第三节 导数的应用(2)

第三节 导数的应用(2)

一、填空题

1. (2011·太原模拟)函数f (x )＝ln(x ＋1)－x 的最大值为________．

2. 若关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈[0,1]恒成立，则m 的取值范围是________.

3. (2011·江苏连云港调研)对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则下列说法中正确的是________(填序号)．

①f (0)＋f (2)＜2f (1)；②f (0)＋f (2)≤2f (1)；

③f (0)＋f (2)≥2f (1)；④f (0)＋f (2)＞2f (1)．

4. 函数f (x )＝e x sin x 在区间???

?0，π2上的值域为________. 5. 已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最

小值是________．

6. 函数f (x )＝－x 3＋mx 2＋1(m ≠0)在(0,2)内的极大值为最大值，则m 的取值范围是________．

7. 用长14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制的底面的一边比另一边长0.5 m ，那么容器的最大容积为________m 3.

8. 某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：

件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则该商品零售价定为________

元时利润最大，利润的最大值为________．

9. 函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在[－3,2]上有最大值4，则实数a ＝________.

二、解答题

10. (2011·绵阳诊断考试)已知f (x )＝x 3＋mx 2－x ＋2(m ∈R )，如果函数的单调减区间恰为???

?－13，1，求函数f (x )的解析式．

11. (2010·重庆)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．

(1)求f (x )的表达式；

(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值．

12. (2011·皖南八校联考)设函数f (x )＝ln x ＋1x －2

＋ax (a ≥0)． (1)当a ＝0时，求f (x )的单调区间；

(2)若f (x )在(0,1]上的最大值为12

，求a 的值．

13. (2011·江苏苏北四市高三联考)设函数f (x )＝a 2x 2(a ＞0)，g (x )＝b ln x .

(1)若函数y ＝f (x )图象上的点到直线x －y －3＝0距离的最小值为22，求a 的值；

(2)关于x 的不等式(x －1)2＞f (x )的解集中的整数恰好有3个，求实数a 的取值范围．

参考答案

1. 0 解析：f (x )＝ln(x ＋1)－x ，f ′(x )＝11＋x

－1， 当－1＜x ＜0时，f ′(x )＞0；

当x ＞0时，f ′(x )＜0，则f (x )max ＝f (0)＝0.

2. (－∞，－3] 解析：设y ＝x 2－4x ，y ′＝2x －4，令y ′＝0，得x ＝2，

∴y ＝x 2－4x 在(－∞，2)上是减函数，即在x ∈[0,1]上也是减函数，∴y min ＝12－4＝－3， ∴m ≤－3.

3. ③ 解析：当x ≥1时，f ′(x )≥0，函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数；

当x ＜1时，f ′(x )≤0，f (x )在(－∞，1)上是减函数，

故f (x )在x ＝1时取得最小值，即有f (0)≥f (1)，f (2)≥f (1)，即f (0)＋f (2)≥2f (1)．

4. [0，e π2

] 解析：f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )． ∵x ∈????0，π2，∴f ′(x )＞0，∴f (x )在???

?0，π2上是单调增函数， ∴f (x )min ＝f (0)＝0，f (x )max ＝f ????π2＝e π2.

5. －37 解析：f ′(x )＝6x 2－12x ，令f ′(x )＝0，得6x 2－12x ＝0，

∴x ＝0或x ＝2.

∵f (0)＝m ，f (－2)＝m －40，f (2)＝m －8，

∴f (x )max ＝f (0)＝m ＝3，

∴f (x )min ＝f (－2)＝m －40＝－37.

6. (0,3) 解析：f ′(x )＝－3x 2＋2mx

＝x (－3x ＋2m )．

令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2m 3

. ∵x ∈(0,2)，∴0＜2m 3

＜2，∴0＜m ＜3. 7. 1.8 解析：设容器底面短边长为x m ，则另一边长为(x ＋0.5) m ，高为(3.2－2x ) m. 由3.2－2x ＞0，x ＞0，得0＜x ＜1.6.

设容器的容积为y m 3，

则有y ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )(0＜x ＜1.6)，

整理得y ＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x ，

y ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6，

令y ′＝0，解得x 1＝1，x 2＝－415

(舍去)． 从而，在定义域(0,1.6)内只有在x ＝1处有y ′＝0，由题意，若x 过小(接近0)或x 过大(接近1.6)时，y 值很小，因此，当x ＝1时，y max ＝1.8，此时高1.2 m ，

所以当容器的高为1.2 m 时，容积最大，最大容积为1.8 m 3.

8. 30 23 000 解析：设商场销售该商品所获利润为y 元，则

y ＝(p －20)Q ＝(p －20)(8 300－170p －p 2)

＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000(p ≥20)，

∴y ′＝－3p 2－300p ＋11 700.

令y ′＝0得p 2＋100p －3 900＝0，∴p ＝30，或p ＝－130(舍去)．

则p ，y ，y

∴当p ＝30又y ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值． ∴该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元．

9. 38

或－3 解析：f ′(x )＝2ax ＋2a . (1)当a ＝0时，f (x )＝1不满足条件．

(2)当a ≠0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－1.

