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《空间向量及其运算》习题课

空间向量及其运算习题课

基础再现

1.在空间，把具有_________的量叫做空间向量.空间向量用_________表示，________的长度就表示向量的_________.向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 可以记作_________，其模长为_________.

2._________________的向量称为相等向量.在空间，_________的有向线段表示同一向量或相等向量，因此可以_________.

3.实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个_________，称为向量的数乘运算.当_______时，λa 与a 的方向相同;当_________时，λa 与a 的方向相反.λa 的长度是a 的长度的_________.

4.空间任意两个向量a 、b (b ≠0),a ∥b 的充要条件是存在_________，使_________.

5.__________________向量，叫做共面向量.

6.两个非零向量a 、b ，则_________叫做a 、b 的数量积，记作________,即______________.数量积的运算律为(λa )?b =_________,a ?b =_________(交换律)，a ?(b +c )=a ?b +a ?c (分配律).

7.如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在_______实数组{x ,y ,z }，使得p =_________.

8.如果空间的一个基底的三个基向量_________________,则这个基底叫做单位正交基底.

9.设a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3),则

1°a +b =__________________;

2°a -b =__________________;

3°λa =__________________(λ∈R);

4°a ·b =__________________;

5°a ∥b ___________________________;

6°a ⊥b __________________;

7°|a |=__________________;

2322212322213

32211,cos 8b b b a a a b a b a b a b a ++++++=?(a 1、a 2、a 3、b 1、b 2、b 3不同时为0).

10.若A (x 1,y 1,z 1),B (x 2,y 2,z 2)，则A 、B 两点间的距离d AB =______________________. 答案:1.大小和方向有向线段有向线段模长 AB |a |或||AB

2.方向相同且模长相等同向且等长平移

3.向量 λ>0 λ<0 |λ|倍

4.实数λ a =λb

5.平行于同一平面的

6.|a ||b |c os 〈a , b 〉 a ?b a ?b =|a ||b |c os 〈a , b 〉 λ(a ?b ) b ?a

7.有序 xa +yb +zc

8.互相垂直且长度都为1

9.(a 1+b 1, a 2+b 2, a 3+b 3)

(a 1-b 1, a 2-b 2, a 3-b 3)

(λa 1, λa 2, λa 3)

a 1

b 1+a 2b 2+a 3b 3

a 1=λ

b 1, a 2=λb 2, a 3=λb 3(λ∈R )或3

32211b a b a b a ==(b 1b 2b 3≠0)

a 1

b 1+a 2b 2+a 3b 3=0

32221a a a ++ 10.212212212)()()(z z y y x x -+-+- 典例启示

【例1】已知四边形ABCD 的顶点分别是A (3,-1,2)、B (1,2,-1)、C (-1,1,-3)、D (3,-5,3). 求证:四边形ABCD 是一个梯形.

证明:∵AB =(1,2,-1)-(3,-1,2)=(-2,3,-3),

CD =(3,-5,3)-(-1,1,-3)=(4,-6,6), ∴=(4,-6,6)=-2(-2,3,-3)=-2. ∴与共线. 又由2-=知||2||=， ∴|||≠.

∴AB 与CD 平行,且|AB |≠|CD |.

∴四边形ABCD 为梯形.

启示：利用向量的坐标证线段平行或垂直时,需要把线段“向量化”“坐标化”，通过坐标的运算得出线段的平行或垂直.

【例2】如图，已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面 ABCD 上的射影恰好是正方形的中心O ,Q 是CD 的中点，求下列各题中x 、y 的值：

(1)y x ++=； (2)y x ++=.

解:(1)∵PC PA PQ PC PA PQ PO PQ OQ 2121)(21--=+-

=-=, ∴2

1-==y x . (2)∵2=+,∴-=2.

又∵2=+, ∴PD PQ PC -=2. 从而有PD PQ PO PD PQ PO PA +-=--=22)2(2.

∴x =2,y =-2.

启示：确定PA y PC x PQ OQ ++=中x 、y 的值,需要把用、PC 、PA 表示出来，、的系数就分别为x 、y 的值.

【例3】已知三个非零向量a =pe 1-qe 2,b =re 2-pe 3,c =qe 3-re 1,且p 、q 、r 不全为零,求证：a 、b 、c 共面.

证明:(1)若e 1、e 2、e 3共面，设该平面为α，

∵a =pe 1-qe 2,∴a 、e 1、e 2共面?a ∥α.同理 b ∥α, c ∥α,∴a 、b 、c 共面.

(2)若e 1、e 2、e 3不共面，则ra +qb +pc =r (pe 1-qe 2)+q (re 2-pe 3)+p (qe 3-re 1)=(pr -pr )e 1+(qr -qr )e 2+(pq

-pq )e 3=0.

∵p 、q 、r 不全为零，不妨设r ≠0, 则c r

p b r q a --=,∴a 、b 、c 共面. 综上可知，a 、b 、c 共面.

