复数乘除法公开课优秀教案

§3.2.2复数代数形式的乘除运算

【学习目标】

1.理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算；

2.理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题；

【重点难点】

重点：复数代数形式的除法运算. 难点：对复数除法法则的运用.

【学法指导】

复数乘法运算是按照多项式与多项式相乘展开得到，在学习时注意将2

i 换成1-；除法是乘法的逆运算，所以复数的除法运算可由乘法运算推导获得，但是也可由互为共轭复数的两个复数的乘积为实数，先将复数的分母实数化，再化简可得，学习时注意体会第二种方法的优势和本质. 【知识链接】

1.复数1z 与2z 的和的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z +++=+++=+21；

2.复数1z 与2z 的差的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z -+-=+-+=-21；

3.复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+；

4.复数的加法运算满足结合律: ()()321321z z z z z z ++=++；

5.复数()R b a bi a z ∈+=,的共轭复数为bi a z -=.

【问题探究】

探究一、复数的乘法运算

引导1:乘法运算规则

设bi a z +=1、di c z +=2()R d c b a ∈,,,是任意两个复数，规定复数的乘法按照以下的法则进行：

=?21z z

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2

i 换成－1，并且

把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.

引导2:试验证复数乘法运算律

（1）1221z z z z ?=?

（2）()()321321z z z z z z ??=??

（3）()3121321z z z z z z z ?+?=+?

点拨：两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.

探究二、复数的除法运算

引导1：复数除法定义：

满足()()()bi a yi x di c +=++的复数()R y x yi x ∈+,叫复数bi a +除以复数di c + 的商，记为：()()di c bi a +÷+或者

di c bi a ++()0≠+di c . 引导2：除法运算规则：

利用()()22d c di c di c +=-+.于是将di

c bi a ++的分母有理化得： 原式=22

()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad i c di c di c di c d ++-+?-+-==++-+ 222222()()ac bd bc ad i ac bd bc ad i c d c d c d

++-+-==++++. ∴(a +bi )÷(c +di )=i d c ad bc d c bd ac 2

222+-+++. 点拨：利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数di c +与复数di c -，相当于我们初中学习的

23+的对偶式23-，它们之积为1是有理数，而()()22d c di c di c +=-+是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法

【典例分析】

例1计算()()()i i i +-+-24321

引导:可先将前两个复数相乘，再与第三个复数相乘.

点拨：在复数的乘法运算过程中注意将2

i 换成－1. 例2计算：（1）()()i i 4343-+ ； （2）()

21i +.

引导:按照复数乘法运算展开即可.

点拨：注意体会互为共轭复数的两个复数的乘积是一个实数，记住一些特殊形式代数式的运算结果，便于后续学习的过程中的化简、代换等.

例3计算(12)(34)i i +÷-

引导:可按照复数除法运算方法，先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简即可.

点拨：本题可将除法运算转化为乘法运算，但是相对麻烦，易于采用先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简的办法，学习时注意体会总结，寻求最佳方法.

例4i

43+ 引导:可先将分子化简，再按照除法运算方法计算，注意计算的准确性.

点拨：对于混合运算，注意运算顺序，计算准确.

【目标检测】

1.复数2

2i 1+i ?? ???

等于（ ） A ．4i B ．4i - C ．2i D ．2i - 2.设复数z 满足12i i z

+=，则z =（ ）

A ．2i -+

B ．2i --

C ．2i -

D ．2i + 3.复数32321???

? ??+i 的值是（ ）

A.i -

B.i

C.1-

D.1

4.已知复数z 与()i z 822

-+都是纯虚数，求z . 提示：复数z 为纯虚数，故可设()0z bi b =≠，再代入求解即可.

5*.(1)试求87654321,,,,,,,i i i i i i i i 的值.

(2)由（1）推测()*N n i n ∈的值有什么规律？并把这个规律用式子表示出来.

提示：通过计算，观察计算结果，发现规律.

【总结提升】

复数的乘法和除法运算是复数的基本运算，在学习时注意运算法则和方法，在乘法运算中注意把2

i 换成－1，在除法运算中注意方法的本质依据，计算时注意准确性.

【总结反思】

知识 .

重点 .

能力与思想方法 .

【自我评价】你完成本学案的情况为( )

A.很好

B.较好

C.一般

D.较差

2011年训练试题

2．（浙江理2）把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，

若1z i =+，则(1)z z +?= ． 3．（天津理1）i 是虚数单位，复数131i i

-=- ． 4．（四川理2）复数1

i i

-+= ．

9．（江西理1）若12i z i

+=，则复数z = ． 13．（北京理2）复数212i i -=+ ．

6．（全国新课标理1）复数212i i

+=- ． 7．（全国大纲理1）复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= ．

12．（广东理1）设复数z 满足(1)2i z +=，其中i 为虚数单位，则z = ．

14．（安徽理1）设i 是虚数单位，复数12ai i

+-为纯虚数，则实数a = ． 15．（江苏3）设复数z 满足(1)32i z i +=-+（i 是虚数单位），则z 的实部是 ．

中班优秀公开课教案实例

中班优秀公开课教案实例 中班优秀公开课教案实例 (一) 小熊学刷牙 教学目的： ⒈使幼儿懂得保护牙齿的重要性。 ⒉教幼儿学习，掌握正确的刷牙方法，养成每天早晚刷牙的好习惯。 教学重点： 知道保护牙齿的重要性，学习刷牙的方法。 教学难点： 掌握正确的刷牙方法。 教学准备： ⒈听过故事《小熊拔牙》; ⒉小熊头饰一个，并请一位老师扮演小熊; ⒊牙齿模型一副;幼儿人手一把牙刷，一支牙膏，一只杯子; ⒋录音机，磁带《刷牙歌》。 教学过程： ⒈开始部分。 老师：小朋友，你们听过小熊拔牙的故事吗?今天，老师就给你们请来了那只可爱的小熊。(小熊出场)

