第六讲 包含与排除问题

第六讲包含与排除问题

1. 学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手提琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两样都会的有8人。这个文艺组一共有多少人？

2. 48名学生参加了数学和语文考试，其中语文得100分的有12人，数学得100分的有17人，两门都没得100分的有26人。问两门都得100分的有多少人？

3. 有一批游客，有75人懂英语，83人懂俄语，10人既不懂英语又不懂俄语，68人两种语言都会，问这批游客共有多少人？

4. 一个车间有70个工人，其中每个工人或者会打网球，或者会跳舞，或者两样都会，现在知道会打网球的有48人，会打网球又会跳舞的有24人。问会跳舞的有多少人？

5. 求1～100的自然数中

（1）是5的倍数或是8的倍数的自然数个数

（2）既不是5的倍数又不是8的倍数的自然数的个数

6．40人参加测验，答对第一题的有30人，答对第二题的有21人，两题都没答对的有4人，则两题都答对的有多少人？

7．某班同学中，有26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，有9人既爱打蓝球又爱踢足球，有4人既爱打排球又爱踢足球，有7人既爱打篮球又爱打排球，没有一个人三种球都爱玩，也没有一个人三种球都不爱玩，问：这个班共有多少学生？

包含与排除(一)

包含与排除（一） 包含与排除问题也叫容斥原理。“容”是容纳、包含的意思，“斥”是排斥、排除的意思，从题目名称上看，比较抽象，下面我们结合具体实例来说明这种问题的思考方法。 【典型例题】 例1：如下图，桌面上放着两个正方形，求盖住桌面的面积。（单位：厘米） 7 5 2 分析与解： 这是一个组合图形，是由两个正方形组成的，中间重合部分是一个长方形，要想求出盖住桌面的面积，可以有三种不同方法： 方法一：75256422+-?=（平方厘米） 方法二：72556422-?+=（平方厘米） 方法三：52576422-?+=（平方厘米） 答：盖住桌面的面积是64平方厘米。 例2：四（1）班同学中有37人喜欢打乒乓球，26人喜欢打羽毛球，21人既爱打乒乓球又爱打羽毛球。问全班喜欢打乒乓球或羽毛球活动的有多少人？ 分析与解： 根据题意可画图如下 乒 羽 37 21 26 ？人 此类问题画集合图比画线段图更直观，更形象一些。 方法一：37 + 26—21 = 42（人） 方法二：37—21 + 26 = 42（人） 方法三：37 +（26—21）= 42（人） 以上三种方法是紧密联系的，都是要从中减去重叠部分，可以从其中一部分中减去，再与另一部分合并，也可以从两部分之和中减去重叠部分。 三种方法比较，你喜欢哪一种解法呢？ 我们根据以上两个例题可以得出这样的数量关系： 第一部分 + 第二部分 — 重叠部分 = 两部分之和 例3：四年级一班在期末考试中，语文得“优”的有15人，数学得“优”的有17人，老师请得“优”的同学都站起来，数了数有24人。两科都得“优”的有几人？

第10章 资源分配模型与线性规划

第10章资源分配模型与线性规划 线性规划是运筹学中研究的比较早，理论上已趋向成熟并且应用广泛是解决最优化问题非常有效地工具。早在20世纪30年代末，前苏联数学家康托洛维奇首先提出了资源分配模型的线性规划，于1947年由美国人丹茨格提出了线性规划的单纯算法，较好的解决了线性规划的求解问题，从而奠定了线性规划作为一门学科的基石。 线性规划研究的对象大体可分为两大类： （1）在现有的人、财、物等资源的条件下，研究如何合理的计划、安排，可使得某一目标达到最大，如产量、利润目标等。 （2）在任务确定后，如何计划、安排，使用最低限度的人、财等资源，去实现该任务，如使生产成本、费用自小等。 （3）线性规划中研究的问题要求目标与约束条件函数均是线性的，并且只有一个目标函数。在经济管理问题中，大量的问题是线性的，有的可以转化为现行的，从而线性规划有着极大地应 用价值。 §10.1 线性规划问题 在经济管理中，经常遇到一类如何合理的使用有限的劳动力、设备、资金等资源，异化的最大的效益的问题。 例 1 某工厂生产甲、乙两种产品，生产这两种产品要消耗某种原料。生产每吨产品所需要的原料量及所占设备时间，见表10-1.该厂每周所能得到的原料为16吨，每周设备能多开15个台班，且根据市场需要，甲种产品每周产量不应超过4吨。已知该厂生产每吨甲、乙两种产品的利润分别为15万元及6万元。问：该厂应如何安排两种产品才能是每周获得的利*最大？ 简历数学模型社该厂每周安排生产甲种产品的产量为x1吨，乙种产品为x2吨，则每周所能获得的利润总额为z=15x1+6x2（万元）。但生产量的大小要受到原料量技术倍的限制及市场最大需求量的制约，即x1，x2要满足一下一组不等式条件： 3x1+2x2≤16， 5x2+x2≤15，（10—1） x≤4， 此外，产品x1，x2还应是非负的数： x1≥0，x2≥0. （10—2） 因此从数学角度看，x1，x2应在满足资源约束（10-1）及非负约束（10-2）条件下，使利润z取最大值： Max z=15x1+6x2. （10—3） 经过以上分析，可将一个生产安排问题抽象为满足一组约束条件下，寻求变量x1，x2，使目标函数达到最大值得一个线性规划。 同样，在经济生活中为了达到一定的目标，应如何组织生产，或合理安排工艺流程，或调整产品的成分等，以使消耗为最少，一下给出一个求目标函数最小化的线性规划问题。 例2某公司需要生产某产品，需要Ⅰ，Ⅱ两种原料至少35吨，其中原料Ⅰ至少购进10吨。但由于Ⅰ，Ⅱ两种原料的规格不同，各自所需的加工时间也是不同的，加工每吨原料Ⅰ需要2个小时，加工每吨原料Ⅱ需要1小时，而公司总共有60个加工小时。又知道每吨原料Ⅰ的价格为4万吨，每吨原料Ⅱ的价格为6万元，试问：在满足生产需要的前提下，在公司加工能力的范围内，如何购买Ⅰ，Ⅱ两种原料，是的购进成本最低？

