接球问题总结
简单多面体外接球球心的确定 一、知识点总结 1.由球的定义确定球心 ⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点. ⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点. ⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点. ⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到. ⑸若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心. 2．构造长方体或正方体确定球心 ⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥. ⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥. ⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体. ⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体. 3.由性质确定球心 利用球心O与截面圆圆心 O的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连 1 线垂直于弦的性质，确定球心. 二：常见几何体的外接球小结
1、设正方体的棱长为 a ，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3 ）与棱相切的球半径。 （1）截面图为正方形EFGH的内切圆，得 2 a R=； （2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中 点，如图4作截面图，圆O为正方形EFGH的外接圆，易得a R 2 2 =。（3）正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角 面 1 AA作截面图得，圆O为矩形C C AA 1 1 的外接圆，易得a O A R 2 3 1 = =。 2、正四面体的外接球和内切球的半径（正四面体棱长为a，O也是球心）内切球半径为：6 r a = 外接球半径为：a R 4 6 = 三：常见题型 1.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 图1 图2 图3
八个有趣模型搞定外接球内切球问题(学生版))解析
八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球 类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径） 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2 2 2 2 )2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32 （2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 （3）在正三棱锥中，分别是棱的中点，且MN AM ⊥,若侧棱,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 （4）在四面体中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠? AB AC SA BAC 则该四面体的外接 球的表面积为（ ） π11.A π7.B π310. C π3 40.D （5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是 图2 图3 S ABC -M N 、SC BC 、SA =S ABC -
（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为 1的正方形，则该几何体外接球的体积为 类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 1．题设：如图5，⊥PA 平面ABC 解题步骤： 第一步：将ABC ?画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直 径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ； 第二步：1O 为ABC ?的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半 径r D O =1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得 r C c B b A a 2sin sin sin ===），PA OO 2 1 1=； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①2 2 2 )2()2(r PA R +=?22)2(2r PA R +=； ②2 12 2 OO r R +=?2 12OO r R += 2．题设：如图6，7，8，P 的射影是ABC ?的外心?三棱锥ABC P -的三条侧棱相等? 三棱锥ABC P -的底面ABC ?在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点 图6 P A D O 1 O C B 图7-1 P A O 1 O C B 图7-2 P A O 1 O C B 图8 P A O 1 O C B 图5 A D P O 1O C B
高中数学 立体几何 4.高考数学中的内切球和外接球问题
高考数学中的内切球和外接球问题 一、 有关外接球的问题 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 2、求长方体的外接球的有关问题 例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 . 例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 3.求多面体的外接球的有关问题 例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8 9 ，底面周长为3，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有 ??????==h x x 24368 936 ?? ???= =213 x h
