福建省福州市2019年中考数学复习第三章函数第五节二次函数的简单综合题课时2二次函数与几何图形综合训练

课时2 二次函数与几何图形综合

姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟

角度问题

1．(2018·广东省卷)如图，已知顶点为C(0，－3)的抛物线y＝ax2＋b(a≠0)与x轴交于A、B两点，直线y＝x＋m过顶点C和点B.

(1)求m的值；

(2)求函数y＝ax2＋b(a≠0)的解析式；

(3)抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2．(2018·天津)在平面直角坐标系中，点O(0，0)，点A(1，0)．已知抛物线y＝x2＋mx－2m(m是常数)．顶点为P.

(Ⅰ)当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；

(Ⅱ)若点P在x轴下方，当∠AOP＝45°时，求抛物线对应的函数解析式；

(Ⅲ)无论m取何值，该抛物线都经过定点H，当∠AHP＝45°时，求抛物线对应的函数解析式．

面积问题

3．(2018·黄冈)已知直线l：y＝kx＋1与抛物线y＝x2－4x.

(1)求证：直线l与该抛物线总有两个交点；

(2)设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k＝－2时，求△OAB的面积．

4．(2018·陕西)已知抛物线L：y＝x2＋x－6与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，并与y轴相交于点C.

(1)求A、B、C三点的坐标，并求△ABC的面积；

(2)将抛物线L向左或向右平移，得到抛物线L′，且L′与x轴相交于A′、B′两点(点A′在点B′的左侧)，并与y轴相交于点C′，要使△A′B′C′和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．

5．(2018·厦门质检)已知二次函数y＝ax2＋bx＋t－1，t＜0.

(1)当t＝－2时，

①若二次函数图象经过点(1，－4)，(－1，0)，求a ，b 的值；

②若2a －b ＝1，对于任意不为零的实数a ，是否存在一条直线y ＝kx ＋p(k≠0)，始终与函数图象交于不同的两点？若存在，求出该直线的表达式；若不存在，请说明理由．

(2)若点A(－1，t)，B(m ，t －n)(m ＞0，n ＞0)是二次函数图象上的两点，且S △AOB ＝1

2n －2t ，当－1≤x≤m

时，点A 是该函数图象的最高点，求a 的取值范围．

特殊三角形存在性问题 6．(2018·山西)综合与探究

如图，抛物线y ＝13x 2－1

3x －4与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC.

点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ，过点P 作PM⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ，过点P 作PE∥AC 交x 轴于点E ，交BC 于点F. (1)求A ，B ，C 三点的坐标；

(2)试探究在点P 运动的过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)请用含m 的代数式表示线段QF 的长，并求出m 为何值时QF 有最大值．

7．(2018·河南)如图，抛物线y＝ax2＋6x＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y＝x－5经过点B，

C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)过点A的直线交直线BC于点M.

①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P(不与点B，C重合)，作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；

②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．

第7题图备用图

8．(2018·泉州质检)已知：二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c(a≠0)的图象与x 轴交于点A 、B(－3，0)，顶点为C(－1，－2)．

(Ⅰ)求该二次函数的解析式；

(Ⅱ)如图，过A ，C 两点作直线，并将线段AC 沿该直线向上平移，记点A ，C 分别平移到点D ，E 处，若点F 在这个二次函数的图象上，且△DEF 是以EF 为斜边的等腰直角三角形，求点F 的坐标； (Ⅲ)试确定实数p ，q 的值，使得当p≤x≤q 时，p≤y≤5

2

.

参考答案

1．解： (1)将(0，－3)代入y ＝x ＋m ，得m ＝－3. (2)将y ＝0代入y ＝x －3，得x ＝3. ∴B(3，0)．

将(0，－3)，(3，0)分别代入y ＝ax 2

＋b ，

得?????b ＝－3，9a ＋b ＝0，，解得??

???a ＝1

3，b ＝－3.

∴y＝13x 2

－3.

(3)存在，分以下两种情况：

①若M 在BC 上方，设MC 交x 轴于点D ， 则∠ODC＝45°＋15°＝60°. ∴OD＝OC·tan 30°＝ 3.

设直线DC 为y ＝kx －3，代入(3，0)，得k ＝ 3.

联立方程组?????y ＝3x －3，y ＝13

x 2－3，解得????

?x 1＝0，y 1＝－3，??

?x 2＝33，y 2＝6. ∴M 1(33，6)．

②若M 在BC 下方，设MC 交x 轴于点E ， 则∠OEC＝45°－15°＝30°， ∴OE＝OC·tan 60°＝3 3.

设直线EC 为y ＝kx －3，代入(33，0)，得k ＝

3

3

. 联立方程组?????y ＝3

3x －3，y ＝1

3

x 2

－3，解得?????x 1

＝0，y 1

＝－3，??

?x 2

＝3，

y 2

＝－2， ∴M 2(3，－2)．

综上所述，M 的坐标为(33，6)或(3，－2)． 2．解： (Ⅰ)∵抛物线y ＝x 2

＋mx －2m 经过点A(1，0)， ∴0＝1＋m －2m ，解得m ＝1.

∴抛物线对应的函数解析式为y ＝x 2

＋x －2. ∵化为顶点式为y ＝(x ＋12)2－9

4.

∴顶点P 的坐标为(－12，－9

4

)．

(Ⅱ)抛物线y ＝x 2

＋mx －2m 的顶点P 的坐标为(－m 2，－m 2

＋8m

4

)．

由点A(1，0)在x 轴正半轴上，点P 在x 轴下方， ∠AOP＝45°， 过点P 作PQ⊥x 轴于点Q ，则∠POQ＝∠OPQ＝45°，

可知PQ ＝OQ ，即m 2

＋8m 4＝－m

2，

解得m 1＝0，m 2＝－10.

