曾谨严量子力学习题第九章

第九章：定态微扰论

[1]设非简谐振子的哈密顿量为：

2202

222

12?x dx d H μωμ+-= （β为常数）

取 22022

02

12?x dx d h H μωμ+-= ，2x H β='，试用定态微扰论求其能量及能量本征函数。

（解）一级能量本征值修正量：本题是一维、无简并的，按本章§9.1公式()

∑

=1k

kk W ，

从§3.3知道一维谐振子波函数是：

()()x H e k x k x k

k απα

ψα2

2

2!

2-

?=

，

但

μω

α=

（1）

()()

()??∞

=-∞

=-==x x k x k

x

k k k dx x H e x k dx

x E αβπαψβψα2

33*

12

2!2 （2）

但根据§3.3，一维谐振子波函数中的厄密多项式是有宇称的（或奇或偶），因而()x H n α2

必

定是个偶函数。（2）式中被积函数就应是奇函数，又因积分限等值异号，结果有：

()

01=k E

一级波函数修正值：据§9.1公式[12b]

)

0()0()0(//

n

n

k nk k

k E E H ψψψ-+=∑

（3） ω )2

1

()0(+=k E k /)3(

微扰矩阵元nk nk W H λ=/要涉及厄密多项式相乘积的积分，

为此利用关于)

0(k ψ的一个递推公式（90.p ，问题2）：

)2

12(

1

)

0(1)0(1)

0(+-++=

n n n n n x ψψα

ψ （4） 将此式遍乘x ，再重复使用（4）

)

5(}4

)2)(1()2

1(4)1({1

)2221(21)2

21(2[1

)212(1

)

0(2)

0()0(22

)

0(2)0()

0()0(22

)0(1)

0(1)0(2+-+-+-+++

++-=

+++++

+-=

++=

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x n x n x ψψψα

ψψψψα

ψψαψ

再将此式遍乘x ，重复使用（4）式

}

4

)2)(1()21(4

)1({1

)0(2)

0()

0(2

2

)0(3+-+++++-=

n n n n n n x n x n n x ψψψα

ψ

=}

)3)(2)(1(1)1(33)2)(1({8

1

)0(3)0(1)0(1

)0(33

++--++++++++--n n n n n n n n n n n n n n ψψψψα

（6） 利用公式（6）来计算微扰矩阵元nk W ： ?

∞

∞

-=

dx x x W k n nk ψβψ2*

)(

将（6）式中的n 换成k 代入前一式，并注意)

0(n ψ是正交归一化的，即

nk k n dx x x δψψ=?)()()

0(*0

dx

k k k k k k k k k k a

W k k k n n nk })3)(2)(1(1)1(33)2)(1({81)

0(301

01)

0(3

3

)

0(++--∞

∞

-++++++++--?

?=?ψψψψβψ

)

7(}

)3)(2)(1(1)1(33)2)(1({82,1

,1,3,2++--++++++++-+=

k n k n k n k n k k k k k k k k k k δδδδα

β

k 是固定指标，故nk W 只有当n 取下述四值时不为零，即

)8(3,1,1,3++--=k k k k n

但要注意，当n 取用一个值时，就不能再取其他值，所以n 取定后nk W 的非零值是（7）式中某个δ的系数。（3）的求和是式只有四项。

ω

ω

ω )()2

1()21()0()0(n k n k E E n k -=+-+=- 有：ω 3)0(2)0(=--k k E E ， ω =--)

0(1)0(k k E E ，

ω -=-+)0(1)0(k k E E ， ω 3)0(3)0(-=-+k k E E （9）

将（7）和（9）所决定的诸值代入（3）

)

0(3

)0(3

)0(/

,1)

0(3)

0(2

)0(/,2)0()0()0(0/

/

)

0(++-----+

-+=-+=∑k k k

k

k k k k k k k n k k nx k

k E

E

H E E H E E H ψψψψψ

ψ

)

10(})3)(2)(1(3

11)1(33)2)(1(3

1{

8)

0(30101)

0(3

3)0(++--+++-

++-+--?

+=k k k n k k k k k k k k k k k k a ψψψψωβ

ψψ

二能级量本征值修正量：按二级近似式是 ∑-++=n n

k nk kk

k

k E E H H E

E )

0()

0(2

//

)0()( （11） 其中0/

==kk kk W H λ，二级修正量是个数量的和，它也用（7）式来计算，并也包括四个项： )

0(3

)0(2

/,3)

0(1

)0(2/,1)

0(1

)0(2

/,1)0(3)0(2/,3)21(++++-----+

-+

-+-++=k k k

k k k k

k k k k

k k k k k k E E H

E E H

E E H E E H k E ω

)}

3)(2)(1(31

)1(99)

2)(1(31

{18)21(2262+++-+-+--?++=k k k k k k k k k ωαβω

)13030(8)21(26

2

++-+=k k k ω

αβω

[2]一维无限深势阱（a x <<0）中的粒子受到微扰：

??

??

?<<-<<=)

0()

1(2)

20(2)(/

a x a x

a

x a x x H λλ 的作用，求基态能量的一级修正。 图

345

（解）本题是一维无简并问题，无微扰时的能量本征函数

a

k a k πω

ψsin

2)0(=

（1） 能量本征值 2

2

22)

0(2a

k E

k

μπ = （2） 对基态1=k ，计算能量的一级修正量时，因微扰/

H 是分段连续的，因而要求两个积分式

的和

)

3(}

))(2cos 1()2cos 1({2)22(sin 2)2(sin 22

20

2222020/2

*

00/

20

*0

/

dx x a a x xdx

a x a dx a x a x a dx a x a x a dx

H dx H H a a a

a a a

a

a a

--+-=-+=+=??????ππλλλπλπψψψψ

利用定积分公式：

px p

px p x px x x

cos 1

sin cos 2+=

? （4） 代入（3）；得

)221(2/

11)1(11π

λ+==H E

附带地指出：对于本题的粒子的激发态能量的一级修正量计算，可以用同样步骤得到，第K 个激发态的一级修正：

}

)1]()1(1[21{}

))(2cos 1()2cos 1({222202)1(11

π

λππλk dx x a a x

k xdx a x k a E

k a a a

--+=--+-=??