①当a ＞0时，f (x )在[－3，－1]上递减，在[－1,2]上递增，

且f (－3)＝3a ＋1，f (2)＝8a ＋1，

∴f (x )max ＝f (2)＝8a ＋1＝4，∴a ＝38

. ②当a ＜0时，f (x )在[－3，－1]上递增，在[－1,2]上递减，

∴f (x )max ＝f (－1)＝a －2a ＋1＝4，

∴a ＝－3.

综上，a ＝38

或－3. 10. f ′(x )＝3x 2＋2mx －1.

∵f ′(x )＝3x 2＋2mx －1＜0的解集为???

?－13，1， ∴3x 2＋2mx －1＝0的两根分别为－13

，1， 将x ＝1或－13

代入方程3x 2＋2mx －1＝0得m ＝－1，

∴f (x )＝x 3－x 2－x ＋2.

11. (1)由题意得f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b ，故g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b ，

又由函数g (x )为奇函数，则g (0)＝0，得b ＝0，故g (x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋2x ，

又g (－x )＝－g (x )，即对任意实数x ，有－ax 3＋(3a ＋1)x 2－2x ＝－ax 3－(3a ＋1)x 2－2x ，

即2(3a ＋1)x 2＝0，显然3a ＋1＝0，解得a ＝－13

. 所以f (x )的解析式为f (x )＝－13

x 3＋x 2. (2)由(1)知g (x )＝－13

x 3＋2x ，则g ′(x )＝－x 2＋2，令g ′(x )＝0，得x ＝±2， 当x ＜－2或x ＞2时，g ′(x )＜0，从而g (x )在区间(]－∞，－2，[)2，＋∞上是减函数；

当－2＜x ＜2时，g ′(x )＞0，从而g (x )在区间[－2，2]上是增函数．

所以g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值只能是x ＝1，2，2时取得，

g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43

. 所以函数g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43

. 12. f ′(x )＝1x －1(x －2)2

＋a ， 定义域为(0,2)∪(2，＋∞)．

(1)当a ＝0时，令f ′(x )＝1x －1(x －2)2＝0，得(x －1)(x －4)x (x －2)2

＝0， 当x ∈(0,1)或x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )＞0，其为增区间；

当x ∈(1,2)或x ∈(2,4)时，f ′(x )＜0，其为减区间．

(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝1x －1(x －2)2＋a ≥0，f (x )单调递增，∴f (x )max ＝f (1)＝a －1＝12

，∴a ＝32

. 13. (1)因为f (x )＝a 2x 2，所以f ′(x )＝2a 2x ，令f ′(x )＝2a 2x ＝1，解得x ＝12a 2，此时y ＝14a 2，则点???

?12a 2，14a 2到直线x －y －3＝0的距离最小， 即22＝????12a 2－14a 2－32

，解得a ＝714. (2)不等式(x －1)＞f (x )的解集中的整数恰好有3个，等价于(1－a 2)x 2－2x ＋1＞0恰有三个整数解，故1－a 2＜0，即a ＞1.

(1－a 2)x 2－2x ＋1＝[(1－a )x －1][(1＋a )x －1]＞0，

所以11－a ＜x ＜11＋a ，又因为0＜11＋a

＜1， 所以－3＜11－a

＜－2，解得43＜a ＜32.

导数及其应用(2)

导数及其应用（2） 一、基础训练： 1．设曲线a x y e =有点()0,1处的切线与直线210x y ++=垂直，则实数a ＝ . 2．函数2sin y x x =-在()0,2π内的单调增区间为 . 3．若函数f (x )＝3 x ＋ln x 在区间(m ，m ＋2)上单调递减，则实数m 的范围是 . 4．将长为72m 铁丝截成12段，搭成一个正四棱柱模型，以此为骨架做成一个容积最大的容器，则最大容积为 . 5．函数()f x （x ∈R ）满足(2)3f =，且()f x 在R 上的导数满足01)(<-'x f ，则不等式 2 2 ()1f x x <+的解集为 . 6．已知2 (),()(1)x f x xe g x x a ==-++，若12,,x x R ?∈使得21()()f x g x ≤成立，则实 数a 的取值范围是 . 二、例题分析： 例1．设ax x x x f 22 131)(2 3 ++ - =. （1）若)(x f 在),3 2 (+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围； （2）当20<

例3．如图，在边长为2 （单位：m ）的正方形铁皮的四周切去四个全等的等腰三角形，再把它的四个角沿着虚线折起，做成一个正四棱锥的模型．设切去的等腰三角形的高为x m ． （1）求正四棱锥的体积V (x )； （2）当x 为何值时，正四棱锥的体积V (x )取得最大值？ 备用题：已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2 －3x (a ，b ∈R )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＋2＝0. (1)求函数f (x )的解析式； (2)若对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值x 1，x 2都有|f (x 1)－f (x 2)|≤c ，求实数c 的最小值； (3)若过点M (2，m )(m ≠2)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，求实数m 的取值范围．

