函数导数与不等式专题(可编辑修改word版)
函数导数与不等式专题
一．利用切线与导数之间的联系解决不等式有关问题
?x2+ 2x +a, x < 0
1．（2013年高考四川）已知函数 f (x) =?
,其中a 是实数.
?ln x, x > 0
设A(x1 , f (x1 )) ,B(x2 , f (x2 )) 为该函数图象上的两点,且x1 (1)指出函数f (x) 的单调区间; (2)若函数f (x) 的图象在点A, B 处的切线互相垂直,且x2 < 0 ,证明: x2 -x1 ≥ 1 ; (3)若函数f (x) 的图象在点A, B 处的切线重合,求a 的取值范围. 2．（2014 届江西省新余）已知函数f(x)b ln x，g( x ) ax 2x (a R) ． （1）若曲线f ( x) 与g( x) 在公共点A(1 , 0) 处有相同的切线，求实数a 、b 的值；（2）当b 1 时，若曲线f ( x) 与g( x) 在公共点P 处有相同的切线，求证：点P 唯一；（3）若a 0 ，b 1 ，且曲线f ( x) 与g( x) 总存在公切线，求正实数a 的最小值． 二．利用函数的单调性、极值与导数的联系解决有关不等式问题3．（2014 届云南省师大附中）已知函数f (x) =x2-ax ，g(x) = ln x ．（1）若f (x) ≥g(x) 对于定义域内的x 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）设h(x)=f(x)+g(x)有两个极值点x , x ，且x∈? 0, 1? ，求证：h(x)-h(x)> 3 -ln2； 1 2 1 2 ? 1 2 4 ?? 4.（2014 届湖北省部分重点中学）已知函数f (x) =2 x3+x2+ax +1 在(-1, 0)上有3 两个极值点 x1 , x2 ，且 x1 11 （2）证明：f (x2 ) 12 ． > 三、灵活应用导数解决函数与不等式的有关综合问题 5．（2014 届浙江省杭州市）设函数 f ( x ) = e x + sin x ， g ( x ) = x - 2 ； （1） 求证：函数 y = f ( x ) 在[0,+∞) 上单调递增； （2）设 P ( x 1 , f ( x 1 )) ， Q ( x 2 , g ( x 2 )) ( x 1 ≥ 0, x 2 > 0) ，若直线 PQ // x 轴，求 P , Q 两点间的最短距离. 6. （2014 届江西省师大附中）设 f (x ) = e x - a (x +1) ． (1) 若 a > 0, f (x ) ≥ 0 对一切 x ∈ R 恒成立，求 a 的最大值． a （2） 设 g (x ) = f (x ) + ，且 A (x , y ), B (x , y )(x ≠ x ) 是曲线 y = g (x ) 上任意e x 1 1 2 2 1 2 两点，若对任意的 a ≤ -1 ，直线 AB 的斜率恒大于常数 m ，求 m 的取值范围； （3）求证：1n + 3n + + (2n -1)n < e -1 (2n )n (n ∈ N *) ． e 1 课后强化训练 1. （2014 届河北省邯郸市 ）设函数 f (x ) = x (e x -1) + ax 2 (1) 当 a = - 时，求 f (x ) 的单调区间； 2 （2）若当 x ≥ 0 时， f (x ) ≥ 0 恒成立，求 a 的取值范围. (x ) = 2、（2014 届湖北省黄冈中学）已知函数 a = 9 a x +1 ， a 为常数． （1） 若 f (x ) = ln x +(x ) ，且 2 ，求函数 f (x ) 的单调区间； g (x ) = ln x +(x ) x , x ∈(0, 2] x ≠ x （ 2） 若 g (x 2 ) - g (x 1 ) < -1 x 2 - x 1 ， 且 对 任 意 1 2 ，求 a 的取值范围． ， 1 2 ， 都 有 ? 