(小熊的出现活跃了课堂气氛，孩子们有了很大兴趣。) 小熊：小朋友，你们好。今天，我要和你们一起做游戏。 ⒉基本部分。 ⑴引导幼儿讨论不保护牙齿的害处。 (加深幼儿对不保护牙齿害处的认识。幼儿听过故事《小熊拔牙》，都知道一些不保护牙齿的害处，对幼儿的回答，老师加以概括。) 老师：小熊因为不注意保护牙齿，牙齿被拔掉了。你能告诉我不保护牙齿还有哪些害处? ①幼儿讨论，交流。 ②老师小结：牙齿如果生病了，会影响我们吃东西。牙疼得不想睡觉，不想吃饭，影响了我们的身体健康。牙齿拔光后说话不清楚，而且也不好看。 小熊：我现在知道要保护自己的牙齿了。不乱吃零食，每天早上和睡觉前坚持刷牙，牙齿就会很健康。可是，我不会刷牙怎么办呢? ⑵幼儿讨论正确的刷牙方法。 ①老师：小朋友会刷牙吗?你来教教小熊你是怎么刷牙的? (小熊到小朋友中间去) (在这个环节中，老师让幼儿各抒已见。让幼儿作为活动的主体，发表自己的意见。幼儿知道刷牙的方法，但不知如何表达。老师请 幼儿用动作示范，老师以语言引导。) ⑶老师示范讲解正确的刷牙方法。 (肯定幼儿的回答，老师加以补充。) ①刷牙是先要做什么? 醒幼儿在刷牙是要做一些准备。

高中数学_数系的扩充和复数的概念教学设计学情分析教材分析课后反思

数系的扩充和复数的概念教学设计 【学习目标】 1．知识与技能： 了解引进复数的必要性；理解虚数单位i以及i与实数的四则运算规律．理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等)． 2过程与方法： 通过问题情境，了解扩充数系的必要性，感受数系的扩充过程，体会引入虚数单位i和复数形式的合理性，使学生对数的概念有一个初步的、完整的认识． 3．情感、态度与价值观： 通过问题情境，体会实际需求与数学内部矛盾在数学扩充过程中的作用，以及书与现实世界的联系。 【教学目的】 （1）了解引进复数的必要性，理解并掌握复数的有关概念； （2）教学同时传授学生转化的数学思想； （3）教会学生提出问题、解决问题，学会学习。 【教学重点】 复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等。 【教学难点】 虚数单位i的引进及复数的概念。 【教学方法】 采用了预习准备；引导探索，多媒体演示，练习多种手法相结合的教学方法 【授课形式】新授课（1课时） 【教学过程】 引入新课 请同学们回答以下问题： (1)在自然数集N中，方程x＋4＝0有解吗？ (2)在整数集Z中，方程3x－2＝0有解吗？ (3)在有理数集Q中，方程x2－2＝0有解吗？ 活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，最后师生总结． 活动成果：问题(1)在自然数集中，方程x＋4＝0无解，为此引进负数，自然数→整数；

问题(2)在整数集中，方程3x－2＝0无解，为此引进分数，整数→有理数； 问题(3)在有理数集中，方程x2－2＝0无解，为此引进无理数，有理数→实数． 数集的每一次扩充，对数学本身来说，解决了在原有数集中某种运算不能实施的矛盾，如分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾． 提出问题：从自然数集N扩充到实数集R经历了几次扩充？每一次扩充的主要原因是什么？每一次扩充的共同特征是什么？ 活动设计：先让学生独立思考，然后小组讨论，师生共同归纳总结． 活动成果：扩充原因：①满足解决实际问题的需要；②满足数学自身完善和发展的需要．扩充特征：①引入新的数；②原数集中的运算规则在新数集中得到保留和扩展，都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律． 设计意图 回顾从自然数集N扩充到实数集R的过程，帮助学生认识数系扩充的主要原因和共同特征． 探究新知 提出问题：方程x2＋1＝0在R上有解吗？如何对实数集进行扩充，使方程x2＋1＝0在新的数集中有解？ 活动设计：小组讨论，类比猜想，设想新数的引进，师生共同完成． 学情预测：学生讨论可能没有统一结果，无法描述． 类比原来不同阶段数系的每一次扩充的特点，在实数集中方程x2＋1＝0无解，需要引进“新数”扩充实数集．让我们设想引入一个新数i，使i满足两个条件：(1)i是方程x2＋1＝0的根，即i2＝－1；(2)新数i与实数之间满足加法、乘法的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律． 设计意图 面对新问题的需要，感到扩充实数集的必要性，通过类比，猜想增添的新数需满足的条件． 提出问题：同学们设想，实数a与新数i相加，实数b与新数i相乘，结果如何表达？实数a与实数b和新数i相乘的结果相加，如何表示？ 活动设计：学生动手操作，尝试写出新数与实数加法和乘法的运算，然后教师引导，更正不正确的写法，统一新数的特点，为引出复数的概念做铺垫．

