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高等数学总复习

高等数学总复习练习题（1）

一．判断题

1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim

lim

()()

??????t t s t

s t t s t t

→→=+-0

00与 ?t 有关. ( )

2 连续函数在连续点都有切线. ( )

3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( )

4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( )

5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切线

与x 轴垂直. ( ) 6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 10(

ln )ln (ln )'ln x x

x x x x

x x

21'=

- ( )

11 已知y= 3x 3+3x 2+x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2+6x+1 , y '|x=2=49

所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二．填空题

1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________.

2 设物体运动方程为s(t)=at 2

+bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________.

3 反函数的导数,等于原来函数___________.

4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在

p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 5 若 lim

()()

x a

f x f a x a

→-- 存在,则lim ()x a

f x →=______________.

6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有

__________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线.

7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为

___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 8 函数

f x x x x x (),,

ln ,,=-+≤>???

2111

在其定义域上不可导点是____________.

9 若y=3e x +e -x ,则在y '=0时,x=_________.

10 抛物线y=x 2

及y=2-x 2

在两个交点处的夹角是___________. 11 (x 2sinx 2)' =__________=2xsinx 2+2 x 3cosx 2

12 当f(x)= (2x+6)6时,在f '(x)中x 3

的系数是__________. 三．选择题

1 若函数f(x)在x 处可导,则f '(x)等于 ( )

A f x x f x x

C f x x f x x

B f x x f x x

D f x x f x x x

x x x x .

lim

()().lim

()()

lim

()()

lim

()()

?????????????→→→→-------+--0

2 在平均变化率?y/?x 取极限lim

???x y x

→0

的过程中,x 与?x 的状态分别是 ( )

A. x 与?x 都是常量. C. x 是变量而?x 是常量.

B. x 与?x 都是变量. D. x 是常量而?x 是变量.

3 在抛物线y= x 2

上切线与OX 轴构成45度角的交点是( )

A. (-1/2,1/4)

B. (1/4,1/2)

C. (-1/2,-1/4)

D. (1/2,1/4) 4 设函数y=f(x)在点x 0 处可导, 且f '(x 0)>0,则曲线y=f(x)在点(x 0,f(x 0))处的切

线与x 轴正向( ) A. 平行 B. 垂直 C. 成钝角 D. 成锐角 5 双曲线xy=1在点(1,1)处的切线与法线方程分别为( ) A. x+y-2=0,x-y=0 B. y-x-2=0,x+y=0C. x-y-2=0,x-y=0 D. x+y-2=0,x+y=0 6 下列导函数错误的是( )

A x x

B x x

C x x

D x x x

(sin )'sec .(cos )'csc .

(sin cos )'cos .

(cos sin )'sin ==-

=-11

112

7 若偶函数f(x)在x=0处的导数存在,则f '(0)的值( )

A. 等于0

B. 大于0

C. 小于0

D. 不能确定. 8 若直线y=3x+b 为曲线 y=x 2+5x+4的切线,则 ( ) A. b=3 B. b=-3 C. b=-4 D. b=4. 9 已知f(x)=sin(ax 2),则f '(a)等于( )

A. cosax 2

B. 2a 2

cosa 3

C. x 2

cosax 2

D. a 2

cosa 2

10 设f(x)= x 2/3,则f '(0)=( )

A. 0

B. +∞

C. -∞

D. 不存在 11 设y=arctg((x+1)/(x-1)),y '=( ) 2

11.1

11.

11.x

x D x C x

B x

A ++-

-++-

12 设y=12

+ln x ,则y '=( )

A x x

B x x x

C x x x

D x x x

ln ln .ln ln .

ln ln .

ln ln 21211212

2+-+++

13 已知y=xe x ,则y (n)= ( )

A. xe nx C. x(e x -n)

B. ne x D. e x

(x+n) 四．综合计算题

1 求y=e at sin ωt 的二阶导数, (a, ω为常数)

2 求y=sin(x+y)的微分.

3 如果y=x 是曲线y=x 3-3x 2+ax 的切线,求常数a. 4设函数)()13()(x x f x ?-=，（1）当2

)(x x =

?时，求)0(f '；

（2）当?????>-≤=0)

1(0)(2

x x x e

x x

?时，求)0(f '.

高等数学总复习练习题（2）

一、选择题 1 函数1

)1ln(-+=

x x y 的定义域是（）

A 、（-1，+∞）

B 、[-1，+∞]

C 、（1，+∞）

D 、[ 1，+∞] 2 设)()(a x x a x f -=-（a 为大于零的常数），则=)(x f A 、 x （x-a ） B 、x （x+a ） C 、（x-a ）（x+a ） D 、2)(a x - 3 函数x

x f 1cos

)(=是定义域内的

A 、周期函数

B 、单调函数

C 、有界函数

D 、无界函数 4

∞

→x lim =+

)21(

A 、e 2

B 、e

C 、e

D 、∞ 5

lim

→x =x

x 2tan A 、0 B 、1 C 、2

1 D 、2

6 0

lim

→x =x

x 4sin 3tan

A 、0

B 、∞

C 、

3 D 、

7 0

lim

→x =--1

cos 1

x e

A 、∞

B 、2

C 、0

D 、-2 8函数4

34)(2

---=

x x x x f 的间断点的个数为

A 、0

B 、1

C 、2

D 、3

9设?????=≠=0

,2sin )(x a x x x x f 在x=0处连续，则a 等于

A 、-1

B 、1

C 、2

D 、3

10 设函数f （x ）在x=x 0处可导，并且,2)(0='x f 则0

lim

→h h

x f h x f )

()(00-- 等于

A 、

1 B 、

2 C 、

1- D 、-2

11设)0(f '=1，则在x=x 0处，当0→?x 时y ?与x ?相比较为

A 、低阶无穷小量

B 、高阶无穷小量

C 、同阶但不等价

D 、等价无穷小量 12设且0)0(=f 0

lim

→x x

x f ）（存在，则0

lim

→x x x f ）（=

A 、)(x f '

B 、)0(f '

C 、)0(f

D 、)0(2

f '

13设函数f （x ）在x=a 处可导，则0

lim

→x =--+x

x a f x a f )

()(

A 、0

B 、)(a f '

C 、2)(a f '

D 、)2(a f ' 14设='=y y x ，则cos 2

A 、2ln 2cos ?x

B 、x x sin 2cos ?-

C 、-2cosx x sin 2ln ??