导数的简单应用

第三讲导数的简单应用 考点一导数的几何意义1．导数公式 (1)(sin x)′＝cos x； (2)(cos x)′＝－sin x； (3)(a x)′＝a x ln a(a>0)； (4)(log a x)′＝1 x ln a(a>0，且a≠1)． 2．导数的几何意义 函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y －f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)． [对点训练] 1．(2018·兰州质检)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为() A．(1,3) B．(－1,3) C．(1,3)和(－1,3) D．(1，－3) [解析]f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1， ∴P(1,3)或(－1,3)．经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x －1上，故选C. [答案]C 2．(2018·大同模拟)过点(1，－1)且与曲线y＝x3－2x相切的切线方程为()

A ．x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0 B ．x －y －2＝0 C ．x －y ＋2＝0 D ．x －y －2＝0或4x ＋5y ＋1＝0 [解析] 设切点坐标为(x 0，y 0)，y 0＝x 30－2x 0，则曲线在(x 0，y 0) 处的切线斜率为y ′＝3x 20－2，当x 0＝1时斜率为1，切线方程为x － y －2＝0，当x 0≠1时，过(1，－1)点的切线的斜率为x 30－2x 0＋1x 0－1 ＝x 20＋x 0－1＝3x 20－2，解得x 0＝－12，其斜率为－54，切线方程为5x ＋4y －1 ＝0，所以A 正确，故选A. [答案] A 3．(2018·西安质检)已知直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的一条切线，则m 的值为( ) A ．0 B ．2 C ．1 D ．3 [解析] 因为直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的切线，所以 令y ′＝2x －3x ＝－1，得x ＝1，x ＝－32(舍)，即切点为(1,1)，又切点 (1,1)在直线y ＝－x ＋m 上，所以m ＝2，故选B. [答案] B 4．若曲线y ＝x 在点(a ，a )处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为2，则a ＝________. [解析] y ＝x ＝x 12 ，∴y ′＝12x －12 ，于是曲线在点(a ，a )处的 切线方程为y －a ＝1 2a (x －a )，令x ＝0，得y ＝a 2；令y ＝0，得x

高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结

数学选修2-2导数及其应用知识点必记 1．函数的平均变化率是什么？ 答：平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么？ 答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？ 答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么？ 答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些？ 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？

高中数学_导数的简单应用教学设计学情分析教材分析课后反思

《导数的简单应用》教学设计 教材分析： 教材的地位和作用,导数的简单应用”是高中数学人教A 版教材选修2-2第一章的内容，它是中学数学与大学数学一个的衔接点。导数的应用我们解决所学过的有关函数问题提供了一般性方法，是解决实际问题强有力的工具 通过本节的学习可以使学生具有树立利用导数处理问题的意识。 根据新课程标准的要求如下： （1）知识与技能目标：能利用导数求函数的单调区间；能结合函数的单调区间求参数的取值范围。 （2） 情感、态度与价值观目标： 培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论。 3.教学重点与难点： 教学重点：(1)函数单调性的判断与单调区间的求法； (2)利用函数的单调性求参数的取值范围。 教学难点：（1）含参函数的单调区间的求法； （2） 构造函数求参数的取值范围。 针对这节复习课的特点我设计了 （一） 必备知识（二）典例分析（三）要点总结（四）课堂达标四个主要教学环节. 环节（一）：必备知识： 我设计了三个问题（1）由给定某函数图像，让学生观察函数的图像，体会导数与函数单调性，当如果)(x f '>0,与函数y=f(x)在这个区间内单调递增，如果)(x f '<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减的直观印象。而且直接从图象入手，以直观形象带动学生对知识的回忆，学生在观察原函数图像的过程中就在进行知识和信息的整理，既能充分调动学生参与课堂的积极性，又加深了学生对函数的单调性和导数的关系的理解，同时也为后面例题做好铺垫。 （2）由给定导函数图像，让学生亲自动手画出原函数的图像，既能充分调动学生参与课堂的积极性，而且直接从问题入手，以问题带动学生对知识的回忆，学生在动手画原函数图像的过程中就在进行知识和信息的整理，加深了学生对函数的单调性和导数的关系的理解，同时也为后面例题做好铺垫。（3）通过判断正误，深化学生对概念的理解与掌握，

专题一 第4讲 导数的简单应用

第4讲 导数的简单应用 [考情分析] 1.导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小.2.应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题． 考点一 导数的几何意义与计算 核心提炼 1．导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (3)?? ?? f (x ) g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2 (g (x )≠0)． 2．导数的几何意义 (1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率． (2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同． (3)切点既在切线上，又在曲线上． 例1 (1)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)－ln x ，则f ′(2)的值为( ) A.74 B ．－74 C.94 D ．－94 答案 B 解析 ∵f (x )＝x 2＋3xf ′(2)－ln x ， ∴f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)－1x ， 令x ＝2，得f ′(2)＝4＋3f ′(2)－1 2， 解得f ′(2)＝－7 4 . (2)(2020·北京通州区模拟)直线l 经过点A (0，b )，且与直线y ＝x 平行，如果直线l 与曲线y ＝x 2相切，那么b 等于( ) A ．－14 B ．－12 C.14 D.12

