直线与圆锥曲线(2)学案

圆锥曲线的综合问题学案

1． 直线与圆锥曲线的位置关系

(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点． (2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线方程f (x ，y )＝0.

由?

????

Ax ＋By ＋C ＝0f (x ，y )＝0，消元 如消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0.

①若a ＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行或重合． ②若a ≠0，设Δ＝b 2－4ac .

a ．Δ>0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；

b ．Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点；

c ．Δ<0时，直线和圆锥曲线没有公共点． 2． 直线与圆锥曲线相交时的弦长问题

(1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长|P 1P 2|＝1＋k 2|x 1－x 2|或|P 1P 2|＝

1＋1

k

2|y 1－y 2|. (2)当斜率k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用轴上两点间距离公式)． 3． 圆锥曲线的中点弦问题

遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1中，以

P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0；在双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为

中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0

a 2y 0；在抛物线y 2＝2px (p >0)中，以P (x 0，y 0)为中点的弦

所在直线的斜率k ＝p

y 0

.

[难点正本 疑点清源]

1． 直线和圆锥曲线问题解法的一般规律

“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”． 2． “点差法”的常见题型

求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ>0是否成立．

1． 已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 2

9

＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |

＋|F 2B |＝12，则|AB |＝_______________. 答案 8

解析 由题意知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，即|AB |＝8.

2． 已知双曲线方程是x 2

－y 2

2

＝1，过定点P (2,1)作直线交双曲线于P 1，P 2两点，并使P (2,1)

为P 1P 2的中点，则此直线方程是____________． 答案 4x －y －7＝0

解析 设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则由x 21－y 2

12＝1，x 2

2－y 222

＝1，得

k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2(x 2＋x 1)y 2＋y 1

＝

2×4

2

＝4，从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x 2－56x ＋51＝0，Δ>0，故此直线满足条件．

3． 过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，则AB 的

中点M 到抛物线准线的距离为

( )

A.52

B.72

C ．2

D ．3

答案 B

4． 设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA →·OB →

等于( )

A.3

4

B ．－3

4

C ．3

D ．－3

答案 B

解析 方法一 (特殊值法)

抛物线的焦点为F ????12，0，过F 且垂直于x 轴的直线交抛物线于A (12，1)，B (1

2，－1)， ∴OA →·OB →＝????12，1·????1

2，－1＝14－1＝－34. 方法二 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则OA →·OB →

＝x 1x 2＋y 1y 2.

由抛物线的过焦点的弦的性质知： x 1x 2＝p 24＝1

4，y 1y 2＝－p 2＝－1.

∴OA →·OB →＝1

4－1＝－34

.

题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题

例1 已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点A (－1,0)的直线交抛物线C 于P 、Q 两点，设AP →＝λAQ →

.

(1)若点P 关于x 轴的对称点为M ，求证：直线MQ 经过抛物线C 的焦点F ； (2)若λ∈????

13，12，求|PQ |的最大值．

思维启迪：(1)可利用向量共线证明直线MQ 过F ；(2)建立|PQ |和λ的关系，然后求最值． (1)证明 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 1，－y 1)． ∵AP →＝λAQ →

，∴x 1＋1＝λ(x 2＋1)，y 1＝λy 2，

∴y 21＝λ2y 22，y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，x 1＝λ2x 2，

∴λ2x 2＋1＝λ(x 2＋1)，λx 2(λ－1)＝λ－1， ∵λ≠1，∴x 2＝1

λ，x 1＝λ，又F (1,0)，

∴MF →

＝(1－x 1，y 1)＝(1－λ，λy 2) ＝λ???

?1λ－1，y 2＝λFQ →， ∴直线MQ 经过抛物线C 的焦点F . (2)解 由(1)知x 2＝1

λ，x 1＝λ，

得x 1x 2＝1，y 21·y 22＝16x 1x 2＝16， ∵y 1y 2>0，∴y 1y 2＝4， 则|PQ |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2

＝x 21＋x 22＋y 21＋y 22－2(x 1x 2＋y 1y 2)

＝????λ＋1λ2＋4????λ＋1

λ－12 ＝???

?λ＋1

λ＋22－16， λ∈????13，12，λ＋1λ∈???

?52，103，

当λ＋1λ＝103，即λ＝13时，|PQ |2有最大值1129，|PQ |的最大值为473

.

探究提高 圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．

(2012·四川)如图，动点M 与两定点A (－1,0)、B (1,0)构成

△MAB ，且直线MA 、MB 的斜率之积为4.设动点M 的轨迹为C . (1)求轨迹C 的方程．

(2)设直线y ＝x ＋m (m >0)与y 轴相交于点P ，与轨迹C 相交于点Q ，R ，且|PQ |<|PR |.求

|PR ||PQ |的取值范围．

解 (1)设M 的坐标为(x ，y )，当x ＝－1时，直线MA 的斜率不存在； 当x ＝1时，直线MB 的斜率不存在．于是x ≠1且x ≠－1. 此时，MA 的斜率为y x ＋1，MB 的斜率为y

x －1.

由题意，有

y x ＋1·y

x －1

＝4.化简可得，4x 2－y 2－4＝0. 故动点M 的轨迹C 的方程为4x 2－y 2－4＝0(x ≠1且x ≠－1)．

(2)由?

????

y ＝x ＋m ，4x 2－y 2－4＝0

消去y ，可得3x 2－2mx －m 2－4＝0.(*) 对于方程(*)，其判别式

Δ＝(－2m )2－4×3(－m 2－4)＝16m 2＋48>0， 而当1或－1为方程(*)的根时，m 的值为－1或1. 结合题设(m >0)可知，m >0且m ≠1. 设Q 、R 的坐标分别为(x Q ，y Q )，(x R ，y R )， 则x Q ，x R 为方程(*)的两根．

因为|PQ |<|PR |，所以|x Q |<|x R |，x Q ＝m －2m 2＋33，

x R ＝m ＋2m 2＋33.

所以|PR ||PQ |＝???

?x R x Q ＝

2

1＋3m

2＋12

1＋3m

2－1＝1＋221＋3m

2－1.

此时

1＋3

m

2>1，且1＋3

m

2≠2， 所以1<1＋

2

2

1＋3m

2－1<3，且1＋2

21＋3

m 2－1≠53， 所以1<|PR ||PQ |＝????x R x Q <3，且|PR ||PQ |＝????x R x Q ≠5

3.