#

[3]设有一个三维转子处于基态，转动惯量I ，它沿转轴方向有一个电偶极矩,D

现加上一个

外电场

ε

，可以视作微扰，试用微扰论求能量二级修正值。

图347

（解）三维转子可看作哑铃状或棒状体，回绕其中点0作三维的转动，位置由球极座标),(?θ决定。由于点（棒一端）的矢径a 是常量，哈密顿符是：

)

1(22}

)(1{2222222222I

l r l r l r r r r H ==+????=μμ

式中a 是转子轴长度之半，I 是转动惯量（关于与棒身垂直的转轴），2

l 角动量平方算符，

按114p ，公式（29）

}sin 1)(sin 1sin 1{2

2222?

θθθθθ??+???-= l （2） 因此无微扰时，势能为零，而能量本征方程式是：

),(),(12

?θψ?θψ=l I

（3） 它的解是球谐函数：

?

θ?θ?θψim m l lm e P m l m l l Y )(cos )!

()!(212)

,(),(+-?+=

= 能量本征值是：

),3,2,1,0()1(2 =+=l I

l l E l （4）

假定转子是电偶极子，电矩是D ，则D=aq 2（q 电荷），同时加上沿z 方向的电场ε后，

转子获得附加的偶矩电势能)(θV ，作为微扰看待：

θθλεcos )(/

D V W H === （5）

本题限于基态能量，但最低的能级相当于0=l ，当不存在微扰时，基态能量本征值

???=O

==

=π

θ

θθθ?

θθθεε0

00*00)1(000

cos sin 2

sin cos d D d d Y D Y E

二

能

量

修

正

值

：

可

以

利

用

球

谐

函

数

的

递

推

公

式

)

8()

12)(12()

32)(12()1(cos ,12

2

,12

2m

l m

l lm Y l l m

l Y l l m l Y -++--+

++-+=θ

在计算/

01H 时可在上式中令1,0==l m 得：

0020103

1

154cos Y Y Y +=

θ （9） )

10(3131154cos 2

0020*0510*

00/01ε

εεεθD D d d D d Y D Y H Y Y Y =

?Ω+Ω=Ω

=??????ΩΩΩ

计算/

02H 时，可在（8）式中，令2,0==l m 得：

10302015

4

359cos Y Y Y +=

θ （11） 0cos 20*

00/02=Ω=??Ω

d Y D Y H θε （球谐函数正交性）

同理可证/02H ，/04H 等都是零。

零阶能量 I I E 22)

0(1

221 =?=

I I h E 22)0(21 =?= 代入（7）式（仅有一项）：

2

2222

)

2(00

30)3

1

(

I D I D E

εε-=+-=

本题中的球谐函数的递推公式（8）可参看课本附录四（637.P ）公式（37）、（38）等。 #

[4]y x 平面内的转子，除了受到沿x 方向的均匀电场的作用外，还受到沿x 轴方向的

均匀磁场B

的作用，试用微扰理论计算转子的能量。

（解）平面转子可看作绕一固定点0转动的棒，可用棒与0x 轴间夹角?定位，哈氏算符：

2

2

2222?

??-==I I l H （1） 无微扰能量本征函数： ?π

?ψim m e 21)(=

（2）

图350

转子是一偶极子，它具有电偶极矩D ，因而在平行于0x 轴的电场

ε作用下具有偶极势能：

?εεc o s D D -=?-

转子又在平行于z 轴的匀强磁场中运动，由于电荷的运动相当于园电流，而电流在磁场中具有磁势能，磁势能由磁距决定，磁距z μ又与角动量?l 成正比： 磁距

?

μμμ???

==

i c e l c e z 22

附加磁势能：?

μμ??

-

=?-i c B e B z 2

（4）

微扰算符 ?

μ?ε??

--=i c e D

H 2cos /

（5）

当微扰未加上时，转子的本征方程式如下：λψ?

ψ

=??-2

222I （6） 从这里得到能量的本征函数： ?π

ψim e ±=

21 （7）

本征值是： )

0(222m E I

m == λ （8） 由此可知不论磁量子数是何值，能量总是二度简并的，但能证明，在考虑能量一级修正量时，使用非简并微扰法和使用有简并微扰法二者的结果，对同一m 值是相同的，用非简并微扰法，先求矩阵元：

)

9(2}{2)

(14}

)

1(1)1(1{4422)2cos (21,/1,1,/)(2//)1(2/)1(220)(/20)1()1(20

/,/

///

/

/

//

/

//

m

m m m m m m m i m m i m m i m m i m m i m m i im im m m c Bm e D m m i e c Bm e m m i e m m i e D d e c Bm e d e e D d e i c B e D e H

δμδδπμπ?πμ?

π??

μ?πεεεεππππ??π??

?π

??

? -+-=---

---++---=-+-=??+-

=+----+-=-=--+-=-???

这个式子可以用来计算一级和二级能量修正值。

对一级能量修正：

c

Bm e c Bm e D H

E

m m m m m m m

m m

μδμδδε22}{2,/1,1,/)1(//// =

-+-==+- （10）

对二级能量修正值：

∑

-=/

/

/)0()0(/

)

2()(m

m m mm m E E H E

从（9）式知道，/

m 只有二种值对于)

2(m E 有贡献，即

1/+=m m ， 1/-=m m

1

41})1(1)1(1{2422222

222222)0(1

)0(2

/,1)0(1

)0(2

/

,1)2(-=

+-+--??=-+

-=

++--m D m m m m I D E E H E

E

H E m m m m m m

m

m m εε （讨论）本题按照原理应当作为有简并的微扰问题处理，从（7）式可知相应于同一能级

I

m E m 22

2 =，对应于两个不同的本征函数：

?π

?im m e 21)0(=

?π

?im m e --=

21)

0(

因此在考虑微扰时，正确的零级波函数应表示作：

)

0(12)0(11)0(1m m C C -+=ψψ?

)0(22)0(21)0(2m m C C -+=ψψ? （11）

代入

)

0(2

)0(1??的非平凡解要求下述久期方程式成立： 0'''')

1(,,,)

1(,=------E H H H E H m m m

m m

m m m

从矩阵元计算式（9），将m m -='代入，得 0,=-m m H 又将m m ='代入，得

)12(2,c

Bm

e H m m μ -

=

要求另两个矩阵元，可以计算第一指标为-m 的矩阵元，它可以从（9）式推得：

)13(2)(2)2cos (21,'1,'1,'20

'

'

,m m m m m m im im m m e

B e D d e ci B e D e H

-+-----+-

=??+-

=?δμδδε

??