当m ＝0时，点P 不在第四象限，舍去． ∴m＝－10.

∴抛物线对应的函数解析式为y ＝x 2

－10x ＋20. (Ⅲ)由y ＝x 2

＋mx －2m ＝(x －2)m ＋x 2可知， 当x ＝2时，无论m 取何值，y 都等于4. 得点H 的坐标为(2，4)．

过点A 作AD⊥AH，交射线HP 于点D ，分别过点D ，H 作x 轴的垂线，垂足分别为E ，G ，则∠DEA＝∠AGH ＝90°，

∵∠DAH＝90°，∠AHD＝45°， ∴∠ADH＝45°，∴AH＝AD.

∵∠DAE＋∠HAG＝∠AHG＋∠HAG＝90°， ∴∠DAE＝∠AHG. ∴△ADE≌△HAG. ∴DE＝AG ＝1，AE ＝HG ＝4.

可得点D 的坐标为(－3，1)或(5，－1)． ①当点D 的坐标为(－3，1)时， 可得直线DH 的解析式为y ＝35x ＋14

5.

∵点P(－m 2，－m 2

＋8m 4)在直线y ＝35x ＋14

5上，

∴－m 2

＋8m 4＝35×(－m 2)＋14

5，

解得m 1＝－4，m 2＝－14

5

.

当m ＝－4时，点P 与点H 重合，不符合题意， ∴m＝－14

5

.

②当点D 的坐标为(5，－1)时， 可得直线DH 的解析式为y ＝－53x ＋22

3

.

∵点P(－m 2，－m 2

＋8m 4)在直线y ＝－53x ＋22

3上，

∴－m 2

＋8m 4＝－53×(－m 2)＋22

3

，

解得m 1＝－4(舍)，m 2＝－22

3.

∴m＝－22

3

.

综上，m ＝－145或－22

3

.

故抛物线解析式为y ＝x 2－145x ＋285或y ＝x 2

－223x ＋443

.

3．(1)证明：联立?

????y ＝kx ＋1，

y ＝x 2

－4x ， 化简可得：x 2

－(4＋k)x －1＝0， ∵Δ＝(4＋k)2

＋4＞0，

∴直线l 与该抛物线总有两个交点； (2)解：当k ＝－2时，∴y＝－2x ＋1，

过点A 作AF⊥x 轴于F ，过点B 作BE⊥x 轴于E ，如解图．

∴联立?

????y ＝x 2

－4x ，

y ＝－2x ＋1，

解得：???x ＝1＋2，y ＝－1－22，或???x ＝1－2，y ＝22－1.

∴A(1－2，22－1)，B(1＋2，－1－22)． ∴AF＝22－1，BE ＝1＋2 2.

易求得：直线y ＝－2x ＋1与x 轴的交点C 为(1

2，0)．

∴OC＝12

.

∴S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝12OC·AF＋1

2OC·BE ＝1

2

OC(AF ＋BE)

＝12×1

2×(22－1＋1＋22) ＝ 2.

4．解： (1)令y ＝0，得x 2

＋x －6＝0. 解得x ＝－3或x ＝2. ∴A(－3，0)，B(2，0)． 令x ＝0，得y ＝－6. ∴C(0，－6)． ∴AB＝5，OC ＝6.

∴S △ABC ＝12AB·OC＝1

2×5×6＝15.

(2)由题意，得A′B′＝AB ＝5.

要使S △A′B′C′＝S △ABC ，只要抛物线L′与y 轴交点为C′(0，－6)或C′(0，6)即可． 设所求抛物线L′：y ＝x 2

＋mx ＋6，y ＝x 2

＋nx －6. 又知，抛物线L′与抛物线L 的顶点纵坐标相同， ∴24－m 2

4＝－24－14，－24－n 2

4＝－24－1

4.

解得m ＝±7，n ＝±1(n＝1舍去)． ∴抛物线L′：y ＝x 2

＋7x ＋6，y ＝x 2

－7x ＋6 或y ＝x 2

－x －6.

5．解： (1)①当t ＝－2时，二次函数为y ＝ax 2

＋bx －3. 把(1，－4)，(－1，0)分别代入y ＝ax 2

＋bx －3，

得?????a ＋b －3＝－4，a －b －3＝0.解得?

????a ＝1，b ＝－2. 即a ＝1，b ＝－2. ②解法一：∵2a－b ＝1，

∴二次函数为y ＝ax 2

＋(2a －1)x －3.

∵当x ＝－2时，y ＝－1；当x ＝0时，y ＝－3. ∴二次函数图象一定经过点(－2，－1)，(0，－3)． 因为经过这两点的直线的表达式为y ＝kx ＋p(k≠0)， 所以把(－2，－1)，(0，－3)分别代入， 可求得该直线表达式为y ＝－x －3.

即直线y ＝－x －3始终与二次函数图象交于(－2，－1)，(0，－3)两点．

解法二：当直线与二次函数图象相交时，有kx ＋p ＝ax 2

＋(2a －1)x －3. 整理可得ax 2

＋(2a －k －1)x －3－p ＝0. 可得Δ＝(2a －k －1)2

＋4a(3＋p)．

若直线与二次函数图象始终有两个不同的交点，则Δ＞0. 化简可得4a 2

－4a(k －p －2)＋(1＋k)2

＞0.

