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四面体外接球的球心、半径求法

一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为

c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2

22c b a R ++=

【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。解：

因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为AE 的长即：22224AD AC AB R ++=

1663142

222=++=R 所以2=R

球的表面积为ππ1642==R S

二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。

【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。

【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，

10=AC ,求球O 的体积。

解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22

210517=+ 所以知222PC PA AC += 所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为：在ABC Rt ?中斜边为AC 在PAC Rt ?中斜边为AC 取斜边的中点O ，

在ABC Rt ?中OC OB OA == 在PAC Rt ?中OC OB OP ==

所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心

AC R 所以该外接球的体积为3

500343π

π==R V

【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解

【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，?=∠120BAC ，2===AC AD AB ，求该棱锥的外接球半径。

解：由已知建立空间直角坐标系

)000(，，A )002(，，B )200(，，D )031(，

，-C

由平面知识得

设球心坐标为),,(z y x O 则DO CO BO AO ===,由空间两点间距离公式知

222222)2(z y x z y x ++-=++ 222222)2(-++=++z y x z y x 222222)3()1(z y x z y x +-+-=++

解得 13

31==

=z y x

所以半径为321

1331222=

++=）（R 【

结

论

】：

空

间

两

点

间

距

离

公

式

：

221221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=

四、四面体是正四面体

处理球的“内切”“外接”问题

与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点，但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。

图1

解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截面图是关键，可使这类问题迎刃而解。

一、棱锥的内切、外接球问题

例1.正四面体的外接球和内切球的半径是多少

分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。

解：如图1所示，设点O 是内切球的球心，正四面体棱长为a ．由图形的对称性知，点O 也是外接球的球心．设内切球半径为r ，外接球半径为R ．

正四面体的表面积22

34a a S =?

=表．正四面体的体积222212

34331BE AB a AE a V BCD A -=??=

- 322212

233123a a a a =???? ??-=

BCD A V r S -=?表31

，a a

S V r BCD A 1263122332

==∴-表

在BEO Rt ?中，2

22EO BE BO +=，即22

233r a R +???

? ??=，得a R 46=，得r R 3= 【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为

4h ( h 为正四面体的高)，且外接球的半径4

，从而可以通过截面图中OBE Rt ?建立棱长与半径之间的关系。

例2．设棱锥ABCD M -的底面是正方形，且MD MA =，AB MA ⊥，如果AMD ?的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.

解： ⊥∴⊥⊥AB MA AB AD AB ,, 平面MAD ，由此，面⊥MAD 面AC .记E 是AD 的中点，从而AD ME ⊥.⊥∴ME 平面AC ，EF ME ⊥

设球O 是与平面MAD 、平面AC 、平面MBC 都相切的球.如图2，得截面图MEF ?及内切圆O

图2

不妨设∈O 平面MEF ，于是O 是MEF ?的内心.

设球O 的半径为r ，则MF

EM EF S r MEF

++=

?2，设a EF AD ==,1=?AMD S .

22,2??

??+==∴a a MF a EM ,122

222222

2-=+≤

??+++=

a a a a r

当且仅当a

a 2

，即2=a 时，等号成立. ∴当2=

=ME AD 时，满足条件的球最大半径为12-.

练习：一个正四面体内切球的表面积为π3，求正四面体的棱长。（答案为：2）【点评】根据棱锥的对称性确定内切球与各面的切点位置，作出截面图是解题的关键。二、球与棱柱的组合体问题 1．正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为a ，球半径为R 。

如图3，截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2

R =

； 2．与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 2

。 3．正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 2

=。例3.在球面上有四个点P 、A 、B 、C .如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且a PC PB PA ===,那么这个球的表面积是______.

图3

图4

图5

解：由已知可得PA 、PB 、PC 实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱，正方体的对角线长就是球的直径，连结过点C 的一条对角线CD ，则CD 过球心O ，对角线a CD 3=

3234a a S ?=???

???=∴ππ球表面积

练习：一棱长为a 2的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时的球的体积。（答案为()

624

a a V =

） 4．构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题

正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。

例4.已知三棱柱111C B A ABC -的六个顶点在球1O 上，又知球2O 与此正三棱柱的5个面都相切，求球1O 与球2O 的体积之比与表面积之比。

分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。

解：如图6，由题意得两球心1O 、2O 是重合的，过正三棱柱的一条侧棱1AA 和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为a ，则a R 6

，正三棱柱的高为a R h 3

22=

=，由O D A Rt 11?中，得 22

222

1125633333a a a R a R =???

? ??+???? ??=+???? ??=，

a R 12

51=

∴ 1:5::2

22121==∴R R S S ，1:55:21=V V 练习：正四棱柱1111D C B A ABCD -的各顶点都在半径为R 的球面上，求正四棱柱的侧面积的最大值。（答案为：2

24R ）

【点评】“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，作出合适的截面图来确定有关元素间的数量关系，是解决这类问题的最佳途径。

图6

勾股定理知，假设正四面体的边长为a 时，它的外接球半径为a 4

。

平面向量

重点知识回顾

1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.

2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a 、b 等表示；③平面向量的坐标表示：分别取与

x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底。任作一个向量a

，由平面向量基本定理知，有且只

有一对实数x 、y ，使得a

xi yj =+，),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y =，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，特别地，i (1,0)=，j (0,1)=，0(0,0)=。22a x y =+；

若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=，222121()()AB x x y y =-+-

3.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为0； ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.（注：

|a 就是单位向量）

4.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量a 、b 、

c 平行，记作a ∥b ∥c .共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.

5.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 6．向量的基本运算（1）向量的加减运算

几何运算：向量的加减法按平行四边行法则或三角形法则进行。

坐标运算：设a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)则a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2 ) a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2)

(2) 平面向量的数量积： a ?b=a

b cos θ

设a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)则a ?b=x 1x 2+y 1y 2

（3）两个向量平行的充要条件 ∥ =λ 若 =(x 1,y 1), =(x 2,y 2)，则 ∥

x 1y 2-x 2y 1=0

（4）．两个非零向量垂直的充要条件是 ⊥

· =0

设 =(x 1,y 1)， =(x 2,y 2)，则 ⊥

x 1x 2+y 1y 2=0

.向量的加法、减法：

①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。②向量的减法向量

a 加上的

b 相反向量，叫做a 与b 的差。即：a b = a + (b )；

差向量的意义： OA = a , OB =b , 则BA =a

③平面向量的坐标运算：若11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a b +),(2121y y x x ++=，

a b -),(2121y y x x --=，(,)a x y λλλ=。

④向量加法的交换律：a +b =b +a ；向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )

7．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa

（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa

=0；（3）

运算定律 λ(μa )=(λμ)a ，(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa

+λb

8．向量共线定理向量b 与非零向量a

共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa 。

9．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a

=λ11e +λ22e 。(1)不共线向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a

在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a

，1e ，2e 唯一确定的数量。

10. 向量a 和b 的数量积：①a ·b =| a |·|b |cos θ，其中θ∈[0，π]为a 和b 的夹角。②|b |cos θ

称为在的方向上的投影。③·的几何意义是：的长度||在的方向上的投影的乘积，是一个实数（可正、可负、也可是零），而不是向量。

④若 =（1x ，1y ）, =（x 2，2y ）, 则2121y y x x b a +=?

