高二数学 7.2 直线的方程同步辅导教材

7.2 直线的方程

一、本讲进度 7.2 直线的方程

课本第38页至第44页

二、本讲主要内容 直线普通方程的五种形式 三、学习指导

1、从几何条件看，给出直线上一点及直线的方向可以确定直线；给出直线上的两点也可以确定直线。由此得到了求直线方程两种常用途径，得到了直线方程的基本形式：点斜式及两点式。两点式归根到底又由点斜式确定。

同学们应熟练掌握直线普通方程五种基本形式的特征。使用范围及注意事项： （1）在选用点斜式y-y 0=k(x-x 0)（将k 作为待定参数）时，应讨论直线斜率k 不存在的情形，此时直线方程为x=x 0。

斜截式y=kx+b 作为点斜式的特例，也有类似问题。

点斜式是直线方程的最基本形式，斜截式是使用频率最高的一种形式。 （2）两点式是最不常用的一种形式。教材是把两点式转化为点斜式写出直线方程的，体现了转化的思想，同学们在解题时也应这样去转化。

也可以依照点斜式的推导思想去求两点式直线方程：已知直线

上两点P 1(x 1，

y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线上任取一点P(x ，y)（异于P 1、P 2点），由P 1、P 2、P 三点共线，借助于向量一章中介绍的分比公式得到：

2

11

211y y y y x x x x --=-- …………①

或借助于斜率概念，有211P P PP k k =（或12PP PP k k =等），则： 1

21

211x x y y x x y y --=-- …………②

方程①及②均是两点式直线方程的表示形式。不管是哪一种分式形式，它都没有能表示出平面上直线x=x 1(x=x 2)及直线y=y 1，即直线斜率不存在或斜率为0时，不能

通过两点式的分式形式表示出来。若将分式形式改写成整式形式，如，由①变形为(x-x 1)(y 1-y 2)=(y-y 1)(x 1-x 2)，则它可以表示平面上过任意两个已知点的直线方程。

截距式是两点式特例。当某条直线在坐标轴上截距相等时，应对截距是否为零进行讨论。若截距不为零，直线方程形式为x+y=a （a ≠0）；若截距为零，则直线方程形式为y=kx （k ≠0），此时直线必过原点。

（3）直线方程一般式Ax+By+c=0（A 2

+B 2

≠0），则指明了直线方程的特征，揭示了平面上直线（形）与二元一次方程（数）之间的一一对应关系。正因为存在这样一种对应关系，所以可把“直线的方程为Ax+By+C=0”简说成“直线Ax+By+C=0”。

应熟练对直线方程的各种形式进行互相转化。一般说来，解题的最后结果都应写成一般式。

2、求直线方程，一般用待定系数法。首先根据题目条件，选择适当的直线方程形式；其次，通过解方程确定有关参数。

3、在求直线方程过程中，重视分析图形的平几性质简化计算。实际上，这也是研究解析几何问题的重要思想方法。

四、典型例题

例1、等腰△ABC 的顶点A （-1，2），AC 边所在直线斜率为3，点B 坐标为（-3，2），求AC 、BC 及∠A 平分线所在直线方程。

解题思路分析：

首先正确画出示意图，可以发现点C 有两种可能，应分情况求解。 AC 边所在直线方程：y-2=3 (x+1)，即3x-y+2+3=0。 当点C 为点C 1时 ∵ AB ∥x 轴 ∴ ∠BAC 2=

3

π，∠BAC 1=π32

又 |AB|=|AC 1| ∴ ∠ABC 1=∠AC 1B=

6

π ∴ 直线BC 方程：y-2=

3

3

(x+3)

即3x-3y+6+33=0 ∵ ∠A 平分线与线段AB 夹角为

3

π ∴ ∠A 平分线与x 轴正方向形成的角为π32

∴ ∠A 平分线方程：y-2=-3(x+1) 即3x+y-2+3=0

当点C 为点C 2时，△ABC 2为正三角形，BC 2倾斜角为π32，∠A 平分线倾斜角为6π

，

可求得BC 边所在直线方程为3x+y-2+33=0，∠A 平分线方程为3x-3y+6+3=0。

注：若进一步分析图形的平几性质，因|BA|=2

1

|C 1C 2|，故△C 1BC 2是以B 为顶点的直角三角形。由AB ∥x 轴得∠BAC 2=

3π。∴△ABC 2为正三角形，∠ABC 1=6

π

，即为直线BC 1倾斜角。下求有关直线方程亦相当简单。

在后面讲完两条直线互相垂直的充要条件后，由BC 1⊥BC 2，求出1BC k 后，立即可以求2BC k ；两种情况下的角A 平分线亦互相垂直，求出第一种情形下∠A 平分线斜率，马上可以得到第二种情形下角A 平分线斜率。

例2、过点P （2，1）作直线分别交x 轴、y 轴正半轴于A 、B 两点，求出△AOB

面积最小时直线的方程。

解题思路分析：

从条件分析，因涉及到过定点P ，故可选用点斜式，将斜率k 作为参数；又涉及到与坐标轴交点，也可采用截距式，将横、纵截距作为参数。

从结论分析，这是一个最值问题。应将△AOB 面积作为目标函数，将刚才设定的参数作为未知数建立函数关系，然后求该函数的最小值。

思路一：直线的斜率显然存在，设直线：y-1=k(x-2)，由直线

的几何位置

可知k<0（这是一个隐藏条件，却是解决本题关键。由此说明，形与数的对应、转化是多么重要！）

△AOB 面积S=

21|OA||OB|=]4k

1)k 4[(21)k 21)(k 12(21+-+-=-- ≥k

1

)k 4(2[21-?-+4]=4

当且仅当-4k=k

1-

，k=21

±（舍正）时，S min =4，此时直线方程为x+2y-4=0

思路二：设直线方程为1b

y

a x =+，a>0，b>0（实际上，a>2，b>1） ∵ P ∈ ∴

1b

1

a 1=+ …………① 则△AOB 面积S=a

b 2

1

问题转化为在条件①下求二元函数S 的最小值，这在不等式中已多次讲过，这里只介绍一种消元方法。

由①得b=

2

a a

- S=2

a a 212a a a 212-?

