四面体外接球的球心、半径求法Word版
四面体外接球的球心、半径求法
一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为
2
2
2
c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2
2
22c b a R ++=
【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。 解：
因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长 所以：四面体外接球的直径为AE 的长 即：22224AD AC AB R ++=
1663142
2
22=++=R 所以2=R 球的表面积为ππ1642==R S
二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。 【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。
【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，
10=AC ,求球O 的体积。
解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22
210517=+ 所以知222PC PA AC += 所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为： 在ABC Rt ?中斜边为AC 在PAC Rt ?中斜边为AC 取斜边的中点O ，
在ABC Rt ?中OC OB OA == 在PAC Rt ?中OC OB OP ==
所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心
52
1
==AC R
所以该外接球的体积为3
500343π
π==R V
【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。
A
C
三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解
【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，?=∠120BAC ，2===AC AD AB ，求该棱锥的外接球半径。
解：由已知建立空间直角坐标系
)000(，，A )002(，，B )200(，，D )031(，
，-C
由平面知识得
设球心坐标为),,(z y x O 则AO =离公式知
222222)2(z y x z y x ++-=++ 222222)2(-++=++z y x z y x 222222)3()1(z y x z y x +-+-=++
解得 13
31==
=z y x
所以半径为3
21
1331222=
++=）（
R 【结论】：空间两点间距离公式：2
21221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=
四、四面体是正四面体
处理球的“内切”“外接”问题
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点，但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截面图是关键，可使这类问题迎刃而解。 一、棱锥的内切、外接球问题
例1.正四面体的外接球和内切球的半径是多少？
分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。
解：如图1所示，设点O 是内切球的球心，正四面体棱长为a ．由图形的对称性知，点O 也是外接球的球心．设内切球半径为r ，外接球半径为R ．
正四面体的表面积22
34
34a a S =?
=表． 正四面体的体积222212
34331BE AB a AE a V BCD
A -=??=-A
B
C
D
z
x
y
图1
3
22212233123a a a a =???? ??-= BCD A V r S -=?表31
，a a
a
S V r BCD A 1263122332
3
=?
==∴-表
在BEO Rt ?中，2
22EO BE BO +=，即22
233r a R +???
? ??=，得a R 46=，得r R 3= 【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为
4h ( h 为正四面体的高)，且外接球的半径4
3h
，从而可以通过截面图中OBE Rt ?建立棱长与半径之间的关系。
例2．设棱锥ABCD M -的底面是正方形，且MD MA =，AB MA ⊥，如果AMD ?的面积为1，
试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.
解： ⊥∴⊥⊥AB MA AB AD AB ,, 平面MAD ， 由此，面⊥MAD 面AC .记E 是AD 的中点， 从而AD ME ⊥.⊥∴ME 平面AC ，EF ME ⊥
设球O 是与平面MAD 、平面AC 、平面MBC 都相切的球.如图2，得截面图MEF ?及内切圆O
不妨设∈O 平面MEF ，于是O 是MEF ?的内心. 设球O 的半径为r ，则MF
EM EF S r MEF
++=
?2，设
a EF AD ==,1=?AMD S .
2
22,2??
?
??+==∴a a MF a EM ,122
222222
2
2-=+≤
?
?
?
??+++=
a a a a r
当且仅当a
a 2
=
，即2=a 时，等号成立. ∴当2=
=ME AD 时，满足条件的球最大半径为12-.
练习：一个正四面体内切球的表面积为π3，求正四面体的棱长。（答案为：2） 【点评】根据棱锥的对称性确定内切球与各面的切点位置，作出截面图是解题的关键。 二、球与棱柱的组合体问题 1． 正方体的内切球：
图2
球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为a ，球半径为R 。
如图3，截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2
a
R =
； 2． 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 2
2
=
。 3． 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 2
3
1=
=。 例3.在球面上有四个点P 、A 、B 、C .如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且a PC PB PA ===,那么这个球的表面积是______.
解：由已知可得PA 、PB 、PC 实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱，正方体的对角线长就是球的直径，连结过点C 的一条对角线CD ，则CD 过球心O ，对角线a CD 3=
22
3234a a S ?=???
?
???=∴ππ球表面积
练习：一棱长为a 2的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时的球的体积。（答案为()
3
3
2
624
3
a a V =
=
） 4．构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题
正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。
例4.已知三棱柱111C B A ABC -的六个顶点在球1O 上，又知球2O 与此正三棱柱的5个面都相切，求球1O 与球2O 的体积之比与表面积之比。
分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。
解：如图6，由题意得两球心1O 、2O 是重合的，过正三棱柱的一条侧棱1AA 和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为a ，则a R 6
3
2=
，正三棱柱的高为a R h 3
3
22=
=，由O D A Rt 11?中，得 22
2
222
2
1125633333a a a R a R =???
? ??+???? ??=+???? ??=，图6
a R 12
51=
∴ 1:5::2
22121==∴R R S S ，1:55:21=V V 练习：正四棱柱1111D C B A ABCD -的各顶点都在半径为R 的球面上，求正四棱柱的侧面积的最大值。（答案为：2
24R ）
【点评】“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，作出合适的截面图来确定有关元素间的数量关系，是解决这类问题的最佳途径。
勾股定理知，假设正四面体的边长为a 时，它的外接球半径为a 4
6
。
平面向量
重点知识回顾
1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.
2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a 、b 等表示；③平面向量的坐标表示：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底。任作一个向量a
，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a
xi yj =+，),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y =，其中x 叫做a 在
x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，i (1,0)=，j (0,1)=，0(0,0)=。2a x y =+
若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=，AB = 3.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为0； ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
4.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量a 、b 、
c 平行，记作a ∥b ∥c .共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.
5.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 6．向量的基本运算
（1） 向量的加减运算
几何运算：向量的加减法按平行四边行法则或三角形法则进行。
坐标运算：设a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)则a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2 ) a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2) (2) 平面向量的数量积 ： a ?b=a
b cos θ
设a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)则a ?b=x 1x 2+y 1y 2
（3）两个向量平行的充要条件 ∥ =λ 若 =(x 1,y 1), =(x 2,y 2)，则 ∥
x 1y 2-x 2y 1=0
（4）．两个非零向量垂直的充要条件是 ⊥ · =0
设 =(x 1,y 1)， =(x 2,y 2)，则 ⊥
x 1x 2+y 1y 2=0
.向量的加法、减法：
①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。②向量的减法向量
a 加上的
b 相反向量，叫做a 与b 的差。即：a -b = a + (-b )；
差向量的意义： OA = a , OB =b , 则BA =a - b
③平面向量的坐标运算：若11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a b +),(2121y y x x ++=，
a b -),(2121y y x x --=，(,)a x y λλλ=。
④向量加法的交换律：a +b =b +a ；向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )
7．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa
（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa
=0；（3）运
算定律 λ(μa )=(λμ)a ，(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa
+λb
8． 向量共线定理 向量b 与非零向量a
共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa 。
9．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a
=λ11e +λ22e 。(1)不共线向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a
在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一.