数学分析课本-习题及答案第九章

第九章 定积分

一、填空题

=-+

+-+

-∞

→_412

411

41(

lim 2

2

2

2

2

n

n n n n Λ

2．=+??→x x

t x dt

t

t

dt

t 0

sin 0

1

sin )1(lim

__________

3．

[]

=?-2

2

2,1max dx x __________

4．设?+=x

dt t

t x f 02sin 1cos )(，则=+?202)(1)('π

dx x f x f ___________ 5．设)(x f 在[]4,0上连续，且

?--=2

1

23)(x x dt t f ，则=)2(f ___________

6．=+-?→4

2

1ln sin lim

x x tdt x

x _________

7．=++?-dx x x

x 22

2

2

)cos 1(sin π

π______________ 8．

[]?-=-++-1

1

)()(22ln

dx x f x f x

x

_________，其中)(x f 连续。 10．设0)()(2

1

=-+?x x f dx x f ，则=?1

)(dx x f _______________

11．若

?=+101sin

b dx x

x

，则=+?102)1(cos dx x x _________ 12．设)(x f 连续，则=-?x dt t x tf dx

d 02

2)(____________ 13．=?02

2

cos x

dt t x dx d ______________ 14．

=-?π

π

222cos sin dx x x ____________

15．

=+-?-dx x x 1

12cos 21sin αα

____________

16．

[]=-?π

2

sin )(cos 'cos )(cos dx x x f x x f ____________

17．设)(x f 有一个原函数x x

sin ，则=?ππ2

)('dx x xf ____________

18．若1≤y ，则

=-?-1

1dx e

y x x

___________

19．已知2

)2(x xe

x f =，则

=?-1

1)(dx x f ________

20. 已知)(x f 在),(+∞-∞上连续，且2)0(=f ，且设?

=2sin )()(x x

dt t f x F ，则

=')0(F

21．设???

??>?<--=?-x x x x dt t x x x e x f 0

322 0 sin 0 31

)(则=→)(lim 0

x f x

22．函数dt t t t x x

?

+--=

21

1

2)(?在区间[]2 0上的最大值为 ，最小值为

23．若已知)(x f 满足方程?

--=x

dx x f x x x f 0

22

)(13)(，则=)(x f

24．已知函数)1( )1()(1

-≥-=?

-x dt t x f x

，则)(x f 与x 轴所围成的面

积为

25．函数2

2

1x x y -=在区间??

?

???23 ,21上的平均值为

二、选择填空 1．若x

x x f 104

)5(2-=

-，则积分=+?40)12(dx x f ( ) B.

4

π

C.是发散的广义积分

D.是收敛的广义积分

2．若已知5)2(',3)2(,1)0(===f f f ，则

=''?1

0)2(dx x f x ______________

3．设)(x f 是以l 为周期的连续函数，则

()?+++l

k a kl

a dx x f )1(之值( )

A.仅与a 有关

B.仅与a 无关

C.与a 及k 均无关

D.与a 和k 均有关 4．若0→x 时，?''-=x

dt t f t x x F 0

22)()()(的导数与2

x 进等价无穷小，则必有( )(其

中

f

有二阶连续导数)。

A.1)0(=''f

B.2

1

)0(=

''f C.0)0(=''f D.)0(f ''不存在 5．若x x x x f n

n

n 2211lim

)(+-=∞→，且设k dx x f =?20)(，则必有( )。

A.0=k

B.1=k

C.1-=k

D.2=k 6．设?+=

x x x

t

tdt e x f 2sin sin )(，则=)(x f ( )

A.正常数

B.负常数

C.恒为0

D.不是常数 7．已知)(t f 是()+∞∞-,内的连续函数，则

??ψ=x

x dt t dt t f 1

1)()(3

恒成立时，必有

=ψ)(t ( )

A.)(3t f

B.)(33t f t

C.)(3

2t f t D.)(332t f t

8．设)(x f 在[]a a ,-上连续且为偶函数，?=

Φx

dt t f x 0

)()(，则( )

A ．)(x Φ是奇函数 B. )(x Φ是偶函数

C. )(x Φ是非奇非偶函数

D. )(x Φ可能是奇函数，也可能是偶函数 9．设y 是由方程

0sin 2

=??x

y t

tdt dt e π所确定的x 的函数，则

=dx

dy

( )。 A.

x x cos 1sin - B.1cos sin +-x x

C.y e x cos

D.y e

x cos -

11．设,cos 1sin 2262

dx x x

x M ?-+=π

πdx x x N )cos (sin 6223+=?-π

π，?--=22

632)cos sin (π

πdx x x x P ，则有( )

A.M P N <<

B.N P M <<

C.P M N <<

D.N M P <<

13．若)(x f 是具有连续导数的函数，且0)0(=f ，设?