∵无论a 取任意不为零的实数，总有4a 2

＞0，(1＋k)2

≥0， ∴当k －p －2＝0时，总有Δ＞0. 可取p ＝1，k ＝3.

对于任意不为零的实数a ，存在直线y ＝3x ＋1始终与函数图象交于不同的两点． (2)把A(－1，t)代入y ＝ax 2

＋bx ＋t －1，可得b ＝a －1. ∵A(－1，t)，B(m ，t －n)(m ＞0，n ＞0)， 则直线AB 的解析式为y ＝－

n

m ＋1

(x ＋1)＋t ， 令x ＝0，解得y ＝－n

m ＋1＋t ＜0，

则S △AOB ＝12×(－t ＋n

m ＋1)(m ＋1)，

又∵S △AOB ＝1

2

n －2t ，

∴12×(－mt －t ＋n)＝1

2n －2t ，解得m ＝3. ∴A(－1，t)，B(3，t －n)． ∵n＞0，所以t ＞t －n.

①当a ＞0时，二次函数图象的顶点为最低点，当－1≤x≤3时，若点A 为该函数图象最高点，则y A ≥y B ， 分别把A(－1，t)，B(3，t －n) 代入y ＝ax 2

＋bx ＋t －1，得 t ＝a －b ＋t －1，t －n ＝9a ＋3b ＋t －1. ∵t＞t －n ，

∴a－b ＋t －1＞9a ＋3b ＋t －1. 可得2a ＋b ＜0. 即2a ＋(a －1)＜0. 解得a ＜13.所以0＜a ＜13.

②当a ＜0时，由t ＞t －n ，可知

若A ，B 在对称轴的异侧，当－1≤x≤3时，图象的最高点是抛物线的顶点而不是点A ；若A ，B 在对称轴

的左侧，因为当x≤－b

2a 时，y 随x 的增大而增大，所以当－1≤x≤3时，点A 为该函数图象最低点；若

A 、

B 在对称轴的右侧，

∵当≥－b

2a 时，y 随x 的增大而减小，

∴当－1≤x≤3时，

点A 为该函数图象最高点，则－b

2a ≤－1.

即－a －12a ≤－1.解得a≥－1.

所以－1≤a＜0.

综上，0＜a ＜1

3或－1≤a＜0.

6.解：(1)由y ＝0，得13x 2－1

3x －4＝0.

解，得x 1＝－3，x 2＝4.

∴点A ，B 的坐标分别为A(－3，0)，B(4，0)． 由x ＝0，得y ＝－4，∴点C 的坐标为C(0，－4)． (2)Q 1(522，52

2－4)，Q 2(1，－3)．

(3)过点F 作FG⊥PQ 于点G ，

则FG∥x 轴，由B(4，0)，C(0，－4)，得△OBC 为等腰直角三角形． ∴∠OBC＝∠QFG＝45°，∴GQ＝FG ＝2

2

FQ. ∵PE∥AC，∴∠1＝∠2.

∵FG∥x 轴，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3. ∵∠FGP＝∠AOC＝90°，∴△FGP∽△AOC. ∴

FG AO ＝GP OC ，即FG 3＝GP 4

. ∴GP＝43FG ＝43×22FQ ＝223FQ.

∴QP＝GQ ＋GP ＝22FQ ＋223FQ ＝726

FQ. ∴FQ＝32

7

QP.

∵PM⊥x 轴，点P 的横坐标为m ，∠MBQ＝45°， ∴QM＝MB ＝4－m ，PM ＝－13m 2＋1

3m ＋4.

∴QP＝PM －QM ＝－13m 2＋1

3

m ＋4－(4－m)＝

－13m 2＋43

m. ∴QF＝327QP ＝327(－13m 2＋43m)＝

－

27m 2＋427

m. ∵－2

7

＜0，∴QF 有最大值．且当m ＝－4272（－2

7

）

＝2时，QF 有最大值．

7．解：(1)∵直线y ＝x －5交x 轴于点B ，交y 轴于点C ， ∴B(5，0)，C(0，－5)．

∵抛物线y ＝ax 2

＋6x ＋c 过点B ，C ，

∴?????0＝25a ＋30＋c －5＝c ，∴?

????a ＝－1c ＝－5， ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2

＋6x －5.

(2)①∵OB＝OC ＝5，∠BOC＝90°，∴∠ABC＝45°. ∵抛物线y ＝－x 2

＋6x －5交x 轴于A ，B 两点， ∴A(1，0)，∴AB＝4. ∵AM⊥BC，∴AM＝22， ∵PQ∥AM，∴PQ⊥BC，

若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形， 则PQ ＝AM ＝22，

过点P 作PD⊥x 轴交直线BC 于点D ，则∠PDQ＝45°，∴PD＝2PQ ＝4. 设P(m ，－m

2

＋6m －5)，则D(m ，m －5)． 分两种情况讨论如下：

(ⅰ)当点P 在直线BC 上方时，

PD ＝－m 2

＋6m －5－(m －5)＝－m 2

＋5m ＝4， ∴m 1＝1(舍去)，m 2＝4.

(ⅱ)当点P 在直线BC 下方时，

PD ＝m －5－(－m 2

＋6m －5)＝m 2

－5m ＝4， ∴m 3＝5＋412，m 4＝5－412.

综上，点P 的横坐标为4或

5＋412或5－41

2

. ②M(136，－176)或(236，－7

6

)．

8．解： (Ⅰ)∵二次函数的顶点为C(－1，－2)， ∴设二次函数的解析式为y ＝a(x ＋1)2

－2. 把B(－3，0)代入得a(－3＋1)2

－2＝0， 解得a ＝12

.

