山东省青岛市第二中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题
绝密★启用前 山东省青岛市第二中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．若集合ln1cos ,2A e π??=????,{}2|20B x Z x x =∈+≤,则A B =U （ ） A ．{}0,1 B ．{}1,0- C ．{}1,0,1- D ．{}2,1,0,1-- 2．下列哪个函数的定义域与函数12x y ??= ???的值域相同（ ） A ．2x y = B ．1y x x =+ C ．12y x = D ．ln y x x =- 3．已知幂函数()y f x =的图象经过点(,则()31log 3f 的值是（ ） A ．13- B ．-1 C ．13 D ．3 4．样本中共有五个个体,其值分别是a ,1,2,3,4,若样本的平均数是2,则样本的极差和标准差分别是（ ） A ．5和2 B ．5 C ．4和2 D ．4 5．从甲袋中摸出一个红球的概率是13,从乙袋中摸出一个红球的概率是12,从两袋各摸出一个球,则2个球中恰有1个红球的概率是（ ） A ．56 B ．12 C ．23 D ．16 6．函数()21x f x -=-的图象大致为（ ）
…
订
…
…
…
…
○
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
※
※
内
※
※
答
※
※
题
※
※
…
订
…
…
…
…
○
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
A．B．
C．
D．
7．[]x表示不超过x的最大整数,例如[3.5]3=,[]
0.51
-=-.已知
x是方程
ln3150
x x
+-=的根,则[]0x=（）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．已知函数()
f x的定义域为R,图象恒过()
1,1点,对任意
12
x x
<,都有
()()
12
12
1
f x f x
x x
-
>-
-
则不等式()()
22
log212log21
x x
f??
-<--
??的解集为（）
A．()
0,∞
+B．()2
,log3
-∞C．()()2
,00,log3
-∞U
D．()2
0,log3
二、多选题
9．在ABC
?中,下列关系恒成立的是（）
A．()
tan tan
A B C
+=B．()
cos22cos2
A B C
+=
C．sin sin
22
A B C
+
??
=
?
??
D．sin cos
22
A B C
+
??
=
?
??
10．某市12月17日至21日期间空气质量呈现重度及以上污染水平,经市政府批准,该市
………装……………线…………___
___
_
_
__
_姓名：___
…
…
…
装
…
…
………线…………合问卷网,对2400人进行问卷调查,并根据调查结果得到如下饼图则下列结论正确的是（ ）
A ．“不支持”部分所占的比例大约是整体的112;
B ．“一般”部分所占的人数估计是800人;
C ．饼图中如果圆的半径为2,则“非常支持”部分扇形的面积是76π;
D ．“支持”部分所占的人数估计是1100人 11．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题,这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有图形如图所示,C 为线段AB 上的点,且AC a =,BC b =,O 为AB 的中点,以AB 为直径作半圆.过点C 作AB 的垂线交半圆于D ,连结OD ,AD ,BD ,过点C 作OD 的垂线,垂足为
E .则该图形可以完成的所有的无字证明为（ ） A ．2a b +≥(0a >,0b >) B ．222a b ab +≥(0a >,0b >) C 211a b ≥+(0a >,0b >) D ．2222a b a b ++≥(0a ≥,0b >) 12．下列命题为真命题的是（ ） A ．设命题p :n N ?∈,22n n >.则p ?:n N ?∈,22n n ≤; B ．若0a b >>,0c d <<,则a b d c <; C ．若()f x 是定义在R 上的减函数,则“0a b +≤”是“()()()()f a f b f a f b +≥-+-”的充要条件;
D ．若i a ,i b ,i c (1,2i =)是全不为0的实数,则“11
1222a b c a b c ==”是“不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>解集相等”的充分不必要条件. 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 三、填空题 13．已知11
222x
x -+=,则1x x -+=______.
14．若正数x ,y 满足2x y xy +=,则2x y +的最小值为______.
15．方程)()lg lg cos x x =的解集为______.
16．已知函数()224,3
1,x x x a
f
x x a -?-
≤=?->?,当2a =,不等式()2f x <的解集是______.
若函数()f x 恰有2个零点,则实数a 的取值范围是______.
四、解答题
17．已知{}22|320,0A x x ax a a =-+>>,{}2|60B x x x =--≥,若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.