复数乘除法、极坐标

学之导教育中心教案 学生: 梁庭苇授课时间: 课时: 2 年级: 高二教师：廖 课题复数乘除法、极坐标 教学构架 一、知识回顾 二、错题再现 三、知识新授 四、知识小结 教案内容 一、知识回顾 1、几何证明选讲 二、错题再现 1、如图ABC中，D是AB的三等分点，// DE BC，// EF BC，2 AF=，则AB=__________ F E D A B C 2、如图，在ABC中，AD是BC边上中线，AE是BC边上的高，DAB DBA ∠=∠ ,18 AB=,12 BE=,则CE=__________. 本次内容掌握情况总结 教师签字 学生签字 E B D C A

3、如图所示，圆O 的直径AB=6，C 圆周上一点，BC=3，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD AD 分别与直线l 、圆交于点D 、E ，则∠DAC ＝ __，线段AE 的长为 __. 4、如图所示，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知AD=23，AC=6，圆O 的半径为3， 则圆心O 到AC 的距离为________. . 5、如图所示,圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD=4，BD=8，则圆O 的半径等于 ． 6、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 切⊙O 于A ，∠MAB=250，则∠D= ___ . 7.如图，AB 是圆O 的直径，直线CE 和圆O 相切于点C ，AD ⊥CE 于D ，若AD=1，∠ABC=300， 则圆O 的面积是______. 8.如图，⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A 、B 两点，割线PCD 经过圆心O ，PE 是⊙O 的切线。已知PA=6， AB=3 1 7，PO=12，则PE=____ ⊙O 的半径是_______. A D B C E O A B C O D A B O D C O B A D C M N O B A D C E C O A B P D E

中班语言公开课教案大全200篇

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复数代数形式的乘除运算教案

复数代数形式的乘除运算教案 教学目标： 1 知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算 2 过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题 3 情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。 教学重点：复数代数形式的除法运算。 教学难点：对复数除法法则的运用。 课型:新知课 教具准备：多媒体 教学过程： 复习提问： 已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数） 加法法则：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 减法法则：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 即:两个复数相加(减)就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加(减) (a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i

复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 讲解新课： 一．复数的乘法运算规则： 规定复数的乘法按照以下的法则进行： 设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 探究: 复数的乘法是否满足交换律、结合律? 乘法对加法满足分配律吗? 二.乘法运算律： (1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R). ∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i， z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i. 又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1. ∴z1z2=z2z1. (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3

高中数学_数系的扩充和复数的概念教学设计学情分析教材分析课后反思

《数系的扩充与复数的概念》教学设计 §3.1.1 数系的扩充和复数的概念 一、学习目标： 1.在问题的情境中让学生了解把实数系扩充到复数系的过程. 2.理解复数的有关概念以及复数相等的充要条件，掌握复数的代数形式 二、重点、难点： 重点：复数的概念与复数的代数形式，复数的分类. 难点：复数的概念及分类,复数相等. 三、学习过程： 1.复习回顾 问题1：你知道的数集有哪些？分别用什么符号表示？它们有什么关系？ 2. 3.问题2：方程012=+x 在实数集中无解。联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能设想 一种方法，使这个方程有解吗？ 结论：引入一个新数 ，规定（1） （2） 【复数的概念及代数形式】 练习1.指出下列复数的实部与虚部。 （1）2+3i （2）1-2i （3）5i -4（4）2i （5）-3i （6）8i （7）10 （8）-8 （9）0 问题3：你认为应怎样定义两个复数相等？ 【复数相等的充要条件】 问题4：复数),(R b a bi a z ∈+=在什么条件下是实数？ 【复数的分类】 练习2.下列各数是否是虚数，并说出各数的实部与虚部. i 3-1 i 7 1 31+ i ）（π-1 85-i

问题5.两个复数能否比较大小？ 4、例题巩固 例1.实数m 取什么值时，复数i m m z )1(1-++=是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数。 变式：将复数改为i m m m z )1(1-++=应注意什么？ 方法小结： 例2. 下列命题中正确的有_____ （1）若C z ∈,则02≥z （2） i yi x +=+1(x,y 为实数)的充要条件是 1==y x （3）1＋ai 是一个虚数（4）若a ＝0，则a ＋bi 为纯虚数 方法小结： 例3.已知i xyi y x 222 2=+-，求实数y x ,的值。 变式1：已知0222=+-xyi y x ，求实数y x ,的值。 变式2：若0)1(2>-+i x x ，则=x 方法小结 5、课堂小结 6、作业布置（课本55页A 组1、2题） 《数系扩充和复数的概念》学情分析 在学习本节之前，学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各 种数集之间的包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，对数的生成 发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成。另 一方面学生对方程解的问题会默认为在实数集中进行，缺乏严谨的思 维习惯。

中班科学公开课教案【优秀篇】(1)

中班科学公开课教案【优秀篇】 学习活动：各种各样的汽车 活动要求： 1、通过观察和比较等形式，知道汽车的功用及外形特征。 2、发展幼儿的观察比较和分析综合的水平。 活动准备：几中常见车的图片及玩具汽车。 关键点：幼儿独立得观察和比较，并分析出不同的车有不同的功用。 活动环节：操作要点 一、听各种车的声音 让幼儿仔细听，辨别出几种不同的汽车（有消防车、救护车、警 车和卡车等） 二、观察比较 1、出示自行车、消防车、警车、洒水车,让幼儿观察这些车的构造，有什么地方是一样的？哪些地方又是不一样的？ 2、小结：这些车都有圆圆的车轮。消防车和警车的叫声不一样，消防车是红色的，上面有水箱、管子和梯子，专门用来救火的。警车 上白色的，专门用来抓坏人的。洒水车有水箱，用来清洁马路的。 3、说说这些车的功用，知道每种车都有不同的功用，所以有不 同的名字。 4、观察这些车的车轮，知道不一样的车车轮数也是不一样的， 有的有两个、三个或者四个、六个等。 三、说说你还看见过哪种车