⑤运算律：a · b =b ·a , (λa )· b =a ·(λb )=λ（a ·b ），（a +b ）·c =a ·c +b ·c 。 ⑥a 和b 的夹角公式：cos θ=

a b a b

??＝

12121y

x y x y y x x +?

⑦==?2a a a ||2=x 2+y 2

，或|

y x =+⑧| a ·b |≤| a |·| b |。

11．两向量平行、垂直的充要条件设a =（1x ，1y ）, b =（2x ，2y ） ①a ⊥b ?a ·b =0 ，?⊥a b ?=1x 2x +1y 2y =0；

②//（a ≠）充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa

。

0//1221=-?y x y x b a

向量的平行与垂直的坐标运算注意区别，在解题时容易混淆。

12.点P 分有向线段21P P 所成的比的λ： 21PP P λ=，P 内分线段21P P

时, 0>λ; P 外分线段21P P 时, 0<λ. 定比分点坐标公式、中点坐标公式、三角形重心公式： ???

????++=++=λλλλ112

121y y y x x x ()1-≠λ 、???

???

+=+=

222121y y y x x x 、 )3,3(321321y y y x x x ++++ 四：考点举例及配套课堂练习（例题讲解）（一）基础知识训练

1.下列命题正确的是（）

)(A 单位向量都相等 )(B 任一向量与它的相反向量不相等 )(C 平行向量不一定是共线向量 )(D 模为0的向量与任意向量共线

2. 已知正六边形ABCDEF 中，若=a ， =b ，则=BC （）

)

(A )(21b a - )(B )(21b a + )(C b a - )(D b a +2

3. 已知向量,01≠e R ∈λ，+=1e a λb e ,2=21e 若向量a 与b 共线，则下列关系一定成立是（）

)(A 0=λ )(B 02=e )(C 1e ∥2e )(D 1e ∥2e 或0=λ

4. 若向量),1(x -=，)2,(x -=共线且方向相同，x =__________。（二）．典例分析

例1：（1）设a 与b 为非零向量，下列命题：

①若a 与b 平行，则a 与b 向量的方向相同或相反；

②若,, AB a CD b ==a 与b 共线，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上； ③若a 与b 共线，则a b a b +=+；④若a 与b 反向，则a a b b

其中正确命题的个数有（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个

（2）下列结论正确的是（）（A ）a b a b = （B ）a b a b -<- （C ）若()()0a b c c a b -= （D ）若a 与b 都是非零向量，则a b ⊥的充要条件为a b a b +=-

错解：（1）有学生认为①②③④全正确，答案为4；也有学生认为①或④是错的，答案为2或3；（2）A 或B 或C 。

分析：学生对向量基础知识理解不正确、与实数有关性质运算相混淆，致使选择错误。

第（1）小题中，正确的应该是①④，答案为2。共线向量（a 与b 共线）的充要条件中所存在的常数

λ可看作为向量b 作伸缩变换成为另一个向量a 所作的伸缩量；若a ，b 为非零向量，则共线的a 与b 满

足a 与b 同向时b a a

=，a 与b 反向时b a a

=-。

第（2）小题中，正确答案为（D ）。学生的错误多为与实数运算相混淆所致。选择支D 同时要求学生明确向量垂直、两个向量的数量积、向量的模之间互化方法，并进行正确互化。例2 设a 、b 是两个不共线向量。AB=2a +k b BC=a +b CD=a -2b A 、B 、D 共线则k=_____(k ∈R)

解：BD=BC+CD=a +b +a -2b =2a -b 2a +k b =λ(2a -b )=2λa -λb ∴ 2=2λ且 k=-λ ∴ k=-1 例3 梯形ABCD ，且|AB|=2|DC|,M 、N 分别为DC 、AB 中点。

AB=a AD=b 用a ，b 来标DC 、BC 、MN 。解：DC=

21AB=21a BC=BD+DC=(AD-AB)+DC =b-a + 21a =b - 21MN=DN-DM=21a-b -41a = 4

a-b 例4 |a |=10 b =(3,-4)且a ∥b 求a

解：设a =(x,y)则 x 2

+y 2

=100 （1）由a ∥b 得 -4x-3y=0 （2）解（1）（2）得 x=6 y=-8 。或 x=-6 y=8∴ a =(6,-8)或(-6,8) 五．归纳小结 1．向量有代数与几何两种形式，要理解两者的内在联系，善于从图形中发现向量间的关系。 2．

对于相等向量，平行向量，共线向量等概念要区分清楚，特别注意零向量与任何向量共线这一情况。要善于运用待定系数法。

课堂练习

1、下列命题正确的是（）

A ．若0||=a ，则0=a

B ．若||||b a =，则b a =或b a -=

C ．若b a ||，则||||b a =

D ．若=，则=-

2、已知平行四边形ABCD 的三个顶点)1,2(-A 、)3,1(-B 、)4,3(C ，则顶点D 的坐标为（） A ．)2,1( B ．)2,2( C ．)1,2( D ．)2,2(--

3、设)0(||>=m m ，与反向的单位向量是0b ，则用0b 表示为

A ．0b m =

B ．0b m -=

C ．01b m =

D ．01

b m

-= 4、D 、E 、F 分别为ABC ?的边BC 、CA 、AB 上的中点，且a BC =，b CA =，下列命题中正确命题的个数是（） ①--

=21；②21+=；③2

21+-=； ④=++。

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 5、化简：--+=__________。

6、已知向量)2,1(,3==b a

，且b a ⊥，则a 的坐标_____________。

7、若()

0,2,122=?-==a b a b a

，则b a 与的夹角为______________。

8、已知向量)1,0(),0,1(,4,23212121==+=-=e e e e b e e a

其中

求（1）b a b a

+?;的值；（2）a 与b 的夹角。

9、如果向量a 与b ，c 的夹角都是?60，而c b ⊥，且1||||||===c b a ，求)()2(c b c a +?-的值。 10、如图，设O 为ABC ?内一点，PQ ∥BC ，且

t BC

=，=OA a ，=OB b ，=OC c ，试用a ，b ，c 表示OQ OP ,．

D ，B ，B ，D ， 5，0； 6，（

556，—553），（—556，5

3） 7，450

， 8，(1)a ?b=10, b a +=52 (2) θ=arccos

221

9,-1 10,OP =(1-t)a +t b , OQ =(1-t)a +t c

《平面向量》测试题

一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

()

命题中正确的是是两个单位向量，下列、e 已知e 1.21 1e e .A 21=? 21e e .B ⊥ 222

1e e .C =

21e //e .D

2．下列命题中：①若a 与b 互为负向量，则a ＋b ＝0；②若k 为实数，且k·a＝0，则a ＝0或k ＝0；③若a·b＝0，则a ＝0或b ＝0；④若a 与b 为平行的向量，则a·b＝|a||b|；⑤若|a|＝1，则a ＝±1．其中假命题的个数为（）

A ．5个

B ．4个

C ．3个

D ．2个

()