∴二次函数的解析式为y ＝12

(x ＋1)2

－2.

(Ⅱ)由12(x ＋1)2

－2＝0得x 1＝－3，x 2＝1，

∴点A(1，0)．

过点C 作CH⊥x 轴于点H ，如解图， ∵点C(－1，－2)，∴CH＝2，OH ＝1， 又∵AO＝1，∴AH＝2＝CH ，

∴∠1＝45°，AC ＝AH 2

＋CH 2

＝2 2.

在等腰Rt △DEF 中，DE ＝DF ＝AC ＝22，∠FDE＝90°， ∴∠2＝45°，EF ＝DE 2

＋DF 2

＝4， ∴∠1＝∠2， ∴EF∥CH∥y 轴．

由A(1，0)，C(－1，－2)可求得直线AC 对应的函数解析式为y ＝x －1. 由题意设点F ? ????m ，12m 2

＋m －32(其中m ＞1)，则点E(m ，m －1)，

∴EF＝? ????12

m 2

＋m －32－(m －1)＝12m 2－12＝4，

解得m 1＝3，m 2＝－3(舍去)． ∴点F(3，6)，

(Ⅲ)当y ＝52时，12(x ＋1)2

－2＝52，解得x 1＝－4，x 2＝2.

抛物线y ＝12

(x ＋1)2

－2，根据抛物线的性质可知，

当x ＜－1时，y 随x 的增大而减小，当x ＞－1时，y 随x 的增大而增大， 当x ＝－1时，y 的最小值为－2. ∵p≤x≤q，p≤y≤5

2，

∴可分三种情况讨论．

①当p≤q≤－1时，由增减性得：

当x ＝p ＝－4时，y 最大＝5

2，当x ＝q 时，y 最小＝p ＝－4＜－2，不合题意，舍去；

②当p ＜－1≤q 时，

(i )若(－1)－p ＞q －(－1)，由增减性得：

当x ＝p ＝－4时，y 最大＝5

2，当x ＝－1时，y 最小＝－2≠p，不合题意，舍去；

(ii )若(－1)－p≤q－(－1)，由增减性得：

当x ＝q ＝2时，y 最大＝5

2，当x ＝－1时，y 最小＝p ＝－2，符合题意，

∴p＝－2，q ＝2.

③当－1≤p＜q 时，由增减性得：

当x ＝q ＝2时，y 最大＝5

2

，当x ＝p 时，y 最小＝p ，

把x ＝p ，y ＝p 代入y ＝12(x ＋1)2－2，得p ＝12(p ＋1)2

－2，

解得p 1＝3，p 2＝－3＜－1(不合题意，舍去)． ∴p＝3，q ＝2.

综上，?????p ＝－2，q ＝2或???p ＝3，

q ＝2.

中考数学二次函数压轴题(含答案)

中考数学二次函数压轴题(含答案) 面积类 1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长． （3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 解答： 解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1； ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3． （2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有： ， 解得；

故直线BC的解析式：y=﹣x+3． 已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）； ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）． （3）如图； ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB， ∴S△BNC=（﹣m2+3m）?3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）； ∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为． 2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标； （3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标． 解答：

解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得： 0=16a﹣×4﹣2，即：a=； ∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2． （2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）； ∴OA=1，OC=2，OB=4， 即：OC2=OA?OB，又：OC⊥AB， ∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC； ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°， ∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径； 所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）． （3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2； 设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0； ∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4； ∴直线l：y=x﹣4． 所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有： ，解得：即M（2，﹣3）． 过M点作MN⊥x轴于N， S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．

初中数学二次函数综合复习基础题目

初中数学二次函数综合复习基础题目

初中数学二次函数综合复习基础题 一、单选题(共13道，每道8分) 1.若二次函数的图象经过原点，则a的值必为（） A.1或2 B.0 C.1 D.2 2.在同一坐标系中，作，，的图象，它们的共同特点是() A.抛物线的开口方向向上 B.都是关于x轴对称的抛物线，且y随x的增大而增大 C.都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的增大而减小 D.都是关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点 3.对于反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数的大致图象是（） A. B.

C. D. 4.抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（） A.先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B.先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 C.先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D.先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 5.已知二次函数，当x=-1时有最大值，把x=-5，-2，1时对应函数值分别记为y1，y2，y3，则y1，y2，y3的大小关系是（） A.y1＜y2＜y3 B.y1＞y2＞y3 C.y2＞y1＞y3 D.y2＞y3＞y1 6.若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（） A. B. C. D.

7.（2011四川雅安）已知二次函数的图象如图，其对称轴为直线x=-1，给出下列结果：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0； ⑤a-b+c＜0.则正确的结论是（） A.①②③④ B.②④⑤ C.②③④ D.①④⑤ 8.二次函数的图象经过点A（0，-3），B（2，-3），C（-1，0）．则此二次函数的表达式为（） A. B. C. D. 9.有一条抛物线，三位学生分别说出了它的一些性质：甲说：对称轴是直线x=2；乙说：与x轴的两个交点距离为6；丙说：抛物线与x轴的交点和其顶点围成的三角形面积等于9，请选出一个满足上述全部条件的一条抛物线的解析式：（） A. B.