18．己知()0
2
0.25353818log 3log 25A ?=+-+? ?,
()2log 42B B A =+,求A ,B 的值.
19．青岛二中有羽毛球社?乒乓球社和篮球社,三个社团的人数分别为27,9,18,现采用分层抽样的方法从这三个社团中抽取6人参加活动.
(1)求应从这三个社团中分别抽取的学生人数;
(2)将抽取的6名学生进行编号,编号分别为1A ,2A ,3A ,4A ,5A ,6A ,从这6名学生中随机抽出2名参加体育测试.
①用所给的编号列出所有可能的结果;
②设事件A 是“编号为1A ,2A 的两名学生至少有一人被抽到”,求事件A 发生的概率.
20．已知3,24παπ??∈ ???,且sin cos 5αα-=. (1)求1tan tan αα+的值; (2)求()()()cos 2cos 2sin cos 2πααπαπα??--+ ???--+-的值. 21．已知奇函数()2121
x x a f x ?-=+的定义域为[]2,3a b --. (1)求实数a ,b 的值; (2)若[]2,3x a b ∈--,方程()()20f x f x m +-=????有解,求m 的取值范围. 22．知函数()2log 1f x x =+,()()()22g x f x f x =+????. (1)求方程()2g x =的解集; (2)若()f x 的定义域是[]1,16,求函数()g x 的最值; (3)若不等式()()22log 4f x x m f x ++>?????对于[]1,16x ?∈恒成立,求m 的取值范围.
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
先求出B 集合，注意x 属于整数集合，而集合A 等价于{}0,1A =，求并集运算即可。
【详解】 因为cos 02π
=，0ln11e e ==，所以{}0,1A =；
{}2|20B x Z x x =∈+≤解得{}2,1,0B =--
所以{}2,1,0,1A B ?=--
故选：D
【点睛】
此题考查集合的并集运算，解出每个集合的取值即可，属于简单题目。
2．D
【解析】
【分析】 指数函数12x
y ??= ???
的值域是(0,)+∞，依次看选项的定义域是否在(0,)+∞即可。 【详解】 指数函数12x
y ??= ???
的值域是(0,)+∞ A 选项定义域是R ；
B 选项定义域是{}|0x x ≠；
C 选项定义域是{}|0x x ≥；
D 选项定义域是{}|0x x >，满足题意。
故选：D
【点睛】
此题考查函数的值域和定义域，掌握基本初等函数的图像和性质，属于简单题目。 3．A
【分析】
设幂函数是a y x =
，代入点(
求得 a ，再代入求()31log 3f 即可。 【详解】
设幂函数是a y x =
，代入点(
，即1
333a == 所以13a =，13y x
= 所以()1
3
33f = ()11113
33333l log 3log og 31313log 3f =
=-= 故选：A
【点睛】
此题考查幂函数和对数函数，注意对数函数换底公式的使用，属于较易题目。
4．D
【解析】
【分析】
根据平均数求出a ，极差指最大值和最小值的差值，标准差代入公式计算即可。
【详解】
因为样本的平均数是2，即
123425a ++++= 解得0a =.
所以极差：404-=；
故选：D
【点睛】
此题考查平均数，极差，标准差的概念和计算公式，属于简单题目。
5．B
【解析】
2个球中恰有1个红球分为：甲袋中摸出一个红球乙袋中摸一个其他球和甲袋摸一个其他球乙袋中摸一个红球两种情况，分别计算概率再求和即可。
【详解】
2个球中恰有1个红球分为：甲袋中摸出一个红球乙袋中摸一个其他球和甲袋摸一个其他球乙袋中摸一个红球。 甲袋中摸出一个红球乙袋中摸一个其他球1111==326
P ? 甲袋摸一个其他球乙袋中摸一个红球2212==326
P ? 所以两袋各摸出一个球,则2个球中恰有1个红球的概率是12121=662P P P +=
+= 故选：B
【点睛】
此题考查概率，注意将问题分情况讨论，属于较易题目。
6．B
【解析】
【分析】
易得函数()2
1x f x -=-是偶函数排除C ，，根据0x >时化简11-1<02x ??-< ???，是减函数即可判断答案。
【详解】
易得()()f x f x =-，所以函数()2
1x f x -=-是偶函数，排除C ； 函数化简后为()12
1=-12x x f x -??=- ???，当0x >时，11-1<02x
??-< ???
