1991年考研数学一试题及完全解析(Word版)
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)
(1) 设21,cos ,
x t y t ?=+?=? 则22
d y dx =__________. (2) 由方
程
xyz +=所确定的函数(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分
dz =__________.
(3) 已知两条直线的方程是1123:
101x y z L ---==-；221:211
x y z
L +-==,则过1L 且平行于
2L 的平面方程是__________.
(4) 已知当0x →时,123
(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =__________.
(5) 设4阶方阵 5 2 0 02 1 0 00 0 1 20 0 1 1A ?? ?
?= ?- ???
,则A 的逆阵1A -=__________.
二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1) 曲线2
2
11x x
e
y e --+=
- ( )
(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线
(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2) 若连续函数()f x 满足关系式20
()ln 22x
t f x f dt ??
=
+ ???
?
,则()f x 等于 ( ) (A) ln 2x
e (B) 2ln 2x e
(C)
ln 2x e + (D) 2ln 2x e +
(3) 已知级数
1
1
(1)
2n n n a ∞
-=-=∑,211
5n n a ∞-==∑,则级数1
n n a ∞
=∑等于 ( )
(A) 3 (B) 7 (C) 8 (D) 9
(4) 设D 是xOy 平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,1D 是D 在第一象限的部分,则
(cos sin )D
xy x y dxdy +??等于 ( )
(A) 1
2cos sin D x ydxdy ?? (B) 1
2D xydxdy ??
(C)
1
4(cos sin )D xy x y dxdy +?? (D) 0
(5) 设n 阶方阵
A 、
B 、
C 满足关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位阵,则必有 ( )
(A) ACB E = (B) CBA E = (C) BAC E = (D) BCA E =
三、(本题满分15分,每小题5分.)
(1) 求
)x x π
+
→. (2) 设n 是曲面2
2
2
236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数
u =
在点P 处沿方向n 的方向导数. (3) 2
2
()x y z dV Ω
++???,其中Ω是由曲线22,
0y z x ?=?=?绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4
z =所围成的立体.
四、(本题满分6分) 在过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲线L ,使沿该曲线从O 到A
的积分3
(1)(2)L
y dx x y dy +++?的值最小.
五、(本题满分8分.) 将函数
()2||(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅立叶级数,并由此求级数
21
1
n n ∞
=∑的和.
六、(本题满分7分.)
设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1
2
3
3
()(0)f x dx f =?
,证明在(0,1)内存在一点c ,使
()0f c '=.
七、(本题满分8分.)
已知1(1,0,2,3)α=,2(1,1,3,5)α=,3(1,1,2,1)a α=-+,4(1,2,4,8)a α=+,及
(1,1,3,5)b β=+.
(1) a 、b 为何值时,β不能表示成1234αααα、、、的线性组合
(2) a 、b 为何值时,β有1234αααα、、、的唯一的线性表示式并写出该表示式.
八、(本题满分6分)
设A 为n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明A E +的行列式大于1.
九、(本题满分8分)
在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.
十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)
(1) 若随机变量X 服从均值为2,方差为2
σ的正态分布,且{}240.3P
X <<=,则
{}0P X <=_______.
(2) 随机地向半圆0y <
<(a 为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区
域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4
π
的概率为_______.
十一、(本题满分6分)
设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为
(2)2, 0,0
(,)0, x y e x y f x y -+?>>=??其他
,
求随机变量2Z X Y =+的分布函数.
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】
3
sin cos 4t t t
t -
【解析】这是个函数的参数方程,满足参数方程所确定函数的微分法,即 如果
()()x t y t φ?=??
=?
