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2015届高三12月21日全程测试

高三理科数学全程测试 2014.12.21

一、选择题:

1.已知全集U=R ,集合A={|x y =

,B={1

|

242

2015届高三12月21日全程测试

x x <<},则U C A B 等于 A .{|12x x -<<} B .{|10x x -<<} C .{|02x x x <≥或} D .{|20x x -<<} 2.下列说法正确的是

A .命题“若1x =则21x =”的否命题为“若2

1x ≠,则1x ≠” B .命题“2

,10x R x x ?∈+-<”的否定是“2

,10x R x x ?∈+->” C .“x y =”是“sin sin x y =”的充分不必要条件

D .“命题P ,q 中至少有一个为真命题”是“P ∨q 为真命题”的充分不必要条件

3.过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,如果x 1+x 2=6,那么|AB|=( ) A .10 B .8 C .6 D .4 4.已知a 与b 均为单位向量,其夹角为θ,有下列四个命题

12:10,3P a b π

θ??+>?∈???? 22:1,3P a b πθπ??

+>?∈

???

3:10,3P a b πθ??->?∈???? 4:1,3P a b πθπ??

->?∈ ???

其中的真命题是 (A )14,P P (B )13,P

P (C )23,P P (D )24,P P

5.数列{n a }满足11a =,n a >0,22

11n n a a +-=(n ∈N +),那么使n a <3成立

的n 的最大值为

A .3

B .4

C .8

D .9

6.某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是

( )

A .4

B .

143 C .163

D .6

7.已知函数()f x 是R 上的偶函数,若对于x ≥0都有(2)()f x f x +=-,且当x ∈[0,2)时,8()log (1)f x x =+,则f (一2013)+f (2014)= A .0 B .

1

3

C .1

D .2 8.函数()cos ln ||f x x x =的部分图象为

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9.已知函数32

()g x ax bx cx d =+++(a ≠0)的导函数为()f x ,且(0)(1)f f >0,a+b+c=0,设x 1,x 2:是

方程()f x =0的两个根,则22

12x x +的取值范围为

A .[

410,99] B .(410

,99

) C .

[23] D .

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(23) 10.已知函数31,0()log ,0

kx x f x x x +≤?=?

>?,下列关于函数1

[()]2y f f x =-零点个数的四个判断: (1)当k>0时,

有3个零点;(2)当k<0时,有2个零点;(3)当k>0时,有4个零点;(4)当k<0时,有1个零点。则正确

的判断是

A .(1)(4)

B .(2)(3)

C .(1)(2)

D .(3)(4)

二、填空题:

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12.若圆422=+y x 与圆)0(0622

2>=-++a ax y x 的公共弦的长为32,则a = 。

13.已知F 1、F 2分别是双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点,P 为双曲线上的一点,若∠

F 1PF 2=90°,且△F 1PF 2的三边长成等差数列,则双曲线的离心率是 .

14.若两条异面直线所成的角为60°,则称这对异面直线为“黄金异面直线对”,在连接正方体各顶点的所有直线中,“黄金异面直线对”共有____对.

15.如图所示,函数()y f x =的图象由两条射线和三条线段组成。若对x ?∈R ,都有

()(12sin )f x f x a ?≥-,其中a >0,02

π

?<<

,则?的最小值为

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三、解答题:

16.(本小题满分12分)

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如下图,已知平行六面体1111—ABCD A B C D 中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧棱1AA 长为b,且1AA 与AB 、AD 的夹角都是120°.求:(1)1AC 的长;(2)直线1BD 与AC 所成的角的余弦值.

17.(本小题满分12分)

设数列{n a }的前n 项和为n S ,且214n n S a +=,数列{n b }满足2

1()2

n b

n a =.

(I)求数列{n a },{n b }的通项公式; (Ⅱ)令n

n n

b c a =

,求数列{n c }的前n 项和n T .

18.(本小题满分12分)

已知A ,B ,C 是△ABC 的三个内角,向量m =(1

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),n =(sinA ,2+cosA),且m ∥n ,边AC 长为2. (I)求角A ; (Ⅱ)若

221sin 23cos sin B

B B

+=-,求边AB 的长.

19.(本小题满分12分)

一个盒子装有六张卡片,上面分别写着如下六个函数:3

1()f x x =,2()5x

f x =,3()2f x =,

421()21x x f x -=+,5()sin()2

f x x π=+,6()cos f x x x =.(Ⅰ)从中任意拿取2张卡片,若其中有一张卡

片上写着的函数为奇函数。在此条件下,求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率;(Ⅱ)现从盒子中逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取,否则继续进行,求抽取次数ξ的分布列和数学期望.