包含与排除

包含与排除 1、40人参加测验，答对第一题的有30人，答对第二题的有21人，两题都答对的有15人，两题没答对的有多少人？ 2、某班学生每人至少订一种报纸，订《少年报》的有27人，订《科技报》的有21人，两种都订的有8人，全班共有多少人？ 3、某班学生除5人没订报纸外，其余每人至少订一种报纸，订《少年报》的有27人，订《科技报》的有21人，两种都订的有8人，全班共有多少人？ 4、某班数学，英语期中考试的成绩如下：英语得100分的有12人，数学得100分的有10人，两门功课都得100分的有3人，两门功课都未得100分的有26人，这个班有学生多少人？ 5、一个班有42人，参加体育队的有30人，参加文艺队的有25人，有5人都没参加，两队都参加的有多少人？ 6、在1到10000的自然数中，能被5或7整除的数共有多少个？ 7、六年级有56名学生参加三项课外活动，每人至少参加一项，有32人参加数学竞赛班，有24人参加足球队，其中既参加数学竞赛班又参加足球队的有10人，既参加数学竞赛班又参加合唱队的有14人，既参加足球队又参加合唱队的有9人，27人参加合唱队，求三项课外活动都参加的有几人？ 8、小张、小王和小李练习投篮球，一共投100次，有43次没投进，已知小张和小王共投进32次，小王和小李一共投进了46次，小王投进了多少次？ 9、分母是1001的最简真分数共有多少个？ 10、某班全体学生进行短跑，游泳，篮球三项测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一项达到优秀，这部分学生达到优秀的项目人数如表： 11、25个小朋友吃三种食品，每人至少要二种，14人要蛋糕，12人要饼干，10人要糖果，4人既要蛋糕，又要饼干，但不要糖果，2人既要蛋糕又要糖果，但不要饼干，只有一

第4章_Project2007为任务分配资源

第4章 为任务分配资源 本章内容： ?为任务分配工时资源 ?控制Project如何安排额外的资源分配 ?为任务分配材料和成本资源 如果阅读完第2章和第3章，应该已经创建了任务和资源。现在准备将资源分配给任务。工作分配(assignment)是为任务匹配能工作的资源。从任务的角度，可能将分配资源的过程称为任务分配；从资源的角度，可能将其称为资源分配。其实两者是一回事，任务加上资源等于工作分配。 重要提示本章提及的资源是工时资源(人员和设备)，除非特别说明是材料或成本资源。要回顾资源类型，请参见第3章。 在Microsoft Office Project 2007中将资源分配给任务并不是必需的，您可以只处理任务。但是有许多理由支持在项目计划中分配资源。如果为任务分配资源，就可解答以下问题。 ?谁应为任务工作以及何时工作？ ?您是否掌握完成项目所需工作的确切资源数？ ?您是否希望资源在不能工作的时间工作(如资源休假时)？ ?您是否将资源分配给过多的任务，以至于超出了资源的生产能力，换言之，是 否过度分配资源？ 在本章中，将分配资源给任务。您将为任务分配工时资源(人员和设备)以及材料和成本资源，并观察工时资源的分配应在何处影响任务工期，以及不应在何处影响。 重要提示在使用本章的练习文件之前，需要先将它们安装到默认位置，参见前言获得安装提示。 4.1 为任务分配工时资源 分配工时资源给任务可使您跟踪资源工作的进度。如果输入资源费率，Project将为您计算资源和任务成本。 第3章曾介绍过资源的工作能力用“单位”(用于度量人工量)度量，并记录在“最大单位”域中。除非另外指定，Project会将资源的100%的单位分配给任务，即Project假设资源的所有工作时间都可分配给任务。如果资源单位少于100%，Project会分配该资源的最大单位。 在下面的练习中，将为项目计划中的任务做初始资源分配。 确保已启动Microsoft Office Project 2007。 重要提示如果使用的是Project Professional，可能需要一次性的设置，使用“计算机”账

苏教版五年级数学下册 第33讲 包含和排除

第33讲包含和排除讲义 知识要点 集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概念之一，如某班全体学生可以看做一个集合，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9便组成一个数字集合。组成集合的每个事物称为这个集合的元素，如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都是这个集合的元素，数字集合中有10个元素。 两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组成了一个新的集合C.计算集合C的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把A、B的一切元素都“包含”进来加在一起，再“排除”A、B两集合的公共元素的个数，即:C＝A＋B－AB。(AB表示A与B的相同元素组成的集合) 在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量关系和逻辑关系。有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观、很清楚，因面容易进行计算。例1、五年级96名学生都订了刊物，有64人订了《少年报》，有48人订了《小学生报》，问两种刊物都订的有多少人? 练习：1、一个班有学生52人，参加体育代表队的有40人，参加文艺代表队的有33人，并且每个人都至少参加一个队。这个班两队都参加的有多少人? 2、五年级(2)班有64名同学，订阅《少年报》的有32名同学订阅《小学生数学报》的有51名同学。已知两种报刊每人至少订一种，有多少名同学两种报刊都订了?