启示：证明三向量共面的理论是共面向量定理，简记为其中一个向量可用其余两个向量线性表示出来.如(2)c r

p b r q a --=,难点是发现ra +qb +pc =0. 【例4】如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB =2，AF =1，M 是线段EF 的中点.

(1)求证：AM ∥平面BDE ；

(2)求证：AM ⊥平面BDF .

证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC ∩BD =N ，连结NE .

则点N 、E 的坐标分别为(22,2

2,0)、(0,0,1). ∴NE =(22-,2

2-,1).

又点A 、M 的坐标分别是(2,2,0)、(22,2

2,1), ∴AM =(22-,2

2-,1).∴=且NE 与AM 不共线. ∴NE ∥AM .

又∵NE ?平面BDE ，AM ?平面BDE ,

∴AM ∥平面BDE .

(2)同(1)，=(22-,2

2-式,1), ∵D (2,0,0),F (2,2,1), ∴=(0,2,1).∴0=?.∴⊥. 同理⊥.又DF ∩BF =F ，∴AM ⊥平面BDF .

启示：用向量知识证立体几何问题仍需判定(或性质)定理.欲证线面平行只需证线线平行；欲证线面垂直需证线线垂直.

能力提高

1.设A (3,3,1)、B (1,0,5)、C (0,1,0),则AB 的中点M 到C 点的距离为( ) A.453 B.253 C.253 D.2

13 答案:C

2.已知向量a =(x 1,y 1,z 1),b =(x 2,y 2,z 2),若a ≠b ,|a -b |=R,则a -b 与x 轴正向夹角的余弦值为( ) A.R

x x 21- B.R x x 12- C.R x x ||12- D.

R x x )(21-± 解析:a -b =(x 1-x 2, y 1-y 2, z 1-z 2), 取x 轴正向的一个向量为c =(1, 0, 0), 则

x x b a x x c b a 2121||,cos -=---. 答案:A

3.以下四个命题中，正确的是( )

A.若OB OA OP 3

121+=,则P 、A 、B 三点共线 B.若｛a ，b ，c ｝为空间的一个基底，则｛a +b ,b +c ,c +a ｝构成空间的另一个基底

C.|(a ·b )c |=|a |·|b |·|c |

D.△ABC 为直角三角形的充要条件是0=?AC AB

答案:B

4.已知a =(cos α,1,s in α),b =(s in α,1,cos α),则向量a +b 与a -b 的夹角为( ) A.4π B.3π C.2π D.不能确定

解析：∵|a |=|b |,

∴(a +b )?(a -b )=|a |2-|b |2=0.

∴a +b 与a -b 垂直, 夹角为2

π. 答案：C

5.已知空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E 、F 、H 分别为边CD 、AD 和BC 的中点.化简下列各表达式，并标出化简结果的向量.

(1)2

131++; (2))(2

1AD AC AB -+; (3)3

13131++. 解:(1)∵G 是△BCD 的重心, ∴||31||=. ∴=3

1. 又∵EF CA =2

1, ∴由向量加法的三角形法则可知=+=+3

1,=+. 从而AF CA BE AG =++2

131. (2)AH =-=-=-=-+2

1)2(21)(21. (3)∵G 是△BCD 的重心, ∴猜想=++)(31

.事实上,

BE AB BG AB AG 3

=+= )(2132+?+= )]()[(3

1-+-+= )(3

1++=. 6.已知△ABC 的顶点A (1,0,1)、B (2,2,2)、C (0,2,3),试求△ABC 的面积. 解:∵=(2, 2, 2)-(1, 0, 1)=(1, 2, 1),

=(0, 2, 3)-(1, 0, 1)=(-1, 2, 2), ∴?=(1, 2, 1)·(-1, 2, 2)=5,

6||=,3||=.

∴365

,54

29=.

∴2

295429263||||21=?==?AC AB S ABC . 7.已知A (-2,0,6)、B (3,1,12)、C (0,-3,7)、D (5,-2,13),求证:A 、B 、C 、D 四点共面. 证明:=(3, 1, 12)-(-2, 0, 6)=(5, 1, 6),

=(0, -3, 7)-(-2, 0, 6)=(2, -3, 1),

=(5, -2, 13)-(-2, 0, 6)=(7, -2, 7). 由y x +=得(7, -2, 7)=x (5, 1, 6)+y (2, -3, 1).

∴??

???=+-=-=+,76,23,725y x y x y x 解之得x =1, y =1. ∴向量、、共面.

∴A 、B 、C 、D 四点共面.

8.已知M 、N 、P 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱CC 1、BC 、CD 的中点.求证:A 1P ⊥平面DMN .

