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第1讲 直线的方程

第九章解析几何初步

第1讲直线的方程

一、填空题

1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是________.

解析过点(1,0)且斜率为1

2的直线方程为y=

1

2(x-1),即x-2y-1=0.

答案x-2y-1=0

2.若直线l经过点(a-2,-1)和(-a-2,1)且与经过点(-2,1),斜率为-2

3的直

线垂直,则实数a的值为________.

解析由于直线l与经过点(-2,1)且斜率为-2

3的直线垂直,可知a-2≠-a-2,

即a≠0,

∵k l=

1-(-1)

-a-2-(a-2)

=-

1

a,

∴-1

a·?

?

?

?

?

2

3=-1,得a=-

2

3.

答案-2 3

3.若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m=________.

解析∵两直线垂直,

∴A1A2+B1B2=2-2m=0,∴m=1.

答案1

4.若过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为________.

解析∵k MN=m-4

-2-m

=1,∴m=1.

答案 1

5.若直线(2m2+m-3)x+(m2-m)y=4m-1在x轴上的截距为1,则实数m是________.

解析令y =0则(2m 2+m -3)x =4m -1,

∴x =4m -12m 2+m -3

=1,∴m =2或-12. 答案2或-12

6.已知直线l 1的方向向量为a =(1,3),直线l 2的方向向量为b =(-1,k ).若直线l 2经过点(0,5)且l 1⊥l 2,则直线l 2的方程为________.

解析由条件知kl 1=3,kl 2=-k ,

∴3×(-k )=-1.∴k =13.

即kl 2=-13.

又过点(0,5),∴l 2:y =-13x +5.

即x +3y -15=0.

答案x +3y -15=0

7.不论m 取何值,直线(m -1)x -y +2m +1=0,恒过定点________. 解析 把直线方程(m -1)x -y +2m +1=0,

整理得:(x +2)m -(x +y -1)=0

则??? x +2=0,x +y -1=0,得?

?? x =-2y =3. 答案 (-2,3)

8.若直线(2t -3)x +2y +t =0不经过第二象限,则t 的取值范围是________.

解析 直线方程可化为:y =? ??

??32-t x -t 2,由题意, 得????? 32-t ≥0,

-t 2≤0,解得0≤t ≤32.

答案 0≤t ≤32

9.在平面直角坐标系xOy 中,设点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),定义:d (P ,Q )=|x 1-x 2|+|y 1-y 2|.已知点B (1,0),点M 为直线x -2y +2=0上的动点,则使d (B ,

M )取最小值时点M 的坐标是________.

解析 设M (x 0,y 0),则x 0-2y 0+2=0,

d (B ,M )=|x 0-1|+|y 0|=|x 0-1|+????

??x 0+22= ????? -32x 0(x ≤-2),2-x 02(-2<x ≤1),

32x 0(x >1),所以当x 0=1时,

d (B ,M )取最小值32,此时y 0=32,所以M ? ??

??1,32. 答案 ? ??

??1,32 10.已知定点M (0,2),N (-2,0),直线l :k x -y -2k +2=0(k 为常数).若点M ,N 到直线l 的距离相等,则实数k 的值是________;对于l 上任意一点P ,∠MPN 恒为锐角,则实数k 的取值范围是________.

解析本题考查直线平行的充要条件以及恒成立问题.

∵点M 、N 到直线l 的距离相等,

∴直线l 平行于MN 或过MN 的中点,∴k =1或k =13;

设l 上任意一点P (x 0,kx 0-2k +2).

若∠MPN 恒为锐角,则PM →·PN

→>0, 即(x 0,kx 0-2k )·(x 0+2,kx 0-2k +2)>0,

∴x 20+2x 0+(kx 0-2k )2+2kx 0-4k >0,

∴(1+k 2)x 20+(2k -4k 2+2)x 0+4k 2-4k >0对x 0∈R 恒成立,

∴Δ=(2k -4k 2+2)2-4(k 2+1)(4k 2-4k )<0,

即-7k 2+6k +1<0,∴k >1或k <-17,即k ∈? ??

??-∞,-17∪(1,+∞). 答案1或13;? ??

??-∞,17∪(1,+∞) 二、解答题

11.已知两直线a 1x +b 1y +1=0和a 2x +b 2y +1=0的交点为P (2,3),求过两点

Q 1(a 1,b 1)、Q 2(a 2,b 2)(a 1≠a 2)的直线方程.

