代数第二册第十章第4、6节立方根;实数
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
立方根与实数
二. 重点、难点
立方根与平方根的定义类似，但要注意立方根与被开数一一对应，即正数、0、负数都有一个立方根，实数是对数域的再次扩充，同学们要注意不是带根号的数就是实数，要明确实数的意义。
【典型例题】
[例1] 求下列各数的立方根
① 512 ② 8
27
- ③ 0 ④ 216.0- 解：
① ∵ 51283
= ∴ 512的立方根为8即85123=
② ∵ 827)2
3(3
-
=- ∴ 827-的立方根为2
3
-即238273-=- ③ ∵ 003
= ∴ 0的立方根为0，即003=
④ ∵ 216.0)6.0(3
-=- ∴ 216.0-的立方根为6.0-即6.0216.03-=-
[例2] 求下列各式的值
①
3
512 ② 364
27
-
- ③ 0196.0- ④ 2
2
)7
4()7
3(+的算术平方根 解： ①
85123
=
② 4
36427642733==-
- ③ 14.00196.0-=-
④ ∵ 49254916499)74()73(22=
+=
+ 又 ∵ 4925
)75(2=± ∴ 22)74()73(+的算术平方根为7
5
[例3] x 取何值时，下面各式有意义？
① x x -+ ②
3
1-x ③
3
1--x x ④
2x
解：
① 根据题意得?
?
?≥-≥00
x x 解得0=x 即0=x 时，x x -+有意义
② ∵ x 为任何实数时，31-x 都有意义 ∴ x 的取值为全体实数 ③ 根据题意得??
?≠-≥-0
301x x 解得1≥x 且3≠x 即1≥x 且3≠x 时31
--x x 有意义
④ 对于任何实数02
≥x 无论x 取何值时2
x 都有意义
[例4] 求3512的立方根
解：∵ 85123
= 而823= ∴
3
512的立方根为2
[例5] 若
012=-x
求1216822+--+-x x x x 的值。 解：∵ 012
=-x
∴ 2=x
∴
1216822+--+-x x x x 11214416164=-=+--+-=
[例6] 证明：2是无理数
证明：假设2是有理数，则n
m
=
2（m 、n 是互质的自然数） ∴ 222=n
m ∴ 222n m =
故2
m 是偶数，从而m 必是偶数，设p m 2=则2
2
24n p =
222p n = ∴ n 为偶数
∴ m 、n 有公约数2，这与假设m 、n 互质相矛盾 ∴ 2是无理数
[例7] 已知a 、b 是两个任意有理数，且b a <，问是否存在无理数p ，使得b p a <<成立？
解：∵ b a <，012>- ∴ b a )12()12(-<- 即a b a +-<)12(2 ① 又因为b b b b a 22-+=< ∴ b b b a 22<
-+ 即b a b 2)12(<+-②
由①、②有b a b a 2)12(2<+-< b b a b a <-+<
2
)
(22
所以取)(2
2
2)(22b a b b a b p -+=-+=
显然，p 为无理数
故存在无理数p 使b p a <<成立
[例8] 求使
2
497a
--为自然数的整数a 的值。
解：设2
49m a =-（m 为整数）于是942
=+m a
∴ 4a 为偶数，9为奇数 ∴ m 必为奇数
又a 497--为正整数 ∴ 02
7>-m ∴ 7 故4,0,2-=a [例9] 求证 52221111 )1( 个 个n n -是有理数。 证明： 个 个 n n 2522111)1(-510222101111 )1(+?+?=+- 个 个 n n n 510)110(92 10)110(9111+?-+?-= +-n n n 2 2)510(9 1)25101010(91+=+?+=n n n 故原数5 103 +=n 即为有理数 [例10] 试确定 1991 2005199119919911991个++++的整数部分。 解：∵ 2245199144<< ∴ 45199144<< ∴ 19914519911991199144+<+<+ 即2 2461991199145<+< ∴ 461991199145<+< ∴ 199146199119911991199145+<++<+ 即2 24619911991199145<++< ∴ 4619911991199145<++< 反复上述步骤，可知所求的整数部分是45。 【模拟试题】（答题时间：45分钟） 一. 判断题 1. 一个数若有平方根，则它的平方根是一正一负的两数。（ ） 2. 若a 是b 的一个平方根，则a -也是b 的一个平方根。（ ） 3. 无论a 取何值，2 a -一定没有平方根。（ ） 4. 一个正数的平方根的平方，等于这个数本身。（ ） 5. 如果一个数有平方根，那么这个数的算术平方根必为正数。（ ） 6. 查表得162.135.1=，则135的平方根11.62。（ ） 7. 23600是236.0的整数倍。（ ） 二. 填空 1. 2的平方根是 ，2是 的一个平方根。 2.2)9 4(-的平方根是 。 3. 若0≥a ，则a 的平方根是 。 4. 一个数的平方根等于它本身，这个数是 。 5. 如果一个非负数的平方根是12-a 和5-a ，则这个数是 。 6. 要使式子 3 -x x 有意义，则x 的取值范围是 。 7. 若0 a 的算术平方根是 。 8. 若22 =x ，则=x 。 9. 若0113=++-y x ，则=+2 2y x 。 10. 若0)2(2 =-x x ，则x 的值为 。 11. 代数式b a +--3的最大值为 ，此时满足关系式 。 12. 若674.35.13=，则=-135.0 。 13. 已知a =8.375，则=0003758.0 。（用含a 的代数式表示） 14. 若32.17300=，则4 103-?的平方根是 。 15. 要使正方形的面积扩大为原来的100倍，则边长增加 倍。 三. 选择题 1. 2 )6(-的平方根是（ ） A. 6- B. 6 C. 6± D. 36 2. 16的平方根是（ ） A. 4 B. 4± C. 2 D. 2± 3. 要使14+a 有意义，则a 能取的最小整数值为（ ） A. 0 B. 1 C. 1- D. 4- 4. 下列运算中正确的是（ ） A. 3)3(2±=- B. 5)5(25=--=-- C. 4 13116191+=+ D. 1221202222=+ 5. 设a 为625的算术平方根，2 5-=b ，则a 与b 的关系为（ ） A. b a ±= B. b a = C. b a -= D. b a ±≠ 6. 