综上所述，

|PR |

|PQ |

的取值范围是????1，53∪????53，3. 题型二 圆锥曲线中的定点、定值问题

例2 已知椭圆C 经过点A ???

?1，3

2，两个焦点为(－1,0)、(1,0)． (1)求椭圆C 的方程；

(2)E 、F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．

思维启迪：可设直线AE 的斜率来计算直线EF 的斜率，通过推理计算消参． (1)解 由题意，c ＝1，可设椭圆方程为x 21＋b 2＋y 2

b

2＝1.

因为A 在椭圆上，所以11＋b 2＋94b 2＝1，解得b 2＝3，b 2

＝－34(舍去)，所以椭圆方程为

x 24＋y 2

3

＝1. (2)证明 设直线AE 的方程为y ＝k (x －1)＋3

2，

代入x 24＋y 2

3

＝1.

得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋4????32－k 2

－12＝0. 设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )．

因为点A ????1，3

2在椭圆上，所以x E ＝4????32－k 2

－123＋4k 2

， y E ＝kx E ＋3

2－k .又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代替k ，

可得x F ＝4????32＋k 2－123＋4k 2

，y F ＝－kx F ＋3

2＋k ， 所以直线EF 的斜率 k EF ＝

y F －y E x F －x E ＝－k (x E ＋x F )＋2k x F －x E

＝1

2，

即直线EF 的斜率为定值，其值为1

2.

探究提高 求定值问题常见的方法有两种：

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，该椭圆经过点P ???

?1，3

2且离心率为1

2

.

(1)求椭圆C 的标准方程；

(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左，右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标． (1)解 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1 (a >b >0)，

由e ＝c a ＝1

2，得a ＝2c ，

∵a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝3c 2， 则椭圆方程变为x 24c 2＋y 2

3c

2＝1.

又椭圆过点P ????1，3

2，将其代入求得c 2＝1， 故a 2＝4，b 2＝3，

即得椭圆的标准方程为x 24＋y 2

3

＝1.

(2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立?????

y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2

3＝1，

得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0.

则??

?

Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0，

x 1

＋x 2

＝－8mk 3＋4k 2

，

x 1

·x 2

＝4(m 2

－3)3＋4k 2

.

①

又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2 ＝3(m 2－4k 2)3＋4k 2

.

∵椭圆的右顶点为A 2(2,0)，AA 2⊥BA 2， ∴(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝0，

∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，

∴3(m 2－4k 2)3＋4k 2＋4(m 2－3)3＋4k 2＋16mk 3＋4k 2

＋4＝0，

∴7m 2＋16mk ＋4k 2＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7，

由①，得3＋4k 2－m 2>0，

当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾．

当m 2＝－2k

7时，l 的方程为y ＝k ????x －27，直线过定点????27，0，∴直线l 过定点，定点坐标为????

27，0.

题型三 圆锥曲线中的探索性问题

例3 已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．

思维启迪：可先假设l 存在，然后根据与C 有公共点和与OA 距离等于4两个条件探求． 解 方法一 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)，且可知其左焦点为

F ′(－2,0)．

从而有????? c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得?????

c ＝2，a ＝4.

又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12， 故椭圆C 的方程为x 216＋y 2

12

＝1.

(2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝3

2

x ＋t .

由???

y ＝3

2

x ＋t ，x 2

16＋y

2

12＝1，

得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.

因为直线l 与椭圆C 有公共点， 所以Δ＝(3t )2－4×3×(t 2－12)≥0， 解得－43≤t ≤4 3.

另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4，得

|t |

94

＋1＝4，解得t ＝±213. 由于±213?[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．

方法二 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)，

且有?????

4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4.解得b 2＝12，b 2＝－3(舍去)．

从而a 2＝16.

所以椭圆C 的方程为x 216＋y 2

12＝1.

(2)同方法一．

探究提高 解决直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题，往往是先假设所求的元素存在，然后再推理论证，检验说明假设是否正确．

(2012·江西)已知三点O (0,0)，A (－2,1)，B (2,1)，曲线C 上任意一点M (x ，y )

满足|MA →＋MB →|＝OM →·(OA →＋OB →

)＋2. (1)求曲线C 的方程；

(2)动点Q (x 0，y 0)(－2

＝(2－x,1－y )， |MA →＋MB →

|＝(－2x )2＋(2－2y )2， OM →·(OA →＋OB →)＝(x ，y )·(0,2)＝2y ， 由已知得(－2x )2＋(2－2y )2＝2y ＋2， 化简得曲线C 的方程：x 2＝4y . (2)假设存在点P (0，t )(t <0)满足条件， 则直线P A 的方程是y ＝t －12x ＋t ，

PB 的方程是y ＝1－t

2

x ＋t .

曲线C 在Q 处的切线l 的方程是y ＝x 02x －x 204，它与y 轴的交点为F ????0，－x 204. 由于－2

2

<1.

①当－1

2，

即l 与直线P A 平行，故当－1x 0

2

，

所以l 与直线P A ，PB 一定相交．

分别联立方程组??? y ＝t －12x ＋t ，y ＝x 0

2x －x

20

4，???

y ＝1－t 2

x ＋t ，y ＝x 0

2x －x

20

4，

解得D ，E 的横坐标分别是x D ＝x 20＋4t

2(x 0＋1－t )，

x E ＝x 20＋4t 2(x 0＋t －1)

，

则x E －x D ＝(1－t )x 20＋4t

x 20－(t －1)2

.

又|FP |＝－x 20

4

－t ，

有S △PDE ＝12·|FP |·|x E －x D |＝1－t 8·(x 20＋4t )

2

(t －1)2－x 20，

又S △QAB ＝12·4·????1－x 204＝4－x 20

2，

于是S △QAB S △PDE ＝41－t ·(x 20－4)[x 20－(t －1)2

](x 20＋4t )2

＝41－t ·x 40－[4＋(t －1)2]x 20＋4(t －1)2x 40＋8tx 20＋16t

2

. 对任意x 0∈(－2,2)，要使S △QAB S △PDE

为常数，

即只需t 满足?

????

－4－(t －1)2

＝8t ，

4(t －1)2＝16t 2

. 解得t ＝－1.此时S △QAB

S △PDE

＝2，

故存在t ＝－1，使得△QAB 与△PDE 的面积之比是常数2.

圆锥曲线中的函数思想

典例：(12分)已知椭圆x 24＋y 2

2

＝1上的两个动点P ，Q ，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)且x 1＋x 2＝2.

