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线性规划一

线性规划一
线性规划一

高二上学期校本作业

班级: 姓名: 座号_________

3.3.2 简单的线性规划问题(一)

一、选择题

1.设x ,y 满足???

2x +y ≥4,

x -y ≥-1,

x -2y ≤2.

则z =x +y ( )

A .有最小值2,最大值3;

B .有最小值2,无最大值

C .有最大值3,无最小值;

D .既无最大值,也无最小值

2.设变量x ,y 满足???

x +y ≤1,

x -y ≤1,

x ≥0,

则x +2y 的最大值和最小值分别为( )

A .1,-1

B .2,-2

C .1,-2

D .2,-1

3.如图中的阴影部分的点满足不等式组???

x +y ≤5

2x +y ≤6

x ≥0,y ≥0

,在下列这些点中,使目

标函数z =6x +8y 取得最大值的点的坐标是( )

A .(0,5)

B .(1,4)

C .(2,4)

D .(1,5)

4.已知x y ,满足约束条件5003x y x y x -+??

+???

≥,≥,≤.则24z x y =+的最大值为( )

A.5

B.38-

C.10

D.38

5.已知点P (x ,y )的坐标满足条件???

x +y ≤4,

y ≥x ,

x ≥1,

则x 2+y 2的最大值为( )

A.10

B .8

C .16

D .10

6.实数x ,y 满足不等式组???

y ≥0

x -y ≥0

2x -y -2≥0

,则ω=

y -1

x +1

的取值范围为( ) A .[-1,13] B .[-12,13] C .[-12,+∞) D .[-1

2,1)

7.若直线y =2x 上存在点(x ,y )满足约束条件???

x +y -3≤0,

x -2y -3≤0,

x ≥m ,

则实数m 的最大值为( )

A .-1

B .1 C.3

2 D .2

8.已知点(x ,y )在如图所示平面区域内运动(包含边界),目标函数z =kx -y 当

且仅当x =23,y =4

5时,目标函数z 取最小值,则实数k 的取值范围是(

)

A .(-125,-310)

B .[-125,-310]

C .(-512,-103)

D .[-512,-10

3] 9.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界),目标函数

z

=x +ay 取得最小值的最优解有无数个,则a 的一个可能值为( ) A .-3 B .3 C .-1 D .1

10.已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组???

0≤x ≤2,y ≤2,

x ≤2y

定.若M (x ,y )为D 上的动点,点A 的坐标为(2,1),则z =OM →·OA

→的最大值为 ( )

A .3

B .4

C .3 2

D .4 2

二、填空题 11.已知点

P (x ,y )的坐标满足条件???

x +y ≤4,

y ≥x ,

x ≥1,

点O 为坐标原点,那么|PO |的最小值等于

__________,最大值等于________.

12.已知实数x ,y 满足???

x +2y -5≤0,

x ≥1,

y ≥0,

x +2y -3≥0,

则y

x 的最大值为______.

13.已知-1

14.若x ,y 满足???

x ≥0

y ≤x

2x +y +k ≤0

,且z =x +3y 的最大值为12,则k =________.

15.已知6枝玫瑰与3支康乃馨的价格之和大于24元,而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元,若2枚玫瑰的价格为m,3枝康乃馨的价格为n ,则m 与n 的大小关系为________.

三、解答题

16.设z =x +2y -4,其中x ,y 满足???

x -y +2≥0,

x +y -4≥0,

2x -y -5≤0.

求z 的最大值和最小值.

17.已知???

2x +y -5≥0

3x -y -5≤0

x -2y +5≥0

,求x 2+y 2的最小值和最大值.

18.已知实数x ,y 满足???

x -y +6

x +y -6 ≥01≤x ≤4

. (1)求x 2+y 2-2的取值范围; (2)求y x -3

的取值范围.

(3)求24x y +-的最大值和最小值

BBADA DBAAB

答案:2 10;2;(3,8) ;答案:-9答案:m >n

16.解:作出可行域(如图),其中可行域的顶点为A (1,3),

B (3,1),

C (7,9).将直线l 0:x +2y =0平移,当直线平移到B (3,1)处时,对应直线l 1的纵截距最小,此时z 也取得最小值;当直线平移到C (7,9)时,对应直线l 2的纵截距最大,此时z 也取得最大值.将B (3,1)代入

目标函数z =x +2y -4,可得z min =1;

将C (7,9)代入目标函数z =x +2y -4,可得z max =21. 所以z 的最小值为1,最大值为21.

.解

作出不等式组???

2x +y -5≥0,3x -y -5≤0,

x -2y +5≥0,

的可行域如图所示,

由??? x -2y +5=02x +y -5=0,得A (1,3), 由??? x -2y +5=03x -y -5=0,得B (3,4), 由???

