高考理科数学全国1卷
(2019一卷理)已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为3
2
的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P .
(1)若|AF |+|BF |=4,求l 的方程;
(2)若3AP PB =u u u r u u u r ,求|AB |.
解:设直线()()11223
:,,,,2
l y x t A x y B x y =
+. (1)由题设得3,04F ??
???
,故123||||2AF BF x x +=++,由题设可得1252x x +=.
由2323y x t y x
?
=+???=?,可得22
912(1)40x t x t +-+=,则12
12(1)9t x x -+=-. 从而12(1)592t --
=,得7
8
t =-. 所以l 的方程为37
28
y x =
-. (2)由3AP PB =u u u r u u u r
可得123y y =-. 由232
3y x t y x
?=+???=?,可得2220y y t -+=. 所以122y y +=.从而2232y y -+=,故211,3y y =-=. 代入C 的方程得121
3,3
x x ==
.
故||3
AB =.
(2018一卷理)设椭圆2
2:12
x C y +=的右焦点为F ,过F 的直线l 与C 交于,A B 两点,点M 的坐标为(2,0).
(1)当l 与x 轴垂直时,求直线AM 的方程; (2)设O 为坐标原点,证明:OMA OMB ∠=∠. 解:(1)由已知得(1,0)F ,l 的方程为x =1.
由已知可得,点A 的坐标为或(1,.
所以AM 的方程为2y x =-
2
y x =-(2)当l 与x 轴重合时,0OMA OMB ∠=∠=?.
当l 与x 轴垂直时,OM 为AB 的垂直平分线,所以OMA OMB ∠=∠.
当l 与x 轴不重合也不垂直时,设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠,1221(,),(,)A y x y x B ,
则12x x < MA MB x x y y k k +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得 121212(23()42)(2) MA MB x x x x k k x x k k k -+++= --. 将(1)y k x =-代入2 212 x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=. 所以,21221222422 ,2121 x x x k k k x k -+==++. 则31313222 44128423()4021 k k k k k k k k k x x x x --++-++==+. 从而0MA MB k k +=,故MA ,MB 的倾斜角互补,所以OMA OMB ∠=∠. 综上,OMA OMB ∠=∠. (2017一卷理)已知椭圆C :22 22=1x y a b +(a >b >0),四点P 1(1,1),P 2(0,1),P 3(–1, 2),P 4(1,2 )中恰有三点在椭圆C 上. (1)求C 的方程; (2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ,B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1,证明:l 过定点. 解: (1)由于3P ,4P 两点关于y 轴对称,故由题设知C 经过3P ,4P 两点. 又由2 2221113 4a b a b +>+知,C 不经过点P1,所以点P2在C 上. 因此2 221 11314b a b ?=????+=??,解得2 2 41a b ?=??=??. 故C 的方程为2 21 4x y +=. (2)设直线P2A 与直线P2B 的斜率分别为k1,k2, 如果l 与x 轴垂直,设l :x=t ,由题设知0t ≠,且||2t <,可得A ,B 的坐标分别为(t ,),(t , ). 则121 k k +-=-,得2t =,不符合题设. 从而可设l :y kx m =+(1m ≠).将y kx m =+代入2 21 4x y +=得 222(41)8440k x kmx m +++-= 由题设可知 22 =16(41)0k m ?-+>. 设A (x1,y1),B (x2,y2),则x1+x2=2 841km k -+,x1x2=22 4441m k -+. 而12121211 y y k k x x --+= + 1212 11kx m kx m x x +-+-=+ 121212 2(1)() kx x m x x x x +-+= . 由题设121k k +=-,故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=. 即222448(21)(1)0 4141m km k m k k --+?+-?=++. 解得 12m k +=- . 当且仅当1m >-时,0?>,欲使l : 12m y x m +=- +,即1 1(2)2m y x ++=--, 所以l 过定点(2,1-) (2016一卷理)设圆2 2 2150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . (I )证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程; (II )设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围. 【答案】(I )13 42 2=+y x (0≠y ) ;(II ))38,12[ 【解析】 试题分析:(I )利用椭圆定义求方程;(II )把面积表示为关于斜率k 的函数,再求最值。 试题解析:(I )因为||||AC AD =,AC EB //,故ADC ACD EBD ∠=∠=∠, 所以||||ED EB =,故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+. 