D 、-x x sin 21

cos

15 下列函数在[1，e]上满足拉格朗日中值定理条件的是 A 、x ln ln B 、x ln C 、

ln 1 D 、）（x -2ln

16 设）（则x f x x x f ,ln )(=

A 、在（0，

1）内单调减少 B 、在（+∞,1

）内单调减少

C 、在（0，+∞）内单调减少

D 、（0，+∞）在内单调增加 17 函数)1ln(2

x y +=的单调增加区间为

A 、（-5，5）

B 、（∞-，0）

C 、（0，∞+）

D 、（-+∞∞,） 18 以下结论正确的是

A 、函数)(x f 的导数不存在的点，一定不是)(x f 的极值点

B 、若x 0为)(x f 的驻点，则x 0必为)(x f 的极值点

C 、若)(x f 在x 0处有极值，且)(0x f '存在，则必有)(0x f '=0

D 、若)(x f 在x 0处连续，则)(0x f '一定存在 19 x 是（）的一个原函数 A 、

21 B 、

21 C 、x ln D 、

20 （）是函数x 21

的一个原函数

A 、x 2ln

B 、2

C 、）（x +1ln

D 、

x 3ln 21

21下列等式中（）是正确的

A 、)()(x f dx x f ='?

B 、c e f dx e f x x +='?)()(

C 、c x f x dx x f +='?)(2)(

D 、c x f dx x f x +--

=-'?)1(2

1)1(2

22若=+=??--dx e f e c x F dx x f x

x ）（，则）（)(

A 、c e F x

+--）（ B 、c e F x

+-）（ C 、c x

e F x

+-）（ D 、c e F x +）（

23 设函数)(x f 在[]b a ,上连续，则dt t f dx x f b

)()(=

A 、小于零

B 、等于零

C 、大于零

D 、不确定

24设函数)(x f 在[]b a ,上连续，则曲线)(x f y =与直线0,,===y b x a x

0,,===y b x a x 所围成的平面图形的面积等于

A 、dx x f b

?)( B 、

dx x f )( C 、dx x f b

?)( D 、))((a b f -'ξ

25 设==?）（为连续函数，则

x f x f a

dt t f x

)(,)(2

A 、x

22 B 、a a

ln 2 C 、1

22-x xa D 、a a x

ln 22

26设函数)(x f 在[]a a ,-上连续，则定积分 A 、0 B 、dx x f a

?0)(2 C 、-dx x f a

-)( D 、dx x f a

-)(

27 设则,sin

1,cos

,sin

πxdx r xdx q xdx p

A 、r q p ==

B 、r q p =

C 、r q p

D 、r q p

28 极限lim

→

x =?

tdt

sin A 、-1 B 、0 C 、1 D 、2 二、填空题

1设53)1(2++=+x x x f ，则=）（x f 2 函数12)(1-=-x x f 的反函数=-)(1

x f

3函数x x x

x f cos 11)(2

+--=

的定义域是

4若2

lim

-+-→x a x x x =3 ，则a=

5设==??

?≥+<-=-A x x x A x e x f x 处连续，则常数在点0,0

,1)(

6 设函数x x arc y 22cot 2++=则

=dx

7设='=-）（则0,cos y e y x

8 曲线方程3

y =

在点（1，1）处的切线方程为法线方程为

9 函数)(x y y =由方程022=+-xy e xy 确定，则='y 10设函数则,ln )(3

x x x f =='')1(f 11函数2

2x y =的单调增加区间为 12 函数的最大值为

)41(322

≤≤--=x x x y 最小值点为

13曲线x x x y 632

+-= 的拐点为

14设2

332x x y -= ，则y 的极大点为极小点为 15函数x

x f 3)(=的一个原函数是 16设,11)(dx x

x f ?

则=')0(f

17 ?=-dx e

d x

18若c e x dx x f x +=?22)(则=)(x f 19设='+=

）（

则x f dt t t x f x

,1)(2

20定积分=+?-dx x 99

1)12(

21 设函数，则

）（，）（具有连续导数，且53)(==b f a f x f ='?

dx x f b

）（

三、计算解答题

1 设函数2,1,1,2)2)(1()(4≠≠??

??=+-++=x x x x x b

ax x x f 在点x=1处连续，试确定常数a 、b 的值

2 确定A 的值，使函数

???

??≤-=,

tan 3sin ,0,

cos 5)( x Ax

x x e x f x 在点x=0处连续

3 设函数x x

x f 2log sin 1)(--=

，求)(πf '

4 设函数x

y -+=11arctan ，求y '

5 设函数）

（求x f x x f '=,ln )2( 6 由方程221x y e xy =-+确定隐函数)(x y ，求dy 7 设函数y e y x ''=求,2

8 设曲线方程为

，求在点P （2，

33）处的切线方程

9求极限 0

lim

→x 2

cos ln x

10求极限 x x x ln lim

→

11求极限0

lim →x （

11--

e x

）

12求极限x

x x +

→0

lim

13 求函数)1ln(x x y +-=的单调区间、极值及曲线的凹凸区间 14 若)(x f =dx x f x x x ?'>+

）（求2),0(

15 已知曲线)(x f y =在点x 处切线的斜率为x 2，且曲线经过点（1，0），求该曲线的方程。 16 求dx x

x x )(2

-+?

