实验二、函数与极限
实验二 函数与极限
【实验类型】验证性
【实验学时】2学时
【实验目的】
1．掌握用MATLAB 研究函数性质的基本方法；
2．掌握用MA TLAB 求极限的基本方法；
3．以可视化的方法理解函数极限概念；
4．掌握用MA TLAB 研究函数连续性的基本方法。
【实验内容】
1．利用MA TLAB 研究函数性质；
2．利用MA TLAB 求函数极限；
3．理解函数极限的概念；
4．利用MA TLAB 研究函数连续性；
【实验前的预备知识】
1．熟悉函数的各种性质；
2．理解拉格朗日中值定理的内容；
3．MA TLAB 中创建符号变量的方法和符号运算命令的用法；
4．MA TLAB 中平面图形的作图方法。
【实验方法或步骤】
一、实验基本理论与方法
1．数列极限的定义；
2．函数极限的定义；
3．无穷大量与无界函数；
4．极限0lim ()x x f x →存在当且仅当极限0lim ()x x f x +→和极限0
lim ()x x f x -→都存在并且相等； 5．极限lim ()x f x →∞存在当且仅当极限lim ()x f x →+∞和极限lim ()x f x →-∞
都存在并且相等； 6．函数()f x 在点0x 连续的定义；
7．函数的间断点及其分类；
二、实验使用的MATLAB 函数
1．limit(f,x,0x )：求0x x →时()f x 的极限。
2．limit(f,x,0x ,’left ’)：求0x x →时()f x 的左极限。
3．limit(f,x,0x ,’right ’)：求0x x →时()f x 的右极限。
4．limit(f,x,+inf)：求x →+∞时()f x 的极限。
5．limit(f,x,-inf)：求x →-∞时()f x 的极限。
6．limit(f,n,inf)：求数列()f n 的极限。
7．plot 及plot3命令是最为常见的二维图形和三维图形的绘制命令，它们一般采用等步长绘制图形。
注：fplot(fun,lims,str,tol)：画函数()y fun x =的图形。其中，若lims 只包含两个元素则表示x 轴的范围：[xmin,xmax]。若lims 包含四个元素则前两个元素表示x 轴的范围：
[xmin,xmax]，后两个元素表示y 轴的范围：[ymin,ymax]；str 可以指定图形的线型和颜色；tol 的值小于1，代表相对误差，默认值为0.002，即0.2%。该命令中str 和tol 都是可选项。
三、实验指导
例1.画出sin x y x
=
的图象，研究当0,x x →→∞时的极限。 输入命令:
>>x=linspace(-30,30,200);
>> y=sin(x)./x;
>> plot(x,y);
>> grid on
>>axis([-30,30,-2,2])
从图上看，当0x →时，1sin →x
x ，当x →∞时，0sin →x x 。x
x y sin =的“振幅”是x
y 1=；画出x y 1±=的图象。
>> hold on;plot(x,1./x,x,-1./x);hold off
例2．求极限n →∞。 可执行以下命令：
>>syms n
>>f=(n^2+n)^(1/3)/(n+2);
>>fn=limit(f,n,inf)
命令的执行结果为：
fn =0
例3．求极限3
0tan sin lim x x x x →-。 可执行以下命令：
>>syms x
>>f=(tan(x)-sin(x))/x^3;
>>limit(f,x,0)
命令的执行结果为：
ans =1/2
例4．研究极限1
lim x x e →。 可执行以下命令：
>>syms x
>>f=exp(1/x);
>>limit(f,x,0)
命令的执行结果为：
ans =NaN 事实上极限10lim x
x e →不存在。下面我们考察左、右极限。 >>syms x
>>f=exp(1/x);
>>limit(f,x,0,'left')
ans =0
>>syms x
>>f=exp(1/x);
>>limit(f,x,0,'right')
ans =inf
左、右极限分别为0，∞，从而极限不存在。
例5．求极限sin 0lim x x x →。
可执行以下命令：
>>syms x
>>f=x^(sin(x));
>>fx=limit(f,x,0)
命令的执行结果为：
fx =1
例6．求极限11230lim 3x x x x
x a a a →??++ ???，其中123,,a a a 为常数。 可执行以下命令：
>>syms a1 a2 a3 x
>>f=((a1^x+a2^x+a3^x)/3)^(1/x);
>>fx=limit(f,x,0)
命令的执行结果为：
fx =a1^(1/3)*a2^(1/3)*a3^(1/3)
例7．研究函数322336
x x x x x +--+-的连续性并画出函数的图形。 >>fplot('(x^3+3*x^2-x-3)/(x^2+x-6)',[-4,5])
由图可知：3x =-是函数的可去间断点，2x =是函数的无穷间断点。 >>limit((x^3+3*x^2-x-3)/(x^2+x-6),x,-3)
ans =-8/5
>>limit((x^3+3*x^2-x-3)/(x^2+x-6),x,2)
ans =NaN
【实验练习】
练习1、求下列极限
（1
）lim n →∞ （2）0sin lim x x x →； （3）1lim(1)x x x
→∞+； （4）01cos lim (1)ln(1)x x x e x →--+； （5）22
lnsin lim (2)x x x ππ→-。 -4-3-2-1012345-500-400
-300
-200
-100
100
200
300
练习2、设1()2x
f x ??= ???
