实验高中高三文科综合测试10.23

即墨市实验高级中学高三数学文科综合测试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

1. 若复数z ＝3－i ，则z 的虚部等于 ( )

A ．－1

B ．3

C ．－i

D ．3－i

2. 已知集合M ＝{1，3，5}，N ＝{1，2，3，a }，且M ∪N ＝{1，2，3，5}，则实数a 的值( ) A ．4 B ．5 C ．2或5 D ．2，3或5

3. 函数f (x )＝x

-3

－1的定义域、值域是( )

A ．定义域是R ，值域是R

B ．定义域是R ，值域是(0，＋∞)

C ．定义域是R ，值域是(－1，＋∞)

D ．以上都不对

4. 函数f (x )＝x 2

－2mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，则实数m 的取值范围是( ) A. (－∞，＋∞) B. (－∞，2) C. (－∞，2] D. (－∞，－2] 5. 右图是表示分别输出：

22222222221,13,135,,1352012+++++++ 的值的过程

的一个程序框图，那么在图中①②处应分别填上( )

A. i ≤2012?;1i i =+

B. i ≤1006?;1i i =+

C. i ≤2012?;2i i =+

D. i ≤1006?;2i i =+

6.若 f ′(x )是函数f (x )＝13x 3

＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值

为

( ) A. 1

B. 3

C. 1或3

D. 4

7. 在同一坐标系中画出函数y ＝log a x ，y ＝a x

，y ＝x ＋a 的图象，可能正确的是( )

8. 已知幂函数f(x)＝(n 2

＋2n －2)n

n x

32-(n∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)

上是减函数，则n 的值为( )

A. －3

B. 1

C. 2

D. 1或2

9. 若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (8)－f (4)等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2

10. 下列函数图象与x 轴均有交点，但不宜用二分法求函数零点的是( )

11. 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )

12. 已知定义在R 上的函数y ＝f(x)满足条件f(x ＋32)＝－f(x)，且函数y ＝f(x －3

4)为奇函数，下

面关于f (x )的判定正确序号的选项为( )

① 函数f(x)是周期函数； ②函数f(x)的图象关于点(－3

4，0)对称；

③ 函数f(x)为R 上的单调函数； ④ 函数f(x)为R 上的偶函数． A ．①② B ．②③ C ．①②③ D ．①②④

第Ⅱ卷

二、填空（本大题共4小题，每小题5分） 13. 观察下列一组等式：

①sin 2

300

+cos 2

600

+sin300

cos600

=

34，②sin 2150+cos 2450+sin150cos450=34

， ③sin 2450+cos 2750+sin450cos750=34

，……，

那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是： _____.

14. 已知集合A ＝{x ||x －a |≤1}，B ＝{x |x 2

－5x ＋4≥0}，若A ∩B ＝?，则实数a 的取值

范围是________． 15. 如图，在平面四边形ABCD 中，1===CD AD AB ，CD BD BD ⊥=,2，将其沿对角线BD 折成四面体BCD A -'， 使平面⊥BD A '平面BCD ，若四面体 BCD A -'顶点在同一个球面上，则该球

的体积为 .

16. 如图已知定义在区间[0，1]上的函数y ＝f (x )的图象，对于满足0

给出下列结论：

① f (x 2)－f (x 1) > x 2－x 1 ② x 2 f (x 1) > x 1 f (x 2)； ③

f （x 1）＋f （x 2）2

< f (x 1＋x 2

2

)．

其中正确结论的序号是________．(把所有正确结论的序号都填上)

三、解答题（本大题共5个小题，每题12分，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知数列的前n 项和为n S ，且满足()

*∈+=N n S a n n 12

1

.

(1)求数列{}n a 的通项公式;

(2)若n n a b 2log =,1

1

+=n n n b b c ,且数列{}n c 的前n 项和为n T ,求n T 的取值范围.

18. 已知函数f (x )＝b ·a x

(其中a ，b 为常量且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1，6)，B (3，24)， (1) 试确定f (x )；

(2) 若不等式(1a ) x ＋(1b

) x

－m ≤0在x ∈[0，+∞)上恒成立，

求实数m 的取值范围．

19.某同学在生物研究性学习中想对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：

（1）从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为n m ,，求事件“n m ,均不小于25的概率。 （2）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三

天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程a x b y

???+=； （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的

线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？

（参考公式：2

1

21

?x

n x

y x n y

x b

n

i i

n

i i

i --=∑∑==，x b y a

??-=） 20. 如图，斜三棱柱111C B A ABC -的底面是直角三角形，

?=∠90ACB ,点1B 在底面内的射影恰好是BC 的中

点，且2==CA BC

(1)求证:平面11A ACC ⊥平面CB C B 11;

(2)若31=A A ，求点B 到平面CA B 1的距离.