17求dx e x x ?+)23( 18求dx x x ?-232 19求dx x x

)sin(ln 1?

20求dx x

21求?xdx x sin 22求?xdx ln 23求?xdx x ln 24求?-dx e x x 2 25求?xdx e x cos 2 26 计算dx x

x dx ?+

27计算dx e x

-2

ln 0

28计算dx

x ?-22

sin π

29 设函数dx x x x x x x f ??

?≤≤≤≤=20

2,21,21

0,)(）（求 30计算?20

sin π

xdx x

四、应用题

1 做一体积为V 的圆柱形容器，问高与直径之比为多少时表面积最小?

2 某车间靠墙盖一长方形小屋,现有存砖只够砌24米长的墙,问该屋长、宽各为多少时小屋面积最大？最大值为多少？

3已知在斜边之长为a 的一切直角三角形中，直角三角形的周长为L 时，设有一条直角边长为x,写出函数关系式L=L(x)，并研究函数的单调性，凹凸性，极值和拐点等问题。 4在区间[0，4]上，计算曲线442=-=x y x x y 轴以及轴，与所围城图形的面积。 5计算由面图形的面积

）处的法线所围成的平

，与该曲线在点（

122x y =

6求由曲线轴旋所围成的平面图形绕与直线x x x x y x y 0)0(,22=≥=-=

一周所生成的旋转体的体积。

7求023===y x x y 围成的平面图形绕 y 轴旋转所成旋转体的体积

8欲围造一个面积为15000平方米的运动场，其正面材料造价为每平方米600元，其余三面材料造价为每平方米300元，试问正面长为多少时，才能使材料费量少？

9把一根长为a 的铁丝切成两段，一段围成圆形，一段围成正方形，问这两段铁丝各长多少时，圆形面积与正方形面积之和最少？

10要做一个下部为矩形，上部为半圆形的窗户，半圆的直径等于矩形的宽，要求窗户的周长为定值L ，问窗户的宽和高为多少时，窗户的面积最大？五、证明题

1证明方程0155=--x x 在区间（1，2）内至少有一个实根 2 证明 1212sin sin x x x x -≤-

3 证明不等式）（x x +>1ln （0 x ）

5当0>x 时,x x +>

+12

6设)(x f 在[0,1]连续，(0,1)可导, f (1)=0, 则存在)1,0(∈ξ使0)()(='+ξξξf nf 7证明双曲线2a xy =上任一点处切线与两坐标轴构成的三角形的面积等于22a 8证明：当x ＞0时，ln(1+x) ＞x

x +1

9证明：当x ＞0时，x

x +1＜ln （1+x ）＜x

高等数学总复习练习题（3）

一、选择题

1. 下列函数中，表达式为基本初等函数的为

A {

x x

y x x >=

≤+ B 2cos y x x =+ C y x =

D sin y =2. 下列选项中，满足()()f x g x =的是

A ()cos , ()f x x g x ==

B (), ()f x x g x ==

C ()(), ()arcsin sin f x x g x x ==

D 2

()ln , ()2ln f x x g x x == 3. 设)(x f 的定义域为[]1,0，则(21)f x +的定义域为

A 1

,02??-

???? B 1,02??- ??? C 1,02??- ??? D 1,02??-????

4. 函数)(x f y =的定义域为]1,0[，则函数)(2x f y =的定义域为 A [0,1]; B )1,0(; C [1, 1] D (1, 1).

5. 设)(x f 的定义域为[]1,0，则)12(-x f 的定义域为

A ??

???1,21

B 1

,12??

??? C 1

,12??

???? D 1

,12??

???

6. 函数4

339

9)(2

2<<≤?????--=x x x x

x f 的定义域为

A [3, 4]

B (3, 4)

C [4, 4]

D (4, 4)