=-? 令t=a-2，则t>0，S=)4t

4

t (21t )2t (212++=+?≥4]4t 4t 2[21=+??

当且仅当t

4

t =，2t ±=（舍负）时等号成立，此时a=4，b=2，A （4，0），B （0，2）

注1：在思路二之下，同学们可以发现一个有趣的结论：点P 在AB 中点。在与本题相仿的条件下，记住这个结论也许会提高你解客观题的速度。

思路三：对于本题中的直线

，在过点P 的条件下，实际是无数条直线，称这些

直线为放置直线系（束），k 为变量。k 与倾斜角θ是对应的，故本题也可考虑将旋转角作为参数。

分析图形特征，当绕点P 绕转时，点P 与坐标轴围成矩形面积OMPN 为常数，引起的是两Rt △BNP 、Rt △PMA 的面积变化，由此可联想到用分割法求面积，如图。

设∠BAO=θ，θ∈（0，

2

π） 则APM PMON BPN OAB S S S S ???++=矩 2

1

2+=(4tan θ+cot θ) ≥θ?θ?+

cot tan 422

1

2=4 当且仅当4tan θ=cot θ，tan θ=21，θ=arctan 2

1

时，S min =4，此时直线方程：x+2y-4=0。

例3、对于直线上任意点（x ，y ），点（4x+2y ，x+3y ）仍在直线上，求直线

方程。

解题思路分析：

法一：用待定系数法这个常规方法比较困难，考虑从特殊情形着手。为了保证两点（x ，y ），（4x+2y ，x+3y ）同时在直线上，

令 ?

??+=+=y 3x y y

2x 4x

解之得 ?

??==0y 0x

可知直线过原点，其方程特征为Ax+By=0（即常数项为0），下面再确定参数A 、B 。

∵ 点（4x+2y ，x+3y ）在直线上 ∴ A （4x+2y ）+B(x+3y)=0 ∴ (4x+B)x+(2A+3B)y=0

设方程表示的直线其实就是直线Ax+By=0 ∴

B

B

3A 2A B A 4+=

+ ∴ 2A 2

-AB-B 2

=0 ∴ A=B ，或B=-2A

∴ 直线方程为x+y=0或x-2y=0

法二：若用待定系数法，只能选用两个参数 设

：y=kx+b

则 x+3y=k(4x+2y)+b

∴ x+3(kx+b)=4kx+2k(kx+b)+b ∴ (2k 2

+k-1)x+2(k-1)b=0 ∵ x ∈R

∴ ?

??=-=-+0b )1k (201k k 22

∴ ?????

==

b 21k 或??

?=-=0b 1k ∴ 直线：x-2y=0，或x+y=0

例4、已知△ABC 中，A(1，3），AB 、AC 边上的中线所在直线方程分别为x-2y+1=0，y-1=0求△ABC 各边所在直线方程。

解题思路分析：

尽可能画出准确的示意图。 设AB 、AC 中点分别为E 、F

显然求各边所在直线斜率有一定困难，因中线与中点有关，中点又与三角形顶点相关，均考虑求△ABC 的顶点坐标。由已知两点的几何条件求直线方程。

∵ C ∈CE ，CE 方程为x-2y+1=0 ∴ 可设点C(2y 0-1，y 0)，则点F(y 0，2

3

y 0+) ∵ F ∈BC ，BF 方程y-1=0 ∴

012

3

y 0=-+ ∴ y 0=-1 ∴ C(-3，-1) 同理可求得B （5，1） ∴ △ABC 三边所在直线方程为

AB ：x+2y-7=0 BC ：x-4y-1=0 AC ：x-y+2=0 五、同步练习 （一）选择题 1、直线：

14

y

3x =+的倾斜角是 A 、34arctan B 、)34arctan(- C 、)34arctan(-+π D 、)34

arctan(--π

2、a 、b ∈N ，则过不同三点（a ，0），（0，b ），（1，3）的直线条数为 A 、1 B 、2 C 、3 D 、多于3

3、点A （3，0），B （0，4），动点P （x ，y ）在线段AB 上运动，则(xy)max 为 A 、3 B 、3 C 、

43 D 、49

144

4、已知点A （3，3）、B （-1，5）、直线： y=kx+1与线段AB 有公共点，则k 取值范围是

A 、(∞，-21)∪(-21,+∞)

B 、[-4，-21)∪(-]3

2

,21 C 、[-4，

32] D 、（-∞，-4]∪[3

2，+∞） 5、直线：Ax+By+C=0过第一、二、三象限，则

A 、???>>0BC 0A

B B 、???<>0B

C 0AB C 、???><0BC 0AB

D 、?