， （1）画出函数()y f x =的图形；（2）求lim ()x f x →+∞，lim ()x f x →-∞，lim ()x f x →∞。 练习3、讨论函数111
2(1),0(),0
x x x x e f x e x -????+ ??>? ?=????
???≤?? 在0x =处的连续性。 练习4、设11,0()ln(1),10
x e
x f x x x -??>=??+-<≤?，求()f x 的间断点并说明间断点的类型，画出函数图形验证你所得出的结论。
高等数学函数的极限与连续习题及答案
1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴ ()12 ++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与() x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1) 1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2 x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．
第二章-极限与连续--基础练习题(含解答)
第二章 极限与连续 基础练习题（作业） §2.1 数列的极限 一、观察并写出下列数列的极限： 1．4682, ,,357 极限为1 2．11111,,,,,2345--极限为0 3．212212?-??=?+???n n n n n n a n 为奇数为偶数极限为1 §2.2 函数的极限 一、画出函数图形，并根据函数图形写出下列函数极限： 1．lim →-∞x x e 极限为零 2．2 lim tan x x π → 无极限 3．lim arctan →-∞ x x 极限为2 π- 4．0 lim ln x x +→ 无极限，趋于-∞ 二、设2221,1()3,121,2x x f x x x x x x +??=-+? ，问当1x →，2x →时，()f x 的极限是否存在？ 211lim ()lim(3)3x x f x x x ++→→=-+=；11 lim ()lim(21)3x x f x x --→→=+= 1 lim () 3.x f x →∴=
222lim ()lim(1)3x x f x x ++→→=-=；222 lim ()lim(3)53x x f x x x --→→=-+=≠ 2 lim ()x f x →∴不存在。 三、设()1 1 1x f x e =+，求 0x →时的左、右极限，并说明0x →时极限是否存在． ()1001lim lim 01x x x f x e ++→→==+ ()1 001 lim lim 11x x x f x e --→→==+ 0 lim ()x f x →∴不存在。 四、试讨论下列函数在0x →时极限是否存在． 1．绝对值函数()||=f x x ，存在极限为零 2．取整函数()[]=f x x 不存在 3．符号函数()sgn =f x x 不存在 §2.3 无穷小量与无穷大量 一、判断对错并说明理由： 1．1sin x x 是无穷小量． 错，无穷小量需相对极限过程而言，在某个极限过程中的无穷小量在其它极限过程中可能不再是无穷小量。当0x →时，1sin 0x x →；当1x →时，1sin sin1x x →不是无穷小量。 2．同一极限过程中两个无穷小量的商，未必是该极限过程中的无穷小量． 对，两个无穷小量的商是“0/0”型未定式，即可能是无穷小量，也可能是无穷大量或其它有极限但极限不为零的变量。 3．无穷大量一定是无界变量，而无界变量未必是无穷大量． 对，无穷大量绝对值无限增大因此一定是无界变量，但无界变量可能是个别点无限增大，变量并不能一致地大于任意给定的正数。 二、下列变量在哪些极限过程中是无穷大量，在哪些极限过程中是无穷小量： 1． 221 x x +-， 2x →-时，或x →∞时，为无穷小量； 1x →时，或1x →-时，为无穷大量。 2．1ln tan x ,k Z ∈
实验二
实验二C++基础实验目的 类定义;类对象使用；类成员变量、成员函数的定义和使用;观察类的组合使用；理解类的作用域;理解类的声明；理解类中 private 和 public 权限；掌握拷贝构造函数的定义和使用;掌握构造函数的重载;掌握析构函数的定义和使用;理解构造函数和析构函数的执行过程 实验过程设计．1.// 试设计一个复数类，该类有实部和虚部两个成员数据，成员数据采用私有访问权限，同时该类有两个共有成员函数,//分别用来设置成员数据和输出成员数据，//在主函数中分别采用对象方式，指针方式和引用方式来调用该类的公有函数设置和输出成员数据。 #include 实验二：极限与连续 第一题：数列极限 In[1]= f[n_]:=Sum[1/j^3,{j,1,n}]; xn=Table[N[f[n],10],{n,30}] Out[1]= {1.000000000,1.125000000,1.162037037,1.177662037,1.185662037,1.190291667,1. 