查表知80.19392=，若92.32 =x ，则x 等于（ ） A. 1.98 B. 1.98或98.1- C. 15.37 D. 15.37或37.15- 7. 若被开方数的小数点向左移动2n （n 为自然数）位，那么它的算术平方根的小数点应（ ） A. 向右移动2位 B. 向左移动2n 位 C. 向右移动n 位 D. 向左移动n 位 8. 已知732.13=，48.530=，则2.1的值为（ ） A. 1.096 B. 0.346 C. 364 D. 0.1096 9. 2 )3(-的平方根是（ ） A. 732.1- B. 732.1± C. 3- D. 3± 10. 当3- 四. 解答题 1. 已知n m n m A -++= 3是3++n m 的算术平方根，322+-+=n m n m B 是n m 2+的立 方根。求A B -的立方根。 2. 化简9 632393232 22 2 3+--÷-++--x x x x x x x x x x （3>x ） 3. 如果3)11(2+++=++-+c b a c b a ，则=++2 22c b a 。 4. 已知 01 11=++z y x ，23-=++z y x ，求222z y x ++的值。 5. 设等式y a a x a y a a x a ---=-+ -)()(在实数范围内成立且y x ,，a 互不 相等，则：2 22 23y xy x y xy x +--+的值是多少。 6. 化简10020)5(22 +-+ -a a a （105< 7. 2510144622 +-+++--x x x x x （52 1 <<-x ） 8. 若0 9. 若等式：)12 1 ()5()3(12)5()3(44 2 -+-++=-+-++a a a a a a ，则a 的取值范围是多少？ 10. 若x 、y 为实数，2 111+ -++< x x y ，化简：12122 +---y y y 11. 已知43=c ，且03)12(42 =-=+-b b a ，求2 2b a c -的平方根。 12. 已知：a 、 b 为有理数，且249)2(2 -=-b a ，求a 、b 的值。 【试题答案】 一. 1. × 2. √ 3. × 4. √ 5. × 6. × 7. × 二. 1. 2± ；4 2. 9 4 ± 3. a ± 4. 0 5. 9 6. 3>x 7. a - 8. 2± 9. 9 10 10. 0=x 或2=x 11. 3-；0=+b a 12. 3674.0- 13. a 001.0 14. 2 10732.1-?± 15. 10 三. 1. C 2. D 3. A 4. D 5. C 6. B 7. D 8. A 9. D 10. B 四. 1. ∵ ? ??=+-=-3322n m n m ? ??==24 n m 3324=++= A 2443=+=B ∴ 1-=-A B ∴ 113 -=- 2. 2 22 333932323x x x x x x x x x --?--++-= ∵ 3>x 03>-x ) 3(3)3)(32()32(32x x x x x x x x x --?-+++-= 033=---= x x x x 3. 5041=++ 提示：01121112112=++-+++---++-c c b b a a 0)11()11()1(222=-++--+-c b a 1=a 1=a 11=-b 2=b 11=+c 0=c 4. 0=++xz yz xy 2 2 2 2 )23(222-=+++++xz yz xy z y x ∴ 6252 2 2 -=++z y x 5. 0)(≥-a x a 0)(≥-a y a 0≥-a x 0≥-y a 即0≤-a y ∴ 0=a 即y x -= y x -= 31 32 22 222=++--y y y y y y 6. 105-+-=a a ∵ 105<-a 010<-a 原式5105=-+-=a a 7. 5126-++--=x x x 5 1 ->x 012>+x 05<-x 原式x x x x 4105126-=+----= 8. 2)(x x - 0 9. )12 1 ()5()3(1253-+-++=-+-++a a a a a a 3-≥a 5≤a 2≥a ∴ 52≤≤a 10. 2 1 < y 012<-y 01<-y 112---y y y y y y y -=+--=---=121)1(21 11. ??? ??==-=+-34 03012c b b a ?? ? ? ?===6435 c b a 492564=- ∴ 2± 12. 2492222 2 -=+-b ab a ???-=-=+4 29222ab b a ?? ?==+2 9 222ab b a ?? ?==21 b a ? ??-=-=21 b a 板块一：战前准备——打败拦路虎！ 作战目标： 1．______________________________ 2．______________________________ 3．______________________________ 装备： A ．______________________________ B ．______________________________ 第一作战目标：平方根 相关知识：平方 224,=2749,=211121,=221441,=2321024,= 4＝( )2 49＝( )2 121＝( )2 1024＝( )2 5＝( )2 250＝( )2 平方根的概念：____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________。 示例： 若22＝4，则2就叫做4的平方根； 若(-2)2＝4，则-2就叫做4的平方根； 若(±2)2＝4，则±2就叫做4的平方根。 练习：25的平方根为_______，81的平方根为_______，5的平方根为_______。 练习升级：0的平方根为_______。 练习再升级：-5的平方根为_______？ 帅哥徐老师总结： 1．只有非负数才有平方根！ 2．正数的平方根有两个，且互为相反数。 0的平方根只有一个，就是0。 负数没有平方根。 第二作战目标：算术平方根 算术平方根的概念： ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________。 实 数 【2019最新】七年级数学下册 6-2 立方根学案（无答案）（新版）新人教版 学习目标： 理解并掌握立方根的概念，会用符号表示一个数的立方根。 会求一个数的立方根。 学习重点：理解立方根的概念并求一个数的立方根。 