7. 3

1lim (1)n n

→∞

A 1

B E

C 3

e D ∞ 8. =-→)1(lim 2

x x A 0 B 1 C 2 D ∞

9. 在给定的变化过程中，下列变量不为无穷大量是 A

12x x

+, 当 0x → B 1

e 1x -, 当 x →∞C

x x +-, 当 3x → D lg x , 当0x +

→

10. 函数)(x f 在0x 有定义是)(lim 0

x f x

x →存在的 A 充分条件，但不是必要条件； B 必要条件，但不是充分条件；

C 充分必要条件；

D 既不是充分条件也不是必要条件. 11. 0

arctan lim

x x

→=

A 1

B 2

D 不存在

12. 函数arctan y x x =-在(,)-∞+∞内

A 单调增加

B 单调减少

C 非单调

D 不连续 13. =+-∞

→2

512lim

n n n

A 1

B 5

2 C 2

D ∞

14. =→x

x x sin ln

lim 0

A 0

B 1

C 2

D 不存在 15. 当0→x 时，2x 与x sin 比较，则

A 2x 是较x sin 高阶的无穷小

B 2

x 是与x sin 等价的无穷小

C 2x 是与x sin 同阶但不等价的无穷小

D 2

x 是较x sin 低阶无穷小

16. 函数2

1)(2

-=x x f 的所有间断点是

A x =

B 2±=x

C x =2x =± 17. =-++∞

→2

12lim 23

x x x x

A 0

B 1

C 2

D ∞ 18. 设0

1)(>=

??+-=x x x x x x f ，则=→)(lim 1

x f x A -1 B 2 C 0 D 不存在。 19. 当0→x 时，与无穷小量3100x x +等价的无穷小量是 A 3x B

x C x D 3

20. 极限2

4lim

(

x x x →-=-

A 2

B 4

C 3

D 1

21. ln sin y x =的导数

d d y x

1sin x

1cos x

C tan x

D cot x

22. 曲线 x

x y -+=44 上点 (2,3)处的切线斜率是

A -2

B -1

C 1

D 2 23. 函数22cos sin y x x x =+-的导数等于

A 1

B -1

C 2

D -2 24. 函数e x y -=在定义区间内是严格单调

A 增加且凹的

B 增加且凸的

C 减少且凹的

D 减少且凸的 25. 函数1)(--=x e x f x 在[0, 1]的最小值为

A 0

B -1

C 1

D 2 26. 函数ln(1)y x x =-+的极大值等于

A 1

B 12

C 3

D 不存在 27. 设,ln )(x x f =则

A 1

B dx

C d x x

28.曲线x

y e

-=在点(0,1)处的切线方程是

A 1y x =+

B 1y x =-

C 1y x =-

D 1y x =--

29. 函数2

ln(1)y x =+的驻点是x =

A 0

B 1

C 2

D 5 30. 函数()2cos y x x x =+在[0,]π上的最大值是

A 2π-

B 2 C

6π

31. 设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则()d ()d b

b a

f x x f t t -

A 0<

B 0=

C 0>

D 不能确定 32. 2

e d x =?

A 22 C 1- D 2- 33. 设函数2

()e

d x t

f x t -

,x -∞<<+∞则()f x 是

A 偶函数

B 单调递增函数

C 单调递减函数

D 无界函数 34. 上限积分()d x

a f t t ?是

A ()f x '的一个原函数

B ()f x '的全体原函数

C ()f x 的一个原函数

D ()f x 的全体原函数 35. 22

d , (0)x a a x >=+?

A 1arctan x C a a +

B 1arctan x

C a a -+ C arctan x a C a +

D arctan x

a C a

-+ 36. 设(21)x

f x xe +=，则5

()d f x x =?

A 22e

B 22e e -

C e

D 2e e - 37. 2

1d 49x x

=+?

3arctan 62x C ??+ ??? B 12arctan 63x C ??+ ??? C 3arctan 2x C ??+ ??? D 2arctan 3x C ??

+ ???

38. tan d x x =?

A ln cos x C +

B ln cos x

C -+ C ln cos x C +

D ln cos x C -+

39. 1d 2(2)

x x x =+?

A ln ln 2x x C -++

B ()1ln ln 22

x x C -++

()C x x ++-2ln ln

1 D ln ln 2x x C +++

二、填空题

1. 函数1arccos

x y -=的反函数为.

2. 设 2,

()2,11,1

x x f x x x x

??-

==?

?>??

，则1

lim ()x f x →=

3. =-++∞

→2123lim

x x x x

4. =-+-→1

23lim

x x x x

5. 函数2

e x

y -=的单调递增区间为. 6. 函数2

y -=的驻点为.

7. 设 x x f ln )(=，31()e x g x +=, 则=)]([x g f .

8. =--→1

1lim 23

x x x

9. =-+→x

x x 11lim

10. 设x x f ln )(=，12)(+=x e x g , 则=)]([x g f .

11. 2

1lim

x x x →-=-.

12. e x

k x

x =+

∞

→2)

1(lim , 则=k

13. 设函数()x f 在点0x 处具有导数，且在0x 处取得极值，则()='0x f . 14. 曲线1y x

在点

（1，-1）处的切线方程是. 15. 由方程e x

xy e y

=-+2

3所确定的函数)(x f y =在点0=x 的导数是.

16. 过点)3,1(且切线斜率为x 2的曲线方程是． 17. 函数y x =-312

()的单调增加区间是. 18. 函数3

(1)y x =-的拐点是.

19. 函数3

()231f x x x =+-的拐点坐标为.

20.

sin cos d x x x π

21. 0

cos d x x x π

22.

cos 3d x x π

23. 设1

1f(),1

x x

x x e

?≥??+=?

f(1)d x x -=?

24. 20

sin d x x π

25.

d 1e

x x

三、应用题

1. 计算 3

1lim 1

x x x →--. 2.

计算

lim

n n →∞

+3. 设tan 30

()0

x x f x x

x a

?≠?

=?=??，且)(x f 在0=x 连续，求a . 4. 求函数x

y +=

的单调区间.

5. 生产某种商品x 个单位的利润是2

0025.022000)(x x x L -+=（元），则生产多少个单

位的商品时，获利润最大？并求出最大利润值. 6. 求函数3

ln y x x =的二阶导数.

7. 求由方程1e )cos(=++y

y x 所确定的隐函数()y f x =的微分.

8. 求抛物线2y x =与2

y x =所围平面图形的面积.

9. 由抛物线2

x y =与直线ax y =，)0(>a 围成的平面图形面积3

S , 求a 的值.

10. 求()1

ln 1d x

x +?.

11. 设???

??=≠=0

02tan )(x x a

x x f ，且)(x f 在0=x 连续，求a .

12. 求抛物线 x y 22=与直线 4-=x y 所围平面图形的面积. 13. 求曲线x y e -=与x 轴、y 轴以及直线2x =所围平面图形的面积.

14.一辆小车在MN 轨道上行驶的速度为1v 可达50km/h ，在轨道外的平地上行使速度2v 可达40km/h ，与轨道的垂直距离为30km 的B 处有一基地，如图所示，（1）设DF 段的距离为

,x 小车从基地B 出发经B F 到离D 点100km 远的A 处的过程中需要的时间为t,求出t=f(x)

的函数关系，讨论该函数的单调性和凹凸性；（2）讨论函数的极值和拐点问题（设小车在不同路面上的运动都是匀速运动，启动时的加速时间可忽略不计）.