(1)求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ；

(2)设点A 关于原点O 的对称点是B ，求|PB |的最小值及相应的P 点坐标．

审题视角 (1)引入参数PQ 中点的纵坐标，先求k PQ ，利用直线PQ 的方程求解．(2)建立|PB |关于动点坐标的目标函数，利用函数的性质求最值．

规范解答

(1)证明 ∵P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，且x 1＋x 2＝2.

当x 1≠x 2时，由?

????

x 21＋2y 21＝4x 22＋2y 22＝4，得y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2

y 1＋y 2. 设线段PQ 的中点N (1，n )，∴k PQ ＝

y 1－y 2x 1－x 2

＝－1

2n ，[4分]

∴线段PQ 的垂直平分线方程为y －n ＝2n (x －1)， ∴(2x －1)n －y ＝0，

该直线恒过一个定点A (1

2

，0)．[6分]

当x 1＝x 2时，线段PQ 的中垂线也过定点A (1

2，0)．

综上，线段PQ 的垂直平分线恒过定点A (1

2，0)．[7分]

(2)解 由于点B 与点A 关于原点O 对称， 故点B (－1

2

，0)．[8分]

∵－2≤x 1≤2，－2≤x 2≤2，∴x 1＝2－x 2∈[0,2]， |PB |2＝(x 1＋12)2＋y 21

＝12(x 1＋1)2

＋74≥94，[10分] ∴当点P 的坐标为(0，±2)时，|PB |min ＝3

2

.[12分]

温馨提醒 (1)本题是圆锥曲线中的综合问题，涉及到了定点问题以及最值问题．求圆锥曲线的最值问题是高考考查的一个重要问题，通常是先建立一个目标函数，然后利用函数的单调性、函数的图象、函数的有界性或基本不等式等求最值，本题是建立二次函数、利用二次函数的图象求最值．

(2)本题的第一个易错点是，表达不出线段PQ 的中垂线方程，原因是想不到引入参数表示PQ 的中点．第二个易错点是，易忽视P 点坐标的取值范围．实质上是忽视了椭圆的范围.

方法与技巧

1． 解决直线与椭圆的位置关系问题，如果直线与椭圆有两个不同交点，可将直线方程y ＝

kx ＋c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2

b 2＝1整理出关于x (或y )的一元二次方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0，Δ＝

B 2－4A

C >0，可利用根与系数之间的关系求弦长(弦长为1＋k 2

Δ|A |

)．

2．圆锥曲线综合问题要四重视：

(1)重视定义在解题中的作用；

(2)重视平面几何知识在解题中的作用；

(3)重视根与系数的关系在解题中的作用；

(4)重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用．

失误与防范

1．在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况．2．中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ>0或说明中点在曲线内部．

圆锥曲线解题技巧教案

圆锥曲线―概念、方法、题型、及应试技巧总结 1.圆锥曲线的两个定义： （1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） （2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 如已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答2） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝ 1（0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ， C 同号，A ≠B ）。 如（1）已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____（答： 11 (3,)(,2)22 ---） ； （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1 （0,0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ， B 异号）。 如设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2= e 的双曲线C 过点 )10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=） （3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口 向上时22(0)x py p =>，开口向下时2 2(0)x py p =->。 如定长为3的线段AB 的两个端点在y=x 2上移动，AB 中点为M ，求点M 到x 轴的最短距离。 4 5 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 1

圆锥曲线教学设计

圆锥曲线 一、教学内容分析 圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性,它是无数次实践后的高度抽象.恰当地利用定义解题,许多时候能以简驭繁.因此,在学习了椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程、几何性质后,再一次强调定义,学会利用圆锥曲线定义来熟练的解题”。 二、学生学习情况分析 我所任教班级的学生参与课堂教学活动的积极性强，思维活跃，但计算能力较差，推理能力较弱，使用数学语言的表达能力也略显不足。 三、设计思想 由于这部分知识较为抽象,如果离开感性认识,容易使学生陷入困境,降低学习热情.在教学时,借助多媒体动画,引导学生主动发现问题、解决问题,主动参与教学,在轻松愉快的环境中发现、获取新知,提高教学效率. 四、教学目标 1.深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义，能灵活应用定义解决问题;熟练掌握焦点坐标、顶点坐标、焦距、离心率、准线方程、渐近线、焦半径等概念和求法;能结合平面几何的基本知识求解圆锥曲线的方程。 2.通过对练习,强化对圆锥曲线定义的理解，提高分析、解决问题的能力;通过对问题的不断引申,精心设问,引导学生学习解题的一般方法。 3.借助多媒体辅助教学,激发学习数学的兴趣.

五、教学重点与难点: 教学重点 1.对圆锥曲线定义的理解 2.利用圆锥曲线的定义求“最值” 3.“定义法”求轨迹方程 教学难点: 巧用圆锥曲线定义解题 六、教学过程设计 【设计思路】 (一)开门见山，提出问题 一上课，我就直截了当地给出—— 例题1:(1) 已知A(-2，0)，B(2，0)动点M满足|MA|+|MB|=2，则点M的轨迹是( )。 (A)椭圆(B)双曲线(C)线段(D)不存在 (2)已知动点M(x，y)满足(x1)2(y2)2|3x4y|，则点M的轨迹是( )。 (A)椭圆(B)双曲线(C)抛物线(D)两条相交直线 【设计意图】