193207119,1.195160244,1.196531986,1.197531986,1.198283300,1.198862004,1.199 317170,1.199681602,1.199977898,1.200222039,1.200425580,1.200597048,1.200742 842,1.200867842,1.200975822,1.201069736,1.201151926,1.201224264,1.201288264 ,1.201345159,1.201395965,1.201441518,1.201482521,1.201519558} In[2]=ListPlot[xn,PlotStyle→PointSize[0.02]] 第二题：递归数列 In[3]=Clear[f]; f[1]=1; f[n_]:=f[n]=N[(f[n-1]+3/f[n-1])/2,20]; fn=Table[f[n],{n,30}] Out[3]= {1,2.00,1.00,1.29,1.05,1.53,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35,1.3 5,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35} In[4]=ListPlot[fn,PlotStyle→PointSize[0.02]] Out[4]= Graphics 第三题：多次自复合 In[5]= Plot[{Sin[x],Nest[Sin,x,5],Nest[Sin,x,10],Nest[Sin,x,30]},{x,-2Pi,2Pi},PlotStyle→{R GBColor[0,0,1],RGBColor[1,1,0],RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,1,0]}] Out[5]= 习题2-1 1.观察下列数列的变化趋势，写出其极限： (1)1n n x n =+； （2)2(1)n n x =--; (3)13(1)n n x n =+-; （4）2 11n x n =-。 解：（1）此数列为12341234,,,,,,23451n n x x x x x n =====+所以lim 1n n x →∞ =。 （2)12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====--所以原数列极限不存在。 （3）1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n =-=+=-=+=+- 所以lim 3n n x →∞ =。 (4)12342111111,1,1,1,,1,4916n x x x x x n =-=-=-=-=-所以lim 1n n x →∞ =- 2.下列说法是否正确： （1)收敛数列一定有界； （2）有界数列一定收敛； （3）无界数列一定发散； （4）极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：（1)正确. （2）错误例如数列{}(-1)n 有界，但它不收敛。 (3）正确。 (4)错误例如数列21(1)n n x n ??=+-???? 极限为1,极限大于零，但是11x =-小于零。 ＊3。用数列极限的精确定义证明下列极限： （1)1 (1)lim 1n n n n -→∞+-=； （2)222lim 11 n n n n →∞-=++; (3）3 23125lim -=-+∞→n n n 证：(1）对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--=-=<，只要1n ε >即可,所以可取正整数1 N ε≥. 因此，0ε?>，1N ε???=???? ,当n N >时，总有1(1)1n n n ε-+--<，所以 实验二类定义、构造函数、静态成员编程实验 实验目的 掌握类的定义方法，构造函数、析构函数、拷贝构造函数，静态成员的使用方法。 进一步熟悉Visual C++的编程环境 实验内容 1.定义一个描述通讯录的类，数据成员包括通信录名称（类静态数据成员），姓 名、单位、电话号码、邮编，成员函数有输出各项数据、分别置各项数据、分别获取各项数据，同时包括构造函数、拷贝构造函数、析构函数，以及获取和修改通信录名称的静态成员函数。 实验要求: （１）通讯录类的定义如下： class COM{ static char COMName[100]; //通讯录名称 char *pname; //姓名 char *punit; //单位 char *pnum; //电话号码 char box[6]; //邮编 public: COM(); COM(char *name,char *unit,char *num,char *b); COM(const COM &p); ~COM(); void print(); void setname(char *name); void setuint(char *unit); void setnum(char *num); void setbox(char *b); char *getname(); char *getuint(); char *getnum(); char *getbox(); static char *getCOMName(); static void setCOMName(char *CName); }; （２）在缺省构造函数中，姓名、单位、电话号码、邮编初始化为空。 （３）在构造函数和拷贝构造函数中都要为pname、punit和pnum动态申请空间，即通过new运算申请空间。 （４）在析构函数中要根据pname、punit和pnum是否占有空间确定是否需要删除空间，如果需要则要用delete运算回收空间。 天水师范学院数学与统计学院 实验报告 实验项目名称极限与连续 所属课程名称数学实验 实验类型上机操作 实验日期 2013-3-22 班级 10数应2班 学号 291010836 姓名吴保石 成绩 【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析） 1．数列极限的概念 通过计算与作图，加深对极限概念的理解． 例2.1 考虑极限3321 lim 51 x n n →∞++ Print[n ，" "，Ai ，" "，0.4－Ai]； For[i=1，i 15，i++，Aii=N[(2i^3+1)/(5i^3+1)，10]； Bii=0.4－Aii ；Print[i ，" "，Aii ，" "，Bii]] 输出为数表 输入 fn=Table[(2n^3+1)/(5n^3+1)，{n ，15}]； ListPlot[fn ，PlotStyle {PointSize[0.02]}] 观察所得散点图，表示数列的点逐渐接近直线y=0 .4 2．