空间几何体单元测试题

o' x' C A 《空间几何体》单元测试题一．选择题（共10小题，每小题5分） 1、下列命题正确的是（） A 、以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥； B 、以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台； C 、圆柱、圆锥、圆台都有两个底面； D 、圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆半径。 2、圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的表面积为（） A 、π B 、π2 C 、π3 D 、π4 3、关于斜二侧画法，下列说法不正确的是（） A 、原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x ’ 轴，长度不变； B 、原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y ’ 轴，长度变为原来的 2 1； C 、在画与直角坐标系xoy 对应的x ‘o ’y ’时， x ’o ’y ’必须是?45 D 、在画直观图时由于选轴的不同，所得的直观图可能不同。 4、一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为?45，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（） A 、2221+ B 、2 2 1+ C 、21 + D 、22+ 5、如图，甲、乙、丙是三个立方体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（）. ①长方体 ②圆锥 ③三棱锥 ④圆柱 A ．④③② B ． ②①③ C ． ①②③ D ． ③②④ 6、如果两个球的体积之比为8：27，那么这两个球的表面积之比为（） A 、8:27 B 、2:3 C 、4:9 D 、2:9 7如图是长宽高分别为3、2、1在A 处， C '处有一小虫被蜘蛛网粘住，则蜘蛛沿正方体表面从A 点爬到点 C '的最短距离为（） A 、31+ B 、102+ C 、23 D 、32

第一章空间几何体测试卷

第一章空间几何体测试卷一、选择题 1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )．主视图左视图俯视图 (第1题) A ．棱台 B ．棱锥 C ．棱柱 D ．正八面体 2．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )． A ．2＋2 B ． 2 2 1＋ C ． 2 2 ＋2 D ．2＋1 3．棱长都是1的三棱锥的表面积为( )． A ．3 B ．23 C ．33 D ．43 4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )． A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 5．正方体的棱长和外接球的半径之比为( )． A ．3∶1 B ．3∶2 C ．2∶3 D ．3∶3 6．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )． A ． 2 9π B ． 2 7π C ． 2 5π D ． 2 3π 7．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )． A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 8．如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝ 2 3 ，且EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( )． A ． 2 9 B ．5 C ．6 D ． 2 15 9．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误．．的是( )． A ．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形 B ．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同 C ．水平放置的矩形的直观图是平行四边形 D ．水平放置的圆的直观图是椭圆 10．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )． (第10题) 二、填空题 11．一个棱柱至少有______个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱． 12．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是_____________． 13．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，O 是上底面ABCD 的中心，若正方体的棱长为a ，则三棱锥O － (第8题)

空间向量的加减数乘运算练习题集

课时作业(十四) [学业水平层次] 一、选择题 1．对于空间中任意三个向量a ，b,2a －b ，它们一定是( ) A ．共面向量 B ．共线向量 C ．不共面向量 D ．既不共线也不共面向量【解析】由共面向量定理易得答案A. 【答案】 A 2．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD → ＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A 、 B 、D B ．A 、B 、 C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D 【解析】 BD →＝BC →＋CD →＝－5a ＋6b ＋7a －2b ＝2a ＋4b ，BA → ＝－AB →＝－a －2b ，∴BD →＝－2BA →， ∴BD →与BA → 共线，又它们经过同一点B ， ∴A 、B 、D 三点共线．【答案】 A 3．A 、B 、C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC → ，则P 、A 、B 、C 四点( ) A ．不共面 B ．共面

C ．不一定共面 D ．无法判断【解析】 ∵34＋18＋1 8＝1， ∴点P 、A 、B 、C 四点共面．【答案】 B 4. (2014·莱州高二期末)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，用向量AB →，AD →，AA 1→表示向量BD 1→ 的结果为( ) 图3-1-9 ＝AB →－AD →＋AA 1→ ＝AD →＋AA 1→－AB → ＝AB →＋AD →－AA 1→ ＝AB →＋AD →＋AA 1→ 【解析】 BD 1→＝BA →＋AA 1→＋A 1D 1→＝－AB →＋AA 1→＋AD → .故选B. 【答案】 B 二、填空题 5．如图3-1-10，已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD → ＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E 、F ，则EF → ＝________(用向量a ，b ，c 表示)．

必修2-空间几何体测试题及答案

空间几何体测试题一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分） 1.小明在上海世博会参观时，看到一个几何体，它的轴截面一定是圆面，则这个几何体是（） A ．圆柱 B ．圆锥 C ．球 D ．圆台 2.一个正三棱锥和一个正四棱锥，它们的棱长都相等，把这个正三棱锥的一个侧面重合在正四棱锥的一个侧面上，这个组合体可能是（） A ．正五棱锥 B ．斜三棱柱 C ．正三棱柱 D ．直三棱柱 3.四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可能有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4.下列5个命题中：①三角形的直观图是三角形;②平行四边形的直观图是平行四边形;③正方形的直观图是正方形， ④如果一个三角形的平行投影仍是三角形,那么它的中位线的平行投影一定是这个三角形的平行投影的对应的中位线；⑤棱台各侧棱的延长线交于一点，正确的说法有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5.长方体的三个面的面积分别是2,3,6，则长方体的对角线长是（） A ．6 B ．3 C ．23 D ．32 6.若正四棱锥S-ABCD 的三视图中，正视图、侧视图都是腰为3，底边为2的等腰三角形，俯视图是边长为2的正方形，则正四棱锥S-ABCD 的侧面积为（） A.23 B. 43 C. 1 D.2 7.半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（） A. 33R π B. 33R π C . 35R π D.35R π 8 .如图1，一个空间几何体的主视图（正视图）、侧视图是周长为16的一个内角为60°的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为（） A.8π B.12π C.16π D.20π 9.一个圆锥放在一个底面积相等、高也相等的圆柱内，若圆锥与圆柱的体积分别为1V 和2V ，则圆柱除圆锥外的体积与圆锥的体积之比为（） A. 2:3 B. 2:1 C. 1:3 D. 3:1 10．小蚂蚁的家住在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的A 处，小蚂蚁的奶奶家住在C 1处，三条棱长分别是AA 1=1，AB=2，AD=4，小蚂蚁从A 点出发，沿长方体的表面到小蚂蚁奶奶家C 1的最短矩离是（） A ．5 B ．7 C ．29 D ．37 11.图3为图2所示几何体的展开图，则拼成一个棱长为６cm 的正方体如图4，需要这样的几何体（） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个侧视图图1