3、一个少儿俱乐部有92人，其中会下中国象棋的有70人，会下国际象棋的有42人，并且每个人至少会下一种棋，两种棋都会下的有多少人? 例2、某地区的外语教师中，每人至少懂得英语和日语的一种语言。已知有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人，这个地区有多少个外语教师? 练习：1、某校的每个学生至少爱好体育和文娱中的一种活动，已知有900人爱好体育活动，有850人爱好文娱活动，其中260人两种活动都爱好。这个学校共有学生多少人? 2、某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语、数双优的有12人，另外还有8人语、数均未获优，这个班共有多少个学生? 3、第一小组的同学们都在做两道数学思考题，做对第一题的有15人，做对第二題的有10人，两题都做对的有7人，两题都做错的有2人，第一小组一共有多少人?

包含与排除公开课

8.1包含与排除问题 学习目标 1. 能用集合图表示简单的包含和排斥问题，理解掌握包含与排除原理。 2.学会应用包含与排除原理解决问题 学习重难点 能画图表示事物中的数量关系，学会应用包含与排除原理解决问题。 一、导入新课 有2个爸爸、2个儿子在家看电视，但是家里只有3个人，这是怎么回事呢？ 二、探索新知 问题1 五年级（1）班有46人，一部分唱歌一部分舞蹈演出，有32人舞蹈演出，问参加唱歌的有多少人？ 问题2 五年级（1）班有46人，有16人舞蹈演出，14人唱歌，问没有参加舞蹈演出也没有唱歌的有多少人？ 问题3 五年级（1）班晚会选手有30人舞蹈演出，27人唱歌，即参加舞蹈又参加唱歌的有11人，问参加舞蹈演出和唱歌的共有多少人？ 总结：当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分，这一原理，我们称为包含排除原理，也称容斥原理。 巩固新知：三年级一班有23人喜欢音乐，25人喜欢美术，音乐和美术有喜欢的有8人，全班喜欢音乐美术的共有多少人？ 三、拓展思维 拓展1、一共有79人参加节目，参加小品类节目的有46人，参加曲艺类节目的有39人，并且每人至少参加一种节目，问两项节目都参加的有多少人？

拓展2、共有男生53人，分别参加了唱歌和跳舞节目。已知参加唱歌的有33人，两样都参加的有20人。问参加跳舞的有多少人？ 拓展3、参加舞蹈演出的有32人，参加歌唱演出的有27人，两种都参加的有11人，两种都未参加的有31人，一共有多少人？ 四、提升练习 提升1、五(1)班有学生45人，在暑假中全都学会了骑车或者游泳，已知学会骑自行车的有26人，会游泳的有39人，两样都会的有多少人？ 提升2、五(1)班有学生45人，在暑假中全都学会了骑车或者游泳，已知学会骑自行车的有26人，两样都会的有20人，问会游泳的有多少人？ 提升3、五(1)班学生在暑假中全都学会了骑车或者游泳，已知学会骑自行车的有26人，会游泳的有39人，两样都会的有20人，问全班有多少学生？ 五、通过这节课你收获了什么？ 六、作业 1、理解掌握包含与排除原理； 2、学会应用包含与排除原理解决问题； 3、91页练一练1、2题。

四年级数学包含与排除

1．某班学生去图书室借书，每人都借了课外书，统计结果是：借语文书的有39人，借数学书的32人，语文、数学两种书都借的有26人。全班学生共几人？ 2．桥南小学三年级学生采集标本，采集昆虫标本的有27人，采集植物标本的有21人，两种标本都采集的有8人。全班共有学生多少人？ 3．一个班有学生54人，参加数学课外活动的有38人，参加语文课外活动的有29人。至少有多少人两样活动都参加了？ 4．某班36个同学在一次测验中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。问：有几个同学两题都不对， 5．一个班42名学生都订了报纸，订阅《中国少年报》的有32人，订阅《小学生报》的有27人。有多少人订阅两种报纸？ 6．有40名运动员，其中有25人会摔跤，有20人会击剑，有10人击剑、摔跤都不会。问：既会摔跤又会击剑的运动员有多少人？ 7．某校开运动会，参加比赛项目的人数如下：参加田赛的有26人，参加径赛的有30人，其中既参加田赛又参加径赛的有12人，田赛和径赛都没参加的有4人。这个班共有学生多少人？ 8．在50名出国人员中，有4人既不懂英语，也不懂日语，但其中有37人懂英语，有43人懂日语。有多少人既懂英语又懂日语？ 9．明明幼儿园大班里，会弹钢琴的有25人，会拉手风琴的有20人，既会弹钢琴又会拉手风琴的有15人，这两样都不会的有10人，这个班一共有多少人？