1 函数导数与不等式专题参考答案 1 解:(1)函数 f (x ) 的单调减区间为(-∞,-1) ,单调增区间为(-1, 0) , (0, +∞) (2) 由导数的几何意义知,点 A 处的切线斜率为 f '(x 1 ) , 点 B 处的切线斜率为 f '(x 2 ) , 故当点 A , B 处的切线互相垂直时,有 f '(x 1 ) ? f '(x 2 ) = -1 , 当 x <0 时, f (x ) = 2x + 2 因为 x 1 < x 2 < 0 ,所以 (2x 1 + 2) ? (2x 2 + 2) = -1 ,所以2x 1 + 2 < 0 , 2x 2 + 2 > 0 , 因此 x - x = 1 [-(2x + 2) + (2x + 2)] ≥ = 1 , 2 1 2 1 2 (当且仅当- (2x 1 + 2) = 2x 2 + 2 = 1,即 x 1 = - 3 且 x 2 2 = - 1 时等号成立) 2 所以函数 f (x ) 的图象在点 A , B 处的切线互相垂直时有 x 2 - x 1 ≥ 1 . (Ⅲ)当 x 1 < x 2 < 0 或 x 2 > x 1 > 0 时, f '(x 1 ) ≠ f '(x 2 ) ,故 x 1 < 0 < x 2 . 当 x 1 < 0 时, f (x ) 的图象在点(x 1 , f (x 1 )) 处的切线方程为 y - (x 2 + 2x + a ) = (2x + 2) ? (x - x ) 即 y = (2x + 2) x - x 2 + a . 1 1 1 1 1 1 当 x 2 > 0 时, f (x ) 的图象在点(x 2 , f (x 2 )) 处的切线方程为 y - ln x 2 = 2 ? (x - x 2 ) 即 y = 1 x 2 ? x + ln x 2 - 1 . ? 1 两切线重合的充要条件是? x = 2x 1 + 2 ① , ? 2 ?ln x - 1 = -x 2 + a ① - (2x 1 + 2) ? (2x 2 + 2) 1 x 2 2 由①及 x1< 0 1 x < 2 , 由①、②得 2 a = ln x + ( 1 -1) 2-1 =- ln 1 + 1 ( 1 - 2) 2- 1 , 22x x 4 x 2 2 令t = 1 x 2 ,则0 1 t 2-t - ln t 4 设h (t) = 1 t 2 4 -t - ln t (0 1 t -1- 1 = 2t (t - 1) 2- 3 2 t 所以h(t) (0 故当函数 f (x) 的图象在点A, B 处的切线重合时,a 的取值范围是(-1 - ln 2, +∞) . 2 解：（1）f b ，g 2ax 1．∵曲线与在公共点 A x ,0处 f b ln 1 0 有相同的切线∴ a 1 0 ，解得， a 1 ． .......................... 3 分 b 1 2a 1 （2）设P (x0,y0)，则由题设有ln x0ax x0…① 2 又在点P 有共同的切线 f '(x )= g '(x )?1 = 2ax-1 ?a =1+x0 代入①得ln x 1 1 x……5 分 0 0 x 02x20 2 2 0 0 0 设ln x 1 1 x ，则h 1 1 0， 2 2 x 2 < ∴h(x)在(0 ,+∞)上单调递增，所以h (x)＝0 最多只有1个实根， 从而，结合（Ⅰ）可知，满足题设的点 P 只能是 P (1, 0) ……………7 分 （3）当 a 0 ， b 1 时， f ln x ， f 1 ， x 曲线 f 在点 ① l n 处的切线方程为 y ln t 1 x t ，即 y 1 x ln t 1 ． t y 1 x ln t 1 1 由 t ，得 ax 2 1 ln t 1 0 ． y ax 2 x t ∵ 曲 线 与 总 存 在 公 切 线 ， ∴ 关 于 t 0 的 方 程 Δ 1 1 2 4 t n t 1 0 ，即 1 1 2 4 t l n (*)总有解．………9 分 若 t e ，则1 ln t 0 ，而1 1 2 t 0 ，显然(*)不成立，所以 0 t e …10 分 从而，方程(*)可化为 4a ． t ln 令 t e ，则 h ln t t ． t l n t ln ∴ 当0 < t < 1时， h 0 ；当1 t e 时， h 0 ， 即 在 , 上单调递减，在 , e 上单调递增． ∴ 在 , e 的最小值为 4 ， 所以，要使方程(*)有解，只须4a ≥ 4 ，即 a ≥ 1． ................................ 