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椭圆知识点总结学习课件-新版.doc

椭圆知识点

知识点一:椭圆的定义

平面内一个动点P到两个定点F、F2 的距离之和等于常数( PF1 PF2 2a F1F2 ) ,

1

这个动点P 的轨迹叫椭圆. 这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.

注意:若P F

1 PF F F ,则动点P 的轨迹为线段F1F

2 ;

2 1 2

若P F

1 PF F F ,则动点P的轨迹无图形.

2 1 2

知识点二:椭圆的简单几何性质

2 2

x y

椭圆: 1

2 2

a b

2 2

y x

(a b 0) 与 1

2 2

a b

(a b 0)的简单几何性质

2 2

x y

标准方程 1

2 2

a b

2 2

y x

(a b 0) 1

2 2

a b

(a b 0)

图形

焦点F1 ( c, 0) ,F2 (c,0) F1 (0, c) ,F2 (0, c)

焦距F1F 2c F1 F2 2c

2

范围x a,y b x b ,y a

对称性关于x 轴、y 轴和原点对称

性质顶点( a,0) ,(0, b) (0, a) ,( b,0) 轴长长轴长=2a,短轴长=2b 长半轴长=a ,短半轴长=b(注意看清题目)

c

离心率 e (0 e 1)

a

A1F1 A2 F2 ;A1F2 A2F1 a c ;a c PF1 a c;

a c

( p 是椭圆上一点)(不等式告诉我们椭圆上一点到焦点距离的范围)

1

注意:①与坐标系无关的椭圆本身固有的性质,如:长轴长、短轴长、焦距、离心率等;

②与坐标系有关的性质,如:顶点坐标、焦点坐标等

知识点三:椭圆相关计算

1.椭圆标准方程中的三个量a,b,c的几何意义a2b2c

2

2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长2

2 b a

焦点弦:椭圆过焦点的弦。

3.最大角:p是椭圆上一点,当p是椭圆的短轴端点时,F1PF2为最大角。

4.椭圆上一点和两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。

2

S PF1F b

tan

2

焦点三角形的面积2

,其中F1PF2(注意公式的推导)

5.求椭圆标准方程的步骤(待定系数法).

(1)作判断:依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上.

2

(2)设方程:

①依据上述判断设方程为 2

x

2

a 2

y 2 b

=1(a b 0) 或 x b

2 2

2

y 2

a

=1(a b 0)

2

2

②在不能确定焦点位置的情况下也可设 mx +ny =1(m >0,n >0 且m ≠n).

(3)找关系,根据已知条件,建立关于 a ,b ,c 或 m ,n 的方程组. (4)解方程组,代入所设方程即为所求. 6. 点与椭圆的位置关系 :

x a 2 2 2

y 2 b <1, 点在椭圆内; x a 2 2 y b 2

2

=1,点在椭圆上;

2 x 2 a 2

y 2 b >1, 点在椭圆外。

7. 直线与椭圆的位置关系

2

设直线方程 y =kx +m ,若直线与椭圆方程联立,消去 y 得关于 x 的一元二次方程: ax

bx +c =0(a ≠0).

(1)Δ>0,直线与椭圆有 两个公共点 ; (2)Δ=0,直线与椭圆有 一个公共点 ; (3)Δ<0,直线与椭圆 无公共点 . 8. 弦长公式:(注意推导和理解)

若直线 l : y kx b 与圆锥曲线相交与 A 、B 两点,

, ), ( , )

A (x 1 y

B x y 则弦长

1

2

2

AB

2 2

(x 1 x )

( y

y )

2

1

2

2

2

2

(x 1 x )

(kx

kx )

1 k x 1 x 2

2

1

2

2

( )2 4

1 k

x

x

x x =

1 2 1 2

9. 点差法:

就是在求解 圆锥曲线 题目中,交代直线与圆锥曲线相交所截的线段中点坐标的时候,

利用

直线和圆锥曲线的两个交点, 并把 交点 代入圆锥曲线的方程, 并作差。 求出 直线的斜率 ,然后 利用中点求出 直线方程 。涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决,往往会更简单.

步骤: ①设直线和圆锥曲线交点为,,其中点坐标为,则得到关系式:,..

②把,分别代入圆锥曲线的解析式,并作差,利用平方差公式对结果进行因式分解.其结果为( )( ) ( )( ) 0

m x1 x x x n y y y y

2 1 2 1 2 1 2

3

③利用求出直线斜率,代入点斜式得直线方程为.中点弦的重要结论(不要死记会推导)

10.参数方程x a cos

y b sin

(为参数)几何意义:离心角

11、椭圆切线的求法

1)切点(x0y0)已知时,

22

x y

221(a b0)

a b

切线

x x y y

00

221

a b

22

y x

221(a b0)

a b

切线

y y x x

00

221

a b

2)切线斜率k已知时,

22

x y

221(a b0)

a b

切线222

y kx a k b

22

y x

221(a b0)

a b

切线222

y kx b k a

12、焦半径:椭圆上点到焦点的距离

22

x y

221(0)

a b

a b r a ex(加减由长短决定)

22

y a

221(a b0) a b r a ey(加减由长短决定)

13.离心率的求法

椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种方

4

14. 焦点三角形的周长和面积的求法

利用定义求焦点三角形的周长和面积,解焦点三角形常利用椭圆的定义和正弦正理,常

15. 椭圆的范围或最值问题

知识点四:椭圆了解知识

1、椭圆面积:S a b

2、椭圆的第二定义:

5

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