学习难点：立方根与平方根的区别 学习过程： 一 复习回顾 1、你记得吗？ 13= 23= 33= 43= 53= 63= 73= 83= 93= 103= 求下列各式的值 （1）225= （2）64.0- = （3）±8149= （4）)9(2-= 二 自主学习 自学课本49—51页内容，完成下列要求： 1、理解立方根的概念，理解立方与开立方是互为逆运算。 （1）如果一个数的立方根等于 ，那么这个数叫做 的 或 。 （2）求一个数的 的运算，叫做 开立方 。 与 互为逆运算。 （3）符号3a 中，3是 ，3a 中的 不能省略，被开方数a 数可以是 、 或 。 （4）求下列各数的立方根: ① 27 ②-125 ③641 ④ -8 1 ⑤0 2、独立完成49页探究内容，组内合作交流，归纳出正数、负数、0的立方根的特点。 （1）正数的立方根是 数，负数的立方根是 数，0的立方根是 。 （2）你能归纳出平方根和立方根的异同点吗? 被开方数3、独立完成50页探究，理解3a -与—3a 的相等关系。 3a - —3a 三 检测 1、根据立方根的意义填空 ① ∵328=，∴8的立方根是 ；即=38 ② ∵()3 0.50.125=，∴0.125的立方根是 ；即=3125.0 ③∵()300=，∴0的立方根是 ；即=30 ④ ∵()328-=-，∴-8的立方根是 ；即=-38 ⑤∵328327??-=- ??? ，∴278-的立方根是 ；即=-3278 2、求下列各数的立方根 （1）—8 (2) 6427 (3) ±125 (4) 81×9 3、求下列各式的值： （1）364= （2）327-= （3）327 102 = （4）31000 1-= （5）64±= （6）64= 4、求下列各式的值。 （1）—327102 = （2）—364 27—= （3）3064.0-= （4）— 31125 98-= 5、求下列各式的值： ① 3125-= ② 31000 = ③ 31000 1- = ④ 3001.0-+01.0= 6、解下列方程 ⑴3512x = ⑵3 641250x -= ⑶()31216x -=- 7、当x x 时， 平方根和立方根 一、知识要点 1、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。因此： ① 当0=a 时，它的平方根只有一个，也就是0本身； ② 当0>a 时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。 ③ 当0 （2）因为93)3(22==-，所以2)3(-的算术平方根是3，即3)3(2=-； （3）因为496449151=，又4964)78(2=，所以49151的算术平方根是78，即7849151=. 注意：这类问题应按算术平方根的定义去求.要注意2)3(-的算术平方根是3，而不是 3.另外，当这个数是带分数时，应先化为假分数，然后再求其算术平方根，不要出现类似7 4149161=的错误. 例2 求下列各式的值 （1）81±； （2）16-； （3）25 9； （4）2)4(-. 分析：±81表示81的平方根，故其结果是一对互为相反数；－16表示16的负平方根，故其结果是负数；25 9表示259的算术平方根，故其结果是正数；2)4(-表示2)4(-的算术平方根，故其结果必为正数. 解：（1）因为8192 =，所以±81=±9. （2）因为1642=，所以－416-=. （3）因为2 53??? ??=259，所以259=5 3. （4）因为22)4(4-=，所以4)4(2=-. 3、立方根 （1）如果x 的立方等于a ，那么，就称x 是a 的立方根，或者三次方根。记做：3 a ，读作，3次根号a 。注意：这里的3表示的是开根的次数。一般的，平方根可以省写根的次数，但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略。 平方根与立方根练习题 班级 姓名 时间 一、填空题 1．如果9=x ，那么x ＝________；如果92=x ，那么=x ________； 2．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是_________； 3．算术平方根等于它本身的数有________，立方根等于本身的数有________． 4. x ==则 ，若,x x =-=则 。 5．81的平方根是_______，4的算术平方根是_________，210-的算术平方根是 ； 6．当______m 时，m -3有意义；当______m 时，3 3-m 有意义； 7．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是 ； 8．21++a 的最小值是________，此时a 的取值是________． 二、选择题 9. 若2x a =，则（ ） A.0x > B. 0x ≥ C. 0a > D. 0a ≥ 10．2)3(-的值是（ ）． A ．3- B ．3 C ．9- D ．9 11．设x 、y 为实数，且554-+-+=x x y ，则y x -的值是（ ） A 、1 B 、9 C 、4 D 、5 12．如果53-x 有意义，则x 可以取的最小整数为（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 13．一个等腰三角形的两边长分别为25和32，则这个三角形的周长是（ ） A 、32210+ B 、3425+ C 、32210+或3425 + D 、无法确定 14. 若5x -能开偶次方，则x 的取值范围是（ ） A ．0x ≥ B.5x > C. 5x ≥ D. 5x ≤ 15. 若n 为正整数,则2n ） A ．-1 B.1 C.±1 D.21n + 16. 若正数a 的算术平方根比它本身大，则（ ） A.01a << B.0a > C. 1a < D. 1a > 三、解方程 1. 8)12(3-=-x 2．4(x+1)2=8 3. 2(23)2512x x -=- 4. (2x-5)3=-27 四、解答题 已知： 实数a 、b 满足条件 0)2(12=-+-ab a 试求: ) 2004)(2004(1)2)(2(1)1)(1(1 1 ++++++++++b a b a b a ab 的值 6.2 立方根(二) 一【学习目标】 使用人： 1、 会熟练求一个数的立方根。 2、 理解立方根的性质，并会用立方根的性质解决相关问题。 二【学习重、难点】 重点：熟练用立方根的性质解决相关问题。 难点：熟练用立方根的性质解决相关问题。 。 