2020年中考数学复习专题训练——二次函数的图像与性质

2020年中考数学复习专题训练——二次函数的图像与性质 考点1：二次函数的顶点、对称轴、增减性 1.关于二次函数y=2x2+4x-1，下列说法正确的是( ) A.图像与y轴的交点坐标为（0，1） B.图像的对称轴在y轴的右侧 C.当时，x<0的值随y值的增大而减小 的最小值为-3 2.如图，函数y=ax2-2x+1和y=ax-a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是( ) 3.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表： x-1013 y-3131 下列结论：①抛物线的开口向下;②其图象的对称轴为x=1;③当x<1时,函数值y随x的增大而增大;④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4,其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4.已知二次函数y=-(x-h)2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为-1，则h的值为( )

或6 或6 或3 或6 5.当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为（） 或2 或2 6.对于抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3，当x=1时，y，则这条抛物线的顶点一定在（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点2：抛物线特征和a,b,c的关系 1.已知二次函数图形如图所示，下列结论：①abc；②；③；④点(-3,y1),(1,y2) 都在抛物线上，则有y1y 2. 其中正确的结论有( ) 个个个个 2.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,且过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是直线x=1,下列结论正确的是( ) <4ac >0 b=0 b+c=0

全国中考数学二次函数的综合中考真题汇总及答案解析

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图1，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，且OC=3OA ．点P 是抛物线上的一个动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交直线BC 于点D ，连接PC ． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，当动点P 只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P 作PF ⊥BC 于点F ，试问△PDF 的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由． （3）当点P 在抛物线上运动时，将△CPD 沿直线CP 翻折，点D 的对应点为点Q ，试问，四边形CDPQ 是否成为菱形？如果能，请求出此时点P 的坐标，如果不能，请说明理由． 【答案】(1) y=﹣23 4x +94x+3；(2) 有最大值,365 ;(3) 存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，此时点P 的坐标为（ 73，256）或（173，﹣253）． 【解析】 试题分析: （1）利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）设P （m ，﹣ 34m 2+94m+3），△PFD 的周长为L ，再利用待定系数法求直线BC 的解析式为：y=﹣ 34x+3，表示PD=﹣2334m m ，证明△PFD ∽△BOC ，根据周长比等于对应边的比得：=PED PD BOC BC 的周长的周长，代入得：L=﹣95（m ﹣2）2+365 ，求L 的最大值即可； （3）如图3，当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ，又知Q 落在y 轴上时，则CQ ∥PD ，由四边相等：CD=DP=PQ=QC ，得四边形CDPQ 是菱形，表示P （n ，﹣23n 4 +94 n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣34 n+3），利用勾股定理表示PD 和CD 的长并列式可得结论． 试题解析: （1）由OC=3OA ，有C （0，3）， 将A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）代入y=ax 2+bx+c 中，得：

中考复习二次函数综合题精选(教师版)

中考复习《二次函数的综合》精选 1．如图，二次函数c x y +-=221的图象经过点D ??? ? ?-29,3，与x 轴交于A 、B 两点． ⑴求c 的值； ⑵如图①，设点C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点，直线AC 将四边形ABCD 的面积二等分，试证明线段BD 被直线AC 平分，并求此时直线AC 的函数解析式； ⑶设点P 、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P 、Q ，使△AQP ≌△ABP ？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用） 解：⑴ ∵抛物线经过点D (2 9,3-) ∴2 9)3(212=+-?-c ∴c=6. ⑵过点D 、B 点分别作AC 的垂线，垂足分别为E 、F ，设AC 与BD 交点为M ， ∵AC 将四边形ABCD 的面积二等分，即：S △ABC =S △ADC ∴DE =BF 又∵∠DME =∠BMF ， ∠DEM =∠BFE ∴△DEM ≌△BFM ∴DM =BM 即AC 平分BD ∵c =6. ∵抛物线为62 12+-=x y ∴A （0,32-）、B （0,32） ∵M 是BD 的中点 ∴M （4 9,23） 设AC 的解析式为y =kx +b ，经过A 、M 点

∴?????=+=+-492 3032b k b k 解得??? ????==591033b k ∴直线AC 的解析式为5 91033+=x y . ⑶存在．设抛物线顶点为N (0，6)，在Rt △AQN 中，易得AN =43，于是以A 点为圆心，AB =43为半径作圆与抛物线在x 上方一定有交点Q ，连接AQ ，再作∠QAB 平分线AP 交抛物线于P ，连接BP 、PQ ，此时由“边角边”易得△AQP ≌△ABP ． 2．已知一次函数y ＝121+x 的图象与x 轴交于点A ．与y 轴交于点B ；二次函数c bx x y ++=22 1图象与一次函数y ＝12 1+x 的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点且D 点的坐标为)0,1( （1）求二次函数的解析式； （2）求四边形BDEF 的面积S ； （3）在x 轴上是否存在点P ，使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求 出所有的点P ，若不存在，请说明理由。 【答案】解：（1）∵ 由题意知:当x=0时,y=1, ∴B （0，1）,当y=0时,x =－2, ∴A （－2，0） ∴?????=++=0211c b c 解得?? ???-==231b c ,所以123212+-=x x y （2）当y=0时, 012 3212=+-x x ,解得x 1=1,x 2=2, ∴D(1,0) E(2,0) ∴AO =3,AE =4. S =S △CAE －S △ABD ，S =OB AD AE ?-?2 1321，S=4.5, (3)存在点P (a,0),当P 为直角顶点时,如图,过C 作CF ⊥x 轴于F , ∵Rt △BOP ∽Rt △PFC , 由题意得，AD ＝6，OD ＝1，易知，AD ∥BE ，

中考数学复习专题二次函数知识点归纳

二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1．二次函数的概念：一般地，形如2 =++（a b c y ax bx c ，，是常数，0 a≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0 ，可以为零．二次函数的定义域是全体 a≠，而b c 实数． 2. 二次函数2 y ax bx c =++的结构特征： ⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 =的性质： y ax 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： =+的性质： y ax c 结论：上加下减。

总结： 3. ()2 y a x h =-的性质： 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 总结：

1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2 245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成()2 y a x h k =-+。 总结： 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.