高等数学总复习练习题（4）

一、单项选择题

1．函数y=f(x)的定义域为[1，2]，则函数f(1-lnx)的定义域是（）

（A ）[0，1] （B ）[1-ln2，0] （C ）[1/e ，1] （D ）[0，-1] 2．函数y=f(x)的定义域为[0，4]，则函数f(x 2)的定义域是（）

（A ）[-16，0] （B ）[-2，2] （C ）[0，2] （D ）[0，16]

3．设函数?????≥<=1,

,sin )(x x x x f ，则)4(π-f =（

）．

A ．0

B ．1

C ．

2 D ．-

4．设函数)1(log )(2

=x x x f a ，)1,0(≠>a a ，则该函数是（

）．

A ．奇函数

B ．偶函数

C ．非奇非偶函数

D ．既是奇函数又是偶函数

5．下列极限存在的有 ( )．

A ．x

x 1

e lim → B ．1

21lim

-→x

x C ．x

x 1sin

lim 0

→ D ．x

x x

x +→2

lim

6．当x →0时，下列变量中（）是无穷小量。 x x

sin .A

e 1.B -

x .C 2

)

x 1ln(.D +

7．下列变量中（）是无穷小量。

(x e

.A x

1-→

(x x

1sin

.B →

)

3 (x 9

x 3x .C 2

→-- )

1x (x ln

.D →

8. 设曲线22-+=x x y 在点M 处的切线的斜率为5，则点M 的坐标为（）．

A. (1, 0)

B. (0, 1)

C.(0, 0)

D. (2, 4) 9. 设x

x f e

)(=，则x

f x f x ?-?+→?)

1()1(lim

=（）．

A. 2e

B. e

C. e 4

1 D.

e 21

10. 设x

x y ln =，则y d =（）． A.

ln 1x x

- B.

x x

d ln 12

- C.

1ln x

x - D.

x x

x d 1ln 2

11．当0→x 时，下列变量中，无穷小量是 (

)．

A ．

x sin B ．)1ln(2

x +

C ．x 1

e D ．x

1sin

12．若?+=-C e dx x f x 2)(,则=')(x f ( )

A.-2e -2x

B.2e -2x

C.-4e -2x

D.4e -2x

13．若)()(x f x F ='，则?

x x x f d )

(=（）．

A ．C x F +--)(2

B ．

C x F x +-

)(1C ．C x F +-)( D ．C x F +--)(2

14．?''x x f x d )(=（

）．

A ．C x f x f x +-')()(

B ．

C x f x +')( C ．

C x f x +')(2

D ．C x f x +'+)()1(

15．若)()(x f x F ='，则?

x x x f d )

(=（）．

A ．C x F +--)(2

B ．

C x F x

+-)(1 C ．C x F +-)( D ．C x F +--

)(2

16．若)()(x f x F ='，则?-

x x x f d )

(=（

）．

A ．C x F +--)(2

B ．

C x F x

)(1 C ．C x F +-)( D ．C x F +--)(2

二、填空题 1.函数x

x y --=

142

的定义域是．

2.若函数x y sin =和x y arcsin =的图形关于对称．

3.若函数x y e =和x y ln =的图形关于

对称．

4.若函数x

x x f 2

11)(++

=，则=)1

．

5.如果函数??

?>-≤=1,31,

2)(2x ax x x x f 在点1=x 处可导，则=a ．

6.如果函数??

?>-≤=1

11,

2)(2x ax x x x f 在点1=x 处连续，则=a ．

7.若函数)1ln()(x x f +=，则='')0(f

． 8.曲线12

++=x x y 上点(1, 3)处的切线方程是

． 9.已知函数x x a x f 3sin 3

1sin )(+

=的驻点是3

x ，则=a

．

10.经过点(2, 10 )，且在每一点的切线斜率都等于3x 的曲线方程是． 11.微分方程15

=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数个数为．

12.设21e )1(lim =+

∞

→x

x x

k ，则k =

13.=++∞

→x

x 2)

e 1ln(lim

．

14. )

3sin(21lim 3

--+→x x x ．

15.设)(x f 为偶函数，且在区间)0(],[>-a a a 上可积，则?

-a

x x f d )(= ．

设)(x f 为奇函数，且在区间)0(],[>-a a a 上可积，则?-a

x x f d )(= ．

16.?

∞

)

(ln d x x x = ．

三、计算题 1．1

)1sin(lim

--→x x x 2．2

1cos e lim

x x

x --→

3．1

)

lim +→-x

x x 4．)1sin 1(

lim 0

x -

→

5．1

13lim

-+-

-→x x

x x 6．2

tan

)(lim x x x ππ

-→

7．)cos 1

12sin (

lim 0

x x x x +-+→ 8．2

1cos e lim

x x

x --→

9．设)

13(sin 2

-=x e

y ，求y d ． 10．已知3e e x y x y y =--，求

d d =x x

y ．

11．设23ln sin 2+-+=x x x x y ，求y d ． 12．已知11ln

)sin(=+-y

x xy ，求

d d =x x

y ．

13．已知)ln()(2y x y x x y --=-，求)(x y '． 14．设)53(sin 2+=x y ，求y d ．

15．已知2

e e x y x y

=--，求

d d =x x

y ． 16．设x

x y cos 1sin +=

，求)3

(

y '．

17．?

x x x

d ln sin

18．x x

x d )

1ln(?

+ 19．?++1

3d )e

-x

x x x x

20．?

d x

x x 21．x x x d sin

?π

22．x x

x d )

1ln(?

