一元二次方程组
第八章《二元一次方程组》全章教材分析
一、教材内容
本章主要内容包括：二元一次方程组及相关概念，消元思想和代入法、加减法解二元一次方程组，三元一次方程组解法举例，二元一次方程组的应用。
教材首先从一个篮球联赛中的问题入手，归纳出二元一次方程组及解的概念，并估算简单的二元一次方程（组）的解。接着，以消元思想为基础，依次讨论了解二元一次方程组的常用方法——代入法和消元法。然后，选择了三个具有一定综合性的问题：“牛饲料问题”“种植计划问题”“成本与产出问题”，将贯穿全章的实际问题提高到一个新的高度。最后，通过举例介绍了三元一次方程组的解法，使消元的思想得到了充分的体现。
二、教学目标
（一）知识与技能目标
1、了解二元一次方程组及相关概念，能设两个未知数，并列方程组表示实际问题
中的两种相关的等量关系；2、掌握二元一次方程组的代入法和消元法，能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法；3、了解三元一次方程组的解法；4、学会运用二（三）元一次方程组解决实际问题，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力。
（二）过程与方法目标
1、以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关糸，设未知数，列方程，解方程和检验结果”，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的数学模型。
2、在把二元一次方程组转化为x=a,y=b的形式的过程中，体会“消元”的思想。（三）情感、态度与价值观〕
通过探究实际问题，进一步认识利用二元一次方程组解决问题的基本过程，体会数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力。
三、重点、难点
重点：二元一次方程组及相关概念，消元思想和代入法、加减法解二元一次方程组，利用二元一次方程组解决实际问题；
难点：以方程组为工具分析问题、解决含有多个未知数的问题。
四、课时划分建议
本章共12课时：二元一次方程（组）1课时，消元思想3课时，应用方程组解决实际问题2课时，三元一次方程组2课时，复习1课时，单元检测2课时，讲评1课时。
第一课时二元一次方程（组）
●教学内容：
人教版七年级下册第八章二元一次方程组的第一节。
●教学目标：
1、理解二元一次方程（组）及二元一次方程（组）的解的概念；
2、能判断一个方程组是否是二元一次方程组
3、学会求出某二元一次方程的几个解和检验某对数值是否为二元一次方程（组）的解；
4、 学会把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的一次式来表示。 ●教学重点、难点：
重点：二元一次方程（组）的意义及二元一次方程（组）的解的概念
难点：
1、二元一次方程组节含义
2、把一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数
的形式，其实质是解一个含有字母系数的方程。
●教学过程：
一、创设情境，引入新知
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得一分，
某队想在全部22场比赛中得到40分，这个对胜负场数分别是多少？
法一：可列一元一次方程来解（详细过程略）
法二：可否设胜负场数分别为x 场、y 场，那么x 、y 应同时满足以下两个
方程x+y=22 2x+y=40
二、探索新知
1）二元一次方程的意义
这两个方程是我们学过的一元一次方程吗？
由一名学生来阐述什么叫做一元一次方程，它的特征有哪些？
含有一个未知数并且未知数的次数为一次的整式方程叫一元一次方程，它的
特征有三个：
①含有一个未知数；
②未知数的次数是一次；
③方程两边都是整式。
与一元一次方程的特征作比较，上述两个方程具有怎样的特征呢？
①含有两个未知数；
②未知项的次数是一次；
③方程两边都是整式。
得出概念：含有两个未知数,并且未知项的次数都是一次的整式方程叫做二元一次方程（关键词两个未知数，未知项的次数，一次，整式方程）
练习：
请你判断下列式子是否为二元一次方程？
(1) x-2y=8;(2) x 2+y=0;(3) x=2/y+1;(4) a+1/2b ；(5) xy+y=2;
(6)x/3 +2y=0.
2）二元一次方程的解
以x+y=22为例探索满足此方程的未知数值有无数对，从而得出二元一次方程的解的概念：使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值叫做二元一次方程的一个解
同时强调二元一次方程解的书写格式???==5.215.0Y X ,???=-=242Y X ,???==15
7Y X … 一般地一个二元一次方程有无数解（同时探索求解方法：用含一个未知数的
代数式表示另一未知数）
此二元一次方程的正整数解有???==211y x ，?
??==202y x 。。。???==121y x 共21个。 3）二元一次方程组
上在一起成为???=+=+40
222y x y x
述问题中，x 、y 必须同时满足两个方程x+y=22 和 2x+y=40，把这两个方
程合写含有两个未知数且未知项的次数均为一两个整式方程合在一起，就组成二元一次方程组。
比如???==85y x ，???-=+=65312b a a ，?
??=+-=-2063372y x y x 等都是二元一次方程组，但???=+=263y x xy ，???+==+z y y x 792，??
???=-=x y y x 232 等不是二元一次方程组（你们知道为什么吗？） 4）二元一次方程组的解
上述问题通过解一元一次方程可知x=18 22-x=4，即???==4
18y x 既满足方程x+y=22
又满足方程2x+y=40，所以我们就说???==418y x 是方程组?
??=+=+40222y x y x 的解。 使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．
例题 判断下列各组未知数的知是不是二元一次方程组的解．
（1）???=+=+40222y x y x (???==175y x ,???==2010y x ,?