烟台-历年中考数学真题-二次函数

25．（2018 14分）如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+ 分别与y轴及抛物线交于点C，D． （1）求直线和抛物线的表达式； （2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t 为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值； （3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（13分）（2017烟台）如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC 的边CD=1，延长DC交抛物线于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值； （3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

25．（2016 12分）如图1，已知平行四边形ABCD顶点A的坐标为（2，6），点B在y轴上，且AD∥BC∥x轴，过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），点F（m，6）是线段AD上一动点，直线OF 交BC于点E． （1）求抛物线的表达式； （2）设四边形ABEF的面积为S，请求出S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； （3）如图2，过点F作FM∥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN∥y轴，垂足为N，连接MN，直线AC分别交x轴，y轴于点H，G，试求线段MN的最小值，并直接写出此时m的值． 24.(2015 本题满分12分) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线2 y ax bx c =++与⊙M相交于A、B、C、D四点。其中AB两点的坐标分别为(-1，0)，(0，-2)，点D在x轴上且AD为⊙M的直径。点E是⊙M与y轴的另一个交点，过劣弧?DE上的点F作FH⊥AD于点H，且FH=1.5。 (1)求点D的坐标及该抛物线的表达式； (2)若点P是x轴上的一个动点，试求出⊿PEF的周长最小时点P的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使⊿QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。

2018中考数学专题二次函数

2018中考数专题二次函数 （共40题） 1．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G． （1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式； （2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标； （3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标； ②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值． 2．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D． （1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）； （2）设S△BCD：S△ABD=k，求k的值； （3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式． 3．如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C． （1）求直线y=kx+b的函数解析式； （2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；

（3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值． 4．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1 （1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标． （2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒． ①当t为何值时，四边形OMPN为矩形． ②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限取一点C，作CD垂直X轴于点D，AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值； （3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存

中考数学压轴题专题复习—二次函数的综合及详细答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点． (1)求点A、B、C的坐标； (2)点M(m，0)为线段AB上一点(点M不与点A、B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM．如图，点P在点Q左边，试用含m的式子表示矩形PQNM的周长； (3)当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的△AEM的面积； (4)在(3)的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G(点G在点F的上方)．若FG＝22DQ，求点F的坐标． 【答案】(1)A(﹣3，0)，B(1，0)；C(0，3) ；(2)矩形PMNQ的周长＝﹣2m2﹣8m+2；(3) m＝ ﹣2；S＝1 2 ；(4)F(﹣4，﹣5)或(1，0)． 【解析】 【分析】 （1）利用函数图象与坐标轴的交点的求法，求出点A，B，C的坐标； （2）先确定出抛物线对称轴，用m表示出PM，MN即可； （3）由（2）得到的结论判断出矩形周长最大时，确定出m，进而求出直线AC解析式，即可； （4）在（3）的基础上，判断出N应与原点重合，Q点与C点重合，求出DQ＝DC＝2，再建立方程（n+3）﹣（﹣n2﹣2n+3）＝4即可． 【详解】 (1)由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3可知，C(0，3)． 令y＝0，则0＝﹣x2﹣2x+3， 解得，x＝﹣3或x＝l， ∴A(﹣3，0)，B(1，0)． (2)由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3可知，对称轴为x＝﹣1． ∵M(m，0)， ∴PM＝﹣m2﹣2m+3，MN＝(﹣m﹣1)×2＝﹣2m﹣2，

2018中考数学专题二次函数

2018中考数专题二次函数 (共40题) 线于点G . (1 )求抛物线 y= - x 2+bx+c 的表达式; (2)连接GB , E0,当四边形GEOB 是平行四边形时，求点 G 的坐标; (3)①在y 轴上存在一点 H ,连接EH , HF ,当点E 运动到什么位置时，以 A , E , 顶点的四边形是矩形？求出此时点 E , H 的坐标; ②在①的前提下，以点 E 为圆心，EH 长为半径作圆，点 M 为O E 上一动点，求 (x -3)与x 轴交于A , B 两点，与y 轴的正半轴交于点 C,其 (1) 写出C, D 两点的坐标(用含 a 的式子表示); (2 )设 & BCD ： Sz\ABD =k ,求 k 的值； (3)当厶BCD 是直角三角形时，求对应抛物线的解析式. 1.如图，抛物线 y=- x 2+bx+c 与直线AB 交于A (- 4, - 4) , B (0, 4)两点，直线 -_ x 2 -6交y 轴于点C .点E 是直线 AB 上的动点，过点 E 作EF 丄x 轴交AC 于点F , AC: y= 交抛物 F ，H 为 AM+CM 它 顶点为D .