，且是减函数。 故选：B
【点睛】 此题考查函数图像，判断函数图像一般可通过奇偶性，单调性，特殊值等方面判断，属于较易题目。
7．C
【解析】
【分析】
可通过二分法判断方程ln 3150x x +-=的根所在区间，进而求得[]0x 。
【详解】
令()ln 315f x x x =+-
当4x =时，()4ln 434150f =+?-<
当5x =时，()5ln535150f =+?->
即()()450f f ?<，即表示()f x 在45x <<上有零点或者方程ln 3150x x +-=有根。 所以[]04x =
故选：C
【点睛】
此题考查通过二分法求函数零点所在区间，注意函数零点存在性定理的掌握，属于较易题目。 8．D
【解析】
【分析】
判断出()()R x f x x =+是增函数，又()()()2222log 1log 12(1)1x x f f -+-<=+ ，求得0<212x -<，从而求得x 的范围。
【详解】
因为对任意12x x <,都有()()12121f x f x x x ->--，即()()112212
0f x x f x x x x +-+????????>- 即函数()()R x f x x =+在R 上是增函数.
若()()22log 212log 21x x f ??-<--??，即()()()
2222log 1log 12(1)1x x f f -+-<=+ 即()
2og 12l 1x <-，0<212x -<，20log 3x << 故选：D
【点睛】
此题考查函数单调性，关键点是通过已知构造出新的的单调函数，属于一般性题目。 9．BD
【解析】
【分析】
根据三角形中A B C π++=和倍角和半角公式化简求值即可。
【详解】
A 选项：()()tan tan tan A
B
C C π+=-=-，不正确；
B 选项：()()()()cos 22cos 2cos 2cos2A B
C C C π+=-=-=,正确；
C 选项： sin sin cos 222A B C C π+-????== ? ?????
,不正确； D 选项：sin sin cos 222A B C C π+-????==
? ?????
,正确. 故选：BD
【点睛】 此题考查三角恒等变化，注意诱导公式和倍角半角公式的使用，属于较易题目。
10．ACD
【解析】
【分析】 根据支持是
1112
π，约占总体的一半，所以圆的面积是2π，依次进行判断即可。 【详解】 A 选项：“不支持”部分所占1172121236πππππ---=，所以比例大约是整体的16212
π
π=，正确。 B 选项：“一般”部分所占比例为1326π
π=，所以占的人数估计是1
24004006
?=人，不正确； C 选项：“非常支持”部分占比例7712224
ππ=，所以面积是2772246ππ??=，正确；
D 选项：“支持”部分所占比例111112224
ππ=，共有112400110024?=，正确. 故选：ACD
【点睛】
此题考查饼图在实际问题的应用，注意各部分所占比重，属于简单题目。
11．AC
【解析】
【分析】
由线段长度关系OD CD ≥，CD DE ≥可以求解。
【详解】
由AC CB a b +=+
，由射影定理可知：CD =
又OD CD ≥
2
a b +∴0a >,0b >)，A 正确； 由射影定理可知：2CD DE OD =?,即22112CD ab DE a b OD a b
===++
又CD DE ≥
211a b ≥+(0a >,0b >)，C 正确； 故选：AC
【点睛】
此题考查通过几何图形对重要不等式的证明，关键点找到图中的线段长度关系，属于一般性题目。
12．ABC
【解析】
【分析】
特称命题的否定是将存在词变为全称量词后否定结论；结合不等式的性质求解；
【详解】
A 选项：特称命题的否定是将存在词变为全称量词后否定结论，所以命题p :n N ?∈,22n n >.则p ?:n N ?∈,22n n ≤，A 是真命题；
B 选项：0,0c d a b <<>>Q ，0,0c d ac bd ∴->->->->
0cd >Q 又，,ac bd a b cd cd d c
∴->->-即-，a b d c ∴<，B 是真命题； C 选项：若0a b +<，则,a b b a <-<-
而()f x 在R 上递减，故()()()(),f a f b f b f a >->-，()()()()f a f b f a f b +>-+-充分性满足；若()()()()f a f b f a f b +>-+-，则0a b +<的逆否命题是：
若0a b +≥，则()()()()f a f b f a f b +≤-+-，由0a b +≥，得,a b b a ≥-≥- 而()f x 在R 上递减，故()()()(),f a f b f b f a ≤-≤-，即
()()()()f a f b f a f b +≤-+-，所以必要性满足.