2013-2014学年高三数学二轮复习导学案：专题6《圆锥曲线》

课题： 专题 6 圆锥曲线 班级 姓名： 一：高考趋势 回顾 2008～ 2013 年的高考题， 在填空题中主要考查了椭圆的离心率和定义的运用，在解答题中 2010、 2011、 2012 年连续三年考查了直线与椭圆的综合问题，难度较高． 在近四年的圆锥曲线的考查中抛物线和双曲线的考查较少且难度很小，这与考试说明中 A 级要求相符合． 预测在 2014 年的高考题中： (1) 填空题依然是以考查圆锥曲线的几何性质为主，三种圆锥曲线都有可能涉及． (2) 在解答题中可能会出现圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还有可能涉及简单的轨迹方程的求解． 二：课前预习 x 2 ＋y 2 ＝ 1 的离心率 e ＝ 10 ，则 m 的值是 ________． 1．若椭圆 5 m 5 2．若抛物线 2 ＝ 2x 上的一点 M 到坐标原点 O 的距离为 3，则 M 到该抛物线焦 y 点的距离为 ________． 3．双曲线 2x 2－y 2＋6＝ 0 上一个点 P 到一个焦点的距离为 4，则它到另一个焦点 的距离为 ________． 2 2 x ＋ y ＝ 1 的左焦点为 F ，直线 x ＝ m 与椭圆相交于点 A 、 B.当△ FAB 的 4．椭圆 4 3 周长最大时，△ FAB 的面积是 ________． 5．已知椭圆 x 2 y 2 2 ＋ 2＝ 1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、 F 2，离心率为 e ，若椭圆 a b PF 1 上存在点 P ，使得 PF 2＝ e ，则该椭圆离心率 e 的取值范围是 ________． 6．设圆锥曲线 Γ的两个焦点分别为 F 1 ，F 2.若曲线 Γ上存在点 P 满足 |PF 1|∶ |F 1 F 2 |∶ |PF 2|＝ 4∶ 3∶2，则曲线 Γ的离心率等于 ________． 三：课堂研讨 2 2 y 1．已知双曲线 x － ＝ 1，椭圆与该双曲线共焦点，且经过点 (2,3)． (1)求椭圆方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为 A ， B ，右焦点为 F ，直线 l 为椭圆的右准线， N 为 l 上的一动点，且在 x 轴上方，直线 AN 与椭圆交于点 M. ①若 AM ＝ MN ，求∠ AMB 的余弦值； ②设过 A ，F ， N 三点的圆与 y 轴交于 P ， Q 两点，当线段 PQ 的中点为 (0,9) 时，求这个圆的方程． 备 注

直线与圆锥曲线教学案河北省鸡泽县第一中学高三数学一轮复习

直线与圆锥曲线 [基本知识] 判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程A x ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程． 即由????? Ax ＋By ＋C ＝0，F x ，y ＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的判别式为Δ， 则????? Δ＞0?直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0?直线与圆锥曲线C 相切；Δ＜0?直线与圆锥曲线C 相离. (2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴平行或重合． [基本能力] 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)直线l 与椭圆C 相切的充要条件是：直线l 与椭圆C 只有一个公共点．( ) (2)直线l 与双曲线C 相切的充要条件是：直线l 与双曲线C 只有一个公共点．( ) (3)直线l 与抛物线C 相切的充要条件是：直线l 与抛物线C 只有一个公共点．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× 二、填空题 1．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________． 答案：[－1,1] 2．已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24 ＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，弦AB 的长为________． 答案：85 3．双曲线x 29－y 2 16 ＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________． 答案：3215 [典例] (1)(2019·河南九校联考)已知直线y ＝kx ＋t 与圆x 2＋(y ＋1)2＝1相切且与抛物线C ：x 2

人教新课标版数学-高中数学直线与圆锥曲线的位置关系(二)学案

高中数学直线与圆锥曲线的位置关系（二）学案 【学习目标】 1.掌握直线与椭圆、抛物线的位置关系. 2.了解圆锥曲线的简单应用. 3.理解数形结合的思想. 【重点难点】掌握直线与椭圆、抛物线的位置关系、圆锥曲线的简单应用． 【合作探究】 【例1】已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c>0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322 .设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点． (1)求抛物线C 的方程； (2)当点P(x0，y0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF|·|BF|的最小值． 变式训练1 已知椭圆x2a2＋y2b2 ＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F2(3,0)，离心率为e. (1)若e ＝32 ，求椭圆的方程； (2)设直线y ＝kx 与椭圆相交于A ，B 两点，若AF2→·BF2→＝0，且22＜e≤32 ，求k 的取值范围． 考向2 定点、定值的证明与探索 【例2】已知动圆过定点A(4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程； (2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，

若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点． 【达标检测】 1．已知抛物线y2＝2px(p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－2 2．椭圆C ：x24＋y23 ＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P 在C 上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是( ) A.??????12，34 B.???? ??38，34 C.??????12，1 D.???? ??34，1

2019届二轮复习 圆锥曲线 学案 (全国通用)

第九讲 圆锥曲线 一、知识方法拓展： 1、直线系方程 若直线1111:0l a x b y c ++=与直线2222:0l a x b y c ++=相交于P ，则它们的线性组合()()1112220a x b y c a x b y c λμ+++++=（,R λμ∈，且不全为0）（*）表示过P 点的直线系。当参数,λμ为一组确定的值时，（*）表示一条过P 点的直线。 特别地，当0λ=时，（*）式即2220a x b y c ++=； 当0μ=时，（*）式即1110a x b y c ++=。 对于12,l l 以外的直线，我们往往只在（*）式中保留一个参数，而使另一个为1. 又若1l 与2l 平行，这时（*）式表示所有与1l 平行的直线。 2、圆锥曲线的第二定义（离心率、准线方程等） 圆锥曲线的统一定义为：平面内到一定点F 与到一条定直线l (点F 不在直线l 上） 的距离之比为常数e 的点的轨迹: 当01e <<时, 点的轨迹是椭圆， 当 1e >时, 点的轨迹是双曲线， 当 1e =时, 点的轨迹是抛物线， 其中e 是圆锥曲线的离心率c e a = ，定点F 是圆锥曲线的焦点， 定直线l 是圆锥曲线的准线，焦点在X 轴上的曲线的准线方程为2 a x c =±。 3、圆锥曲线和直线的参数方程 圆2 2 2 x y r +=的参数方程是cos sin x r y r θ θ=?? =? ，其中θ是参数。 椭圆22 221x y a b +=的参数方程是cos sin x a y b θθ =??=?，其中θ是参数，称为离心角。

双曲线22 221x y a b -=的参数方程是sec tan x a y b θθ =??=?，其中θ是参数。 抛物线2 2y px =的参数方程是2 22x pt y pt ?=?=?，其中t 是参数。 过定点()00,x y ，倾斜角为α的直线参数方程为00cos sin x x t y y t α α=+??=+? ，t 为参数。（关注几 何意义）。 4、圆锥曲线的统一极坐标方程 以圆锥曲线的焦点（椭圆的左焦点、双曲线的右焦点、抛物线的焦点）为极点，过极点引相应准线的垂线的反向延长线为极轴，则圆锥曲线的统一极坐标方程为 1cos ep e ρθ = -，其中e 为离心率，p 是焦点到相应准线的距离。 二、热身练习： 1、（07武大）如果椭圆()222210x y a b a b +=>> 那么双曲线22221x y a b -=的 离心率为（ ） （A （B ）2 （C （D ） 54 【答案】C 【解析】圆锥曲线的离心率c e a = ， 椭圆中：2 2 2 c a b =-∴222 2 34 a b e a -==，得22 4a b = 双曲线中：2222 2254c a b e a a +=== ，得e = C 。