3.如图，直线y=kx+b ( k 、b 为常数)分别与 x 轴、y 轴交于点A (- 4, 0)、B (0, 3),抛 物线y=- X 1 2+2X +1与y 轴交于点 C . (1) 求直线y=kx+b 的函数解析式; (2) 若点P ( X , y )是抛物线y=- X 2+2X +1上的任意一点，设点 P 到直线AB 的距离为d , 求d 关于x 的函数解析式，并求 d 取最小值时点P 的坐标; (3)若点E 在抛物线y=- X 2+2X +1的对称轴上移动，点 F 在直线AB 上移动，求CE+EF 的最 1 求此抛物线的解析式以及点 B 的坐标. 2 动点M 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿 X 轴正方向运动，同时动点 N 从 点O 出发，以每秒3个单位长度的速度沿 y 轴正方向运动，当 N 点到达A 点时，M 、N 同 时停止运动.过动点 M 作X 轴的垂线交线段 AB 于点Q ,交抛物线于点 P ,设运动的时间为 t 秒. ① 当t 为何值时，四边形 OMPN 为矩形. ② 当t >0时，△ BOQ 能否为等腰三角形？若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由. (0, 3),与X 正半轴相交于点 B,对 称轴是直线X =1

中考数学 二次函数知识点总结

中考数学二次函数知识 点总结 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】

二次函数知识点总结 二次函数知识点： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0 a≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0 ，可以为零．二次函数的定义域是 a≠，而b c 全体实数． 2. 二次函数2 =++的结构特征： y ax bx c ⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 =的性质： y ax 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 2. 2 =+的 y ax c 性质：

结论：上加下减。 总结： 3. ()2 =-的性 y a x h 质： 结论：左加右减。 总结： 4.

()2 y a x h k =-+的性质： 总结： 二次函数图象 的平 移 1. 平移步 骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．

中考数学—二次函数的综合压轴题专题复习附答案

中考数学—二次函数的综合压轴题专题复习附答案 一、二次函数 1．已知二次函数223y ax ax =-+的最大值为4，且该抛物线与y 轴的交点为C ，顶点为D . （1）求该二次函数的解析式及点C ，D 的坐标； （2）点(,0)P t 是x 轴上的动点， ①求PC PD -的最大值及对应的点P 的坐标； ②设(0,2)Q t 是y 轴上的动点，若线段PQ 与函数2 ||23y a x a x =-+的图像只有一个公共点，求t 的取值范围. 【答案】（1）2y x 2x 3=-++，C 点坐标为(0,3)，顶点D 的坐标为(1,4)；（2）①最 ，P 的坐标为(3,0)-，②t 的取值范围为3t ≤-或 332t ≤<或72t =. 【解析】 【分析】 （1）先利用对称轴公式x=2a 12a --=，计算对称轴，即顶点坐标为（1，4），再将两点代入列二元一次方程组求出解析式； （2）根据三角形的三边关系：可知P 、C 、D 三点共线时|PC-PD|取得最大值，求出直线CD 与x 轴的交点坐标，就是此时点P 的坐标； （3）先把函数中的绝对值化去，可知22x 23,0,y x 23,0.x x x x ?-++≥=?--+

初中数学中考复习 二次函数知识点总结

二次函数知识点总结20110311 二次函数知识点： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：左图画2221,2,2 y x y x y x === ， 右图画22 21,2,2y x y x y x =-=-=- 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 2. 2y ax c =+的性质：左图画221,1y x y x =+=-，右图画2 2 1,1y x y x =-+=-- 结论：上加下减。

总结： 3. ()2 y a x h =-的性质：左图画22(1),(1)y x y x =+=-，右图画22 (1),(1)y x y x =-+=-- 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 y a x h k =-+的性质：左图画22(1)1,(1)1y x y x =++=--，右图画2 2 (1)1,(1)1y x y x =-++=---

总结： 二次函数图象的平移 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2 245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成()2 y a x h k =-+。 总结： 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，．

中考数学二次函数复习专题

初中数学二次函数复习专题 〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向 〖大纲要求〗 1． 理解二次函数的概念； 2． 会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法 画二次函数的图象； 3． 会平移二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象得到二次函数y ＝a(ax ＋m)2 ＋k 的图象，了解特殊与一 般相互联系和转化的思想； 4． 会用待定系数法求二次函数的解析式； 5． 利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函 数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。 内容 （1）二次函数及其图象 如果y=ax 2 +bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0),那么，y 叫做x 的二次函数。 二次函数的图象是抛物线，可用描点法画出二次函数的图象。 （2）抛物线的顶点、对称轴和开口方向 抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)的顶点是)44,2(2a b ac a b --，对称轴是a b x 2-=，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。 抛物线y=a （x+h ）2+k(a ≠0)的顶点是（-h ，k ），对称轴是x=-h. 〖考查重点与常见题型〗 1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如： 已知以x 为自变量的二次函数y ＝(m －2)x 2＋m 2 －m －2额图像经过原点， 则m 的值是 2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内 考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数y ＝kx ＋b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y ＝kx 2 ＋bx －1的图像大致是（ ） 和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x ＝5 3 ，求这条抛物线的解析式。 4． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如： 已知抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y 轴交点的纵坐标是－32 （1） 确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 习题1: 一、填空题：（每小题3分，共30分） １、已知Ａ（３，６）在第一象限，则点Ｂ（３，－６）在第象限 ２、对于ｙ＝－１ ｘ ，当ｘ＞０时，ｙ随ｘ的增大而 ３、二次函数ｙ＝ｘ２ ＋ｘ－５取最小值是，自变量ｘ的值是 ４、抛物线ｙ＝（ｘ－１）２ －７的对称轴是直线ｘ＝ ５、直线ｙ＝－５ｘ－８在ｙ轴上的截距是 ６、函数ｙ＝ １ ２－４ｘ 中，自变量ｘ的取值范围是 ７、若函数ｙ＝（ｍ＋１）ｘｍ２＋３ｍ＋１ 是反比例函数，则m 的值为 ８、在公式１－ａ ２＋ａ ＝ｂ中，如果ｂ是已知数，则ａ＝ ９、已知关于ｘ的一次函数ｙ＝（ｍ－１）ｘ＋７，如果ｙ随ｘ的增大而减小，则ｍ的 取值范围是 １０、 某乡粮食总产值为ｍ吨，那么该乡每人平均拥有粮食ｙ（吨），与该乡人口 数ｘ的函数关系式是 二、选择题：（每题3分，共30分） １１、函数ｙ＝ｘ－５中，自变量ｘ的取值范围 （ ） (Ａ)ｘ＞５ (Ｂ)ｘ＜５ (Ｃ)ｘ≤５ (Ｄ)ｘ≥５ １２、抛物线ｙ＝（ｘ＋３）２ －２的顶点在 （ ） (Ａ)第一象限 (Ｂ) 第二象限 (Ｃ) 第三象限 (Ｄ) 第四象限 １３、抛物线ｙ＝（ｘ－１）（ｘ－２）与坐标轴交点的个数为 （ ） (Ａ)０ (Ｂ)１ (Ｃ)２ (Ｄ)３ １４、下列各图中能表示函数和在同一坐标系中的图象大致是（ ） (Ａ) (Ｂ) (Ｃ) (Ｄ) 15．平面三角坐标系内与点（3，－5）关于ｙ轴对称点的坐标为（ ） （A ）（－3,5） （B ）（3,5） （C ）（－3，－5） （D ）（3，－5） 16．下列抛物线，对称轴是直线ｘ＝1 2 的是（ ） （A ） ｙ＝12 ｘ2（B ）ｙ＝ｘ2＋2ｘ（C ）ｙ＝ｘ2＋ｘ＋2（D ）ｙ＝ｘ2 －ｘ－2 17．函数ｙ＝3ｘ 1－2ｘ 中，ｘ的取值范围是（ ） （A ）ｘ≠0 （B ）ｘ＞12 （C ）ｘ≠12 （D ）ｘ＜1 2