??==418y x ) （2）???-==???=-=95(1925y x y x x ,???==295y x ,???==9
5y x ) (3)???=-=+108y x y x (???==53y x ,???==,111y x ,???-==1
9x x ) 一般地，一个二元一次方程组只有一个解。
三、尝试反馈，巩固知识
1）写出二元一次方程5x －y=2的五个解＿
2）已知二元一次方程3x-y=10，用x 代数式表示y=＿；当x=6时，y =＿。 用含y 的代数式表示x=＿；当y=2时，x=＿
3）3x+y=10自然数解有＿
4）???==53y x ,???==,111y x ,???-==19x x 中为方程组???=-=+10
8y x y x 的解的是＿
5）书上94页练习题
6）书上95页习题8.1第1题
四、课堂小结，思想升华
我们今天学习了二元一次方程，二元一次方程组的概念，二元一次方程的解，
二元一次方程组的解的定义和判断方法，学习了二元一次方程特殊解的求法，学会了怎样用含一个未知数的代数式表示另一未知数的方法。但是，我们也遇到了一个困惑，那就是二元一次方程组的解我们是用尝试法来判断的，是否有更简洁的方法来求它的解呢？这就是后几节课我们要学习的内容。
五、作业；必做95页2、3、4 选作5
第二课时 二元一次方程组的解法——代入消元法 ●教学内容
人教版七年级下第八章二元一次方程组第二节
●教学目标 1、会用代入法解二元一次方程组
2、初步体会解二元一次方程组的基本思想——消元
3、通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探索精神
● 教学重点、难点
重点：用代入法解二元一次方程组
难点：探索如何用代入法将二元转化为一元的消元过程
● 教学过程
一、 提出问题，探究方法
问题：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得
一分，某队想在全部22场比赛中得到40分，这个队胜负场数分别是多少？ 法一：可列一元一次方程来解 法二：可列二元一次方程组来解
解:设这个队胜了x 场， 解：设这个队胜场数分别为x 场，
则负了（22-x ）场，由题意的得 负了y 场，由题意得
2x+（22-x ）=40（以下略）???←-=x
y 22 ???=+=+40222y x y x
二、代入法解二元一次方程组的一般步骤
???=+=+)
2(402)1(22y x y x 解：由（1）得y=22-x (3) 。。。。。选择变形
把（3）代入（2）得
2x+(22-x)=40 。。。。。。代入消元
解得x=18 。。。。。。。解一元方程
把x=18代入（3）得y=4 。。。。。返代求值
∴???==4
18y x 。。。。。。。规范写解 师生一起归纳代入消元法的一般步骤并强调注意事项：选择一个系数较为简单的方程变形，将变形后的式子代入另一个方程得一个一元一次方程，解这个一元一次方程（不需详细步骤），将一元一次方程的解代入（3）求出另一未知数的值（代入（1）（2）也可，但代入（3）往往要简便些），然后规范写解。
三、 尝试练习
第三课时二元一次方程组的解法——加减消元法
●教学内容
人教版七年级下第八章二元一次方程组第二节
●教学目标
1、会用加减法解二元一次方程组
2、进一步体会解二元一次方程组的基本思想——消元
3、通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探索精神
●教学重点、难点
重点：用加减法解二元一次方程组
难点：探索如何用加减法将二元转化为一元的消元过程
●教学过程
一、提出问题，探究方法
观察下列方程组中同一未知数系数之间的关系并思考新的消元方法
（1）?
??=+=+)2(402)1(22y x y x 因为两个方程中y 的系数相同，故由（1）-（2）可消y （也可由（2）-（1）消y ）
（2）???=-=+)
2(81015)1(6.3104y x y x 因为两个方程中y 的系数互为相反数，故由（1）+（2）可消y
归纳：两个二元一次方程中同一未知数的系数互为相反数或相同，把这两个方程两边分别相加或相减，就可消去这个未知数，得到一个一元一次方程，
这种方法叫加减消元法，简称加减法
（3）?
??=-=+)2(325)1(1643y x y x 因为方程组中y 的系数成整数倍关系，故可由（1）+（2）×2消y
（4）???=-=+)
2(3365)1(1643y x y x 首先要将方程组中的同一未知数系数化成相同或互为相
反数，故可由（1）×3+（2）×2消y ，也可可由（1）×5-（2）×3消x.
二、加减法的一般步骤
详细板书解上述5个方程组的过程，然后师生一起归纳加减法的一般步
骤：观察方程组中同一未知数系数之间的关系，若有同一未知数的系数相同或互为相反数可直接把这两个方程两边分别相加或相减，就可消去一个未知数，得到一个一元一次方程，若没有同一未知数相同或互为相反数，可把方程组先变形化成有同一未知数（一般选择系数较为简单的那个未知数）相同或互为相反数的情形，再用加减法消去一个未知数化成一元一次方程，然后解一元一次方程，再返代求另一未知数的值，最后规范写解。即变形→加减消元→解一元方程→返代求值→规范写解
三、尝试练习
1、用加减法解下列方程组
（1）???-=-=+12392y x y x （2）???=+=+15432525y x y x （3）???=+=+523852y x y x （4）???-=-=+2
23632y x y x
思考：如何解下列方程组
四、 归纳小结本节内容、方法、注意事项
五、 作业 必做103也习题8.2第3题、8题 选做9题
第四课时二元一次方程组的解法
道南中学毛治平（中学数学高级）
●教学内容
人教版七年级下第八章二元一次方程组第二节
●教学目标
1、会合理选择方法解二元一次方程组
2、进一步体会解二元一次方程组的基本思想——消元
3、通过研究解决问题的方法，培养学生观察分析能力、逆向思维能力和探索精神
● 教学重点、难点
重点：选择恰当方法解二元一次方程组
难点：方程组特点的观察，解法的选择
● 教学过程
一、 复习引入
1、 解二元一次方程组有哪几种方法?