13 分 3 解：（1） f (x )≥ g (x ) ∴a ≤x - ln x (x > 0) ， x ， 设(x ) = x - ln x , '(x ) = x 2 + ln x - 1 x x 2 当 x ∈(0, 1) 时，'(x ) < 0 ，当 x ∈(1, + ∞) 时，'(x ) > 0, …（2 分） 1 2 ∴(x )≥(1) = 1, ∴ a ∈(-∞, 1] ． ......................................................................... （5 分） （2） h (x ) = x 2 - ax + ln x , ∴ h '(x ) = 2x 2 - ax + 1 x (x > 0), ∴x x = 1 , ∵x ∈? 0, 1 ?, ∴x ∈(1, + ∞), 且ax = 2x 2 + 1(i = 1, 2) 1 2 2 1 2 ? 2 i i ? ? ， ∴h (x ) - h (x ) = (x 2 - ax + ln x ) - (x 2 - ax + ln x ) 1 2 1 1 1 2 2 2 = (-x 2 - 1 + ln x ) - (-x 2 - 1 + ln x ) = x 2 - x 2 + ln x 1 = x 2 - 1 - ln 2x 2 (x > 1) 1 1 2 2 2 1 x 2 4x 2 2 2 2 1 2 2 2 ' (2x 2 - 1)2 …（9 分） 设(x ) = x - - ln 2x (x > 1), (x ) = 4x 2 2x 3 ≥0, ∴(x ) > (1) = 3 - ln 2, 即h (x ) - h (x ) > 3 - ln 2. 4 1 2 4 …………………………（13 分） 4.（1） f '(x ) = 2x 2 + 2x + a ，由题意知方程2x 2 + 2x + a = 0 在(-1, 0) 上有两不等 实根，设 g (x ) = 2x 2 + 2x + a ，其图象的对称轴为直线 x = - 1 ，故有 2 ? ? ? ? ? ?g (- ? g (-1) = a > 0 g (0) = a > 0 1 ) = 1 + (-1) + a < 0 2 2 ，解得0 < a < ．．．．．．．．．．．．．．（6 分） 2 （ a = -2x 2 - 2x 构造 g (x ) = -2x 2 - 2x 利用图象解照样给分） （2）由题意知 x 是方程2x 2 + 2x + a = 0 的大根， 从而 x ∈? - 1 , 0 ? 且有2x 2 + 2x + a = 0 ，即 a = -2x 2 - 2x ， 2 2 ? 2 2 2 2 ? ? 这样 f (x ) = 2 x 3 + x 2 + ax +1 = 2 x 3 + x 2 + (-2x 2 - 2x )x +1 = - 4 x 3 - x 2 +1 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 设(x ) = - 4 x 3 - x 2 +1，'(x ) = -4x 2 - 2x =0，解得 x = - 1 , x = 0 ， 3 1 2 2 1 > 由 x ∈? -∞, - 1 ? ，'(x ) < 0 ； x ∈? - 1 , 0 ? ，( ' x ) > 0 ； 2 ? 2 ? ? ? ? ? x ∈(0, +∞) ，'(x ) < 0 知， (x ) = - 4 x 3 - x 2 +1在(- 1 , 0) 单调递增，又Q - 1 < x < 0 ， 3 2 2 2 1 11 11 从而(x 2 ) >(- 2) = 12 ，即 f (x 2 ) > 12 成立。 ．．．．．．．．．．．．．（13 分） （2） 另解：由题意知 x 是方程2x 2 + 2x + a = 0 的大根，从而 x ∈? - 1 , 0 ? ， 2 2 2 ? ? ? 由于0 < a < ， ax > 1 x ， f (x ) = 2 x 3 + x 2 + ax +1 > 2 x 3 + x 2 + 1 x +1 ， 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 设 h (x ) = 2 x 3 + x 2 + 1 x +1， x ∈? - 1 , 0 ? ， 3 2 2 ? ? ? h '(x ) = 2x 2 + 2x +1 = 2(x + 1 )2 + 1 > 0 2 2 h(x)在? - 1 , 0 ? 递增， h (x ) > h (- 1 ) = 11 ， 2 ? 2 12 ? ? 