又圆A 的标准方程为16)1(2 2=++y x ,从而4||=AD ,所以4||||=+EB EA . 由题设得)0,1(-A ,)0,1(B ,2||=AB ,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为: 13 42 2=+y x (0≠y ). (II )当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ,),(11y x M ,),(22y x N . 由?????=+-=134 )1(2 2y x x k y 得01248)34(2222=-+-+k x k x k . 则3482221+=+k k x x ,3412 42221+-=k k x x . 所以3 4) 1(12||1||22212 ++=-+=k k x x k MN . 过点)0,1(B 且与l 垂直的直线m :)1(1-- =x k y ,A 到m 的距离为1 22+k ,所以 13 44)1 2 (42||222 22 ++=+-=k k k PQ .故四边形MPNQ 的面积 3 41 112||||212++== k PQ MN S . 可得当l 与x 轴不垂直时,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[. 当l 与x 轴垂直时,其方程为1=x ,3||=MN ,8||=PQ ,四边形MPNQ 的面积为12. 综上,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[. 高考理科数学全国二卷 (2019二卷理)已知点A (?2,0),B (2,0),动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为? 12 .记M 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程,并说明C 是什么曲线; (2)过坐标原点的直线交C 于P ,Q 两点,点P 在第一象限,PE ⊥x 轴,垂足为E ,连 结QE 并延长交C 于点G . (i )证明:PQG △是直角三角形; (ii )求PQG △面积的最大值. 解:(1)由题设得 1 222 y y x x ?=-+-,化简得221(||2)42x y x +=≠,所以C 为中心在坐标原点,焦点在x 轴上的椭圆,不含左右顶点. (2)(i )设直线PQ 的斜率为k ,则其方程为(0)y kx k =>. 由22142 y kx x y =?? ?+ =?? 得x =. 记u = ,则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --. 于是直线QG 的斜率为 2k ,方程为()2 k y x u =-. 由22 (),2142 k y x u x y ? =-????+=??得 22222(2)280k x uk x k u +-+-=.① 设(,)G G G x y ,则u -和G x 是方程①的解,故22(32)2G u k x k +=+,由此得32 2G uk y k =+. 从而直线PG 的斜率为3 22 2 12(32)2uk uk k u k k u k -+=-+-+. 所以PQ PG ⊥,即PQG △是直角三角形. (ii )由(i )得||2PQ = ||PG =PQG 的面积 2 22 218() 18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k ++===++++‖. 设t =k + 1 k ,则由k >0得t ≥2,当且仅当k =1时取等号. 因为2 812t S t = +在[2,+∞)单调递减,所以当t =2,即k =1时,S 取得最大值,最大值为 169 . 因此,△PQG 面积的最大值为 169 . (2018二卷理)设抛物线24C y x =:的焦点为F ,过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ,B 两点,||8AB =. (1)求l 的方程; (2)求过点A ,B 且与C 的准线相切的圆的方程. 解:(1)由题意得(1,0)F ,l 的方程为(1)(0)y k x k =->. 设1221(,),(,)A y x y x B , 由2 (1), 4y k x y x =-?? =?得2222 (24)0k x k x k -++=. 2 16160k ?=+>,故1222 24 k x k x ++=. 所以122244 ||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=. 由题设知22 44 8k k +=,解得1k =-(舍去),1k =. 因此l 的方程为1y x =-. (2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2),所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--,即5y x =-+. 设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ,则 0022 0005, (1)(1)16.2 y x y x x =-+???-++= +??解得003,2x y =??=?或0011,6.x y =??=-? 因此所求圆的方程为2 2 (3)(2)16x y -+-=或2 2 (11)(6)144x y -++=. (2017二卷理)设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C :2 212 x y +=上,过M 做x 轴的垂线,垂足为N ,点P 满足NP =u u u r u u u r . (1) 求点P 的轨迹方程; (2) 设点Q 在直线x =-3上,且1OP PQ ?=u u u r u u u r .证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的 左焦点F . 