??<<0BC 0

AB

6、直线：(m+2)x-(m-2)y-2m=0，直线x 轴上截距为3，则m 等于 A 、6 B 、-6 C 、

56 D 、5

6

- 7、直线2x-y-4=0绕它与x 轴的交点逆时针旋转450

所得直线方程是 A 、x-3y-2=0 B 、3x-y+6=0 C 、x-y-2=0 D 、3x+y-6=0

8、等腰△AOB 中，AO=AB ，点O （0，0），A （1，3），点B 在x 轴正半轴上，则直线AB 方程为

A 、y-1=3(x-3)

B 、y-1=-3(x-3)

C 、y-3=3(x-1)

D 、y-3=-3(x-1) （二）填空题

9、过点（2，1），且倾斜角α满足sin α=5

4

的直线方程是______________________。

10、过点（1，2）且在x 轴、y 轴上的截距相等的直线方程是________________。 11、已知直线y=kx+b ，当x ∈[-3，4]时，y ∈[-8，13]，则此直线方程是____________。

12、直线与x 轴、y 轴的正向交于A 、B ，S △AOB =2，且|AO|-|BO|=3，则直线方程________________。

13、直线3x-4y+k=0在两坐标轴上截距之积为2，则实数k=__________。 14、若直线(a-1)x+(3-a)y+a=0在两坐标轴上截距相等，则实数a=____________。 15、已知直线过点（1，-1）且倾斜角等于直线y=2x+1的倾斜角的两倍，则直线

方程______________。

（三）解答题

16、已知直线过点P （-1，3）且与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，若线段中点为P ，求

方程。

17、直线过P （-2，1），斜率为k （k>1），将直线绕点P 逆时针方向旋转45

得直线m ，若直线和m 分别与y 轴交于Q 、R 两点，则当k 为何值时，△PQR 面积最小？求出面积的最小值。

18、已知两直线a 1x+b 1y+1=0和a 2x+b 2y+1=0都过点P （2，3），求经过两点Q 1（a 1，b 1），Q 2(a 2，b 2)的直线方程。

19、A 是直线：y=3x 上一点，且A 在第一象限内，直线AB 交x 轴正半轴于C ，求使△AOC 面积最小时A 点坐标。

20、已知3A+4B+5C=0，求直线：Ax+By+C=0必过某定点P ，并求点P 坐标。 六、参考答案 （一）选择题

1、C 。 34k -

= ，34tan -=α，∵α∈[0，π），∴α=π+arctan(-3

4

)

2、B 。 ∵

a 13a

b -=

-，∴a

13

3b --=，∵a 、b ∈N ，∴1-a=±3，±1,当a=2时b=6；当a=4时b=4。

3、A 。 P ∈AB ，14y 3x =+，且x ≥0，y ≥0。∵4

y

3x +≥3

xy 12xy 2=，∴xy ≤

3，xy ≤3。

4、D 。 如图，直线

表示过P （0，1）的旋转线系，3

2

k PA =

，4k PB -=，当从PA 逆时针旋转到y 轴时，k ≥3

2

；当从y 轴逆时针旋转到PB 时，k ≤-4，∴k ≤-4，或k ≥

3

2。 5、D 。 化一般式为斜截式y=-B

C

x B A -，

当过第一、二、三象限时，k>0且b>0，∴0B A >-

且0B C >-，∴B A <0且0B C

<，∴AB<0且BC<0。 6、B 。

7、D 。 所求直线斜率θ

-θ+=

tan 45tan 1tan 45tan k 00（θ为直线2x-y-4=0的倾斜角，

32

12

1k -=-+=

。又直线过（2，0）

，∴直线方程为3x+y-6=0。 8、D 。 k AB =-k AO =-3，∴直线AB 方程y-3=-3(x-1)。

（二）填空题

9、4x-3y-5=0，或4x+3y-11=0。当α为锐角时，tan α=34，k=34，直线y-1=3

4

(x-2),即4x-3y-5=0；当α为钝角时，tan α=-34，k=34-，直线为y-1=-3

4

(x-2)，即4x+3y-11=0。

10、2x-y=0，或x+y-3=0。当截距为零时，设直线方程为y=kx ，令x=1，y=2，得k=2，直线方程为2x-y=0；当截距不为零时，设直线方程为x+y=a ，令x=1，y=2，则a=3，直线方程为x+y-3=0。

11、y=3x+1，或y=-3x+4。记f(x)=kx+b ，当k>0时，f(x)在[-3，4]上递增，??

?=-=-13)4(f 8)3(f ，?

??==1b 3

k ；当k<0时，f(x)在[-3，4]上递减，???-==-8)4(f 13)3(f ，∴???=-=4b 3k 。 12、x+4y-4=0。设直线：1b y a x =+（a>0，b>0），则?????=-=3

b a 2ab 21

，???==4a 1

b 。

13、-24。令x=0，y=

4k ，令y=0，x=-3

k ，则2)3k

(4k =-+，∴k=-24。

14、0，或2。显然a ≠1，a ≠3，令x=0，y=3a a -；令y=0，x=a

1a -。令a 1a 3a a -=-，解之得a=0，或2。

15、4x+3y-1=0。设直线y=2x+1倾斜角为α，则tan α=2，

α

-α=

α=2tan 1tan 22tan k =34-

，∴直线L 方程为y+1=-4

3

(x-1)，即4x+3y-1=0。 （三）解答题

16、解：设A （a ，0），B （0，b ），则???????=-=32

b 12

a

，???=-=6b 2a

∴ 直线方程16

y 2x

=+-，即3x-y+6=0。 17、解；设直线

倾斜角为α，则直线m 倾斜角为α+450

，k m =tan(α+450

)=

k

1k

1-+ ∴ 直线方程：y-1=k(x+2) 直线m 方程：)2x (k

1k

11y +-+=- 令x=0

则 y Q =2k+1>0，k

1k

3y k -+=<0 ∴ |PQ|=y Q -y R =2k+1-

1

k k

31k 2k 1k 3-++

+=-+

∴ 1

k 3

k 1k 2|x ||PQ |21S P PQR -++

+=?=

? ]21

k 2

)1k [(2+-+-=≥)12(4+ 当且仅当k-1=

1

k 2

-，k=12+，k=1-2（舍）时 )12(4S min +=

18、解：由已知得???=++=++01b 3a 20

1b 3a 222

11

∴ （a 1，b 1），(a 2，b 2)均是方程2x+3y+1=0的解

∴ 点Q 1(a 1，b 1)，Q 2(a 2，b 2)均在方程2x+3y+1=0表示的直线上 ∵ 过两点的直线唯一

∴ 直线Q 1、Q 2方程为2x+3y+1=0

19、解：（1）当AB 斜率存在时，设A(t ，3t)（t>0） ∵ k AB =k BC ∴

C

x 323t 2t 3-=

-- ∴ 2

t 3t

7x C -=

∵ 点C 在x 轴正半轴上 ∴ x C >0 ∴ t>

3

2 令 u=3t-2

则 S=)4u 4u (67u )

