3．不等式组????
?
x ≥0，x ＋3y ≥4，
3x ＋y ≤4
所表示的平面区域的面积等于( C )
A ．3
2 B ．2
3 C ．4
3
D ．34
解析 不等式组表示的平面区域如图所示，由?
??
??
x ＋3y ＝4，
3x ＋y ＝4，得交点A 的坐标为
(1,1)．又B ，C 两点的坐标分别为(0,4)，? ??
??0，43.故S △ABC ＝12×? ????4－43×1＝43.
4．(2017·山东卷)若x ，y 满足约束条件????
?
x ≤3，x ＋y ≥2，
y ≤x ，
则x ＋2y 的最大值为( D )
A ．1
B ．3
C ．5
D ．9
解析 画出可行域如图中阴影部分所示，令z ＝x ＋2y ，平移直线x ＋2y ＝0，可知当z ＝
x ＋2y 过点C (3,3)时，目标函数取得最大值，即z max ＝3＋2×3＝9，故选D ．
5．已知实数x ，y 满足不等式组????
?
x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，
2x －y －5≤0，
目标函数z ＝y －ax (a ∈R )．若z
取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围是__(1，＋∞)__.
解析 如图，依题意，直线x ＋y －4＝0与x －y ＋2＝0交于A (1,3)，此时目标函数取最
大值，故a >1.
一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法
(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．若直线不过原点，特殊点一般取(0,0)点．
(2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线． 【例1】 (1)如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为( A )
A ．???
?
?
x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0
B ．???
?
?
x ＋y －1≤0，x －2y ＋2≤0
C ．???
??
x －y ＋1≥0，
x ＋2y ＋2≥0
D ．???
??
x ＋y －1＞0，x －2y ＋2＞0
(2)若不等式组????
?
x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，
x －y ＋2m ≥0
表示的平面区域为三角形，且其面积等于4
3
，则m
的值为( B )
A ．－3
B ．1
C ．4
3
D ．3
解析 (1)两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方， 可知x －2y ＋2≥0，
又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0.
即?
??
??
x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域．
(2)作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A ，B ，C ，D 的坐标分别为A (2,0)，B (1－
m,1＋m )，C ?
??
??2－4m 3，2＋2m 3，D (－2m,0)．
S △ABC ＝S △ADB －S △ADC
＝
1
2
||AD ·||y B －y C ＝12(2＋2m )? ????1＋m －2＋2m 3 ＝(1＋m )?
?
???1＋
m －23＝4
3
. 解得m ＝1或m ＝－3(舍去)．
二 线性目标函数的最值问题
(1)求线性目标函数的最值．线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值．
(2)由目标函数的最值求参数．求解线性规划中含参问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．
(3)利用可行域及最优解求参数及其范围．利用约束条件作出可行域，通过分析可行域及目标函数确定最优解的点，再利用已知可求参数的值或范围．
【例2】 (1)设变量x ，y 满足约束条件????
?
x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，
3x ＋2y －9≤0，
则目标函数z ＝2x ＋5y
的最小值为( B )
A ．－4
B ．6
C ．10
D ．17
(2)x ，y 满足约束条件????
?
x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，
2x －y ＋2≥0，
若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，
则实数a 的值为( D )
A ．1
2
或－1 B ．2或1
2
C ．2或1
D ．2或－1
解析 (1)由线性约束条件画出可行域(如图中阴影部分)．
当直线2x ＋5y －z ＝0过点A (3,0)时，z min ＝2×3＋5×0＝6.故选B ． (2)作出可行域(如图所示的△ABC 及其内部)．
由题设z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一可知：线性目标函数取最大值时对应的直线与可行域某一边界重合．
又k AB ＝－1，k AC ＝2，k BC ＝12，∴a ＝－1或a ＝2或a ＝1
2
，
验证：a ＝－1或a ＝2时，满足题意；a ＝1
2
时，不满足题意，故选D ．
三 非线性目标函数的最值问题
非线性目标函数常见类型的几何意义
(1)(x －a )2
＋(y －b )2
为点(x ，y )与点(a ，b )距离的平方． (2)
y －b
x －a
为点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． (3)|Ax ＋By ＋C |是点(x ，y )到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离的A 2
＋B 2
倍．
【例3】 设x ，y 满足条件????
?
x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，
x ≤3.