解: (1)设P (x,y ),M (x 0,y 0),设N (x 0,0), ()()00,,0,=-=NP x x y NM y u u u r u u u u r 由= NP u u u r u u u r 得00=,= x x y y 因为M (x 0,y 0)在C 上,所以22 122 +=x y 因此点P 的轨迹方程为222+=x y (2)由题意知F (-1,0).设Q (-3,t ),P(m,n),则 ()()3,1,,33t =-=---=+-OQ ,PF m n OQ PF m tn u u u r u u u r u u u r u u u r g , ()(),3,==---OP m,n PQ m,t n u u u r u u u r 由1=OP PQ u u u r u u u r g 得22-31-+-=m m tn n ,又由(1)知22+=2m n ,故 3+3m-tn=0 所以0=OQ PF u u u r u u u r g ,即⊥OQ PF u u u r u u u r 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ,所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. (2016二卷理)已知椭圆E :22 13 x y t +=的焦点在x 轴上,A 是E 的左顶点,斜率为k (k >0)的直线交E 于A ,M 两点,点N 在E 上,MA ⊥NA. (I )当t =4,AM AN =时,求△AMN 的面积; (II )当2AM AN =时,求k 的取值范围. 解析:(I )设()11,M x y ,则由题意知10y >,当4t =时,E 的方程为22 143 x y +=,()2,0A -. 由已知及椭圆的对称性知,直线AM 的倾斜角为 4 π .因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =,所以1127 y =. 因此AMN ?的面积11212144 227749 =?? ?= . (II )由题意3t >,0k > ,() A . 将直 线 AM 的方 程 (y k x =+代入 22 13 x y t +=得 ( )2 2 222330tk x x t k t +++-=. 由(2 2 12 3t k x tk ?= + 得)212 33tk x tk -=+ ,故 1AM x =+= 由题设,直线 AN 的方程为(1 y x k =-+ ,故同理可得AN ==, 由2AM AN =得22 233k tk k t =++,即()()32321k t k k - =-. 当k = 因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()2 3233 2132022 k k k k k k k -+-+-=<--, 即32 02k k -<-.由此得3 2020k k ->??-,或32020 k k -? ->?2k <<. 因此k 的取值范围是) 2. 高考数学理科全国三卷 (2019三卷理)21.已知曲线2:2x C y =,D 为直线1 2 y =-上的动点.过D 作C 的两条切线, 切点分别是A ,B , (1)证明:直线AB 过定点; (2)若以5(0,)2 E 为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积. 答案: 见解析; 解答: (1)当点D 在1(0,)2-时,设过D 的直线方程为01 2 y k x =- ,与曲线C 联立化简得 20210x k x -+=,由于直线与曲线相切,则有20440k ?=-=,解得01k =±, 并求得,A B 坐标分别为11(1,),(1,)22-,所以 直线AB 的方程为1 2 y =; 当点D 横坐标不为0时,设直线AB 的方程为y kx m =+(0k ≠),由已知可得直线 AB 不过坐标原点即0m ≠,联立直线AB 方程与曲线C 的方程可得,22 y kx m x y =+?? ?=??, 消y 并化简得2220x kx m --=,∵有两个交点∴2480k m ?=+>, 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,根据韦达定理有, 122x x k +=,122x x m =-, 由已知可得曲线C 为抛物线等价于函数2 ()2 x f x =的图像, 则有()f x x '=,则抛物线在11(,)A x y 上的切线方程为111()y y x x x -=-①, 同理,抛物线在22(,)B x y 上的切线方程为222()y y x x x -=-②, 联立①,②并消去x 可得 12 2112 y y y y x x x x ---=-, 由已知可得两条切线的交点在直线1 2 y =- 上,则有 221221 12 112222x x x x x x ---- -=-, 化简得, 12212112 (1)() 2x x x x x x x x --=-,∵0k ≠,∴12x x ≠, 即 1212112x x x x -=,即为2114m m --=-,解得12m =,经检验1 2 m =满足条件, 所以直线AB 的方程为12y kx =+ 过定点1 (0,)2, 综上所述,直线AB 过定点1 (0,)2 得证. (2)由(1)得直线AB 的方程为12 y kx =+, 当0k =时,即直线AB 方程为12y = ,此时点D 的坐标为1(0,)2 -, 以5(0,)2E 为圆心的圆与直线AB 相切于1 (0,)2 F 恰为AB 中点, 此时11 23322 ADBE S AB ED =?=??=; 当0k ≠时,直线AB 方程与曲线方程联立化简得2210x kx --=, 122x x k +=,121x x =-,21221y y k +=+, 则AB 中点坐标为21 (,)2 H k k +, 由已知可得EH AB ⊥,即2152210 EH k k k k k +- ?