幼儿说出和别人不一样的车，比比谁说得又对又多，并能说出它 们的功用。 幼儿园中班科学公开课教案二：风 活动内容：风 涉及领域：科学、语言 活动目标： １、通过观察记录和动手操作活动，容幼儿尝试产生风的各种方法，激发幼儿探索自然现象的兴趣。 ２、初步了解风力有大小之分，风力大小与人们的关系。 重点、难点：产生风的各种方法，风力的大小。 活动准备：幼儿感受过风，并有过观察记录，提供产生风的相关 操作材料，风与人们关系的图片。 活动过程： １、看看说说，风在哪里？ 教师：“前几天，我们到户外去寻找风娃娃，并画了观察记录。 请你轻轻地告诉旁边的朋友，你在哪里找到风娃娃？”张贴个别幼儿 的观察记录，请幼儿说出记录的内容。 小结：当我们看到树叶摇、红旗飘的时候就知道风吹来了，还能 够听到“呼呼”的声音，风吹到我们的身上感觉是凉凉的。 ２、探索感受风的产生。 １）出示静止的纸条和风车，引导幼儿思考：“怎样才能使纸条、风车动起来呢？”“你有什么办法变出风娃娃来呢？”

《复数》知识点汇总

《复数》知识点汇总 一、选择题 1．设3i z i +=，i 是虚数单位，则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．-1 C ．3 D ．-3 【答案】D 【解析】 因为z=3i i +13i =-∴z 的虚部为-3，选D. 2．已知复数21i z =-+，则（ ） A ．2z = B ．z 的实部为1 C ．z 的虚部为1- D ．z 的共轭复数为1i + 【答案】C 【解析】 分析：由题意首先化简复数z ，然后结合z 的值逐一考查所给的选项即可确定正确的说法. 详解：由复数的运算法则可得：()()()()21211112i i z i i i ----= ==---+--， 则z =，选项A 错误； z 的实部为1-，选项B 错误； z 的虚部为1-，选项C 正确； z 的共轭复数为1z i =-+，选项D 错误. 本题选择C 选项. 点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3．已知复数z 的模为2,则z i -的最大值为：( ) A ．1 B ．2 C D ．3 【答案】D 【解析】 因为z i -213z i ≤+-=+= ，所以最大值为3，选D. 4．若复数z 满足232,z z i +=-其中i 为虚数单位，则z= A ．1+2i B ．1-2i C ．12i -+ D ．12i -- 【答案】B

【解析】 试题分析：设i z a b =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故 ，则12i z =-，选 B. 【考点】注意共轭复数的概念 【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一. 5．若12i +是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ） A ．2,3b c == B ．2,1b c ==- C ．2,1b c =-=- D ．2,3b c =-= 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意，将根代入实系数方程x 2+bx +c ＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a ，b 的方程组102220 b c b -++=???=??，解方程得出a ，b 的值即可选出正确选项 【详解】 由题意12+是关于x 的实系数方程x 2+bx +c ＝0 ∴2﹣2+b 2+bi +c ＝0，即() 12220b c b i -+++= ∴102220b c b -++=???=?? ，解得b ＝﹣2，c ＝3 故选：D ． 【点睛】 本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题 6．已知复数z 23(13)i -，则|z |＝( ) A ．14 B ．12 C ．1 D ．2 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 解：因为23(3)33(13)2232(3) i i i i i i i i +++-+===----，因此|z |＝12

复数乘除法教案

陈仓高级中学高二数学备课组集体教案 课题 §3.2.2复数代数形 式的乘除运算 撰写人 三维目标 1.知识与技能目标 理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算；并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题； 2.过程与方法目标 通过学习使学生进一步理解算理，提高对运算法则合理性的认识。 3.情感态度价值观 培养学生严密的推理能力，周到细密的计算能力. 重难点 重点: 复数代数形式的除法运算 难点: 对复数除法法则的运用. 课件名称 复数代数形式的乘除运算 上课时间 教学过程 【知识链接】 1.复数1z 与2z 的和的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z +++=+++=+21； 2.复数1z 与2z 的差的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z -+-=+-+=-21； 3.复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+； 4.复数的加法运算满足结合律: ()()321321z z z z z z ++=++； 5.复数()R b a bi a z ∈+=,的共轭复数为bi a z -=. 【问题探究】 探究一、复数的乘法运算 引导1:乘法运算规则 设bi a z +=1、di c z +=2()R d c b a ∈,,,是任意两个复数，规定复数的乘法按照以下的法则进行： =?21z z 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成－1，并且 把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.

引导2:试验证复数乘法运算律 （1）1221z z z z ?=? （2）()()321321z z z z z z ??=?? （3）()3121321z z z z z z z ?+?=+? 点拨：两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 探究二、复数的除法运算 引导1：复数除法定义： 满足()()()bi a yi x di c +=++的复数()R y x yi x ∈+,叫复数bi a +除以复数di c + 的商，记为：()()di c bi a +÷+或者 di c bi a ++()0≠+di c . 引导2：除法运算规则： 利用()()22d c di c di c +=-+.于是将di c bi a ++的分母有理化得： 原式=22 ()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad i c di c di c di c d ++-+?-+-==++-+ 222222 ()()ac bd bc ad i ac bd bc ad i c d c d c d ++-+-==++++. ∴(a +bi )÷(c +di )=i d c a d bc d c bd ac 2222+-+++. 点拨：利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数di c +与复数di c -，相当于我们初中学习的23+的对偶式23-，它们之积为1是有理数，而()()2 2d c di c di c +=-+是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法 【典例分析】 例1计算()()()i i i +-+-24321 引导:可先将前两个复数相乘，再与第三个复数相乘. 点拨：在复数的乘法运算过程中注意将2 i 换成－1. 例2计算：（1）()()i i 4343-+ ； （2）() 21i +. 引导:按照复数乘法运算展开即可. 点拨：注意体会互为共轭复数的两个复数的乘积是一个实数，记住一些特殊形式代数式的运算结果，便于后续学习的过程中的化简、代换等.