10．全班有50名同学，只参加数学小组的有27人，既参加教学小组又参加作文小组的有5人，两个小组都没参加的有4人，求只参加作文小组的有几人？ 11．有50名同学参加了短跑和跳远的达标测试，短跑达标的有38名，跳远达标的有31名，两项都达标的有22名。这两项都没达标的有几名？ 12．学校田径队有40人上场参加比赛。有18人参加田赛，有28人参加径赛，请问只参加田赛与只参加径赛的人数共是多少？ 13．某班成立英语和微机小组，有25人参加英语小组，其中10人既参加了英语小组又参加了微机小组，没有参加微机小组的有18人。请问有多少人两个小组都没参加？ 14．某班52名同学，在一次测验中．答错第一题的有29人，答错第二题的有14人，这两道题都答对的有16人。问有几个同学这两道题都没答对？ 15．某班开展课外活动，每名学生至少参加一个小组。参加文艺小组的有38人，参加体育小组的有32人，既参加文艺小组又参加体育小组的有12人，这个班一共有学生多少人？ 16．某校先后举行了数学、语文、自然三科竞赛，参加竞赛时学生中，至少参加一科的有：数学498人，语文525人，自然499人；至少参加两科的有：数学、语文330人、数学、自然297人，语文、自然328人；三科都参加的有234人。求参加竞赛的学生总数。 17．26名男同学中喜欢打篮球的13人，喜欢打排球的12人，喜欢踢足球的9人，既喜欢篮球又喜欢足球的有2人，既喜欢足球又喜欢排球的有3人，但没有一个男同学同时喜欢三种球类，也没有不喜欢任何一种球的。有多少男同学既喜欢篮球，又喜欢排球？ 18. 五一班30人有14人参加径赛，9人参加田赛，两项都没有参加的有12人，既参加径赛又参加田赛的有多少人？

五年级奥数第24讲-包含与排除(教)

学员编号：学员姓名：学科教师辅导讲义 年级：五年级 辅导科目：奥数 课时数：3 学科教师： 授课主题 授课类型T同步课堂第24讲——包含与排除 P实战演练S归纳总结 教学目标 ①了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容 ②掌握容斥原理在组合计数等各个方面的应用 授课日期及时段 T （T extbook-Based） ——同步课堂 知识梳理 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A U B=A+B-A I B，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理． 图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A I B，即阴影面积．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A I B，即阴影面积． 1．先包含——A+B 重叠部分A I B计算了2次，多加了1次； 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A U B的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求A+B(意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=A I B(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题

A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：A U B U C=A+B+C-A I B-B I C-A I C+A I B I C．图示如下： 图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数， 1．先包含：A+B+C 重叠部分A I B、B I C、C I A重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A+B+C-A I B-B I C-A I C 在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考． 典例分析 考点一：两量重叠问题 例1、实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？ A C B 【解析】如图所示，A圆表示参加语文兴趣小组的人，B圆表示参加数学兴趣小组的人，A与B重合的部分C(阴影部分)表示同时参加两个小组的人．图中A圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有28-12=16(人)；图中B圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有29-12=17(人)． 方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：16+12+17=45(人)． 方法二：根据包含排除法，直接可得：

数学建模资源分配

目录 一、问题重述 (2) 二、符号说明 (2) 三、模型假设 (3) 四、问题分析 (3) 五、模型建立与求解 (4) 六、模拟程序设计 (6) 七、误差分析 (7) 八、模型的应用 (7) 九、模型评价 (7) 十、小结 (8) 十一、参考文献 (10)

一、问题重述 某储蓄所每天的营业时间是上午九点到下午五点，根据经验每天不同的时间段所需要的服务员数量如下： 储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员。全时服务员每天报酬100元，从上午9;00到下午5:00，但中午12:00到下午2:00之间必须安排一小时的午餐时间。储蓄所每天可以雇佣不超过3名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作4小时，报酬40元。问该储蓄所应如何雇佣全时和半时两类服务员？如果不能雇佣半时服务员，每天至少增加多少费用？如果雇佣半时服务员的数量没有限制，每天可以减少多少费用？ 二、符号说明 y1,y2,y3,y4,y5——————1:00至2:00为x2.半时服务员从9:00至1:00以 小时为单位的人数； x1————————————12:00至1:00为为全时服务员人数； x2————————————1:00至2:00为为全时服务员人数；

三、模型假设 1.题中所给的数据是在微小的范围内变化的数据。 2.所给的数据基本上有效。 3.目标函数就是所求的资源分配方案。 四、问题分析 本问题是一个资源决策分配的最优化问题数学模型。主要是针对根据不同的报酬雇佣全时与半时服务员的如何分配问题, 首先应定义了相关的决策变量，对不同的条件约束,列出对应的目标函数,利用相关的工具进行操作,最后对结果进行分析. 问题的关键 1. 定义相关的决策变量. 列出目标函数。 2. 转化为定量说明。 3. 列出目标函数。 （1）分析问题，收集资料。需要搞清楚需要解决的问题，分析有可能的情况。 （2）建立模拟模型，编制模拟程序。按照一般的建模方法，对问题进行适当的假设。也就是说，模拟模型未必要将被模拟系统的每个细节全部 考虑。模拟模型的优劣将通过与实际系统有关资料的比较来评价。如 果一个“粗糙”的模拟模型已经比较符合实际系统的情况，也就没有 必要建立费时、复杂的模型。当然，如果开始建立的模型比较简单， 与实际系统相差较大，那么可以在建立了简单模型后，逐步加入一些 原先没有考虑的因素，直到模型达到预定的要求为止。编写模拟程序 之前，要先画出程序框图或写出算法步骤。然后选择合适的计算机语 言，编写模拟程序。

四年级第十一讲包含与排除及答案(附例题答案)

