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高数竞赛

例1(鱼的游动路线)('

18)

观察鱼在水中的运动发现,它不是水平游动,而是突发性地锯齿状地向上游动和向下滑行。可以认为这是在长期进化过程中鱼类选择的消耗能量最小的运动方式.

设鱼总是在静水中以常速v 运动,鱼在水中净重为w ,向下滑行时的阻力是w 在运动方向的分力;向上游动时所需的力是w 在运动方向分力与游动所受阻力之和,又设游动的阻力是滑行阻力的k 倍,鱼向下滑行时不消耗能量.

(1) 求证:当鱼要从A 点到达处于同一水平线上的B 点时(如图所示),沿折线ACB 运

动消耗的能量与沿水平线AB 运动消耗的能量之比)

sin(sin sin βαβ

αλ++=

k k

(2) 据实际观察,α角约为o

11,k 值约为2,试根据鱼消耗能量最小的准则估算最佳

的β角.

C

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B 解:(1)设鱼滑行所受的阻力为1f ,滑动时所受的阻力为2f ,

由题意知,???==1

21sin kf f w f α …('2)

于是,鱼沿水平方向游动消耗的能量αsin 11AB kw AB f E ?=?= …('

2) 鱼沿折线ACB 运动消耗的能量,相当于沿AC 游动消耗的能量为

AC k w AC f w E )sin sin ()sin (22βαβ+=+= …('

3)

)

sin(sin sin sin sin sin 12βαβααβαλ++=

+==

k AB AC k E E …('

3) (2)鱼从A 移动到B ,要使消耗能量最小,则当α,k 一定时,只要选取适当的β解,使λ最

小即可. …('

1)

∵)

(sin )cos()sin sin ()sin(cos 12

βαβαβαβαββλ+++-+=k k d d )

(sin )]cos(1[sin 2

βαβαα++-=k k …('

3) ∴令

0=β

λ

d d ,求得k 1)cos(=+βα …('2) ∵o k 11,2==α ∴最佳的o

o o 491160=-=β . …('2)

例2(标尺的设计) ('

12)

在石油的生产地和加工厂,为储存原油,常使用大量的水平安置的椭圆柱储油罐,其横向长度为L ,而底面是长轴为a 2,短轴为b 2的椭圆,上端有一注油孔,由于经常注油和取油,有时很难知道油罐中的余油量。因此,希望设计一个精确的标尺,工人只需将该尺垂直插入至油罐的最底部,就可根据标尺上的油痕位置的刻度获知剩油量的多少,剩油量用剩油体积表示.

解:设当标尺上油痕位置的刻度为h 时,储油罐中余油体积为)(h v ,

由题意知,)(h v =?

---b h b

dy b

y a L

221

1

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t b

y

sin = ?

--

b

b h tdt abL arcsin 2

2cos π

…('2 ?--+=b

b h dt t abL arcsin

2

)2cos 1(2π

…('1) ??????+-+-=

2arcsin )arcsin 2sin(2

1

21πb b h b b h abL …('2) 由此,标尺可以设计成一面为h 刻度,另一面为余油体积刻度,两面刻度的换算公式如上所示. …('

2)

例3(平均车速的测定) ('

18)

城市交通的堵塞情况可通过测定行驶车辆的平均速度得到一定程度的反映,根据数据统计,一个普通工作日中的下午00:13—00:18期间,在该城市某路段t 时刻的行驶车辆平均速度d t c t b t a t v +-+-+-=)5.15()5.15()5.15()(23。为测定下午00:13—00:18期间行驶车辆的平均速度,有人提出只要测定两个固定时刻21,t t 行驶车辆的平均速度)(1t v 、

)(2t v ,取其平均值即可,无需因确定d c b a ,,,的值而浪费时间.

(1) 该作法可行吗?如果可行,这两个固定时刻如何选择?结果精确到分钟; (2) d c b a ,,,为待定系数,你如何确定它们呢?请给出思路. 解:(1)该作法可行 … ('

1)

假设

)]()([2

1)(131********t v t v dt t v +=-? …('

3) 令5.15-=t τ,5.1511-=t τ,5.1522-=t τ

有d c b a d d c b a ++++++=+++?-5252212

22132312

32

)()()()(51。。ττττττττττ

化简得 b c b a 12

25)()()(212

2213231=+++++ττττττ …('4) 若21,ττ的值与d c b a ,,,无关,

则??