答案 A 解析 直线l 经过点A (0，b )，且与直线y ＝x 平行，则直线l 的方程为y ＝x ＋b ，直线l 与曲线y ＝x 2相切，令y ′＝2x ＝1，得x ＝12，则切点为????12，14，代入直线l 的方程，解得b ＝－14. 易错提醒 求曲线的切线方程要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点． 跟踪演练1 (1)(2020·内蒙古自治区模拟)曲线y ＝(ax ＋2)e x 在点(0,2)处的切线方程为y ＝－2x ＋b ，则ab 等于( ) A ．－4 B ．－8 C ．4 D ．8 答案 B 解析 y ′＝e x (ax ＋2＋a )， 故k ＝y ′|x ＝0＝2＋a ＝－2，解得a ＝－4， 又切线过点(0,2)，所以2＝－2×0＋b ， 解得b ＝2，所以ab ＝－8. (2)直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x ＋x 相切，则a 等于( ) A ．e B ．2e C ．1 D ．2 答案 C 解析 设切点为(n ，a e n ＋n )，因为y ′＝a e x ＋1， 所以切线的斜率为a e n ＋1， 切线方程为y －(a e n ＋n )＝(a e n ＋1)(x －n )， 即y ＝(a e n ＋1)x ＋a e n (1－n )， 依题意切线方程为y ＝2x ＋1， 故????? a e n ＋1＝2，a e n (1－n )＝1， 解得a ＝1，n ＝0. 考点二 利用导数研究函数的单调性 核心提炼 利用导数研究函数单调性的关键 (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域．

导数的简单应用专题训练

导数的简单应用专题训练 1．设f (x )＝x ln x ，f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．e C ． ln 2 2 D ．ln 2 解析：选B ∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴f ′(x 0)＝1＋ln x 0＝2，∴x 0＝e ，故选B ． 2． 已知函数f (x )与f ′(x )的图象如图所示， 则函数g (x )＝ f (x ) e x 的递减区间为( ) A ．(0,4) B ．(－∞，1)，???? 43，4 C ．??? ?0，43 D ．(0,1)，(4，＋∞) 解析：选D g ′(x )＝f ′(x )e x －f (x )e x (e x )2 ＝f ′(x )－f (x ) e x ，令g ′(x )＜0即 f ′(x )－f (x )＜0， 由图可得x ∈(0,1)∪(4，＋∞)，故函数单调减区间为(0,1)，(4，＋∞)，故选D ． 3． 若函数f (x ) ln x 在(1，＋∞)上单调递减，则称f (x )为P 函数．下列函数中为P 函数的序 号为( ) ①f (x )＝1 ②f (x )＝x ③f (x )＝1 x ④f (x )＝x A ．①②④ B ．①③ C ．①③④ D ．②③ 解析：选B 当x >1时：f (x )ln x ＝1 ln x 单调递减，①是；????x ln x ′＝ln x －1ln 2x ，所以函数在(e ，＋∞)上单调递增， ②不是；????1x ln x ′＝－(ln x ＋1)ln 2 x ＜0，∴③是；????x ln x ′＝(ln x －2)2x ln 2x ，所以函数在(e 2，＋∞)上单调递增，④不是；选B ． 4．已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x ＋x 相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值是( ) A ．e B ．2e C ．1 D ．2 解析：选C 由函数的解析式可得y ′＝a e x ＋1，则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝a e x 0＋1，

选修2-2导数及其应用单元复习知识总结

选修2-2导数及其应用单元复习知识总结 2018-6-14 一、导数的计算： 1.定义； 2.常见函数的导数公式、四则运算法则； 3.复合函数求导（链式法则）； 4.如何求一个函数的导函数 答案：1.定义：称函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率 0000()()lim lim x x f x x f x y x x ?→?→+?-?=?? 为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即 000000()()|()lim lim x x x x f x x f x y y f x x x =?→?→+?-?''===??。 注：函数||y x =在0x =处没有导数。 2.常见函数的导数公式: 0c '=，1x '=，()kx b k k '+=（为常数） ，2()2x x '=， 211()x x '=-，'=，1()n n x nx -'=，(sin )cos x x '=，(cos )sin x x '=-，()ln x x a a a '=，()x x e e '=，1(log )ln a x x a '=，1(ln )x x '= 导数的四则运算法则：;)(;)(;)(2v v u v u v u v u v u uv v u v u '-'= ''+'=''±'='± [()()]()()f x g x f x g x '''±=±； [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=+（轮番求导）； 2 ()()()()()[](()0)()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x ''-'=≠（轮番求导）； 3.复合函数求导（链式法则）：设()y f u =，()u g x =，则复合函数(())y f g x =的导数为()()(())()x u x y y u f u g x f g x g x '''''''=?==， 4.求一个函数的导数应先判断该函数的结构，它是两个函数的加减乘除还是两个函数的复合，然后进行下一步的计算。 二、导数的应用 1.导数的代数意义、几何意义；利用导数求切线的关键及其注意点 答案：（1）代数意义：0()f x '近似地表示函数()y f x =在0x 附近变化快慢的程度。（2）几何意义：曲线()y f x =在点00(,())x f x 的切线的斜率等于 0()f x '。 （3）利用导数求切线关键是求切点坐标，需要注意：（ⅰ）所给点