3x -y -5=02x +y -5=0

,得C (2,1), 设z =x 2+y 2,则它表示可行域内的点到原点的距离的平方,结合图形知,原点到点B 的距离最大,注意到OC ⊥AC , ∴原点到点C 的距离最小. 故z max =|OB |2=25,z min =|OC |2=5. 11.解 (1)作出可行域如图,

由x 2+y 2=(x -0)2+(y -0)2,可以看作区域内的点与原点的距离的平方, 最小值为原点到直线x +y -6=0的距离的平方, 即|OP |2,最大值为|OA |2,

其中A (4,10),|OP |=|0+0-6|12+12=6

2=32,|OA |=42+102=116, ∴(x 2+y 2-2)min =(32)2-2=18-2=16,

(x 2+y 2-2)max =(116)2-2=116-2=114,∴16≤x 2+y 2-2≤114. 即16≤x 2+y 2-2≤114.

(2)y x -3=y -0x -3.可以看作是区域内的动点与点(3,0)连线的斜率.观察图象知 y x -3≥2-04-3或y x -3≤5-01-3, ∴y x -3

的取值范围为? ?

???-∞,-52∪[2,+∞).

简单的线性规划word版

如对你有帮助,请购买下载打赏,谢谢! 7.3简单的线性规划 考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域 1.(2013北京,14,5分)已知点A(1,-1),B(3,0),C(2,1).若平面区域D由所有满足 =λ+μ(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成,则D的面积为. 答案 3 2.(2013山东,14,4分)在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是. 答案 3.(2013安徽,12,5分)若非负变量x,y满足约束条件则x+y的最大值为. 答案 4 考点二线性规划问题 4.(2013课标全国Ⅱ,3,5分)设x,y满足约束条件则z=2x-3y的最小值是( ) A.-7 B.-6 C.-5 D.-3 答案 B 5.(2013天津,2,5分)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=y-2x的最小值为( ) A.-7 B.-4 C.1 D.2 答案 A 6.(2013福建,6,5分)若变量x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值和最小值分别为( ) A.4和3 B.4和2 C.3和2 D.2和0 答案 B 7.(2013陕西,7,5分)若点(x,y)位于曲线y=|x|与y=2所围成的封闭区域,则2x-y的最小值是( ) A.-6 B.-2 C.0 D.2 答案 A 8.(2013四川,8,5分)若变量x,y满足约束条件且z=5y-x的最大值为a,最小值为b,则a-b的值是( ) A.48 B.30 C.24 D.16 答案 C 9.(2013湖北,9,5分)某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行,A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆.则租金最少为( ) A.31 200元 B.36 000元 C.36 800元 D.38 400元 答案 C 10.(2013课标全国Ⅰ,14,5分)设x,y满足约束条件则z=2x-y的最大值为. 答案 3 11.(2013湖南,13,5分)若变量x,y满足约束条件则x+y的最大值为. 答案 6 12.(2013北京,12,5分)设D为不等式组表示的平面区域.区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为. 答案 13.(2013广东,13,5分)已知变量x,y满足约束条件则z=x+y的最大值是. 答案 5 14.(2013浙江,15,4分)设z=kx+y,其中实数x,y满足若z的最大值为12,则实数k= . 答案 2

MATLAB求解线性规划含整数规划和01规划问题.pdf

MATLAB 求解线性规划(含整数规划和0-1规划)问题 线性规划是数学规划中的一类最简单规划问题,常见的线性规划是一个有约束的,变量范围为有理数的线性规划。如: max 712z x y =+ 9430045200s.t 310300,0 x y x y x y x y +≤??+≤??+≤??≥? 对于这类线性规划问题,数学理论已经较为完善,可以有多种方法求解此类问题。但写这篇文章的目的并不是为了介绍数学理论,我们这里主要讲解如果利用工具求解这一类线性规划问题。 最著名,同时也是最强大的数学最优化软件是LINGO/LINDO 软件包,它能够求解多种的数学规划问题,同时还提供了多种的分析能力。但LINGO 软件并不容易上手,同时,应用LINGO 的场合一般是大规模的线性规划问题,小小的线性规划完全可以不使用它。一个更受科研人员欢迎的数学软件是MATLAB ,它以功能强大而称著,并有数学软件中的“航空母舰”之称。我们这里就是要学习使用MATLAB 软件求解线性规划(含整数规划和0-1规划)问题。 为了使得不熟悉MATLAB 的人员也能够使用MATLAB 进行线性规划问题求解,本文将对MATALB 中使用到的函数和过程以及结果进行详细的分析,最后会对每一个问题都给出一个可以完全“套用”的MATLAB 程序。 我们首先从上面的线性规划问题开始,为了便于表达,将上面的式子写成矩阵形式: max 712z x y =+ 9430045200s.t 310300,0x y x y ???????? ? ??≤? ? ? ???? ? ???????≥? 于是约束就表达为了一个Ax b ≤不等式。 求解MATLAB 线性规划时,最常用的函数是linprog 函数,下面来介绍一下这个函数的使用。 打开MATLAB 帮助文档(PS:帮助文档的内容是最全的,只要你的英文过了专业8级),可以看到linprog 函数求解的是具有如下标准形式的线性规划:

习题答案选01_线性规划和单纯形法

运筹学教程(胡运权主编,清华版)部分习题答案(第一章)1.5 记可行集4个顶点分别为O:(0,0),A:(1.6,0),B:(1,1.5),C:(0,2.25) 当c=0,d=0时,四边形OABC中的点都是最优解 当c=0,d>0时,顶点C是最优解 当c=0,d<0时,线段OA上的点都是最优解 当c>0,d/c<2/5时,顶点A是最优解 当c>0,d/c=2/5时,线段AB上的点都是最优解 当c>0,2/50,d/c=4/3时,线段BC上的点都是最优解 当c>0,d/c>4/3时,顶点C是最优解 当c<0,d<0时,顶点O是最优解 当c<0,d=0时,线段OC上的点都是最优解 当c<0,d>0时,顶点C是最优解 1.8 a=3,b=2,c=4,d=-2,e=2,f=3,g=1,h=0,i=5,j=5,k=-3/2,l=0 1.15 设i=1,2,3分别表示前、中、后三舱,j=1,2,3分别表示A、B、C三种商品 设第i舱装载第j中商品的件数为x ij max z = 100(x11+x21+x31) + 700(x12+x22+x32) + 600(x13+x23+x33) s.t. 8x11+6x12+5x13 ≤ 2000 8x21+6x22+5x23 ≤ 3000 8x31+6x32+5x33 ≤ 1500 10x11+5x12+7x13 ≤ 4000 10x21+5x22+7x23 ≤ 5400 10x31+5x32+7x33 ≤ 1500 x11+x21+x31≤ 600 x12+x22+x32 ≤ 1000 x13+x23+x33 ≤ 800 8x11+6x12+5x13 ≤ 1.15 (8x21+6x22+5x23) 8x21+6x22+5x23 ≤ 1.15 (8x11+6x12+5x13) 8x31+6x32+5x33 ≤ 1.15 (8x21+6x22+5x23) 8x21+6x22+5x23 ≤ 1.15 (8x31+6x32+5x33)

数学建模(教案)第一章--线性规划

数学建模 第一章 线性规划 §1 线性规划 在人们的生产实践中,经常会遇到如何利用现有资源来安排生产,以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划,而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来,线性规划在理论上趋向成熟,在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后,线性规划的适用领域更为广泛了,已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。 1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床,每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用B A 、机器加工,加工时间分别为每台2小时和1小时;生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工,加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时,问该厂应生产甲、乙机床各几台,才能使总利润最大? 上述问题的数学模型:设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大,则21,x x 应满足 (目标函数) 2134m ax x x z += (1) s.t. ( 约 束 条 件 ) ?????? ?≥≤≤+≤+0 ,781022122 121x x x x x x x (2) 这里变量21,x x 称之为决策变量,(1)式被称为问题的目标函数,(2)中的几个不等式是问题的约束条件,记为s.t.(即subject to)。

上述即为一规划问题数学模型的三个要素。由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数,故被称为线性规划问题。 总之,线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下,求一线性目标函数最大或最小的问题。 在解决实际问题时,把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步,但往往也是困难的一步,模型建立得是否恰当,直接影响到求解。而选取适当的决策变量,是我们建立有效模型的关键之一。 1.2 线性规划的Matlab 标准形式 线性规划的目标函数可以是求最大值,也可以是求最小值,约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便,Matlab 中规定线性规划的标准形式为 b Ax x c x T ≤ that such min 其中c 和x 为n 维列向量,b 为m 维列向量,A 为n m ?矩阵。 例如线性规划 b Ax x c x T ≥ that such max 的Matlab 标准型为 b Ax x c x T -≤-- that such min 1.3 线性规划问题的解的概念 一般线性规划问题的标准型为 ∑==n j j j x c z 1min (3) ∑==≤n j i j ij m i b x a 1,,2,1 s.t.Λ (4) 可行解 满足约束条件(4)的解),,,(21n x x x x Λ=,称为线性规划问题的可行解,而使目标函数(3)达到最小值的可行解叫最优解。

《简单的线性规划问题》教案

《简单的线性规划问题》教学设计 (人教A版高中课标教材数学必修5第三章第3.3.2节) 祁东二中谭雪峰 一、内容与内容解析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中第3.3.2《简单的线性规划问题》的第一课时. 本课内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法. 线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.本节内容是在学习了不等式和直线方程的基础上,利用不等式和直线方程的有关知识展开的.简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划,其最优解可以用数形结合方法求出.简单的线性规划关心的是两类问题:一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务;二是给定一项任务,如何合理规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成. 本节内容蕴含了丰富的数学思想方法,突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思想. 通过这一部分的学习,使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用,体验数形结合和转化的思想方法,培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力. 二、教学目标 一)、知识目标 1.了解线性规划的意义、了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念. 2.理解线性规划问题的图解法 3. 会用图解法求线性目标函数的最优解. 二)、能力目标 1.在应用图解法解题的过程中培养学生的观察能力、理解能力. 2.在变式训练的过程中,培养学生的分析能力、探索能力.