2、观察下列方程组特点，选择合理方法解下列方程组
（1）???=+=+2.54.22.35.12y x y x (代入法)（2）?
??=+=-95375y x y x （加减法）
（3）???=-=+5231284y x y x （加减法）（4）?
??=+-=2923523y x y x （整体代入法、加减法均可） （5）???=+=-9
73265y x y x （加减法）
二、新课
1、师生一道探讨上述方程组的解法，然后归纳得出：当方程组中某一个未知数的系数绝对值是1或一个方程的常数项为零时，用代入法较方便；当两个方程中，同一个未知数的系数绝对值相等或成整倍数时，用加减法较方便。
2、用适当方法解下列各方程组：
（1）???=+=-44
7305y x y x （加减法、代入法均可）
（2）??
???=-+-+-32250)25(2)12(3y x y x （先整理，再选择方法） （3）??????=+=+00725000080605000
0y x y x （先整理，再选择） （4）?????=--+=-++2
)(5)(4632y x y x y x y x （整体考虑） 比较复杂的方程组，可先整理，再选择恰当解法。对于特殊的方程组，可采取特殊的一些解法：整体代入、整体考虑等
4、已知︱x+y ︱+(x-y+3)2＝0，则x 、y 的值分别是＿＿＿
5、若方程组?
??=-=+5971665y x y x 的解是方程2x 2+2mxy+y 2＝16的一个解，则m 的值是＿＿＿
6、思考题：若方程组?
??=+=+c y ax y x 27无解，则a ，c 的取值情况是＿＿＿，若有无数个解，则a ，c 的取值情况是＿＿＿。（此题要讲清理由并由此得出一般性的结论） 三、归纳小结
除题目明确要求解法外，我们要能做到熟练而灵活地解方程组，就必须要仔细观察方程组特点，选择恰当的处理方式和解法，这样做不但较为简便，快捷，还能减少运算量，确保准确性，这还需要同学们在平时的学习中精心思考、不断总结、用心领悟！
四、作业
必做题
第五、六课时实际问题与二元一次方程组
●教学内容
人教版七年级下第八章二元一次方程组第三节
●教学目标
1、使学生能利用列二元一次方程组解决有关实际问题
2、使学生通过问题解决掌握列方程组解应用题的一般步骤。
3、培养学生分析问题、解决问题的能力与合作意识、探索精神
利用列二元一次方程组解决有关实际问题
利用列二元一次方程组解决有关实际问题
●教学重点、难点
重点：利用列二元一次方程组解决有关实际问题
难点：方程思想与分析、解决问题能力的培养
●教学过程
一、引入
1、在上学期我们经历了列一元一次方程解决有关实际问题，一般步骤有哪
些？需注意哪些问题？
2、（书上105页探索1）养牛场原有大牛30只，小牛15只，每天约用饲料
675㎏，后来又购进大牛12只，小牛5只，这时每天约用饲料940㎏.饲养员李大叔估计每只大牛1天约需饲料18～20㎏，每只小牛1天约需饲料7～8㎏。
你能通过计算检验他的估计吗？
方法一：列一元一次方程来解
方法二：列二元一次方程组来解
（通过板书对比两种解决办法的简便程度）
二、新课
1、由上得出：一般说来，列方程组比列一次方程解应用题要简便一些。
2、（书上106页探索2）甲乙两种作物的单位面积产量比为1：1.5，现有一长方形地长200米，宽100米，怎样划分为两块小长方形地，分种甲乙作物，使它们的总产量之比为3：4（结果取整数）？
（有两种方法）
3、（书上106页探索3）
4、归纳列列二元一次方程组的一般步骤及注意事项：仔细审题后设恰当的未
知数（有时需设间接未知数），找出题中涉及全局两个相等关系列两个二元一次方程组成方程组，解出这个方程组，再检验解的合理性，最后作答。简而言之就是审→找、列→解→验→答
三、尝试练习
书上108页习题8.3第1、2、3题
四、归纳小结
列二元一次方程组的一般步骤及注意事项
五、作业
必做书上108页习题8.3第4、5、6、7
选作书上108页习题8.3第8、9
第七、八课时三元一次方程组及解法举例
●教学内容
人教版七年级下第八章二元一次方程组第四节
●教学目标
1、使学生了解三元一次方程、三元一次方程组的概念
2、使学生通过问题解决，掌握三元一次方程组的解法，进一步体会消元思想
3、培养学生分析问题、解决问题的能力与合作意识、探索精神
●教学重点、难点
重点：三元一次方程组的解法
难点：根据方程组特点消元方法、转化思想的研究与运用
● 教学过程
一、 引入
1、小明手里有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中，
1元纸币的张数是2元纸币张数的4倍，求1元、2元、5元的纸币各多少
张？
分析：设1元、2元、5元的纸币张数分别为x 、y 、z ，可得x+y+z=12,x+2y+5z=22，
x=4y 三个方程，合写在一起??