递归数列 例2.2 设n n x x x +==+2,211．从初值21=x 出发，可以将数列一项项地计算出来，这样定义的数列称为 数列，输入 f[1]=N[Sqrt[2]，20]； f[n_]:=N[Sqrt[2+f[n-1]]，20]； f[9] 则已经定义了该数列，输入 fn=Table[f[n]，{n ，20}] 得到这个数列的前20项的近似值．再输入 ListPlot[fn ，PlotStyle {PointSize[0.02]}] 得散点图，观察此图，表示数列的点越来越接近直线2y = 例2.3 考虑函数arctan y x =，输入 Plot[ArcTan[x]，{x ，-50，50}] 观察函数值的变化趋势．分别输入 Limit[ArcTan[x]，x Infinity ，Direction +1] Limit[ArcTan[x]，x Infinity ，Direction -1] 输出分别为2 π 和2π-，分别输入 Limit[sign[x]，x 0，Direction +1] Limit[Sign[x]，x 0，Direction －1] 输出分别为-1和1 4．两个重要极限 例2．4 考虑第一个重要极限x x x sin lim 0→ ，输入 Plot[Sin[x]/x ，{x ，－Pi ，Pi}] 观察函数值的变化趋势．输入 Limit[Sin[x]/x ，x 0] 输出为1，结论与图形一致． 例2．5 考虑第二个重要极限1 lim(1)x x x →∞+，输入 Limit[(1+1/n)^n ，n Infinity] 输出为e ．再输入 Plot[(1+1/n)^n ，{n ，1，100}] 观察函数的单调性 5．无穷大 例2．6 考虑无穷大，分别输人 Plot[(1+2x)/(1-x)，{x ，-3，4}] Plot[x^3-x ，{x ，-20，20}] 观察函数值的变化趋势．输入 Limit[(1+2x)/(1-x)，x 1] 输出为-∞ 例2．7 考虑单侧无穷大，分别输人 Plot[E^(1/x)，{x ，-20，20}，PlotRange {-1，4}] Limit[E^(1/x)，x 0，Direction +1] Limit[E^(1/x)，x 0，Direction -1] 输出为图2.8和左极限0，右极限∞．再输入 Limit[E^(1/x)，x 0] 观察函数值的变化趋势． 例2．8 输入 Plot[x+4*Sin[x]，{x ，0，20Pi}] 观察函数值的变化趋势． 输出为图2 .9．观察函数值的变化趋势，当x →∞时，这个函数是无穷大，但是，它并不是单调增加．于是，无并不要求函数单调 例2．9 输入 实验2 类的定义与应用 1、实验目的和要求: 掌握类定义的方法，理解类类型，实例的含义，体会面向对象程序设计中数据隐藏的概念。理解构造函数和析构函数的作用和运行实际，掌握拷贝构造函数的作用。并熟练掌握复杂对象类型的运用。 2、实验内容： （1）定义一个时间类Time,它能提供由时分秒组成的时间。要求能够修改时间和打印出时间。 数据成员：时、分、秒 成员函数： 各种构造函数 析构函数 可以通过函数分别设置时间的各个组成部分 也可以整体设置时间 有一个tick函数，负责给当前时间加1秒钟，然后输出新的时间 要保证测试下列情况： a)递增到下一分钟。 b)递增到下一小时。 c)递增到下一天(即11：59：59PM到12：00：00AM)。 （2）定义并测试日期类Date ，包括私有数据成员year, month, day; 公有成员函数实现以下功能： 各种构造函数 设置时间，并对该时间的有效性进行检测 输出时间，按mm/ dd / yyyy方式打印 判断该日期是一年的第几天 (3) 设计并测试complex类，进行复数的四则运算。包括私有数据成员：real, imag；公有成员函数： Show方法:打印形如(real，imag)的complex值 Set方法: 设置负数的实部和虚部值 get方法：分别获取实部和虚部值 编写一个驱动程序,测试这个类。 class Complex { public: //默认构造函数 //有参构造函数 //复制构造函数 // 析构函数 // 输出复数-5+3i，4 - i 形式的show // 实现四则运算的成员函数 private: double real; //实部 double imag; //虚部 }; (4)定义一个分数类如下，要求实现各个成员函数，并在主函数中测试两个分数的加减乘除等运算。 class Rational{ public: Rational(int nn=1,int mm=1); //构造 Rational R_add(Rational & A); //加 Rational R_sub(Rational & A); //减 void R_mul(Rational & A); //乘 void R_div(Rational & A, Rational &B); //除 void simple( ); //约分 void print(); //以分数形式显示，注意约分 private: 课 时 授 课 计 划 课次序号： 03 一、课 题：§1.3 函数的极限 二、课 型：新授课 三、目的要求：1.理解自变量各种变化趋势下函数极限的概念； 2.了解函数极限的性质． 四、教学重点：自变量各种变化趋势下函数极限的概念． 教学难点：函数极限的精确定义的理解与运用． 五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合． 六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编， 高等教育出版社； 2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社． 