第一章空间几何体知识点归纳及基础练习

第一章空间几何体一、知识点归纳（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。（2）柱，锥，台，球的结构特征 1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 2.2圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。 3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 3.2圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 4.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球. （二）空间几何体的三视图与直观图 1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。 2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 4.斜二测法：在坐标系'''x o y 中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线段长度减半。 (三)空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积 ①棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 ②圆柱的表面积 ③圆锥的表面积2S rl r ππ=+ ④圆台的表面积22S rl r Rl R ππππ=+++ ⑤球的表面积24S R π= ⑥扇形的面积公式213602n R S lr π==扇形（其中l 表示弧长，r 表示半径） 2、空间几何体的体积 ①柱体的体积 V S h =?底 ②锥体的体积 13 V S h =?底 ③台体的体积 1)3V S S h =+ +?下上（ ④球体的体积343 V R π= 二、巩固练习： 222r rl S ππ+=

空间几何体单元测试卷答案

空间几何体单元测试卷答案一、选择题（每小题5分，共30分） 1. D 2. B 3. C 4. B 5. C 6. C 、填空题（每小题5分，共 20 分) 7. 球 8. R 9. . 2 10. 50cm 2 三、解答题（共3小题，共 50分） 11. 解：（1）设正四棱柱的底面边长为 a ，高为h , 由题意 2a 2 + h 2= 81 ① ............................................................................ 2 分 2a 2 + 4ah = 144 即 a 2 + 2ah = 72 ② ........................ 4 分 ①X 8 —②X 9 得 7a 2— 18ah + 8h 2= 0 即（7a — 4h ）（ a -2h ）= 0, ......... 6 分因此7a — 4h = 0或a = 2h ,由此可见由①②构成方程组有两组满足条件的解，故满足这些条件的正四棱柱有 2个. .................................. 8分（2）由（1）得，正四棱柱的底面边长 a 和高h 满足7a = 4h 或a = 2h , 当7a = 4h 时，代入①可求得 a = 4, h=7;此时正四棱柱的体积为 V=a 2h=42X 7=112(cm 3). 当a = 2h 时，同理可得 r 30 360 … 八当x = cm 时，S 取到最大值 cm 2. ............................................... 16分 7 7 2 3 1 13.解：(1)依题意，可得—r - 108 ① ................................ 3分 3 6 且-r 3 r 2h 108 ② ................... 6分 3 3 r 27 ,.?? r 3 (cm)；代入②可求得 h 10 (cm).…9分（2）若将试管垂直放置，并注水至水面离管口 4cm 处，此时水的体积为 2 3 2 2 2 12分 a = 6, h=3;此时正四棱柱的体积为 V=a 2h=62X 3=108(cm 3). 12.解：如图SAB 是圆锥的轴截面，其中 SO = 12, OB = 5. 设圆锥内接圆柱底面半径为 0Q = 乂，由厶SO 1CSOB , SO 1 _ SO O 1C OB ,SO 1 = SO OB OO 1 = SO — SO 1= 12—玛, 5 则圆柱的表面积 19分 S = S 侧+ 2S 底=2 n x + 2 n x 2 = 2 n 7 2 12x — X 5 由①得 16分

第一章-空间几何体的表面积和体积练习题

空间几何体的表面积和体积练习题题1 一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，则圆锥的高与底面半径之比为( ) A.49 B.94 C.427 D.274 题2 正四棱锥P —ABCD 的五个顶点在同一个球面上，若该正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为6，则此球的体积为________．题3 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A ．2π＋2 3 B ．4π＋2 3 C ．2π＋23 3 D ．4π＋23 3 题4 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2.动点E ，F 在棱A 1B 1上，点Q 是棱CD 的中点，动点P 在棱AD 上．若EF ＝1，DP ＝x ，A 1E ＝y (x ，y 大于零)，则三棱锥P －EFQ 的体积．( ) A ．与x ，y 都有关 B ．与x ，y 都无关 C ．与x 有关，与y 无关 D ．与y 有关，与x 无关