中班数学公开课教案

中班数学公开课教案：漫游魔法王国 情况分析：中班的幼儿已有了粗浅的几何概念，这一阶段的幼儿能正确地认识圆形、三角形、正方形，但他们不是从这些形状的特征来认识，而是将其和自己日常生活中熟悉的物体相对照。因此，我设计了《漫游魔术王国》的活动，让孩子在游戏探索中对图形产生兴趣，并通过观察、比较、想象、动手等，感知不同图形的不同特征。 活动目标： 1、通过对比，让幼儿感知圆形、三角形、正方形的基本特征，能够区分三种几何图形。 2、通过创设愉悦的游戏情节，运用多种感观来调动幼儿的思维、想象能力，发展幼儿的观察力。 3、激发幼儿探索的欲望。 活动方法：以游戏法为主，结合操作法和讲解演示法。 活动重点、难点：圆形和方形的认识和区分。 活动准备： 1、三种几何图形若干。 2、几何图形拼组成的图画。 3、魔术箱、魔法棒。 4、小鸭、小狗、小蜜蜂的教具。 活动过程： （一）、开始部分：教师带幼儿做手指游戏，集中幼儿的注意力。 师：“小朋友们，今天，老师要带你们到魔术王国去，那里啊，会变出好多好多有趣的东西，好了，我们先来做个小游戏，看哪个小朋友表现得最好。” （教师做示范）：“捏拢，放开；捏拢，放开；小手背起来。” （二）、中间部分：用游戏的方式让幼儿认识三种几何图形。 1、游戏：摸一摸“魔术箱”（编辑：） 师：“小朋友们，魔术王国到了，魔术王国里有一只奇妙的箱子，你们看，就是这只魔术箱？（出示魔术箱）你们想不想知道里面藏的是什么秘密吗？好了，我们来看看这只魔术箱会给小朋友们变出什么有趣的东西。 （1）、教师念儿歌：“魔术箱子东西多，让我先来摸一摸，摸出来看看是什么？” 摸出一本长方形的书，问：“这是什么？（书）它们是什么形状的？（正方形）为什么说书是正方形的？ 问：日常生活中还有那些东西是正方形的？（启发幼儿说出） （2）、再念儿歌：“魔术箱子东西多，请某某小朋友来摸一摸。” 当幼儿摸到后，要求说出生活中还有哪些这样的物品？游戏反复进行。 （3）、教师总结：魔术箱里的东西有的是圆形的、有的是三角形的、有的是正方形的。（边说边指相应的物品） （4）、你怎么知道它是三角形/正方形/圆形的？ （5）、老师总结：圆形：圆溜溜，没有角，滚来滚去真能跑；三角形：三条边，三个角，像座小山立得牢； 正方形：四条边一样长，四个角一样大，方方正正本领好。 2、游戏：谁的本领大

巧计 f 或 fe结尾的名词如何变复数

巧计f 或fe结尾的名词如何变复数 树叶半数自己黄， 妻子拿刀去割狼， 架后窜出一只狼， 就像强盗逃命忙。 leaf（树叶），half（一半），self（自己），wife（妻子），knife（刀子），shelf（架子），wolf（狼），thief（窃贼，强盗），life（生命）这9个名词变复数时，都要把f 或fe变成ve，再+s。其余的以-f（e）结尾的名词都是直接+s。 看似难背单词也能轻松记住 fragrant――芳香的 分析：fr――“飞人”的拼音首字母；ag――“阿哥”的拼音首字母； r――外形像小草；ant――蚂蚁。 记忆：飞人让阿哥用一棵芳香的小草来喂养蚂蚁。 frustrate――挫败 分析：fr――“飞人”的拼音首字母；us――我们；tr――“铁人”的拼音首字母； ate――吃（eat）的过去式。 记忆：飞人帮助我们挫败了铁人想要吃掉我们的阴谋。 gangster――歹徒 分析：gang――“港”的拼音；st――“石头”的拼音首字母；er――“儿”的拼音。 记忆：在香港遇到一个歹徒拿石头威胁我的儿子，结果被我打跑了。 garlic――大蒜 分析：“咖喱”的谐音。 记忆：大蒜的味道跟咖喱味有些相似。 generosity――慷慨 分析：gen――“跟”的拼音；er――“儿”的拼音；o――外形想鸡蛋； sity――城市（city）的近似拼写。 记忆：我跟儿子挑了一筐鸡蛋到城市去卖，碰到个慷慨的人，把我们的鸡蛋都买走了。 ginger――姜 分析：g――“哥”的拼音首字母；inger――手指（finger）的近似拼写。 记忆：哥哥在切姜的时候，手指不小心切破了。