6-选修2-2导数及其应用知识点总结

选修2-2 导数及其应用知识点总结 1．函数的平均变化率为=??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率能够看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 6、常见的导数运算公式：若()f x ，()g x 均可导，则有：

6.用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数'()f x ②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f (x )的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。(2) 求函数f (x )的导数'()f x (3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值 8.利用导数求函数的最值的步骤：求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值；⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；

高二数学选修2-2导数及其应用测试题(含答案)

高二数学选修2-2导数及其应用测试题 一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．设x x y sin 12-=，则='y （ ）． A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2--- B ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin )1(sin 22-+- D ．x x x x sin ) 1(sin 22--- 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ） ． A ． 54 B ．52 C ．51 D ．5 3 3．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3 ) (32lim 3--→x x f x x 的值为（ ）． A ．4- B ．0 C ．8 D ．不存在 》 4．曲线3 x y =在点)8,2(处的切线方程为（ ）． A ．126-=x y B ．1612-=x y C ．108+=x y D ．322-=x y 5．已知函数d cx bx ax x f +++=2 3)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ， )0,(2x ，且)(x f 在1=x ，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．不确定 6．在R 上的可导函数c bx ax x x f +++=22 131)(2 3， 当)1,0(∈x 取得极大值，当)2,1(∈x 取得极小值，则 1 2 --a b 的取值范围是（ ）． A ．)1,4 1( B ．)1,2 1( C ．)4 1,21(- D ．)2 1,21(- 7．函数)cos (sin 21)(x x e x f x += 在区间]2 ,0[π 的值域为（ ） ． A ．]21,21[2π e B ．)2 1 ,21(2π e C ．],1[2π e D ．),1(2π e 8.07622 3 =+-x x 在区间)2,0(内根的个数为 （ ） ] A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

全国版2022高考数学一轮复习第3章导数及其应用第2讲导数的简单应用试题1理含解析

第三章 导数及其应用 第二讲 导数的简单应用 练好题·考点自测 1.[2021陕西模拟]若函数f (x )=kx -ln x 在区间(1,+∞)上单调递增,则k 的取值范围是( ) A .(-∞,-2] B .(-∞,-1] C .[2,+∞) D .[1,+∞) 2.下列说法错误的是( ) A.函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的 B.若x 0是可导函数y =f (x )的极值点,则一定有f'(x 0)=0 C.函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值 D.函数f (x )=x sin x 有无数个极值点 3.[2020安徽安庆一中5月模拟]函数y =f (x )的导函数的图象如图3-2-1所示,给出下列命题: ①(0,3)为函数y =f (x )的单调递减区间; ②(5,+∞)为函数y =f (x )的单调递增区间; ③函数y =f (x )在x =0处取得极大值; ④函数y =f (x )在x =5处取得极小值. 其中正确的命题序号是( ) A.①③ B.②④ C.①④ D.②③④ 4.[2017全国卷Ⅱ,11,5分][理]若x =-2是函数f (x )=(x 2 +ax -1)e x -1 的极值点,则 f (x )的极小值为( ) A.-1 B.-2e -3 C.5e -3 D.1 5.[2021河南省名校第一次联考]已知函数f (x )=x (x -c )2 在x =2处取极大值,则c = . 6.[2021武汉市部分学校质检]设函数f (x )=ln 1+sinx 2cosx 在区间[-π4,π 4]上的最小值和最大值分别为m 和M ,则 m +M = . 拓展变式 1.[2020全国卷Ⅰ,21,12分][理]已知函数f (x )=e x +ax 2 -x. (1)当a =1时,讨论f (x )的单调性; (2)当x ≥0时,f (x )≥1 2x 3 +1,求a 的取值范围. 2.已知函数g (x )=1 3x 3 -a 2x 2 +2x +5. (1)若函数g (x )在(-2,-1)内单调递减,则a 的取值范围为 ;

2、导数的应用(一)

实用文档 §12.2导数的应用（一） 【复习目标】 1． 会逆用多项式的求导法则，求多项式函数的解析式； 2． 会用导数判断函数的单调区间与单调性； 3． 会判断和求函数的极大值、极小值，求闭区间上函数的最大值、最小值． 【课前预习】 1. 给定函数32()2f x x x =+，则'()f x = ；'(0)f = ；'(2)f = 。 2. 已知函数42()f x x ax bx =++，且''(1)2,(1)6f f =-=，则a b += （ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2 3. 设函数()()(2)(3)f x x x k x k x k =++-，且'(0)6,f =则k = （ ） A ．0 B ．-1 C ．3 D ．-6 4. 已知0a >，函数312()f x ax x a =+，且'(1)12f ≤，则a = （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 5. 函数432()44f x x x x a =-+--的单调递减区间为 ，单调递增区间为 。 6. 曲线3 3y x x =-上切线平行于x 轴的点有 个。