, 则 ()
()dy t dx t ?φ'='. 所以 sin 2dy
dy t
dt dx dx t dt
-==
, 再对x 求导,由复合函数求导法则得
22
sin 1
()()22d y d dy dt d t dx dt dx dx dt t t
-=?=? 23
2cos 2sin 1sin cos 424t t t t t t
t t t
-+-=
?=. (2)
【答案】dx -
【解析】这是求隐函数在某点的全微分,这里点(1,0,1)-的含义是(1,0)1z z ==-. 将方程两边求全微分,由一阶全微分形式不变性得
222()0d xyz +
=,
再由全微分四则运算法则得
()()xy dz ydx xdy z ++=,
令1,0,1x y z ===-,
得dy =
,
即dz dx =-. (3)【答案】320x y z -++=
【解析】所求平面∏过直线1L ,因而过1L 上的点(1,2,3)；
因为∏过1L 平行于2L ,于是∏平行于1L 和2L 的方向向量,即∏平行于向量1(1,0,1)l =-r
和向量2(2,1,1)l =r
,且两向量不共线,于是平面∏的方程
12310102
1
1
x y z ----=,
即320x y z -++=. (4)【答案】32
-
【解析】因为当0x →时,11sin ,(1)1n
x x x x n
+-::
, 当0x →时2
0ax
→,所以有
122223
111(1)1,cos 1sin ,322
ax ax x x x +--=--:
: 所以 1
223
002
1(1)12
3lim lim 1cos 132
x x ax
ax a x x →→+-==---.
因为当0x →时,123
(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,所以213a -
=,故32
a =-. (5)【答案】120
025
00120033110033-??
?- ? ?
?
?
?-
???
. 【解析】为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.根据本题的特点,若知道分块求逆法,则可以简单解答.
注意： 1
110000A A B B ---????=
? ?????,1
110
000A B B A ---??
??= ? ?????
. 对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：a b A c d ??
=
???
,则求A 的伴随矩阵 *a b d b A c d c a *
-????
== ? ?-????
.
如果
0A ≠,这样
1
11a b d b d b c d c a c a A ad bc ---??????
== ? ?
?---??????
.
再利用分块矩阵求逆的法则：1
110000
A A
B B ---??
??
=
? ?????
,易见 1120
025
001200
33110033A --??
?- ? ?= ?
?
?-
??
?
.
二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)
【解析】由于函数的定义域为0x ≠,所以函数的间断点为0x =,
2
2
2
2
11lim lim
lim
11
x x x x x x x e e y e
e --→→→++===∞--,所以0x =为铅直渐近线,
222
2
11lim lim
lim
111
x x x
x x x x e e y e
e --→∞
→∞
→∞
++====--,所以1y =为水平渐近线.
所以选(D).
【相关知识点】铅直渐近线：如函数()y f x =在其间断点0x x =处有0
lim ()x x f x →=∞,则0
x x =是函数的一条铅直渐近线； 水平渐近线：当lim
(),(x f x a a →∞
=为常数）
,则y a =为函数的水平渐近线. (2)【答案】(B) 【解析】令2
t
u
=
,则2,2t u dt du ==,所以 20
()ln 22()ln 22x
x t f x f dt f u du ??
=+=+ ???
?
?,
两边对x 求导,得()2()f x f x '=,这是一个变量可分离的微分方程,即
[()]
2()
d f x dx f x =.解之得
2()x f x Ce =,其中C 是常数.
又因为0
(0)2()ln 2ln 2f f u du =
+=?
,代入2()x f x Ce =,得0(0)ln 2f Ce ==,得
ln 2C =,即2()ln 2x f x e =?.
(3)【答案】(C) 【解析】因为
1
12342121
(1)
n n n n n a a a a a a a ∞
--=-=-+-++-+∑L L
1234212()()()n n a a a a a a -=-+-++-+L L 21
22121
1
1
()n n n n n n n a
a a a ∞
∞∞
--====
-=-∑∑∑(收敛级数的结合律与线性性质),
所以
122111
1
(1)523n n
n n n n n a
a a ∞
∞∞
--====--=-=∑∑∑.
而
12342121
()()()n
n n n a
a a a a a a ∞
-==+++++++∑L L
21
22121
1
1
()n n n n n n n a
a a a ∞
∞∞
--====+=+∑∑∑538=+=,
故应选(C).
(4)【答案】(A)
【解析】如图,将区域D 分为1234,,,D D D D 四个子区域. 显然,12,D D 关于
y 轴对称,34,D D 关于x 轴对称.