(1)求u ＝x 2
＋y 2
的最大值与最小值； (2)求v ＝
y
x －5
的最大值与最小值；
(3)求z ＝|2x ＋y ＋4|的最大值与最小值． 解析 画出满足条件的可行域，如图所示．
(1)x 2
＋y 2
＝u 表示一组同心圆(圆心为原点O )，且对同一圆上的点x 2
＋y 2
的值都相等，由图象可知：当(x ，y )在可行域内取值时，当且仅当圆O 过C 点时，u 最大，过点(0,0)时，
u 最小．
又C (3,8)，所以u max ＝73，u min ＝0. (2)v ＝
y
x －5
表示可行域内的点P (x ，y )到定点D (5,0)的斜率，由图象可知，k BD 最大，
k CD 最小．
又因为C (3,8)，B (3，－3)， 所以v max ＝－33－5＝32，v min ＝8
3－5＝－4.
(3)因为z ＝|2x ＋y ＋4|＝5·
|2x ＋y ＋4|
5
表示可行域内点P (x ，y )到直线2x ＋y ＋4＝0的距离的5倍，由图象知A 到直线2x ＋y ＋4＝0的距离最小，C 到直线2x ＋y ＋4＝0的距离
最大．又因为A ? ??
??－52，52，C (3,8)，
故当x ＝－52，y ＝5
2
时，
z min ＝5·
?????
?
2×? ????－52＋52＋45
＝3
2
. 当x ＝3，y ＝8时，z max ＝5·
|2×3＋8＋4|
5
＝18. 四 线性规划的实际应用
解线性规划应用题的一般步骤
第一步：分析题意，设出未知量； 第二步：列出线性约束条件和目标函数； 第三步：作出可行域并利用数形结合求解； 第四步：将数学问题的答案还原为实际问题的答案．
【例4】 (2016·天津卷)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示.
原料
肥料
A B C
甲48 3
乙55
1
现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．
解析(1)由已知，x，y满足的数学关系式为
??
?
??4x＋5y≤200，
8x＋5y≤360，
3x＋10y≤300，
x≥0，
y≥0.
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．
(2)设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－
2
3
x ＋
z
3
，这是斜率为－
2
3
，随z变化的一族平行直线，
z
3
为直线在y轴上的截距，当
z
3
取最大值时，z的值最大．又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距
z
3
最大，即z最大．
解方程组
??
?
??4x＋5y＝200，
3x＋10y＝300，
得点M的坐标为(20,24)．
所以z max＝2×20＋3×24＝112.
故生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．
1．(2017·浙江卷)若x ，y 满足约束条件????
?
x ≥0，x ＋y －3≥0，
x －2y ≤0，
则z ＝x ＋2y 的取值范围
是( D )
A ．[0,6]
B ．[0,4]
C ．[6，＋∞)
D ．[4，＋∞)
解析 画出可行域如图阴影部分所示，平移直线x ＋2y ＝0，可知，直线z ＝x ＋2y 过点(2,1)时取得最小值4，无最大值，故选D ．
2．若实数x ，y 满足不等式组????
?
x －2≤0，y －1≤0，
x ＋2y －a ≥0，
目标函数t ＝x －2y 的最大值为2，
则实数a 的值是( D )
A ．－2
B ．0
C ．1
D ．2
解析 可行域为△ABC 及其内部，如图所示．由图可知，当目标函数t ＝x －2y 过点A 时有最大值，由直线x －2y ＝2与直线x －2＝0的交点坐标为(2,0)，代入直线x ＋2y －a ＝0，得a ＝2，故选D ．
3．已知实数x ，y 满足????
?
x ≥0，y ≥0，
x ＋y ≤1，
则k ＝
y
x ＋1
的最大值为( C )
A ．1
2 B ．3
2 C ．1
D ．14
解析 如图，不等式组????
?
x ≥0，y ≥0，
x ＋y ≤1
表示的平面区域为△AOB 的边界及其内部区域，
k ＝y x ＋
1＝y －0x －(－1)
表示点(x ，y )和(－1,0)的连线的斜率． 由图知，点(0,1)和点(－1,0)连线的斜率最大，所以k max ＝1－0
0－(－1)＝1，故选C ．
4．(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg
，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为__216_000__元．
解析 设生产产品A x 件，生产产品B y 件，利润之和为z 元，则z ＝2 100x ＋900y . 根据题意得?????
1.5x ＋0.5y ≤150，
x ＋0.3y ≤90，
5x ＋3y ≤600，
x ，y ∈N ，即?????