四、应用题

1.从直径为d 的圆形树干中切出横断面为矩形的梁，此矩形的底等于b ，高为h ，若梁的强度与2

bh 成正比，问梁的横断面尺寸如何，其强度最大？

2.在半径为r 的半圆内，作一个内接梯形，其底为半圆的直径，其他三边为半圆的弦．问怎样作法梯形面积最大？

3.一火车锅炉每小时消耗煤的费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当车速为每小时20公里时，每小时耗煤价值40元，其他费用每小时200元，甲、乙两地相距S 公里，问火

车行驶速度如何，才能使火车由甲地开往乙地的总费用为最省？ 4.求由曲线y=x 3

与直线y=-x+2，x=0围成的平面图形面积。 5. 求由曲线y=x 2与直线x+y=2围成的平面图形面积五、证明题 1.试证：当2

0π

2.试证：当1>x 时，有 e e x x >成立．

3.试证：当1>x 时，有x

x 132-

>成立．

4. 试证：偶函数的导数为奇函数。

5.试证[]?

----=2

2)()()(a

x f x f dx x f

6.证明:当0>x 时,2

211cos x x -

7.证明：当x>0时，x>ln(1+x)

高等数学下册期末考试试题及答案

高等数学A(下册)期末考试试题【A 卷】考试日期：2009年一、A 填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= -4 ． 2、设ln()z x xy =，则 32 z x y ?=?? -1/（y*y ）． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 2x+4y+z-14=0 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数在3x =处收敛于，在x π=处收敛于． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? 1.414 ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程．解：两边同时对x 求导并移项。 2、求由曲面2 2 22z x y =+及2 2 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？条件收敛 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222 x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部．

同济大学大一高等数学期末试题 (精确答案)

学年第二学期期末考试试卷课程名称：《高等数学》试卷类别：A 卷考试形式：闭卷考试时间：120 分钟适用层次：适用专业；阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在小题大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷）一、单选题（共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（）． A ．条件收敛 B ．绝对收敛 C ．发散 D ．敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）二、填空题（共15分，每小题3分）系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------

高等数学[下册]期末考试试题和答案解析

高等数学A(下册)期末考试试题一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ．

2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数在3x =处收敛于，在x π=处收敛于． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部．三、（本题满分9分）抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．（本题满分10分）计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>．四、（本题满分10分）求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数．

高等数学期末复习资料及答案

大学高等数学期末复习资料及答案课程名称：高等数学出题教师：岳健民适用班级：本科多学时（不含职教）一、单项选择题（15分，每小题3分） 1、当∞→x 时，下列函数为无穷小量的是（）（A ）x Cosx x - （B ）x Sinx （C ）121-x （D ）x x )11(+ 2．函数)(x f 在点0x 处连续是函数在该点可导的（）（A ）必要条件（B ）充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件 3．设)(x f 在),(b a 内单增，则)(x f 在),(b a 内（）（A ）无驻点（B ）无拐点（C ）无极值点（D ）0)(>'x f 4．设)(x f 在][b a ，内连续，且0)()(

（C ）0=''）（ξf （D ））（）（）（）（a b f a f b f -?'=-ξ 5．广义积分)0(>?∞ +a dx a x p 当（）时收敛。（A ）1>p (B)1

+ =x x x y 在区间单减；在区间单增； 4、若x xe x f λ-=)(在2=x 处取得极值，则=λ ； 5、若dx x f dx x xf a ??=1 01 02 )()(，则=a ；三、计算下列极限。（12分，每小题6分） 1、x x x x )1(lim +∞→ 2、 2 00 )1(lim x dt e x t x ?-→

高等数学下册试题及答案解析word版本

高等数学（下册）试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为。二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小；（D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（）（A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；

同济大学版高等数学期末考试试卷

同济大学版高等数学期末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（）. （A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ???

高等数学下册期末考试

高等数学 A( 下册 ) 期末考试试题大题一二三四五六七小题 1 2 3 4 5 得分一、填空题：（本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分，把答案直接填在题中横线上） 1 、已知向量、满足，，，则． 2 、设，则． 3 、曲面在点处的切平面方程为． 4 、设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，则的傅里叶级数在处收敛于，在处收敛于． 5 、设为连接与两点的直线段，则． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．二、解下列各题：（本题共 5 小题，每小题 7 分，满分 35 分） 1 、求曲线在点处的切线及法平面方程． 2 、求由曲面及所围成的立体体积． 3 、判定级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4 、设，其中具有二阶连续偏导数，求．

5 、计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部．三、（本题满分 9 分）抛物面被平面截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．（本题满分 10 分）计算曲线积分，其中为常数，为由点至原点的上半圆周．四、（本题满分 10 分）求幂级数的收敛域及和函数．五、（本题满分 10 分）计算曲面积分，其中为曲面的上侧．六、（本题满分 6 分）设为连续函数，，，其中是由曲面与所围成的闭区域，求． ------------------------------------- 备注：①考试时间为 2 小时； ②考试结束时，请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交；不得带走试卷。高等数学 A( 下册 ) 期末考试试题【 A 卷】参考解答与评分标准 2009 年 6 月

高等数学(同济第六版)上册期末复习重点

高等数学(同济第六版)上册期末复习重点第一章：1、极限（夹逼准则） 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ）定积分： 1、定义 2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 4、空间平面 5、空间旋转面（柱面）

第一章函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b. 5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在；3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间