的值等于CA BC 则,60C 8,b 5,a 在ΔABC中, 3.→

--→--??=== 20 .A 20 .B -

320 .C 320 .D - ４．设|a|＝1，|b|＝2，且a 、b 夹角120°，则|2a ＋b|等于（）

2 .A

4 .B

21 .C

32 .D

５．已知△ABC 的顶点坐标为A （3，4），B （－2，－1），C （4，5），D 在BC 上，且ABD ABC S 3S ??=，则AD 的长为（）

2 .A 22 .B 2

3 .C 227

6．已知a ＝（2，1），b ＝（3，λ），若（2a －b ）⊥b ，则λ的值为（）

A ．3

B ．－1

C ．－1或3

D ．－3或1

７．向量a ＝（1，－2），|b|＝4|a|，且a 、b 共线，则b 可能是（）

A ．（4，8）

B ．（－4，8）

C ．（－4，－8）

D ．（8，4）

8．已知△ABC 中，

5b ,3a ，415

S ,0b a ,b AC ,a AB ABC ===

--→

--，则a 与b 的夹角为（）

A ．30°

B ．－150°

C ．150°

D ．30°或150°

()

b 则a 5,b 4,a ,32041b a 若 9.=?==-=- 310 .A 310 .B - 210 .C 10 .D

10．将函数y ＝f （x ）的图象先向右平移a 个单位，然后向下平移b 个单位（a ＞0，b ＞0）．设点P （a ，b ）

在y ＝f （x ）的图象上，那么P 点移动到点（）

A ．（2a ，0）

B ．（2a ，2b ）

C ．（0，2b ）

D ．（0，0）

()

所得的比是BP 则A分,43

所成的比为AB 若点P分 11.→--→

73 .A 37 .B

37 .C - 73 .D - ()()() 的取值范围是b a b

a 那么,2,3x

b ,x,1已知a 12.2

2+?==

(]2,2 .A ∞ ????????420, .B ??

????-42,42 .C []

+∞,22 .D 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

13．向量a ＝（2k ＋3,3k ＋2）与b ＝（3，k ）共线，则k ＝___________．

()_.

__________向量，则k的值为__且a与b为互相平行的,k,8b ,k ,29已知a 14.=???

??=

15．向量a ＝（1，1），且a 与（a ＋2b ）的方向相同，则a·b 的取值范围是________．

.___________BC ,12AC ,8AB .16取值范围用区间表示为则→

--→

--==

三、解答题（本大题共6小题，共74分） 17．（本小题满分12分）

设O 为原点，()()→

--→

--→--→

--→

--⊥-==OA //BC ,OB OC ,2,1OB ,1,3OA ，试求满足→--→--→--=+OC OA OD 的→

--OD 的坐标． 18．（本小题满分12分）

设1e 和2e 是两个单位向量，夹角是60°，试求向量21e e 2a +=和21e 2e 3b +-=的夹角． 19．（本小题满分12分）

已知→

--→--→

--==AC ,2.4BC ,6.5AC 与→--AB 的夹角为40°，求→--→---BC AC 与→

--CB 的夹角

|AC BC |→

--→---（长度保留四位有效数字，角度精确到′）．

一、1．C 2．C 3．B 4．A 5．C 6．C 7．B 8．C 9．A 10．A 11．C 12．C

()[]4,20 16. 1, 15. 6 14. 221

二、13.+∞-±±

()()1y 3,x OA OD OC 则,y x,OD 设:解三、17.++=+==→

--→

--():OB OC 1y ,4x OB OC BC 得由→

--→

--⊥-+=-=

()()①

012y 即x 0,1y 23x =+-=+++-()()②

073y 即x 0,4x 1y 得3,OA //BC 由 =+-=+--→

--→

--().11,6坐标为OD 即6,y 11,解得x ②联立,由①,→

--== 2121e 2e 3b ,e e 2a : .18+-=+=解

,72111414 e e 4e e 4a 212

2=?

??++=?++=∴

.721

111249 e e 12e 4e 9b 2

2=???-+=?-+=

()(),2

72216 e 2e e e 6e 2e 3e e 2b a 2

212

12121-=++

-=+?+-+-?+=? .217

727

b a b a cos -=-

=?=θ∴ 故θ＝120°． ,40sin 2

.4B sin 6.5,A

sin BC B

sin AC : .19?==

→

--→

--得

由正弦定理

解.875.02.440sin 6.5B sin =??=

.121,B ,CB BC AC ,59B ?-?=∴→

--→--→

--即角之补角为夹角与因为,815940180C ?=?-?-?= .

453.6 81cos 2.46.522.46.5 C cos BC AC 2BC AC AB 2222=???-+=??-+=∴→

三角函数题解

1.（2003上海春，15）把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2

个单位，再沿y 轴向下平移1个

单位，得到的曲线方程是（）

A.（1－y ）sin x +2y －3=0

B.（y －1）sin x +2y －3=0

C.（y +1）sin x +2y +1=0

D.－(y +1)sin x +2y +1=0

1.答案：C 解析：将原方程整理为：y =

x cos 21+，因为要将原曲线向右、向下分别移动2

个单位和

1个单位，因此可得y =

cos(21π

-+x －1为所求方程.整理得（y +1）sin x +2y +1=0.

评述：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式.如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y +1）cos （x －

）+2（y +1）－1=0，即得C 选项.

2.（2002春北京、安徽，5）若角α满足条件sin2α＜0，cos α－sin α＜0，则α在（） A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

2.答案：B 解析：sin2α＝2sin αcos α＜0 ∴sin αcos α＜0 即sin α与cos α异号，∴α在二、四象限，又cos α－sin α＜0 ∴cos α＜sin α由图4—5，满足题意的角α应在第二象限

3.（2002上海春，14）在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（）

A.等腰直角三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等边三角形

3.答案：C 解析：2sin A cos B ＝sin （A ＋B ）＋sin （A －B ）又∵2sin A cos B ＝sin C ， ∴sin （A －B ）＝0，∴A ＝B

4.（2002京皖春文，9）函数y =2sin x

的单调增区间是（）

A.［2k π－

π，2k π＋

π］（k ∈Z ） B.［2k π＋

，2k π＋

3π］（k ∈Z ） C.［2k π－π，2k π］（k ∈Z ） D.［2k π，2k π＋π］（k ∈Z ） 4.答案：A 解析：函数y =2x

为增函数，因此求函数y =2

sin x

的单调增区间即求函数y =sin x 的单调增区间.

5.（2002全国文5，理4）在（0，2π）内，使sin x ＞cos x 成立的x 取值范围为（） A.（

，

π）∪（π，

5π） B.（

π，π）

C.（

4π，4

5π）

D.（

4π，π）∪（45π，2

3π

）

图4—5

5.答案：C 解法一：作出在（0，2π

）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标4

π和

5π，由图4—6可得C 答案.

图4—6 图4—7

解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C.（如图4—7）

6.（2002北京，11）已知f （x ）是定义在（0，3）上的函数，f （x ）的图象如图4—1所示，那么不等式f （x ）cos x ＜0的解集是（）

A.（0，1）∪（2，3）

B.（1，

π）∪（

π，3）

C.（0，1）∪（2

π，3） D.（0，1）∪（1，3）

6.答案：C

解析：解不等式f （x ）cos x ＜0???