101中学坑班2013年春季四年级第十一讲包含与排除及答案 一、 知识要点 日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常常出现其中的一部分数据同时属于两种或两种以上不同的类别，这样在计算总数时就会出现重复计算的情况，这类问题就叫做重叠问题，容斥原理就是重叠问题的解题原理，也叫包含与排除原理。 在数学里，我们把具有某种相同性质的对象放在一起考虑，这些相同性质的对象便组成了一个“集合”，每个集合总是由一些成员组成的，集合中的这些成员叫做这个集合的元素。 名词解释： （1）由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 、B 的并集（又叫A 与B 的和）。记作A B ，记号“ ”读作“并”，A B 读作“A 并B ”。 （2）A 、B 两个集合公共的元素，也就是那些既属于A ，又属于B 的元素，它们所组成的集合叫做A 和B 的交集，记作“A B ”，记号“ ”读作“交”，A B 读作“A 交B ”。 二、 典型例题 例1、四（1）班同学中有37人喜欢打乒乓球，26人喜欢打羽毛球，21人既爱打乒乓球又爱打羽毛球。问全班喜欢打乒乓球或羽毛球活动的有多少人？ 解析：37+26-21=42人 例2、四年级一班在期末考试中，语文得“优”的有15人，数学得“优”的有17人，老师请得“优”的同学都站起来，数了数有24人。两科都得“优”的有几人？ 解析：15 + 17—24 = 8（人） 或者15-（24-17）=8 或者17-（24-15）=8 例3、图新小学四年级二班有24人参加了美术小组，有18人参加了音乐小组，其中11人两个小组都参加，还有5人什么组都没参加。这个班共有学生多少人？ 解析：24+18-11=31人 31+5=36人 例4、某班学生参加音乐组的有11人，参加美术组的有8人，参加英语组的有12人，既参加音乐组又参加美术组的有5人，既参加音乐组又参加英语组的有3人，既参加美术组又参加英语组的有4人，三个组都参加的只有1人，问：至少参加一个组的有多少人？ 解析：11+8+12-5-4-3+1=20人

五年级数学培优：包含与排除

五年级数学培优：包含与排除 【专题导引】 集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数字中的最基本的概念之一.如某班全体学生可以看做一个集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便组成一个数字集合.组成集合的每个事物称为这个集合的元素.如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都是这个集合的元素，数字集合中有10个元素. 两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组成了一个新的集合C.计算集合C的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把A、B 的一切元素都“包含”进来加在一起，再“排除”A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素，即：C=A+B-AB. 在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清楚数量关系和逻辑关系.有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观、很清楚，因而容易进行计算. 【典型例题】 【例1】五年级96名学生都订了刊物，有64人订了少年报，有48人订了小学生报，问两种刊物都订的有多少人？ 【试一试】 1、一个班的52人都在做语文和数学作业，有32人做完了语文作业，有35人做完了数学作业，这个班语文、数学作业都做完的有多少人？ 2、五年级有112人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优，其中，语文得优的有65人，数学得优的有87人，问语文、数学都得优的有多少人？

【例2】某地区的外语教师中，每人至少懂得英语和日语中的一种语言.已知有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人，这个地区有多少个外语教师？ 【试一试】 1、某校的每个学生至少爱好体育和文娱中的一种活动，已知有900人爱好体育活动，有850人爱好文娱活动，其中260人两种活动都爱好.这个学校共有学生多少人？ 2、某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语、数双优的有12人，另外还有8人语、数均未获优，这个班共有多少个学生？ 【例3】在100个外语教师中，懂英语的75人，懂日语的45人，其中必然有既

小学奥数之包含与排除(二)

包含与排除（二） 在日常生活中，我们需要把具有相同性质的对象放在一起考虑，并且给它一个总称。如钢笔、铅笔、本、橡皮……总称为文具；西红柿、黄瓜、土豆、白菜……总称为蔬菜；苹果、香蕉、梨……总称为水果等等。 在数学里，我们把具有某种相同性质的对象放在一起考虑，这些相同性质的对象便组成了一个“集合”，每个集合总是由一些成员组成的，集合中的这些成员叫做这个集合的元素。 名词解释： （1）由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 、B 的并集（又叫A 与B 的和）。记作B A ?，记号“?”读作“并”，B A ?读作“A 并B ”。 （2）A 、B 两个集合公共的元素，也就是那些既属于A ，又属于B 的元素，它们所组成的集合叫做A 和B 的交集，记作“B A ?”，记号“?”读作“交”，B A ?读作“A 交B ”。 下面我们就利用“集合”的知识来解决有关“包含与排除”问题。 （一）典型例题 例1. 六一班同学参加数学小组和作文小组，其中参加数学小组的有16人，参加作文小组的有20人，两组都参加的有5人，六一班参加数学小组或作文小组的一共有多少人？ 分析与解：参加数学小组的可以看成集合|A|，参加作文小组的可以看成是集合|B|，两组都参加的可以看成||B A ?，问题是求参加数学小组或作文小组的一共有多少人，也就是把集合|A|和集合|B|合并在一起，即||B A ? 3152016=-+（人） 根据上面列式，我们可以得出： ||||||||B A B A B A ?=?-+ 答：参加数学小组或作文小组的一共有31人。 例2. 求1～20的自然数中2的倍数或3的倍数的个数。 分析与解： （1）1～20的自然数中2的倍数用集合A 表示 A={2，4，6，8，10，12，14，16，18，20} |A|=10 （2）1～20的自然数中3的倍数用集合B 表示 B={3，6，9，12，15，18} |B|=6 （3）既是2的倍数又是3的倍数，也就是B A ? }18,12,6{=?B A 3||=?B A