知识点一、利用计算器求立方根 例1、 用计算器求立方根 （1）1331 （2）-343 （3）9.263 知识点二、利用立方根解方程 例2 解方程 （1）0643 =+x （2）()801133 =--x 知识点三、立方根的性质（二） 化简计算： （1）=38 =-3 8 =3 125.0 =-3 125.0 =3 27 64 =- 3 27 64 由以上计算可得，（1）33a a -=- （2）=336 =?? ? ??-3 3 21 由以上计算可得， = （3） ( ) =3 3 008.0 =??? ? ??-3 381 由以上计算可得， = 例1、若338743+=-x x ，求x 的值。 编号 5 预习案 展示案 师生札记 例2、 若323-m 与321n -互为相反数，求m n 1 2+的值 1、16的平方根和立方根分别是 2、若3 38 7 =-a ，则a= 3、一个正方体的棱长是7厘米，要再做一个正方体，使它的体积是原来体积的八倍，则新正方体的棱长是 4、(1)()=-33 2 (2)=-+33 64 1641 5、解方程 （1）()113 -=-x （2）()081273 =++x 6、填写下表： 想一想，上表中数a 的小数点的移动与它的立方根3a 的小数点的移动间有何规律？ 利用规律计算：k =315，a =3015.0 ，b =315000，求a,b 的值。 7、如果3 33+-+= b a b a A 为b a 3+的算术平方根，1221---=b a a B 为21a -的立方 根，求B A +的平方根. 巩固案 6.2立方根导学案（第1课时） 一：回顾旧知 1.一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的 或 这就是说，如果 a x =2 ,那么x 叫做 a 的 2.正数有 平方根，它们 0的平方根 ， 负数 。 3.求下列各数的平方根： （1） 49 （2）25 4 (3)10 6 1 ( 4) 0.0016 二：自主探究 探究一 : 自学课本第49页探究前的内容，并回答下面的内容： 1、现有一只体积为8cm 3 的正方体纸盒，它的每一条棱长是多少？ 2、如果一个数的立方等于－ 27 8 ，这个数是多少？ 3、说出立方根的定义：一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即a x =3，那么这个数就叫做a 的（ ）， 也称为a 的三次方根；如果 x 叫做a 的立方根，数a 的立方根记作3a ，读作“（ ）” 例如：2的立方是8，所以___是____的立方根，记作283=，又如27 8 3 2 3 - =-）（，____是___的立方根，记作327 832-=- ；若a x =3 ，则x 叫做a 的_____，a 叫做x 的____。 练一练： 求下列各数的立方根：(1)64；(2)0.125；(3)0；(4)－1；(5)8 27 - . 4、开立方的定义： .5、开立方和立方互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求。 探究二： 自学课本第49页探究，根据立方根胡意义填空。你能发现正数.0.负数的立方根各有什么特点吗？ （1）因为23 ＝8，所以8的立方根是（ ）；(2)因为( )3 ＝0.064，所以0.064的立方根是（ ）； (3)因为( )3 ＝0，所以0的立方根是（ ）；4)因为( )3 ＝-8，所以-8的立方根是（ ）； (5)因为( )3 ＝827- ，所以8 27 -的立方根是（ ）. 性质： 正数的立方根是 正 数； 0的立方根是 0 ；负数的立方根是 负 数； 练一练：1.填空1)因为( )3 ＝27所以27的立方根是 ；(2)因为( )3 ＝－27，所以－27的立方根是 (3)因为( )3＝ 64125，所以64125 的立方根是 ；(4)因为( )3 ＝64125-，所以64125-的立方根是 . 2.判断对错：对的画“√”，错的画“×”. (1)1的平方根是1. (2)1的立方根是1. (3)－1的平方根是－1. （4）－1的立方根是－1(5)4的平方根是±2. (6)27的立方根是±3. 平方根: 概括1：一般地，如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根(或二次方根)。就是 说，如果x 2 ＝a,那么x 就叫做a 的平方根。 如：23与－23都是529的平方根。 因为(±23)2 ＝529，所以±23是529的平方根。 问：（1）16，49，100，1 100都是正数，它们有几个平方根?平方根之间有什么关系? （2）0的平方根是什么? 概括2：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没 有平方根。 知识点二： 概括3：求一个数a(a ≥0)的平方根的运算，叫做开平方。 开平方运算是已知指数和幂求底数。平方与开平方互为逆运算。一个数可以是正数、负数或者是0，它的平方数只有一个，正数或负数的平方都是正数，0的平方是0。但一个正数的平方根却有两个，这两个数互为相反数，0的平方根是0。负数没有平方根。 因为平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。 知识点三： （1）625的平方根是多少？这两个平方根的和是多少？ －7和7是哪个数的平方根？ 正数m 的平方根怎样表示？ （2）下列各数的平方根各是什么？ 64； 0； (－0.4)2 ； )3 21(-（3）已知正方形的面积等于a, 3、例题讲解： 例1、求下列各数的平方根： (1)81； (2)1916； (3)0.09 例2、下列各数有平方根吗? 如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由。 (1)－64； (2)0； (3)( - 例3、求下列各式的值： (1)10000； (2)144-；(4)0001.0-； (5)81 49± 平方根与立方根知识点小结及练习 一、知识要点 1、平方根： ⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。 ⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 ⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a ”。 2、立方根： ⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a ”（a 称为被开方数）。 ⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。 