32u (

2212

++=+?≥3

28

当且仅当u=±2（舍负），t=

34时，328S min =，此时A （3

4

，4） （2）当AB 斜率不存在时，A （3，9），S=

2

27

∵

3

28

227>

∴ 当A 为（

34，4）时，3

28

)S (min AOC =? 20、解：∵ 3A+4B+5C=0

∴ )B 4A 3(51

C +-=

代入直线方程得Ax+By-5

1

(3A+4B)=0 ∴ 5

4)53x (B A y +--= ∴ )5

3x (B A 54y -=-

由方程特征可知，这是表示过定点（54

,53）的旋转直线系

∴ P （54

,53）

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（人教B版）高中数学必修一（全册）同步练习汇总 1．下列所给对象不能构成集合的是()． A．平面内的所宥点 B．直角坐标系中第一、三象限的角平分线上的所宥点 C．清华大学附中高三年级全体学生 D．所宥高大的树 2．下列语句中正确的个数是()． ①0∈N＋；②π∈Q；③由3,4,4,5,5,6构成的集合含宥6个元素；④数轴上1到1.01间的线段包括端点的点集是宥限集；⑤某时刻地球上所宥人的集合是无限集．A．0B．1C．2D．3 3．(易错题)由a2,2－a,4组成一个集合A, A中含宥3个元素, 则实数a的取值可以是()． A．1 B．－2 C．6 D．2 -.其中正确的个数是4．给出以下关系式: 2∈R, ②2.5∈Q, ③0∈?, ④3N ()．

A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．以实数x , － x , 2x , |x |, －|x |, 2x -, 33x -, 3 3x 爲元素所构成的集合中最多 含宥( )． A ．2个元素 B ．7个元素 C ．4个元素 D ．5个元素 6．已知x , y , z 是非零实数, 代数式xyz x y z x y z xyz +++ 的值所组成的集合爲M , 则M 中宥________个元素． 7．对于集合A ＝{2,4,6}, 若a ∈A , 则6－a ∈A , 那么a 的值是________． 8．用符号∈和?填空． (1)设集合A 是正整数的集合, 则0________A , 2________A , (－1)0________A ； (2)设集合B 是小于11的所宥实数的集合, 则23________B,1＋2________B ； (3)设集合C 是满足方程x ＝n 2＋1(其中n 爲正整数)的实数x 的集合, 则3________C,5________C ； (4)设集合D 是满足方程y ＝x 2的宥序实数对(x , y )的集合, 则－1________D , (－1,1)________D . 9．关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0且a , b , c ∈R ), 当a , b , c 满足什么条件时, 以实数解构成的集合分别爲空集、含一个元素、含两个元素? 10.数集M 满足条件: 若a ∈M , 则11a M a +∈-(a ≠± 1, 且a ≠0), 已知3∈M , 试把由此确定的M 的元素求出来．

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高二数学课本电子版 一、变量间的相关关系 1.常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系;与函数关系不同，相关关系 是一种非确定性关系. 2.从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分 布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关. 二、两个变量的线性相关 1.从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之 间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线. 当r>0时，表明两个变量正相关; 当r<0时，表明两个变量负相关. r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.r的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几 乎不存在线性相关关系.通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性. 三、解题方法 1.相关关系的判断方法一是利用散点图直观判断，二是利用相关系数作出判断. 2.对于由散点图作出相关性判断时，若散点图呈带状且区域较窄，说

明两个变量有一定的线性相关 性，若呈曲线型也是有相关性. 3.由相关系数r判断时|r|越趋近于1相关性越强. 1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径. 2、圆的方程 (1)标准方程,圆心,半径为r; (2)一般方程 当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为 当时,表示一个点;当时,方程不表示任何图形. (3)求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法：先设后求.确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置. 3、高中数学必修二知识点总结：直线与圆的位置关系： 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况： (1)设直线,圆,圆心到l的距离为,则有;; (2)过圆外一点的切线：k不存在,验证是否成立k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解k, 得到方程【一定两解】

高中数学必修2综合测试题

正视图 侧视图 俯视图 2 1 1 高中数学必修2综合测试题 文科数学 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.若直线1=x 的倾斜角为α，则=α( )． A ．0 B.3 π C ．2π D ．π 2．已知直线1l 经过两点)2,1(--、)4,1(-，直线2l 经过两点)1,2(、)6,(x ，且21//l l ，则=x （ )． A ．2 B ．－2 C ．4 D ．1 3.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )． A ．π25 B ．π50 C ．π125 D ．π200 4.若方程02 2 =++++k y x y x 表示一个圆,则k 的取值范围是( ) A.21> k B.21≤k C. 2 1 0<