3.培养学生观察、联想、作图和理解实际问题的能力,渗透化归、数形结合的数学思想. 三)、情感目标 1.让学生体验数学来源于生活,服务于生活,品尝学习数学的乐趣. 2.让学生体验数学活动充满着探索与创造,培养学生勤于思考、勇于探索的精神. 三、教学重点、难点 重点:线性规划问题的图解法;寻求有实际背景的线性规划问题的最优解. 难点:借助线性目标函数的几何含义准确理解线性目标函数在y 轴上的截距与z最值之间的关系. 四、学习者特征分析 1. 已经掌握用平面区域表示二元一次不等式(组) 2. 初步学会分析简单的实际应用问题 3. 能根据实际数据假设变量,并从中抽象出不等的线性约束条件并用相应的平面区域进行表示 本节课学生在学习过程中可能遇到以下疑虑和困难: 1.将实际问题抽象成线性规划问题; 2.用图解法解线性规划问题中,为什么要将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题?如何想到要这样转化? 3.数形结合思想的深入理解. 五、教学与学法分析 本节课以学生为中心,以问题为载体,采用启发、引导、探索相结合的教学方法.课堂中应注重创设师生互动、生生互动的和谐氛围,通过学生动手实践、动脑思考等方法探究数学知识获取直接经验,进而培养学生的思维能力和应用意识等. 1.设置“问题”情境,激发学生解决问题的欲望; 2.提供“观察、探索、交流”的机会,引导学生独立思考,有效地调动学生思维,使学生在开放的活动中获取直接经验.

(完整版)简单的线性规划问题(附答案)

简单的线性规划问题 [ 学习目标 ] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念 .2. 了解线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题. 知识点一线性规划中的基本概念 知识点二线性规划问题 1.目标函数的最值 线性目标函数 z=ax+by (b≠0)对应的斜截式直线方程是 y=-a x+z,在 y 轴上的 截距是z, b b b 当 z 变化时,方程表示一组互相平行的直线. 当 b>0,截距最大时, z 取得最大值,截距最小时, z 取得最小值; 当 b<0,截距最大时, z 取得最小值,截距最小时, z 取得最大值. 2.解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下,解决简单线性规划问题的步骤可以概括为:“画、移、求、答”四步,即, (1)画:根据线性约束条件,在平面直角坐标系中,把可行域表示的平面图形准确地画出来,可行域可以是封闭的多边形,也可以是一侧开放的无限大的平面区域.(2)移:运用数形结合的思想,把目标函数表示的直线平行移动,最先通过或最后通过的顶点 (或边界 )便是最优解. (3)求:解方程组求最优解,进而求出目标函数的最大值或最小值. (4)答:写出答案.

知识点三简单线性规划问题的实际应用 1.线性规划的实际问题的类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源,问怎样运用这些资源,使完成的任务量最大,收到的效益最大; (2)给定一项任务,问怎样统筹安排,使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小.常见问题有: ①物资调动问题例如,已知两煤矿每年的产量,煤需经两个车站运往外地,两个车站的运输能力是有限的,且已知两煤矿运往两个车站的运输价格,煤矿应怎样编制调动方案,才能使总运费最小? ②产品安排问题例如,某工厂生产甲、乙两种产品,每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C 三种 材料的数量,此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的,这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产,才能使每月获得的总利润最大? ③下料问题例如,要把一批长钢管截成两种规格的钢管,应怎样下料能使损耗最小?2.解答线性规划实际应用题的步骤 (1)模型建立:正确理解题意,将一般文字语言转化为数学语言,进而建立数学模型,这需要在学习有关例题解答时,仔细体会范例给出的模型建立方法. (2)模型求解:画出可行域,并结合所建立的目标函数的特点,选定可行域中的特殊点作为最优解. (3)模型应用:将求解出来的结论反馈到具体的实例中,设计出最佳的方案. 题型一求线性目标函数的最值 y≤2, 例 1 已知变量 x,y 满足约束条件 x+y≥1,则 z=3x+y 的最大值为 ( ) x-y≤1, A . 12 B .11 C .3 D .- 1 答案 B 解析首先画出可行域,建立在可行域的基础上,分析最值点,然后通过解方程组得最值点 的坐标,代入即可.如图中的阴影部分,即为约束条件对应的可行域,当直线y=-3x+z 经 y=2,x= 3,

第一章 线性规划

第一章 线性规划 §1 线性规划 在人们的生产实践中,经常会遇到如何利用现有资源来安排生产,以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划,而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来,线性规划在理论上趋向成熟,在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后,线性规划的适用领域更为广泛了,已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。 1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床,每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用B A 、机器加工,加工时间分别为每台2小时和1小时;生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工,加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时,问该厂应生产甲、乙机床各几台,才能使总利润最大? 上述问题的数学模型:设该厂生产1x 台甲机床和2x 台乙机床时总利润最大,则 21,x x 应满足 (目标函数)2134m ax x x z += (1) s.t.(约束条件)???????≥≤≤+≤+0 ,781022122 121x x x x x x x (2) 这里变量21,x x 称之为决策变量,(1)式被称为问题的目标函数,(2)中的几个不等式 是问题的约束条件,记为s.t.(即subject to)。上述即为一规划问题数学模型的三个要素。由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数,故被称为线性规划问题。 总之,线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下,求一线性目标函数最大或最小的问题。 在解决实际问题时,把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步,但往往也是困难的一步,模型建立得是否恰当,直接影响到求解。而选取适当的决策变量,是我们建立有效模型的关键之一。 1.2 线性规划的Matlab 标准形式 线性规划的目标函数可以是求最大值,也可以是求最小值,约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便,Matlab 中规定线性规划的标准形式为 b Ax x c x T ≤ that such min 其中c 和x 为n 维列向量,b 为m 维列向量,A 为n m ?矩阵。 例如线性规划 b Ax x c x T ≥ that such max 的Matlab 标准型为