?

???=≠=ψ?0,00,)()(2

x x x dt

t tf x x ，0≠x ，则=ψ)0('( )

A.)0('f

B.)0('31

f D.3

1

14．若设?-=

x

dt x t dx d x f 0

)sin()(，则必有( ) A.x x f sin )(-= B.x x f cos 1)(+-= C.x x f sin )(= D.x x f sin 1)(-=

15．若)(t x x

=是由方程011

2

=-?+-x t dt e t 所确定，则0

22=t dt x

d 之值为( )

C.2

e D.2

2e 16．定积分定义

i b

a

n

i i x f dx x f ?=?

∑=)(lim )(1

ξ，说明（ ）

A ],[b a 必须n 等分，i ξ是],[1i i x x -端点。

B ],[b a 可任意分法，i ξ必须是],[1i i x x -端点。

C ],[b a 可任意分法，0max →?=i x λ，i ξ可在],[1i i x x -内任取。

D ],[b a 必须等分，0max →?=i x λ，i ξ可在],[1i i x x -内任取。 17．积分中值定理

?

-=b

a

a b f dx x f ))(()(ξ其中（ ）

A ξ是],[b a 内任意一点

B ξ是],[b a 内必定存在的某一点

C ξ是],[b a 内唯一的某点

D ξ是],[b a 内中点 18．设)(x f 与)(x g 在],[b a 上连续，且

?

?>b

a

b

a

dx x g dx x f )()(，则)()(x g x f >成立的情

况是（ ）

A 当+∞<<∞-x 时均成立

B b x a ≤≤时成立

C 在],[b a 之间至少有些点使之成立

D 在],[b a 内不可能成立

19．若???

???≤≤≤≤=21

,10 ,)(2x x x x x f ，则?=x dt t f x 0

)()(?在开区间)2,0(上（ ） A 有第一类间段点 B 有第二类间段点

C 两种间段点都有

D 是连续的

20．若设?-=x

dt x t dx d x f 0

)sin()(，则必有（ ）

A x x f sin )(-=

B x x f cos 1)(+-=

C x x f sin )(=

D x x f sin 1)(-= 21．下面结论错误的是（ ） A 若)(x f 在),(b a 内连续，则

)(dx x f b

a

?

存在

B 若)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上必有界

C 若)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上必可积

D 若)(x f 在],[b a 上单调有界，则)(x f 在],[b a 上必可积 22．下面结论正确的是（ ） A 若],[],[d c b a ?，则必有

)()(??

≥d

c

b

a

dx x f dx x f ；

B 若)(x f 可积，则)(x f 必可积；

C 若)(x f 是周期为T 的函数，则对于任意常数a 都有

?

?+=T

a a

T

dx x f dx x f 0

)()(

D 若)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在),(b a 内必定有原函数。 23．下列各式不等于零的是（ ）

A

dx x

x

x ?

-+-212111ln cos B dx x x x x ?--+3324

2523cos C

dx x

x ?-2

32

2cos 1sin ππ

D ?

--3

1

)

3)(1(x x dx

24．设,sin )(2sin tdt e x F x x

t ?

+=

π

则)(x F （ ）.

(A)为正常数; (B)为负常数;

(C)恒为零; (D)不为常数;

25．设)(x f 连续，则=-?dt t x tf dx d x

22)(( ) (A));(2

x xf (B));(2

x xf -

(C));(22

x xf (D));(22

x xf -

三、计算题

1．按定积分定义证明：

（1）()?-=b

a a

b k kdx ； （2）

?

-=b

a

a b x e e e

2．根据定理，试比较下列各定积分的大小。

（1）?

1

xdx 与?1

2dx x

（2）

?

20

πxdx 与

?

20

sinxdx

π

?1

x dx

3．求下列极限：

（1）x

dt t cos lim

x

20

x ?

→；

（2）?

?∞

→x

2

2

x

0t x dt

t 2e )dt e (lim

2

4．计算下列定积分：

（1）()?+1

0dx 3x 2； （2）?+-1

02

2

dx x 1x 1； （3）

?