实用文档 【典型例题】 例1 已知函数3()2f x x ax =+与2()g x bx c =+的图象都过点P （2，0），且在点P 处 有公切线，求,,a b c 及(),()f x g x 的表达式。 例2 讨论函数32(1)log ()a y x a x +=-的单调性。 例3 已知函数32()f x ax bx =+，曲线()y f x =过点P （－1，2），且在点P 处的切线 恰好与直线30x y -=垂直。 （1） 求,a b 的值； （2） 若在区间[,1]m m +上单调递增，求m 的取值范围。

2-2导数及其应用知识点总结

数学选修2-2推理与证明知识点必记 13.归纳推理的定义是什么？ 答：从个别事实．．．．中推演出一般性．．． 的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。 归纳推理是由部分到整体．．，由个别到一般．． 的推理。 14.归纳推理的思维过程是什么？ 答：大致如图： 15.归纳推理的特点有哪些？ 答： ①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。 ②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。 ③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。 16.类比推理的定义是什么？ 答：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊．．到特殊．． 的推理。 17.类比推理的思维过程是什么？ 答： 18.演绎推理的定义是什么？ 答：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般．．到特殊．． 的推理。 19．演绎推理的主要形式是什么？答：三段论 20.“三段论”可以表示为什么？ 答： ①大前题：M 是P ②小前提：S 是M ③结论：S 是P 。 其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。 21.什么是直接证明？它包括哪几种证明方法？ 答：直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。 22.什么是综合法？ 答：综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。 23.什么是分析法？ 答：分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。 要注意叙述的形式：要证A ，只要证B ，B 应是A 成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。 24什么是间接证明？ 观察、比较 联想、类推 推测新的结论 实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论

导数及其应用教材分析

第三章导数教材分析 一、内容安排 本章大体上分为导数的初步知识、导数的应用、微积分建立的时代背景和历史意义部分. 导数的初步知识.关键是导数概念的建立.这部分首先以光滑曲线的斜率与非匀速直线运动的瞬时速度为背景，引出导数的概念，给出按定义求导数的方法，说明导数的几何意义.然后讲述初等函数的求导方法，先根据导数的定义求出几种常见函数的导数、导数的四则运算法则，再进一步给出指数函数和对数函数的导数. 这部分的末尾安排了两篇阅读材料，一篇是结合导数概念的“变化率举例”，另一篇是介绍导数应用的“近似计算”. 导数的应用，这部分首先在高一学过的函数单调性的基础上，给出判定可导函数增减性的方法.然后讨论函数的极值，由极值的意义，结合图象，得到利用导数判别可导函数极值的方法*最后在可以确定函数极值的前提下，给出求可导函数的最大值与最小值的方法. 微积分是数学的重要分支，导数是微积分的一个重要的组成部分.一方面，不但数学的许多分支以及物理、化学、计算机、机械、建筑等领域将微积分视为基本数学工具，而且，在社会、经济等领域中也得到越来越广泛的应用.另一方面，微积分所反映的数学思想也是日常生活与工作中认识问题、研究问题所难以或缺的. 本章共9小节，教学课时约需18节（仅供参考） 3. 1导数的概念 ............. 约3课时 3. 2几种常见函数的导数........... 约1课时 3. 3函数的和、差、积、商的导数...... 约2课时 3. 4复合函数的导数............. 约2课时 3. 5对数函数与指数函数的导数....... 约2课时 3. 6函数的单调性............. 约1课时 3. 7函数的极值 ............. 约2课时 3. 8函数的最大值与最小值......... 约2课时 3. 9微积分建立的时代背景和历史意义....约1课时 小结与复习.............. 约2课时 二、教学目标 1?了解导数概念的某些实际背景（例如瞬时速度，加速度，光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念. 2.熟记基本导数公式：

数学2-2 导数及其应用

数学2-2 导数及其应用 一、选择题： 1．对于R 上可导的任意函数)(x f ，若满足0)()1(≥'-x f x ，则必有（ ） A 、)1(2)2()0(f f f <+ B 、)1(2)2()0(f f f ≤+ C 、)1(2)2()0(f f f ≥+ D 、)1(2)2()0(f f f >+ 2．设P 为曲线C ：2 23y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π?????? ，，则点P 横坐标的取值范围为（ ） A ．112 ??--??? ? ， B ．[]10-， C ．[]01， D ．112?? ???? ， 3．设曲线1 1 x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2 B ．12 C ．1 2 - D ．2- 4．设曲线2 ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （ ） A ．1 B ． 1 2 C ．12 - D ．1- 5．设a R ∈，若函数x y e ax =+，x R ∈，有大于零的极值点，则（ ） A 、1a <- B 、1a >- C 、1a e <- D 、1a e >- 6．设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ） A. 2 e B. e C. ln 2 2 D. ln 2 7．若2 1()ln(2)2 f x x b x =- ++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（ ） A. [1,)-+∞ B. (1,)-+∞ C. (,1]-∞- D. (,1)-∞- 8．函数3 2 23125y x x x =--+在[0，3]上的最大值，最小值分别是（ ） A ．5，-15 B ．5，-4 C ．-4，-15 D ．5，-16 二、填空题

最新2.12导数的应用(一)汇总

2.12导数的应用(一)