???==++=++y x z y x z y x 4225212从而得出三元一次方程和三元一
次方程组的概念。
只含三个未知数，并且未知项次数为均为1的整式方程叫三元一次方程。含三个相同未知数，且未知项次数为1的三个方程组成三元一次方程组。
2、回忆二元一次方程组的消元方法，转化思想，从而引出三元一次方程组的
解法研究。
二、 三元一次方程组的解法研究
探索1、??
???==++=++)3(4)2(2252)1(12y x z y x z y x
法一：代入法 法二：加减法
把（3）代入（1）得 由（1）×5得
5y+z=12(4) 5x+5y+5z=60(4)
把（3）代入（2）得 由（4）-（2）得
6y+5z=22(5) 4x+3y=38(5)
解由（4）（5）组成的方程组 解由（3）（5）组成的方组
???=+=+2256125z y z y 得???==22z y ???=+=38344y x y x 得???==2
8y x
把y=2代入（3）得x=8 把x=8 y=2代入（1）得z=2
∴?????===228z y x ∴??
???===228z y x
探索2、??
???=+-=++=+)3(8795)2(932)1(743z y x z y x z x
分析：可由方程（2）（3）消y 得方程（4），然后解由（1）（4）组成的方程组得x 、z 的值，然后将x 、z 的值代入（2）或（3）都可以求y ，最后得方程组的解。 探索3、（书上113页例2）
分析：由题意得??
???=++=++=+-)3(60525)2(324)1(0c b a c b a c b a
法一：可用代入法 法二：可用加减法（消a 要简便些）：两两结合，
消同一未知数
三、 练习
1、解下列方程组
1)?????=+=--=-472392x z z y y x 2)??
???=++=-+=+-6123243z y x z y x z y x
3)?????=+=+=+765X Z Z Y Y X 4)??
???=++==664:5:2:3:z y x z y y x 2、书上114页练习题2
四、归纳小结
本节课学习了三元一次方程和三元一次方程组的概念，利用转化思想消元方法解三元一次方程组（充分分析方程组特点是前提，在此基础上才能恰当灵活选择消元方法），当然，有些问题我们也可以转化为三元一次方程组来解决。三元一次方程组→二元一次方程组→一元一次方程
五、作业
必做题 书上114页习题8.4第1、2题
选做题书上114页习题8.4第3、5题
建议：在第八课时可抽点时间给学生简单补充二元一次方程组的图像解法
第九、十课时 《二元一次方程组》复习课
●教学目标
1、复习梳理知识脉络，形成知识网络
2、通过问题解决，进一步体会数学思想方法及其运用
3、培养学生运用所学知识、方法综合分析问题、解决问题的能力●教学重点、难点
重点：知识网络的形成，数学思想、方法的体会和运用
难点：运用所学知识、方法综合分析问题、解决问题能力培养
● 教学过程
一、 知识梳理
?????????考虑、整体代入等化、消元、换元，整体主要数学思想方法：转
关问题运用一次方程组解决有念及其解的含义三元一次方程（组）概
二元一次方程组的解法念及其解的含义二元一次方程（组）概 二、 主要题型、方法
1、判断方程（组）是否是二元一次方程（组）
2、会熟练将二元一次方程变形为用含一个未知数的代数式表示另一未知数。
3、二元一次方程解的判断、特殊解的求法
4、二元一次方程组解的判断，解二元一次方程组
5、解三元一次方程组
6、利用一次方程组解决有关问题（实际问题、求值等）
三、 处理复习题8
建议1、2、6、7、8、9、10、11大题作为课堂练习，时间允许教师可根
据本班学生实际适当补充一些练习题。
四、作业
必做题3、4、5
(完整版)一元二次方程知识点及其应用
一、相关知识点 1．理解并掌握一元二次方程的意义 未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式； 2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数 （1）明确只有当二次项系数0≠a 时，整式方程02 =++c bx ax 才是一元二次方程。 （2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). （3）熟练整理方程的过程 3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4．列出实际问题的一元二次方程 二．解法 1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解； 2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3．体会不同解法的相互的联系； 4．值得注意的几个问题： (1)开平方法：对于形如n x =2 或)0()(2 ≠=+a n b ax 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未 知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如n x =2 的方程的解法： 当0>n 时，n x ±=; 当0=n 时，021==x x ; 当0
一元二次方程的解法详细解析
一元二次方程的解法详细解析 【一元二次方程要点综述】：【要点综述】：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是学生今后学习数学的基础。在没讲一元二次方程的解法之前，先说明一下它与一元一次方程区别。根据定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：。一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理，如能整理为的形式，那么这个方程就是一元二次方程。下面再讲一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”，将它化为两个一元一次方程。一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。如下表：方法适合方程类型注意事项直接开平方法≥0时有解，＜0时无解。配方法二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方。公式法≥0时，方程有解；＜0时，方程无解。先化为一般形式再用公式。因式分解法方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的积。方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式。【举例解析】例1：已知，解关于的方程。分析：注意满足的的值将使原方程成为哪一类方程。解：由得：或，当时，原方程为，即，解得.当时，原方程为，即，解得，.说明：由本题可见，只有项系数不为0，且为最高次项时，方程才