??<<>?300cos 0)(300cos 0)(x x x f x x x f 或

∴??

?<<<

??<<<<10102

1x x x x 或ππ ∴0＜x ＜1或2π＜x ＜3 7.（2002北京理，3）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（

，π）上为减函数的是（） =cos 2

x ＝2|sin x | ＝(

1)cos x

=－cot x

7.答案：B

解析：A 项：y =cos 2

x =

22cos 1x +，x =π，但在区间（2

，π）上为增函数. 图4—1

图4—8

B 项：作其图象4—8，由图象可得T =π且在区间（

π，π）上为减函数.

C 项：函数y =cos x 在(2

π，π)区间上为减函数,数y =（

31）x 为减函数.因此y =（31）cos x 在（2

，π）区间上为增函数.

D 项：函数y ＝－cot x 在区间（

，π）上为增函数.

8.（2002上海，15）函数y =x +sin|x |，x ∈［－π，π］的大致图象是（）

8.答案：C 解析：由奇偶性定义可知函数y =x +sin|x |，x ∈［－π，π］为非奇非偶函数. 选项A 、D 为奇函数，B 为偶函数，C 为非奇非偶函数.

9.（2001春季北京、安徽，8）若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P （cos B －sin A ，sin B －cos A ）在（）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

9.答案：B 解析：∵A 、B 是锐角三角形的两个内角，∴A ＋B ＞90°， ∴B ＞90°－A ，∴cos B ＜sin A ，sin B ＞cos A ，故选B. 10.（2001全国文，1）tan300°+cot405°的值是（）＋

－

C.－1－

D.－1＋

B 解析：tan300°＋cot405°＝tan(360°－60°)＋cot(360°＋45°)＝－tan60°＋cot45°＝1－

11.（2000全国，4）已知sin α＞sin β，那么下列命题成立的是（）

A.若α、β是第一象限角，则cos α＞cos β

B.若α、β是第二象限角，则tan α＞tan β

C.若α、β是第三象限角，则cos α＞cos β

D.若α、β是第四象限角，则tan α＞tan β 11.答案：D

解析：因为在第一、三象限内正弦函数与余弦函数的增减性相反，所以可排除A 、C ，在第二象限内正

弦函数与正切函数的增减性也相反，所以排除B.只有在第四象限内，正弦函数与正切函数的增减性相同.

12.（2000全国，5）函数y ＝－x cos x 的部分图象是（）

12.答案：D 解析：因为函数y ＝－x cos x 是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A 、C ，当

x ∈（0，

π）时，y ＝－x cos x ＜0.

13.（1999全国，4）函数f （x ）=M sin （ωx ＋?）（ω＞0），在区间［a ，b ］上是增函数，且f （a ）=－M ，f （b ）=M ，则函数g （x ）=M cos （ωx ＋?）在［a ，b ］上（）

A.是增函数

B.是减函数

C.可以取得最大值－m

D.可以取得最小值－m

13.答案：C 解法一：由已知得M ＞0，－

＋2k π≤ωx ＋?≤

π＋2k π（k ∈Z ），故有g （x ）在［a ，

b ］上不是增函数，也不是减函数，且当ωx ＋?＝2k π时g （x ）可取到最大值M ，答案为C.

解法二：由题意知，可令ω＝1，?＝0，区间［a ，b ］为［－

，2

π］，M ＝1，则

g （x ）为cos x ，由基本余弦函数的性质得答案为C.

评述：本题主要考查函数y =A sin （ωx ＋?）的性质，兼考分析思维能力.要求对基本函数的性质能熟练运用（正用逆用）；解法二取特殊值可降低难度，简化命题.

14.（1999全国，11）若sin α＞tan α＞cot α（－

＜α＜

)，则α∈（） A.（－

π，－

π） B.（－

π，0） C.（0，

π）

D.（

π，

π）

14.答案：B 解法一：取α＝±

π，±

π代入求出sin α、tan α、cot α之值，易知α＝－

π适合，

又只有－

π∈（－

π，0），故答案为B.

解法二：先由sin α＞tan α得：α∈（－

2π

，0），再由tan α＞cot α得:α∈（－

，0）

评述：本题主要考查基本的三角函数的性质及相互关系，1995年、1997年曾出现此类题型，运用特殊值法求解较好.

15.（1999全国文、理，5）若f （x ）sin x 是周期为π的奇函数，则f （x ）可以是（）

15.答案：B

解析：取f （x ）=cos x ，则f （x ）·sin x =

sin2x 为奇函数，且T =π. 评述：本题主要考查三角函数的奇偶与倍角公式.

16.（1998全国，6）已知点P （sin α－cos α，tan α）在第一象限，则在［0，2π］内α的取值范围是（）

A.（

π，43π）∪（π，4

5π）

B.（

4π

，2π）∪（π，4

5π

）

C.（

2π，

43π）∪（45π，23π） D.（4π，2

π）∪（43π，π） 16.答案：B 解法一：P （sin α－cos α，tan α）在第一象限，有tan α＞0， A 、C 、D 中都存在使tan α＜0的α，故答案为B.

解法二：取α＝

∈（

,4ππ），验证知P 在第一象限，排除A 、C ，取α＝

65π∈（

3π

，π），则P 点不在第一象限，排除D,选B. 解法三：画出单位圆如图4—10使sin α－cos α＞0是图中阴影部分，又tan α＞0可得

απ

<或π＜α＜

5π

，故选B. 评述：本题主要考查三角函数基础知识的灵活运用，突出考查了转化思想和转化方法的选择，采用排除法不失为一个好办法.

17.（1997全国，3）函数y =tan （

21-x π）在一个周期内的图象是（）

17.答案：A 解析：y ＝tan （

3121-x π）＝tan 2

（x －32π），显然函数周期为T ＝2π，且x ＝32π时，

y =0，故选A. 评述：本题主要考查正切函数性质及图象变换，抓住周期和特值点是快速解题的关键.

18.（1996全国）若sin 2

x >cos 2

x ，则x 的取值范围是（）

A.{x |2k π－43π

B.{x |2k π+4

C.{x |k π－

4π

，k ∈Z } D.{x |k π+

π，k ∈Z }

18.答案：D 解析一：由已知可得cos2x =cos 2

x －sin 2

x <0，所以2k π+

<2x <2k π+

π，k ∈Z .解得k π+

解析二：由sin 2

x >cos 2

x 得sin 2

x >1－sin 2

x ，sin 2

x >

.因此有sin x >22或sin x <－22.由正弦函数

的图象（或单位圆）得2k π+

47π可写作（2k +1）π+

4π

43π，2k 为偶数，2k +1为奇数，不等式的解可以写作n π+

3π

，n ∈Z . 评述：本题考查三角函数的图象和基本性质，应注意三角公式的逆向使用. 19.（1995全国文，7）使sin x ≤cos x 成立的x 的一个变化区间是（） A.［－

43π，4π］ B.［－2π，2π］ C.［－4

π，43π］ D.［0，π］ 19.答案：Ass 解法一：由已知得：

2 sin （x －

）≤0，所以2k π＋π≤x －

π≤2k π＋2π，2k π＋

5π≤x ≤2k π＋49π，令k =－1得－43π≤x ≤4

，选A.