历年高等数学期末考试试题

2008-2009学年第一学期期末试题一、填空题（每题5分，共30分） 1．曲线1ln()y x e x =+的斜渐近线方程是________________________ 2．若函数)(x y y =由2cos()1x y e xy e +-=-确定，则在点(0,1)处的法线方程是________ 3．设()f x 连续，且21 40 ()x f t dt x -=? ，则(8)______f = 4．积分 20 sin n xdx π =? ___________________ 5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为_____________ 6 ．曲边三角形y = 0,1y x ==绕x 轴旋转所得的旋转体体积为_________ 二．选择题（每题3分，共15分） 1．当0x +→ ） () A 1- () B () C 1 () D 1-2. 若1()(21)f x x x ??=-???? ，则()f x 在（）处不连续 ()A 3x = ()B 2x = ()C 12x = ()D 13 x = 3．若()sin cos f x x x x =+，则（） ()A (0)f 是极大值，()2f π是极小值， ()B (0)f 是极小值，()2f π 是极大值 ()C (0)f 是极大值，()2f π 也是极大值 ()D (0)f 是极小值，()2 f π 也是极小值 4．设线性无关的函数123,,y y y 都是二阶非齐次线性方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解， 12,c c 是任意常数，则该方程的通解为（） ()A 11223c y c y y ++， ()B 1122123()c y c y c c y +-+， ()C 1122123(1)c y c y c c y +---， ()D 1122123(1)c y c y c c y ++--， 5．极限2 1 33lim ( )n n i i n n n →∞=-∑可表示为（） ()A 2 2 13x dx -? ()B 1 2 03(31)x dx -? ()C 2 2 1 (31)x dx --? () D 1 20 x dx ?

2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)YM

2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）一、解答题 1．已知过去几年产量和利润的数据如下：解：在直角坐标系下描点，从图可以看出，这些点大致接近一条直线，因此可设f (x )=ax +b ，求[] 621()i i i u y ax b ==-+∑的最小值，即求解方程组 6662111661 1,6.i i i i i i i i i i i a x b x y x a x b y =====?+=????+=??∑∑∑∑∑ 把(x i ,y i )代入方程组，得 29834402240034026320a b a b +=??+=? 解得 a =0.884, b =-5.894 即 y =0.884x -5.894, 当x =120时，y =100.186(310元). 2．求下列伯努利方程的通解： 2(1)(cos sin );y y y x x '+=- 解：令121z y y --==，则有

d d (12)(12)(cos sin )sin cos d d z z z x x z x x x x +-=--?-=- (1)d (1)d e (sin cos )e d e e (sin cos )d e sin x x x x x z x x x c x x x c c x ----????=-+???? ??=-+=-???? 1e sin x c x y ?=- 即为原方程通解. 411(2)(12)33 y y x y '+=-. 解：令3d 21d z z y z x x -=?-=-. d d e 21e (21)e d x x x z x c x x c -????==--+-+???? ? 3(e 21)1x y c x ?--= 即为原方程通解. 3．证明：22 d d x x y y x y ++在整个xOy 平面内除y 轴的负半轴及原点外的开区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数．证：22x P x y =+，22 y Q x y =+，显然G 是单连通的，P 和Q 在G 内具有一阶连续偏导数，并且． ()2 222??-==??+P Q xy y x x y ，(x ,y )∈G 因此22 d d x x y y x y ++在开区域G 内是某个二元函数u (x ,y )的全微分．由()()22222222d d 11ln 22d x y x x y y d x y x y x y ++??==+??++?? 知()()221ln ,2 u x y x y =+． 4．应用格林公式计算下列积分： (1)()()d d 24356+-++-?x y x y x y Γ，其中 L 为三顶点分别为(0,0)，(3,0)和(3,2)的三角形正向边界； (2)()()222d d cos 2sin e sin 2e x x L x y x y x xy x y x x y ++--?，其中L 为正向星形线()22 23330x y a a +=>；

高等数学期末复习总结

一.函数与极限 1.两个重要极限： ()()1 1lim 1lim 111lim 0 sin lim 11lim 1 sin lim 11 00=+=+=??? ?? +==??? ? ? +=∞ →→→∞→∞→→x x x x x x x x x x x e x x x x e x x x 扩展极限： 2.等价无穷小公式：当x→0时， ()xlna ~12 1 ~1x 1x ~1x ln x ~12 1 ~cosx -1x ~arctanx x ~arcsinx x ~tanx x ~sinx 2 --++-x x a x e x 3.分析技巧:0 重要极限,洛必达法则,化简 ∞ ∞ 洛必达法则,同除最高次幂项 ∞?0 取倒数 ∞-∞ 通分 ,0,1∞∞ 取对数 (∞=∞ 0) 二．导数与微分熟悉函数的可导性与连续性的关系求高阶导数会运用两边同取对数隐函数的显化会求由参数方程确定的函数的导数 ()()x f x F =' 则 ()()dx x f x F d ='

导数公式：三.微分中值定理与导数的应用 1. 洛必达法则解题中应注意： ① 在着手求极限以前，首先要检查是否满足 00或∞ ∞ 型. ② 洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止. 2. 曲线的凹凸性与拐点： ()x f ''>0 上凹， ()x f ''<0 上凸， ()()0,0≠'''=''x f x f 拐点注意：首先看定义域然后判断函数的单调区间求极值和最值利用公式判断在定区间内的凹凸性或者用函数的二阶导数判断（注意二阶导数的符号）四.不定积分 1.基本积分公式： C x xdx C x xdx C a a dx a C x dx x x x +-=+=+=++=????+cot csc tan sec ln 1 122 1ααα C x dx x C x dx x C x x xdx x dx C x x C x xdx x dx +=++=-++==+-=+==??????arctan 11arcsin 11 |tan sec |ln sec cos |cot csc |ln |2tan |ln csc sin 22

(完整word版)大一高数期末考试试题.docx

2011 学年第一学期《高等数学（ 2-1 ）》期末模拟试卷专业班级姓名学号开课系室考试日期高等数学 2010 年 1 月11 日页号一二三四五六总分得分阅卷人注意事项 1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸； 2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁； 3．本试卷共五道大题，满分100 分；试卷本请勿撕开，否则作废.