μ?επ??π

此式中分别代入m m m m -==','，得0,=-m m H ， e

Bm

e H m m μ2, +

=--

久期方程式是0)2)(2()1()1(=---

E e

Bm

e E e Bm e μμ 其中与m 对应的能量一级修正值是与非简并法结果相同的。但是用非简并法未能得到与

－m 对应的一级修正值。 #

[5] 一维谐振子的哈密顿为

2

22202

12-Kx dx d H +=μ

假设它处在基态，若在加上一个弹性力作用H ’=1/2 bx 2，试用微扰论计算H’对能量的一级修正，并与严格解比较。

[解] 用非简并微扰法，计算微扰矩阵元：（质量记作μ）

已知 )0(k ψ，能级 μ

K

n E k

)2

1

()

0(+=

dx x x b x H

E

k k kk

k

)()()

()()(020112ψψ?==?∞

∞

-

本题中

μ

ωK

=

，4

2

μ

αK =

（1） 引用习题（1）所用的谐振子递推公式： })2)(1()12()1({21)

0(2)0()0(22

)

0(2

+-+++++-=

k k k k

k k k k k x ψψψα

ψ (2) 代入（1），再利用)

0(k ψ 正交归一性。

)2

1

(42)

12(212

)

1(+=+=

k K b b k E k μα （3）

再计算能量二级修正量，为此要计算指标不同的矩阵元1

kn H ，用（2）式：

}

)2)(1()12()1({4})2)(1()12()1({42,,2,2

)

0(22)0(2)0(2

1

+-+-∞

-∞

=+++-++=

+++++-=

?

n k n k n k n n n x k kn n n n n n b dx

n n n n n b H δδδαψψψψα

再利用谐振子零能级本征值公式 ω )2

1

()

0(+=n E n

（但μ

ωK

=

）

∑≠-=k

n n n

k nk k

E E H E

)

0()

0(2

)2(||

})

2()1()2()1)(2({1642+--+--++=k k k

k k k k k a b ωω

ω

4

2

16)12(a b k +-= （4） 因此用微扰法算得的，正确到二级修正值的能量是：

)

2(2)2()0(k

k k k E E E E λλ++= ω

ω 42

28)21(2)21()21(a b k a b k k +-+++=

}821{)21(4

22

2ωμμωωb b k -+?+=

}821{)21(22

K b K b k -+

+=ω （5） 如果用严格的本征方程式求解，则本题中2

2

1'?bx H

=和0

?H 的势能2/2Kx 为同类项可以合并，哈氏算符为

2/)(2?2222x b K dx

d H ++-=μ （6） 直接看出，它的严格的能级是：

μ

ωb

K k k E k ++=+=

)21(')21(' }821{)21(2

2

+-+

+=K b K b k ω （7） 与近似（5）比较，发现近似值的绝对误差是：

2

2

'

16)21(K

b k E E E k k

?+<-=?ω 在基态的情形，可令0=k ，2

2

32K b E ω

[6]设有自由粒子在长度为L 的一维区域中运动，波函数满足周期性边界条件 )2

()2(L L ψψ=-

波函数的形式可选作： kx L k

cos 2)

0(=

ψ， kx L

sin 2

)

0(=-ψ

但 ),2,1,0(2 ==

n L

n

k π。设粒子还受到一个陷阱作用，2

20)('a x e V x H -

-=，a<

用简并理论计算能量一级修正。

（解）见附图，若取势场为中心对称的无限深势阱，则题给的周期性条件和能量本征函都能满足，原点0取在势阱中点，此点上微扰H’有最大值。无微扰时，能量的本征值 2

2

22)0(2L n E

k

μπ =

（1） 但 1,2,3,

n = 由于同一能级（n 一定）可以有两个不同的本征函数

???

?

??

?=kx L

kx L x k sin 2

cos 2

)(ψ

因此对于k 的任何值（n 任何值）简并度都是2。 按照简并微扰论，要计算微扰矩阵元： )0(1c o s 2

ψψ==

+kx L

又 )0(2s i n 2ψψ==-kx L

根据题意： dx H H L L ?

-=

2

/2

/)0()*0('

11'λλψψ

dx e

kx L

V L L a x ?

--

?-=

2

/2

/20

2

2cos 2

dx e

kx L V L L a x ?

--?+-=

2

/2

/02)2cos 1(

dx e e e

L

V kix

a x kix a

x L L a x )}(2

1{222

/2

/02

22

22

2--+-

--++-=

?

}{2

2

222

2)()(00

dx e dx e e L

V dx e

L

V

kai a x

kai a x

a k a

x ???

∞∞-+-∞∞----∞

∞

--

+--= （2）

前式中的积分限（2L -，2

L

）被扩充到（∞-，∞）是因为在势阱外波函数为零，用定积分公式：

a

dx e ax π

=

?

∞

∞

--2

（3）

于是，得： }1{220'

11a k e L

a V H -+-

=π

（4）

同理计算其它矩阵元： ?

-=2

/2

/)

0(2)0(1'11

'L L dx H H

ψψ

dx e

kx kx L

V

L L a x ?

--

?-=2

/2

/0

2

2cos sin 2

积分中的被积函数是x 的奇函数，又积分限又是等值异号的，所以有：

0'

21'12==H H （5）

?

-=2

/2

/)0(2)0(2'

22

'*L L dx H H

ψψ

dx e kx L

V a x ?-

--

=2

2)2cos 1(0

)1(220'

22a k e L

a V H ---

=π

(6) 本题正确的零级波函数写作： )

0(212)0(111)0(1ψψ?c c +=

)0(2

22)0(121)0(2ψψ?c c += 代入总的能量算符H ?的本征方程式，设)1(k E 是本征方程值，则)1(k

E 满足久期方程式： 0)

1('22'

21

'12

)

1('

11=--K

k E H H H E H

0)1(0

)1()

1(0)

1(02222=---

-+-

--k a k k a k E e L

a V E e L

a V π

π

所求一阶能量修正值： )1(220)

1(a k k e L

a V E -±-

=π

本题的波数k 和量子数n 的关系亦可作L

n

k π=

（与课本一致）

[7] 在一维无限深势阱 ??

?<>∞<<=)

0()

0(0)(x a x a x x V

中运动的粒子，受到微扰'H 的作用 讨论粒子在空间几率分布的改变。

?????