题5 直角梯形的一个底角为45°，下底长为上底长的3 2 ，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的表面积是(5＋2)π，求这个旋转体的体积．题6 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A ．πa 2 B.7 3 πa 2 C.11 3 πa 2 D ．5πa 2 题7 在球心同侧有相距9 cm 的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm 2和400π cm 2，求球的表面积．题8 正四棱台的高为12cm ，两底面的边长分别为2cm 和12cm ．（Ⅰ）求正四棱台的全面积；（Ⅱ）求正四棱台的体积．题9 如图，已知几何体的三视图(单位：cm)．(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积．题10 如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，用截面截下一个棱锥C A DD ''-，求棱锥 C A D D ''-的体积与剩余部分的体积之比．

20182019高中数学第一章空间几何体章末复习课学案新人教A版必修2

第一章空间几何体章末复习课网络构建核心归纳 1．空间几何体的结构特征及其侧面积和体积名称定义图形侧面积体积多面体棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行 S正棱柱侧＝Ch， C为底面的周长，h为高 V＝Sh，S为底面积， h为高棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形 S正棱锥侧＝ 1 2 Ch′， C为底面的周长，h′为斜高 V＝ 1 3 Sh，S为底面积， h为高

棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分 S正棱台侧＝ 1 2 (C＋ C′)h′，C′，C 分别为上、下底面的周长，h′为斜高 V＝ 1 3 (S＋S′＋ SS′)·h，S′，S分别为上、下底面面积， h为高旋转体圆柱以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体 S侧＝2πrh， r为底面半径，h 为高 V＝Sh＝πr2h，S为底面面积，r为底面半径， h为高圆锥以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体 S侧＝πrl， r为底面半径，l 为母线长 V＝ 1 3 Sh＝ 1 3 πr2h，S为底面面积，r为底面半径，h为高旋转体圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分 S侧＝π(r′＋ r)l，r′，r分别为上、下底面半径，l为母线长 V＝ 1 3 (S′＋S′·S ＋S)h＝ 1 3 π(r′2＋ r′·r＋r2)，S′，S 分别为上、下底面面积，r′，r分别为上、下底面半径，h为高球以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的 S球＝4πR2， R为球的半径 V＝ 4 3 πR3，R为球的半径

(完整版)高一数学必修2_第一章空间几何体知识点

第一章空间几何体 1.1 空间几何体的结构 1. 多面体与旋转体：（1）由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面.相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点. （2）由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴. 2. 棱柱：（1）有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面（简称底），其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点. （2）侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱，否则斜棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。（3）棱柱的分类：按底面的多边形的边数分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱等.按侧棱与底面的关系分为直棱柱和斜棱柱。（4）底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体；侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体；底面为矩形的直平行六面体叫长方体；底面为正方形的长方体叫正四棱柱；棱长都相等的正四棱柱叫正方体。（5）棱柱的性质：①两底面是对应边平行的全等多边形；②侧面、对角面都是平行四边形；③侧棱平行且相等；④平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 3. 棱锥：（1）有一个面是多边形，其余各面都是有一公共点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥.棱锥中，这个多边形面叫做棱锥的底面或底，有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱. （2）底面是正多边形，顶点在底面的射影是正多边形的中心的棱锥叫正棱柱。正棱柱顶点与底面中心的连线段叫正棱锥的高；正棱锥侧面等腰三角形底边上的高叫正棱锥的斜高。（3）棱锥的分类：按底面的多边形的边数分，有三棱锥、四棱锥、五棱锥等. （4）棱锥的性质：①侧面、对角面都是三角形；②平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方. （5）正棱锥的性质：①正棱锥各侧棱都相等，各侧面都是全等的等腰三角形。②正棱锥的高，斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高，侧棱，侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形。 ③正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等。④正棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等。 4. 圆柱与圆锥：

《3.1.2 空间向量的数乘运算(1)》导学案(新部编)3

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校

《3.1.2 空间向量的数乘运算（1）》导学案3 学习目标 1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简； 2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．学习过程一、课前准备（预习教材P 86~ P 87，找出疑惑之处）复习1：化简： ⑴ 5（32a b -r r ）+4（23b a -r r ）； ⑵ ()() 63a b c a b c -+--+-r r r r r r . 复习2：在平面上，什么叫做两个向量平行？在平面上有两个向量,a b r r ，若b r 是非零向量，则a r 与b r 平行的充要条件是二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：空间向量的共线问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？新知：空间向量的共线： 1. 如果表示空间向量的所在的直线互相或，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量. 2. 空间向量共线：

定理：对空间任意两个向量,a b r r （0b ≠r r ）， //a b r r 的充要条件是存在唯一实数λ，使得推论：如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是试试：已知5,28,AB a b BC a b =+=-+u u u r r r u u u r r r () 3CD a b =-u u u r r r ，求证: A,B,C 三点共线. 反思：充分理解两个向量,a b r r 共线向量的充要条件中的0b ≠r r ，注意零向量与任何向量共线. ※ 典型例题例1 已知直线AB ，点O 是直线AB 外一点，若OP xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，且x +y ＝1，试判断 A,B,P 三点是否共线？变式：已知A,B,P 三点共线，点O 是直线AB 外一点，若12OP OA tOB =+u u u r u u u r u u u r ，那么t ＝例2 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，点M 是棱AA '的中点，点G 在对角线A 'C 上，且CG:GA ' =2:1,设CD u u u r =a r ，',CB b CC c ==u u u u r u u u r r r ，试用向量,,a b c r r r 表示向量',,,CA CA CM CG u u u r u u u r u u u u r u u u r .