江苏省宿迁市高中数学第二章圆锥曲线与方程第14课时曲线与方程1导学案无答案苏教版选修

第14课时曲线与方程 【学习目标】 1?了解曲线方程的概念 2 ?能根据曲线方程的概念解决一些简单问题 【问题情境】 前面我们用f(x,y)=O或y=f(x)来表示一条曲线，例如直线的方程，圆的方程以及圆锥曲线 的方程，那么什么是曲线的方程？ 1、曲线的方程，方程的曲线 在直角坐标系中，如果某曲线 C (看作点的集合或适合某种条件的点轨迹)上的点与一 个二元方程f (x, y)=0的实数解建立了如下关系： (1)曲线C上的点的坐标都是___________________ ? (2) ________________________________________________ 以方程f( x, y)=0的解(x,y)为坐标的点都在_______________________________________________ ，那么，方程f (x, y)=0叫做曲 线C的方程，曲线C叫做方程f(x, y)=0的曲线. 1.点与曲线 如果曲线C的方程是f(x,y)=0，那么点P(x o, y o)在曲线C上的充要条件是f (x o, y o)=0 ? 【合作探究】 问题1:观察下表中的方程与曲线，说明它们有怎样的关系？

问题2…若曲线C的方程为k x2+2x+(1+k) y+3=0,(k € R),则曲线C过定点_____________ 问题3.方程x2+xy-x=0表示的曲线是 ________________ . 问题4?至俩个坐标轴距离相等的点所满足的方程是_____________________ .

例1?判断下列结论的对错，并说明理由： (1)过点A ( 3,0 )且垂直于x轴的直线的方程为x=3; (2)到x轴距离为2的点轨迹方程为y=2; (3)到两坐标轴距离乘积等于k的点的轨迹方程为xy=k. 例2. (1)判断点(2,2迈),(3,1)是否在圆x2y216上； (2)已知方程为x2y225的圆过点C ( *''7 , m ,求m的值. 例3.设圆C： (x 1)2y2 1，过原点0作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹 方程. 变式：过P( 2,4 )作两条相互垂直的直线「J,若l i交x轴于A点，交y轴于B点, 求线段AB的中点M的轨迹方程. 例4?已知一座圆拱桥的跨度是36m圆拱高为6m,以圆拱所对的弦AB所在直线为x轴，AB的垂直 y 平分线为y轴，建立直角坐标系x O y (如图)，求圆拱的方程.*

直线与圆锥曲线的综合问题

教学过程 一、复习预习 圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系，解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整. 二、知识讲解 考点1范围问题 求范围和最值的方法： 几何方法：充分利用图形的几何特征及意义，考虑几何性质解决问题 代数方法：建立目标函数，再求目标函数的最值． 考点2对称问题 要抓住对称包含的三个条件： (1)中点在对称轴上 (2)两个对称点的连线与轴垂直

(3)两点连线与曲线有两个交点(0>?),通过该不等式求范围 考点/易错点3定点、定值、最值等问题 定点与定值问题的处理一般有两种方法： （1）从特殊入手，求出定点和定值，再证明这个点（值）与变量无关; （2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点（定值）． 三、例题精析 【例题1】 【题干】已知椭圆1:22221=+b y a x C （0>>b a ）与直线01=-+y x 相交于两点A 、B ．当 椭圆的离心率e 满足2 223≤≤e ，且0=?OB OA （O 为坐标原点）时，求椭圆长轴长的取值范围． 【答案】 []6,5 【解析】由???=-+=+0 12 22222y x b a y a x b ，得()()012222222=-+-+b a x a x b a 由( ) 0122222>-+=?b a b a ，得12 2 >+b a 此时222212b a a x x +=+，() 2 22 2211b a b a x x +-= 由0=?OB OA ，得02121=+y y x x ，∴()0122121=++-x x x x 即022 2 2 2 =-+b a b a ，故1 222 2 -=a a b 由2 22222 a b a a c e -==，得2 222e a a b -= ∴2 2 11 12e a -+ = 由 2 223≤≤e 得23452 ≤≤a ，∴625≤≤a 所以椭圆长轴长的取值范围为 []6,5 【例题2】

高考数学二轮复习 解析几何 5.7 直线与圆锥曲线学案 理

高考数学二轮复习解析几何 5.7 直线与圆锥曲 线学案理 5、7 直线与圆锥曲线 【学习目标】 1、理解直线与曲线的位置关系， 2、会求相交弦长，能解决与相交弦有关的问题； 【学法指导】 1、先认真阅读教材和一轮复习笔记，处理好知识网络构建，构建知识体系，形成系统的认识； 2、限时30分钟独立、规范完成探究部分，并总结规律方法； 3、找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑； 4、重点理解的内容：相交弦的应用。 【高考方向】 1、直线与曲线的位置关系的判断； 2、与相交弦有关的综合问题。 【课前预习】 XXXXX： 一、知识网络构建 1、直线与曲线的位置关系的如何判断？

2、三种曲线的相交弦公式有何异同？ 二、高考真题再现(13安徽13)已知直线交抛物线于两点。若该抛物线上存在点，使得为直角，则的取值范围为_______。 三、基本概念检测 1、设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点F(?1，0)的直线l 交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点、若|FQ|=2，则直线l的斜率等于、 2、在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线=4x的焦点F、且与该抛物线相交于 A、B两点、其中点A在x轴上方。若直线l的倾斜角为 60、则△OAF的面积为、3、已知P，Q为抛物线上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P、Q分别作抛物线的切线，两切线交于A，则点A的纵坐标为__________。 4、设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线的方程为_____________、 【课中研讨】 XXXXX：例 1、已知椭圆G：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点(2，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)、(1)求椭圆G的方程； (2)求△PAB的面积、例