简单的线性规划 习题含答案

线性规划教案 1.若x、y满足约束条件 2 2 2 x y x y ≤ ? ? ≤ ? ?+≥ ? ,则z=x+2y的取值范围是() A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、(3,5] 解:如图,作出可行域,作直线l:x+2y=0,将l向右上方平移,过点A(2,0)时,有最小值2,过点B(2,2)时,有最大值6,故选 A 2.不等式组 260 30 2 x y x y y +-≥ ? ? +-≤ ? ?≤ ? 表示的平面区域的面积为 () A、4 B、1 C、5 D、无穷大解:如图,作出可行域,△ABC的面 积即为所求,由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可,选 B 3.满足|x|+|y|≤2的点(x,y)中整点(横纵坐标都是整数)有() A、9个 B、10个 C、13个 D、14个 解:|x|+|y|≤2等价于 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥ ? ?-≤≥ ? ? -+≤≥ ? ?--≤ ? 作出可行域如右图,是正方形内部(包括边界),容易得到整点个数为13个,选 D 四、求线性目标函数中参数的取值范围 4.已知x、y满足以下约束条件 5 50 3 x y x y x +≥ ? ? -+≤ ? ?≤ ? ,使 z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个,则a的值 为() A、-3 B、3 C、-1 D、1 解:如图,作出可行域,作直线l:x+ay=0,要使目标函 数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个,则将 l向右上方平移后与直线x+y=5重合,故a=1,选 D 5.某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品,现有两种木料,第一种有72m3,第二种有56m3,假设生产每种产品都需要用两种木料,生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产

第一章线性规划

-1- 第一章 线性规划 §1 线性规划 在人们的生产实践中,经常会遇到如何利用现有资源来安排生产,以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划,而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947年G . B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来,线性规划在理论上趋向成熟,在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后,线性规划的适用领域更为广泛了,已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。 1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床,每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用B A 、机器加工,加工时间分别为每台2小时和1小时;生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工,加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时,问该厂应生产甲、乙机床各几台,才能使总利润最大? 上述问题的数学模型:设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大,则2 1,x x 应满足 (目标函数)2134max x x z += (1) s.t.(约束条件)???????≥≤≤+≤+0 ,781022122 121x x x x x x x (2) 这里变量21,x x 称之为决策变量, (1)式被称为问题的目标函数,(2)中的几个不等式是问题的约束条件,记为s.t.(即subject to)。由于上面的目标函数及约束条件均为线性 函数,故被称为线性规划问题。 总之,线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下,求一线性目标函数最大或最小的问题。 在解决实际问题时,把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步,但往往也是困难的一步,模型建立得是否恰当,直接影响到求解。而选适当的决策变量,是我们建立有效模型的关键之一。 1.2 线性规划的Matlab 标准形式 线性规划的目标函数可以是求最大值,也可以是求最小值,约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便,Matlab 中规定线性规划的标准形式为 x c x T min s.t. ?? ? ??≤≤=?≤ub x lb beq x Aeq b Ax 其中c 和x 为n 维列向量,A 、Aeq 为适当维数的矩阵,b 、beq 为适当维数的列向量。

简单的线性规划练习-附答案详解

简单的线性规划练习 附答案详解 一、选择题 1.在平面直角坐标系中,若点(-2,t )在直线x -2y +4=0的上方,则t 的取值范围是( ) A .(-∞,1) B .(1,+∞) C .(-1,+∞) D .(0,1) 2.若2m +2n <4,则点(m ,n )必在( ) A .直线x +y -2=0的左下方 B .直线x +y -2=0的右上方 C .直线x +2y -2=0的右上方 D .直线x +2y -2=0的左下方 3.不等式组???? ? x ≥0x +3y ≥4 3x +y ≤4 所表示的平面区域的面积等于( ) A.32 B.23 C.43 D.3 4 4.不等式组???? ? x +y ≥22x -y ≤4 x -y ≥0所围成的平面区域的面积为( )A .3 2 B .6 2 C .6 D .3 5.设变量x ,y 满足约束条件???? ? y ≤x x +y ≥2 y ≥3x -6,则目标函数z =2x +y 的最小值为( )A .2 B .3 C .5 D .7 6.已知A (2,4),B (-1,2),C (1,0),点P (x ,y )在△ABC 内部及边界运动,则z =x -y 的最大值及最小值分别是( ) A .-1,-3 B .1,-3 C .3,-1 D .3,1 7.在直角坐标系xOy 中,已知△AOB 的三边所在直线的方程分别为x =0,y =0,2x +3y =30,则△AOB 内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为( )A .95 B .91