∴正六棱柱的底面圆的半径21=r ，球心到底面的距离2 3 =d .∴外接球的半径22d r R +=. 体积：3 3 4R V π= . 小结 本题是运用公式222d r R +=求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、构造法(补形法) 1、构造正方体 例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________. 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 . 故其外接球的表面积ππ942==r S . 小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为c b a ,,，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222c b a R ++=. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。 【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径为R 2体对角线长l 即2 2 22c b a R ++=
专题 多面体的外接球问题
专题 多面体的外接球问题 一、考点分析： 有关多面体外接球问题，是立体几何中的一个重点，也是近几年高考考题的一个热点，研究多面体外接球的知识，既要运用多面体的知识又要运用球的相关知识；特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中会起着至关重要的作用。 二、教学目标 1、了解多面体与其外接球的关系 2、掌握几种常见的多面体的外接球的计算方法。 三、教学重点、难点 不同类型的多面体与其外接球半径的求法 四、教学过程 （一）球的性质 性质1：用一个平面去截球，截面是圆面； 用一个平面去截球面， 截线是圆。 大圆--截面过球心，半径等于球半径； 小圆--截面不过球心 性质2: 球心和截面圆心的连线垂直于截面． 性质3: 球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 下面的关系:22d R r -= （二）球体的体积与表面积： 3 4 13球、V R π= 224球面、S R π= （三）球与多面体的接、切 1.外接球球心到各顶点的距离相等(R ) 2. 内切球球心到各面的距离相等(r ) 五、经典模型： (一)汉堡模型（直棱柱和圆柱外接球问题） 例1、已知正四棱柱的各个顶点都在同一个球面上，且高为4，体积为16.其外接球的表面积是 111120ABC A B C -∠1例2：直三棱柱的各个顶点都在同一个球面上，若AB=AC=AA =2，BAC=，则此球的表面积等于（ ） (二)对棱相等模型 题型：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等（AB=CD,AD=BC,AC=BD ），求外接球问题 画出一个长方体(补形)，标出三组互为异面直线第一步：的对棱； A A 1 C 1B B C 1 A
高中数学空间几何体的内切球与外接球问题
空间几何体的内切球与外接球问题 1．[2016·全国卷Ⅱ] 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A ．12π B.32 3 π C ．8π D ．4π [解析]A 因为正方体的体积为8，所以正方体的体对角线长为23，所以正方体的外接球的半径为3，所以球的表面积为4π·(3)2＝12π. 2．[2016·全国卷Ⅲ] 在封闭的直三棱柱ABC - A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( ) A ．4π B.9π2 C ．6π D.32π 3 [解析]B 当球与三侧面相切时，设球的半径为r 1，∵AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，∴8－r 1＋6－r 1＝10，解得r 1＝2，不合题意；当球与直三棱柱的上、下底面相切时，设球的半径为r 2， 则2r 2＝3，即r 2＝32.∴球的最大半径为32，故V 的最大值为43π×????323＝92 π. 3.[2016·郑州模拟] 在平行四边形ABCD 中，∠CBA ＝120°，AD ＝4，对角线BD ＝23，将其沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一球面上，则该球的体积为________． 答案：2053 π；解析：因为∠CBA ＝120°，所以∠DAB ＝60°，在三角形ABD 中，由余弦 定理得(23)2＝42＋AB 2－2×4·AB ·cos 60°，解得AB ＝2，所以AB ⊥BD .折起后平面ABD ⊥平面BCD ，即有AB ⊥平面BCD ，如图所示，可知A ，B ，C ，D 可看作一个长方体中的四个顶点，长方体的体对角线AC 就是四面体ABCD 外接球的直径，易知AC ＝22＋42＝25， 所以球的体积为205 3 π. 4.[2016·山西右玉一中模拟] 球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S-ABC 的体积的最大 值为( ) A . 3 3 B . 3 C ．2 3 D ．4 选A ；[解析] (1)由于平面SAB ⊥平面ABC ，所以点S 在平面ABC 上的射影H 落在AB 上，根据球的对称性可知，当S 在“最高点”，即H 为AB 的中点时，SH 最大，此时棱锥S -ABC 的体积最大． 因为△ABC 是边长为2的正三角形，所以球的半径r ＝OC ＝23CH ＝23×32×2＝23 3 . 在Rt △SHO 中，OH ＝12OC ＝3 3 ，
多面体外接球半径常见的5种求法
多面体外接球半径常见的5种求法 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,296,84x x x h h =??=??∴??=???=?? ∴正六棱柱的底面圆的半径12r = ，球心到底面的距离d = . ∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =. ∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C.