解法二：取x ＝32π，有sin 2

132cos ,2332-==ππ，排除C 、

D ，取x ＝

，有sin

π＝

3cos ,23=π，排除B ，故选A. 图4—11

解法三：设y ＝sin x ，y ＝cos x .在同一坐标系中作出两函数图象如图4—11，观察知答案为A. 解法四：画出单位圆，如图4—12，若sin x ≤cos x ，显然应是图中阴影部分，故应选A.

评述：本题主要考查正弦函数、余弦函数的性质和图象，属基本求范围题，入手容易，方法较灵活，排除、数形结合皆可运用.

20.（1995全国，3）函数y ＝4sin （3x ＋

π）＋3cos （3x ＋

π）的最小正周期是（） π

π C.32π D.3

20.答案：C

解析：y ＝4sin （3x ＋

π）＋3cos （3x ＋

π）＝5［

54sin （3x ＋4π）＋53cos （3x ＋4

π）］＝5sin （3x ＋

＋?）（其中tan ?＝

43）所以函数y ＝sin （3x ＋4π）＋3cos （3x ＋4

）的最小正周期是T ＝32π. 故应选C.评述：本题考查了a sin α＋b cos α＝

22b a +sin （α＋?），其中sin ?＝

a b +，

cos ?＝

a a +，及正弦函数的周期性.

21.（1995全国，9）已知θ是第三象限角，若sin 4θ＋cos 4

θ＝

，那么sin2θ等于（） A.

2 B.－

2 C.

D.－

32 21.答案：A 解法一：将原式配方得（sin 2θ＋cos 2

θ）2

－2sin 2θcos 2

θ＝

5 于是1－

21sin 22θ＝95，sin 2

2θ＝9

8，由已知，θ在第三象限，故2k π＋π＜θ＜2k π＋

3π

从而4k π＋2π＜2θ＜4k π＋3π 故2θ在第一、二象限，所以sin2θ＝

2，故应选A.

外接球半径常见的求法

多面体外接球半径常见求法知识回顾：定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。球心到截面的距离d 与球半径R 及截面的半径r 有以下关系：．球面被经过球心的平面截得的圆叫．被不经过球心的平面截得的圆叫球的表面积表面积S ＝；球的体积V ＝．球与棱柱的组合体问题 1．正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为a ，球半径为R 。如图3，截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2 a R =； 2．与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 2 2=。 3．正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 2 31==。一、公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 98 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 小结本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 图3 图4 图5

二、多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 三、补形法例3 ，则其外接球的表面积是 . 小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2R = 变式1：三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥O ABC -外接球的表面积为（） A ．26a π B ．29a π C ．212a π D ．2 24a π 四、寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥S ABCD - S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 . 而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习. 变式1：求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积 C D A B S O 1图3

高中数学空间几何体的内切球与外接球问题

空间几何体的内切球与外接球问题 1．[2016·全国卷Ⅱ] 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A ．12π B.32 3 π C ．8π D ．4π [解析]A 因为正方体的体积为8，所以正方体的体对角线长为23，所以正方体的外接球的半径为3，所以球的表面积为4π·(3)2＝12π. 2．[2016·全国卷Ⅲ] 在封闭的直三棱柱ABC - A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( ) A ．4π B.9π2 C ．6π D.32π 3 [解析]B 当球与三侧面相切时，设球的半径为r 1，∵AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，∴8－r 1＋6－r 1＝10，解得r 1＝2，不合题意；当球与直三棱柱的上、下底面相切时，设球的半径为r 2，则2r 2＝3，即r 2＝32.∴球的最大半径为32，故V 的最大值为43π×????323＝92 π. 3.[2016·郑州模拟] 在平行四边形ABCD 中，∠CBA ＝120°，AD ＝4，对角线BD ＝23，将其沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一球面上，则该球的体积为________．答案：2053 π；解析：因为∠CBA ＝120°，所以∠DAB ＝60°，在三角形ABD 中，由余弦定理得(23)2＝42＋AB 2－2×4·AB ·cos 60°，解得AB ＝2，所以AB ⊥BD .折起后平面ABD ⊥平面BCD ，即有AB ⊥平面BCD ，如图所示，可知A ，B ，C ，D 可看作一个长方体中的四个顶点，长方体的体对角线AC 就是四面体ABCD 外接球的直径，易知AC ＝22＋42＝25，所以球的体积为205 3 π. 4.[2016·山西右玉一中模拟] 球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S-ABC 的体积的最大值为( ) A . 3 3 B . 3 C ．2 3 D ．4 选A ；[解析] (1)由于平面SAB ⊥平面ABC ，所以点S 在平面ABC 上的射影H 落在AB 上，根据球的对称性可知，当S 在“最高点”，即H 为AB 的中点时，SH 最大，此时棱锥S -ABC 的体积最大．因为△ABC 是边长为2的正三角形，所以球的半径r ＝OC ＝23CH ＝23×32×2＝23 3 . 在Rt △SHO 中，OH ＝12OC ＝3 3 ，

多面体外接球半径常见的5种求法

多面体外接球半径常见的5种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 多面体几何性质法例1 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 解设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =. ∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法例2 ，则其外接球的表面积是 . 解正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球. 设其外接球的半径为R ，则有( ) 2 2 2 2 29R =++=.∴294 R = . 故其外接球的表面积249S R ππ==. 小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2R = 寻求轴截面圆半径法例3 正四棱锥S ABCD - S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 . 解设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图1所示.∴ 由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面. 又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上. ∴ASC ?的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径. 在ASC ? 中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=. ∴ASC AC ??是以为斜边的Rt . ∴ 12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43 V π =球. 小结根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆， C D A B S O 1图3

四面体外接球的球心、半径求法

四面体外接球的球心、半径求法在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点，对于学生来说这是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手，不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为 2 2 2 c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2 2 22c b a R ++= 【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为AE 的长即：22224AD AC AB R ++= 1663142 2 22=++=R 所以2=R 球的表面积为ππ1642==R S 二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。 A C D B E

【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ， 5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22 210517=+ 所以知222PC PA AC += 所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为：在ABC Rt ?中斜边为AC 在PAC Rt ?中斜边为AC 取斜边的中点O ，在ABC Rt ?中OC OB OA == 在PAC Rt ?中OC OB OP == 所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心 52 1 == AC R 所以该外接球的体积为3 500343π π==R V 【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，?=∠120BAC ， 2===AC AD AB ，求该棱锥的外接球半径。解：由已知建立空间直角坐标系 )000(，， A )002(，， B )200(，，D 由平面知识得 )031(，，-C O A B C P A B C D z x y

2021年多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法

多面体外接球、内切球半径常见的 5种求法欧阳光明（2021.03.07）如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98 ，底面周长为３，则这个球的体积为. 解设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,296,84x x x h h =??=??∴??=???=?? ∴正六棱柱的底面圆的半径12r = ，球心到底面的距离d =. ∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球

的半径的常用公式. 多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 解设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =. ∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是 2424R ππ=.选C. 小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法例3 ，则其外接球的表面积是. 解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球. 设其外接球的半径为R ，则有()222 229R =++=.∴294 R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==. 小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长

数学研究课题---空间几何体的外接球与内切球问题.