圆锥曲线第二定义学案

圆锥曲线第二定义练习学案 1.过抛物线x 4y 2=的焦点F 作直线交抛物线于A （11y x ，）、B （22y x ，），若6x x 21=+，求|AB|的长。 2. 设椭圆22 22b y a x +=1（a>b>0）的右焦点为1F ，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长度等于F 1到准线l 1的距离，求椭圆的离心率。 3. 双曲线13 y x 2 2 =-的右支上一点P ，到左焦点F 1与到右焦点F 2的距离之比为2：1，求点P 的坐标。 4.点P 在椭圆 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标为_______ 5. 抛物线上的两点A 、B 到焦点的距离和是5，则线段AB 的中点到轴的距离为 6. 椭圆内有一点，F 为右焦点，在椭圆上有一点M ，使 之值最小，则点M 的坐标为_______ 7. 已知椭圆)0b a (1b y a x 22 22>>=+，21F F 、分别是左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2=90°，求椭圆的离心率e 的取值范围。 8. 已知点A （32，-），设点F 为椭圆112 y 16x 2 2=+的右焦点，点M 为椭圆上一动点，求|MF |2|MA |+的最小值，并求此时点M 的坐标。 9.椭圆x 2/25+y 2 /9=1上有一点P ，如果它到左准线的距离为5/2，那么P 到右焦点的距离是 。 10. F 2是椭圆x 2/a 2+y 2/b 2=1(a ＞b>0)的右焦点，P(x 0,y 0)是椭圆上任一点，则|PF 2|的值为： A. ex 0-a B. a-ex 0 C. ex 0-a D.e-ax 0 11.过抛物线y 2=4x 的焦点的一条直线交抛物线于A 、B 两点，若线段的中点的横坐标为3，则|AB|= 。 12. 已知椭圆方程为x 2/b 2+y 2/a 2=1(a>b>0)，求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得以它 们的交点为顶点的四边形面积最大，并求相应的四边形的顶点坐标。 13. 已知椭圆x 2/4+y 2/3=1内有一点P(1,-1)，F 为右焦点，椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|值最小，求点M 的坐标

《圆锥曲线的参数方程》教学案

2.3《圆锥曲线的参数方程》教学案 一、教学目标： 知识与技能：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义 过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识. 二、重难点： 教学重点：圆锥曲线参数方程的定义及方法 教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 三、教学方法： 启发、诱导发现教学. 四、教学过程： (一)、复习引入： 1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程. (1)圆222r y x =+参数方程?? ?==θ θ sin cos r y r x (θ为参数) (2)圆2 2 02 0r y y x x =+-)\()(参数方程为：?? ?+=+=θ θ sin cos r y y r x x 00 (θ为参数) 2．写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程. 3．能模仿圆参数方程的推导，写出圆锥曲线的参数方程吗？ (二)、讲解新课： 1.椭圆的参数方程推导：椭圆 12 22 2=+ b y a x 参数方程 ?? ?==θ θ sin cos b y a x (θ为参数)，参数θ的几何意义是以a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X 轴正半轴的夹角 2.双曲线的参数方程的推导：双曲线12 22 2=- b y a x 参数方程 ?? ?==θ θ tan sec b y a x (θ为参数)

. 3.抛物线的参数方程：抛物线Px y 22 =参数方程?? ?==Pt y Pt x 222 (t 为参数)，t 为以抛物线上一点(X ，Y)与其顶点连线斜率的倒数. (1)、关于参数几点说明： A.参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义. B.同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样 C.在实际问题中要确定参数的取值范围 (2)、参数方程的意义： 参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中x ，y 分别为曲线上点M 的横坐标和纵坐标. (3)、参数方程求法：(A)建立直角坐标系，设曲线上任一点P 坐标为),(y x ；(B)选取适当的参数；(C)根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P 坐标与参数的函数式；(D)证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 (4)、关于参数方程中参数的选取：选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单.与运动有关的问题选取时间t 做参数；与旋转的有关问题选取角θ做参数；或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等. 4、椭圆的参数方程常见形式：(1)、椭圆122 22=+b y a x 参数方程 ?? ?==θ θsin cos b y a x (θ 为参数)；椭圆 2 2 221(0)y x b a b a +=>>的参数方程是 c o s s i n (2x b y a θθθθ==≤≤π? 为参数，且0）. (2)、以0 ( ,)y x 为中心焦点的连线平行于x 轴的椭圆的参数方程是 00 cos sin ({x a y b x y θθ θ= +=+为参数）. (3)在利用???==θθ sin cos b y a x 研究椭圆问题时，椭圆上的点的坐标可记作(acos θ，bsin θ). (三)、巩固训练

高考数学复习教案：直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系 【考试大纲要求】 1．掌握直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用解决这些问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题. 2．会运用“设而不求”解决相交弦长问题及中点弦问题. 3．会利用圆锥曲线的焦半径公式解决焦点弦的问题掌握求焦半径以及利用焦半径解题的方法. 4．会用弦长公式|AB |=21k +|x 2－x 1|求弦的长； 5．会利用“设点代点、设而不求”的方法求弦所在直线的方程（如中点弦、相交弦等）、弦的中点的轨迹等． 【高考命题走向】 近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置，且选择、填空也有涉及，有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等。分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法，对称的方法及韦达定理等． 预测2010年高考： 1．会出现1道关于直线与圆锥曲线的位置关系的解答题； 2．与直线、圆锥曲线相结合的综合型考题，等轴双曲线基本不出题，坐标轴平移或平移化简方程一般不出解答题，大多是以选择题形式出现． 【基础知识归纳】 1．点00(,)M x y 与圆锥曲线C ：f(x ，y)=0的位置关系（如表1）． 2．直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点． 直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究．因为方程组解的个数与交点的个数是一样的． 直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可归纳为： (1)0?>?相交； (2)0?=?相切； (3)0?

高三数学复习：第53课时—直线与圆锥曲线的位置关系(1)(学案)

高三数学第一轮复习讲义（53） 直线与圆锥的位置关系（1） 一．复习目标： 1．掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，能够把研究直线与圆锥曲线的位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题； 2．会利用直线与圆锥曲线的方程所组成的方程组消去一个变量，将交点问题问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数关系及判别式解决问题． 二．知识要点： 1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法： 直线l ：(,)0f x y =和曲线:(,)0C g x y =的公共点坐标是方程组(,)0(,)0 f x y g x y =??=?的解，l 和C 的公共点的个数等于方程组不同解的个数．这样就将l 和C 的交点问题转化为方程组的解问题研究，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式?，若能数形结合，借助图形的几何性质则较为简便． 2．弦的中点或中点弦的问题，除利用韦达定理外，也可以运用“差分法”（也叫“点差法”）． 三．课前预习： 1．直线y x b =+与抛物线2 2y x =，当b ∈ 时，有且只有一个公共点；当b ∈ 时，有两个不同的公共点；当b ∈ 时，无公共点． 2．若直线1y kx =+和椭圆22 125x y m +=恒有公共点，则实数m 的取值范围为 ． 3．抛物线2 y ax =与直线y kx b =+(0)k ≠交于,A B 两点，且此两点的横坐标分别为1x ，2x ，直线与x 轴的交点的横坐标是3x ，则恒有 （ ） ()A 312x x x =+ ()B 121323x x x x x x =+ ()C 3120x x x ++= ()D 1213230x x x x x x ++= 4．椭圆122=+ny mx 与直线1=+y x 交于,M N 两点，MN 的中点为P ，且OP 的斜率为 22，则n m 的值为 （ ） ()A 22 ()B 322 ()C 229 ()D 2732 5．已知双曲线2 2:14 y C x -= ，过点(1,1)P 作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有 （ ）