高二数学 直线的方程

典型例题一 例1 直线l 过点P （－1，3），倾斜角的正弦是 5 4 ，求直线l 的方程． 分析：根据倾斜角的正弦求出倾斜角的正切，注意有两解． 解：因为倾斜角α的范围是：πα<≤0 又由题意：5 4sin =α， 所以：3 4tan ± =α， 直线过点P （－1，3），由直线的点斜式方程得到：()13 4 3+±=-x y 即：01334=+-y x 或0534=-+y x ． 说明：此题是直接考查直线的点斜式方程，在计算中，要注意当不能判断倾斜角α的正切时，要保留斜率的两个值，从而满足条件的解有两个． 典型例题二 例2 求经过两点A （2，m ）和B （n ，3）的直线方程． 分析：本题有两种解法，一是利用直线的两点式；二是利用直线的点斜式．在解答中如果选用点斜式，只涉及到n 与2的分类；如果选用两点式，还要涉及m 与3的分类． 解：法一：利用直线的两点式方程 ∵直线过两点A （2，m ）和B （n ，3） （1）当3=m 时，点A 的坐标是A （2，3），与点B （n ，3）的纵坐标相等，则直线 AB 的方程是3=y ； （2）当2=n 时，点B 的坐标是B （2，3）,与点A （2，m ）的横坐标相等，则直线AB 的方程是2=x ； （3）当3≠m ，2≠n 时，由直线的两点式方程 1 21 121x x x x y y y y --=--得： 2 2 3--= --n x m m y 法二：利用直线的点斜式方程 （1）当2=n 时，点B A ,的横坐标相同，直线AB 垂直与x 轴，则直线AB 的2=x ； （2）当2≠n 时，过点B A ,的直线的斜率是2 3--=n m k ， 又∵过点A （2，m ） ∴由直线的点斜式方程()11x x k y y -=-得过点B A ,的直线的方程是：

高中数学必修一全册同步练习含参考答案

高中数学必修一同步练习 1.1.1 集合的含义与表示 课后作业· 练习案 【基础过关】 1．若集合中只含一个元素1，则下列格式正确的是 A.1= B.0 C.1 D.1 2．集合的另一种表示形式是 A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5} 3．下列说法正确的有 ①集合，用列举法表示为{1,0,l}； ②实数集可以表示为或; ③方程组的解集为. A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 4．直角坐标系中，坐标轴上点的集合可表示为 A. B. C.

D. 5．若集合含有两个元素1，2，集合含有两个元素1，，且，相等，则____. 6．已知集合，，且，则为 . 7．设方程的根组成的集合为，若只含有一个元素，求的值. 8．用适当的方法表示下列集合： (1)所有被3整除的整数； (2)满足方程的所有x的值构成的集合B. 【能力提升】 集合，，，设，则与集合有什么关系？

详细答案 【基础过关】 1．D 【解析】元素与集合之间只存在“∈”与“?”的关系，故1∈A正确. 2．B 【解析】由x－2＜3得x＜5，又，所以x＝1，2，3，4，即集合的另一种表示形式是{1，2，3，4}. 3．D 【解析】对于①，由于x∈N，而－1?N，故①错误；对于②，由于“{ }”本身就具有“全部”、“所有”的意思，而且实数集不能表示为{R}，故②错误；对于③，方程组的解集是点集而非数集，故③错误. 4．C 【解析】坐标轴上的点分为x轴、y轴上的点，在x轴上的点纵坐标为0，在y轴上的点横坐标为0. 5． 【解析】由于P，Q相等，故，从而. 6．(2，5) 【解析】∵a∈A且a∈B， ∴a是方程组的解， 解方程组，得∴a为(2，5).

高中数学必修2知识点总结归纳 整理

高中数学必修二 ·空间几何体 1.1空间几何体的结构 棱柱 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边 形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、 五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如 五棱柱'''''E D C B A ABCDE - 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形， 由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、 五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥'''''E D C B A P - 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 棱台 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间 的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、 五棱台等 表示：用各顶点字母，如四棱台ABCD —A'B'C'D' 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 圆柱 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的 曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面 圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

圆锥 定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的 曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面 展开图是一个扇形。 圆台 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之 间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点； ③侧面展开图是一个弓形。 球体 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 1.2空间几何体的三视图和直观图 1.中心投影与平行投影 中心投影：把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。 平行投影：在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影。 2.三视图 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3.直观图：斜二测画法 斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；（3）.画法要写好。

高中数学直线方程公式

直线方程公式 1.斜率公式 ①若直线的倾斜角为α（00≤α＜1800）, 则k=tan α (α2π≠ ) ②若直线过点111(,)P x y 和222(,)P x y 两点. 则2121y y k x x -=- 解题时，要从斜率存在与不存在两个方面分类讨论。点P 1（x 1,y 1），P 2（x 2,y 2）的中点P 0（x 0,y 0），则x 0=（x 1+ x 2）/2，y 0=（y 1+ y 2）/2。 2.方向向量坐标 ： ()()k y y x x x x p p x x ,1,11 1 212122112=---=- 3.两条直线的平行和垂直 【1】两直线平行的判断 （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，则l 1∥l 2充要条件是k 1=k 2,且b 1≠b 2。 （2）若l 1：x=x 1， l 2：x=x 2，则l 1∥l 2充要条件是x 1≠x 2。 （3）不重合的两条直线l 1、l 2倾斜角分别为α1、α2，则l 1∥l 2充要条件是α1=α2。 （4）l 1：A 1x+B 1y+C 1=0， l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零，则l 1∥l 2充要条件是A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1≠0（或A 1C 2-A 2C 1≠0）。11112222 ||A B C l l A B C ?=≠。 【2】两直线垂直的判断 （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，则l 1⊥l 2充要条件是k 1·k 2=-1。 （2）若l 1的斜率不存在，则l 1⊥l 2充要条件是l 2的斜率为零。 （3）两条直线l 1、l 2倾斜角分别为α1、α2，则l 1⊥l 2充要条件是21a -a =900。 （4）l 1：A 1x+B 1y+C 1=0， l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零，则l 1⊥l 2充要条件是A 1A 2+B 1B 2=0。 【3】两直线相交的判断 （1）两直线方程组成的方程组有唯一解是两直线相交的充要条件。 （2）两直线斜率存在时，斜率不等是两直线相交的充要条件。 （3）两直线倾斜角不相等是两直线相交的充要条件。