本页满分 36 分本页得一．填空题（共 5 小题，每小题 4 分，共计 20 分）分 1 lim( e x x) x 2 . 1． x 0 1 x 2005 e x e x dx x 1 2． 1 . x y t 2 dy 3．设函数 y y( x) 由方程 e dt x x 0 1 确定，则 dx x tf (t)dt f (x) 4. 设 f x 1 ，则 f x 可导，且 1 ， f (0) . 5．微分方程 y 4 y 4 y 的通解为 . 二．选择题（共 4 小题，每小题 4 分，共计 16 分） . f ( x) ln x x k 1．设常数 k e 0 ，则函数在 ( 0, (A) 3 个; (B) 2 个 ; (C) 1 2．微分方程 y 4y 3cos2 x 的特解形式为（（ A ） y Acos2 x ; （ B ） y （ C ） y Ax cos2 x Bx sin 2x ; （ D ） y * 3．下列结论不一定成立的是（） . ) 内零点的个数为（个 ; (D) 0 个 . ） . Ax cos2x ; A sin 2x . ） . d b x dx （ A ）若 c, d a,b , 则必有 f x dx f ; c a b x dx 0 （B ）若 f (x) 0 在 a,b f 上可积 , 则 a ; a T T （ C ）若 f x 是周期为 T 的连续函数 , 则对任意常数 a 都有 a f x dx x t dt （D ）若可积函数 t f f x 为奇函数 , 则 0 也为奇函数 . 1 f 1 e x x 1 4. 设 2 3e x , 则 x 0 是 f ( x) 的（）. (A) 连续点 ; (B) 可去间断点 ; (C) 跳跃间断点 ; (D) 无穷间断点 . f x dx ; 三．计算题（共 5 小题，每小题 6 分，共计 30 分）

高等数学下册期末考试题及答案

高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++?? ∑ ds y x )12 2（。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为。 8、级数 ∑∞ =+1 )1(1 n n n 的和为。二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小；（D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（）（A ）4 ? ??2 201 3 cos sin π π ???θdr r d d ；（B ）???20 1 2 sin π π??θdr r d d ；

高等数学(下册)期末复习试题及答案

一、填空题（共21分每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为12 2++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ? ??+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为 2π． 3．设函数2 2232),,(z y x z y x f ++=，则= )1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，则=∞ →n n u lim 0 ． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10 ,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于 2 1π+． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式 x axe y =*．二、解答题（共18分每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 20 32z y x z y x 的平面方程．解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分 ???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(22 2y x z +-=及22y x z += 所围成的区域．解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分) ??? Ω v z y x f d ),,(? ??-=2 210 20 d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分)

高等数学同济第七版7版下册习题全解

数，故 /, = Jj( x2 + y1)3d(j = 2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)：从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意：如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，，A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的W K域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n"

jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

高等数学二期末考试试题

华北科技学院12级《电子商务专业》高等数学二期末考试试题一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。 1、 .设函数25x y e =+，则'y = A.2x e B.22x e C. 225x e + D.25x e + 2、设y x =+-33，则y '等于（） A --34x B --32x C 34x - D -+-334x 3、设f x x ()cos =2，则f '()0等于（） A －2 B －1 C 0 D 2 4. 曲线y x =3的拐点坐标是（） A （－1，－1） B （0，0） C （1，1） D （2，8） 5、sin xdx ?等于（） A cos x B -cos x C cos x C + D -+cos x C 6、已知()3x f x x e =+，则'(0)f = A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7、下列函数在(,)-∞+∞内单调增加的是 A.y x = B.y x =- C. 2y x = D.sin y x = 8、1 20x dx =? A.1- B. 0 C. 13 D. 1 9、已知2x 是()f x 的一个原函数，则()f x = A.2 3 x C + B.2x C.2x D. 2 10. 已知事件A 的概率P （A ）＝0.6，则A 的对立事件A 的概率P A ()等于（） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7

二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分。把答案填写在题中横线上。 11、lim()x x x →-+=13 2____________________。 12、lim()x x x →∞-=13____________________。 13、函数y x =+ln()12的驻点为x ＝____________________。 14、设函数y e x =2，则y "()0=____________________。 15、曲线y x e x =+在点（0，1）处的切线斜率k ＝____________________。 16、()12 +=?x dx ____________________。 17、2031lim 1 x x x x →+-=+ 。 18、设函数20,()02,x x a f x x ≤?+=?>? 点0x =处连续，则a = 。 19、函数2 x y e =的极值点为x = 。 20、曲线3y x x =-在点（1,0）处的切线方程为y = 。三、解答题：21～24小题，共20分。解答应写出推理、演算步骤。 21、（本题满分5分）计算lim x x x x →-+-122321

高等数学(A)下期末试卷及答案

《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分 ? ? x e dy y x f dx ln 0 1 ),(的积分次序为（ c ） (A ) ? ? x e dx y x f dy ln 0 1 ),( (B ) ?? 1 ),(dx y x f dy e e y (C ) ? ? e e y dx y x f dy ),(10 (D ) ?? e x dx y x f dy 1 ln 0 ),( 2、锥面22y x z +=在柱面x y x 22 2≤+内的那部分面积为（D ） (A ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 d d (B ) ? ? - θπ π ρ ρθcos 20 222 d d (C ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 2 22 2d d (D ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 2d d 3、若级数∑∞ =-1 )2(n n n x a 在2-=x 处收敛，则级数 ∑∞ =--1 1 )2(n n n x na 在5=x （B ）

(A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为（ A ） (A ) ∑∞ =-1 )13(n n n n (B ) ∑∞ =+1 21n n n (C ) ∑∞ =+1 11 sin n n (D ) ∑∞ =1 3!n n n 5、若函数 )()2()(2 222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值为（ c ） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2

高等数学总复习

最新高数期末考试题.

高等数学下册期末考试试题及答案

同济大学大一 高等数学期末试题 (精确答案)

高等数学[下册]期末考试试题和答案解析

高等数学期末复习资料及答案

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同济大学版高等数学期末考试试卷

高等数学下册期末考试

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