小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 例3 ，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一 . 设其外接球的半径为R ，则有( ) 222229R = ++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==. 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2R =. 寻求轴截面圆半径法 例4 正四棱锥S ABCD - S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 . 解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球 心为O ，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面. 又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上. ∴ASC ?的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径. 在ASC ? 中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=. ∴ASC AC ??是以为斜边的Rt . C D A B S O 1 图3
【精品】2019年高考数学中的内切球和外接球问题
【精品】2019年高考数学中的内切球和外接球问题 一、 有关外接球的问题 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 2、求长方体的外接球的有关问题 例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 . 例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4， 体积为16，则这个球的表面积为（ ）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 3.求多面体的外接球的有关问题 例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8 9，底面周长为3，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有 ??????==h x x 2436893 6 ?????==213x h
∴正六棱柱的底面圆的半径21=r ，球心到底面的距离2 3= d .∴外接球的半径22d r R +=. 体积：334R V π=. 小结 本题是运用公式222d r R +=求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、构造法(补形法) 1、构造正方体 例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________. 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 . 故其外接球的表面积ππ942==r S . 小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为c b a ,,，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222c b a R ++=. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。 【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径为R 2体对角线长l 即2 222c b a R ++=
(完整版)立体几何多面体与外接球问题
1 立体几何多面体与外接球问题 1、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________. 2、一个正方体的各顶点均在同一球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为____. 3、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1，2,3，则此球的表面积为_____ 4、一个四棱柱的底面是正方形,侧棱与底面垂直,其长度为4,棱柱的体积为16,棱柱的各顶点在一个球面上,则这个球的表面积是( ) A .16π B .20π C.24π D .32π 5、正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( ) A. 1∶3 B. 1∶3 C. 1∶33 D. 1∶9 答案 C 7、一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1 cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2. 答案 2+ 8、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是______. 9、 ,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( ) A.3π B.4π D.6π 10、 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ） A ．4 33 B ．33 C ． 43 D ．123 11、 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=?，则此球的表面积等于 。 解:在ABC ?中2AB AC ==,120BAC ∠=?, 可得BC =由正弦定理,可得ABC ? 外接圆半径r=2,设此圆圆心为O '，球心为O ，在RT OBO '? 中，易得球半径R = 为2 420R ππ=. 12、正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球，若,A B 两点的球面距离为π，则正三棱柱的体积为 ． 答案 8 13、如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF -，则此正六棱锥的侧面积是________．
多面体外接球半径常见的求法
多面体外接球半径常见求法 知识回顾： 定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。 5、体积分割是求内切球半径的通用做法。 一、公式法 例1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同
一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 . 小结 本题是运用公式222 R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 三、补形法 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧
，则其外接球的表面积是 . 小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两 两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为 R，则有2R= 变式1： 变式2：三棱锥O ABC -中，,, OA OB OC两两垂直，且
外接球与内切球问题
立体图形的外接球与内切球问题 一、基础知识与概念： 1．球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截面是圆． 大圆：截面过球心，半径等于球半径（截面圆中最大）；小圆：截面不过球心． 2．球心和截面圆心的连线垂直于截面． 3．球心到截面的距离d 与球半径R 及截面圆半径r 的关系：222R d r =+． 4．几何体的外接球：几何体的顶点都在球面上；几何体的内切球：球与几何体的各个面都相切． 二、多面体的外接球（球包体） 模型1：球包直柱（直锥）：有垂直于底面的侧棱（有垂底侧边棱） 球包 直柱 球径公式：2 22h R r ? ? =+ ??? ， （r 为底面外接圆半径） 球包正方体 球包长方体 球包四棱柱 球包三棱柱 球 包直锥 三棱锥 四棱锥 r 速算 模型2：“顶点连心”锥：锥体的顶点及球心在底面的投影都是底面多边形外接圆的圆心（两心一顶连成线） 实例：正棱锥 球径计算方程：()2 2 2 h R r R -+=22 22 202h r h hR r R h +?-+=?=， （h 为棱锥的高，r 为底面外接圆半径） 特别地， （1）边长为a 正四面体的外接球半径：R =______________． （2）底面边长为a ，高为h 的正三棱锥的外接球半径：R =__________． （3）底面边长为a ，高为h 的正四棱锥的外接球半径：R =__________． 例：1．（2017年全国卷III 第8题）已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ． B ． C ． D ． π34 π2 π4 π