3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。 二、规律总结： 1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。 2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。 3≥0有意义的条件是a ≥0。 4、公式：⑴)2=a （a ≥0）=（a 取任何数）。 5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。 例1 求下列各数的平方根和算术平方根 （1）64；（2）2 )3(-； （3）49151； ⑷ 2 1(3)-； （5）100； （6）25 121 （7）0.25 例2 求下列各式的值 （1）81±； （2）16-； （3）25 9； （4）2 )4(-. （5）44.1，（6）36-，（7）49 25 ±（8）2)25(- 例3、求下列各数的立方根： ⑴ 343； ⑵ 10 227 -； ⑶ 0.729；（4） 343 ；（5） 2168-；（6）-0.0064；（7）-729 二、巧用被开方数的非负性求值. 当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求y x 的立方根. 练习：1、已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值. 2、已知233(2)0x y z -+-++=，求xyz 的值。 3、已知互为相反数，求a ，b 的值。 三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值. 当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a 例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根. 练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值. 4.因为(－2)3=－8,所以－8的立方根是_______.2.因为0.53=0.125,所以0.125的立方根________.1.因为23=8,所以8的立方根是_______.根据立方根的意义填空6.因为( )3= ,所以的立方根是______.827 -827-5.因为(－0.5)3=－0.125,所以－0.125的立方根是_____.3.因为( )3= ,所以的立方根是_______.827827石嘴山市第八中学数学“导、学、练、评、批”学案式教学模式 年级：七年级下 课型：综合课 备课人：马少军 时间：3月30日 学生姓名 家长签字： 课题：立方根 学习目标：1、能正确说出立方根的概念，会用立方运算求一个数的立方根; 2、了解立方根的性质，能说出1到10的立方数． 学习重点：正确求出一个数的立方根。 学习难点：利用立方根的性质解决问题 教学过程： 一． 出示问题，引入新课 1、如图，一个体积是64cm 3的正方体的棱长是多少？ 2、类比归纳立方根的概念 一般地，如果有一个数的平方等于a ，那么这个数叫作a 的 ，也叫作二次方根. 即： 若x 2=a ，则x 是a 的一个 （二次方根） 一般地，如果有一个数的立方等于a ，那么这个数叫作a 的 根，也叫作三次方根. 即：若x 3=a ，则x 是a 的一个 （三次方根） 类似于平方根，一个数a 的立方根，用符号“ ”表示，读作：“三次根号a ”,其中a 叫做被开方数，3叫做 . 类似开平方运算，求一个数的立方根的运算叫作“开立方”. 三、概念的应用 立方根的性质 1.正数的立方根是________, 2.负数的立方根是________, 3.0的立方根________. 实数可按下图进行详细分类： 0???????????? ?????? ?? ??? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ???? ?? ?? 正整数 整数 负整数有理数 有限小数或无限循环小数 正分数 实数分数 负分数正无理数无理数无限不循环小数 负无理数 实数与数轴上的点一一对应. ( 以下概念均在实数域范围内讨论) 平方根的定义及表示方法： 如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根． 也就是说，若2 x a = ，则x 就叫做 a 的平方根． 一个非负数a 的平方根可用符号表示为 “ ” ． 算术平方根： 一个正数 a 有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做a 的算术平方根，可用符号表示为 ； 有一个平方根，就是0， 0的算术平方根也是 0，负数没有平方根，当然也没有算术平方根 .（负数的平方根在实数域内不存在，具体内容高中将进学习研究） 一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若 0a ≥ . 平方根的计算： 知识点睛 中考要求 平方根和立方根 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方． 开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根． 通过验算我们可以知道： ⑴ 当被开方数扩大(或缩小)2n 倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)n 倍(0n ≥)． ⑵ 平方根和算术平方根与被开方数之间的关系： ①若0a ≥ ，则2a =；②不管a (0) ||(0)a a a a a ≥?==?- §12.1 平方根与立方根 第一课时平方根（9月1日星期二） 教学目的： 1、使学生理解数的平方根的概念，能运用根号表示一个数的平方根； 2、掌握用平方运算求某些数的平方根的方法； 教学重点和难点： 重点：平方根的概念及求某些数的平方根的方法； 难点：平方根的概念； 关键：对符号“”意义的理解。 学法指导： 根据教师为主导，学生为主体的原则，始终贯穿“激发情趣—手脑并用—启发诱导—反馈矫正”的教学方法。 教法指导： 1、针对八年级学生的认知特点，体现“以学生发展为本”的教育理念，发展学生的个性特长，让学生学会学习。本堂课主要采用引探式和启发式的教学方法，教师引导为辅，学生自主思考解决问题为主。 2、数学概念的学习比较抽象、枯燥，用多媒体辅助教学，增加课堂的趣味性，提高学生的学习积极性。 