高二数学 排列与组合同步练习(含答案)[原创]

班级姓名 1.从甲地到乙地每天有直达班车4班，从甲地到丙地，每天有5个班车，从丙地到乙地，每天有3个班车，则从甲地到乙地，不同的乘车法有（） A.12种 B.19种 C.32种 D.60种 2.若x∈｛1，2，3｝，ｙ∈｛５，7，9｝，则x·y的不同值有（） A.2个 B.6个 C.9个 D.3个 3.有4部车床，需加工3个不同的零件，其不同的安排方法有（） A.34 B.43 C.A3 D.44 4 4. 5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每个同学可自由选择，则不同的选择种数是（） A.54 B.45 C.5×4×3×2 D.5×4 5.集合M={}3,2,1的子集共有（） A.8 B.7 C.6 D.5 6.设集合A={}4,3,2,1，B={}7,6,5，则从A集到B集所有不同映射的个数是（） A.81 B.64 C.12 D.以上都不正确 7.某班三好学生中有男生6人，女生4人，从中选一名学生去领奖，共有________种不同的选派方法；从中选一名男生一名女生去领奖，则共有_________种不同的选派方法. 8.从1到10的所有自然数中任取两个相加，所得的和为奇数的不同情形有___种. 9. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有种报名方法. 10. 4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有种可能的结果. 11. 乘积（a1+a2+a3）(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后共有项. 12．某校信息中心大楼共5层，一楼和二楼都有4条通道上楼，三楼有3条通道上楼，四楼有2条通道上楼，那么一人从一楼去五楼，共有种不同的走法. 13．某车间生产一个零件，该零件需经车、钳、铣三道工序。该车间有车工5人，钳工8人，铣工6人，加工这个零件有种不同的派工方式；技术改造后，生产这种零件只需冲压一道工序，且任何一人均可加工，这时不同的派工方式有种。

高中数学必修2知识点总结(史上最全)

高二数学必修 2 知识点总结 第 1 章空间几何体 一、空间几何体的结构 1.多面体：一般地，我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多 面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2.旋转体：我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体。这条定直线叫做旋转体的轴。 3、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱 ABCDE A' B ' C ' D ' E '或用对角线的端点字母，如五棱柱 AD '几何特 征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的 截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥 P A' B ' C ' D ' E ' 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与 高的比的平方。 （3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台P A'B'C'D'E' 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转 ,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何 特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （ 5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 二、空间几何体的三视图和直观图 1.投影：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影。其中我 们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面。 2.中心投影：我们把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影。 3.平行投影：我们把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影。（又分为正投影和斜投影） 4 空间几何体的三视图

人教A版高中数学同步辅导与检测必修1全集

第一章集合与函数概念 1.1 集合 1.1.1 集合的含义与表示 第1课时集合的含义 A级基础巩固 一、选择题 1．已知集合A中的元素x满足－5≤x≤5，且x∈N*，则必有( ) A．－1∈A B．0∈A C.3∈A D．1∈A 解析：－5≤x≤5，且x∈N*， 所以x＝1，2，所以1∈A. 答案：D 2．下列各对象可以组成集合的是( ) A．中国著名的科学家 B．2017感动中国十大人物 C．高速公路上接近限速速度行驶的车辆 D．中国最美的乡村 解析：看一组对象是否构成集合，关键是看这组对象是不是确定的，A，C，D选项没有一个明确的判定标准，只有B选项判断标准明确，可以构成集合． 答案：B

3．由x2，2|x|组成一个集合A中含有两个元素，则实数x的取值可以是( ) A．0 B．－2 C．8 D．2 解析：根据集合中元素的互异性，验证可知a的取值可以是8. 答案：C 4．已知集合M具有性质：若a∈M，则2a∈M，现已知－1∈M，则下列元素一定是M中的元素的是( ) A．1 B．0 C．－2 D．2 解析：因为a∈M，且2a∈M，又－1∈M， 所以－1×2＝－2∈M. 答案：C 5．由a2，2－a，4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是( ) A．1 B．－2 C．6 D．2 解析：因A中含有3个元素，即a2，2－a，4互不相等，将选项中的数值代入验证可知答案选C. 答案：C 二、填空题 6．由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号)． ①不超过10的所有正整数； ②高一(6)班中成绩优秀的同学； ③中央一套播出的好看的电视剧；

高中数学必修2公式

高中数学必修2知识点 一、直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180,90∈α时，0

2019年人教版 高中数学【选修 2-1】1.1.1课时同步练习

2019年编·人教版高中数学 第1章 1.1.1 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列语句中命题的个数是( ) ①－5∈Z；②π不是实数；③大边所对的角大于小边所对的角；④2是无理数． A．1 B．2 C．3 D．4 解析：①②③④都是命题． 答案： D 2．下列说法正确的是( ) A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“最高气温30 ℃时我就开空调”不是命题 C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题 解析：对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；B所给语句是命题；C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明．故选D. 答案： D 3．下列语句中假命题的个数是( ) ①3是15的约数；②15能被5整除吗？③{x|x是正方形}是{x|x是平行四边形}的子集吗？④3小于2；⑤矩形的对角线相等；⑥9的平方根是3或－3；⑦2不是质数；⑧2既是自然数，也是偶数． A．2 B．3 C．4 D．5 解析：④⑦是假命题，②③不是命题，①⑤⑥⑧是真命题． 答案： A 4．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β⊥γ，则α∥γ；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β. 其中为真命题的是( ) A．①②B．①③