是一元二次方程，才能使用一元二次方程的解法，题中对一元二次方程的描述是不完整的，应该说明最高次项系数不为0。通常用一般形式描述的一元二次方程更为简明，即形如的方程叫作关于的一元二次方程。若本题不给出条件，就必须在整理后对项的字母系数分情况进行讨论。例2：用开平方法解下面的一元二次方程。（1）；（2）（3）；（4）分析：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如的方程，其解为。通过观察不难发现第（1）、（2）两小题中的方程显然用直接开平方法好做；第（3）题因方程左边可变为完全平方式，右边的121＞0，所以此方程也可用直接开平方法解；第（4）小题，方程左边可利用平方差公式，然后把常数移到右边，即可利用直接开平方法进行解答了。解：（1）∴（注意不要丢解）由得，由得，∴原方程的解为：，（2）由得，由得∴原方程的解为：，（3）∴∴∴，∴原方程的解为：，（4）∴，即∴，∴，∴原方程的解为：，说明：解一元二次方程时，通常先把方程化为一般式，但如果不要求化为一般式，像本题要求用开平方法直接求解，就不必化成一般式。用开平方法直接求解，应注意方程两边同时开方时，只需在一边取正负号，还应注意不要丢解。例3：用配方法解下列一元二次方程。（1）；（2）分析：用配方法解方程，应先将常数移到方程右边，再将二次项系数化为1，变为的形式。第（1）题可变为，然后在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，即：，方程左边构成一个完全平方式，右边是一个不小于0的常数，即：，接下去即可利用直接开平方法解答了。第（2）题在配方时应特别注意在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方。解：（1）二
二元二次方程组-解法-例题
二元二次方程的解法 二次方程组的基本思想和方法 方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。因法和技巧是解二元二次方程组的关键。 型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。 程组的解法 元法（即代入法） 二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是： 次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示； 数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程； 元二次方程，求得一个未知数的值； 的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题； 个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。 与系数的关系 二元二次方程组中形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x、y看做一根，解这个方程，求得的z1和z2的值，就是x、y的值。当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”。注意 二·一”型方程组的一种特殊方法，它适用于解“和积形式”的方程组。 比较常用的解法。除此之外，还有加减消元法、分解降次法、换元法等，解题时要注意分析方程的结构特征，灵活选用恰当的方法。 解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组。（2）要防止漏解和增解的错误。
程组的解法 中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二型方程组，所得的解都是原方程组的解。 中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程的解。 方程组最多有两个解，“二·二”型方程组最多有四个解，解方程组时，即不要漏解，也不要增解。 析：例1．解方程组 观察这个方程组，不难发现，此方程组除可用代入法解外，还可用根与系数的关系，通过构造一个以x, y为根的一元二次方程来求解。 1)得y=8-x..............(3) 把(3)代入(2)，整理得x2-8x+12=0. 解得x1=2, x2=6. (3)，得y1=6. 把x2=6代入(3)，得y2=2. 所以原方程组的解是。
最新一元二次方程应用题精选(含答案)
1：某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ 解：设没件降价为x，则可多售出5x件，每件服装盈利44-x元， 依题意x≤10 ∴(44-x)(20+5x)=1600 展开后化简得：x2-44x+144=0 即(x-36)(x-4)=0 ∴x=4或x=36(舍) 即每件降价4元 要找准关系式 2.游行队伍有8行12列，后又增加了69人，使得队伍增加的行·列数相同，增加了多少行多少列？ 解：设增加x (8+x)(12+x)=96+69 x=3 增加了3行3列 3.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现：单价每千克70元时日均销售60kg；单价每千克降低一元,日均多售2kg。在销售过程中,每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时,按一天计算）.如果日均获利1950元,求销售单价 解: (1)若销售单价为x元,则每千克降低了(70-x)元,日均多售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元. 依题意得: y=(x-30)[60+2(70-x)]-500 =-2x^2+260x-6500 (30<=x<=70) (2)当日均获利最多时：单价为65元，日均销售量为60+2（70-65）＝70kg，那么获总利为1950*7000/70＝195000元,当销售单价最高时：单价为70元，日均销售60kg，将这批化工原料全部售完需7000/60约等于117天,那么获总利为（70-30）*7000-117*500＝221500 元,而221500>195000时且221500-195000=26500元. ∴销售单价最高时获总利最多,且多获利26500元.