高中数学课题研究几何体与球切、接的问题纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一.高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识学生掌握较为薄弱、认识较为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理. 下面结合近几年高考题对球与几何体的切接问题作深入的探究,以便更好地把握高考命题的趋势和高考的命题思路,力争在这部分内容不失分.从近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见. 首先明确定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球. 1 球与柱体的切接规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1 球与正方体如图所示，正方体1111ABCD A B C D -，设正方体的棱长为a ，,,,E F H G 为棱的中点，O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH 和其内切圆，则2a OJ r ==；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH 和其外接圆，则GO R a ==；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11ACA C 和其外接圆，则12 A O R a '==.通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.

多面体外接球半径常见的几种求法

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多面体外接球半径常见的几种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题,是立体几何的一个重点,也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识,并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为9 8 ，底面周长为３,则这个球的体积为 . 解设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ,则有 263,1,2936,38 4x x x h h =?? =?? ∴?? =???=??． ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =,球心到底面的距离3 2 d =．∴外接球的半径221R r d =+=.43 V π ∴= 球．小结本题是运用公式222R r d =+求球的半径的,该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16，则这个球的表面积是 A ．16π B.20π C.24π Ｄ.32π

解设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ,则有 2416x =,解得2x =. ∴222222426,6R R =++=∴= .∴这个球的表面积是 2424R ππ=.选C. 小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为3,则其外接球的表面积是 . 解据题意可知,该三棱锥的三条侧棱两两垂直,∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球. 设其外接球的半径为R ，则有()()()()2 2 2 2 23339R =++=.∴ 294 R = . 故其外接球的表面积249S R ππ==. 小结一般地,若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为a b c 、、,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为 R ，则有2222R a b c =++.

多面体外接球半径常见的5种求法(汇编)

精品文档多面体外接球半径常见的5种求法文/郭军平如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,296,8 4x x x h h =??=??∴??=???=?? ∴正六棱柱的底面圆的半径12 r = ，球心到底面的距离2d =. ∴外接球的半径1R ==.43 V π∴=球. 小结本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 解设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =. ∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，则其外接球的表面积是 . 解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直， ∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为. 设其外接球的半径为R ，则有( ) 222229R = ++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==. 小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就

多面体外接球半径内切球半径常见几种求法

多面体外接球、内切球半径常见的5种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,296,84x x x h h =??=??∴??=???=?? ∴正六棱柱的底面圆的半径12r = ，球心到底面的距离2 d =. ∴外接球的半径1R ==.43 V π∴=球. 小结本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 解设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =. ∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法例3 若三棱锥的三个侧棱两两垂直，则其外接球的表面积是 . 解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直， ∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为. 设其外接球的半径为R ，则有( ) 222229R = ++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==. 小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2R =

空间几何体的外接球

空间几何体的外接球类型一：长方体模型一（三条线两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径） c a b C P A B a b c 图2 P C B A a b c 图3 C B P A a b c P C O 2 B A 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2 2 2 2 )2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32 （2）若三棱锥ABC S -的三条侧棱两两垂直，且2=SA ，4==SC SB ，则该三棱锥的外接球半径为（） A.3 B.6 C.36 D.9 （3）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是（4）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱23SA =,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为 1的正方形，则该几何体外接球的体积为长方体模型二：（一条直线垂直于一个平面） 1．题设：如图5，⊥PA 平面ABC 解题步骤：第一步：将ABC ?画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ；第二步：1O 为ABC ?的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半径r D O =1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得 r C c B b A a 2sin sin sin ===），PA OO 211=；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①2 22)2()2(r PA R +=?22)2(2r PA R += ； ②2 12 2OO r R +=?2 12OO r R += 图5 A D P O 1O C B

多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法

多面体外接球、内切球半径常见的5种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9，底面周长为3,则这个球的体积为 8 T 6x=3,T 1 I ' I x =— 解设正六棱柱的底面边长为x，咼为h，则有丿9 V3 2 2’ _=6汉——xh, 石 8 4 小一x/3 ???正六棱柱的底面圆的半径r =-，球心到底面的距离d二上3.二外接球的半径 2 2 R=、r2d2「=1. . V球二—. 3 小结本题是运用公式R2-r2 d2求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是 A. 16二 B. 20 二 C. 24 二 D. 32 二解设正四棱柱的底面边长为x ,外接球的半径为R，则有4x2 = 16，解得x = 2. 二2R = J22+22+42=2屈,二R = T6. ???这个球的表面积是4兀R2=24兀.选C. 小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法例3若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为.3，则其外接球的表面积是. 解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，I把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球设其外接球的半径为R，则有（2R f =（応行（亦丫+（73$ =9.二R2=9. 4 故其外接球的表面积S =4二R2=9二. 小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为 a b、c，则就

几何体外接球常用结论及方法(如何求几何体的外接球半径)

几何体外接球常用结论及方法（如何求几何体的外接球半径）一、在涉及球的问题中，经常用到结论：（1）在三棱锥P ABC -中，PA PB ⊥，PA PC ⊥，PB PC ⊥，则该三棱锥外接球半径 2R = （2倍．（3）直角三角形的三角形外接圆的半径等于斜边的一半．（4）一般的三角形ABC 可由正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C ===（R 为外接圆半径）求得外接圆半径，内切圆的半径通过：12 S C r =?多边形多边形的周长（r 为内切圆的半径）求得．（5）已知三棱锥P ABC -，PA ⊥面ABC ，若PA a =，ABC △的外接圆半径为r ，则该三棱锥 P ABC -的外接球半径为()()22222R r a =+．（6）正方体的外接球、内切球、棱切球的直径分别为正方体的体对角线长2R =、棱长2R a =、面对角线长2R =．（7）在四面体P ABC -，若90APC ∠=?，90ABC ∠=?，则四面体P ABC -的外接球的直径是 AC ．（8）对于正棱锥的外接球的半径计算，也可借用几何法求出.如针对正三棱锥V ABC -，可根据平面几何中射影定理22VA VO VH Rh '=?=（h 为正三棱锥的高，VA 为侧棱长，即正棱锥侧棱长的平方等于正棱锥的高与外接球直径的乘积．（9）正四面体的高、外接球的半径与内切球的半径之间关系： ①高：a h 36=；②球心把高分成3：1；③内切球半径：a 126；外接球半径：a 4 6. （10）有内切球的多面体的内切球的半径计算方法：13V S r =全．（11）三棱锥的两个侧面互相垂直，已知两个相互垂直的面的外接圆半径的长及其公共棱的长度的情形：已知三棱锥A BCD -中，面ABD ⊥面BCD ，且ABD ?，BCD ?的外接圆半径分别记为12,r r ，公共棱BD a =，则该三棱锥的外接球半径满足：()()()222 212222R r r a =+- 证明：分别在ABD ?，BCD ?所在的圆面上调整这两个三角形的开关，如图