第十二节导数的应用(Ⅰ) [备考方向要明了] [归纳·知识整合] 1．函数的单调性与导数

[探究] 1.若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0吗？f′(x)>0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？ 提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f′(x)≥0， f′(x)>0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件． 2．函数的极值与导数 (1)函数的极小值： 若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则a点叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值． (2)函数的极大值： 若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则b点叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，极大值和极小值统称为极值． [探究] 2.导数值为0的点一定是函数的极值点吗？“导数为0”是函数在该点取得极值的什么条件？ 提示：不一定．可导函数的极值点导数为零，但导数为零的点未必是极值点；如函数f(x)＝x3，在x＝0处，有f′(0)＝0，但x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点；其为函数在该点取得极值的必要而不充分条件． 3．函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件： 一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．

导数应用2

类型三利用导数研究函数的极值与最值 1．求函数y＝f(x)在某个区间上的极值的步骤 (1)求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根x0； (3)检查f′(x)在x＝x0左右的符号； ①左正右负?f(x)在x＝x0处取极大值； ②左负右正?f(x)在x＝x0处取极小值． 2．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值(极大值或极小值)； (2)将y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． [例](2012年高考北京卷) 已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx. (1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值； (2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．

[解析] (1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ， 因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线， 所以f (1)＝g (1)，且f ′(1)＝g ′(1)． 即a ＋1＝1＋b ，且2a ＝3＋b . 解得a ＝3，b ＝3. (2)记h (x )＝f (x )＋g (x )．当b ＝14a 2 时， h (x )＝x 3 ＋ax 2 ＋14a 2x ＋1， h ′(x )＝3x 2 ＋2ax ＋14a 2 . 令h ′(x )＝0，得x 1＝－a 2，x 2＝－a 6. a >0时，h (x )与h ′(x )的变化情况如下： 所以函数h (x )的单调递增区间为(－∞，－a 2)和(－a 6，＋∞)； 单调递减区间为(－a 2，－a 6)． 当－a 2≥－1，即0

(完整版)高二数学选修2-2导数及其应用测试题(含答案),推荐文档

x 2 + 1 高二数学选修 2-2 导数及其应用测试题 一、 选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1 - x 2 1. 设 y = sin x ，则 y ' = （ ）． - 2x sin x - (1- x 2 ) cos x A ． sin 2 x - 2x sin x + (1 - x 2 ) - 2x sin x + (1- x 2 ) cos x B ． sin 2 x - 2x sin x - (1 - x 2 ) C. D ． sin x sin x 2．设 f (x ) = ln ，则 f '(2) = （ ）． 4 2 1 3 A. B ． C ． D ． 5 5 5 5 2x - 3 f (x ) 3．已知 f (3) = 2, f '(3) = -2 ，则lim x →3 x - 3 的值为（ ）． A. - 4 B. 0 C ． 8 D ．不存在 4. 曲线 y = x 3 在点(2,8) 处的切线方程为（ ）． A ． y = 6x - 12 C ． y = 8x + 10 B ． y = 12x - 16 D ． y = 2x - 32 5. 已知函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d 的图象与 x 轴有三个不同交点(0,0),(x 1 ,0) ， (x 2 ,0) ，且 f (x ) 在 x = 1， x = 2 时取得极值，则 x 1 ? x 2 的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．不确定 6. 在 R 上的可导函数 f (x ) = 1 x 3 + 1 ax 2 + 2bx + c ，当 x ∈ (0,1) 取得极大值，当 3 2 x ∈ (1,2) 取得极小值，则 b - 2 的取值范围是（ ）． a - 1 A. ( 1 ,1) B. ( 1 ,1) C. (- 1 , 1 ) D. (- 1 , 1 ) 4 2 2 4 2 2 7. 函数 f (x ) = 1 e x (sin x + cos x ) 在区间[0, ]的值域为（ ）． 2 1 1 2 1 1 A ．[ , 2 e 2 ] 2 B ． ( , 2 2 e 2 ) C ．[1, e 2 ] D ．(1, e 2 ) 8. 2x 3 - 6x 2 + 7 = 0 在区间(0,2) 内根的个数为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

选修2-2导数及其简单应用

河南省伊川高中II 部2010-2011学年高二下学期第一次月考 理 数 试 题 命题人：张晓锋 一、选择题（共有12个小题，每小题5分，共60分） 1、若()()() k x f k x f x f k 2lim ,2000 0--='→则的值为 （ ） A ．-2 B. 2 C.-1 D. 1 2、曲线y=x 3 +x-2在点P 0处的切线平行于直线y=4x ，则点P 0的坐标是（ ） A ．(0,1) B.(1,0) C.(-1,-4)或（1,0） D.(-1,-4) 3、下列求导运算正确的是 （ ） A ．(x +21 1)1 x x + =' B ．(log 2x )′= 2 ln 1 x C ．(3x )′=3x log 3e D ．(x 2cos x )′=－2x sin x 4、()()=+-=x f x x x f 则设函数,122 （ ） A ．在（－∞，＋∞）单调递增 B ．在（－∞，＋∞）单调递减 C ．在（－1，1）单调递减，其余区间单调递增 D ．在（－1，1）单调递增，其余区间单调递减 5、已知函数f (x )的导数为x x x f 44)(3-='，当函数f (x )取得极大值时，x 的值应为 （ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．±1 6、函数y=2x 3 -3x 2 -12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是 （ ） A. 5 , -15 B. 5 , 4 C. -4 , -15 D. 5 , -16 7、设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 （ ） A ． B ． C ． D ．