C .88 D .75 8.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨,B 原料2吨;生产每吨乙产品要用A 原料1吨,B 原料3吨,销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨,B 原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是( )A .12万元 B .20万元 C .25万元 D .27万元 9.已知实数x ,y 满足???? ? x -y +6≥0x +y ≥0 x ≤3,若z =ax +y 的最大值为3a +9,最小值为3a -3,则实数a 的取值范围为( ) A .a ≥1 B .a ≤-1 C .-1≤a ≤1 D .a ≥1或a ≤-1 10.已知变量x ,y 满足约束条件???? ? x +4y -13≥02y -x +1≥0 x +y -4≤0,且有无穷多个点(x ,y )使目标函数 z =x +my 取得最小值,则m =( ) A .-2 B .-1 C .1 D .4 11.当点M (x ,y )在如图所示的三角形ABC 区域内(含边界)运动时,目标函数z =kx +y 取得最大值的一个最优解为(1,2),则实数k 的取值范围是( ) A .(-∞,-1]∪[1,+∞) B .[-1,1] C .(-∞,-1)∪(1,+∞) D .(-1,1) 12.已知x 、y 满足不等式组???? ? y ≥x x +y ≤2 x ≥a ,且z =2x +y 的最大值是最小值的3倍,则a =( )

第一章线性规划及单纯形法习题

第一章 线性规划及单纯形法习题 1.用图解法求解下列线性规划问题,并指出问题具有唯一最优解、无穷最优解还是无可行解。 (1)??? ??≥≥+≥++=0,42266432min 2 121212 1x x x x x x x x z (2) ??? ??≥≥+≥++=0,12432 223max 2 121212 1x x x x x x x x (3) ??? ??≤≤≤≤≤++=83105120106max 21212 1x x x x x x z (4) ?????≥≤+-≥-+=0 ,2322 265max 1 221212 1x x x x x x x x z 2.将下列线性规划问题化成标准形式。 (1)????? ? ?≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束 43214321432143214321,0,,2321422 245243min x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z (2) ????? ? ?≥≤≥-++-≤-+-=++-+-=无约束 32143213213213 21,0,0232624 322min x x x x x x x x x x x x x x x x z 3.对下列线性规划问题找出所有基本解,指出哪些是基可行解,并确定最优 解。 (1) ??? ??? ?=≥=-=+-+=+++++=)6,,1(0231024893631223min 61432143213 21 j x x x x x x x x x x x x x x z j (2)

??? ??=≥=+++=+++++-=)4,,1(01022274322325min 432143214321 j x x x x x x x x x x x x x z j 4.分别用图解发法和单纯形法求解下述问题,并对照单纯形表中的各基本可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。 (1) ??? ??≥≤+≤++=0,825943510max 1 221212 1x x x x x x x x z (2) ?????≥≤+≤++=0,242615 532max 1 221212 1x x x x x x x x z 5.上题(1)中,若目标函数变为21m ax dx cx z +=,讨论c,d 的值如何变化,使该问题可行域的每一顶点依次使目标函数达到最优。 6.考虑下述线性规划问题: ? ????≥≤+≤++=0 ,max 122221212121112 1x x b x a x a b x a x a dx cx z 式中311≤≤c ,642≤≤c , 3111≤≤-a ,5212≤≤a ,1281≤≤b , 5221≤≤a ,6422≤≤a ,14102≤≤b ,试确定目标函数最优值的下界和上 界。 7.分别用单纯形法中的大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题,并指出属哪一类解。 (1) ??? ?? ? ?=≥≥-≥+-≥+++-=)3,2,1(0022 2622max 32313213 21j x x x x x x x x x x x z j (2) ??? ??≥≥+≥++++=0,,62382432min 3 21213213 21x x x x x x x x x x x z

简单的线性规划教案[1]

简单的线性规划教案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

简单的线性规划【教学目标】 1.知识与技能:使学生了解二元一次不等式表示平面区域;了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;了解线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题; 2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程,提高数学建模能力; 3.情态与价值:培养学生观察、联想以及作图的能力,渗透集合、化归、数形结合的数学思想,提高学生“建模”和解决实际问题的能力。 【教学重点】用图解法解决简单的线性规划问题 【教学难点】准确求得线性规划问题的最优解 【教学过程】 1.课题导入 [复习提问] 1、二元一次不等式0 +C Ax在平面直角坐标系中表示什么图形? By + > 2、怎样画二元一次不等式(组)所表示的平面区域应注意哪些事项 3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。 2.讲授新课 在现实生产、生活中,经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。 1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题:

引例:某工厂有A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ,该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件,按每天8h 计算,该厂所有可能的日生产安排是什么? (1)用不等式组表示问题中的限制条件: 设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件,又已知条件可得二元一次不等式组: 2841641200 x y x y x y +≤??≤?? ≤??≥?≥?? (1) (2)画出不等式组所表示的平面区域: 如图,图中的阴影部分的整点(坐标为整数的点)就代表所有可能的日生产安排。 (3)提出新问题: 进一步,若生产一件甲产品获利2万元,生产一件乙产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大? (4)尝试解答: 设生产甲产品x 件,乙产品y 件时,工厂获得的利润为z ,则z=2x+3y .这样,上述问题就转化为: 当x,y 满足不等式(1)并且为非负整数时,z 的最大值是多少? 把z=2x+3y 变形为233z y x =-+,这是斜率为23-,在y 轴上的截距为3z 的直线。 当z 变化时,可以得到一族互相平行的直线,如图,由于这些直线的斜率是确定的,