数学四年级包含与排除

第三讲包含与排除 写在前面的话—— 我们都知道，15+20=35。但是，这个算式是不是在任何情况下都成立呢？让我们来看这样一道题目：如下图，左边小圆的面积是15，右边大圆的面积是20，那么整个图形的面积是多少？是15+20=35吗？ 仔细分析一下就会发现确实不等于35，之所以不等于35。就是中间的标有A的部分在作怪！当我们用15+20的时候，在15中，A被计算了一次，在20中，A又被计算了一次，总共计算了两次。但事实上，这个A在整个图形中只出现了一次，所以，需要再减去一次A。如果A的面积是5，那么整个图形的面积就是15+20-5=30。 像上面这样的A，它同时包含在两个圆中，所以当重复计算时，就需要把多出来的A排除掉。 再看一道类似的题目：四一班同学参加数学小组和作文小组，其中参加数学小组的有15人，参加作文小组的有20人，两组都参加的有5人，四一班参加数学小组或作文小组的一共有多少人？ 为什么说这是一道类似的题目呢？因为这个题目也是可以用上面那个图来表示。此时左边的小圆表示参加数学小组的15人，右边的大圆表示参加作文小组的20人，中间的A表示的是两组都参加的5人，而整个图形就表示了四一班所有参加数学小组或作文小组的人。 聪明的同学们，相信说到这里，你一定应该知道这道题目应该如何做了吧？答案是30。 好了，再问一个问题，如果四一班总共有37人，那么，还有37-30=7人是怎么样的呢？如果要在图中表示出这7个人，应该如何做呢？

例题部分——基础篇 1．某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。已知有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人。这个学校共有多少名教师？ 2．某校的每个学生至少爱体育和文娱中的一种活动。已知有900人爱好体育活动，有850人爱好文娱活动，其中260人两种活动都爱好。这个学校共有学生多少人？ 3．某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语文、数学双优的有12人，另外还有8人语文、数学均未获优。这个班共有多少人？ 4．五年级有122人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优。其中语文得优的有65人，数学得优的有87人。语文、数学都得优的有多少人？

包含与排除-六年级

第八讲包含与排除 例1 某校艺术团的小演奏家们，没人都至少会演奏小提琴和钢琴中的一种，他们中有32人会拉小提琴，27人弹钢琴，小提琴和钢琴都能演奏的有11人，这个团共有多少个小演奏家？ 模仿训练1 一个班有42名学生都订了报纸，订阅《中国少年报》有32人，订阅《小学生报》有27人，至少有多少人订阅两种报纸？ 例2 有100位旅客，其中有10人不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语，既懂英语又懂俄语的有多少人？ 模仿训练2 京华小学五年级的学生采集标本，采集昆虫标本的有25人，采集植物标本的有19人，两种标本都采集的有8人，全班学生共有40人，没有采集标本的有多少人？ 例3 外语学校有英语、法语、日语教师共有27人，其中只能教英语的有8人，只能教日语的有6人，能教英、日语的有5人，能教法、日语的有3人，能教英、法语的有4人，能教英、法、日语的只有2人，只能教法语的教师有多少人？ 模仿训练3 一个工厂有一批工人，没人至少会一门技术，其中会开车床的有235人，会开铣床的有218人，会开刨床的有207人，既会开车床又会开铣床的有112人，既会开车床又会开刨床的有71人，既会开铣床又会开刨床的有63人，三种都会的有19人，这个工厂一共有多少人？ 例4 某个班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余没人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目人数如下：短跑17人，游泳18人，篮球15人，短跑、游泳6人，游泳、篮球6人，篮球、短跑5人，短跑、游泳、篮球2人。问：这个班有多少个学生？ 模仿训练4 某班有28个男生中有14人喜欢打篮球，9人喜欢打排球，13人喜欢打羽毛球，另有2人既喜欢打羽毛球又喜欢打篮球，有3人既喜欢打羽毛球又喜欢打排球，每人至少喜欢一种球，但没有一个人三中球都喜欢，有多少人既喜欢打篮球又喜欢打排球？ 例5 海卫小学45名学生参加数学、作文、美术竞赛，有21人参加数学竞赛，15人参加作文竞赛，其中7人既参加作文竞赛又参加数学竞赛，3人既参加作文竞赛又参加美术竞赛，但没有一个人既参加数学竞赛又参加美术竞赛。 （1）只参加数学竞赛的有（）人； （2）只参加作文竞赛的有（）人； （3）只参加美术竞赛的有（）人； 模仿训练5 某班有48人，其中37人做完了语文作业，42人做完了数学作业，语文、数学作业都没做完的人一个也没有，这个班语文、数学作业都做完的有多少人？