多面体的外接球半径的几种求法
多面体外接球半径常见的几种求法 白维亮 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,296,8 x x x h h =??=??∴??=??=?? ∴正六棱柱的底面圆的半径12r = ，球心到底面的距离d =. ∴外接球的半径1R ==.43 V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =. ∴2R R ==∴= ∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直， 则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直， ∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为. 设其外接球的半径为R ，则有( ) 222229R = ++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==. 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就
难点突破：立体图形的外接球与内切球问题
*创作编号：GB8878185555334563BT9125XW* 创作者：凤呜大王* 2019届高三数学第一轮复习教学案18：难点突破：立体图形的外接球与内切球问题 一、基础知识与概念： 1．球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截面是圆． 大圆：截面过球心，半径等于球半径（截面圆中最大）；小圆：截面不过球心． 2．球心和截面圆心的连线垂直于截面． 3．球心到截面的距离d与球半径R及截面圆半径r的关系：222 R d r =+． 4．几何体的外接球：几何体的顶点都在球面上；几何体的内切球：球与几何体的各 个面都相切． 二、多面体的外接球（球包体） 模型1：球包直柱（直锥）：有垂直于底面的侧棱（有垂底侧边棱） 球 包 直 柱 球径公式： 2 2 2 h R r ?? =+ ? ?? ，球包正方体球包长方体球包四棱柱球包三棱柱
四 棱 锥 r 速 算 模型2：“顶点连心”锥：锥体的顶点及球心在底面的投影都是底面多边形外接圆的圆心（两心一顶连成线）实例：正棱锥 例：1．（2017年全国卷III第8题）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径 为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A．πB． 3 4 π C． 2 π D． 4 π 【解析】模式辨识：“球包体”中的“垂底侧边棱（母线）”类型，1 h=，1 R=，底 面半径为r，则由 2 2 2 h R r ?? =+ ? ?? 2 222 13 1 24 r r ?? =+?= ? ?? ，2 3 4 V r h π π ==． 2．（2010年全国新课标卷第10题）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a， 顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
内切球和外接球问题专题复习
内切球和外接球问题 一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1 （2006年广东高考题）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 解析：要求球的表面积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径. 故表面积为27π. 例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角线， 23所以球的半径为3.因此，由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线是 43π. 故该球的体积为 2、求长方体的外接球的有关问题 例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三 1,2,3，则此球的表面积为. 条棱长分别为 解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为14，故球的表面积为14π. 例4、（2006年全国卷I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 解析：正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16及 高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、 宽、高分别为2，2，4，于是等同于例3，故选C. 3.求多面体的外接球的有关问题 例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于 底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱
解决几何体的外接球与内切球
解决几何体的外接球与内切球，就这6个题型！ 一、外接球的问题 简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径尺或确定球心0的位置问题，其中球心的确定是关键． （一）由球的定义确定球心 在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心． 由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论． 结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点． 结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点． 结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点． 结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到． 结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心． （二）构造正方体或长方体确定球心
长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法． 途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体． 途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体． 途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体． 途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体． （三）由性质确定球心 利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．
二、内切球问题 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。 5、体积分割是求内切球半径的通用做法。
数学研究课题---空间几何体的外接球与内切球问题
高中数学课题研究 几何体与球切、接的问题 纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一.高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识学生掌握较为薄弱、认识较为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理. 下面结合近几年高考题对球与几何体的切接问题作深入的探究,以便更好地把握高考命题的趋势和高考的命题思路,力争在这部分内容不失分.从近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见. 首先明确定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球. 1 球与柱体的切接 规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1 球与正方体 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -，设正方体的棱长为a ，,,,E F H G 为棱的中点，O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH 和其内切圆，则2a OJ r ==；二 是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH 和其外接圆，则GO R a ==；三是球为正方体的 外接球，截面图为长方形11ACA C 和其外接圆，则12 A O R a '==.通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.