教学过程： 一、引入新课： 我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方运算，但在现实生活中，有些问题仅运用这五种运算是无法解决的。例如已知正方形一边长是4厘米，那么它的一条对角线的长是多少厘米?解决这个问题就要运用一种新的运算方法，这种运算叫做开方。这节课我们就要学习开方运算和平方根。 可以先预练1—20的平方计算。 二、新课学习： 1、知识设疑： （1）计算：42；(－4)2 (0.8)2；(－0.8) 2、知识形成： 知识点一： 我们可以设这个数为x ，则2x ＝16，问题归结为求x 以通过乘方运算来解决。 因为42＝16所以x ＝4 ；又因为(－4)2＝16，所以x ＝－4 。4或－4的平方都等于16，可以表示为(±4)2＝16。 因为4或－4的平方都等于16，我们把4概括1：一般地，如果一个数的平方等于a ，二次方根)。就是说，如果x 2＝a,那么如：23与－23都是529的平方根。 因为(±23)2＝529，所以±23是529问：（1）16，49，100，1 100根之间有什么关系? （2）0的平方根是什么? 概括2：一个正数有两个平方根，是0本身；负数没有平方根。 知识点二： 概括：求一个数a(a ≥0)个数可以是正数、负数或者是0平方都是正数，0的平方是0。互为相反数，0的平方根是0。负数没有平方根。 因为平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。 知识点三： （1）625－7和7是哪个数的平方根？ 正数m 的平方根怎样表示？ （2）下列各数的平方根各是什么？ 64； 0； (－0.4)2； 2 )32 1( ； －（3）已知正方形的面积等于a,那么它的边长等于多少？ 课题：6.2立方根 (1) 班级 姓名 【学习目标】 1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根；了解开立方与立方 的互逆运算关系。 2.体会一个数的立方根的惟一性， 分清一个数的立方根与平方根的区别 3.体验数学在实际生活中的作用。 【学习重、难点】 【重点】 立方根的概念和求法。 【难点】 立方根与平方根的区别。 【学法指导】通过探究立方根的概念和求法弄清立方根的唯一性。 【学习过程】 【自主学习】 1、判断下列各式是否有意义 ① 3- ②3 ③2 )4(- ④23- 2、225的算术平方根是 ，平方根是 ，他们互为 ；0的平方根是 ，算术平方根是 ；-4 平方根和算术平方根。 3、求下列各式的值 ① 144 ②64.0- ③2)3(- ④ 169 121 ± 4．看图，填空： ()=32 ()=33 ()643= ()1253= 5、问题：要制作一种容积为27 m 3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应 该是 归纳 ：如果一个数的立方等于a ，这个数叫做a 的 （也叫做 ）， 即如果3x a =，那么x 叫做a 的立方根。如3 3=27，所以 是27的立方根。 求一个数的立方根的运算,叫做 , 与 运算互为逆运算.（开平方和平方互为逆运算一样） 【合作探究】 探究（一）：根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点？ 因为3 28=，所以8的立方根是（ ）； 因为()3 0.50.125 =，所以0.125的立方根是（ ） 因为() 3 00 =，所以0的立方根是（ ）； 因为 ()3 28 -=-，所以-8的立方根是（ ） 因为3 28327??-=- ? ?? ，所以278-的立方根是（ ） 总结：一个正数有一个 的立方根 0有一个立方根，是它 一个负数有一个 的立方根 任何数都有 个立方根。 探究（二）：立方根的表示方法 一个数a 的立方根，用符号 表示，读作 。其中a 是 ， 3是 ，而且3不可 。 探究（三）： 例：求下列各数的立方根。 （1）-125 （2） 27343 （3）24 1 教师辅导教案 学员姓名年级初二辅导科目数学学科教师班主任课时数 教学课题平方根与立方根 教学目标1、认识是平方根与算数平方根 2、认识立方根 3、实数的分类 教 学重难点1、平方根的计算 2、算数平方根的意义 教学内容课堂收获 知识归纳 一、平方根与算术平方根 1.平方根：一般地，如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根(或二次方根)。就是说，如果x2＝a,那么x就叫做a的平方根。例如，4 22=，2是4的平方根，4 )2 (2= -，－2是4的平方根，即2和－2都是4的平方根。 2. 算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即a x2=，那么这个正数x叫做a的算术平方根（特别规定：0的算术平方根是0）。例如，4 22=，正数2是4的算术平方根。虽然4 )2 (2= -，但－2不是正数，所以－2不是4的算术平方根，（“”是算术平方根的符号） 知识点概括 概括1：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。 概括2：“”是算术平方根的符号，a就表示a的算术平方根。 a的意义有两点： （1）被开方数a表示非负数，即a≥0； （2）a也表示非负数，即a≥0。负数不存在算术平方根，即a＜0时，a无意义。概括3：平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也 可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。 平方根与算术平方根的区别在于： ①定义不同； ②个数不同：一个正数有两个平方根, 而一个正数的算术平方根只有一个； ③表示方法不同：正数a 的平方根表示为a ±, 正数a 的算术平方根表示为a ； ④取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数, 正数的平方根是一正一负． ⑤0的平方根与算术平方根都是0． 二、立方根 立方根概念：如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根(也叫做三次方根)。 表示法：用式子表示，就是，如果a x =3 ，那么x 叫做a 的立方根。数a 的立方根用符号 “3a ”表示，读作“三次根号a ，其中a 是被开方数，3是根指数。(注意：根指数3不能省略)。