高考数学一轮 圆锥曲线的综合问题(学案)

§9.8圆锥曲线的综合问题 ★知识梳理★ 1.直线与圆锥曲线C 的位置关系： 将直线l 的方程代入曲线C 的方程，消去y 或者消去x ，得到一个关于x （或y ）的方程ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)交点个数： ①当 a ＝0或a≠0，⊿＝0 时,曲线和直线只有一个交点；②当 a≠0,⊿>0时,曲线和直线有两个交点；③ 当⊿<0 时,曲线和直线没有交点。 (2) 弦长公式： 2.对称问题： 曲线上存在两点关于已知直线对称的条件：①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直（得出斜率）②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点（⊿>0）③曲线上两点的中点在对称直线上。 3.求动点轨迹方程： ①轨迹类型已确定的,一般用待定系数法；②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的,一般用直接法；③一动点随另一动点的变化而变化，一般用代入转移法。 ★重难点突破★ 重点：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式；掌握弦中点轨迹的求法； 理解和掌握求曲线方程的方法与步骤，能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值 难点：轨迹方程的求法及圆锥曲线的有关范围与最值问题 重难点：综合运用方程、函数、不等式、轨迹等方面的知识解决相关问题 1.体会“设而不求”在解题中的简化运算功能 ①求弦长时用韦达定理设而不求;②弦中点问题用“点差法”设而不求. 2.体会数学思想方法（以方程思想、转化思想、数形结合思想为主）在解题中运用 问题1：已知点1F 为椭圆15 92 2=+y x 的左焦点，点)1,1(A ，动点P 在椭圆上，则||||1PF PA +的最小值为 . 点拨：设2F 为椭圆的右焦点，利用定义将||1PF 转化为||2PF ，结合图形， ||||6||||21PF PA PF PA -+=+，当2F A P 、、共线时最小，最小值为2-6 ★热点考点题型探析★ 考点1直线与圆锥曲线的位置关系 题型1：交点个数问题 [例1 ] 设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ） A ．[－ 21，2 1 ] B ．[－2，2] C ．[－1，1] D ．[－4，4] 【解题思路】解决直线与圆锥曲线的交点个数问题的通法为判别式法 [解析] 易知抛物线2 8y x =的准线2x =-与x 轴的交点为Q (－2 , 0)， 于是，可设过点Q (－2 , 0)的直线l 的方程为(2)y k x =+， 4)(1 ||1||212212122x x x x k x x k AB ?-+?+=-?+=

圆锥曲线与方程导学案(整理版)

曲线与方程 1．理解曲线的方程、方程的曲线； 2．求曲线的方程． 复习1：画出函数22y x = (12)x -≤≤的图象． 复习2：画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线，并写出其方程． 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一： 到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程． 问题：能否写成y x =，为什么？ 新知：曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C 与一个二元方程(,)0F x y =之间， 如果具有以下两个关系： 1．曲线C 上的点的坐标，都是 的解； 2．以方程(,)0F x y =的解为坐标的点，都是 的点， 那么，方程(,)0F x y =叫做这条曲线C 的方程； 曲线C 叫做这个方程(,)0F x y =的曲线． 注意：1? 如果……，那么……； 2? “点”与“解”的两个关系，缺一不可； 3? 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法； 4? 曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的． 试试： 1．点(1,)P a 在曲线2250x xy y +-=上，则a =___ ． 2．曲线220x xy by +-=上有点(1,2)Q ，则b = ． 新知：根据已知条件，求出表示曲线的方程． ※ 典型例题 例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数(0)k k >的点的轨迹方程式是xy k =±． 变式：到x 轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是50y -=吗？ 例2设,A B 两点的坐标分别是(1,1)--，(3,7)，求线段AB 的垂直平分线的方程． 变式：已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是(0,3)A ，(2,0)B -，(2,0)C ．中线AO （O 为原点）所在直线的方程是0x =吗？为什么？ 反思：BC 边的中线的方程是0x =吗？ 小结：求曲线的方程的步骤： ①建立适当的坐标系，用(,)M x y 表示曲线上的任意一点的坐标； ②写出适合条件P 的点M 的集合{|()}P M p M =； ③用坐标表示条件P ，列出方程(,)0f x y =； ④将方程(,)0f x y =化为最简形式； ⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． ※ 动手试试 练1．下列方程的曲线分别是什么？ (1) 2x y x = (2) 22 2x y x x -=- (3) log a x y a = 练2．离原点距离为2的点的轨迹是什么？它的方程是什么？为什么？ ※ 当堂检测

圆锥曲线与方程单元教学设计

圆锥曲线与方程单元教 学设计 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

课题名称《圆锥曲线与方程》单元教学设计 设计者姓名郭晓泉 设计者单位华亭县第二中学 联系电话 电子邮箱 《圆锥曲线与方程》单元教学设计 一、教学内容分析 1、实际背景分析 该单元选自人教版数学选修2-1.圆锥曲线与科研、生产以及人类生活关系密切，早在16、17世纪之交，开普勒就发现了行星绕太阳运行的轨道是一个椭圆；探照灯反射镜是抛物线绕其对称轴旋转形成的抛物面；发电厂冷却塔的外形线是双曲线，……现代航空航天领域内圆锥曲线也有重要的应用。圆锥曲线在实际生产生活中有着巨大的作用，主要来自于它们的几何特征及其特性。 2、数学视角分析 《圆锥曲线与方程》是中学数学解析几何的主要内容，研究圆锥曲线的性质，是圆的几何性质的推广与延伸，是运用坐标法从代数的角度来研究圆锥曲线性质，为了解决这个问题，让学生更好地理解和学习圆锥曲线的性质，先了解曲线与方程的关系，研究如何建立曲线的方程，把几何的形与代数的数通过这个关系有机的联系起来，充分运用数的运算来解决形的问题，达到数形统一，体现数形结合的思想。对于圆锥曲线的几何特征与方程的研究，延续了必修课程《必修2》中研究直线与圆的方程的方法，通过图形探究圆锥曲线的几何特征，建立它们的方程，并通过方程来研究他们的简单性质，进而利用坐标法解决一些圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题。 3、课程标准视角分析 （1）学生学习方式的转变问题。在本部分内容中，延续了《必修2》中研究直线与圆的方程的思想，所以应该引导学生通过积极主动的探索来完成圆锥曲线的学习，教师通过圆锥曲线背景的介绍，激发学生的学习兴趣，在研究了椭圆方程及性质的基础上，用类比的方法来研究双曲线和抛物线的方程及性质，经历直观感知，定义、建立方程、研究性质的基本过程，感受坐标法的作用，体会数形结合法的思想。 （2）学生思维能力培养的问题。“高中数学课程应注意提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。”这是课标对学生思维培养的要求，在圆锥曲线这部分