克鲁格曼《国际经济学》(第8版)课后习题详解(第4章 资源、比较优势与收入分配)【圣才出品】

第4章资源、比较优势与收入分配 一、概念题 1．充裕要素（abundant factor） 答：充裕要素是“稀缺要素”的对称，是指一国相对充裕的生产要素。充裕要素的“充裕”是相对的，指的并不是一国所拥有的该生产要素的绝对数量的充裕，而是该生产要素相对于其他生产要素的相对充裕。充裕要素是以资源禀赋解释国际贸易的赫克歇尔-俄林定理中的重要概念。根据赫克歇尔-俄林定理，各国倾向于生产并出口国内充裕要素密集型的产品，一国充裕要素的所有者能够从国际贸易中获利。 2．要素价格（factor prices） 答：要素价格即生产要素的价格，是指每一单位的生产要素在一定时期内给所有者带来的收入。生产要素主要有四种：劳动力、土地、资本和企业家才能。相应地，其价格分别称为工资、地租、利息和利润。生产要素价格同产品的价格一样，主要是由生产要素市场上供求的相互作用决定的。在市场经济中，工资主要由劳动力市场上的供求关系决定；地租主要由土地市场上的供求关系决定；利息主要由资本市场上的供求关系决定；利润作为企业家收入，主要由企业家市场上的供求关系决定。 3．生产可能性边界的偏向性扩张（biased expansion of production possibilities）答：生产可能性边界的偏向性扩张是指生产可能性边界在一个方向上扩张的幅度大于在另一方向上扩张的幅度，如图4-1所示。图4-1（a）说明了生产可能性曲线偏向于X的扩张，图4-1（b）则说明了生产可能性曲线偏向Y的扩张。图中的生产可能性边界都从1 TT移

到了2 TT。 图4-1 生产可能性边界的偏向性扩张 4．要素比例理论（factor-proportions theory） 答：要素比例理论又称“赫克歇尔-俄林理论”、“生产要素禀赋理论”，是指从资源禀赋角度对国际贸易中生产成本和价格的差异做出解释的国际贸易理论。要素比例理论的主要内容是：国际贸易源于不同国家之间商品的价格存在差异，而价格差异的原因在于不同国家生产成本有高有低，生产成本的高低又是因为各国生产要素价格有差别，生产要素价格的差别又与各国生产要素丰裕程度密切相关。生产要素丰裕，其商品价格必然就相对低一些；生产要素稀缺，其商品价格自然相对要高一些。因此，生产要素丰裕程度的差异是国际贸易产生的根本原因。不同的国家拥有的生产要素的丰裕程度是不一样的，各国在生产那些能较密集地使用其较丰裕的生产要素的商品时，必然会有比较利益产生。建议各国生产并出口那些能够充分利用其丰裕的生产要素的商品，同时进口那些需要较密集地使用其稀缺的生产要素的商品。 5．要素价格均等化（equalization of factor prices） 答：要素价格均等化是赫克歇尔-俄林理论中的重要观点之一，是指各国的生产要素价格将因国际贸易而趋于相等。根据赫克歇尔-俄林定理，一国倾向于生产并出口充裕要素密

六年级奥数-包含与排除(含答案)

六年级奥数—包含与排除（含答案） A卷 1.有长8厘米，宽6厘米的长方形与边长为5厘米的正方形，如图10-1，放在桌面上（阴影是图形的重叠部分），那么这两个图形盖住桌面的面积是平分厘米。 2.一个班有45个小学生，统计借课外书的情况是：全班学生都有借语文或数学课外书，借语文课外书的有39人，借数学课外书的有32人，语文、数学两种课外书都借的有人。 3.某班有30名男生，其中20人参加足球队，12人参加篮球队，10人参加排球队，已知没有一个人同时参加3个队，且每人至少参加一个队，有6人既参加足球队又参加篮球队，有2人既参加篮球队又参加排球队，那么既参加足球队又参加排球队的有人。 4.在100个学生中，音乐爱好者有56人，体育爱好者有75人，那么既爱好音乐又爱好体育的人最少人，最多有人。 5.某校有500名学生报名参加学科竞赛，数学竞赛参加者共312名，作文竞赛参加者共353名，其中这两科都参加的有292名，那么这两科都没有参加的人数为人。 6.全班有48人，每人至少订有一份《小学生报》或一份《少年先锋报》。张老师在统计订报纸人数的时候，发现有38人订了《小学生报》，42人订了《少年先锋队》。请你算一算，有同学订了两种报纸。 7.文凤小学五年级（1）班的同学都到学校图书馆借科技书和故事书，有45人借了科技书，35人借了故事书，30人既借了科技书，又借了故事书，这个班共有名学生。 8.有两个正方形，一个边长是4厘米，一个边长是6厘米。把他们按如图10-2放置。中间重叠的部分是一个边长为2厘米的小正方形。被这两个正方形盖住的面积是。 9.在1~100中，是2或3的倍数的整数一共有个。 10.五年级（1）班有46人，其中有12人没有参加语文竞赛和数学竞赛。参