11 即 f (x 2 ) 12 成立。．．．．．．．．（13 分） 5.（1） x ≥ 0 时， f '( x ) = e x + cos x ≥ 1 + cos x ≥ 0 ， 所以函数 y = f ( x ) 在[0,+∞) 上单调递增； --------------------------------------- 6 分 （2）因为 f ( x 1 ) = g ( x 2 ) ，所以e x 1 + sin x = x 2 - 2 ------------------------ 8 分 所以 P , Q 两点间的距离等于 x 2 - x 1 = e x 1 + sin x - x 1 + 2 ， -------- 9 分 设h ( x ) = e x + sin x - x + 2( x ≥ 0) ，则h '( x ) = e x + cos x - 1( x ≥ 0) ， 记l ( x ) = h '( x ) = e x + cos x - 1( x ≥ 0) ，则l '( x ) = e x - sin x ≥ 1 - sin x ≥ 0 ， 所以h '( x ) ≥ h '(0) = 1 > 0 ， ------------------------------------------------------- 12 分 1 1 - a e 2n i n n 所以h ( x ) 在[0,+∞) 上单调递增，所以h ( x ) ≥ h (0) = 3 ---------------- 14 分 所以 x 2 - x 1 ≥ 3 ，即 P , Q 两点间的最短距离等于 3 -------------- 15 分 6 解：（1）∵ f (x ) = e x - a (x +1) ，∴ f '(x ) = e x - a ， ∵ a > 0 ， f '(x ) = e x - a =0 的解为 x = ln a ，∴ f (x )min = f (ln a ) = a - a (ln a +1) = -a ln a ， ∵ f (x ) ≥ 0 对一切 x ∈R 恒成立，∴ -a ln a ≥ 0 ，∴ a ln a ≤ 0 ，∴ a max = 1． （2）设 x 1、x 2 是任意的两实数，且 x 1 < x 2 g (x 2 ) - g (x 1 ) > m ，故 g (x ) - mx > g (x ) - m x x 2 -x 1 2 2 1 1 ∴不妨令函数 F (x ) = g (x ) - mx ，则 F (x ) 在（- ∞，+ ∞）上单调递增， ∴ F '(x ) = g '(x ) - m ≥ 0 恒成立 ∴对任意的 a ≤ -1，x ∈ R ， m ≤ g '(x ) 恒成立 g '(x ) = e x - a - a ≥ 2 e x 故 m ≤ 3 - a = - a + 2 = ( +1)2 - 1 ≥ 3 ， （3）由（1）知 e x ≥x+1，取 x= - i ， i = 1,3, 2n - 1, 得 1- i 2n 2n - i ≤ e 2n ， - 即( ) ≤ e 2n 累加得： - i 2 ， 2n -1 2n -3 1 - 1 - 1 n 3 n 2n -1 n - - - e 2 (1- e n ) ( ) + ( ) 2n 2n + + ( 2n ) ≤ e 2 + e 2 + + e 2 = 1- e -1 < e -1 ∴1n + 3n + + (2n -1)n < e -1 (2n )n 故存在正整数 a=2．使得∴1n + 3n + + (2n -1)n < e -1 (a )n 课后强化训练 1. 解：（1）当 a = - 1 时， f (x ) = x (e x -1) - 1 x 2 ， 2 2 f '(x ) = (e x -1) + xe x - x = (x +1)(e x -1) ............................................... 