3x ＋y ≤300，
10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ，y ∈N ，
作出可行域(如图)．
由????
?
10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600
得???
?
?
x ＝60，y ＝100.
当直线 2 100x ＋900y －z ＝0过点M (60,100)时，z 取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000.
故所求的最大值为216 000元．
易错点 不能准确确定最优解的位置
错因分析：“截距型”最优解问题一是要弄清z 与截距的关系，二是要看与目标函数相应的直线的斜率的正负以及与可行域边界直线斜率的大小关系．
【例1】 已知约束条件?????
3x －y －6≤0，
x －y ＋2≥0，
x ≥0，
y ≥0，
目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的值
最大为12，则
2a ＋3
b
的最小值为________.
解析 画出可行域，如图中阴影部分所示．
由z ＝ax ＋by 得，y ＝－a
b x ＋z b
.
∵－a b
＜0，∴一定是过点A 时z 取最大值．
由?????
3x －y －6＝0，x －y ＋2＝0
得A (4,6)，
∴z max ＝4a ＋6b ＝12，∴a 3＋b
2
＝1.
∴2a ＋3b ＝? ????2a ＋3b ? ????a 3＋b 2＝23＋32＋b a ＋a b ≥23＋32＋2＝256(当且仅当a ＝b ＝6
5时，取等号)． ∴2a ＋3b 的最小值为256. 答案 256
【跟踪训练1】 设变量x ，y 满足约束条件????
?
x －y ＋2≥0，4x －y －4≤0，
x ＋y ≥3，若目标函数z ＝x ＋
ky (k >0)的最小值为13，则实数k ＝( C )
A ．7
B ．5或13
C ．5或29
4
D ．13
解析 作出不等式组????
?
x －y ＋2≥0，4x －y －4≤0，
x ＋y ≥3，
表示的平面区域，如图所示，可知z ＝x ＋
ky (k >0)过点A ?
??
??12，52或B ?
??
??75，8
5
时取得最小值，所以1
2＋52k ＝13或75＋85k ＝13，解得k ＝5或294
.
课时达标 第34讲
[解密考纲]考查线性规划以选择题或填空题的形式出现． 一、选择题
1．已知实数x ，y 满足????
?
x ≥0，y ≥0，
x ＋y ≤2，
则z ＝4x ＋y 的最大值为( B )
A ．10
B ．8
C ．2
D ．0
解析 画出可行域，根据图形可知，当目标函数的图象经过点A (2,0)时，z ＝4x ＋y 取得最大值8.
2．设变量x ，y 满足约束条件????
?
x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，
4x －y ≥－1，
则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是
( A )
A ．????
??－32，6
B ．????
??－32，－1 C ．[－1,6]
D ．?
?????－6，32
解析 不等式组????
?
x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，
4x －y ≥－1
表示的平面区域如图中阴影部分所示．由图可知，当
直线z ＝3x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值6，过点B ? ??
??12，3时，z 取得最小值－32，故选A ．
3．设变量x ，y 满足约束条件????
?
x －y ≤1，x ＋y ≥2，
y ≤2，
则目标函数z ＝x 2＋y 2
的取值范围为
( C )
A ．[2,8]
B ．[4,13]
C ．[2,13]
D ．????
??52，13
解析 作出可行域，如图中阴影部分，将目标函数看作是可行域内的点到原点的距离的
平方，从而可得z min ＝|OA |2
＝? ??
??|0＋0－2|12＋122＝2，z max ＝|OB |2＝32＋22
＝13.故z ∈[2,13]．
4．若实数x ，y 满足????
?
x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，
y ≥0，
且z ＝y －x 的最小值为－2，则k ＝( B )
A ．1
B ．－1
C ．2
D ．－2
解析 当k ≥0时，直线z ＝y －x 不存在最小值，
∴k ＜0.当k ＜0时，当有且仅当直线z ＝y －x 经过kx －y ＋2＝0与x 轴的交点，(－2
k
，
0)时，z 取得最小值－2，∴－2＝2
k
，即k ＝－1.
5．若关于x ，y 的不等式组????
?
x ＋y －1≥0，x －1≤0，
ax －y ＋1≥0(a 为常数)
所表示的平面区域的面积等于
2，则a ＝( A )
A ．3
B ．6
C ．5
D ．4
解析 先作出不等式组???