(完整版)一元二次方程解法及其经典练习题
一元二次方程解法及其经典练习题 方法一：直接开平方法（依据平方根的定义） 平方根的定义：如果一个数 的平方等于a （ ），那么这个数 叫做a 的平方根 即：如果 a x =2 那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式 一、 用直接开平方法解下列一元二次方程。 1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4．.25)1(412=+x 5．(2x ＋1)2=(x －1)2． 6．(5－2x )2=9(x ＋3)2． 7．.063)4(22 =--x 方法二：配方法解一元二次方程 1. 定义：把一个一元二次方程的左边配成一个 ，右边为一个 ，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 2. 配方法解一元二次方程的步骤：（1） （2） （3） 4) (5) 二、用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232=- 39642=-x x 、 4、0542=--x x 5、01322=-+x x 6、07232=-+x x
方法三：公式法 1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 2.公式的推导：用配方法解方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0） 解：二次项系数化为1，得 ， 移项 ，得 ， 配方, 得 ， 方程左边写成平方式 ， ∵a ≠0,∴4a 2 0,有以下三种情况： （1）当b 2-4ac>0时，=1x ， =2x （2）当b 2-4ac=0时，==21x x 。 （3）b 2-4ac<0时，方程根的情况为 。 3.由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因 （1）式子ac b 42-叫做方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）根的 ，通常用字母 “△” 表示。当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根； 当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根； 当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根。 （2）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c = 0，当ac b 42-≥0时，?将a 、b 、c 代入式子=x 就得到方程的根．这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 4.公式法解一元二次方程的步骤：（1） （2） （3） （4） （5） 二、用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、22 314y y -= 3、y y 32132=+
(完整版)解一元二次方程配方法练习题
- 1 - 解一元二次方程练习题(配方法) 步骤：（1）移项； （2）化二次项系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． 1．用适当的数填空： ①x 2+6x+ =（x+ ）2；② x 2－5x+ =（x － ）2； ③x 2 + x+ =（x+ ）2 ；④ x 2 －9x+ =（x － ）2 2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______． 4．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为_______，?所以方程的根为_________． 5．若 x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则 m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 6．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ） A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 7．把方程x+3=4x 配方，得（ ） A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=2 8．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ） A ．2 B ．-2 C ． D ． 9．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（ ） A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数 10．用配方法解下列方程： （1）3x 2-5x=2． （2）x 2+8x=9 （3）x 2+12x-15=0 （4）4 1 x 2-x-4=0 （5）6x 2-7x+1=0 （6）4x 2-3x=52 11.用配方法求解下列问题 （1）求2x 2-7x+2的最小值 ；（2）求-3x 2+5x+1的最大值。 12．将二次三项式4x 2－4x+1配方后得（ ） A ．（2x －2）2+3 B ．（2x －2）2－3 C ．（2x+2）2 D ．（x+2）2－3 13．已知x 2－8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式， 其中正确的是（ ） A ．x 2－8x+（－4）2=31 B ．x 2－8x+（－4）2=1 C ．x 2+8x+42=1 D ．x 2－4x+4=－11 14．已知一元二次方程x 2－4x+1+m=5请你选取一个适当的m 的值，使方程能用直接开平方法求解，并解这个方程。 （1）你选的m 的值是 ；（2）解这个方程． 15．如果x 2－4x+y 2 ，求（xy ）z 的值
一元二次方程及解法经典习题及解析
一元二次方程及解法经典习题及解析 知识技能： 一、填空题： 1．下列方程中是一元二次方程的序号是 ． 42=x ① 522=+y x ② ③01332=-+x x 052=x ④ 5232=+x x ⑤ 412=+x x ⑥ x x x x x x 2)5(0143223-=+=+-。。。。⑧⑦ 2．已知，关于2的方程12)5(2=-+ax x a 是一元二次方程，则a 3．当=k 时，方程05)3()4(22=+-+-x k x k 不是关于X 的一元二次方程． 4．解一元二次方程的一般方法有 ， ， ， · 5．一元二次方程)0(02=/=++a c bx ax 的求根公式为： ． 6．(2004·沈阳市)方程0322=--x x 的根是 ． 7．不解方程，判断一元二次方程022632 =+--x x x 的根的情况是 ． 8．(2004·锦州市)若关于X 的方程052=++k x x 有实数根，则k 的取值范围是 ． 9．已知：当m 时，方程0)2()12(22=-+++m x m x 有实数根． 10．关于x 的方程0)4(2)1(222=++-+k kx x k 的根的情况是 ． 二、选择题： 11．(2004·北京市海淀区)若a 的值使得1)2(42 2-+=++x a x x 成立，则a 的值为( ) A ．5 8．4 C ．3 D ．2 12．把方程x x 332-=-化为02=++c bx ax 后，a 、b 、c 的值分别为( ) 3.3.0.--A 3.3.1.--B 3.3.1.-C 3.3.1.--D 13．方程02=+x x 的解是( ) x A .=土1 0.=x B 1,0.21-==x x C 1.=x D