2 分 令 f '(x ) > 0, 得 x < -1或x > 0 ；令 f '(x ) < 0, 得-1 < x < 0 所以 f (x ) 的单增区间为(-∞, -1) ， (0, +∞) ；单减区间为(-1, 0) …………5 分 e x ? (- a ) e x - a e e （2） f (x ) = x (e x -1) + ax 2 = x (e x -1+ ax ) ，令 g (x ) = (e x -1+ ax ), x ∈[0, +∞) ， g '(x ) = e x + a ， g (0) = 0 ……………………………7 分 当 a ≥ -1 时， g '(x ) = e x + a > 0 ， g (x ) 在[0, +∞) 上为增函数，而 g (0) = 0 ，从而当 x ≥ 0 时， f (x ) ≥ 0 恒成立 ........................................................................... 9 分 当 a < -1 时，令 g '(x ) = e x + a = 0 ，得 x = ln(-a ) .当 x ∈(0, ln(-a )) 时， g '(x ) < 0 ， g (x ) 在 (0, ln(-a )) 上是减函数， 而 g (0) = 0 ， 从而当 x ∈(0, ln(-a )) 时， g (x ) < 0 ， 即 f (x ) < 0 综 上 ， a 的 取 值 范 围 是 [-1, +∞) ……………………12 分 1 a x 2 + (2 - a )x +1 2. 解 ：（1） f '(x ) = - = ， ----------------------------- 2 分 x (x +1)2 9 x (x +1)2 1 ∵ a = ，令 f '(x ) > 0 ，得 x > 2 ，或 x < 2 1 ， -------------------------------- 3 分 2 ∴函数 f (x ) 的单调增区间为(0, ) ， 2 (2, +∞) ． -----------------------------4 分 单调减区间为? 1 , 2 ? -------------------------------------- 5 分 2 ? ? ? 注：两个单调增区间，错一个扣 1 分，错两个扣 2 分 （2）∵ g (x 2 ) - g (x 1 ) < -1，∴ g (x 2 ) - g (x 1 ) +1 < 0 ， x 2 - x 1 x 2 - x 1 ∴ g (x 2 ) + x 2 -[g (x 1 ) + x 1 ] < 0 ， -------------------------------------------------- 7 分 x 2 - x 1 设 h (x ) = g (x ) + x ，依题意， h (x ) 在(0, 2]上是减函数． ---------------- 8 分 a 1 a 当1 ≤ x ≤ 2 时， h (x ) = ln x + + x ， h '(x ) = - +1， x +1 x (x +1)2 (x +1)2 2 2 1 令 h '(x ) ≤ 0 ，得： a ≥ + (x +1) = x + 3x + + 3 对 x ∈[1, 2] 恒成立， x x 1 设 m (x ) = x 2 + 3x + 1 + 3 ，则 m '(x ) = 2x + 3 - 1 ， x x 2 ∵1 ≤ x ≤ 2 ，∴ m '(x ) = 2x + 3 - > 0 ， x 2 27 ∴ m (x ) 在[1, 2] 上是增函数，则当 x = 2 时， m (x ) 有最大值为 ， 2 ∴ a ≥ 27 ．---------------------------------------------------------------------------- 11 分 2 a 1 a 当0 < x < 1时， h (x ) = -ln x + + x ， h '(x ) = - - +1 ， x +1 x (x +1)2 (x +1)2 2 2 1 令 h '(x ) ≤ 0 ，得： a ≥ - + (x +1) = x + x - -1 ， x x 设t (x ) = x 2 + x - 1 -1，则t '(x ) = 2x +1+ 1 x x 2 > 0 ， ∴ t (x ) 在(0,1) 上是增函数，∴ t (x ) < t (1) = 0 ， ∴ a ≥ 0 --------------------------------------------------------------------- 13 分 27 综上所述， a ≥ -----------------------------------------14 分 2