多面体外接球半径常见的5种求法
多面体外接球半径常见的5种求法 文/郭军平 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,296,8 x x x h h =??=??∴??=??=?? ∴正六棱柱的底面圆的半径12r = ，球心到底面的距离d =. ∴外接球的半径1R ==.43 V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =. ∴2R R ==∴= ∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直， 则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直， ∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为. 设其外接球的半径为R ，则有( ) 222229R = ++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==. 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直
简单多面体外接球球心的确定.docx
简单多面体外接球球心的确定 一、知识点总结 1.由球的定义确定球心 ⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点 . ⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点 . ⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点 . ⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到 . ⑸若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心 . 2．构造长方体或正方体确定球心 ⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥 . ⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥 . ⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体 . ⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体 . 3.由性质确定球心 利用球心 O 与截面圆圆心 O 1 的连线垂直于截面圆及球心 O 与弦中点的连线垂直于弦的性 质，确定球心 . 二、典型例题 1、已知点 P 、 A 、B 、C 、D 是球 O 表面上的点， PA 平面 ABCD ，四边形 ABCD 是边 长为 2 3 的正方形 .若 PA 2 6 ，则 OAB 的面积为多少 2、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 a ，顶点都在同一个球面上，则该球的表面 积为多少 3 、已知正三棱锥 P ABC ，点 P, A, B, C 都在半径为 3 的球面上 .若 PA, PB , PC 两两互 相垂直，则球心到截面 ABC 的距离为多少 4、三棱锥 S ABC 中， SA 平面 ABC ， SA 2 ， ABC 是边长为 1 的正三角形，则其 外接球的表面积为多少 5、点 A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上， AB BC 2，AC 2 ，若四面体 ABCD 体 积的最大值为 2 ，则这个球的表面积为多少 3 6 、四面体的三组对棱分别相等，棱长为 5, 34, 41 ，求该四面体外接球的体积 . 7 、正四面体 ABCD 外接球的体积为 4 3 ，求该四面体的体积 . 8、若底面边长为 2 的正四棱锥 P ABCD 的斜高为 5 ，求此正四棱锥外接球的体积 . 9、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球 面上，且该六棱柱的体积为 9 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 8
与内切球外接球半径相关的问题
与内切球外接球半径相关的问题 有关于内切球、外接球的问题，应该说是一个比较困难的问题，几乎所有同学都会感到无从下手，这是正常的，因为这类问题需要强有力的想象力，同时方法性极强。 我们就这部分问题，尽量总结全面。 1． 内切球和外接球的基本定义; 立体图形的内切球是指：与该立体图形的所有面都相切的球，注意是与所有面都相切，因此，很多立体图形是不存在内切球的。 基本性质是：球心到所有面的距离相等，且为内切球半径。 立体图形的外接球是指：立体图形的所有顶点都在球面上。 基本性质是：球心到所有顶点的距离相等，且为外接球半径。 2.长方体的外接球： 长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为2 22c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2，长方体体对角线长l ，则2 2 22c b a R ++= 3.正方体的外接球： 正方体的棱长为a ，则正方体的体对角线为a 3，其外接球的直径R 2为a 3。 4.正四面体的内切球、外接球 （1）正四面体的内切球球心和外接球球心是重合的，并且都在正四面体的高线上。 （2）正四面体的高若为h ，则外接球半径34R h =，内切球半径14 r h = 5. 直棱柱的外接球： 直棱柱外接球半径的思想是：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球。 （1） 直棱柱的体对角线长就是外接球的直径，这是核心。 （2） 直棱柱的体对角线2=底面图形的外接圆直径2+侧棱（即高）2 6.正棱锥的外接球： 正棱锥外接球半径的思想是：球心在正棱锥的高线上，根据球心到各个顶点的距离是外接球半径，列出关于半径的方程。 我们需要考虑将“球心”“底面正多边形的中心”“底面上任一个顶点”这三个点连接起来，构成一个直角三角形，利用勾股定理，列出关于半径的方程。 一般来说这个方程是：222()h R a R -+=或222 ()R h a R -+=，这里的h 是指正棱锥的高，a 是指底面正多边形的对角线长的一半，若底面为正三角形时，a 是指正三角形中线长的23 ，考生可以划出一个图形，印证一下这些内容。 7.补体法： （1）补体法是用于求锥体的外接球半径的一种简洁方法，而且如果不使用该方法，会使问题变得非常难于解决。 （2）使用条件：一是由三条两两垂直的棱构成的锥体，可以使用补体法，这时候往往会补
