八年级几何全等证明题归纳
1.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠DCB=45°,BD⊥CD.过点C作CE⊥AB 于E,交对角线BD于F,点G为BC中点,连接EG、AF.
求证:CF=AB+AF.
证明:在线段CF上截取CH=BA,连接DH,
∵BD⊥CD,BE⊥CE,
∴∠EBF+∠EFB=90°,∠DFC+∠DCF=90°,
∵∠EFB=∠DFC,
∴∠EBF=∠DCF,
∵DB=CD,BA=CH,
∴△ABD≌△HCD,
∴AD=DH,∠ADB=∠HDC,
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC=45°,
∴∠HDC=45°,∴∠HDB=∠BDC—∠HDC=45°,
∴∠ADB=∠HDB,
∵AD=HD,DF=DF,
∴△ADF≌△HDF,
∴AF=HF,
∴CF=CH+HF=AB+AF,
∴CF=AB+AF.
2.如图,ABCD为正方形,E为BC边上一点,且AE=DE,AE与对角线BD交于点F,连接CF,交ED于点G.判断CF与ED的位置关系,并说明理由.
解:垂直.
理由:∵四边形ABCD为正方形,
∴∠ABD=∠CBD,AB=BC,
∵BF=BF,
∴△ABF≌△CBF,
∴∠BAF=∠BCF,
∵在RT△ABE和△DCE中,AE=DE,AB=DC,
∴RT△ABE≌△DCE,
∴∠BAE=∠CDE,
∴∠BCF=∠CDE,∵∠CDE+∠DEC=90°,
∴∠BCF+∠DEC=90°,
∴DE⊥CF.
3.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90o,AB=AD,DE⊥CD交AB于E,DF平分∠CDE交BC于F,连接EF.证
D
A
明:CF=EF
解:
E
B F C
过D作DG⊥BC于G.
由已知可得四边形ABGD为正方形,
∵DE⊥DC
∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG,
∴∠ADE=∠GDC.
又∵∠A=∠DGC且AD=GD,
∴△ADE≌△GDC,
∴DE=DC且AE=GC.
在△EDF和△CDF中∠EDF=∠CDF,DE=DC,DF为公共边,∴△EDF ≌△CDF,
∴EF=CF
4.已知:在⊿ABC中,∠A=900,AB=AC,D是AC的中点,AE⊥BD,AE延长线交BC于F,求证:∠ADB=∠FDC。
证明:
过点C作CG⊥CA交AF延长线
于G
∴∠G+∠GAC=90°…………①
又∵AE⊥BD
∴∠BDA+∠GAC=90°…………②
综合①②,∠G=∠BDA
在△BDA与△AGC中,
∵∠G=∠BDA
∠BAD=∠ACG=90°
BA=CA
∴△BDA≌△AGC
∴DA=GC
∵D是AC中点,∴DA=CD
∴GC=CD
由∠1=45°,∠ACG=90°,故∠2=45°=∠1
在△GCF与△DCF中,
∵GC=CD
∠2=45°=∠1
CF=CF
∴△GCF≌△DCF
∴∠G=∠FDC,又∠G=∠BDA
∴∠ADB=∠FDC
5.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,CD⊥BC,BC=CD,O是BD的中点,E是CD延长线上一点,作OF⊥OE交DA的延长线于F,OE交AD于H,OF交AB于G,FO的延长线交CD于K,求证:OE=OF
提示:
由条件知△BCD为等腰Rt△,连接OC,可证△OCK≌△ODH(AAS),
得OK=OH ,再证△FOH ≌△EOK(AAS),得OE=OF
A B
C
D
E
G
F
K
O
H
6.如图,在正方形ABCD 的边BC 上任取一点M ,过点C 作CN ⊥DM 交AB 于N ,设正方形对角线交点为O ,试确定OM 与ON 之间的关系,并说明理由.
解:∵四边形ABCD 是正方形, ∴DC=BC ,∠DCM=∠NBC=90°, 又∵CN ⊥DM 交AB 于N , ∴∠NCM+∠CMD=90°, 而∠CMD+∠CDM=90°, ∴∠NCM=∠CDM , ∴△DCM ≌△CBN , ∴CM=BN ,
再根据四边形ABCD是正方形可以得到
OC=OB,∠OCM=∠OBN=45°,
∴△OCM≌△OBN.
∴OM=ON,∠COM=∠BON,而∠COM+∠MOB=90°,
∴∠BON+∠MOB=90°.
∴∠MON=90°.
∴OM与ON之间的关系是OM=ON;OM⊥ON.
7.如图,正方形CGEF的对角线CE在正方形ABCD的边BC的延长线上(CG>BC),M是线段AE的中点,DM的延长线交CE于N.
探究:线段MD、MF的关系,并加以证明.
证明:根据题意,知AD∥BC.
∴∠EAD=∠AEN(内错角相等),
∵∠DMA=∠NME(对顶角相等),
又∵M是线段AE的中点,
∴AM=ME.