C ．③④ D ．②④ 解析： 显然①是正确的，结论选项可以排除C ，D ，然后在剩余的②③中选一个来判断，即可得出结果，①③为真命题．故选B. 答案： B 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．给出下列命题： ①在△ABC 中，若∠A ＞∠B ，则sin A ＞sin B ； ②函数y ＝x 3 在R 上既是奇函数又是增函数； ③函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 至多有一个交点； ④若将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，则得到函数y ＝sin ? ????2x ＋π4的图象． 其中正确命题的序号是________． 解析： ①∠A ＞∠B ?a ＞b ?sin A ＞sin B ．②③易知正确． ④将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4 个单位， 得到函数y ＝sin ? ????2x ＋π2的图象． 答案： ①②③ 6．命题“一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根”，条件p ：________，结论q ：________，是________(填“真”或“假”)命题． 答案： 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 此方程有两个不相等的实数根 假 三、解答题(每小题10分，共20分) 7．指出下列命题的条件p 和结论q ： (1)若x ＋y 是有理数，则x ，y 都是有理数； (2)如果一个函数的图象是一条直线，那么这个函数为一次函数． 解析： (1)条件p ：x ＋y 是有理数，结论q ：x ，y 都是有理数． (2)条件p ：一个函数的图象是一条直线，结论q ：这个函数为一次函数． 8．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：0

高一数学直线方程知识点归纳及典型例题

直线的一般式方程及综合 【学习目标】 1．掌握直线的一般式方程； 2．能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处； 3．能利用直线的一般式方程解决有关问题. 【要点梳理】 要点一：直线方程的一般式 关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式． 要点诠释： 1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线. 当B≠0时，方程可变形为 A C y x B B =--，它表示过点0, C B ?? - ? ?? ，斜率为 A B -的直线． 当B=0，A≠0时，方程可变形为Ax+C=0，即 C x A =-，它表示一条与x轴垂直的直线． 由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线． 2．在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程（如斜率为2，在y轴上的截距为1的直线，其方程可以是2x―y+1=0， 也可以是 11 22 x y -+=，还可以是4x―2y+2=0等．） 要点二：直线方程的不同形式间的关系 直线方程的五种形式的比较如下表： 要点诠释： 在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（x1≠x2，y1≠y2），应用时若采用(y2―y1)(x―x1)―(x2―x1)(y―y1)=0的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同． 要点三：直线方程的综合应用 1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求． 2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程． 对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．

高二数学课本电子版

高二数学课本电子版 一、基础知识 必修2涉及到的概念与定理有： (1)空间几何体：典型多面体（棱柱、棱锥、棱台）与典型旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）的结构特征以及表面积体积公式、球面距离、点面距离、中心投影与平行投影、三视图、直观图； (2)点、线、面的位置关系：平面的三个公理、平行的传递性、等角定理、异面直线的概念、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、线面平行的概念、判定定理、性质定理；面面平行的概念、判定定理、性质定理；线面垂直的概念、判定定理、性质定理；面面垂直的概念、判定定理与性质定理；异面垂直、异面直线所成角、线面角与二面角的概念（不同版本出现时间略有不同）． (3)直线与圆：直线的倾斜角与斜率、斜率公式、直线的方程（点斜式、斜截式、一般式、两点式、截距式）、直线与直线的位置关系（平行、垂直）、平面直角坐标系中的一些公式（两点间距离公式、中点坐标公式、点到直线的距离公式、平行线间的距离公式）；圆的标准方程与一般方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系． 常用的拓展知识与结论有：截距坐标公式、面积坐标公式、圆上一点的切线方程；圆外一点的切点弦方程；直线系与圆系的相关知识等．

想不起来，或者不太清楚这些概念与定理的，赶快翻翻教材和笔记吧． 二、重难点与易错点 重难点与易错点部分配合必考题型使用，做完必考题型后会对重难点与易错部分部分有更深入的理解． (1)多面体的体积转化及点面距离的求法； (2)较复杂的三视图； (3)球与其它几何体的组合； (4)平行与垂直的证明； (5)立体几何中的动态问题． (6)直线方程的选择与求解，特别要注意斜率不存在的直线； (7)直线与圆的位置关系问题； (8)直线系相关的问题．

高二数学练习题—直线的方程

高二数学练习题—直线的方程 满分:100 时间：40分钟 姓名_____________________总分______________ 一、选择题（每道题5分，共60分） 1．点(-1,4)P 作圆22-4-6120x y x y ++=的切线，则切线长为 （ ） A ． 5 B ． 5 C ． 10 D ． 3 2．圆22-64120 x y x y +++=与圆22-14-2140x y x y ++=的位置关系是 ( ) A ．相切 B ． 相离 C ．相交 D ．内含 3 .如果直线l 将圆x 2+y 2 –2x –4y =0平分，且不通过第四象限，则l 的斜率的取值范围( ) A .[0, 2] B. [0, 1] C. [0, 21] D. [– 1, 0] 4．设M ={(x , y )| y y ≠0}, N ={(x , y )| y =x +b }，若M ∩N ≠?，则b 的取值范围是（ ） A ．–32≤b ≤32 B 。 –3≤b ≤32 C ． 0≤b ≤32 D 。 –3

高中数学必修5数学同步练习题(精编)

（数学5必修）第一章：解三角形 [基础训练A 组] 一、选择题 1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ． A tan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A > 则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为0 60， 则底边长为（ ） A ．2 B ． 2 3 C ．3 D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ） A ．0 6030或 B ．0 6045或 C ．0 60120或 D ．0 15030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．0 90 B ．0 120 C ．0 135 D ．0 150 二、填空题 1．在Rt △ABC 中，0 90C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。 2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,2 22_________。 3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,20 _________。 4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________。 5．在△ABC 中，,26-= AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。

最新高中数学必修4数学同步练习题(精编)