令 12cos sin D
D
I xydxdy I x ydxdy ?=
??=??????,
由于xy 对x 及对y 都是奇函数,所以
12
34
0,
0D D D D xydxdy xydxdy ++==??
??
.
而cos sin x y 对x 是偶函数,对y 是奇函数,故有
34
12
1
cos sin 0,
cos sin 2cos sin D D D D D x ydxdy x ydxdy x ydxdy ++==??
????,
所以 1
1
2(cos sin )2cos sin D
D xy x y dxdy I
I x ydxdy +=+=????,
故选(A).
(5)【答案】(D)
【解析】矩阵的乘法公式没有交换律,只有一些特殊情况可以交换. 由于
A 、
B 、
C 均为n 阶矩阵,且ABC E =,对等式两边取行列式,据行列式乘法公式
||||||1A B C =,得到0A ≠、0B ≠、0C ≠,知A 、B 、C 均可逆,那么,对于ABC E =,先
左乘1
A -再右乘
A 有 1ABC E BC A BCA E -=→=→=,故应选(D).
其实,对于ABC E =先右乘1
C -再左乘C ,有1ABC E AB C CAB E -=→=→=.
三、(本题满分15分,每小题5分.) (1)【解析】这是1∞
型未定式求极限.
lim )lim (1x x x π
++
→→=+
令1t =,则0x +→时0t -→,所以
100
lim(1lim(1)t
x t t e +
-
→→+=+=, 所以
0lim
lim (1lim x x x e →+
+
→→+==.
因为当0x →时,sin x x :,所以
2
2
0002sin 2lim
lim lim 2
x x x x x πππ+++→→→--????===-,
故
0lim
2
lim )x x
x e
e
π
π→+
-
→==.
(2)【解析】先求方向n r 的方向余弦,再求
,,u u u
x y z ??????,最后按方向导数的计算公式 cos cos cos u u u u n x y z
αβγ????=++????求出方向导数. 曲面2
2
2
236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的法向量为
{}
{}
{}(1,1,1)
4,6,24,6,222,3,1P
x y z x y z ±==±,
在点(1,1,1)P 处指向外侧,取正号,并单位化得
}}{}2,3,12,3,1cos ,cos ,cos .n αβγ=
=
=r
又 2222(1,1,1)
2222
(1,1,1)
2222
2
2(1,1,1)
661468688814
6868686814
P P
P P P P u x x x z x y z x y u y y y z x y z x y x y x y u z z z ?
??==
=
??++??
??===
?
?++???++?=-=-=-????
, 所以方向导数
cos cos cos u u u u n x y z αβγ????=++???? 11
147
1414141414=
?+?-?=. (3)【解析】由曲线22,0
y z x ?=?=?绕z 轴旋转一周而围成的旋转面方程是222x y z +=.
于是,Ω是由旋转抛物面2
21()2
z x y =
+与平面4z =所围成.曲面与平面的交线是 228,4x y z +==.
选用柱坐标变换,令cos ,sin ,x r y r z z θθ===,于是
:02,04,02z r z θπΩ≤≤≤≤≤≤,
因此
22()I x y z dV Ω=++???
4
2220
()z
dz d r z rdr π
θ=+???
2424
0242r z r r r z dz π
==??????=+ ???????
?
4
20
256
43
z dz ππ==
?
.
四、(本题满分6分)
【解析】曲线sin ,([0,])y a x x π= ∈,则cos dy a xdx =,所以 3(1)(2)L
I
y dx x y dy =+++?
30
[1(sin )(2sin )cos ]a x x a x a x dx π
=
+++??
2330
1sin 2cos sin 22a a x ax x x dx π
??=
+++ ???
?
2
3
3
sin 2cos sin 22
a a
xdx a x xdx xdx π
π
π
π=+++
??
?
2
3
2
(cos 1)cos 2sin sin 224
a a
x d x a xd x xd x π
π
π
π=+-++
?
?
?
[][]23
3000
1cos cos 2sin cos cos 234a a x x a x x x x π
πππ??
=+-+++-???? 3
443
a a π=+
-. 对关于a 的函数3
443
I a a π=+-两边对a 求导数,其中0a >,并令0,I '=得
2440I a '=-=.