<<<<-=)2

()20()('a x a

b a x b x H

（解）一维无限深势阱的波函数的形式与所选择的参考系的原点有密切关系，若选取势阱一端作为原点则能量的本征函数可以是形式简单的，作如此选择时，若无微扰，则能量的本征函数：

a

x

k a k πψsin

2)0(=

（k=1, 2, 3, ……） (1)

能量的本征值： 2

222)0(2a k E

k

μπ =

（2）

本题主要计算本征函数的近似值，计算微扰距阵元：

dx b dx b H k a

a k a nk )

0(2

/)0()0(2

/0

)0(')(*)(*ψψψψππ??+-=

dx a

x

n a x k a b dx a x n a x k a b a a a ππππsin sin 2sin sin 22/2/0??+-

=

dx a

x n k a x n k a b dx a x n k a x n k a b a a a })(cos )({cos })(cos )({cos 2/2/0ππππ+--+--+=

??a

a a n

k a x

n k n k a x n k b n k a x n k n k a x n k b 2

/2

/0

)(s i n )(s i n )(s i n )(s i n ++---+---++=ππππππ

}2)sin(2)sin({

2n

k n k n

k n k b

---

++=

π

π

π

（3）

最后一式的值与k, n 的奇偶有关，但要注意到，k+n 与k-n=（k+n ）-2n 的奇偶性是相

同的，此外，若设p 是个任意整数（奇偶不论），则有：

p p )1(2

)

12sin(-=+π

),2,1,0( ±±=p

因此（3）式可归成二种情形

（1） 若k+n=奇数，令k+n=2p+1，则有

2

1

-+=

n k p 因此 若k+n=奇数，有 2

2'

)1)(1

1(2-+---+=n k nk

n

k n k b

H π

2

222)

1()

(4-+--=n k k n bn

π （4）

若k+n=偶数，显然有0'

=nk H (5)

无简并的微扰中，波函数一级修正量是： )

0()

0()0(')

1(n k

n n n k nk k

E E H ψψ

∑=-= 其中 ][22

22

22)0()

0(n k a

E

E

n

k

-=-μπ （6） 考虑到（4）（5）的结果，连同（6）式代入)

1(k ψ的公式，得最后结果为两个无穷级数如下：

k 为奇数时 )

0(2

1,2,02

22322)1()1()(8n

k n n k

n k bn

a ψπμψ?--=++=∑ k 为偶数时 )

0(2

1,3,1222322)

1()1()

(8n

k n n k

n k bn

a ψπμψ?--=++=∑

[8]类氢离子中，电子与原子核的库仑作用为：

r

Ze r V 2

)(-= [Ze 为核电荷]

当核电荷增加e[Z Z+1]，互相作用能增加r

Ze H 2

'

-=，试用微扰论计算它对能量的一级

修正，并与严格解比较。

[解]不论是基态还是激发态，曾在第六章习题九中证明过，在类氢原子的任何态中矢径倒数

r

1

的平均值是： a n Z r 2)1(= （a 玻尔半径 2

2

e

a μ =） (1) 若将r

e 2

-当作微扰而求能量一级修正，则

a

n Z e d r e H

E

n l m n l m

nn

n

22

)0(2)0(')0()(-=-==???τψψ

（２）

若求严格解，可以利用能级公式 a n e Z n e Z E

n

2222242)

0(22-=-= μ

)(2)1(22222)

0(a

n Ze a n e Z E

--+-=?

a

n e a n Ze a n e Z 22

222

222)12(--=+-= （3） 将（1）与（3）比较：知道一级近似值的误差是a

n e 2

2

2- [9]一个粒子在二维无限深势阱

?

??∞<<=其它地方）与()

0(0),(a y x y x V

中运动，设加上微扰xy H λ=' ),0(a y x ≤≤求基态及第一激发态的能量修正。 [解]二维无限深势阱的定解与一维相类似，因为x,y 方向运动是独立的，能量的零级本征

函数是两个一维无限深势阱波函数乘积： y k x k C y x k k 21)

0(s i n s i n ),(21=ψ

式中21,k k 是指波数，阱壁的约束条件即周期性边界条件是： ),3,2,1,(21 ==

=

n m a

n k a

m k ππ

因而零级本征函数可用m,n 表示： )

2(sin sin

),()

0(a

C a

y

n a x m C y x mn ==ππψ （1）

粒子总能量)

0(mn E 则可设

2222)

0(2a m E

m

μπ =，2

222)

0(2a

n E n μπ =， )

0()0()0(n m m n E E E +=

或 )(22

22

22)

0()

0(n m a

E

E

mn

+==μπ （2） 可见波函数是高度简并的（L.Pauling.E.B Wilson;Introduction to Quantum Mechanics

1951.P98~P100）, 本题不讨论其简并度的公式。

但基态（m=1，n=1能级最低的二维运动）是没有简并的。 (基态能量一级修正量)；

这时 xydxdy a

x

a

x

a H x y λππ?=

??2

22

'

11sin sin 4

ydy a y

xdx a x a y x )2cos 1()2cos 1(00

2??∞=∞

=-?-=ππλ

（3）

利用定积分公式：

px p

px p x pxdx x x

cos 1

sin cos 2?+=

（4）

或者： px p

px p x x pxdx x x 2cos 81

2sin 44sin 222

--=? （5）

代

入（

3

）

a

a

a y

a a y ay y a x a a x ax x x a H 02220222

2

'

112cos 42sin 222cos 42sin 2ππ

ππππππλ--?--=

4

2

a λ=

（第一激发态一级能量修正量）：

第一激发能态是指m=1,n=2,和m=2,n=1的二重简并态，这时的简并能级是： 2

2

22

2

)0(2

,12)12(a

E

μπ += (6) 简并的能量本征函数有二个： a y a x a ππψsin 2sin 2)

0(1

=

a y a x a ππψ2sin sin 2)

0(2

= 我们用简并态微扰法求能级，设有微扰后的零能级本征函数是 )

0(212)0(111)0(1ψψ?c c +=

)0(2

22)0(121)0(21ψψ?c c += 代入有微扰的能量本征方程式：

???++=++++=++))(())('??())(())('??()0(222)0(121)0()0(1)0(222)0(1210

)0(2

12)0(111)1()0(1)0(212)0(1110ψψλψψλψψλψψλc c E E c c H H c c E E c c H H 约去相等项，利用的正交归一性，可得的线形方程组：

???=-+=+-)

8(0)()

7(0)(22)

1('22'212112'

1211)1('11c E H H C c H c E H

由两式得到非平凡解的条件：

0)

1('22'

21

'12

)