3.2.2 复数代数形式的乘除运算教学设计

《复数代数形式的乘除运算》的教学设计

i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 例1 计算( )()12i i + ()()()2123i i -+ 例2 计算 (1-2i)(3+4i)(-2+i) 练习1 计算 )1)(23)(2()23)(1)(1(i i i i +--+ )]2)(1)[(21)(4() 2)](1)(21)[(3(i i i i i i ++-++- 2．复数乘法的运算律 对任意复数z 1、z 2、z 3∈C ，有 (1)z 1(z 2z 3)=(z 1z 2)z 3 (2)z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3 (3)z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3. 练习2 计算：（1）(3+4i) (3-4i) ； （2）（1+ i)2. 3.共轭复数 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫 做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。 通常记复数z 的共轭复数为z 。 3．复数除法 满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y ∈R)叫复数a+bi 除以复数c+di 的 商，记为：(a+bi)÷(c+di)或者di c bi a ++. 除法法则 22 ()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad i c di c di c di c d ++-+?-+-==++-+ 222222 ()()ac bd bc ad i ac bd bc ad i c d c d c d ++-+-==++++. ∴(a +bi )÷(c +di )= i d c ad bc d c bd ac 2 222+-+++. 利用(c +di )(c －di )=c 2+d 2.于是将di c bi a ++的分母有理化得： 例3 计算(12)(34)i i +÷- 四、考点突破 由不同的小组完成相应的对照组，强化学生对复数的乘除运算法则的理解和掌握，同时与多项式乘法类比， 复数代数形式的乘法也满足相应的运算律及乘法公式。 [来源:学.科.网] 理解共轭复数的定义，了解共轭复数的一些性质，并会应用待定系数方法，方程思想解决复数问题。 类比已有的无理分式化简即分母有理化思想方法，(c +di )·(c －di )=c 2+d 2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法 强化巩固

中班优质课教案

中班优质课教案：《小老鼠和泡泡糖》 学情分析： 中班幼儿喜欢动物，模仿力强，对音乐节奏也有了初步的理解能力，4——5岁又是游戏活动的黄金时期，针对幼儿这一心理发展特点，我选择了中班下册主题五“奇妙动物”中的一节音乐游戏《小老鼠和泡泡糖》。小老鼠风趣、诙谐的动物形象深受孩子们的喜爱。活动中通过活泼欢快的AB两段乐曲，形象地表现出小老鼠跑、看、拽等各种动作，并通过模仿老鼠偷偷走、拽泡泡糖、被猫吓倒等有趣的内容，让幼儿感受活动的无限乐趣。 活动目标 1、能根据乐曲旋律合拍地做老鼠走、左右张望的动作。 2、尝试夸张地表现小老鼠拽泡泡糖的表情和动作. 3、知道泡泡糖会破坏我们的环境，增强幼儿的环保意识。 活动准备： 1、生活中了解泡泡糖有粘性的特点。 2、音乐课件、图谱。 3、老鼠头饰、老鼠洞。 活动重难点： 1、重点：幼儿根据音乐合拍地做小老鼠走、东张西望的动作表演。（在实践的过程中，我发现让幼儿根据音乐合拍做小老鼠走对中班幼儿来说有一定的难度，也失去了小老鼠诙谐动物形象的特点，所以在本次活动中我将活动重点放在能根据音乐合拍做小老鼠停下来东张西望的动作表演） 2、难点：尝试夸张地表现小老鼠拽泡泡糖的表情和动作. 活动过程： 一、开始部分：设置悬念激发幼儿兴趣 师：今天老师带来了两个礼物（教师出示右手）这是什么？（泡泡糖）你们吃过泡泡糖吗？吃完的泡泡糖拿在手里有什么感觉？（粘粘的）看这是谁呀？（教师出示左手小老鼠）小老鼠和泡泡糖之间会发生什么事呢？小朋友想不想知道？老师今天带来了一首好听的音乐讲的就是小老鼠和泡泡糖的故事，我们一起来听

听吧！ 二、基本部分 （一）、通过故事帮助幼儿理解音乐内容。 （播放音乐） 师：听完了音乐小朋友猜猜小老鼠和泡泡糖之间发生了什么事？ 小朋友想了这么多有趣的故事？那小老鼠和泡泡糖之间到底发生了什么事呢？我们一起来看看！ （播放音乐动画，教师简单讲故事） 老鼠妈妈睡着了，小老鼠偷偷跑出来玩，它怕被猫发现，跑几步就停下来左看看右看看，突然它踩到一个粘乎乎的东西，哎呀！它拽呀拽！可是越拽越长，粘到手上、头上、腿上到处都是，最后像绳子一样把自己捆了起来，喵，不好了猫来了，小老鼠吓的叽里咕噜地滚回了家。 师：听完了故事小朋友来说一说故事讲了什么？（幼儿回答） 原来小老鼠趁妈妈睡午觉偷偷出来玩，小老鼠在出来玩的时候是怎样走的呢？这次我们边听边看. （二）、出示图谱完整听音乐，帮助幼儿理解音乐节奏，学做动作 1、随图谱完整听音乐，感知音乐节奏。 2、引导幼儿分段学做动作 师：原来小老鼠是在妈妈睡觉时偷偷出来玩的，怎样是偷偷地走？（幼儿模仿）为什么要偷偷的？（怕猫）它怕被猫发现所以呀“小老鼠东走走西看看”，谁来表演一下小老鼠？（幼儿模仿）刚刚我们表演了小老鼠的走，那看看谁来学学？（幼儿表演） 师：哦，原来小老鼠走路的步伐是这样的“小老鼠东走走西看看”（教师师范小老鼠走的节奏）小老鼠东走走西看看是向一个方向看还是向两边看？（两边看）那它是边走边看还是走几步停下来看？在说哪个字的时候停（引导幼儿按节奏做动作）在说西的时候用不用看？看了几次（两次）谁来走走看？好，我们先坐在椅子上试试！小老鼠走了几遍？我刚刚发现有的小老鼠走得太快了，这样很容易被猫发现，再来看看小老鼠是怎样走的？好，现在我们起来走走看！（老师唱旋律幼儿做动作）