??
x ＋y －1≥0，
x －1≤0
对应的区域，如图．因为直线ax －y ＋1＝0过
定点(0,1)，且不等式ax －y ＋1≥0表示的区域在直线ax －y ＋1＝0的下方，所以△ABC 为
不等式组????
?
x ＋y －1≥0，x －1≤0，
ax －y ＋1≥0
对应的平面区域．
因为A 到直线BC 的距离为1，所以S △ABC ＝1
2×1×BC ＝2，
所以BC ＝4.当x ＝1时，y C ＝1＋a ，所以y C ＝1＋a ＝4， 解得a ＝3.
6．设实数x, y 满足????
?
x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，
y －2≤0，
则z ＝y x ＋x
y
的取值范围是( D )
A ．??????13，103
B ．??????13，52
C ．????
??2，52 D ．?
?????2，103
解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影所示．解方程组得可行域的顶点分别为A (3,1)，B (1,2)，C (4,2)．由于y x
表示可行域内的点(x ，y )与原点(0,0)的连线的斜率，则k OA ＝13，k OB ＝2，k OC ＝12，所示y x ∈??????13，2.结合对勾函数的图象，得z ∈?
?????2，103，故选D ．
二、填空题
7．(2016·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件????
?
x －1≥0，x －y ≤0，
x ＋y －4≤0，
则y
x
的最大值为__3__.
解析 由约束条件画出可行域，如图．
y x 的几何意义是可行域内的点(x ，y )与原点连线的斜率，所以y
x
的最大值即为直线OA 的斜率，又由???
?
?
x －1＝0，x ＋y －4＝0
得点A 的坐标为(1,3)，于是? ??
??
y x max ＝k OA ＝3.
8．已知实数x ，y 满足x 2＋(y －2)2
＝1，则ω＝
x ＋3y
x 2＋y 2
的取值范围是__[1,2]__. 解析 设P (x ，y )，M (1，3)，则cos 〈OP →，OM →
〉＝x ＋3y 2x 2＋y
2
＝ω2，过原点O 作⊙C 的切线OA ，OB ，切点为A ，B ，
易知：∠MOx ＝∠AOx ＝60°，∠BOx ＝120°， ∴0°≤〈OP →，OM →
〉≤60°，
∴12
≤cos〈OP →，OM →
〉≤1，∴1≤ω≤2. 9．已知a >0，实数x ，y 满足约束条件????
?
x ≥1，x ＋y ≤3，
y ≥a (x －3)，
若z ＝2x ＋y 的最小值为1，
则a 的值为__1
2
__.
解析 由题意得直线y ＝a (x －3)过x ＝1与2x ＋y ＝1的交点(1，－1)，因此a 的值为1
2.
三、解答题
10．已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)，如图所示．
(1)写出表示区域D 的不等式组；
(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围． 解析 (1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.
原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为????
?
7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，
4x ＋y ＋10≥0.
(2)依题意[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]<0， 即(14－a )(－18－a )<0，
解得－1811．变量x ，y 满足????
?
x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，
x ≥1.
(1)设z ＝y
x
，求z 的最小值； (2)设z ＝x 2
＋y 2
，求z 的取值范围；
(3)设z ＝x 2＋y 2
＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围． 解析 可行域如图阴影部分．
由???
??
x ＝1，
3x ＋5y －25＝0，
解得A ?
????1，225.
由?
??
??
x ＝1，
x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)．
由???
?
?
x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，
解得B (5,2)．
(1)设P (x ，y )，则z ＝y x ＝y －0
x －0
＝k PO ，
由图知z min ＝k OB ＝2
5
.
(2)z ＝x 2＋y 2＝|PO |2，∵|OC |2＝2，|OB |2
＝29，
∴由图得2≤z ≤29，即z ∈[2,29]．
(3)z ＝x 2
＋y 2
＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2
＋(y －2)2
的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，
d min ＝1－(－3)＝4，d max
＝(－3－5)2＋(2－2)2＝8.
∴16≤z ≤64，即z ∈[16,64]．
12．某客运公司用A ，B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每辆车每天往返一次．A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？
解析 设A 型，B 型车分别为x ，y 辆， 相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y . 由题意，得x ，y 满足约束条件
?????
x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，
36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .
作出可行域如图阴影部分所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5,12)，Q (7,14)，
R (15,6)．
由图可知，当直线1 600x ＋2 400y ＝z 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z
2 400
最小，即z 取得最小值．
故应配备A 型车5辆，B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小．