综上：若()f x 是定义在R 上的减函数,则“0a b +≤”是
“()()()()f a f b f a f b +≥-+-”的充要条件，C 是真命题；
D 选项：设()111222
0a b c m m a b c ===≠，则121212,,a ma b mb c mc === 所以不等式21110a x b x c ++>等价于()
22220m a x b x c ++>. 若0m >，此时()22220m a x b x c ++>等价于22220a x b x c ++>，此时两者解集相等；
若0m <，此时()
22220m a x b x c ++>等价于22220a x b x c ++<，此时两者解集不相等；
若不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>解集为?，则两个不等式的系数没有关系。 所以“111222
a b c a b c ==”是“不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>解集相等”的既不充分也不必要条件，D 是假命题；
故选：ABC
【点睛】
此题考查命题，一般会和其他章节知识点联系考查，注意掌握否命题和逆否命题充要条件的判断，属于一般性题目。
13．2
【解析】
【分析】
平方化简后即可得到答案。
【详解】 因为21112224x x x x --??+=++= ???,则2
1
112224x x x x --??+=++= ???
所以12x x -+=
故答案为：2
【点睛】
此题考查对式子的平方的处理，平方是一种常用的式子处理方法注意掌握，属于简单题目。 14．8
【解析】
【分析】
先将2x y xy +=变形为
2121x y xy y x +=+=，再进行乘“1”变化，使用均值不等式即可求解。
【详解】
因为2x y xy +=，则2121x y xy y x
+=+=,又x ,y 是正数.
所以()()1242212448x y x y x y x y y x y x ??+=+?=++=++≥+= ???
当4x y y x
=取得等号. 所以2x y +的最小值为8
故答案为：8
【点睛】
此题考查均值不等式，注意乘“1”变化和均值不等式一正二定三相等的使用条件，属于较易题目。
15．|,6x x k k Z ππ??=
+∈????
【解析】
【分析】
对数函数lg y x =cos x x =求解即可。
【详解】
因为对数函数lg y x =是增函数，所以方程)
()lg lg cos x x =的解，即是
cos x x =的解，tan x =，6x k ππ=+ 故答案为：|,6x x k k Z ππ??=+∈????
【点睛】
此题考查三角函数方程的解，注意正切值解的写法是加k π，属于简单题目。
16．{}
|3x x <<，)2,a ?∈-+∞?
【解析】
【分析】
（1）代入2a =画出图形即可判断.（2）根据图形较易求得a 的取值范围.
【详解】 （1）当2a =时, ()224,231,2
x x x f x x -?-≤=?->?，画出图形
由图可知，当2x ≤时，242x -=
即x =当2x ≥时，2312x --=，解得3x =
所以()2f x <
的解取之间的部分，即{}
|3x x <<；
令240x -=，解得2x =± 2310x --=，解得2x =
所以由图易得当2a ≥-时，图形有两个零点.
故答案为：{}|3x x <<，)2,a ?∈-+∞?
【点睛】
此题考查分段函数图形问题，关键点通过已知画出函数图形，属于较易题目。
17．302a <<
【解析】
【分析】
先解出B 的范围，根据B 是A 的真子集求解范围即可。
【详解】
解出{}|23B x x x =≤-≥或，{}
|20A x x a x a a =<>>或，
因为x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，所以B 是A 的真子集. 所以2323020a a a a >-???
故答案为：302
a <<
【点睛】
此题考查简易逻辑和集合，注意将条件通过充分必要条件翻译为集合的子集关系，属于简单题目。
18．62A B =-=，
【解析】
【分析】
分别化简求值即可。
【详解】
()
02
0.253
53
818log3log25
A
?
=+-+?
?
()5
5
5
log25
1334log3
log3
826
=+-?+?