求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 立方根性质：(1)正数的立方根是正数 (2)负数的立方根是负数 (3)0的立方根是0． 平方根与立方根的区别与联系 区别：（1）根指数不同： 平方根的根指数为2，且可以省略不写；立方根的根指数为3，且不能省略不写。 （2） 被开方的取值范围不同：平方根中被开方数必需为非负数；立方根中被开方数可以为任何数。（3） 结果不同：平方根的结果除0之外，有两个互为相反的结果；立方根的结果只有一个。 联系： 二者都是与乘方运算互为逆运算 三、实数 概念：实数是有理数和无理数的统称。（无理数：无限不循环小数叫做无理数） 2019版七年级数学下册第6章实数 6.2 立方根（1）学案新人教 版 一、学习目标： 1、了解立方根的概念，初步学会用根号表示一个数的立方根. 2、了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根. 3、体会一个数的立方根的惟一性，分清一个数的立方根与平方根的区别。 二、重点难点 重点：立方根的概念和求法。 难点：立方根与平方根的区别。 三、合作探究 1.平方根是如何定义的? 平方根有哪些性质? 2、问题：要制作一种容积为27 m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是 3、思考：(1) 的立方等于-8？ (2)如果上面问题中正方体的体积为5cm3，正方体的边长又该是 4、立方根的概念： 如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的.（也叫做数a的）.换句话说,如果,那么x叫做a的立方根或三次方根. 记作：.读作“”， 其中a是，3是，且根指数3 省略（填能或不能），否则与平方根混淆. 5、开立方 求一个数的的运算叫做开立方，与开立方互为逆运算 （小组合作学习） 6、立方根的性质 （1）教科书探究 （2）总结归纳： 正数的立方根是数，负数的立方根是数，0的立方根是. （3）思考：每一个数都有立方根吗？一个数有几个立方根呢？ 被开方数平方根立方根 正数 负数 零 四、精讲精练 例1、 求下列各式的值： （1）364； （2） 327102 例2、求满足下列各式的未知数x ： （1）3 x 0.008= 练习 1. 判断正误: （1）、25的立方根是 5 ；（ ） （2）、互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数；（ ） （3）、任何数的立方根只有一个；（ ） （4）、如果一个数的平方根与其立方根相同，则 这个数是1；（ ） （5）、如果一个数的立方根是这个数的本身，那么这个数一定是零；（ ） （6）、一个数的立方根不是正数就是负数.（ ） （7）、–64没有立方根.( ) 2、(1) 64的平方根是________立方根是________. (2) 的立方根是________. (3) 37-是_______的立方根. (4) 若 ,则 x=_______, 若 ,则 x=________. (5) 若 , 则x 的取值范围是__________, 若 有意义，则x 的取值范围是_______________. 3、计算：（1）38 321+ 4、已知x-2的平方根是4±，2x y 12-+的立方根是4，求() x y x y ++的值. 五、课堂小结：正数、负数、0都有立方根 六、作业 ： 2、4 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！ 327()92 =-x ()93=-x x x -=23x - “平方根”与“立方根”知识点小结 一、知识要点 1、平方根： ⑴、定义：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作 “ （a称为被开方数）。 ⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 ⑶、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平 。 2、立方根： ⑴、定义：如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作 （a称为被开方数）。 ⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。 3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。 二、规律总结： 1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。 2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。 3 有意义的条 件是a≥0。 4、公式：⑴ )2=a（a≥0） =（a取任 何数）。 5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。 例1求下列各数的平方根和算术平方根（1）64；（2）2)3 (-；（3） 49 15 1；⑷ 2 1 (3) - 例2 求下列各式的值 （1）81 ±；（2）16 -；（3） 25 9 ；（4）2)4 (-. （5）44 .1，（6）36 -，（7） 49 25 ±（8）2) 25 (- 例3、求下列各数的立方根： ⑴343；⑵ 10 2 27 -；⑶0.729 二、巧用被开方数的非负性求值. 大家知道，当a≥0时，a的平方根是±a，即a是非负数. 例4、若,6 2 2= - - - -y x x求y x的立方根. 练习：已知,2 1 2 2 1+ - + - =x x y求y x的值. 三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值. 我们知道，当a≥0时，a的平方根是±a，而.0 ) ( ) (= - + +a a 例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a，求a的平方的相反数的立方根. 练习：若3 2+ a和12 - a是数m的平方根，求m的值. **立方根 【学习目标】 1.了解立方根的概念，能用根号表示一个数的立方根；了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根；理解“两个互为相反数的立方根的关系2体会一个数的立方根的惟一性；分清一个数的立方根与平方根的区别 3.渗透特殊----一般----特殊的思想方法。 【学习重点】立方根的概念和求法。 