∴△ADM≌△ENM(ASA).
∴AD=NE,DM=MN.(对应边相等).
连接线段DF,线段FN,
线段CE是正方形的对角线,∠DCF=∠NEF=45°,
根据上题可知线段AD=NE,
又∵四边形CGEF是正方形,
∴线段FC等于FE.
∴△DCF≌△NEF(SAS).
∴线段FD=FN.
∴△FDN是等腰三角形.
∴线段MD⊥线段MF.
8.如图,△ABC是等边三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°角∠NDM,角的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连接MN.试探究BM、MN、CN之间的数量关系,并加以证明.
证明:BM+CN=NM
延长AC至E,使CE=BM,连接DE,
∵△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,△ABC是等边三角形,
∴∠BCD=30°,
∴∠ABD=∠ACD=90°,
∵DB=DC,CE=BM,
∴△DCE≌△BMD,
∵∠MDN=∠NDE=60°
∴DM=DE(上面已经全等)
∴DN=ND(公共边)
∴△DMN≌△DEN∴BM+CN=NM
9.如图,已知点D为等腰直角△ABC内一点,∠CAD=∠CBD=15°.E为AD延长线上的一点,且CE=CA,求证:AD+CD=DE;
证明:∵AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠CAB=∠ABC=45°.
∵∠CAD=∠CBD=15°,
∴∠BAD=∠ABD=30°.
∴AD=BD.
在DE上截取DM=DC,连接CM,
∵AD=BD,AC=BC,DC=DC,
∴△ACD≌△BCD.
∴∠ACD=∠BCD=45°.
∵∠CAD=15°,
∴∠EDC=60°.
∵DM=DC,
∴△CMD是等边三角形.
∴∠CDA=∠CME=120°.
∵CE=CA,
∴∠E=∠CAD.
∴△CAD≌△CEM.
∴ME=AD.
∴DA+DC=ME+MD=DE.
即AD+CD=DE.
10.如图,在正方形ABCD中,F是CD的中点,E是BC边上的一点,且AF平分∠DAE,求证:AE=EC+CD.
证明:∵AF平分∠DAE,∠D=90°,FH⊥AE,
∴∠DAF=∠EAF,FH=FD,
在△AHF与△ADF中,
∵AF为公共边,∠DAF=∠EAF,FH=FD(角平分线上的到角的两边距离相等),
∴△AHF≌△ADF(HL).
∴AH=AD,HF=DF.
又∵DF=FC=FH,FE为公共边,
∴△FHE≌△FCE.
∴HE=CE.
∵AE=AH+HE,AH=AD=CD,HE=CE,
∴AE=EC+CD.
11.已知梯形ABCD中,AB∥CD,BD⊥AC于E,AD=BC,AC=AB,DF ⊥AB于F,AC、DF相交于DF的中点O.
求证:AB+CD=2BE.
证明:过D作DM∥AC交BA的延长线于M.
∵梯形ABCS中,AD=BC,
∴BD=AC.
又∵CD∥AM,DM∥AC,
∴四边形CDMA为平行四边形.
∴DM=AC,CD=AM.
∵MD∥AC,又AC⊥BD,且AC=BD,
∴DM⊥BD,DM=BD,
∴△DMB为等腰直角三角形.
又∵DF⊥BM,
∴DF=BF.
∴BM=2DF=2BF
∴AM+AB=2BF.
∵CD=AM,
∴AB+CD=2BF.
∵AC=BD=AB,
∴在△BEA和△BFD中,△BEA≌△BFD.
∴BE=BF.
∵AB+CD=2BF,
∴AB+CD=2BE.
12.已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=DC,CF平分∠BCD,DF∥AB,BF的延长线交DC于点E.
求证:AD=DE.
证明:(1)∵CF平分∠BCD,
∴∠BCF=∠DCF.
在△BFC和△DFC中,
∴△BFC≌△DFC.
∴BF=DF,∴∠FBD=∠FDB.
连接BD.
∵DF∥AB,
∴∠ABD=∠FDB.
∴∠ABD=∠FBD.
∵AD∥BC,
∴∠BDA=∠DBC.
∵BC=DC,
∴∠DBC=∠BDC.
∴∠BDA=∠BDC.
又BD是公共边,
∴△BAD≌△BED.
∴AD=DE.
13.如图,在直角梯形ABCD中,AD⊥DC,AB∥DC,AB=BC,AD与BC 延长线交于点F,G是DC延长线上一点,AG⊥BC于E.
求证:CF=CG;
证明:连接AC,
∵DC∥AB,AB=BC,
∴∠1=∠CAB,∠CAB=∠2,
∴∠1=∠2;
∵∠ADC=∠AEC=90°,AC=AC,
∴△ADC≌△AEC,
∴CD=CE;
∵∠FDC=∠GEC=90°,∠3=∠4,
∴△FDC≌△GEC,
∴CF=CG.