复数 教案(绝对经典)

复 数 复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高考的热点，并且一般在前三题的位置，主要考查对复数概念的理解以及复数的加减乘除四则运算，难度较小． 【复习指导】 1．复习时要理解复数的相关概念如实部、虚部、纯虚数、共轭复数等，以及复数的几何意义． 2．要把复数的基本运算作为复习的重点，尤其是复数的四则运算与共轭复数的性质等．因考题较容易，所以重在练基础。 基础梳理 1．复数的有关概念 (1)复数的概念 形如a ＋b i (a ，b ∈R )的数叫作复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数，若b ≠0，则a ＋b i 为虚数，若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数． (2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ?a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭?a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面，叫作复平面．x 轴叫作实轴，y 轴叫作虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数． (5)复数的模 向量OZ →的模r 叫作复数z ＝a ＋b i 的模，记作__|z |__或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2，实际上就是指复平面上的点Z 到原点O 的距离；|z 1－z 2|的几何意义是复平面上的点Z 1、Z 2两点间的距离． (2)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ → 相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )?Z (a ，b )?OZ → . 3．复数的四则运算 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 (1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； (4)除法：z 1z 2 ＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )i c 2＋d 2(c ＋d i ≠0)．

复数乘除法公开课优秀教案

§3.2.2复数代数形式的乘除运算 【学习目标】 1.理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算； 2.理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题； 【重点难点】 重点：复数代数形式的除法运算. 难点：对复数除法法则的运用. 【学法指导】 复数乘法运算是按照多项式与多项式相乘展开得到，在学习时注意将2 i 换成1-；除法是乘法的逆运算，所以复数的除法运算可由乘法运算推导获得，但是也可由互为共轭复数的两个复数的乘积为实数，先将复数的分母实数化，再化简可得，学习时注意体会第二种方法的优势和本质. 【知识链接】 1.复数1z 与2z 的和的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z +++=+++=+21； 2.复数1z 与2z 的差的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z -+-=+-+=-21； 3.复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+； 4.复数的加法运算满足结合律: ()()321321z z z z z z ++=++； 5.复数()R b a bi a z ∈+=,的共轭复数为bi a z -=. 【问题探究】 探究一、复数的乘法运算 引导1:乘法运算规则 设bi a z +=1、di c z +=2()R d c b a ∈,,,是任意两个复数，规定复数的乘法按照以下的法则进行： =?21z z 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2 i 换成－1，并且 把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 引导2:试验证复数乘法运算律 （1）1221z z z z ?=?

复数的乘除法运算练习题(教师版)

复数的乘除法运算练习题（教师版） 1． i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7等于( A ) A ．0 B ．2i C ．－2i D ．4i 2． 若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( D ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝－1，b ＝－1 D ．a ＝1，b ＝－1 3． 在复平面内，复数i 1＋i ＋(1＋3i)2对应的点位于( B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4． 设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( A ) A.34 B.43 C ．－43 D ．－34 5． 若z ＝1＋2i i ，则复数z 等于( D ) A ．－2－i B ．－2＋I C ．2－i D ．2＋i 6.复数11z i =-的共轭复数是（ B ） A ．i 2121+ B ．i 2121- C ．i -1 D ．i +1 7. 若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2等于( A ) A ．4＋2i B ．2＋i C ．2＋2i D ．3＋i 8.设复数z 满足,2)1(i z i =-则z ＝（ A ） （A ）i +-1 （B ）i --1 （C ）i +1 （D ）i -1 9.若复数z 满足24iz i =+，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( C ) A.(2,4) B.(2,-4) C.(4,-2) D.(4,2) 10.复数的11 Z i =-模为( B ) （A ）12 （B ）2 （C （D ）2 11.()3=( A ) （A ）8- （B ）8 （C ）8i - （D ）8i 12． i 是虚数单位，3(1)(2)i i i -++等于 （ D ） A ．1＋i B ．－1－i C ．1＋3i D ．－1－3i 13.已知复数512i z i =+（i 是虚数单位），则_________z =14.若bi a i i +=++)2)(1(，其中,,a b R i ∈为虚数单位，则a b += 4

中班社会公开课教案

中班社会公开课教案 【篇一：幼儿园中班社会优质课教案：因为你快乐,所以 我也快乐】 【篇二：幼儿园中班优质课教案】 小熊学刷牙（中班） 教学目的： ⒈使幼儿懂得保护牙齿的重要性。 ⒉教幼儿学习，掌握正确的刷牙方法，养成每天早晚刷牙的好习惯。教学重点： 知道保护牙齿的重要性，学习刷牙的方法。 教学难点： 掌握正确的刷牙方法。 教学准备： ⒈听过故事《小熊拔牙》； ⒉小熊头饰一个，并请一位老师扮演小熊； ⒊牙齿模型一副；幼儿人手一把牙刷，一支牙膏，一只杯子； ⒋录音机，磁带《刷牙歌》。 教学过程： ⒈开始部分。 老师：小朋友，你们听过小熊拔牙的故事吗？今天，老师就给你们 请来了那只可爱的小熊。（小熊出场） （小熊的出现活跃了课堂气氛，孩子们有了很大兴趣。） 小熊：小朋友，你们好。今天，我要和你们一起做游戏。 ⒉基本部分。 ⑴引导幼儿讨论不保护牙齿的害处。 （加深幼儿对不保护牙齿害处的认识。幼儿听过故事《小熊拔牙》，都知道一些不保护牙齿的害处，对幼儿的回答，老师加以概括。） 老师：小熊因为不注意保护牙齿，牙齿被拔掉了。你能告诉我不保 护牙齿还有哪些害处？ ①幼儿讨论，交流。 ②老师小结：牙齿如果生病了，会影响我们吃东西。牙疼得不想睡觉，不想吃饭，影响了我们的身体健康。牙齿拔光后说话不清楚， 而且也不好看。小熊：我现在知道要保护自己的牙齿了。不乱吃零