1('11=--E

H H H E H （9） 现在分别计算所需的矩阵元；积分公式可以用（4）或者（5） ??*=

x y

x y d x d y H λψψ)0(1)0(1'

11 4sin 2sin 42222a ydy a y xdx a x a y

x λππλ=

=?? ??*=

x y

x y d x d y H λψψ)

0(1)0(1'

12 （10） ??=

y

x ydy a y a y xdx a x a x a ππππλ2sin sin sin 2sin 42 ydy a y

a y xdx a x a nx a

a y a

x )3cos (cos )3cos (cos

002πππλ

-?-=

??== 22})3cos (cos {xdx a x

a x a

ππλ-=? 2022222}3cos 93sin 3cos sin {

a

a x a a x ax a x

a a x ax a ππ

ππππππλ--+= 4

2

81256πλa ?= （11） '

11

'22H H =代入久期方程式（9）得到： 4

2

2

)

1(1

812564πλλa a E

+=

4

22

)

1(2

812564π

λλa a E -= （12）

零级波函数的决定可以用)

1(1E 先代入方程式（7）或（8），伴同正交归一化条件 12

12

2

11

=+c c 可求得11c ，12c

)

0(212)0(111)0(1ψψ?c c +=

再用)

1(2E 代入（8），伴同可求得21c ，22c 。

)

0(2

22)0(121)0(2ψψ?c c +=

[10]处于基态的氢原子，受到沿着z 方向的均匀电场的作用(?)若不计及自旋，而哈密顿量为

z e r

e m p H ?+-=

222?? 其中θcos 'r e z e H ?=?=看成微扰，验证基态的一级近似波函数是：

)}(cos {2

11

2

213

r ar e e a

a

+-

=

-

θ

λπψ （1）

（2

2

me

a e =?=,λ是玻尔半径，利用此结果求出能量的二级修正为2249?-a ，从而求出氢原子的极化率2

2

9a =

。

（解）本题的目的不是用无简并微扰法去导出题给的波函数的一级近似式，是直接的验

算题，即检验一级近似波函数是否满足H

?的本征方程式： ψψE H

=? (2) E 是考虑微扰时的，包括一级修正值在内的能量本征值。

设 '???H H H +=0

。 其中 )()(cos cos '????432222222222220??

???=?=-+??-??-=-=θλθr r e H r

e mr l r mr r m r e m p H 又设)()

(10λψψ

ψ+=，其中：

a

r

e a

-=

2

01

πψ

)

(

（5）

θπψ

cos )()

(a r ar e a

e a

r

2

32

11+-

=-

（6） 将（3） (6)代入（2）的等号的左方，得到：

))('??(?)

()(100

λψψψ++=H H H

)()()()('??'??110

000ψλψλψψH H H H +++= （7） 此式中的第四项221θψλψ

λcos ')

(r H =是二阶微量（λ为一阶）

，故可忽去，简化和展开

量子力学思考题及解答

1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于η不能忽略的体系，而经典力学适用于η可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或η可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ? ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ? ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r ? 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。

曾量子力学题库(网用).

曾谨言量子力学题库 一简述题： 1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问题上的差别 2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以?为单位） 3. （1）试用Einstein 光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr 的量子理论 5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie 物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理 8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。 9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件 10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为),,(?θψr ，写出粒子在球壳),(dr r r +中被测到的几率以及在),(?θ方向的立体角元?θθΩd d d sin =中找到粒子的几率。 11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 13.（2）设ikr e r 1=ψ，试写成其几率密度和几率流密度 14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。 15.（3）简述和解释隧道效应 16.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。 17.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 18.（4）简述力学量算符的性质 19.（4）试述力学量完全集的概念 20.（4）试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？ 21.（4）若算符A ?、B ?均与算符C ?对易，即0]?,?[]?,?[==C B C A ，A ?、B ?、C ?是否可同时取得确定值？为什么？并举例说明。 22.（4）对于力学量A 与B ，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。 23.（4）微观粒子x 方向的动量x p ?和x 方向的角动量x L ?是否为可同时有确定值的力学量？为什么？ 24.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式 25.（4）简述幺正变换的性质 26.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 27.（4）粒子处在222 1)(x x V μω=的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态Schr ?dinger 方程。 28.（4）使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。 29.（4）如果C B A ?,?,?均为厄米算符，下列算符是否也为厄米算符？

量子力学教程课后习题答案

量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ

? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=h v ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ

量子力学习题集及解答

量子力学习题集及解答

目录 第一章量子理论基础 (1) 第二章波函数和薛定谔方程 (5) 第三章力学量的算符表示 (28) 第四章表象理论 (48) 第五章近似方法 (60) 第六章碰撞理论 (94) 第七章自旋和角动量 (102) 第八章多体问题 (116) 第九章相对论波动方程 (128)

第一章 量子理论基础 1．设一电子为电势差V 所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一个光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000 A （可见光），1 A （x 射线）以及0.001 A （γ射线）时，加速电子所需的电势差是多少？ [解] 电子在电势差V 加速下，得到的能量是eV m =22 1 υ这个能量全部转化为一个光子的能量，即 λ νυhc h eV m ===221 ) (1024.1106.11031063.64 19834 A e hc V λλλ?=?????==∴--（伏） 当 A 50001=λ时， 48.21=V （伏） A 12=λ时 421024.1?=V （伏） A 001.03=λ时 731024.1?=V （伏） 2．利用普朗克的能量分布函数证明辐射的总能量和绝对温度的四次方成正比，并求比例系数。 [解] 普朗克公式为 1 8/33-?=kT hv v e dv c hv d πνρ 单位体积辐射的总能量为 ? ?∞∞-==0 0/331 3T hv v e dv v c h dv U κπρ 令kT hv y = ，则 4 40333418T T e dy y c h k U y σπ=? ??? ??-=?∞ （★） 其中 ?∞-=033341 8y e dy y c h k πσ （★★） （★）式表明，辐射的总能量U 和绝对温度T 的四次方成正比。这个公式就是斯忒蕃——玻耳兹曼公式。其中σ是比例常数，可求出如下： 因为 )1()1(1 121 +++=-=-------y y y y y y e e e e e e