解由题意,知P (2,3)在已知直线上,

∴??? 2a 1+3b 1+1=0,2a 2+3b 2+1=0.

∴2(a 1-a 2)+3(b 1-b 2)=0,即b 1-b 2a 1-a 2

=-23. ∴所求直线方程为y -b 1=-23(x -a 1).

∴2x +3y -(2a 1+3b 1)=0,即2x +3y +1=0.

12.已知两点A (-1,2)、B (m,3).

(1)求直线AB 的方程;

(2)已知实数m ∈????

??-33-1,3-1,求直线AB 的倾斜角α的取值范围. 解(1)当m =-1时,直线AB 的方程为x =-1;

当m ≠-1时,直线AB 的斜率为k =

1m +1, ∴直线AB 的方程为y -2=1m +1

(x +1). (2)当m =-1时,直线AB 的倾斜角α=π2;当m ≠-1时,直线AB 的斜率

为k =1m +1

. ∵m ∈????

??-33-1,-1∪(-1,3-1], ∴k =1m +1∈(-∞,-3)∪????

??33,+∞. ∴α∈??????π6,π2∪? ??

??π2,2π3. ∴故直线AB 的倾斜角α∈????

??π6,2π3. 13.已知△ABC 中,A (1,-4),B (6,6),C (-2,0).求:

(1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程;

(2)BC 边的中线所在直线的一般式方程,并化为截距式方程.

解 (1)平行于BC 边的中位线就是AB 、AC 中点的连线.

因为线段AB 、AC 中点坐标为? ????72,1,? ??

??-12,-2, 所以这条直线的方程为y +21+2=x +1272+12

, 整理得,6x -8y -13=0,

化为截距式方程为x 136+y -138

=1.

(2)因为BC 边上的中点为(2,3),所以BC 边上的中线所在直线的方程为y +43+4

=x -12-1,即7x -y -11=0,化为截距式方程为x 117

+y -11

=1. 14.已知平面上的线段l 及点P ,任取l 上一点Q ,线段PQ 长度的最小值称为

点P 到线段l 的距离,记作d (P ,l ).

(1)求点P (1,1)到线段l :x -y -3=0(3≤x ≤5)的距离d (P ,l );

(2)设l 是长为2的线段,求点的集合D ={P |d (P ,l )≤1}所表示的图形面积;

(3)写出到两条线段l 1,l 2距离相等的点的集合Ω={P |d (P ,l 1)=d (P ,l 2)},其中l 1=AB ,l 2=CD ,A ,B ,C ,D 是下列三组点中的一组

对于下列三种情形,只需选做一种,满分分别是①2分,

②6分,③8分;若选择了多于一种情形,则按照序号较小的解答计分. ①A (1,3),B (1,0),C (-1,3),D (-1,0).

②A (1,3),B (1,0),C (-1,3),D (-1,-2).

③A (0,1),B (0,0),C (0,0),D (2,0).

解 (1)设Q (x ,x -3)是线段l :x -y -3=0(3≤x ≤5)上一点,则PQ =(x -1)2+(x -4)2=2? ??

??x -522+92(3≤x ≤5),当x =3时,d (P ,l )=PQ min = 5. (2)设线段l 的端点分别为A ,B ,以直线AB 为x 轴,AB 的中点为原点建立直角坐标系,

则A (-1,0),B (1,0),点集D 由如下曲线围成

l 1:y =1(|x |≤1),l 2:y =-1(|x |≤1),C 1:(x +1)2+y 2=1(x ≤-1),C 2:(x -1)2+y 2=1(x ≥1),其面积为S =4+π.

(3)①A(1,3),B(1,0),C(-1,3),D(-1,0),如图①,Ω={(x,y)|x=0}.

第1讲  直线的方程

②A(1,3),B(1,0),C(-1,3),D(-1,-2).如图②所示.

Ω={(x,y)|x=0,y≥0}∪{(x,y)|y2=4x,-2≤y<0}∪{(x,y)|x+y+1=0,x>1}.

③A(0,1),B(0,0),C(0,0),D(2,0).如图③所示.

Ω={(x,y)|x≤0,y≤0}∪{(x,y)|y=x,02}.