=? =--, 解得,1k =±, 由对称性不妨取1k =,则直线方程为12 y x =+, 求得D 的坐标为1(1,)2 -,4AB =, E 到直线AB 距离1d = =D 到直线AB 距离2d == 则1211 22 ADBE S AB d AB d = ?+?=, 综上所述,四边形ADBE 的面积为3 或(2018三卷理)已知斜率为k 的直线l 与椭圆22 143 x y C +=:交于A ,B 两点,线段AB 的中点为()()10M m m >,. (1)证明:1 2 k <-; (2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r .证明:FA u u u r ,FP u u u r ,FB u u u r 成等差数列,并求该数列的公差. 解:(1)设1221(,),(,)A y x y x B ,则2222 12121,14343 y x y x +=+=. 两式相减,并由 12 2 1y x y k x -=-得 1122 043 y x y k x +++?=. 由题设知 12121,22 x y x y m ++==,于是 3 4k m =- .① 由题设得302m << ,故1 2 k <-. (2)由题意得(1,0)F ,设33(,)P x y ,则 331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=. 由(1)及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<. 又点P 在C 上,所以34m =,从而3 (1,)2P -,3||2 FP =u u u r . 于是 1||22 x FA ===-u u u r . 同理2||22 x FB =-u u u r . 所以121 ||||4()32 FA FB x x +=-+=u u u r u u u r . 故2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r ,即||,||,||FA FP FB u u u r u u u r u u u r 成等差数列. 设该数列的公差为d ,则 1212||||||||||2FB FA x x d =-=-=u u u r u u u r .② 将3 4 m = 代入①得1k =-. 所以l 的方程为74y x =-+ ,代入C 的方程,并整理得2 171404 x x -+=. 故121212,28 x x x x +== ,代入②解得||28d =. 所以该数列的公差为28 或28 -. (2017三卷理)已知抛物线C :y 2=2x ,过点(2,0)的直线l 交C 与A ,B 两点,圆M 是以线段AB 为直径的圆. (1)证明:坐标原点O 在圆M 上; (2)设圆M 过点P (4,-2),求直线l 与圆M 的方程. 解: (1)设()()11222A x ,y ,B x ,y ,l :x my =+ 由222x my y x =+??=?可得2 12240则4y my ,y y --==- 又()2 22 12121212==故= 224 y y y y x ,x ,x x =4 因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212-4 ==-14 y y x x g 所以OA ⊥OB 故坐标原点O 在圆M 上. (2)由(1)可得()2121212+=2+=++4=24y y m,x x m y y m + 故圆心M 的坐标为( )2 +2,m m ,圆M 的半径 r = 由于圆M 过点P (4,-2),因此0AP BP =u u u r u u u r g ,故()()()()121244220x x y y --+++= 即()()121212124+2200x x x x y y y y -++++= 由(1)可得1212=-4,=4y y x x , 所以2 210m m --=,解得11或2 m m ==- . 当m=1时,直线l 的方程为x-y-2=0,圆心M 的坐标为(3,1),圆M ,圆M 的方程为()()2 2 3110x y -+-= 当12m =- 时,直线l 的方程为240x y +-=,圆心M 的坐标为91, -42?? ??? ,圆M 的半径为 ,圆M 的方程为2 2 9185++4216x y ? ???-= ? ?? ??? (2016三卷理)已知抛物线C :2 2y x =的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点,交C 的准线于P Q ,两点. (I )若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR FQ P ; (II )若PQF ?的面积是ABF ?的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程. 由题设1 (,0)2 F .设12:,:l y a l y b ==,则0ab ≠,且 22111(,0),(,),(,),(,),(,)222222 a b a b A B b P a Q b R +---. 记过,A B 两点的直线为l ,则l 的方程为2()0x a b y ab -++=. .....3分 (Ⅰ)由于F 在线段AB 上,故10ab +=. 记AR 的斜率为1k ,FQ 的斜率为2k ,则1222 11a b a b ab k b k a a ab a a ---=====-=+-, 所以AR FQ P . ......5分 (Ⅱ)设l 与x 轴的交点为1(,0)D x , 则1111 ,2222 ABF PQF a b S b a FD b a x S ??-= -=--=. 由题设可得111 222 a b b a x ---=,所以10x =(舍去),11x =. 设满足条件的AB 的中点为(,)E x y . 当AB 与x 轴不垂直时,由AB DE k k =可得2(1)1 y x a b x =≠+-. 而 2 a b y +=,所以21(1)y x x =-≠. 当AB 与x 轴垂直时,E 与D 重合,所以,所求轨迹方程为2 1y x =-. ....12分