?????=+=+=+01225021

2

2213231ττττττ 一定有解

解得4.121==-ττ …('

4)

故 1.154.15.151=-=t ,9.164.15.152=+=t

即选择的两个时刻分别为15时6分及16时54分。 …('

2) (2)最好选取多于4个的数据点n i t v t i i ,,2,1))(,( =

用最小二乘法对d c b a ,,,进行拟合. …('

4)

例4('

10)(玻璃钢瓶的检测)

玻璃钢瓶的制作过程是,先用玻璃纤维沿经向(纵向)和纬向(横向)缠绕成型,然后再加工处理成质地如钢的玻璃瓶。我们知道,纤维在压力作用下(设瓶内充以高压氧气)会伸长,产生纤维应变,有一种很小的仪器,只要往瓶上一贴,即可测出纤维的应变。现测出经向纤维的应变为H H H ?=

ε,纬向纤维的应变R

R

R R R ?=?=ππε22,当体积应变超过规定

的标准时,瓶子就不能继续使用,当面对一批玻璃钢瓶需要检测时,你能提供一个简易的公

式估算它们的体积应变V ε吗?

解:将玻璃钢瓶近似看作为一个高为H ,底面半径为R 的圆柱体,则H R V 2π=…('

2)

易得H R R RH dV ?+?=2

2ππ …('

4)

H E H

H

R R V dV εε+=?+?=22 …('2) 注意到dV V ≈?,得H R v v

v

εεε+≈?=2 …('2) 例5('

10)(最佳满意度)

按照某学者的理论,假设一个企业生产某产品单件成本为a 元,卖出该产品的单价为m

元,则其满意度为1

1h a m

=+.如果一个企业生产并销售两种不同产品的满意度分别为1h 和

2h

高数竞赛

现有某企业计划在第一年度生产A 、B 两种产品的单件成本分别控制在6元和24元,在第二年度生产A 、B 两种产品的单件成本分别控制在5元和20元,请你为其制定一个销售A 、B 两种产品的两年度定价方案,使得该企业在第一年度对两种产品的综合满意度达到4

7

,在第二年度对这两种产品的综合满意度达到最大.

解:该企业在第一年度的综合满意度为14

7h =---1

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该企业在第二年度的综合满意度为1h 则该题等价于求解(,)(15)(120)z x y x y =++在条件49

(16)(124)16

x y ++=,

11

(0,],(0,]624

x y ∈∈下的最小值问题---------------------------------------------------------------2

构建拉格朗日函数49

(,)(15)(120)[(16)(124)]16

L x y x y x y λ=+++++------------------1

由5(120)6(124)020(15)24(124)0x y

L y y L x y λλ=+++=??=+++=?-------------------------------------------------------------2

解得4x y =-------------------------------------------------------------------------------------------------1

代入条件等式得1111

(0,],(0,]863224

x y =∈=

∈, 故取8A m =(元),32B m =(元)为制定的价格方案.---------------------------------------2

例6('

11)(液面变化速率)

某半椭球形空水池深为5()m ,池口是半径为4()m 的圆,若以连续变化的速度 向池内注水,当注水量达到水池总体积的

516时,注水速度恰为3

(/)5

m s π,求此刻液面上升的速率(单位:/m s ).

解 :半椭球形空水池的中截面为半椭圆,取其竖向对称轴向上方向为y 轴正向,

以半椭圆上界直线右向为x 轴正向,则半椭圆方程为

22

1,1625

x y +=----------------------1 设t 时刻注水速度为()v t ,液面高度为()h t

则有()520516

()(25)25t h t v t dt y dy π--=-??------------------------------------------------------2 上式两端对t 求导得216(){25[()5]}'()25

v t h t h t π

=--------------------------------------2 令0t 时刻注水量达到水池总体积的一半,此时液面高度为0h ,

则有0502255165

16(25)(25)251625

h y dy y dy ππ----=-??-------------------------------------1 化简得32

006251508

h h -+=----------------------------------------------------------------------1 即2000525125()()0224h h h --

-=,解得05

2h =--------------------------------------------2 因200016[25(5)]'()()255

h h t v t ππ

--==-----------------------------------------------------1 故所求液面上升的速率为01

()(/)60

v t m s =.------------------------------------------------1 例7('

11)(容器贮水量)

某无盖圆柱形容器,高为3米,底面半径为2米,当容器的底面倾斜与水平面 成4

π

角支撑时,试问该容器可贮存多少立方米的水? 解:以容器底平面为xoy 平面,底面中心为坐标原点O 建立坐标系,过O 与底面垂 直向上为z 轴正向,过O 向底面接地点作y 轴(正向),再按右手法则作x 轴.-----2

水表面(平面)的法向量为0,

n ?

=??

,----------------------------1 水表面经过点(0,2,3),其方程为1z y =+----------------------------------1

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定义域为22

:4,1D x y y +≤≥-且---------------------------------------1 容积(1)D

V y d σ=

+??---------------------------------------------------1

2

1

21)dy y dx -=+??

------------------------------------------2

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2

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12(y -=+?-------------------------------------------1 22

2

(4)2y --=--+?

?

-------------------------1

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8

3

π=.----------------------------------------------------1

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