资源分配问题的求解

信息与计算科学专业学年论文评阅意见表

资源分配问题的求解 学生：张玉娟学号：3070942232 指导老师：林亮 摘要：资源分配问题将一种或几种资源（原材料、机器设备等）分配给若干产品或用户，以获得最大的效益。它可以是静态规划问题，也可以是多阶段决策过程，构造动态规划模型求解。本文用线性规划单纯形法、整数0-1规划、动态规划逆序递推算法求资源分配问题最优值。 关键词：资源分配；线性规划；单纯形法；0-1规划；动态规划；逆序递推 1 引言 近年来，随着社会经济的发展，资源分配问题广泛存在于社会各个领域。所谓资源分配问题，就是将数量一定的的资源（例如原材料、资金、机器设备、劳动力、食品等）分配给若干个使用者，而使总的目标函数值为最优。如何在满足各使用方的基础上，高效分配有限的资源，是资源分配问题中亟待解决的难题。资源分配问题，属于线性规划、非线性规划这样一类静态规划问题，通常是与时间无关的。线性规划问题的求解方法有统一而简单的方法即单纯形法，但在决策变量个数较多，求解过程都比较复杂时，用手动来算繁琐，所以用MATLAB软件编程求解线性规划问题则比较简单。但实际上由于各部门的原有基础、地理位置、市场定位、使用目的等各方面的差异,即使给各部门提供同数量的资源,各部门所产生的效益也是不尽相同的,即各部门的效益函数有异.另一方面,上面所说的效益函数还受着资源类型、时间、市场、消费者心理等很多不确定因素的影响,其函数关系不一定是解析式.很可能是对特定资源某几种分配可能值关于当前时段的统计数据而常常以表格形式给出,正是这种效益函数的非解析性及离散性使得解析计算变得困难。存在着时间过程长,计算量大,特别是N、M至少有一个较大时更是如此.另一方面,效益表格的数据一旦改变,(在市场经济诸多因素的影响下这种改变是很可能而且很快的)前后分配方案之间极少有借鉴之处,不利于及时予以调整。所以引用整数0-1规划，运用Lingo软件编程求解。这类静态问题也可以人为地引入时间因素，把它看作是按阶段进行的一个多阶段决策问题，也可以用动态规划方法方便地求解。在资源分配问题上使用动态规划是将分配过程划分为多个阶段，在每个阶段中选取最优决策，最后达到整个过程的总体最优目标。可以用逆序递推列表求解，但是当数据比较大，列表求解就非常繁琐，利用MATLAB编程求解就非常容易了。 2 问题和求解 2.1 问题的提出 A种不同的产品的资源分配问题，一般是已知每样原材对于这类要需要M种不同的原材料生产 N 料的库存量，每个产品所需各种材料的分量，以及生产每个产品能获得多少利益。这类资源分配问题只要运用线性规划就可以解决。 表1

资源分配图

资源分配图 表示：进程p1 表示：有3个R1类资源 表示：进程p1申请一个R1类资源 表示：系统分配一个R1类资源给进程 p1，此时，系统还剩下2个R1类资源 表示：进程p1申请2个R1类资源 表示：系统分配2个R1类资源给进程 p1，此时，系统还剩下1个R1类资源

表示：系统分配一个R1资源给进程p2，然后又分配一个R1类资源给进程p1，最后进程p1收到一个R1类资源后又继续申请1个R1类资源，此时，还剩下一个R1类资源可以分配给P1，但还没分配给P1。（注意：图中P1的申请是还没得到响应的，不要以为R1指向P1的那个箭头是响应P1的申请，而分配了资源给P1） 表示：系统分配一个R1资源给进程p2，然后又分配一个R1类资源给进程p1，最后进程p1收到一个R1类资源后又继续申请1个R1类资源，此时，系统已经没有R1类资源可以分配给进程P1了，于是p1进程受到阻塞。 （注意：千万不要误认为： 进程P1申请一个R1类资源，然后系统便分配一个R1类资源给P1。上图的“右箭头”跟“左箭头”是没任何关系的，并不是“右箭头响应左箭头的申请，而分配内存给P1”，先后顺序不能乱，时间顺序是先“分配一个R1类资源给P1”，再“P1申请一个R1类资源”；而不是先“P1申请一个R1类资源”，再“分配一个R1类资源给P1”） R1 R1 R1

化简资源分配图 方法步骤： 先看系统还剩下多少资源没分配，再看有哪些进程是不阻塞（“不阻塞”即：系统有足够的空闲资源分配给它）的，接着把不阻塞的进程的所有边都去掉，形成一个孤立的点，再把系统分配给这个进程的资源回收回来，这样，系统剩余的空闲资源便多了起来，接着又去看看剩下的进程有哪些是不阻塞的，然后又把它们逐个变成孤立的点。最后，所有的资源和进程都变成孤立的点。这样的图就叫做“可完全简化”。 如果一个图可完全简化，则不会产生死锁；如果一个图不可完全简化（即：图中还有“边”存在），则会产生死锁。这就是“死锁定理”

小学数学《包含与排除》练习题(含答案)

小学数学《包含与排除》练习题（含答案）内容概述 同学们对这个题目可能很陌生，为了搞清楚什么是“包含与排除”，大家先一起回答两个问题： (1) 如右图（1），两个面积都是4厘米2的正方形摆在桌面上， 它们遮盖住桌面的面积是8厘米2吗？ (2) 如右图（2），一个正方形每条边上有6个点，四条边上 一共有24个点吗？ 聪明的同学马上就会发现： (1) 两个正方形的面积和是8厘米2，现在它们有一部分重叠了。因此盖住桌面的面积应当从两个正方形的面积和中减去重叠的这部分面积，所以盖住桌面的面积应少于8厘米2。 (2) 四个角上的点，每个点都在两条边上，因此被重复计算了，在求四条边上共有多少点时，应当减去重复计算的点，所以共有6×4-4＝20(个)点。 这两个问题，在计算时，都采用了“去掉”重复的数值(面积或个数)的方法。当需要计数的两类事物互相包含（有部分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉。 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。我们用|A|表示有限集A的元素个数。求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数， 用式子可表示成： |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|， 我们称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。 图示如右:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分， 记为：A∩B，即阴影面积。 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求|A|+|B|（意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起）； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=|A∩B|（意思是“排除”了重复计算的元素个数）。