数学专题直线和圆的位置关系
专题 直线和圆的位置关系
目标：理解并能够判断直线和圆的三种位置关系；初步掌握切线的判定、性质及其应用． 【知识点一】直线和圆的三种位置关系 观察图中直线l 与⊙O 有哪些位置关系？
1、⊙O 的直径为4，圆心到直线的l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ） A 、相离 B 、相切 C 、相交 D 、相切或相交
2、已知Rt △ABC 的斜边AB ＝8cm ，BC ＝4cm ．
（1）以点C 为圆心作圆，当半径为
时，直线AB 与⊙C 相切．
（2
）以点C 为圆心，2cm 长为半径作圆，这个圆与直线AB 的位置关系是 ． （3）以点C 为圆心，4cm 长为半径作圆，这个圆与直线AB 的位置关系是 ．
3、⊙O 的半径为r ，圆心到直线l 的距离为d ，若直线l 与圆有公共点，则r 与d 的关系是（ ）
A 、r d >
B 、r d =
C 、r d <
D 、r d ≤
图形
直线与圆的位置关系
公共点
个数
直线
名称
公共点
名称
圆心到直线的距离d 与半径r 的关系
（1）
（2）
（3）
╱
╱
图（1）
图（2）
图（3）
4、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，以C为圆心，r为半径的圆与直线AB相
切，则r＝．
5、⊙O的半径为5，点A在直线l上，若OA=5，则直线l与⊙O的位置关系是（）
A、相离
B、相切
C、相交
D、相切或相交
6、（2013黔东南州）如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°．
（1）先作∠ACB的平分线；设它交AB边于点O，再以点O为圆心，OB为半径作⊙O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）证明：AC是所作⊙O的切线．
【知识点二】切线的判定
如图，经过⊙O上的点A，怎样画出⊙O的切线吗？
切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
7、如图，在△ABC中,∠BCA =90°，以BC为直径的⊙O交AB于点P，Q是AC的中点．判断直线PQ与⊙O的位置关系，并说明理由．
B
P
O
●当直线和圆有公共点时，“连半径，证垂直”（切线的判定定理）；
当直线和圆的公共点不明确时，“作，证”（切线的定义d =r）
8、如图，AB是⊙O的弦，OC⊥OA交AB于点C，过B的直线交OC的延长线于点E，
当CE=BE时，直线BE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由.
9、（2011安徽芜湖）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径,点C为
⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D.
(1) 求证：CD为⊙O的切线；
(2) 若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度.
10、如图，在正方形ABCD中，E是AB边上任意一点，∠ECF=45°，CF交AD于点F，
将△CBE绕点C顺时针旋转到△CDP，点P恰好在AD的延长线上．
（1）求证：EF = PF；
（2）直线EF与以C为圆心，CD为半径的圆相切吗？为什么？
【知识点三】切线的性质 切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径．
11、（2013天津）已知直线l 与⊙O ，AB 是⊙O 的直径，AD ⊥l 于点D .
（Ⅰ）如图①，当直线l 与⊙O 相切于点C 时，若∠DAC ＝30°，求∠BAC 的大小； （Ⅱ）如图②，当直线l 与⊙O 相交于点E 、F 时，若∠DAE ＝18°，求∠BAF 的大小.
12（2011浙江丽水）如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧，点B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ） A ．点(0，3) B ．点(2，3) C ．点(5，1) D ．点(6，1) 13（2011浙江台州）如图，⊙O 的半径为2，点O 到直线l 的距离为3，点P 是直线l 上的一个动点，PB 切⊙O 于点B ，则PB 的最小值是 ．
14（2011浙江温州）如图，O 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，⊙O 边AB ，BC 都相
切，点E ，F 分别在边AD ，DC 上．现将△DEF 沿着EF 对折，折痕EF 与⊙O 相切，此时点D 恰好落在圆心O 处．若DE ＝2，则正方形ABCD 的边长是 ．
（第12题） （第13题） （第14题）
【知识点四】切线长定理
l l D E F B D C
B O
O
A
A
x
y 11
0B C A
?
O A P
如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，
你发现了哪些相等的量？
.
切线长定理
经过圆外一点引圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到这个圆的切线长.
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
15、如图，PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于E，
（1）若PA=4，求△PCD的周长；
（2）若∠P=70°，求∠COD的度数．
16（2011山东威海）如图①，将一个量角器与一张等腰直角三角形（△ABC）纸片放置成轴对称图形，∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D，半圆（量角器）的圆心与点D重合，测得CE＝5cm，将量角器沿DC方向平移2cm，半圆（量角器）恰与△ABC的边AC、BC 相切，如图②，则AB的长为cm.（精确到0.1cm）
图①（第16题）图②
17（2013台湾）如图，圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE与圆O相切于E点。若圆O的半径为5，且AB=11，则DE的长度为何？（）
(A) 5 (B) 6 (C) 30
(D)
11
2
18、如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM于点
D，交BN于点C，
（1）求证：OD∥BE；
（2）如果OD=6cm，OC=8cm，求CD的长．
19（2010广西南宁）如图①，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A,DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CB
CE=．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）连接AE，AE的延长线与BC的延长线交于点G(②所示)．
若2
,5
2=
=AD
AB,求线段BC和EG的长．
图①图②
A D
N
E
B C
O
M
A
B C
D
E
O
【知识点五】三角形的内心
切线的简单应用
如图，请你试一试，怎样在一张三角形的铁皮上面截
一个最大的圆形铁皮？
三角形的内切圆
与三角形三边都相切的圆有且只有一个，这个圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形的三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
三角形的内心到三角形的距离相等.
20、如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F为切点，AB=18cm，BC=20cm，?AC=12cm
求△BMN的周长.
21、如图，⊙O为Rt△ABC的内切圆，点D、E、F为切点，若AD＝6，BD＝4，则△ABC
的面积为.
22（2010甘肃兰州）正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为.
（第21题）（第22题）
?
7题图
F
C
O
E
D
B
A
23（2010江苏泰州）在平面直角坐标系中，直线y kx b
=+（k为常数且k≠0）分别交x 轴、y轴于点A、B，⊙O半径为5个单位长度．
⑴如图甲，若点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，且OA=OB．
①求k的值；
②若b=4，点P为直线y kx b
=+上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，当PC⊥PD时，求点P的坐标．
⑵若
1
2
k=-，直线y kx b
=+将圆周分成两段弧长之比为1∶2，求b的值．（图乙供
选用）