21.已知椭圆C 1的方程为x 2

4

＋y 2

＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的

左、右顶点分别是

C 1的左、右焦点． (1)求双曲线C 2的方程； (2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且2>? (其中O 为原点)，求k 的取值范围．

22. 已知函数2()8ln f x x x =-，2()14g x x x =-+。 (1)求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；

(2)若函数()f x 与()g x 在区间)1,(+a a 上均为增函数,求a 的取值范围； (3)若方程()()f x g x m =+有唯一解,试求实数m 的值。

错误

错误

错误

！

错误！

错误！

错误

即墨市实验高级中学高三数学文科综合测试题答案

一、选择题：1-5 A B C C C 6-10 B D B A B 11-12 B D 12解析：由f(x)＝f(x ＋3) ?f(x)为周期函数，且T ＝3，①为真命题；

又y ＝f(x －34)关于(0，0)对称，y ＝f(x －34)向左平移3

4个单位得y ＝f(x)的图象，则y ＝f(x)的

图象关于点(－3

4

，0)对称，②为真命题；

又y ＝f(x －34)为奇函数，所以f(x －34)＝－f(－x －34)，f(x －34－34)＝－f(34－x －3

4)＝－f(－x)，

∴f(x －32)＝－f(－x)，f(x)＝f(x －3)＝－f(x －3

2

)＝f(－x)，

∴f(x)为偶函数，不可能为R 上的单调函数，④为真命题；③ 为假命题。 故真命题为 ①②④ 选.D

二、填空题：

13.2

2

3sin cos (30)sin

cos(30)4αααα+?++?+= 14. (2，3) 15.2

16.②③

三、解答题： 17.[解]

（1）数列{}n a 是以2为首项,2为公比的等比数列 ∴2n

n a = ……………6分

(2)22log log 2n n n b a n === ……………7分

11111

(1)1

n n n c b b n n n n +===-++ ……………8分 11111111...223341n T n n =-

+-+-++-+=111

n -+ ……………10分 n N *

∈ 110,12n ??∴

∈ ?+?? 1,12n T ??

∴∈????

……………12分

18.解：(1)∵f (x )＝b ·a x

的图象过点A (1，6)，B (3，24)，

∴???

?

?b ·a ＝6 ①b ·a 3

＝24 ②

解得：a ＝2，b ＝3，∴f (x )＝3·2x .

(2)由(1)知(1a )x ＋(1b )x －m ≤0在[0，+∞)上恒成立化为m ≥(12) x ＋(13

) x

在[0，+∞)上恒成立．令

g (x )＝(12) x ＋(13

) x ，则g (x )在[0，+∞)上单调递减，

∴m ≥g (x )max ＝g (0)＝1＋1＝2， 故所求实数m 的取值范围是[2，+∞)．

19. （1）p(A)=

3

10

………………..4分 （2）由数据得27,12==y x ，9723=y x ，

9773

1

=∑

=i i i y x ，

4343

1

2=∑

=i i x ，43232

=x (6)

分

由公式，得25432434972977?=--=b

，3122

527?-=?-=a 所以y 关于x 的线性回归方程为32

5

?-=x y

……………………………8分 （3）当10=x 时，22?=y

，|22-23|2<，当8=x 时，,17?=y |17-16|2< 所以得到的线性回归方程是可靠的。 (1)

20. [解]

解:（本小题满分12分）

(1)取BC 中点M ，连接1B M ，则1B M ⊥面ABC ，

11BB C C ABC ∴⊥面面

11BC BB C C ABC =? 面面，AC BC ⊥

11AC BB C C ∴⊥面

11AC ACC A ? 面

1111ACC A BCC B ∴⊥面面----------5分

（2）设点B 到平面CA B 1的距离为h ，…………6分

ABC B CA B B V V --=11,……………………8分

.3

2

4,22)2221(31)3221(31=????=??h h (12)

分

21.[解] (1)设双曲线C 2的方程为 x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)，

则a 2

＝4－1＝3，c 2

＝4，再由a 2

＋b 2

＝c 2

，得b 2

＝1，故C 2的方程为： x 2

3－y 2

＝1.

(2)将y ＝kx ＋2代入x 2

3－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2

－62kx －9＝0.

由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得

???1－3k 2

≠0Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）＝36（1－k 2）>0

∴k 2≠13且k 2

<1 ① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2， x 1x 2＝－9

1－3k

2.

∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝＝3k 2＋7

3k 2－1

. 又∵OA →·OB → > 2，

得 x 1x 2＋y 1y 2>2， ∴3k 2＋73k 2－1>2， 即－3k 2

＋93k 2－1>0， 解得 13

<3 ②

由① ② 得 13

3

，1)．

22.解解：(1)因为8

()2f x x x

'=-

,所以切线的斜率(1)6k f '==-…………………… 又(1)1f =,故所求切线方程为16(1)y x -=--,即67y x =-+……………………4分

(2)因为2(2)(2)

()x x f x x

+-'=,又x>0,所以当x>2时,()0f x '>；当0

()f x 在(2,)+∞上递增,在(0,2)上递减

又2

()(7)49g x x =--+,所以()g x 在(,7)-∞上递增,在(7,)+∞上递减 欲()f x 与()g x 在区间(),1a a +上均为增函数,则2

17

a a ≥??

+≤?,解得26a ≤≤…………8分

(3) 原方程等价于2

28ln 14x x x m --=,令2

()28ln 14h x x x x =--,则原方程即为()h x m =.

因为当0>x 时原方程有唯一解,

所以函数()y h x =与y m =的图象在y 轴右侧有唯一的交点……………………10分 又82(4)(21)()414x x h x x x x

-+'=-

-=,且x>0,所以当x>4时,()0h x '>；当0

故h(x)在x=4处取得最小值

从而当0>x 时原方程有唯一解的充要条件是(4)16ln 224m h ==--… ……………………………………………………14分