高中数学的八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球

八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）图2 图3 图4 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2 2 2 2 )2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32 （2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 π9 解：（1）162 ==h a V ，2=a ，24164442 2 2 2 =++=++=h a a R ，π24=S ，选C ；（2 ）933342 =++=R ，ππ942 ==R S （3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是。π36 解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：如图（3）-1，取BC AB ,的中点E D ,，连接CD AE ,，CD AE ,交于H ，连接SH ，则H 是底面正三角形ABC 的中心，∴⊥SH 平面ABC ，∴AB SH ⊥， BC AC =，BD AD =，∴AB CD ⊥，∴⊥AB 平面SCD ， ∴SC AB ⊥，同理：SA BC ⊥，SB AC ⊥，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3）-2， MN AM ⊥，MN SB //， ∴SB AM ⊥， SB AC ⊥，∴⊥SB 平面SAC ， ∴SA SB ⊥，SC SB ⊥， SA SB ⊥，SA BC ⊥， ∴⊥SA 平面SBC ，∴SC SA ⊥，故三棱锥ABC S -的三棱条侧棱两两互相垂直， ∴36)32()32()32()2(2222 =++=R ，即3642=R ， ∴正三棱锥ABC S -外接球的表面积是π36 (3)题-1 A (3)题-2 A

四面体外接球的球心半径求法

四面体外接球得球心、半径求法在立体几何中,几何体外接球就是一个常考得知识点,对于学生来说这就是一个难点,一方面图形不会画,另一方面在画出图形得情况下无从下手,不知道球心在什么位置,半径就是多少而无法解题。本文章在给出图形得情况下解决球心位置、半径大小得问题、一、出现“墙角”结构利用补形知识,联系长方体。【原理】:长方体中从一个顶点出发得三条棱长分别为,则体对角线长为,几何体得外接球直径为体对角线长即【例题】:在四面体中,共顶点得三条棱两两垂直,其长度分别为,若该四面体得四个顶点在一个球面上,求这个球得表面积。解: 因为:长方体外接球得直径为长方体得体对角线长所以:四面体外接球得直径为得长即: 所以球得表面积为二、出现两个垂直关系,利用直角三角形结论。【原理】:直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。【例题】:已知三棱锥得四个顶点都在球得球面上,且,,,,求球得体积。解:且,,,, 因为所以知所以所以可得图形为: 在中斜边为在中斜边为取斜边得中点, 在中在中所以在几何体中,即为该四面体得外接球得球心 A C

所以该外接球得体积为【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外得两个点连线、三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系,利用向量知识求解? 【例题】:已知在三棱锥中,,,,求该棱锥得外接球半径、解:由已知建立空间直角坐标系解得所以半径为【结论】:空间两点间距离公式: 四、四面体就是正四面体处理球得“内切”“外接"问题与球有关得组合体问题,一种就是内切,一种就是外接。作为这种特殊得位置关系在高考中也就是考查得重点,但同学们又因缺乏较强得空间想象能力而感到模糊。解决这类题目时要认真分析图形,明确切点与接点得位置及球心得位置,画好截面图就是关键,可使这类问题迎刃而解。一、棱锥得内切、外接球问题例1.正四面体得外接球与内切球得半径就是多少？分析:运用正四面体得二心合一性质,作出截面图,通过点、线、面关系解之。解:如图1所示,设点就是内切球得球心,正四面体棱长为.由图形得对称性知,点也就是外接球得球心.设内切球半径为,外接球半径为. 正四面体得表面积、正四面体得体积 , 在中,,即,得,得【点评】由于正四面体本身得对称性可知,内切球与外接球得两个球心就是重合得,为正四面体高得四等分点,即内切球得半径为 ( 为正四面体得高),且外接球得半径,从而可以通过截面图中建立棱长与半径之间得关系。例２。设棱锥得底面就是正方形,且,,如果得面积为1,试求能够放入这个图1 棱锥得最大球得半径. 解:平面, 图2

简单几何体外接球半径的求法及答案

简单几何体外接球半径的求法一、补成正方体或长方体型有三维垂直的条件或者正四面体或者三对相对棱分别相等的三棱锥。练习：1、三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，长度 2，则其外接球半径为。分别为3，5，2 2，则其外接球表面积为。 2、正四面体棱长为2 3、已知三棱锥A-BCD的三对相对棱分别长为5 , 13， 10 , 则其外接球表面积为。二、补成圆柱型底面有外接圆的直棱柱都可以补成圆柱求外接球半径。练习：1、三棱锥P-ABC中，PA垂直于底面ABC， 120，PA=3， AB=BC=2，∠B=0 其外接球表面积为。 2、三棱锥P-ABC中，PC垂直于底面ABC，

AB=3，BC=23，∠B=060，其外接球表面积为π28，则PC=。三、正棱锥型外接球球心在正棱锥高所在直线上，在直角三角形中求解。练习：1、如图，正三棱锥A-BCD 底面边长BC=6，高AH=8，则其外接球表面积为。 2、正四棱锥底面边长为4，侧棱长为112 ，则其外接球表面积为。四、面面垂直型找出互相垂直的这两个面的外心21,O O ，分别过21,O O 作所在平面的垂线21,l l ，21,l l 的交点即为外接球的球心。在直角三角形中求外接球的半径。练习：1、三棱锥P-ABC 中，面PBC 垂直于面ABC ， ABC Δ和PBC Δ都是边长为6的正三角形，则其外接球半径为。

2、三棱锥P-ABC 中，面PBC 垂直于面ABC ， ABC Δ是斜边为BC 的直角三角形，PBC Δ是边长为6的正三角形，则其外接球半径为。 3、三棱锥P-ABC 中，面PBC 垂直于面ABC ， ABC Δ是斜边为AB 的直角三角形，AC=4，PBC Δ是边长为6的正三角形，则其外接球半径为。 4、四棱锥P-ABCD 中，面PBC 垂直于面ABCD ，其中PBC Δ都是边长为6的正三角形，底面ABCD 是矩形， AB=8，则其外接球半径为。

几何体外接球精美课件

αR P d r O O'第二讲几何体的外接球和内切球问题 ※基础知识： 1．常见平面图形：正方形，长方形，正三角形的外接圆和内切圆长方形（正方形）的外接圆半径为对角线长的一半，正方形的内切圆半径为边长的一半；正三角形的内切圆半径：36a 外接圆半径：33a 三角形面积：234 a 正三角形三心合一，三线合一，心把高分为2:1两部分。 2．球的概念：概念1：与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球.，定长叫球的半径；与定点距离等于定长的点的集合叫做球面.一个球或球面用表示它的球心的字母表示，例如球O 或O e ．概念2：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球。 3．球的截面：用一平面α去截一个球O ，设OO '是平面α的垂线段，O '为垂足，且 OO d '=，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以22r R d =-为半径的一个圆，截面是一个圆面. 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆. 4．空间几何体外接球、内切球的概念：定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多