线性规划1

习题一 1.1 用图解法求解下列线性规划问题,并指出各问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解。 (1) min z =6x1+4x2(2) max z =4x1+8x2 st. 2x1+x2≥1 st. 2x1+2x2≤10 3x1+4x2≥1.5 -x1+x2≥8 x1, x2≥0 x1, x2≥0 (3) max z =x1+x2(4) max z =3x1-2x2 st. 8x1+6x2≥24 st. x1+x2≤1 4x1+6x2≥-12 2x1+2x2≥4 2x2≥4 x1, x2≥0 x1, x2≥0 (5) max z =3x1+9x2(6) max z =3x1+4x2 st. x1+3x2≤22 st. -x1+2x2≤8 -x1+x2≤4 x1+2x2≤12 x2≤6 2x1+x2≤16 2x1-5x2≤0 x1, x2≥0 x1, x2≥0 1.2. 在下列线性规划问题中,找出所有基本解,指出哪些是基本可行解并分别代入目标函数,比较找出最优解。 (1) max z =3x1+5x2(2) min z =4x1+12x2+18x3 st. x1+x3=4 st. x1+3x3-x4=3 2x2+x4=12 2x2+2x3-x5=5 3x1+2x2+x5=18 x j≥0 (j=1, (5) x j≥0 (j=1, (5) 1.3. 分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题,并对照指出单纯形法迭代的每一步相当于图解法可行域中的哪一个顶点。 (1) max z =10x1+5x2 st. 3x1+4x2≤9 5x1+2x2≤8 x1, x2≥0 (2) max z =100x1+200x2 st. x1+x2≤500 x1≤200 2x1+6x2≤1200 x1, x2≥0 9

简单的线性规划问题附答案

简单的线性规划问题 [学习目标] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题. 知识点一 线性规划中的基本概念 1.目标函数的最值 线性目标函数z =ax +by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y =-a b x +z b ,在y 轴上的截距是z b , 当z 变化时,方程表示一组互相平行的直线. 当b >0,截距最大时,z 取得最大值,截距最小时,z 取得最小值; 当b <0,截距最大时,z 取得最小值,截距最小时,z 取得最大值. 2.解决简单线性规划问题的一般步骤 在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下,解决简单线性规划问题的步骤可以概括为:“画、移、求、答”四步,即, (1)画:根据线性约束条件,在平面直角坐标系中,把可行域表示的平面图形准确地画出来,

可行域可以是封闭的多边形,也可以是一侧开放的无限大的平面区域. (2)移:运用数形结合的思想,把目标函数表示的直线平行移动,最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解. (3)求:解方程组求最优解,进而求出目标函数的最大值或最小值. (4)答:写出答案. 知识点三简单线性规划问题的实际应用 1.线性规划的实际问题的类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源,问怎样运用这些资源,使完成的任务量最大,收到的效益最大; (2)给定一项任务,问怎样统筹安排,使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小. 常见问题有: ①物资调动问题 例如,已知两煤矿每年的产量,煤需经两个车站运往外地,两个车站的运输能力是有限的,且已知两煤矿运往两个车站的运输价格,煤矿应怎样编制调动方案,才能使总运费最小? ②产品安排问题 例如,某工厂生产甲、乙两种产品,每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量,此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的,这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产,才能使每月获得的总利润最大? ③下料问题 例如,要把一批长钢管截成两种规格的钢管,应怎样下料能使损耗最小? 2.解答线性规划实际应用题的步骤 (1)模型建立:正确理解题意,将一般文字语言转化为数学语言,进而建立数学模型,这需要在学习有关例题解答时,仔细体会范例给出的模型建立方法. (2)模型求解:画出可行域,并结合所建立的目标函数的特点,选定可行域中的特殊点作为最优解.

01线性规划

-1- 线性规划 §1 线性规划 在人们的生产实践中,经常会遇到如何利用现有资源来安排生产,以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划,而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947年G . B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来,线性规划在理论上趋向成熟,在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后,线性规划的适用领域更为广泛了,已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。 1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床,每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用B A 、机器加工,加工时间分别为每台2小时和1小时;生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工,加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时,问该厂应生产甲、乙机床各几台,才能使总利润最大? 上述问题的数学模型:设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大,则2 1,x x 应满足 (目标函数)2134max x x z += (1) s.t.(约束条件)???????≥≤≤+≤+0 ,781022122 121x x x x x x x (2) 这里变量21,x x 称之为决策变量, (1)式被称为问题的目标函数,(2)中的几个不等式是问题的约束条件,记为s.t.(即subject to)。由于上面的目标函数及约束条件均为线性 函数,故被称为线性规划问题。 总之,线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下,求一线性目标函数最大或最小的问题。 在解决实际问题时,把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步,但往往也是困难的一步,模型建立得是否恰当,直接影响到求解。而选适当的决策变量,是我们建立有效模型的关键之一。 1.2 线性规划的Matlab 标准形式 线性规划的目标函数可以是求最大值,也可以是求最小值,约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便,Matlab 中规定线性规划的标准形式为 x c x T min s.t. ?? ? ??≤≤=?≤ub x lb beq x Aeq b Ax 其中c 和x 为n 维列向量,A 、Aeq 为适当维数的矩阵,b 、beq 为适当维数的列向量。