18届竞赛学案--神奇的圆锥曲线

18届竞赛学案--神奇的圆锥曲线 神奇的圆锥曲线 命题人：闫霄审题人：冯昀山 一、神奇曲线，定义统一 01．距离和差，轨迹椭双问题探究1 已知动点Q 在圆A ：(x +λ) 2+y 2=4上运动，定点B (λ,0) ，则（1）线段QB 的垂直平分线与直线QA 的交点P 的轨迹是什么？ 02．距离定比，三线统一问题探究2 已知定点A (-1,0) ，定直线l 1：x =-3，动点N 在直线l 1上，过点N 且与l 1垂直的直线l 2上有一动点P ，满足 PA PN =λ，请讨论点P 的轨迹类型。 （2）若BM =tMQ ，直线l 过点M 与直线QA 的交于点P ，且BM ?MP =0，则点Q 的 轨迹又是什么？ 总结： 定圆上一动点与圆内一定点的垂直平分线与其半径的交点的轨迹是。定圆上一动点与圆外一定点的垂直平分线与其半径所在直线的交点的轨迹是。 定直线（无穷大定圆）上一动点与圆外一定点的垂直平分线与其半径所在直线的交点的轨迹是。 总结： 动点到一定点与到一定直线的距离之比为小于1的常数，则动点的轨迹是。动点到一定点与到一定直线的距离之比为大于1的常数，则动点的轨迹是。动点到一定点与到一定直线的距离之比为等于1的常数，则动点的轨迹是。 1 二、过焦半径，相关问题 03．切线焦径，准线作法问题探究3 已知两定点A (-1,0), B (1,0)，动点P 满足条件PA +PB =8，另一动点Q 满足 04．焦点切线，射影是圆问题探究4 ) , 已知两定点A (-2, 0B

P A P B Q 的轨迹方程。 Q B P B =0, Q 0+) =，求动点 P P (2, 动点P 满足条件P -P B ，=2，动点Q 满足 P A P B PA PB ，QP +λ(QB ?(+) =0+) =0，求动点Q 的轨迹方程。 PA PB PA PB 总结： 椭圆上的一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为椭圆相应之。 双曲线上的一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为。 抛物线上的一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为。 2 总结： 焦点在椭圆切线上的射影轨迹是。焦点在双曲线切线上的射影轨迹是。 焦点在抛物线切线上的射影轨迹是（无穷大圆）。 05．焦半径圆，切于大圆问题探究5 06．焦三角形，内心轨迹问题探究6 x 2y 2 +=1上，1．已知动点P 在椭圆F 为椭圆之焦点，PM +FM =0，探究2OM +PF 43 是否为定值 x 2y 2 2．已知点P 在双曲线F 为双曲线之焦点，探究2OM -PF -=1上，PM +FM =0， 43 是否为定值 总结：

圆锥曲线导学案

? ２.1.1椭圆及其标准方程（第１课时) 高二·一部 数学组 刘苏文 ２01７年4月３日 【学习目标】 1、能从具体情境中抽象出椭圆的模型； 2、理解椭圆的定义，会求椭圆的标准方程. 【学习重点】 1、理解椭圆的定义和标准方程; 2、认识椭圆标准方程的特征． 【学法指导】 1、带着预习案中问题导学中的问题自主设计预习提纲,通读教材内容，对概念、关键词进行梳理,作好必要的标注和笔记。 2、认真完成基础知识梳理，在“我的疑惑”处填上自己不懂的知识点，在“我的收获”处填写自己对本课自主学习的知识及方法收获。 3、熟记基础知识梳理中的重点知识。 【自主学习】 一、问题导学 在椭圆的标准方程中，2 a 和2 b 能相等吗？ 二、知识梳理 １.椭圆的定义:我们把 与两个定点1F ，2F 的 等于常数（ )的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的 ，两 间的距离叫做椭圆的 ．用数学符号可以把定义表示为 . ２．椭圆的标准方程: （1）当 在x 轴上时,标准方程为 ( ). 当 在y 轴上时,标准方程为 （ ）． （2）参数,,a b c 之间的关系是：①等量关系 ;②不等关系 三、预习自测 1.已知()()3,0,3,0A B -,动点M 分别满足下列关系,问：M 的轨迹是否存在，若存在，是什么曲线? (1)10MA MB +=； (2）6MA MB +=； ?(３)4MA MB +=. ２．已知椭圆的方程如下,写出,,a b c 的值及焦点坐标: (1） 22 1259 x y +=；?（2)2211625x y +=； (３)2222x y +=．

3．写出适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)4,1a b ==,焦点在x 轴上;(2 ）4,a c ==焦点在y 轴上；(3）10,6a c == 【合作探究】 判断下列方程是否表示椭圆,若是,写出,,a b c 及焦点坐标 （１）22144x y +=；（2)22143x y +=；（3）22134x y +=；（4）22 143 x y -=；(5)22231x y +=. 【拓展延伸】 已知()()121 ,0,1,0F F -是椭圆的两个焦点,并且经过点31,2A ? ?- ??? ，求它的标准方程． 【当堂检测】1．若12,F F 分别是椭圆223530x y +=的左、右焦点,M 是椭圆上的任一点,且12MF =， 则2MF = . ２．已知椭圆2 2 1kx y +=的焦点在x 轴上,则k 的取值范围是 ． 3．写出适合下列条件的椭圆的标准方程: （1）焦点在x 轴上,焦距等于4 ，并且经过点(0,P ； （2)9,1a c a c +=-=．