七、作业：习题1–3 1（2），2（3），3，6 八、授课记录： 九、授课效果 分析： 第三节 函数的极限 复习 1.数列极限的定义：lim 0,N,N n n n x a n x a εε→∞ =??>?>-<当时，； 2.收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、收敛数列与其子列的关系． 在此基础上，今天我们学习应用上更为广泛的函数的极限． 与数列极限不同的是，对于函数极限来说，其自变量的变化趋势要复杂的多． 一、x →∞时函数的极限 对一般函数y ?f （x ）而言，自变量无限增大时，函数值无限地接近一个常数的情形与数列极限类似，所不同的是，自变量的变化可以是连续的． 定义1 若?ε＞0，?X ＞0，当x ＞X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )?A |<ε），则称x →?∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →+∞ f （x ）?A ． 若?ε＞0，?X ＞0，当x ＜?X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )?A |<ε），则称x →?∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →-∞ f （x ）?A ． 例1 证明lim x 0． 证 0 -，故?ε＞00-＜εε， 即x ＞21 ε．因此，?ε＞0，可取X ?21ε，则当x ＞X 0-＜ε，故由定义1得 lim x ?0． 例2 证明lim 100x x →-∞ =． 证 ?ε＞0，要使100x -?10x ＜ε，只要x ＜l gε．因此可取X ?｜l gε｜?1，当x ＜?X 时，即有｜10x ?0｜＜ε，故由定义1得lim x →+∞ 10x ?0． 定义2 若?ε＞0，?X ＞0，当｜x ｜＞X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )?A |<ε），则称x →∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →∞ f （x ）?A ． 为方便起见，有时也用下列记号来表示上述极限： f （x ）→A （x →?∞）；f （x ）→A （x →?∞）；f （x ）→A （x →∞）． 注 若lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x A f x A →∞→+∞→-∞ ===或或，则称y A =为曲线()y f x =的水 平渐近线． 由定义1、定义2及绝对值性质可得下面的定理． 定理1 lim x →∞f （x ）?A 的充要条件是lim x →+∞f （x ）?lim x →-∞ f （x ）?A ． 例3 证明2lim 1 x x x →∞--?1． 第一章函数与极限 一、对于函数概念要注意以下几点： (1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素：定义域和对应法则。定义域是自变量和因变量能相互联系构成函数关系的条件，无此条件，函数就没意义。对应法则是正确理解函数概念的关键。函数关系不同于一般的依赖关系，“y是x的函数”并不意味着y随x的变化而变化。函数关系也不同于因果关系。例如一昼夜的气温变化与时间变化是函数关系，但时间变化并不是气温变化的实际原因。y=f(x)中的“f”表示从x到y的对应法则，“f”是一个记号，不是一个数，不能把f(x)看作f乘以x。如果函数是用公式给出的，则“f”表示公式里的全部运算。 (2) 函数与函数表达式不同。函数表达式是表示函数的一种形式，表示函数还可以用其他的形式，不要以为函数就是式子。 (3) f(x)与f(a)是有区别的。f(x)是函数的记号，f(a)是函数值的记号，是f(x)当x=a时的函数值。 (4)两个函数，当其定义域相同，对应法则一样时，此二函数才是相同的。 二、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性： 对函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性的学习应注意以下几点： (1) 并不是函数都具有这些特性，而是在研究函数时，常要研究函数是否具有这些特性。 (2) 函数是否“有界”或“单调”，与所论区间有关系。 (3) 具有奇、偶性的函数，其定义域是关于原点对称的。如果f(x)是奇函数，则f(0)=0。存在着既是奇函数，又是偶函数的函数，例f(x)=0。f(x)+f(-x)=0是判别f(x)是否为奇函数的有效方法。 (4) 周期函数的周期通常是指其最小正周期，但不是任何周期函数都有最小周期。 函数的连续性 分段函数的极限和连续性 例 设???????<<=<<=) 21( 1)1( 21 )10( )(x x x x x f （1）求）x f (在点1=x 处的左、右极限，函数）x f (在点1=x 处是否有极限？ （2）函数）x f (在点1=x 处是否连续？ （3）确定函数）x f (的连续区间． 分析：对于函数）x f (在给定点0x 处的连续性，关键是判断函数当0x x →时的极限是否等于)(0x f ；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续． 解：（1）1lim )(lim 1 1 ==- - →→x x f x x 11lim )(lim 1 1 ==++→→x x x f ∴1)(lim 1 =→x f x 函数）x f (在点1=x 处有极限． （2）)(lim 2 1)1(1 x f f x →≠= 函数）x f (在点1=x 处不连续． （3）函数）x f (的连续区间是（0，1），（1，2）． 说明：不能错误地认为)1(f 存在，则）x f (在1=x 处就连续．