=-+=-
()
2
log42
2412
B
B
B
B A
=+
=-
令()
20
B
t t
=>
所以2120
t t--=，解得34
t t
=-=
或
即24
B=，2
B=
故答案为：62
A B
=-=
，
【点睛】
此题考查对指数化简求值，注意通过换元求解方程的解，属于较易题目。
19．（1）羽毛球社3人，兵乓球社1人，篮球社2人；
（2）①{}{}{}{}{}
1213141516
,,,,,,,,,
A A A A A A A A A A{}{}{}{}
23242526
,,,,,,,
A A A A A A A A
{}{}{}{}{}{}
343536454656
,,,,,,,,,,,
A A A A A A A A A A A A
②
3
5
【解析】
【分析】
（1）先算出每个社团占的比例，即可按分层抽样求得结果。（2）列出所有情况，
两名学生至少有一人被抽到包括一人抽到一人没抽到和两人都抽到两种情况。
【详解】
（1）羽毛球社团人数：
27
6=3
27+9+18
?；
乒乓球社人数：
9
6=1
27+9+18
?；
篮球社人数：
18
6=2
27+9+18
?.
（2）①{}{}{}{}{}1213141516,,,,,,,,,A A A A A A A A A A {}{}{}{}23242526,,,,,,,A A A A A A A A {}{}{}{}{}{}343536454656,,,,,,,,,,,A A A A A A A A A A A A
②两名学生至少有一人被抽到包括一人抽到一人没抽到和两人都抽到两种情况
设1P 为事件“一人抽到一人没抽到”，则1248==1515
P ? 设2P 为事件“两人都抽到”，则21=15
P 则事件A 发生的概率12813=+=
+=15155
A P P P . 【点睛】 此题考查统计概率，注意掌握分层抽样的抽法和列举法，属于较易题目。
20．（1）103-
（2）12 【解析】
【分析】
（1）先求出tan α，代入即可.（2）化简求值即可.
【详解】
因为sin cos αα-=()2sin co 8s 5αα-= 2222sin 2sin cos cos 8sin cos 5αααααα-+=+，即22tan 2tan 18tan 15
ααα-+=+ 解得：1
tan 3tan =3
αα=--或 又3,24παπ??∈ ???
,所以tan 3α=- 则1110tan =3tan 33
αα+--=- （2）()()()
cos 2cos 2sin cos 2πααπαπα??--+ ???
--+-
sin 2cos tan 2321sin cos tan 1312
αααααα++-+====++-+ 【点睛】
此题考查三角函数的化简求值，注意诱导公式的使用，属于简单题目.
21．（1）1a =，1b =. （2）1112481
m -
≤≤ 【解析】
【分析】
（1）根据奇函数定义域关于原点对称和()0=0f 求解.（2）将方程换元为一个二次方程进行求解.
【详解】
（1）因为奇函数定义域关于原点对称，所以230a b --+=. 又根据定义在0x =有定义，所以()00210021
a f ?-==+，解得1a =，1
b =. （2）[]3,3x ∈-，令()2121
x x f x t -==+，7799t ??-≤≤ ??? 则方程()()20f x f x m +-=????有解等价于20t t m +-= 7799t ??
-≤≤ ???有解 也等价于2
y t t =+ 7799t ??-≤≤ ???与y m =有交点. 画出图形根据图形判断：
由图可知：1112481
m -≤≤时有交点，即方程()()20f x f x m +-=????有解.
【点睛】
此题考查奇函数函数特点和换元思想的处理，注意零点的不同表示方法，属于一般性题目.
22．（1）{}41,2
- （2）()min 2g x =，()max 34g x = （3）1m <+【解析】
【分析】
（1）将()f x 表达式代入()g x 中求解方程的解.（2）写出()g x 表达式后化简求值域.（3）先将不等式进行换元处理后，分离参数求解m 的取值范围.
【详解】
（1）()()()2
2g x f x f x =+???? ()2
222log 1log 1x x =+++
()222log 4log 2x x =++
因为()2g x =，即()222log 4log 22x x ++= 即2log 0x =或2log 4x =-，所以1x =或42x -=,
方程的解集为{}41,2-.
（2）因为()f x 的定义域是[]1,16,所以20log 4x ≤≤
又()()2
22log 4log 2g x x x =++
设()2log 04t x t =≤≤，则()242g t t t =++()04t ≤≤ 所以()()()04g g t g ≤≤，即()234g t ≤≤
所以()min 2g x =，()max 34g x =
（3）设()()15k f x k =≤≤
所以不等式()()2
2log 4f x x m f x ++>?????对于[]1,16x ?∈恒成立等价于 不等式23k k mk ++>对于[]1,5k ?∈恒成立
即()2
130k m k +-+>在[]1,5k ?∈恒成立
第一种情况：当0 1120m --<，11m -<<+.