量子力学习题答案

量子力学习题答案 1.2 在0k 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解：由德布罗意波粒二象性的关系知： E h =ν； p h /=λ 由于所考虑的电子是非相对论的电子（26k e E (3eV)c (0.5110)-μ?） ，故： 2e E P /(2)=μ 69h /p h /hc /1.2410/0.7110m 0.71nm --λ====?=?= 1.3氦原子的动能是E=1.5kT ，求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。 解：对于氦原子而言，当K 1=T 时，其能量为 J 102.07K 1K J 10381.12 3 2323123---?=????== kT E 于是有 一维谐振子处于22 /2 ()x x Ae αψ-=状态中，其中α为实常数，求： 1.归一化系数； 2.动能平均值。 （22 x e dx /∞-α-∞ = α?） 解：1.由归一化条件可知：

22 *2x (x)(x)dx A e dx1 A/1 ∞∞ -α -∞-∞ ψψ== =α= ?? 取相因子为零，则归一化系数1/21/4 A/ =απ 2. 2222 2222 2222 2222 22 2 *2x/2x/2 22 2x/2x/2 2 2x/22x/2 22 22x2x/2 22 242x2 T(x)T(x)dx A e(P/2)e dx d A e()e dx 2dx d A e(xe)dx 2dx A{xe(xe)dx} 2 A x e dx A 22 ∞∞ -α-α -∞-∞ ∞ -α-α -∞ ∞ -α-α -∞ ∞∞ -α-α -∞ -∞ ∞ -α -∞ =ψψ=μ =- μ =--α μ =--α--α μ =α= μμ ?? ? ? ? ? ＝（）＝＝ 22 2222 4x 2 2 24x x 2 22 222 24 2 1 ()xd(e) 2 1 A(){xe e dx} 22 1A A() 24 2 ∞ -α -∞ ∞∞ -α-α -∞ -∞ α- α =α--- μα ππαα α-- μμ α ? ? 若α，则该态为谐振子的基态，T 4 ω = 解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H定理是非常方便的。 一维谐振子的哈密顿量为： 22 22 d 1 H x 2dx2 =-+μω μ 它的基态能量 1 E 2 =ω选择为参量，则:

量子力学导论习题答案(曾谨言)

第五章 力学量随时间的变化与对称性 5.1）设力学量A 不显含t ，H 为本体系的Hamilton 量，证明 [][]H H A A dt d ,,2 2 2 =- 证.若力学量A 不显含t ，则有[]H A i dt dA ,1 =, 令[]C H A =, 则 [][]H C H C i dt C d i dt A d ,1 ,112 22 -===, [][]H H A A dt d ,, 2 2 2 =-∴ 5.2）设力学量A 不显含t ，证明束缚定态，0=dt dA 证：束缚定态为:：() () t iE n n n e t -=ψψ,。 在束缚定态()t n ,ψ，有()()()t E t t i t H n n n n ,,,ψψψ=?? = 。 其复共轭为()()()t r E e r t i t r H n n t iE n n n ,,** * * ψψψ=?? -= 。 ??? ??=n n dt dA dt dA ψψ,()??? ??-??? ??-=??n n n n n n A A A dt d ψψψψψψ,,, ?? ? ??-??? ??-= n n n n H i A A H i dt dA ψψψψ 1,,1 []()()n n n n AH i HA i H A i t A ψψψψ,1 ,1,1 -++??= []()()n n HA AH i H A i ψψ--= ,1,1 [][]() 0,,1=-=A H H A i 。 5.3）(){} x x iaP x a a D -=? ?? ??? ??-=exp exp 表示沿x 方向平移距离a 算符.证明下列形式波函数（Bloch 波函数）()()x e x k ikx φψ=,()()x a x k k φφ=+ 是()a D x 的本征态，相应的本征值为ika e - 证：()()()() ()a x e a x x a D k a x ik x +=+=+φψψ ()()x e x e e ika k ikx ika ψφ=?=,证毕。

量子力学课后答案第一二章

量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1、1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即 m λ T=b(常量); 并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ, (1) 以及 λνc =, (2) ||λνρρλd d v =, (3) 有 (),1 18)(| )(|| 5 2-?=?===kT hc v v e hc c d c d d dv λνλλ πλλρλ λλρλ ρρ 这里的λρ的物理意义就是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的就是λ取何值时,λρ取得极大值,因此,就得要求λρ 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ。但要注意的就是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值就是否小于零,如果小于零,那么前面求得的m λ就就是要求的,具体如下: 01151186=??? ? ? ?? -?+--?=-kT hc kT hc e kT hc e hc d d λλλλλ πλρ

? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ,则上述方程为 x e x =--)1(5 这就是一个超越方程。首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解就是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=4、97,经过验证,此解正就是所要求的,这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??≈-3109.2λ 这便就是维恩位移定律。据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定温度的高低。

量子力学习题集及答案

09光信息量子力学习题集 一、填空题 1． 设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125ο A ）。 2． 索末菲的量子化条件为=nh pdq ），应用这量子化条件求得一维谐振 子的能级=n E （ ηωn ）。 3． 德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍 射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ηω=E ）和（ k p ρηρ = ）。 4． 三维空间自由粒子的归一化波函数为()r p ρ ρψ=（ r p i e ρ ρη η?2 /3) 2(1π ）， () ()=? +∞ ∞ -*'τψψd r r p p ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 5． 动量算符的归一化本征态=)(r p ρ ρψ（ r p i e ρ ρηη?2/3)2(1π ），=' ∞ ?τψψd r r p p )()(*ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 6． t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 522 0)(2)(--+ ）。 7． 按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w =2 ），几率流密度= （ () ** 2ψ?ψ-ψ?ψμ ηi ）。 8． 设)(r ρψ描写粒子的状态，2)(r ρψ是（ 粒子的几率密度 ），在)(r ρψ中F ?的平均值为F =（ ??dx dx F ψψψψ* *? ） 。 9． 波函数ψ和ψc 是描写（ 同一 ）状态，δψi e 中的δi e 称为（ 相因子 ）， δi e 不影响波函数ψ1=δi ）。 10． 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为 零）的状态。 11． )i exp()()i exp()(),(2211t E x t E x t x η η-+-=ψψψ是定态的条件是 （ 21E E = ），这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时间无关。 12． （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。 13． （ 无穷远处波函数为零 ）的状态称为束缚态，其能量一般为（ 分立 ）谱。 14． 3．t=0时体系的状态为()()()x x x 300,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 732 0)()(--+ ）。 15． 粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为

周世勋量子力学习题及解答

1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλλρλρ ρ 011511 86 '=???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5：x=0，取：x=4.97， xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ

1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = e p E μ22 = E=pc p h =λ nm m m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.12296 6 2=?=????= ==--μμ 在这里，利用了 m eV hc ??=-61024.1 以及 eV c e 621051.0?=μ 最后，对 E c hc e 2 2μλ=

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曾谨言量子力学题库 一简述题： 1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问 题上的差别 2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以?为单位） 3. （1）试用Einstein 光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr 的量子理论 5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie 物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理 8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。 9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件 10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为),,(?θψr ，写出粒子在球壳),(dr r r +中被测到的几率以及在 ),(?θ方向的立体角元?θθΩd d d sin =中找到粒子的几率。 11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 13.（2）设ikr e r 1= ψ，试写成其几率密度和几率流密度 14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。 15.（3）简述和解释隧道效应 16.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。 17.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 18.（4）简述力学量算符的性质 19.（4）试述力学量完全集的概念 20.（4）试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？ 21.（4）若算符A ?、B ?均与算符C ?对易，即0]?,?[]?,?[==C B C A ，A ?、B ?、C ?是否可同时取得确定值？为什么？并举例说明。 22.（4）对于力学量A 与B ，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。 23.（4）微观粒子x 方向的动量x p ?和x 方向的角动量x L ?是否为可同时有确定值的力学量？为什么？ 24.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式 25.（4）简述幺正变换的性质 26.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 27.（4）粒子处在222 1 )(x x V μω= 的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态Schr ?dinger 方程。 28.（4）使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。 29.（4）如果C B A ?,?,?均为厄米算符，下列算符是否也为厄米算符？

最新量子力学导论习题答案(曾谨言)(1)

第九章 力学量本征值问题的代数解法 9—1） 在8.2节式（21）中给出了自旋（2 1）与轨迹角动量（l ）耦合成总角动量j 的波函数j ljm φ，这相当于2 1,21===s j l j 的耦合。试由8.2节中式（21）写出表9.1（a ）中的CG 系数 jm m m j 21121 解：8.2节式（21a ）（21b ）: ()21),0( 21+=≠-=m m l l j j j ljm φ???? ??-+++=+11121 lm lm Y m l Y m l l () ????? ??-++---+=+=21,2121,212121,21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l j （21a ） ()21-= j l j ljm φ???? ??++---=+11121 lm lm Y m l Y m l l () ????? ??+++--+++-++=≠-=21,2121,211122121),0( 21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l l j （21b ） ()21++j l 此二式中的l 相当于CG 系数中的1j ，而2 12==s j ,21,~,,~21±=m m m m j 。 因此，（21a ）式可重写为 jm ∑=222112 211m jm m j m j m j m j 2 12121212121212111111111--+=m j jm m j m j jm m j ??????? ? ??-???? ??++-???? ??++++=+=212112212121122111211111211121121),21(m j j m j m j j m j j l j a （21a ’） 对照CG 系数表，可知：当21121+=+=j j j j ,212=m 时 ， 21111112212121??? ? ??++=＋j m j jm m j 而2 12-=m 时，

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2.1 如图所示 左右 0 x 设粒子的能量为，下面就和两种情况来讨论 （一）的情形 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中 其解分别为 （1）粒子从左向右运动 右边只有透射波无反射波，所以为零 由波函数的连续性 得 得 解得 由概率流密度公式 入射 反射系数 透射系数 （2）粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得两个方程 解 反射系数 透射系数 （二）的情形 令,不变 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其解分别为

由在右边波函数的有界性得为零 （1）粒子从左向右运动 得 得 解得 入射 反射系数 透射系数 (2)粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得方程 由于全部透射过去，所以 反射系数 透射系数 2.2 如图所示 E 0 x 在有隧穿效应，粒子穿过垒厚为的方势垒的透射系数为 总透射系数 2.3 以势阱底为零势能参考点，如图所示 （1） ∞∞ 左中右 0 a x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得

∴ ∴ 相应的 因为正负号不影响其幅度特性可直接写成由波函数归一化条件得 所以波函数 （2） ∞∞ 左 中右 0 x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 当，为任意整数， 则 当，为任意整数， 则 综合得 ∴ 当时，， 波函数 归一化后 当时，， 波函数 归一化后 2.4 如图所示∞ 左右 0 a 显然 在中间和右边粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中

量子力学课后习题答案

第一章 绪论 1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：C m b b T m 0 3109.2 ,??==-λ。 证明：由普朗克黑体辐射公式： ννπνρννd e c h d kT h 1 1 83 3 -= ， 及λ νc = 、λλ νd c d 2 - =得 1 185 -= kT hc e hc λλλπρ， 令kT hc x λ= ，再由0=λρλd d ，得λ.所满足的超越方程为 1 5-=x x e xe 用图解法求得97.4=x ，即得 97.4=kT hc m λ，将数据代入求得C m 109.2 ,03??==-b b T m λ 1.2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie 波长. 解：010 A 7.09m 1009.72=?≈= =-mE h p h λ # 1.3. 氦原子的动能为kT E 2 3 = ，求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。 解：010 A 63.12m 1063.1232=?≈== =-mkT h mE h p h λ 其中kg 1066.1003.427-??=m ，1 23K J 1038.1--??=k # 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。 （2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。 已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123 T J 10 923.0--??=B μ，求动能的量子化间隔E ?，并与K 4=T 及 K 100=T 的热运动能量相比较。 解：（1）方法1：谐振子的能量2222 1 2q p E μωμ+= 可以化为 ( ) 1222 222 2=??? ? ??+ μωμE q E p 的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为2 2,2μω μE b E a = =，相空间面积为 ,2,1,0,2=== = =?n nh E E ab pdq ν ω ππ 所以，能量 ,2,1,0,==n nh E ν 方法2：一维谐振子的运动方程为02 =+''q q ω，其解为 ()?ω+=t A q sin 速度为 ( )?ωω+='t A q c o s ，动量为()?ωμωμ+='=t A q p cos ，则相积分为

量子力学教程课后习题答案高等教育

量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量） ； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλλρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ

? 0115=-?+ --kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λh P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ

量子力学教程第二版答案及补充练习

第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ

? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ

量子力学习题答案

量子力学习题答案 1.2 在0k 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解：由德布罗意波粒二象性的关系知： E h =ν； p h /=λ 由于所考虑的电子是非相对论的电子（26k e E (3eV)c (0.5110)-μ? ），故： 2e E P /(2)=μ 69 h /p h / hc / 1.2410/0.7110 m 0.71nm --λ====?=?=1.3氦原子的动能是E=1.5kT ，求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。 解：对于氦原子而言，当K 1=T 时，其能量为 J 10 2.07K 1K J 10 381.12 32 323 1 23 ---?=????= = kT E 于是有 一维谐振子处于2 2 /2 ()x x Ae α ψ-=状态中，其中α为实常数，求： 1.归一化系数； 2.动能平均值。 （22 x e dx /∞-α-∞ = α?） 解：1.由归一化条件可知： 22 * 2x 2 (x)(x)dx A e dx 1 A /1 ∞∞-α-∞ -∞ ψψ===α=? ? 取相因子为零，则归一化系数1/21/4A /=απ 2.