食，每天早上和睡觉前坚持刷牙，牙齿就会很健康。可是，我不会刷牙怎么办呢？ ⑵幼儿讨论正确的刷牙方法。 ①老师：小朋友会刷牙吗？你来教教小熊你是怎么刷牙的？ （小熊到小朋友中间去） ②请幼儿根据自己的经验谈谈，老师与幼儿共同讨论正确的刷牙方法。 （在这个环节中，老师让幼儿各抒已见。让幼儿作为活动的主体，发表自己的意见。幼儿知道刷牙的方法，但不知如何表达。老师请幼儿用动作示范，老师以语言引导。） ⑶老师示范讲解正确的刷牙方法。 （肯定幼儿的回答，老师加以补充。） ①刷牙是先要做什么？ 醒幼儿在刷牙是要做一些准备。 老师：刷牙是先要在牙刷上挤上牙膏，在杯子里盛满水。然后，用水漱一下口。接着，我们开始刷牙。 ②老师利用模型，边示范，边讲解。 （利用模型讲解更为直观） 老师：上面的牙齿从上往下刷，下面的牙齿从下往上刷。两边的大牙齿要由里往外来回刷。 ③组织幼儿徒手练习。 ④幼儿小结刷牙方法。 （练习的基础上再通过语言小结，加深印象。） ⑷集体练习刷牙。 ①老师强调刷牙方法； a.做好刷牙前的准备； b.刷牙要按一定的规律。 ②放音乐，集体练习刷牙。 （音乐活跃气氛，更增添幼儿兴趣。） ⒊结束部分。 ⑴小熊小结刷牙方法。 老师：小朋友的牙齿都刷得很干净。小熊，你有没有学会刷牙的方法呢？小熊：学会了。 老师：那你给小朋友讲讲吧。

浅谈对老子的道的理解和分析

浅谈对老子的道的理解和分析（大学毕业论文） 摘要 老子是中国古代伟大的哲学家和思想家，他创立的道家学派，而道家思想同儒家思想一样，成为了支撑中华民族几千年文化、思想发展的脊梁。老子思想的核心内容就是“道”，所以，本文主要叙述了道的特征，揭示了道的本质，并阐明了道的内涵，对老子的“道”进行了系统全面的分析。 然而，自从“道”这个概念问世以来，两千多年过去了，对它的理解和争论就从来没有停止过，所以，在这里，作者也提出了自己的观点。作者认为：老子之“道”，来源于自然，是一种无名无形的特殊物质，是天地之根，万物之本，并作为规律承载着万物运行，作为准则指导人们的日常生活。“道”创造了万物，又引导万物运行；万物源于“道”，又依道而行。所以，老子告诉我们，无论作任何事情都要唯“道”是从，“无为而治”。 老子的“道”是伟大的，它不仅道出了世事变迁、沧海桑田的规律，也道出了人世间永恒不变的真理。因此，学会了“道”，我们就学会了天地万物，学会了人生。 关键词 老子；道；自然；无；有；德；无为 一、前言 开篇之前理应介绍一下“老子”，“老子”不仅是人名，也是书名。作为一个人，他给我们的印象是很模糊的，生卒年不详，唯一可以确信的只有司马迁的《史记?老子韩非子列传》中的一句话：

老子者，楚苦县厉乡曲里人也。姓李氏，名耳，字聃，周守藏室之吏也。 由此，我们知道，老子是春秋时期楚国苦县厉乡曲仁里人，名叫李耳，或者叫李聃。不过，他为什么又被人称为“老子”呢？史书上没有交代，可能是他享年较高，又很有学问，所以，人们便称他为“老子”。 老子无疑是当时的饱学之士，在周朝曾出任过“守藏室之吏”一职，这个职位相当于今天的国家图书馆的馆长，而在今天，这个职位一般都是由学术界的领袖或者名流来担任的。《史记》中记载了孔子曾问礼于老子，问礼的结果是孔子对老子佩服得五体投地，很多人认为这是假的，不过，我觉得司马迁不会欺骗我们。老子虽然很有学问，却以不求闻达为宗旨，这种专心于学问又甘于平淡的精神着实令我们钦佩。 后来，老子对统治者的荒淫和腐败产生了厌恶之情，于是就辞掉了“守藏室之吏”的职务。据说他骑着一头青牛向西域走去，路过函谷关时，关令尹喜久闻他的大名，便盛宴款待了他，当然这一顿饭不能白吃，老子留下了“言道德之意五千余言”（《史记?老子韩非子列传》）的《老子》当作饭钱。于是，便有了《老子》一书，也就是《道德经》。老子出关以后的事情就更无从可考了，也许，活的比较逍遥自在吧。 流传至今的《老子》有众多版本，各种版本的篇章结构既有一致之处，也有不同之处。一致之处是都分为上下两篇，但是上下两篇的顺序却不同，一种是以王弼的通行本为代表的“道”上“德”下的结构，一种是1973年长沙马王堆汉墓出土的帛书本为代表的“德”上“道”下的结构，另外，1993年出土的郭店楚墓楚简本《老子》却没有分道经和德经两篇，并且章次和今本也大不相应。所以，参之以《韩非子》注解的顺序。我们可以推想：《老子》最早可能是德篇在前，道篇在后，而且不分章节，到了两汉之