必修空间几何体单元测试题

人教A必修2第一章《空间几何体》单元测试题（时间：60分钟，满分：100分）班别座号姓名成绩一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1、图（1）是由哪个平面图形旋转得到的（） A B C D 2、过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为（） A.1：2：3 B.1：3：5 C.1：2：4 D1：3：9 3、棱长都是1的三棱锥的表面积为（） A. 3 B. 23 C. 33 D. 43 4、已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，则V1：V2= A. 1：3 B. 1：1 C. 2：1 D. 3：1 5、如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为( ) A.8:27 B. 2:3 C.4:9 D. 2:9 6、有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm），则该几何体的表面积及体积为： A.24πcm2，12πcm3 B.15πcm2，12πcm3 C.24πcm2，36πcm3 D.以上都不正确 7、一个球的外切正方体的全面积等于6 cm2，则此球的体积为（） A.3 3 4 cm π B. 3 8 6 cm π C. 3 6 1 cm π D. 3 6 6 cm π 8、一个体积为3 8cm的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是 A．2 8cm π B．2 12cm π C．2 16cm π D．2 20cm π 9、一个正方体的顶点都在球面上，此球与正方体的表面积之比是（） A. 3 π B. 4 π C. 2 π D. 10、如右图为一个几何体的三视图，其中府视图为正三角形，A1B1=2， AA1=4，则该几何体的表面积为 (A)6+3 (B)24+3 (C)24+23 (D)32 选择题答题表 A B 1 正视图侧视图府视图

必修②第一章空间几何体

X#学习目标 1.感受空间实物及模型，增强学生的直观感知； 2.能根据几何结构特征对空间物体进行分类； 3.理解多面体的有关概念； 4.会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征. 心学习过程一、课前准备（预习教材P2~ P4,找出疑惑之处）引入：小学和初中我们学过平面上的一些几何图形如直线、三角形、长方形、圆等等，现实生活中，我们周围还存在着很多不是平面上而是“空间”中的物体，它们占据着空间的一部分，比如粉笔盒、足球、易拉罐等.如果只考虑这些物体的形状和大小，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体.它们具有千姿百态的形状，有着不同的几何特征，现在就让我们来研究它们吧！二、新课导学探探索新知探究1：多面体的相关概念问题：观察下面的物体，注意它们每个面的特点，以及面与面之间的关系.你能说出它们相同点吗？平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱（prism）. 棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.（两底面之间的距离叫棱柱的高）试试1:你能指出探究3中的几何体它们各自的底、侧面、侧棱和顶点吗？你能试着按照某种标准将探究3中的棱柱分类吗？新知4：①按底面多边形的边数来分，底面是三角形、四边形、五边形…的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱… ②按照侧棱是否和底面垂直，棱柱可分为斜棱柱（不垂直）和直棱柱（垂直）. 试试2：探究3中有几个直棱柱？几个斜棱柱？棱柱怎么表示呢？新知5:我们用表示底面各顶点的字母表示棱柱，如图（1）中这个棱柱表示为棱柱ABCD —ABCD . 探究4：棱锥的结构特征问题：探究1中的埃及金字塔是人类建筑的奇迹之一，它具有什么样的几何特征呢？新知6：有一个面是多边形，其余各个面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥（pyramid）.这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.顶点到底面的距离叫做棱锥的高；棱锥也可以按照底面的边数分为三棱锥（四面体）、四棱锥…等等，棱锥可以用顶点和底面各顶点的字母表示，如下图中的棱锥S-ABCDE. 轴问题：你能归纳下列图形共同的几何特征吗有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相新知1：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如面ABCD ;相邻两个面的公共边叫多面体的棱，如棱AB；棱与棱的公共点叫多面体的顶点，如顶点A.具体如下图所示：探究2：旋转体的相关概念问题：仔细观察下列物体的相同点是什么?