面体，这个球是这个多面体的内切球。长方体的外接球正方体的内切球 5．外接球和内切球性质：（1）内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。（2）正多面体的内切球和外接球的球心重合。（3）正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。（4）基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。（5）体积分割是求内切球半径的通用做法。 6．公式：球的表面积公式：24S R π=；球的体积公式：343 V R π= 长方体的外接球半径公式：2 2 22c b a R ++=，其中,,a b c 分别为长方体共顶点的3条棱长正棱锥的外接球半径公式：2 ,2a R h = 2侧棱=2R h ?外正棱锥，其中a 为侧棱长，h 为正棱锥的高正棱柱的外接球球心在两底面中心连线的中点处。 ※典型例题：题型一：球的概念例1. （1）已知球的直径为8cm ，那么它的表面积为__________，体积为___________

空间几何体的外接球与内切球(一)

3 3 空间几何体的外接球与内切球（一）第一讲柱体背景的模型类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）侧 1-1 侧 1-2 侧 1-3 侧 1-4 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R )2 = a 2 + b 2 + c 2 ，即2R = ，求出 R 例 1 （ 1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为 4 ，体积为 16 ，则这个球的表面积是（ C ） A ．16 B ． 20 C ． 24 D ． 32 解： V = a 2 h = 16 ， a = 2 ， 4R 2 = a 2 + a 2 + h 2 = 4 + 4 + 16 = 24 ， S = 24 ，选 C ；（2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 9 解： 4R 2 = 3 + 3 + 3 = 9 ， S = 4R 2 = 9；（3）在正三棱锥 S - ABC 中， M 、N 分别是棱 SC 、BC 的中点，且 AM ⊥ MN ,若侧棱 SA = 2 ,则正三棱锥 S - ABC 外接球的表面积是 . 36 S 解：引理：正三棱锥的对棱互相垂直.证明如下：如图（3）-1，取 AB , BC 的中点 D , E ，连接 AE , CD ， AE , CD 交于 H ，连接 SH ，则 H 是底面正三角形 ABC 的中心， ∴ SH ⊥ 平面 ABC ，∴ SH ⊥ AB ， A C D H E B AC = BC ， AD = BD ，∴ CD ⊥ AB ，∴ AB ⊥ 平面 SCD ， ∴ AB ⊥ SC ，同理： BC ⊥ SA ， AC ⊥ SB ，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3）-2， AM ⊥ MN ， SB // MN ， ∴ AM ⊥ SB ， AC ⊥ SB ，∴ SB ⊥ 平面 SAC ， ∴ SB ⊥ SA ， SB ⊥ SC ， SB ⊥ SA ， BC ⊥ SA ， A ∴ SA ⊥ 平面 SBC ，∴ SA ⊥ SC ，故三棱锥 S - ABC 的三棱条侧棱两两互相垂直， (3)侧-1(侧侧侧 S M C N B (3)侧-2侧侧侧侧侧 P c B b a C A P c C b A a B P c C b A a B P c A a b C B a 2 + b 2 + c 2

四面体外接球的球心、半径求法

四面体外接球的球心、半径求法一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为 2 22c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即22 22c b a R ++= 【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为AE 的长即：22224AD AC AB R ++= 1663142 222=++=R 所以2=R 球的表面积为ππ1642==R S 二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22210517=+ 所以知222PC PA AC += 所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为：在ABC Rt ?中斜边为AC 在PAC Rt ?中斜边为AC ，取斜边的中点O ，则OC OB OA ==，OC OB OP == 所以OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心 521==AC R 所以该外接球的体积为3500343ππ==R V 【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。三、四面体是正四面体 A C D B E O A B C P

第62讲几何体外接球的半径的求法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练

【知识要点】求几何体外接球的半径一般有两种方法:模型法和解三角形法. 模型法就是把几何体放在长方体中，使几何体的顶点和长方体的若干个顶点重合，则几何体的外接球.如果已知中有多个垂直关系，可以考虑用此种方法. 解三角形法就是找到球心O 和截面圆的圆心O '，找到OO '、球的半径OA 、截面圆的半径O A '确定的Rt OO A '?,再解Rt OO A '?求出球的半径OA . 【方法讲评】【例1】已知四面体中，，，，平面，则四面体外接球的表面积为__．【点评】(1)本题看起来没有三条直线相交于一点且两两垂直的模型,但是通过推理分析得到了 PA PB PC 、、两两垂直,所以可以采用模型法来求几何体外接球的半径. （2）利用模型法解答时，一定要保证几何体的所有顶点都和长方体的顶点重合，这才能保证几何体的外接球和长方体的外接球是同一个. 【反馈检测1

上，则球的体积为___________. 3 【点评】(1)由于本题的几何体不宜放在长方体模型中,所以用解三角形法解答. （2）利用解三角形法求几何体外接球的半径，先要找到球心O 的位置，要找球心O 的位置，没有固定的规律，要结合几何体的特征，发挥自己的空间想象力分析，本题由于是直三棱柱，所以球心在上下底面外接圆圆心连线的中点，如果是其它的几何体就不是这个位置了. 找到球心O 的位置后，再确定截面圆的圆心1O 位置，再表示出球心O 到截面圆圆心1O 的距离1OO ，这个是难点，要结合几何图形分析.最后是解1Rt OO A ?，求出球的半径R . （2）如果几何体底面是三角形，求截面圆的半径r ，一般利用正弦定理

简单几何体外接球半径的求法及答案

简单几何体外接球半径的求法一、补成正方体或长方体型有三维垂直的条件或者正四面体或者三对相对棱分别相等的三棱锥。练习：1、三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，长度分别为3，5，2 2 ，则其外接球半径为。 2、正四面体棱长为2 2 ，则其外接球表面积为。 3、已知三棱锥A-BCD的三对相对棱分别长为13, 10, 5 ，则其外接球表面积为。二、补成圆柱型底面有外接圆的直棱柱都可以补成圆柱求外接球半径。练习：1、三棱锥P-ABC中，PA垂直于底面ABC，AB=BC=2，∠ B=1200，PA=3，其外接球表面积为。 2、三棱锥P-ABC中，PC垂直于底面ABC，

AB= 3，BC=2 3，∠ B=600，其外接球表面积为28π，则PC=。三、正棱锥型外接球球心在正棱锥高所在直线上，在直角三角形中求解。练习： 1、如图，正三棱锥A-BCD 底面边长BC=6，高AH=8，则其外接球表面积为。 2、正四棱锥底面边长为4，侧棱长为2 11 则其外接球表面积为。四、面面垂直型找出互相垂直的这两个面的外心O1,O2 ，分别过O1,O2 作所在平面的垂线l1, l 2 ，l1 ,l 2的交点即为外接球的球心。在直角三角形中求外接球的半径。练习：1、三棱锥P-ABC中，面PBC垂直于面ABC，ΔABC 和ΔPBC 都是边长为6 的正三角形，则其外接球半径为。

ΔPBC 是边长为6 的2、三棱锥P-ABC中，面PBC垂直于面ABC，ΔABC 是斜边为BC 的直角三角形，正三角形，则其外接球半径为。 ΔABC 是斜边为AB 的直角三角形，AC=4，ΔPBC 是边长3、三棱锥P-ABC中，面PBC垂直于面ABC，为 6 的正三角形，则其外接球半径为。 4、四棱锥P-ABCD中，面PBC垂直于面ABCD，其中ΔPBC 都是边长为6 的正三角形，底面ABCD 是矩形，AB=8，则其外接球半径为。

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