关于单摆周期公式是否只适用于“小角摆动”情形的探讨

关于单摆周期公式是否只适用于“小角摆动”情形的探讨

【摘要】单摆的周期公式T=2π的应用是有条件的,其条件是偏角很小(如100),而且偏角越小公式计算的结果越接近实际值,为什么是这样呢?本文从任意角度出发,推导出周期公式,再得到偏角很小的情况时周期的表达式。

【关键词】单摆非线性摆周期摆角

1引言

周期与实际测定值之间的误差,随着偏角的增大而增大。偏角为5°时误差误差为0.1‰,7°时为1‰,15°时为5‰,23°时为10‰”。为什么是偏角越小误差越小呢?

2非线性摆的振动周期

一根不可伸长、不计质量的绳子长为l,一端固定于O点,另一端系质量为m 的小球(可视为质点),我们暂时将这个系统成为“单摆”。通过O点的竖直直线为单摆的平衡位置。为了认识摆动的一般规律,我们把单摆看作是绕O点转动的刚体,研究单摆运动的动力学规律。单摆对O轴的转动惯量为I=ml2。当角位移为?兹时,作用于小球的重力对O点的力矩M=-mgl sinθ,其中负号表示力矩的方向与角位移θ的方向相反。根据定轴转动定律,I?茁=M,有:

这是一个非线性的微分方程,它与简谐振动的微分方程2x=0。因此,在一般情况下,“单摆”角位移对时间的变化规律不再是余弦式(或正弦式),也就是说不是简谐运动。(1)式表示的是一种非线性振动,为了与通常所说的单摆相区别,我们把这种摆叫做非线性摆。

设非线性摆的最大摆角为θ0,根据微分方程(1)式,并应用微分方程理论可求得这种摆的周期表达式的级数形式:

可见,非线性摆的周期T’是随摆幅(由θ0表示)的变化而变化的,它不是等时摆。

3单摆和它的周期

从(1)式可知,如果在摆动过程中的所有时刻摆线对平衡位置的角位移θ的绝对值都很小,以至于θ角的正弦值与它的弧度数近似相等,即:sinθ≈θ(4)

(5)式为简谐振动的微分方程,其解为:

θ=θ0cos(ωt+α)(6)