简单多面体的外接球问题优秀教案
1 简单多面体的外接球问题 【学习目标】 能求简单多面体的外接球半径。 【问题】 1.什么是多面体的外接球？ 2.外接球的球心有什么特点？ 一、棱柱的外接球问题 【思考1】正方体的外接球球心在哪里？外接球半径是多少？长方体呢？ 答案： 2223122 a a b c ++例1．直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,,12AB AC AB AC AA ==⊥=，求该三棱柱的外接球半径。 答案：132 【思考2】如果底面是“边长为6的等边三角形”呢？ 答案：43 例2．右图是某空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图是矩形，俯视图是等腰三角形，求该几何体的外接球半径。 13 例3．正六棱柱所有棱长均为1，求它的外接球的体积。 答案：555,26 R V = = 【思考3】是不是所有的棱柱都有外接球？ 二、棱锥的外接球问题 班级 姓名 C 1 A 1 B 1 C B A 4 4 22 22 正视图 侧视图 俯视图
2 例4．已知三棱锥P ABC -中，侧棱PA 垂直于底面ABC ，若2,3,3AB AC PA ===，且AB AC ⊥，求该三棱柱的外接圆半径。 答案：2 【变式】右图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图是直角三角形，俯视图是一个等腰直角三角形， 若该几何体外接球的表面积为6π，则正视图中三角形的高x =（ ） A.1 B.2 C.3 D.2 答案：D 【思考4】如果底面是“边长为2的等边三角形”呢？ 答案：63 例5．正四棱锥V ABCD -的底面是边长为22的正方形，侧棱长为4， 求该四棱锥的外接球半径。 答案： 43 3 【思考5】 （1）若例5的题目中的“侧棱长为4”改为“侧棱长为22”呢？ （2）若例5的题目中的“侧棱长为4”改为“侧棱长为6”呢？ 答案：（1）2；（2） 32 【变式】右图是某多面体的三视图，其中正视图和侧视图是棱形， C A B P 正视图 3 3 侧视图 1 x 正视图 侧视图 俯视图
多面体外接球半径常见的几种求法
多面体外接球半径常见的几种求法
多面体外接球半径常见的几种求法 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9 8 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有 263,1,2936,38 x x x h h =?? =?? ∴?? =??=??． ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离3 2 d =.∴外接球的半径221R r d =+=.43 V π∴= 球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π
解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有 2416x =，解得2x =. ∴222222426,6R R =++=∴= .∴这个球的表面积是 2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，3则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱3锥的外接球. 设其外接球的半径为R ，则有()2 2 2 2 23339R =++=.∴ 294 R = . 故其外接球的表面积249S R ππ==. 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为 R ，则有2222R a b c =++.
外接球内切球问题标准答案
1 球与柱体 规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1 球与正方体 发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题 例 1 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ）A ． 22 B ．1 C ．212 + D ．2 1.2 球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的 棱长为,,,a b c 其体对角线为l .当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正 方体的外接球的道理是一样的，故球的半径222 2l a b c R ++== 例 2 在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为( )A.10π 3 B.4π C.8π3 D.7π3
1.3 球与正棱柱 例3 正四棱柱1111ABCD A B C D 的各顶点都在半径为R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值，为 . 2 球与锥体 规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 2.1 球与正四面体