立体几何章末检测(一)

章末检测一、填空题 1．下列推理错误的是________． ①A ∈l ，A ∈α，B ∈l ，B ∈α?l ?α ②A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β?α∩β＝AB ③l ?α，A ∈l ?A ?α ④A ∈l ，l ?α?A ∈α 2．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，异面直线AB ，A 1D 1所成的角等于________． 3．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________． 4．一个水平放置的圆柱形储油桶(如图所示)，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的14 ，则油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是 ________． 5．下列命题正确的是________． ①若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行； ②若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行； ③若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行； ④若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行． 6．在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EF ， GH 交于一点P ，则下列结论正确的是________． ①P 一定在直线BD 上； ②P 一定在直线AC 上； ③P 一定在直线AC 或BD 上； ④P 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上． 7．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为 ________． 8．下列四个命题： ①若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α； ②若a ∥α，b ?α，则a ∥b ； ③若a ∥α，则a 平行于α内所有的直线； ④若a ∥α，a ∥b ，b ?α，则b ∥α. 其中正确命题的序号是________．

3.1.1空间向量及其运算

3. 1.1空间向量及其运算（一）教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程： Ⅰ.复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有： ①用有向线段表示； ②用字母a、b等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB．［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算： ⒈向量的加法： ⒉向量的减法： ⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa 与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0. ［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb ［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本

第一章空间几何体知识点归纳

第一章空间几何体知识点归纳 1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。简单组合体的构成形式：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成。 ⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 1、空间几何体的三视图和直观图投影：中心投影平行投影（1）定义：几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。（2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等” 2、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观察几何体，画出的图形. 3、斜二测画法的基本步骤： ①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上） ②建立斜坐标系'''x O y ∠，使'''x O y ∠=450（或1350），注意它们确定的平面表示水平平面； ③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘轴，且长度变为原来的一半；一般地，原图的面积是其直观图面积的22倍，即22S S 原图直观＝ 4、空间几何体的表面积与体积 ⑴圆柱侧面积；l r S ??=π2侧面⑵圆锥侧面积：l r S ??=π侧面 ⑶圆台侧面积：()S r R l π=+侧面 ⑷体积公式： h S V ?=柱体；h S V ?=31锥体； ()13V h S S S S =+?+下下台体上上 ⑸球的表面积和体积： 323 44R V R S ππ==球球，.一般地，面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方。 O 2O 1h l r R

《空间向量的数乘运算》教学设计

教学设计 3．1.2空间向量的数乘运算整体设计教材分析本节课是在学习了空间向量的相关概念和空间向量加减法法则的基础上学习的，是空间向量加减法法则的进一步应用和补充．本节课在介绍实数与向量乘积的意义的基础上引入空间向量共线定理，类比平面向量基本定理得到空间向量共面定理，为后面将要学习的空间向量基本定理打下基础，具有承上启下的重要作用．因为空间向量的数乘运算以及空间向量共线定理与平面向量数乘运算以及共线定理完全一样，空间向量共面定理其实就是平面向量基本定理的逆定理，所以在教学中仍应采用类比、比较的教学方法，通过问题驱动、启发式、自主探究式的教学方法引导学生自主地完成本节课的学习．课时分配 1课时教学目标知识与技能 1．掌握空间向量的数乘运算及其运算律． 2．理解共线向量定理和向量共面定理．过程与方法 1．运用类比方法，经历向量的数乘运算和向量共线定理由平面向空间推广的过程； 2．引导学生借助空间几何体理解空间向量数乘运算及其运算律的意义．情感、态度与价值观 1．培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力； 2．培养学生的空间想象能力，能借助图形理解空间向量数乘运算及其运算律的意义； 3．培养学生空间向量的应用意识．重点难点教学重点： 1．空间向量的数乘运算及其运算律、几何意义；

2．空间向量的加减运算在空间几何体中的应用； 3．空间向量共线定理和共面定理．教学难点： 1．空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用； 2．空间向量的数乘运算及其几何的应用和理解； 3．空间向量共线定理和共面定理的理解．教学过程引入新课提出问题：请同学们回忆“平面向量的数乘运算”的意义是什么，有什么性质，满足什么运算律．活动设计：首先同学之间相互交流，教师适时介入，并一一板书出来．活动结果：(板书) 1．实数λ和向量a的乘积λa是一个向量． 2.||λa＝||λ||a. 3．λa的方向 ①当λ>0时，λa的方向和a方向相同； ②当λ<0时，λa的方向和a方向相反． 4．数乘运算的运算律： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②λ(a＋b)＝λa＋λb. 设计意图：这既复习了“平面向量的数乘运算”的意义、性质和运算律，又为类比得出“空间向量的数乘运算”的意义、性质和运算律作好了准备，而且在下面得出“空间向量的数乘运算”的意义、性质和运算律时，只需将“平面向量的数乘运算”中的“平面”换成“空间”即可．何乐而不为呢！探究新知提出问题1：上节课我们已经学习了空间向量的加减法运算，请同学们类比“平面向量的数乘运算”的意义、性质和运算律，猜想(给出)“空间向量的数乘运算”的意义、性质和运算律．即实数λ和向量a的乘积(λa)的意义是什么？有什么性质？满足什么运算律？活动设计：教师从2a，－2a的意义中发现并类比平面中数乘的意义对学生进行引导，学生自己画出2a，－2a并总结λa的意义和运算律，然后自由发言，教师进行补充．师生发