近年江西中考数学二次函数

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（） A、ac＜0 B、当x=1时，y＞0 C、方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于1的实数根 D、存 在一个大于1的实数x0，使得当x＜x0时，y随x的增大而减小； 当x＞x0时，y随x的增大而增大 如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D． （1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE 交抛物线于点F，设点P的横坐标为m； ①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？ ②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式． 如图，已知经过原点的抛物线y=﹣2x2+4x与x轴的另一交点为A，现将它向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P． （1）求点A的坐标，并判断△PCA存在时它的形状（不要求说理）； （2）在x轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m的式子表示）；若不存在，请说明理由； （3）设△CDP的面积为S，求S关于m的关系式． 1.如图所示，抛物线m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1． （1）当a=﹣1，b=1时，求抛物线n的解析式； （2）四边形AC1A1C是什么特殊四边形，请写出结果并说明理由； （3）若四边形AC 1A1C为矩形，请求出a，b应满足的关系式．

初三数学二次函数所有经典题型

初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数21(1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线223y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62-+=x y 可由抛物线262-=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线()4222-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数21(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．21xy x += B ． 220x y +-= C ． 22y ax -=- D ．2210x y -+= 12．在同一坐标系中，作22y x =、22y x =-、212 y x =的图象，它们共同特点是 ( ) 22 3x y -=

中考数学一轮复习 二次函数(含答案)

中考数学一轮复习二次函数 一、选择题 1.若将抛物线y=5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为( ) A.y =5(x-2)2+1 B.y =5(x+2)2+1 C.y =5(x-2)2-1 D.y =5(x+2)2-1 2.函数y=﹣2x2﹣8x+m的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1＜x2＜﹣2，则( ) A.y1＜y2 B.y1＞y2 C.y1=y2 D.y1、y2的大小不确定 3.二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是( ) A.a＞0 B.不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5 C.a﹣b+c＞0 D.当x＞2时，y随x的增大而增大 4.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象可能是( ) 5.一次函数y=ax＋b(a≠0)与二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) 6.二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x=－1，有以下结论： ①abc＞0；②4ac＜b2；③2a＋b=0；④a－b＋c＞2.其中正确的结论的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

7.某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为xcm.当x=3时，y=18，那么当成本为72元时，边长为( ) A.6cm B.12cm C.24cm D.36cm 8.在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+2x﹣3的图象如图所示,点A（x1，y1），B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点,其中﹣3≤x1＜x2≤0,则下列结论正确的是（） A.y1＜y2 B.y1＞y2 C.y的最小值是﹣3 D.y的最小值是﹣4 9.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为 ，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（） A.﹣20m B.10m C.20m D.﹣10m 10.如图,在正方形ABCD中,AB=3cm,动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度向B点运动,同时动点N自A点出发沿折线AD﹣DC﹣CB以每秒3cm的速度运动,到达B点时运动同时停止.设△AMN的面积为y（cm2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是（） 11.如图所示，向一个半径为R、容积为V的球形容器内注水，则能够反映容器内水的体积y与容器内水深x间的函数关系的图象可能是（） A． B． C． D．

2020年中考数学真题汇编 二次函数

中考数学真题汇编:二次函数 一、选择题 1.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y 随自变量x增大而增大“的是（） A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是 （） A. B. C. D. 【答案】B 3.关于二次函数，下列说法正确的是（） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图 像的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 4.二次函数的图像如图所示，下列结论正确是( )

A. B. C. D. 有两个不相等的实数根 【答案】C 5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线 的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( ) A. B. C. D. 【答案】B 6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对 称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（） A. （-3，-6） B. （-3， 0） C. （-3， -5） D. （-3，-1） 【答案】B 7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则 下列说法中正确的是（） A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落 于地面 C. 点火后10s的升空高度为 139m D. 火箭升空的最大高度为145m 【答案】D 8.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣ 1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中 正确的个数是（）