简单的线性规划教案一

简单的线性规划教案一 【教学目标】 1.知识与技能:使学生了解二元一次不等式表示平面区域;了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;了解线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题; 2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程,提高数学建模能力; 3.情态与价值:培养学生观察、联想以及作图的能力,渗透集合、化归、数形结合的数学思想,提高学生“建模”和解决实际问题的能力。 【教学重点】 用图解法解决简单的线性规划问题 【教学难点】 准确求得线性规划问题的最优解 【教学过程】 1.课题导入 [复习提问] 1、二元一次不等式0>++C By Ax 在平面直角坐标系中表示什么图形? 2、怎样画二元一次不等式(组)所表示的平面区域?应注意哪些事项? 3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。 2.讲授新课 在现实生产、生活中,经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。 1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题: 引例:某工厂有A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ,该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件,按每天8h 计算,该厂所有可能的日生产安排是什么? (1)用不等式组表示问题中的限制条件: 设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件,又已知条件可得二元一次不等式组: 2841641200 x y x y x y +≤??≤?? ≤??≥?≥?? ……………………………………………………………….(1) (2)画出不等式组所表示的平面区域: 如图,图中的阴影部分的整点(坐标为整数的点)就代表所有可能的日生产安排。 (3)提出新问题: 进一步,若生产一件甲产品获利2万元,生产一件乙产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大? (4)尝试解答: 设生产甲产品x 件,乙产品y 件时,工厂获得的利润为z ,则z=2x+3y .这样,上述问题就转化为: 当x,y 满足不等式(1)并且为非负整数时,z 的最大值是多少?

简单的线性规划

简单的线性规划 一、本章节的地位及作用 1.“简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上,介绍直线方程的一个简单应用,这是《新大纲》中增加的一个新内容,反映了《新大纲》对数学知识应用的重视,体现了数学的工具性、应用性. 2.本节内容渗透了转化、归纳、数形结合数学思想,是向学生进行数学思想方法教学的好教材,也是培养学生观察、作图等能力的好教材. 3.本节内容与实际问题联系紧密,有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实际问题的能力. 二、教学目标 1.知识目标:能把实际问题转化为简单的线性规划问题,并能给出解答. 2.能力目标:培养学生观察、联想以及作图的能力,渗透化归、数形结合的数学思想,提高学生“建模”和解决实际问题的能力. 3.情感目标:结合教学内容,培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识,激励学生勇于创新. 三、教学重点与难点 1.教学重点:建立线性规划模型 2.教学难点:如何把实际问题转化为简单的线性规划问题,并准确给出解答. 解决重点、难点的关键是根据实际问题中的已知条件,找出约束条件和目标函数,利用图解法求得最优解.为突出重点,突破难点,本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化. 四、教学方法与手段 1.教学方法 为了激发学生学习的主体意识,面向全体学生,使学生在获取知识的同时,各方面的能力得到进一步的培养.根据本节课的内容特点,本节课采用启发引导、讲练结合的教学方法,着重于培养学生分析、解决实际问题的能力以及良好的学习品质. 2.教学手段 新大纲明确指出:要积极创造条件,采用现代化的教学手段进行教学.根据本节知识本身的抽象性以及作图的复杂性,为突出重点、突破难点,增加教学容量,激发学生的学习兴趣,增强教学的条理性、形象性,本节课采用计算机辅助教学,以直观、生动地揭示二元一次不等式(组)所表示的平面区域以及图形的动态变化情况. 3.学生课前准备 坐标纸、三角板、铅笔和彩色水笔 五、教学过程设计 教学流程图

1第一章线性规划讲解

目录 未找到目录项。 第一章 线性规划 §1 线性规划 在人们的生产实践中,经常会遇到如何利用现有资源来安排生产,以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划,而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来,线性规划在理论上趋向成熟,在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后,线性规划的适用领域更为广泛了,已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。 1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床,每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用B A 、机器加工,加工时间分别为每台2小时和1小时;生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工,加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时,问该厂应生产甲、乙机床各几台,才能使总利润最大? 上述问题的数学模型:设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大,则21,x x 应满足 (目标函数)2134max x x z += (1) s.t.(约束条件)???????≥≤≤+≤+0 ,781022122 121x x x x x x x (2) 这里变量21,x x 称之为决策变量,(1)式被称为问题的目标函数,(2)中的几个不等式 是问题的约束条件,记为s.t.(即subject to)。由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数,故被称为线性规划问题。 总之,线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下,求一线性目标函数最大或最小的问题。 在解决实际问题时,把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步,但往往也是困难的一步,模型建立得是否恰当,直接影响到求解。而选适当的决策变量,是我们建立有效模型的关键之一。 1.2 线性规划的Matlab 标准形式 线性规划的目标函数可以是求最大值,也可以是求最小值,约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便,Matlab 中规定线性规划的标准形式为 b Ax x c x T ≤ that such min beq x Aeq =?

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