2

e e

dx x

ln 1

； （4）?--10x

x dx 2e e ； （5）

?

π

30

2xdx tg ； （6）????

?

?+94

dx x 1x ；

（7）

?

+4

9

x

1dx ； （8）

()?

e

e

1

2dx x

x ln ；

（9）

?

π20

5

xdx 2sin x cos ；

（10）?-10

2dx x 4；

（11）

()?

>-a

2220a dx x a x ；

（12）

()

?

+-1

2

3

2

1

x x

dx

；

（13）?-+1

0x

x e e dx ； （14）?π

+2

02dx x sin 1x cos ； （15）?1

x dx arcsin ；

（16）?

π

20x xdx sin e ；

（17）

?e

e 1dx x ln ；

（18）

?1

0x dx e ； （19）

()?

>+-a

2

0a dx x

a x

a x ； （20）

?

ρθθ

+θθ

20

.d cos sin cos

5．应用定积分概念求下列极限：

（1）???

?

?+???++++∞→n 212n 11n 1lim n

（2）??

?

??+???++++∞

→2222n n 212n 11n 1

n lim （3）??

? ??π-+???+π+π∞→n 1n sin n 2sin n sin n 1lim

n （4）()()???

? ??-+???+++∞→1n 2n 11n n 1n 1lim

2n 6．设f 具有连续的导函数，试求：

()()?'-x

a dt t f t x dx

d 并用此结果求()?-x

0tdt cos t x dx

d

四、证明题 1．证明：

()?=b

a J dx x f 存在的充要条件是：对任意一积分和()(∑=f

n Tn ,2,1…）

，只要0lim →∞

→Tn n ，都有().lim J Tn f n =∑∞

→（这里()∑f Tn 是指f 对某一分割Tn 及所属的某一

介点集所作的积分和）。

2．证明性质2中的第一个不等式：设T '为分割T 添加P 个分点所得到的分割，则

()()()T m M P T s T s -+''≤

3．证明：()s T s T =→0

lim （达布定理中的第一个极限）。

4．证明：若T '是T 增加若干个分点T 所得的分割，则

∑∑'

?≤'?'T T

i

i

i

i

x

W x W

5．设f ，g 均为定义在[]b a ,上的有界函数，证明：若仅在[]b a ,上有限个点x 处()()x g x f ≠，则当f 在[]b a ,上可积时，g 在[]b a ,上也可积，且

?

?=b

a

b

a

g f

6．证明（可积的第三充要条件）：有界函数f 在[]b a ,上可积的充要条件是：对任给正数ε，

η，存在某一分割T ，使得属于T 的所有振幅η≥'i W 的小区间i ?'的总长不超过ε。

7．应用上题的结论证明黎曼函数()x R 在[]b a ,[]1,0上可积，且积分值等于0。

8．设f 在[]b a ,上有界，{}[]b a a n ,?，且[]b a c c n ,,lim ∈=∞

→，证明：若f 在[]b a ,上只有

()???=2,1n a n 为间断点，则f 在[]b a ,上可积。

9．证明：若f 与g 在[]b a ,上可积，则

()()∑?=→?=?ηξn

1

i b

a

i i i 0

T .g f x g f lim

其中i i ηξ,是i ?内的任意两点。{}.,2,1,n i T i ???=?= 10．讨论f 、f 、2f 三者之间的可积性关系。

11．证明：若f 在区间[a ，b]上可积，b a ≤≤α，由定理，f 在[a ，b]上可积，又b '≤<βα，再由定理，f 在[a ，b]上可积。 12．证明下列不等式：

（1）

?<

-<2

22

sin 2

1

112

π

π

π

dx x

（2）?

<<

1

2

1e dx e x ；

（3）?

<<

20

2

sin 1π

π

dx x x ； （4）?

<<

e

e

dx x

x e 46ln 3

13．设f 在[a ，b]上连续，且

?

=b

a

20f ，证明：

()[]b a,x ,0x f ∈≡

14．证明：

（1）?

=+∞→1

0n 0dx x 1x

lim （2）?

=∞

→20n 0xdx sin lim

π

π

15．设f ，g 都在[a ，b]上可积，证明

()()(){}x g ,x f max x M b]

,[a x ∈=，与()()(){}x g ,x f min x m b]

,[a x ∈=

在[a ，b]上也可积。

16．设f 在[a ，b]上可积，且在[a ，b]上,0m f >≥证明函数

f

1

在[a ，b]上也可积。

17．（1）设f 在[a ，b]上连续，且对[a ，b]上任一连续函数g 均有

?