人教课标版高中数学必修2第一单元《空间几何体》章末综合检测

《空间几何体》章末综合检测一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1.[2018湖北宜昌七校教学协作体高一（下）期末考试]下列结论正确的是（） A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.上、下底面为相似的正多边形的棱台一定是正棱台 C.顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等的三棱锥是正三棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 2.如图，已知平面111A B C 与平面ABC 平行，则能推断出这个几何体是三棱台的是（） A.11112,3,3,4A B AB B C BC ==== B.11111131,2,,3,2,32 A B AB B C BC AC AC ====== C.11111131,2,,3,2,42 A B AB B C BC AC AC ====== D.111111,,AB A B BC B C CA C A === 3.[2018陕西西安铁一中高一月考]已知一个正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积是（） 81A. 4 B.16 C.927 D.4π ππ π 4.[2017重庆万州纯阳中学高二（上）月考]如图所示的正方形ABCD 用斜二测画法得到的直观图是一个平行四边形，平行四边形中有一条边的边长为4，则此正方形的面积是（）

A.16 B.64 C.1664 D.或无法确定 5.[2018河北唐山一中高一月考]一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） 40 A.3 80B.3 C.40 D.80 6.[2018湖南岳阳一中高一月考]祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积相等，则体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（）

高中数学必修2第一章空间几何体试题(含答案)

高一数学必修2第一章测试题班别姓名考号得分一、选择题：（每小题5分，共50分） 1. 下图中的几何体是由哪个平面图形旋转得到的（） A B C D 2．若一个几何体的三视图都是等腰三角形，则这个几何体可能是（） A ．圆锥 B ．正四棱锥 C ．正三棱锥 D ．正三棱台 3.已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V 1和V 2，则V 1：V 2=（） A. 1：3 B. 1：1 C. 2：1 D. 3：1 4.过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为（） A.1：2：3 B.1：3：5 C.1：2：4 D.1：3：9 5.棱长都是1的三棱锥的表面积为（） A. 3 B. 32 C. 33 D. 34 6.如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为（） A.8:27 B. 2:3 C.4:9 D. 2:9 7.有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为：（）俯视图主视图侧视图 A.24πcm 2，12πcm 3 B.15πcm 2，12πcm 3 C.24πcm 2，36πcm 3 D.以上都不正确 8．下列几种说法正确的个数是（） ①相等的角在直观图中对应的角仍然相等 ②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等 ③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行 ④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9．正方体的内切球和外接球的半径之比为（） A ． B ．2 C ．2: D ．3

10．将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3∶4. 再将它们卷成两个圆锥侧面，则两圆锥的高之比为（） A ．3∶4 B ．9∶16 C ．27∶64 D ．都不对二、填空题:（每小题6分，共30分） 11．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点，顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。 12．图（1）为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成; 图（2）中的三视图表示的实物为_____________。 13．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个长方体的对角线长是________；若长方体的共顶点的三个面的面积分别为3,5,15，则它的体积为________. 14．圆台的较小底面半径为1，母线长为2，一条母线和底面的一条半径有交点且成 60角,则圆台的侧面积为____________。 15．(1)等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球___S 正方体； (2)一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米. 三、解答题:（共70分） 16．（12分）画出下列空间几何体的三视图（图②中棱锥的各个侧面都是等腰三角形）． ① ② 图（1）图（2）

高中数学选修2-1 同步练习专题3.1.1空间向量及其加减运算、空间向量的数乘运算(原卷版)

第三章空间向量与立体几何 3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，1AB AD AA ++= A ．1AC B ．1CA C ．1BC D ．1CB 2．已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若2CP CA CB =+，则下列结论正确的是 A ．22OP OA OB OC =+- B ．23OP OA OB OC =--+ C ．23OP OA OB OC =+- D ．22OP OA OB OC =+- 3．若OA ，OB ，OC 是空间不共面的三个向量，则与向量OA OB +和OA OB -不共面的向量是 A ．BA B ．OA C ．OB D ．OC 4．如图，已知AB =c ，AC =b ，若点D 满足2BD DC =，则AD = A ．21 33+b c B ．5 233-c b C ． 2133 -b c D ．123 3 + b c 5．如图，已知空间四边形ABCD 的对角线为AC ，BD ，设G 是CD 的中点，则1 ()2 AB BD BC + +=

A ．BC B ．CG C ． 1 2 BC D ．AG 6．如图,在底面为平行四边形的四棱柱中,是与的交点,若 ,则下列向量中与相等的向量是 A ．11 22 -++a b c B ． 11 22++a b c C ． 11 22 -+a b c D ．11 22 - -+a b c 7．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，向量，，是 A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量 8．对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且有(),OP xOA yOB x C z zO y ∈=++R ,，则 1x y z ++=是P ，A ，B ，C 四点共面的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件二、填空题：请将答案填在题中横线上． 9．给出下列命题： ①零向量没有方向； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同、终点也相同； ③若空间向量a ，b 满足=|a ||b |，则=a b ；