高中数学人教A选修2-2导数及其应用一测试题

《数学选修2-2》导数及其应用(一) 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.) 1、若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导,且0(,)x a b ∈则000()() lim h f x h f x h h →+-- 的 值为( ) A.0()f x ' B.02()f x ' C.02()f x '- D.0 2、一个物体的运动方程为2 1t t s +-=其中s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3 秒末的瞬时速度是( ) A.7米/秒 B.6米/秒 C.5米/秒 D.8米/秒 3、曲线x x y 43 -=在点(1,3)-处的切线倾斜角为( ) A.34π B.2π C.4π D.6 π 4、曲线3 ()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-,则0p 点的坐标为 ( ) A.(1,0) B.(2,8) C.(2,8)和(1,4)-- D.(1,0)和(1,4)-- 5、若()sin cos f x x α=-,则()f α'等于( ) A.cos α B.sin α C.sin cos αα+ D.2sin α 6、若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为( ) A.430x y --= B.450x y +-= C.430x y -+= D.430x y ++= 7、对正整数n ,设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ,则 数列1n a n ?? ? ?+??的前n 项和的公式是( ) A.2n B.22n - C.12n + D.1 22n +- 8、已知3 2 ()967,f x ax x x =++-若(1)4f '-=,则a 的值等于( ) A. 193 B.163 C.103 D.133 9、二次函数()y f x =的图象过原点,且它的导函数()y f x '=的图象过第一、二、三象限的一条直线,则函数()y f x =的图象的顶点所在象限是( ) A.第一 B.第二 C.第三 D.第四 10、已知函数)(x f y =的图象在点M (1,f (1))处的切线方程是x y 2 1 =+2,则(1)(1)f f '+的值等于( )

导数的简单应用(小题)

导数的简单应用(小题) 热点一 导数的几何意义与定积分 应用导数的几何意义解题时应注意： (1)f ′(x )与f ′(x 0)的区别与联系，f ′(x 0)表示函数f (x )在x ＝x 0处的导数值，是一个常数； (2)函数在某点处的导数值就是对应曲线在该点处切线的斜率； (3)切点既在原函数的图象上也在切线上. 例1 (1)(2019·湖南省三湘名校联考)在二项式? ? ? ??x 2 ＋ a 2x 6 的展开式中，其常数项是15.如图所示，阴影部分是由曲线y ＝x 2 和圆x 2 ＋y 2 ＝a 及x 轴在第一象限围成的封闭图形，则封闭图形的面积为( ) A.π4＋16 B.π4－16 C.π4 D.16 答案 B 解析 ? ? ???x 2 ＋a 2x 6 展开式中， 第k 项为T k ＋1＝C k 6? ?? ??a 2k x 12－3k ， 令12－3k ＝0，可得k ＝4，即常数项为C 4 6? ????a 24 ， 可得C 4 6? ?? ??a 24 ＝15，解得a ＝2.

曲线y ＝x 2和圆x 2＋y 2 ＝2在第一象限的交点为(1,1)， 所以阴影部分的面积为π4－?10(x －x 2 )d x ＝π4 － ???? ????12x 2－13x 310 ＝π4－16 . (2)(2019·许昌、洛阳质检)已知a >0，曲线f (x )＝3x 2 －4ax 与g (x )＝2a 2 ln x －b 有公共点，且在公共点处的切线相同，则实数b 的最小值为( ) A.0 B.－1e 2 C.－2e 2 D.－4 e 2 答案 B 解析 由f (x )＝3x 2 －4ax ，得f ′(x )＝6x －4a ， 由g (x )＝2a 2 ln x －b ，得g ′(x )＝ 2a 2 x . 设两曲线的公共点P (x 0，y 0)，x 0>0， 因为两曲线在公共点处的切线相同， 所以???? ? 6x 0－4a ＝2a 2 x 0 ， y 0 ＝3x 2 0－4ax 0 ， y 0 ＝2a 2 ln x 0 －b ， 由6x 0－4a ＝ 2a 2 x 0，解得x 0＝a ，x 0＝－1 3 a ， 又a >0，所以x 0＝a ，消去y 0，得 b ＝2a 2 ln a ＋a 2 ， 设b ＝h (a )＝2a 2 ln a ＋a 2 ，a >0，h ′(a )＝4a ln a ＋4a ， 令h ′(a )＝0，a ＝1 e ， 又01 e 时，h ′(a )>0， 所以a ＝1 e 时h (a )取极小值也是最小值， 即b min ＝h ? ?? ??1e ＝－1e 2. 跟踪演练1 (1)(2019·长沙模拟)已知函数f (x )＝?? ? －x ＋2，x ≤2， 1－x －32，2