2222 2 2 22 2 2 22 22 22 22 2 * 2x /2 x /22 2 2 x /2 x /2 2 2 x /2 2x /2 2 222x 2x /2 2 2 24 2x 2T (x)T (x)dx A e (P /2)e dx d A e ()e dx 2dx d A e (xe )dx 2dx A {xe (xe )dx} 2A x e dx A 22∞∞-α-α-∞-∞ ∞-α-α-∞∞-α-α-∞ ∞ ∞-α-α-∞ -∞ ∞-α-∞ = ψψ=μ=- μ =- -αμ=- -α- -αμ = α = μμ ? ?? ? ? ? ＝（＝ ＝ 22 2 2 2 2 4 x 22 24 x x 2 2 22 24 21()xd(e ) 21A (){xe e dx}221A ()2442∞-α-∞ ∞ ∞-α-α-∞ -∞ α- α =α- -- μααα- - μ α μ μ α ? ? 若αT 4 ω= 解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H 定理是 非常方便的。 一维谐振子的哈密顿量为： 2 2 22 d 1H x 2dx 2 =- + μωμ 它的基态能量01E 2 = ω 选择 为参量，则: 0dE 1d 2 = ω ； 2 2 2 d H d 2d 2()T d dx 2dx =- = - = μμ d H 20 0T d = 由F-H 定理知： 0dE d H 210 T d d 2= ==ω 可得： 1T 4 = ω

量子力学教程周世勋_课后答案

量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 '=???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ

? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2 c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ

量子力学 第四版 卷一 习题答案

第一章 量子力学的诞生 1、1设质量为m 的粒子在谐振子势222 1 )(x m x V ω=中运动,用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。 提示:利用 )]([2,,2,1, x V E m p n nh x d p -===?? Λ )(x V 解:能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ (1) 其中a 由下式决定:222 1 )(a m x V E a x ω===。 a - 0 a x 由此得 2/2ωm E a = , (2) a x ±=即为粒子运动的转折点。有量子化条件 h n a m a m dx x a m dx x m E m dx p a a a a ==?=-=-=??? ?+-+-222222222)21(22πωπ ωωω 得ω ωπm n m nh a η22 = = (3) 代入(2),解出 Λη,3,2,1, ==n n E n ω (4) 积分公式: c a u a u a u du u a ++-=-? arcsin 2222 22 2 1、2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动,试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解:除了与箱壁碰撞外,粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发,则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变,仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向,把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件,对于x 方向,有 ()?==?Λ,3,2,1, x x x n h n dx p 即 h n a p x x =?2 (a 2:一来一回为一个周期) a h n p x x 2/=∴, 同理可得, b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=, Λ,3,2,1,,=z y x n n n 粒子能量

周世勋量子力学习题及解答

量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?， 因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 在这里，利用了 以及 最后，对

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1. 十九世纪末期，物理学理论在当时看来已经发展到相当完善的阶段，形成了三门经典学科。这三门经典学科分别是＿＿＿＿＿＿,＿＿＿＿＿＿,＿＿＿＿＿＿. 2. 按经典的物质概念，物质可以分为两类，一类是＿＿＿＿，另一类是＿＿＿＿＿＿． 3. 二十世纪初，经典物理学遇到了无法克服的困难。这些困难分别是＿＿＿＿，＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿及＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 4. 经典物理中，对实物的运动采用＿＿＿＿＿来描述，实物的运动遵守＿＿＿＿＿＿。 5. 经典物理中，对辐射场的运动采用＿＿＿＿＿来描述，辐射场的变化遵守＿＿＿＿＿＿。 6. 在经典概念下，实物的基本特性是＿＿＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿＿＿． 7. 在经典概念下，辐射场的基本特性是＿＿＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿＿． 8. 在经典概念，粒子性是指＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿． 9. 在经典概念，波动性是指＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿． 10. 在经典概念，波动性和粒子性＿＿＿（填是否可以）统一于同一物质客体． 11. 光的波动性的理论基础是＿＿＿＿＿＿＿＿． 12. 光的波动性的实验证据是＿＿＿＿＿＿＿＿． 13. 光的粒子性的实验证据是＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿． 14. 光的粒子性的理论依据是＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿． 15. 微粒的粒子性是指微观粒子的＿＿＿＿＿＿，即＿＿＿＿＿＿＿以及＿＿＿＿＿＿． 16. 微粒的波动性是指＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 17. 微粒的粒子性的实验证据是＿＿＿＿＿＿．

18. 按照爱因斯坦光子假设，光子的能量E和动量P与光波的频率ν和波长 λ的关系为 E=＿＿＿＿，P=＿＿＿＿． 19. 按照德布洛依假设，能量为E、动量为P的自由粒子其相应的物质波的 波长λ=＿＿ ＿＿，频率ν=＿＿＿． 20. 自由粒子的动能为E，速度远小于光速，则德布罗依波长λ=＿＿＿＿． 21. 电子被电势差V（伏）加速，则德布罗依波长λ=＿＿＿＿． 22. 按照德布洛依假设，粒子的能量E、动量P与相应的物质波的频率ν， 波长λ的关 系是＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿． 23. 历史上第一个肯定光除了波动性之外还具有粒子性的科学家是＿＿＿＿． 24. 历史上第一次用实验证明实物具有波动性的科学家是＿＿＿＿＿＿＿＿． 25. 能量为E，动量为P的自由粒子的平面波的表达式是＿＿＿＿＿＿＿＿． 26. 玻尔的氢原子理论包含三条假设，分别是＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿． 27. 索末菲对玻尔的轨道量子化条件推广为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 28. 玻尔的频率条件表示为＿＿＿＿＿＿＿＿． 29. 任何态函数用动量本征函数展开的表达式为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 30. 任何态函数在动量表象中的表达式为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 31. 波函数是指＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．