14.如图,已知P为∠AOB的平分线OP上一点,PC⊥OA于C,PA=PB,求证AO+BO=2CO
证明:过点P作PQ⊥OB于Q,则∠PQB=90°
∵OP平分∠AOB,且PC⊥OA,PQ⊥OB
∴PC=PQ
在Rt△POC与Rt△POQ中,
∵PC=PQ
PO=PO
∴Rt△POC≌Rt△POQ(HL)
∴OC=OQ
∴2OC=OC+OQ=OC+OB+BQ
在Rt△PCA与Rt△PQB中,
∵PC=PQ
PA=PB
∴Rt△PCA≌Rt△PQB(HL)
∴CA=QB
又2OC=OC+OB+BQ
∴2OC=OC+OB+CA=OA+OB
15.已知:如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,DE⊥AC 于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E,且AE=AC.求证:BG=FG;
证明:
∵∠ABC=90°,DE⊥AC于点F,
∴∠ABC=∠AFE.
∵AC=AE,∠EAF=∠CAB,
∴△ABC≌△AFE
∴AB=AF.
连接AG,
∵AG=AG,AB=AF,
∴Rt△ABG≌Rt△AFG.
∴BG=FG
16.如图,在平行四边形ABCD中,分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF,连接CE、CF,求证:①△CDF≌△EBC;②∠CDF=∠EAF;③△ECF 是等边△
解:∵△ABE、△ADF是等边三角形
∴FD=AD,BE=AB
∵AD=BC,AB=DC
∴FD=BC,BE=DC
∵∠B=∠D,∠FDA=∠ABE
∴∠CDF=∠EBC
∴△CDF≌△EBC,
∵AF=FD,AE=DC,EF=CF
∴△EAF≌△CDF
∴∠CDF=∠EAF,
∵∠AFC=∠AFE+∠EFD+∠DFC,∠AFE+∠EFD=60°
∴∠AFC-∠DFC=60°
∴∠AFE=∠DFC
∴∠EFC=60°
同理,∠FEC=60°
∵CF=CE
∴△ECF是等边三角形
17.已知正方形ABCD中,F为对角线BD上一点,过F点作EF⊥BA于E,G为DF中点,连接EG,CG.求证:EG=CG;
证明:
延长CG至M,使MG=CG,
连接MF,ME,EC,
在△DCG与△FMG中,
∵FG=DG,∠MGF=∠CGD,MG=CG,
∴△DCG≌△FMG.
∴MF=CD,∠FMG=∠DCG,
∴MF∥CD∥AB,
∴EF⊥MF.
在Rt△MFE与Rt△CBE中,
∵MF=CB,EF=BE,
∴△MFE≌△CBE
∴∠MEF=∠CEB.
∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°,
∴△MEC为直角三角形.
∵MG=CG,
∴EG= MC,
∴EG=CG.
18.如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB,求证:AC=AE+CD.
解:在AC上取AF=AE,连接OF,
则△AEO≌△AFO(SAS),
∴∠AOE=∠AOF;
∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB,
∴∠ECA+∠DAC= (180°-∠B)=60°
则∠AOC=180°-∠ECA-∠DAC=120°;
∴∠AOC=∠DOE=120°,
∠AOE=∠COD=∠AOF=60°,
则∠COF=60°,
∴∠COD=∠COF,
又∵∠FCO=∠DCO,CO=CO,
∴△FOC≌△DOC(ASA),
∴DC=FC,
∵AC=AF+FC,
∴AC=AE+CD.
19.已知:如图,AD∥BC,AE平分∠BAD,AE⊥BE;说明:AD+BC=AB.
解:如图,在AB上截取AF=AD,
∴AE平分∠BAD,
∴∠DAE=∠FAE,
∵AF=AD,AE=AE,
∴△DAE≌△FAE,
∴∠D=∠AFE,∠DEA=∠FEA,
∵AD∥BC,
∴∠DAB+∠CBA=180°,
∵AE⊥BE,
∴∠BAE+∠ABE=90°,
∴∠DAE+∠CBE=90°,
∴∠ABE=∠CBE,
同理,∠FEB=∠CEB,
∵BE=BE,
∴△BEF≌△BEC,
∴BF=BC,
∴AB=AF+FB=AD+BC.
20.如图,已知Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90°,BC与DE相交
于点F,连接CD,EB.
求证:CF=EF.
证明:
∵Rt△ABC≌Rt△ADE,
∴AC=AE,AD=AB,∠CAB=∠EAD,
∴∠CAB-∠DAB=∠EAD-∠DAB.
即∠CAD=∠EAB.
∴△CAD≌△EAB,
∴CD=EB,∠ADC=∠ABE.
又∵∠ADE=∠ABC,
∴∠CDF=∠EBF.
又∵∠DFC=∠BFE,
∴△CDF≌△EBF.
∴CF=EF.
21.将两个全等的直角三角形ABC和DBE如图方式摆放,其中∠ACB=∠DEB=90°,∠A=∠D=30°,点E落在AB
上,DE所在直线交AC所在直线于点F.求证:AF+EF=DE