【学习难点】立方根与平方根的区别。 【学习过程】 ［知识回顾］说出下列各式表示的意义，并求值 ⑴256⑵81 16 ⑶⑷ ［探究研讨］ 【活动1】要制作一种容积为27m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？由以上问题，有x3=27，即x3=a的形式，和上节课学习的平方根（x2=a）有什么区别？ 【活动2】阅读课本P77-78“探究”以上的内容，理解以下知识 1.立方根（三次方根）的概念 2.什么是开立方运算？和立方运算有什么关系？ 3.立方根有什么性质？与平方根有什么不同？ 4.数的立方根用什么符号表示？与平方根有什么区别？ ［随学随练］ **有个立方根，是，可以表示为，即：= （考察数的立方根的性质和表示方法） 2.如果x3=8，那么x= 3.立方根等于本身的数为 4.-3是的平方根，是的立方根 5.表示，并求出下列数的立方根 ⑴-10 ⑵1 27⑶0 ⑷-0.008 6.下列说法中不正确的是（） （A）8的立方根是2 （B）-8的立方根是-2 （C）64 的立方根为2 （D ）125的立方根为±5 7. 3 -27 的绝对值是（） （A） 3 （B）-3 （C） 1 3（D）- 1 3 【活动3】例：说出下列各式表示的意义并求值 ⑴364⑵3125 -⑶ 3 10 2 27 - ⑷ 3 27 64 -- ()2 0.3____ --= 49 ____, 100 ±= 加速度学习网 我的学习也要加速 平方根和立方根 有疑问的题目请发在“51加速度学习网”上，让我们来为你解答 51加速度学习网 整理 一、本节学习指导 平方根是学习实数的准备知识，是以后学习一元二次方程等知识的必备基础，也是中考的必考内容之一，此节我们要掌握平方根和立方根的概念。本节有配套免费学习视频。 二、知识要点 1、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即， )0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。因此： ① 当0=a 时，它的平方根只有一个，也就是0本身； ② 当0>a 时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。 ③ 当0 加速度学习网 我的学习也要加速 例1 求下列各数的算术平方根 （1）64；（2）2 )3(-；（3）49 15 1 . 分析：根据算术平方根的定义，求一个数a 的算术平方根可转化为求一个数的平方等于a 的运算，更具体地说，就是找出平方后等于a 的正数. 解：（1）因为6482 =，所以64的算术平方根是8，即864=； （2）因为93)3(22==-，所以2 )3(-的算术平方根是3，即3)3(2=-； （3）因为496449151 = ，又4964)78(2=，所以49151的算术平方根是7 8 ，即7 8 49151 =. 注意：这类问题应按算术平方根的定义去求.要注意2 )3(-的算术平方 根是3，而不是3.另外，当这个数是带分数时，应先化为假分数，然后再求 其算术平方根，不要出现类似7 4149161=的错误. 例2 求下列各式的值 （1）81±； （2）16-； （3） 25 9； （4）2 )4(-. 分析：±81表示81的平方根，故其结果是一对互为相反数；－16表 示16的负平方根，故其结果是负数； 259表示25 9的算术平方根，故其结果是正数；2 )4(-表示2 )4(-的算术平方根，故其结果必为正数. 解：（1）因为8192 =，所以±81=±9. （2）因为1642 =，所以－416-=. （3）因为2 53??? ??=25 9，所以259=53 . （4）因为2 2 )4(4-=，所以4)4(2 =-. 6.2 立方根 导学案(1) 目标:了解立方根的概念；学会用根号表示一个数的立方根；会用立方 运算求某些数的立方根；理解两个互为相反数的立方根的关系。 重点:立方根的概念及求法 难点:立方根的求法 内容:教材p49-50 学 习 过 程 环节一（独立思考，认真完成，5分钟） 问题：要制作一种容积为273m 的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长 应该为多少?设这种包装箱的边长为x m ，则_________＝27，那么x ＝_____. 在上面问题中，一个数x 的立方等于27，那么我们就说x 是27的____________. 归纳：1、一般地，如果一个数的_________等于a ，那么________叫做_______的立方根或________这就是说，如果a x =3那么_______叫做_______的立方根. 2、求一个数的_________的运算叫做开立方．．．.开立方与_______互为逆运．．．．算． 环节二（独立思考，认真完成，20分钟） 1、 （1）如果2733=，那么______是______立方根；（2）如果125.05.03=， 那么_______是_______的立方根；（3）如果27 8)32(3=，那么_______是_______的立方根； 2、 如果003=，那么_______是_______的立方根； 3、 （1）如果27)3(3-=-，那么______是______立方根；（2）如果 125.0)5.0(3-=-，那么_______是_______的立方根； （3）如果27 8)32(3-=-，那么_______是_______的立方根； 归纳：正数的立方根是______数；负数的立方根是_______数；0的立方根是_____. 4、类似于平方根，一个数a 的立方根，用符号表示为 3a ，读作___________， 其中a 是______. 3是________. 5、（1）8的立方根是______，_______的立方根是2； 平方根、立方根、实数练习题 一、选择题 1、若a x =2，则（ ） A 、x>0 B 、x ≥0 C 、a>0 D 、a ≥0 2、一个数若有两个不同的平方根，则这两个平方根的和为（ ）A 、大于0 B 、等于0 C 、小于0 D 、不能确定 3、一个正方形的边长为a ，面积为b ，则（ ）A 、a 是b 的平方根 B 、a 是b 的的算术平方根 C 、b a ±= D 、a b = 4、若a ≥0，则24a 的算术平方根是（ ） A 、2a B 、±2a C 、a 2 D 、| 2a | 5、若正数a 的算术平方根比它本身大，则（ ） A 、0实数(平方根、算术平方根、 立方根的概念及基本运算)
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