所以1a =,
且
0,01
0,1I a I a '<<
'><<+∞
?. 故1a =为函数3
44,(0)3
I a a a π=+
->的极小值点,也是最小值点.故所求的曲线为 sin ,([0,])y x x π= ∈.
五、(本题满分8分.)
【解析】按傅式级数公式,先求()f x 的傅式系数n a 与n b .因()f x 为偶函数,所以
1()sin 0(1,2,3,)l n l n b f x xdx n l l π
-=
= =?L , 012()cos ()cos l l n l n n a f x xdx f x xdx l l l l ππ
-==??
111
00022(2)cos 4cos sin x n xdx n xdx xd n x n ππππ
=+=+??? 122022(cos 1)
sin (1,2,3,)n n xdx n n n ππππ
-=-= =?L , 1
00
2(2)5a x dx =+=?.
因为()2||f x x =+在区间(11)x -≤≤上满足狄利克雷收敛定理的条件,所以
01()2||cos sin 2n n n a n n f x x a x b x l l ππ∞=??=+=
++ ???
∑ 22152(cos 1)
cos 2n n n x n πππ∞=-=+∑
2
2
1
54
1
cos(21)(11)2(21)
n n x x n ππ
∞
==-- -≤≤-∑.
令0x =,有2
2
154
1
(0)20cos 02(21)n f n π
∞
==+=--∑,所以,2211(21)8n n π∞
==-∑. 又 2222
2111
1111111
(21)(2)(21)4n n n n n n n n n ∞
∞
∞∞====??=+=+??--??∑∑∑∑, 所以, 2
213148
n n π∞==∑,即
2
2
116n n
π∞
==∑.
六、(本题满分7分.)
【解析】由定积分中值定理可知,对于
1
23
()f x dx ?
,在区间2
(,1)3
上存在一点ξ使得
1
23
21
()()(1)()33
f x dx f f ξξ=-=?
,
即1
23
3
()()(0)f x dx f f ξ==?
.
由罗尔定理可知,在区间(0,1)内存在一点(01)c c ξ<<<,使得()0f c '=.
七、(本题满分8分)
【解析】设11223344x x x x ααααβ+++=,按分量写出,则有
12342334
1234123412123(2)4335(8)5
x x x x x x x x x a x x b x x x a x α+++=??-+=??
++++=+??++++=?. 对方程组的增广矩阵作初等行变换: 第一行分别乘以有()2-、()3-加到第三行和第四行上,再第二行乘以()1-、()2-加到第三行
和第四行上,有
11
1111
1
1
11011210
112123243
0121351850
2252A a b a b a a ????
?
?
--
? ?
=→ ? ?+++ ?
?
+-+????
M M M M M M M M 11
1
110112100100
0010a b a ??
?
- ?
→ ?
+ ?
+??M M M M ,
所以,当1,0a b =-≠时,()1()r A r A +=,方程组无解.即是不存在1234x ,x ,x ,x 使得
11223344x x x x ααααβ+++=成立,β不能表示成1234αααα、、、的线性组合；
当1a ≠-时,()() 4.r A r A ==方程组有唯一解21,,,0111T
b a b b a a a ++??
- ?+++??
,
故β有唯一表达式,且1234210111
b a b b a a a β
αααα++=-
+++?+++. 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理： 设
A 是m n ?矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵
()A A b =M 的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n αααL 线表出,亦等同于
12,,,n αααL 与12,,,,n b αααL 是等价向量组).
设A 是m n ?矩阵,线性方程组Ax b =,则 (1) 有唯一解 ? ()().r A r A n == (2) 有无穷多解 ? ()().r A r A n =< (3) 无解
? ()1().r A r A +=
? b 不能由A 的列向量12,,,n αααL 线表出.
八、(本题满分6分) 【解析】方法1：因为
A 为n 阶正定阵,故存在正交矩阵Q ,使
12
1T N Q AQ Q AQ λλλ-??
? ?==Λ=
? ??
?
O , 其中0(1,2,)i i n λ>=L ,i λ是
A 的特征值.