第一章 三角函数（上）[基础训练A 组] 一、选择题 1．设α角属于第二象限，且2 cos 2 cos α α -=，则 2 α 角属于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．给出下列各函数值：①)1000sin(0 -；②)2200cos(0 -；③)10tan(-；④ 9 17tan cos 107sin πππ .其中符号为负的有（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 3．02120sin 等于（ ）A ．23± B ．23 C ．23- D ．2 1 4．已知4 sin 5 α= ，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于（ ） A .43- B .34 - C .43 D .34 5．若α是第四象限的角，则πα-是（ ） A .第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 6．4tan 3cos 2sin 的值（ ） A .小于0 B .大于0 C .等于0 D .不存在 二、填空题 1．设θ分别是第二、三、四象限角，则点)cos ,(sin θθP 分别在第___、___、___象限． 2．设MP 和OM 分别是角 18 17π 的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式： ①0<

高中数学教材电子版

高中数学教材电子版 从运动的观点看P点，如果我们允许P点可以在一条弦上自由运动，当P点运动到使圆中两弦垂直， 且其中一条为直径时，其线段间的关系为定理(1)，若P点运动到圆外，则两弦变成割线，即为定理 (3)，若其中一条割线变成切线的位置，即为定理(4) ，若另一条割线也变成切线，则成定理(5)了． 尽管它们表述的内容不一，但都有△APC∽△DPB这一统一关系式．辩证唯物论告诉我们，一切事物 都是运动的．在解高中的有关问题时，要学会运用运动思想，善于处理动与静之间的关系． 三、知识学习过程的差异 新教材高中数学体现了“螺旋式上升过程”的理念，将同一模块的知识分成片，每一片知识安排在 的不同的学时或学年，例如函数，在必修1、必修4、选修2-2，分别是在高一和高二学年学习。这 样的学习，要求学生循序渐进的掌握知识，提升能力。但在学习的过程中，在讲授某一知识的进阶 内容时，学生经常忘记之前的学习的内容，这就要求在学习知识的过程中，尤其是第一次的学习 时，一定要及时解决问题，不遗留问题，要不断的进行巩固。知识网络较初中知识更加复杂，需要

注重知识结构的内在联系。 四、学习方式的差异 1.学习时间上的差异：初中课堂教学量小、知识简单，通过教师课堂教慢的速度，争取同学全面理 解知识点和解题方法，课后老师布置作业，然后通过大量的课堂内、外练习、课外指导达到对知识 的反反复复理解，直到学生掌握。而高中数学的学习随着课程开设多（有九门课学生同时学习）， 每天至少上六门课，这样分配到各科学习时间将大大减少，而教师布置课外题量相对初中减少，这 样集中数学学习的时间相对比初中少，而高中数学难度广度又上了一个台阶。时间就像海绵里的 水，挤一挤总是会有的——能多挤出时间学习数学，你就可以比他人获得更高的成绩。 2.解题方式的区别：初中学生更多是模仿式的做题，他们模仿老师思维推理或者甚至是机械的记 忆，而到了高中，随着知识的难度大和知识面广泛，学生不能全部模仿，即就是学生全部模仿训练 做题，也不能开拓学生自我思维能力，学生的数学成绩也只能是一般程度。现在高考数学考察(尤其 是全国卷)，旨在考察学生能力，避免学生高分低能，避免定势思维，提倡创新思维和培养学生的创

高中数学选修2-1各章节课时同步练习及详解

第1章1.1.1 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列语句中命题的个数是( ) ①－5∈Z；②π不是实数；③大边所对的角大于小边所对的角；④2是无理数． A．1 B．2 C．3 D．4 解析：①②③④都是命题． 答案： D 2．下列说法正确的是( ) A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“最高气温30 ℃时我就开空调”不是命题 C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题 解析：对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；B所给语句是命题；C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明．故选D. 答案： D 3．下列语句中假命题的个数是( ) ①3是15的约数；②15能被5整除吗？③{x|x是正方形}是{x|x是平行四边形}的子集吗？④3小于2；⑤矩形的对角线相等；⑥9的平方根是3或－3；⑦2不是质数；⑧2既是自然数，也是偶数． A．2 B．3 C．4 D．5 解析：④⑦是假命题，②③不是命题，①⑤⑥⑧是真命题． 答案： A 4．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β⊥γ，则α∥γ；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β. 其中为真命题的是( ) A．①②B．①③ C．③④D．②④ 解析：显然①是正确的，结论选项可以排除C，D，然后在剩余的②③中选一个来判断，

即可得出结果，①③为真命题．故选B. 答案： B 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．给出下列命题： ①在△ABC 中，若∠A ＞∠B ，则sin A ＞sin B ； ②函数y ＝x 3 在R 上既是奇函数又是增函数； ③函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 至多有一个交点； ④若将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，则得到函数y ＝sin ? ????2x ＋π4的图象． 其中正确命题的序号是________． 解析： ①∠A ＞∠B ?a ＞b ?sin A ＞sin B ．②③易知正确． ④将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π 4个单位， 得到函数y ＝sin ? ????2x ＋π2的图象． 答案： ①②③ 6．命题“一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根”，条件p ：________，结论q ：________，是________(填“真”或“假”)命题． 答案： 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 此方程有两个不相等的实数根 假 三、解答题(每小题10分，共20分) 7．指出下列命题的条件p 和结论q ： (1)若x ＋y 是有理数，则x ，y 都是有理数； (2)如果一个函数的图象是一条直线，那么这个函数为一次函数． 解析： (1)条件p ：x ＋y 是有理数，结论q ：x ，y 都是有理数． (2)条件p ：一个函数的图象是一条直线，结论q ：这个函数为一次函数． 8．已知命题p ：lg(x 2 －2x －2)≥0；命题q ：0