一元二次方程及其应用
一元二次方程及其应用 ◆课前热身文档设计者： 设计时间 ： 文档类型： 文库精品文档，欢迎下载使用。Word 精品文档，可以编辑修改，放心下载 1．如果2是一元二次方程x 2 ＋bx ＋2＝0的一个根，那么常数b 的值为 ． 2.方程042=-x x 的解______________． 3．方程240x -=的根是（ ） A ．2x = B ．2x =- C ．1222x x ==-， D ．4x = 4.由于甲型H1N1流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降．由原来每斤16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为x ，则根据题意可列方程为 ． 【参考答案】1.－3 2.x 1=0, x 2=4 3. C 4.2 16(1)9x -= ◆考点聚焦 知识点: 一元二次方程、解一元二次方程及其应用 大纲要求: 1.了解一元二次方程的概念，会把一元二次方程化成为一般形式。 2.会用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程、 3.能利用一元二次方程的数学模型解决实际问题。 考查重点与常见题型: 考查一元二次方程、有关习题常出现在填空题和解答题。 ◆备考兵法 （1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断， 注意一元二次方程一般形式中0≠a . （2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1. （4）用直接开平方的方法时要记得取正、负. ◆考点链接
1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法： （1）直接开平方法：形如)0(2 ≥=a a x 或)0()(2 ≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用 直接开平方的方法. （2）配方法：用配方法解一元二次方程()02 ≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二 次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2 ()x m n +=的形式，⑤如果是非负数，即0n ≥，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解. （3）公式法：一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是 221,2 4(40)2b b ac x b ac a -±-=-≥. （4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程 的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. ◆典例精析 例1（湖南长沙）已知关于x 的方程260x kx --=的一个根为3x =，则实数k 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 【答案】A 【解析】本题考查了一元二次方程的根。因为x=3是原方程的根，所以将x=3代入原方程， 原方程成立，即06332 =--k 成立，解得k=1。故选A 。 例2（湖北仙桃）解方程：2 420x x ++= 【分析】根据方程的特点, 灵活选用方法解方程.观察本题特点，可用配方法求解. 【答案】2 42x x +=-
一元二次方程组教案
5.1.认识二元一次方程组 教学目标： 1.知识与技能：通过实例了解一元二次方程，一元二次方程组及其解的概念，会判断一组数是不是一个二元一次方程组的解。 2教学思考：通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。. 3解决问题：培养学生能够使用数学知识解决生活实际问题的能力，同时发展学生的观察、归纳、概括的能力。 4.情感态度与价值观：激发学生的求知欲，培养他们勇于探索的精神。 教学重难点： 重点：对二元一次方程，二元一次方程组及其解的理解。 难点：二元一次方程，二元一次方程组及其解的个数。 课时安排： 一课时 教学设计 教学准备 幻灯片 教学流程 （一）复习： 1.一元一次方程的定义. 例：下例哪些方程式一元一次方程？ 2(1)35(2)16(3) 32(4)6(5) 3x x y x x xy x π=+==+==+ 注 ： 一元：一个未知数 一次：含有未知数的项的次数都是1次 整式：分母中不含字母 2.方程的解：使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解 例：x=5是方程3x+5=20的解吗？为什么？ 3.方程2x+y=8是一元一次方程吗？若不是，那又什么呢？ （二）新课讲授 1、老牛与小马 分析：审题 A ：数量问题 B ： 2= -小马老牛 C ：设老牛驮了x 个包裹， 小马驮了 y 个包裹。 ）（小马 老牛121-=+
想一想 2x y -= 12(1)x y +=- 上面所列方程各含有几个未知数? 2个未知数 含有未知数的项的次数是多少? 次数是1 二元一次方程定义：含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一次方程. 判断点：1、未知数几个？ 2个 判断点：2、含未知数项的次数是几次？ 1次 判断点：3、整式 分母中不含未知数 练一练： 1.请判断下列各方程中，哪些是二元一次 方程，哪些不是？并说明理由. ()()()()21390; 232120; (3)20 1(4)315347; 62100. x y x y xy y x y a b x +-=-+=+=-=-=+= 2.如果方程12231m m n x y -+-=是二元一次方程，那么m ＝___________，n ＝______________ . 做一做 6,2x y ==适合方程 8x y +=吗?5,3x y ==呢? 4,4x y ==呢?你还能找到其他 x,y 的值适合方程8x y += 吗? 适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解 例如: 6,2x y ==是方程8x y +=的一个解,记作6,2.x y =??=? 练一练： 1.在下列四组数值中，哪些是二元一次方程 31x y -=的解？ （A ） 2,3.x y =??=? （B ） 4,1.x y =??=? （C ）10,3.x y =??=? （D ）5,2.x y =-??=-?