求分段函数在分界点0x 的左右极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同．只有)(lim ),(lim )(lim 0 x f x f x f x x x x x x →→→+ - =才存在． 函数的图象及连续性 例 已知函数2 4)(2 +-= x x x f ， （1）求）x f (的定义域，并作出函数的图象； （2）求）x f (的不连续点0x ； （3）对）x f (补充定义，使其是R 上的连续函数． 分析：函数）x f (是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x 的取值范围，给函数）x f (补充定义，使其在R 上是连续函数，一般是先求)(lim 0 x f x x →，再让)(lim )(0 0x f x f x x →=即可． 解：（1）当02≠+x 时，有2-≠x ． 因此，函数的定义域是()()+∞--∞-,22, 当2≠x 时，.22 4)(2 -=+-=x x x x f 其图象如下图． （2）由定义域知，函数）x f (的不连续点是20-=x ． （3）因为当2≠x 时，2)(-=x x f 所以4)2(lim )(lim 2 2 -=-=-→-→x x f x x 因此，将）x f (的表达式改写为 ?? ? ??-=--≠+-=)2(4)2(2 4 )(2x x x x x f 则函数）x f (在R 上是连续函数． 说明：要作分式函数的图象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象，特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致． 利用函数图象判定方程是否存在实数根 例 利用连续函数的图象特征，判定方程01523 =+-x x 是否存在实数根． 实验二类与对象㈡——对象初始化、对象数据与指针 一、实验目的 1．理解构造函数、析构函数的意义及作用，掌握构造函数、析构函数的定义及调用时间，熟悉构造函数的种类； 2．理解this指针及使用方法，熟悉对象数组、对象指针、对象引用的定义及使用方法，熟悉对象作为函数参数的使用方法； 3．熟悉类与对象的应用及编程。 二、实验学时 课内实验：2课时课外练习：2课时 三本实验涉及的新知识 ㈠构造函数与析构函数 在C++中，提供了两个特殊的成员函数，即构造函数和析构函数。 构造函数用于对象的初始化，即在定义一个类对象时，计算机在给对象分配相应的存储单元的同时，为对象的数据成员赋初值。 析构执行的是与构造函数相反的操作，用于撤销对象的同时释放对象所占用的内存空间。 1．构造函数 ⑴构造函数的定义 格式： 类名（形参表） { 构造函数体} ⑵构造函数的调用 构造函数的调用是在定义对象时调用的。 格式：类名对象名（实参表）; 类名对象名=构造函数名（实参表）; ⑶说明 ①构造函数必须与类同名。 ②构造函数没有返回值，但不能在构造函数前加void类型符（其他没有返回值的成员函数必须加类型符void）。 ③在实际应用中，在定义类时通常应定义一至多个构造函数(重载)，以对各数据成员进行初始化；如果不给出构造函数，系统将自定义一个构造函数。 ④构造函数可以可以带参数，也可不带任何参数（称无参构选函数），还可以使用缺省参数。 ⑤不能象普通成员函数一样单独调用。 2．析构函数 ⑴析构函数的定义 格式： ~类名（void） { 析构函数体} ⑵析构函数的调用 析构函数是在撤销对象时自动调用的。 ⑶说明 课 题：2.3函数的极限(二) 教学目的： 1.理解函数在一点处的极限，并会求函数在一点处的极限． 2.已知函数的左、右极限，会求函数在一点处的左右极限． 3.理解函数在一点处的极限与左右极限的关系教学重点：掌握当0x x →时函数的极限 教学难点：对“0x x ≠时，当0x x →时函数的极限的概念”的理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 上节课我们学习了当x 趋向于∞即x →∞时函数f (x )的极限.当x 趋向于∞时，函数f (x )的值就无限趋近于某个常数a .我们可以把∞看成数轴上的一个特殊的点.那么如果对于数轴上的一般的点x 0，当x 趋向于x 0时，函数f (x )的值是否会趋近于某个常数a 呢？ 教学过程： 一、复习引入： 1.数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞ =，读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等 于a ”“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思n a a →∞ =有 时也记作：当n →∞时，n a →a ． 2.几个重要极限： （1）01 lim =∞→n n （2）C C n =∞ →lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{n q （1 习题2-1 1. 观察下列数列的变化趋势，写出其极限： (1) 1 n n x n = + ; (2) 2(1)n n x =--； (3) 13(1)n n x n =+-； (4) 211n x n =-. 解：(1) 此数列为12341234,,,,,,23451 n n x x x x x n =====+L L 所以lim 1n n x →∞=。 (2) 12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====--L L 所以原数列极限不存在。 (3) 1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n =-=+=-=+=+-L L 所以lim 3n n x →∞ =。 (4) 123421111 11,1,1,1,,1,4916n x x x x x n =-= -=-=-=-L L 所以lim 1n n x →∞=- 2.下列说法是否正确： (1)收敛数列一定有界 ; (2)有界数列一定收敛； (3)无界数列一定发散； (4)极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：(1) 正确。 (2) 错误 例如数列{} (-1)n 有界，但它不收敛。 (3) 正确。 (4) 错误 例如数列21(1) n n x n ?? =+-??? ? 极限为1，极限大于零，但是11x =-小于零。 *3.用数列极限的精确定义证明下列极限： (1) 1 (1)lim 1n n n n -→∞+-=; (2) 22 2 lim 11 n n n n →∞-=++； (3) 3 2 3125lim -=-+∞→n n n 证：(1) 对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--= -=<，只要1 n ε >即可，所以可取正整数1 N ε ≥ . 因此，0ε?>，1N ε?? ?=???? ，当n N >时，总有 1(1)1n n n ε-+--<，所以 实验二类与对象 实验目的和要求 1．掌握类、类的数据成员、类的成员函数的定义方式。 2．理解类成员的访问控制方式。 3．掌握对象的定义和操作对象的方法。 4．理解构造函数和析构函数的定义与执行过程。 5．掌握重载构造函数的方法。 6．了解拷贝构造函数的定义方法。 实验内容 1．下面程序中有错，在不删除和增加代码行的情况下，改正错误语句，使其正确运行。#include （1） #include 函数的极限 教学目标：1、使学生掌握当0x x →时函数的极限； 2、了解：A x f x x =→)(lim 0 的充分必要条件是 A x f x f x x x x ==- +→→)(lim )(lim 0 教学重点：掌握当0x x →时函数的极限 教学难点：对“0x x ≠时，当0x x →时函数的极限的概念”的理解。 教学过程： 一、复习： （1）=∞→n n q lim ＿＿＿＿＿1 当x 无限趋近于1（1≠x ）时的变化趋势； 函数的极限有概念：当自变量x 无限趋近于 0x （0x x ≠）时，如果函数)(x f y =无限趋近于 一个常数A ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是A ，记作A x f x x =→)(lim 0 。 特别地，C C x x =→0 lim ； lim x x x x =→ 三、例题 求下列函数在X ＝0处的极限 （1）121 lim 220---→x x x x （2）x x x 0lim → （3）=)(x f 0,10 ,00 ,22<+=>x x x x x 四、小结：函数极限存在的条件；如何求函数的极限。 五、练习及作业： 1、对于函数12+=x y 填写下表，并画出函数的图象，观察当x 无限趋近于1时的变化趋势，说出当1→x 时函数12+=x y 的极限 2、对于函数 12 -=x y 填写下表，并画出函数的图象，观察当x 无限趋近于3时的变化趋势，说出当3→x 时函数 12 -=x y 的极限 考研数学高数公式:函数与极限 第一章:函数与极限 第一节:函数 函数属于初等数学的预备知识,在高数的学习中起到铺垫作用,直接考察的内容比较少,但是如果这章节有所缺陷对以后的学习都会有所影响。 基础阶段: 1.理解函数的概念,能在实际问题的背景下建立函数关系; 2.掌握并会计算函数的定义域、值域和解析式; 3.了解并会判断函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等性质; 4.理解复合函数和反函数的概念,并会应用它们解决相关的问题; 强化阶段: 1.了解函数的不同表现形式:显式表示,隐式表示,参数式,分段表示; 2.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。 冲刺阶段: 1.综合应用函数解决相关的问题; 2.掌握特殊形式的函数(含极限的函数,导函数,变上限积分,并会讨论它们的相关性质。 第二节:极限 极限可以说是高等数学的基础,极限的计算也是高等数学中最基本的运算。在考试大纲中明确要求考生熟练掌握的基本技能之一。虽在考试中站的分值不大。但是在其他的试题中得到广泛应用。因此这部分学习直接营销到整个学科的复习结果 基础阶段 1.了解极限的概念及其主要的性质。 2.会计算一些简单的极限。 3.了解无穷大量与无穷小量的关系,了解无穷小量的比较方法,记住常见的等价无穷小量。 强化阶段: 1.理解极限的概念,理解函数左右极限的概念及其与极限的关系(数一数二/了解数列 极限和函数极限的概念(数三; ▲2.掌握计算极限的常用方法及理论(极限的性质,极限的四则运算法则,极限存在的两个准则,两个重要极限,等价无穷小替换,洛必达法则,泰勒公式; 3.会解决与极限的计算相关的问题(确定极限中的参数; 4.理解无穷大量和无穷小量的概念及相互关系,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用(数一数二/理解无穷小量的概念,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用,了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系(数三。 冲刺阶段: 深入理解极限理论在微积分中的中心地位,理解高等数学中其它运算(求导,求积分与极限之间的关系,建立完整的理论体系。 计算机科学系实验报告 课程名 称计算机图形学班 级12网络2 实验名称VC存取BMP图像及其几何变 换 教导教 师吴志攀 姓名李文森学号1214080613213 日 期2014 .11.21 一、实验目的 1. 