因此 ()T T T
Q A E Q Q AQ Q Q E +=+=Λ+ 两端取行列式得 |||||||||()|||(1)T T i A E Q A E Q Q A E Q E λ+=+=+=Λ+=+∏,
从而
||1A E +>.
方法2：设A 的n 个特征值是12n ,,,.λλλL 由于A 为n 阶正定阵,故特征值全大于0. 由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端同时加上α,
得
()()1A E αλα+=+.按特征值定义知1λ+是A E +的特征值.因为A E +的特征值是
12111n ,,,.λλλ+++L 它们全大于1,根据i A λ=∏,知||(1)1i A E λ+=+>∏.
【相关知识点】阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量
X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.
九、(本题满分8分)
【解析】曲线()y y x =在点(,)P x y 处的法线方程为
1
()Y y X x y -=-
-'
(当0y '≠时), 它与x 轴的交点是(,0)Q x yy '+,从而
122
||(1)PQ y y '==+.
当0y '=时,有(,0),||Q x PQ y =,上式仍然成立. 因此,根据题意得微分方程
31222
2
1(1)
(1)
y y y y ''=
''++,
即2
1yy y '''=+.这是可降阶的高阶微分方程,且当1x =时,1,0y y '==. 令()y P y '=,则dP y P
dy ''=,二阶方程降为一阶方程21dP yP P dy =+,即2
1PdP dy
P y
=+.
即y =C 为常数.
因为当1x =时,1,0y P y '===,所以1C =,
即y ==
所以y '=分离变量得
dx =±.
令sec y t =,并积分,则上式左端变为
sec tan ln sec tan tan t tdt
t t C t
==++?
ln sec ln t C y C =+=+.
因曲线在上半平面,所以0y >,即(ln y C x +=±.
故 x y Ce ±=.
当1x =时,1,y =
当x 前取+时,1
C e -=,1x y e -=,
1
1
1x x y e e --=
=
==；
当x 前取-时,C e =,1x y e -++=,
1
11x x
y e e ---=
=
==；
所以 (1)(1)1()2
x x y e e ---=+.
十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)
(1)【解析】一般说来,若计算正态分布随机变量在某一范围内取值的概率,应该已知分布的两个参数μ和2
σ,否则应先根据题设条件求出μ,2
σ,再计算有关事件的概率,本题可从
2()0.8σΦ=,通过查()x Φ表求出σ,但是注意到所求概率(0)P x <即是2()σ-Φ与2
()σ
Φ之间
的关系,可以直接由2
(
)σ
Φ的值计算出2
(
)σ
-Φ.
因为2
(2,)X N σ:,所以可标准化得
2
(0,1)X N σ
-:,
由标准正态分布函数概率的计算公式,有
42
22
(24)(
)(
)P x σ
σ
--<<=Φ-Φ,
2
()(24)(0)0.8P x σ
Φ=<<+Φ=.
由正态分布函数的对称性可得到 02
22
(0)(
)()1()0.2P x σ
σσ
-<=Φ=Φ-=-Φ=.
(2)【解析】设事件
A =“掷的点和原点的连线与x 轴的夹角小于
4
π
”,
这是一个几何型概率的计算问题.由几何概率公式
()D S P A S =
半圆,而 2
12
S a π=半圆, 22
141124
D OAC S S S a a π=+=
+V 圆
, 故 22
2111124()122
a a
P A a πππ+==+.
十一、(本题满分6分)
【解析】二维连续型随机变量的概率等于对应区域的二重积分,所以有
{}{}2()2(,)x y z
F z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=
??
.
当0z ≤时,()0F z =. 因为2x y
z +=在直线2
x +与0,0x y >>(即第一象限)
所以()0F z =. 当0z >时,2x y
z +=在直线的上方与第一象限相交成一个三角形区域D ,此即为积分区间.
(2)
20
()2()1z x z
z
x y x z z z F z dx e
dy e e dx e ze --+----==-=--??
?.
所以2Z X Y =+的分布函数 0, 0,
()1, 0.
z z
z F z e ze z --
0=