湖南师范大学附属中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题
南师大附中2020—2021学年度高一第一学期期末考试
数学
时间：120分钟，满分：150分
一?单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}
2
1,B y y x x ==+∈R ，则A
B =（ ）
A. ?
B. {}1,2
C. {}0,1,2
D. {}2,1,0,1,2--
【答案】B
2. 已知角θ的终边经过点()3,4P ，则sin 2cos θθ+=（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】A
3. 命题:p “[)0,x ?∈+∞，23x e x >+”的否定形式p ?为（ ） A. [)0,x ??+∞，23x e x ≤+ B. (]
,0x ?∈-∞，23x e x >+ C. [)0,x ??+∞，23x e x >+ D. [)0,x ?∈+∞，23x e x ≤+
【答案】D
4. 若()2x
f x x a =++的零点所在的区间为()1,1-，则实数a 的取值范围为（ ）
A. 32,4??- ???
B. 73,4??- ???
C. 13,2??- ???
D. 50,4?? ???
【答案】C
5. 下列说法中正确是（ ） A. 若a b >，则
11a b
< B. 若0a b <<，则a b > C. 若a b >，则22ac bc > D. 若ac bc >，则a b >
【答案】B
6. 在ABC 中，3cos 5
A =且5
cos 13B =，则cos C 等于（ ）
A. 3365
-
B. 3365
C. 6365
-
D.
63
65
【答案】B 7. 函数()2
35x f x a -=+(0a >且1a ≠)的图象恒过定点P ，点P 又在幂函数()g x 的图象上，则()2g -的
值为（ ） A. -8
B. -9
C. 1
8
-
D. 19
-
【答案】A
8. 已知正数x ，y 满足2021x y xy +=，则2120
x y
+的最小值为（ ） A. 2 B. 3
C. 4
D. 5
【答案】C
二?多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9. 下列四个命题中正确的命题是（ ） A. 1cos 4802
?=
B. 函数()2
223f x x x =++在[)0,+∞上单调递增 C. 44cos sin cos2-=ααα D. 当0ab ≠时恒有2b a
a b
+≥ 【答案】BC
10. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学(一个数学分支)里一个非常重要的定理，简单的讲就是对于满足一定条件的图象为连续不断的函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）
A. ()1f x x =+
B. ()1
f x x x
=
-，0x > C. ()2
3f x x x =-+
D. ()12
log f x x =
【答案】BD
11. 已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ω?ω?π=+>><<的最小正周期为4，其图象的一个最高点为
1,23A ??
???
，下列结论正确的是（ ） A. ()y f x =图象的一个对称中心为4,03?? ???
B. ()y f x =的图象关于1x =对称
C. 若()()124f x f x -=，则12x x -的最小值为2
D. 将()f x 图象上各点的横坐标变为原来的1
2，纵坐标不变，得到()h x 图象；再将()h x 图象向右平移16
个单位长度，得到函数2sin 6y x ππ?
?
=+ ??
?
的图象 【答案】ACD
12. 已知函数()3log ,092sin ,91744x x f x x x π
π?<
=???+≤≤ ?????
，若()()()()f a f b f c f d ===，且a b c d <<<，则（ ） A. 1ab = B. 26c d π+=
C. abcd 的取值范围是()153,165
D. +++a b c d 的取值范围是31628,9?
?
???
【答案】
ACD
三?填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 0
1tan151tan15
-=+ ．
【答案】
3
14. 已知函数()2
2,1,
1,1,
x x f x x x ?≤=?+>?则()2log 1.5f =_____________
【答案】
32
15. 中国移动通信公司早前推出“全球通”移动电话资费“个性化套餐”，具体方案如下： 某用户的月通话量平均为320分钟，则在表中所列出的七种方案中，选择方案______________较合算. 【答案】3
16. 定义在R 上的偶函数()f x 满足()()1f x f x +=-，且在[]2021,2022上是减函数，若A ?B 是钝角三
角形的两个锐角，对（1）02k f ??
=
???
，k 为奇数；
（2）()()cos cos f A f B <；（3）()()sin sin f A f B >；（4）()()sin cos f A f B <；（5）()()cos sin f A f B >.则以上结论中正确的有______________.(填入所有正确结论的序号). 【答案】（1）（4）（5）
四?解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知函数()2
2
4x a f x x a =-+-的定义域是[]2,3-.
（1）当2a =时，求函数()f x 的值域；
（2）设:p a M ∈，[]:2,2q x ?∈-，都有()0f x ≤，若p 是q 的充分不必要条件，写一个满足题意的集合M 并说明理由.
【答案】（1）[]1,8-；（2）[
)4,+∞(答案不唯一)，理由见解析. 18. 已知函数()
f x 是偶函数，且当0x ≥时，()()lo
g 3a f x ax =-(0a >，且1a ≠).
（1）求当0x <时的()f x 的解析式；
（2）在①()f x 在()1,4上单调递增；②在区间()1,1-上恒有()2
f x x ≥这两个条件中任选一个补充到本题
中，求()12a
g a ??= ???
的取值范围.(注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分)
【答案】（1）()()log 3a f x ax =+；（2）答案见解析.
19. 已知函数()2
2sin cos 14
44x x x f x ?
?=
+- ???.
（1）求函数()f x 的最小正周期及()f x 的单调递减区间﹔ （2）将()f x 的图象先向左平移6π
个单位长度，再将其横坐标缩小为原来的12
，纵坐标不变得到函数()g x ，若()0g x =
05,4x π
π??
∈
???
，求0sin x 的值. 【答案】（1）最小正周期为4π，单调递减区间
是
5114,4,33k k k ππππ??++∈????Z ；（2）18
-. 20. 已知函数()1
333
x x a
f x +-=+是奇函数. （1）求a 的值，判断()f x 的单调性并用定义证明之﹔ （2）解不等式：()2lo
g 20f x +≤.
【答案】（1）1a =，()f x 是R 上的递增函数，证明见解析；（2）[)(]33log 7,00,log 7-?.
21. 游客乘坐位于长沙贺龙体育场的摩天轮可近观长沙中心城区城市美景，远眺岳麓山，俯瞰橘子洲，饱览湘江风光.据工作人员介绍，该摩天轮直径约100米，摩天轮的最低处P 与地面的距离为20米，设有60个座舱，游客先乘坐直升电梯到入口(人口在摩天轮距地面的最低处)处等待，当座舱到达最低处P 时有序进入座舱，摩天轮逆时针方向匀速运行一周约需20分钟.以摩天轮的圆心为坐标原点，水平线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）试将游客甲离地面的距离()h t (单位：米)表示为其坐上摩天轮的时间t (单位：分钟)的函数； （2）若游客乙在甲后的5分钟也在点P 处坐上摩天轮，求在乙坐上摩天轮后的多少分钟时甲乙的离地面距离之差首次达到最大.
【答案】（1）()50sin 707050cos ,010
210h t t t t π
ππ??=-+=-≥ ?
??；（2）52分钟. 22. 若函数()y f x =对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的2x ，使()()121f x f x =成立，则称该函数为“依赖函数”.
（1）判断函数()sin g x x =是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数()1
2
x f x -=在定义域[]
(),0m n m >上为“依赖函数”，求mn 的取值范围；
（3）已知函数()()2
43h x x a a ??=-≥
???
在定义域4,43??????上为“依赖函数”，若存在实数：4,43x ??
∈????，使得对任意的t R ∈，不等式()()2
4h x t s t x ≥-+-+都成立，求实数s 的最大值. 【答案】（1）不是“依赖函数”，理由见解析；（2）()0,1；（3）最大值为
41
12
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