掌握VC中BMP图像的存取方法； 2. 掌握BMP图像平移、旋转、变比等几何变换。 二、实验设备与环境 TC2.0，Windows XP 三、实验内容、程序清单及运行结果 1.打开VC++ 6.0，选择File|New进入界面。在Projects中选择MFC AppWinzard(exe)，在Project name中输入项目名称，本例为ReadBMP，在Location中输入项目要保存的文件夹。点击“OK”进入下一步。如下图2－1所示。 图2－1 2.选择文档类型。在本例中使用的是单文档视图结构，所以这里选择Single document。其余部分设置使用VC++ 6.0的默认设置，点击“Finish”完成项目创建。如下图2－2所示： 图2－2 3.为了将BMP中的数据读入到内存中，在项目中导入专门处理BMP文件头和数据的文件：DIBAPI.H和DIBAPI.CPP，在其中实现对BMP文件的大部分处理。 在工作区“FileView”选项卡的“Header Files”中点右键，在“添加文件到目录”添加“DIBAPI.H”文件。如下图2－3所示： 图2－3 在工作区“FileView”选项卡的“Source Files”中点右键，在“添加文件到目录”添加“DIBAPI.CPP”文件。 并在“ReadBMPDoc.h”添加头文件"dibapi.h"，如下所示： #include "dibapi.h" 4．在CReadBMPDoc类中添加保护成员变量CPalette* m_palDIB，HDIB m_hDIB和CSize m_sizeDoc。m_hDIB用于保存当前BMP图像句柄，m_palDIB用于指向BMP图像对应的调色板。 protected: HDIB m_hDIB; CPalette* m_palDIB; CSize m_sizeDoc; 5.为了取得保存在当前文档中的HDIB和Palette数据，在“ReadBMPDoc.h”的CReadBMPDoc类中添加方法：GetHDIB，GetDocPalette和GDocSize。如下所示：// Attributes public: HDIB GetHDIB() const { return m_hDIB; } CPalette* GetDocPalette() const { return m_palDIB; } CSize GetDocSize() const { return m_sizeDoc; } 在CReadBMPDoc.cpp的构造函数中初始化： // 初始化变量 m_hDIB = NULL; m_palDIB = NULL; m_sizeDoc = CSize(1,1); 6.响应类CReadBMPDoc OnOpenDocument事件，以实现打开文件的操作。 从View|ClassWizard进入MFC ClassWizard界面，在Message Maps选项中完成消息映射。下图2－4所示： 设 f ( x ) 2 x ， 求 f ( x ) 的 定 义 域 及 值 域 。 1 x 设 f ( x) 对一切实数 x 1， x 2 成立 f ( x 1 x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 )，且 f (0 ) 0， f (1) a ， 求 f (0 )及 f ( n)．(n 为正整数 ) 定 义 函 数 I ( x) 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 叫 做 x 的 取 整 函 数 ，若 f ( x) 表 示 将 x 之 值 保 留 二 位小数，小数第 3 位起以后所有数全部舍去，试用 表 示 f ( x) 。 I ( x) 定 义 函 数 I ( x) 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 叫 做 x 的 取 整 函 数 ，若 g ( x) 表 示 将 x 依 4 舍 5 入 法 则 保 留 2 位 小 数 ， 试 用 I ( x) 表 示 g ( x) 。 在某零售报摊上每份报纸的进价为 0.25 元，而零售价为 0.40 元，并且如果报纸当天未售 出 不 能 退 给 报 社 ，只 好 亏 本 。若 每 天 进 报 纸 t 份 ，而 销 售 量 为 x 份 ，试 将 报 摊 的 利 润 y 表 示 为 x 的函数。 定义函数 I ( x)表示不超过 x 的最大整数叫做 x 的取整函数，试判定 ( x) x I ( x )的周期性。 判定函数 x x ln( 1 x x )的奇偶性。 f ( x ) ( e 1) 设 f ( x ) e x sin x ， 问 在 0 ， 上 f ( x ) 是 否 有 界 ？ 函 数 y f ( x ) 的 图 形 是 图 中 所 示 的 折 线 O BA ， 写 出 y f ( x) 的 表 达 式 。 x 2 ， 0 x ； x ， x ； 设 f ( x) 2 ( x) 0 4 求 f ( x ) 及f ( x ) ． x x 4 x x ， ． ， ． 2 2 2 4 6 设 f ( x ) 1， x 0 ； ( x ) 2 x 1， 求 f ( x ) 及 f ( x) ． 1 ， x 0 ． e x ， x ； 0 ， x 0 ； 设 f ( x ) 求 f ( x )的反函数 g ( x ) 及 f ( x ) ． x x ( x) x 2， x 0 ， ． ． 1 x ) ， ( x ) x ， x 0 ； 求 f ( x ) ． 设 f ( x )( x x 2 ， x 2 0 ． 2 x ， x 0 ； 求 f f ( x ) 设 f ( x ) x 0． ． 2 ， 0 ， x ； x ， x ； ( x ) 求 f ( x) ( x )． 设 f ( x ) x ， x 0 ． x ， x ． 1数学实验二_极限与连续
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