20.(本小题满分13分)

已知直线l 与抛物线2

4x y =相切于点P (2,1),且与x 轴交于点A ,定点B 的坐标为(2,0). (1)若动点M 满足20AB BM AM ?+=,求点M 的轨迹C 的方程;(2)若过点B 的直线l '(斜率不等于零)与(1)中的轨迹C 交于不同的两点F E ,(E 在F B ,之间),试求OBE ?与OBF ?面积之比的取值范围.

21.(本小题满分14分)

已知函数()(1)(ln 1)f x ex x =+- (e 为自然对数的底数). (I)求曲线()y f x =在x =1处的切线方程; (Ⅱ)求函数()f x 的单调递增区间;

(Ⅲ)若点P(e ,()f e ),且点A(x 1,f (x 1)),B(x 2,f (x 2))满足条件:12(1ln )(1ln )1x x --=(x 1≠x 2).判断A ,B ,P 三点是否可以构成直角∠APB?请说明理由.

高三理科数学全程测试参考答案

一、选择题:BCBAC, BBABC

二、填空题:11. x+2=0或3x-4y+10=0.12.1 13. 5.提示:e2-6e+5=0,解得e=5或e=1(舍

去),故答案为5.14.24 15.

6

三、解答题:16.

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,

∴BD1与AC所成角的余弦值为

17.解:(Ⅰ)由题意得,2S n+1=4a n,当n=1时,2S1+1=4a1,解得a1=,

当n≥2时,2S n+1=4a n,2S n﹣1+1=4a n﹣1,两式相减得,2a n=4a n﹣4a n﹣1,得a n=2a n﹣1,即,

所以数列{a n}是以为首项、2为公比的等比数列,则a n==2n﹣2,

因为()=a n2,所以,则b n=﹣2n+4;

(Ⅱ)由(Ⅰ)得,c n==,所以T n=+①,

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T n=+②,

①﹣②得,T n=4﹣2[]﹣

=4﹣2×

=

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=

=

, 所以T n =

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19. 解:(Ⅰ)()3

1f x x =为奇函数;()25x

f x =为偶函数;()32f x =为偶函数;

()42121x x f x -=+为奇函数;()5sin()2

f x x π=+为偶函数; ()6cos f x x x =为奇函数.

(注:每对两个得1分,该步评分采用去尾法)

所有的基本事件包括两类:一类为两张卡片上写的函数均为奇函数;另一类为两张卡片上写的函数为一个

是奇函数,一个为偶函数;故基本事件总数为112

333

C C C +。

满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数,故满足条件的基本事件个数为2

3C ,

故所求概率为23112

3331

4

C P C C C ==+ .也可按照条件概率计算公式解答。 (Ⅱ)ξ可取1,2,3,4. 其中,10

3

)2(,21)1(151316131613=?=====C C C C P C C P ξξ,

20

1

)4(,203)3(1313141115121613141315121613=

???===??==C C C C C C C C P C C C C C C P ξξ; 故ξ的分布列为

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.420420310221=?+?+?+?=ξE ∴ξ的数学期望为.4

7

20.解:(1)由2

214,4x y y x =

=得1.

2

y x '∴= 故l 的方程为1,y x =-∴点A 的坐标为(1,0)…2分

设(,),(1,0),(2,),(1,)M x y AB BM x y AM x y ==-=-则.

由20(2)00AB BM AM x y ?+=-+?+=得 整理2

212

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x y += ………4分 (2)如图,由题意知l '的斜率存在且不为零,设l '方程为2x my =+

代入2

212

x y +=,整理,得 22(2)420,m y my +++= 由202>>?m 得 ……………7分

设11(,)E x y .22(,)F x y , 则12212242

,22m y y m y y m ?

+=-

??+??=?+? ...9分 令,OBE OBF S S λ??=则2

121y y BE BE ==

λ,代入上式可得)8,4(2

821

2

2

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∈+=++m m λλ,解得31,λ-<<

另解:设l '方程为(2)(0)y k x k =-≠① 将①代入2

212

x y +=,整理,得

222221

(21)8(82)0,00.2

k x k x k k +-?+-=?><<由得 ........... 7分

设11(,)E x y .22(,)F x y , 则21222

122821

,82

21k x x k k x x k ?+=??+?-?=?+?

② 令,,OBE OBF BE S S BF λλ??==则

由此可得122,,0 1.2x BE BF x λλλ-=?=

<<-且 由②知122

4(2)(2),12x x k

--+-=+

1212122

2

(2)(2)2()4,12x x x x x x k

-?-=-++=+ 22

21(1)8

k λλ+∴=+,

即2

2

41

.(1)2k λλ=

-+ …11分 21

0,2k << 2

4110,(1)22λλ∴<-<+

解得33λ-<<+ 又

01,31,λλ<<∴-<<

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OBE OBF ∴??与面积之比的取值范围是(3-…………………13分

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