=b

a

0fg ，证明

()b],[a x ,0x f ∈≡。

（2）设f 在[a ，b]上连续，且对于所有那些在[a ，b]上满足附加条件g （a ）=g （b ）=0的连续函数g 有

0fg b

a

=?

，证明在[a ，b]上同样有()0x f ≡。

18．证明：若f 在[a ，b]上连续，且

()??

==b

a

b

a

b a, ,0x f f 则在内至少存在两点

()0)(,2121==x f x f x x 使得

19．设f 为连续函数，u 与v 均为可导函数，且可实行复合：fou ，fov ，试证明：

()()[]()

()

()()[]()x u x u f x v x u f dt t f dx d x v x u '-'=?

20．设f （x ）在[a ，b]上连续，()()()?-=x

a

.dt t x t f x F 证明：()()x f x F =''

21．设f 在[-a ，a]连续，证明：

（1）若f 为奇函数，则

?

-=a

a

0f ; （2）若f 为偶函数，则??=-a

a

a

f 2f

22．设f 为()+∞∞-,上以T 为周期的连续函数，证明对任何实数a ，有

??

=+T

T

a a

f f

23．证明：若f ''为[a ，b]上的连续函数，则

()()[]()()[]?

-'--'=''b

a

a f a f a

b f b f b f x

24．设

()()为自然数n ,m xdx cos x sin n ,m J 20

n m ?π=，

证明()()()2n 2n ,m J n

m 1

n n ,m J ≥-+-=

，并求J （m ，n ） 25．证明下列关系式：

（1）()n ln 1n

1

11n ln 21+<+

???++<+ （2）1n

ln n 1

211lim

n =+???++

∞

→ 26．设f 为所示区间上的连续函数，证明：

（1）()()??ππ=20

20

dx x cos f dx x sin f ； （2）

()()??

π

ππ=0

dx x sin f 2dx x sin xf

（3）

?

?π

???

? ??+=???? ??+1

a 122222x 2dx

x a x f x dx x a x f

五、考研复习题

1．证明：若f 在[a ，b]上可积，且具有原函数F ，则

()()a F b F f b

a

-=?

并应用此结果计算

?1

f ，其中

()?????

=≠-=0 x

,00

x ,x

1cos x 1sin x 2x f 2．证明：若?在[]a ,0上连续，f 处处二阶可导，且()0x f ≥'''，则有

()[]()??

?????≥???a 0a 0dt t a 1f dt t f a 1 3．证明下列命题：

（1） 若f 在[a ，b]上连续递增，则

()?+=

x

a f a

x 1x F 为（a ，b ）内的递增函数。

（2） 若f 在[]+∞,0上连续，且()0x f >，则

()()()??=?x 0

x

0dt

t f dt t tf x

在[]+∞,0内严格递增。

4．设f 在[] ,0+∞上连续，且()A x f lim x =+∞

→，证明：

()?=+∞→T

0T A dx x f T 1lim

5．证明：连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数，连续的偶函数的原函数中有一个是奇函

数。

6．证明许瓦兹（schwarz ）不等式；若f 和g 在[a ，b]上可积，则

????≤??

? ??b

a 2

b a 22

b a g f fg

7．应用许瓦尔兹不等式证明：

（1）若f 在[a ，b]上可积，则

()??-≤??

? ??b

a 22

b a f a b f ；

（2）若f 在[a ，b]上可积，且()0m x f >≥，则

()?

?

-≥?b

a

b

a

2a b f

1f （3） 若f ，g 在[a ，b]上均可积，则有闵可夫斯基（Minkowski ）不等式；

()2

1b

a 22

1b

a 22

1b

a 2g f g f ??

? ??+??? ??≤??? ??+???

8．证明：若f 在[a ，b]上连续，且f （x ）＞0，则

??-≥???

??-b a b a f ln a

b 1f a b 1ln 9．设f 为()+∞,0内连续的单调减函数，且()0x f >，证明数列{}n a 收敛，其中

()∑?=-=n

1

k n

1

n f k f a

10．证明：若g 在[a ，b]上连续，f 在[a ，b]上有连续导数f '，且()()0b f ,0x f ≥≤'，则必定存在[]b ,a ∈ξ，使得

()?

?ξ

=b

a

a

g a f fg