解一元二次方程练习题汇编
一元二次方程练习题 1. 用直接开平方法解下列方程： （1）2225x =； （2）2 1440y -=． 2. 解下列方程： （1）2 (1)9x -=； （2）2 (21)3x +=； （3）2 (61)250x --=． （4）2 81(2)16x -=． 3. 用直接开平方法解下列方程： （1）25(21)180y -=； （2）21 (31)644 x +=； （3）2 6(2)1x +=； （4）2 ()(00)ax c b b a -=≠，≥ 4. 填空 （1）28x x ++（ ）=（x + ）2 ． （2）22 3x x - +（ ）＝（x - ）2． （3）2b y y a -+（ ）＝（y - ）2 ． 5. 用适当的数（式）填空： 23x x -+ (x =- 2)； 2x px -+ ＝(x - 2) 23223(x x x +-=+ 2)+ ． 6. 用配方法解下列方程
1）．210x x +-= 2）．23610x x +-= 3）．21 (1)2(1)02 x x ---+= 7. 方程22 103 x x - +=左边配成一个完全平方式，所得的方程是 ． 8. 用配方法解方程． 23610x x --= 22540x x --= 9. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ，2x = ． 10. 关于x 的方程22220x ax b a +-+=的解为 11. 用配方法解方程 （1）210x x --=； （2）23920x x -+=． 12. 用适当的方法解方程 （1）2 3(1)12x +=； （2）2 410y y ++=； （3）2884x x -=； （4）2 310y y ++=． 13. 已知关于x 的一元二次方程2 2 (21)10m x m x +-+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ．
一元二次方程的起源和应用
一元二次方程的起源与应用 一年七班 唐梦雷 一、定义：（quadratic equation of one variable ）是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 二、 起源 在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数.可见巴比伦人已知道一元二次方程并知道了求根公式。但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。 埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，在公元前4、5世纪时，古中国也已掌握了一元二次方程的求根公式。 希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。 公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程二次项系数为一的一个求根公式。 在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令 a 、b 、c 为正数。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。 韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。 我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于的正根而解决的。 我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。 三、一元二次方程的广泛应用 例1：下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？ （1）35 22=+x ；（2）062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ； （5）12)3(22+=-x x x ；（6）2273x x = ；（7）312=+ x x ；（8）522=+y x 注意点： ①二次项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③是整式方程；④只含有一个未知数． 例1:当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
一元二次方程的应用 (含答案)
23.4 一元二次方程的应用 情境切入 学海导航 完全解读 知能点1、列一元二次方程解实际应用题的一般步骤 列方程解实际应用问题历来是初中学生的难点，究其原因是理论指导不充分，必须熟练掌握解应用题的一般步骤才能准确解答各种类型的应用题，具体的步骤一般是：（1）审：审题要弄清已知量和未知量，问题中的等量关系； （2）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异； （3）列：列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，列代数式表示相等关系中的各个量，即方程； （4）解：求出所列方程的解； （5）检验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；
（6）答：写出答案． 友情提醒：列方程解应用题应该注意的一些问题 （1）要注意各类应用题中常用的等量关系．例如面积问题中有关的面积公式，还要注 意挖掘题目中隐含的等量关系； （2）注意语言与代数表达式的互化．题目中有些条件是通过语言给出的，只有把它转 化成代数式才能为列方程服务；注意从语言叙述中写出等量关系； （3）注意单位问题：一是在设元时必须写清单位，用对单位，例如不要把速度单位写 成路程单位．二是在列方程时，要注意方程两边的单位必须一致． 例1、某种商品原价50元。因销售不畅,3月份降价10%,从4月份开始涨价,5月份的售 价为64.8元,则4、5月份两个月平均涨价率为 . 思维点击：由题意，3月份的售价可以用50×（1—10%）表示，若设4、5月份两个月 平均涨价率为x ，则4月份的售价是50×（1—10%）×（1+x ），5月份的售价是50×（1—10%）×（1+x ）（1+x ）即50×（1—10%）×（1+x ）2 ，由于5月份的售价已知，所以可列出一个方程，进而解决本题。 解：设4、5月份两个月平均涨价率为x ，由题意，得 50×（1—10%）×（1+x ）2=64.8。整理，得（1+x ）2=1.44. 解得：120.220%, 2.2x x ===-（不合题意，舍去）。 所以4、5月份两个月平均涨价率为20%。 解后反思：列方程解应用题，要注意求得的方程的解必须符合题意。 例2、如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四 个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长. 思维点击：设截去正方形的边长x 厘米之后，关键在于列出底面（图示虚线部分）长和 宽的代数式.结合图示和原有长方形的长和宽，不难得出这一代数式. 解：设截去正方形的边长为x 厘米，根据题意，得
一元二次方程解法讲义
龙文教育学科教师辅导讲义 课 题 一元二次方程的解法 教学目标 1. 理解一元二次方程及其有关概念 2. 会解一元二次方程,并能熟练运用四种方法去解 重点、难点 1. 一元二次方程的判定，求根公式 2. 一元二次方程的解法与应用 考点及考试要求 1. 一元二次方程的定义,一般形式，配方式 2. 熟练一元二次方程的解法能灵活运用:直接开平法,配方法.，因式分解，公式法去 3. 一元二次方程在实际问题中的综合应用 教学内容 考点一、概念 (1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③ 整式方程．．．． 就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax 注：当b=0时可化为02=+c ax 这是一元二次方程的配方式 (3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式： 2 =++c bx ax 时，应满足（a≠0） (4)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132 +=+x x B 02112 =-+ x x C 0 2 =++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
解一元二次方程(综合)
编号：使用时间：月日班级：小组：姓名：组内评价：教师评价： 主备人：石界奇备课组长签字：宋杰教研组长签字：段小聪年级组长签字： 课题：解一元二次方程 学习目标：1.能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。2.了解转化的思想在解方程中的应用。 重点：利用不同的方法解一元二次方程。 难点：能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。 预习案 使用说明与学法指导: 1.用15分钟,阅读探究课本的基础知识。 2.完成教材助读设置的问题,然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测及我的疑惑栏目。 3.将预习中不能解决的问题标出来，并填写到后面“我的疑惑”处。 一、旧知回顾 1.解一元二次方程的基本思路是什么？ 2.解一元二次方程的方法有哪些？ 3.怎样选择解一元二次方程的方法？ 二、预习自测 1.把方程2x 2 +8=9x化成一般形式是。 2.一元二次方程ax 2 +bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c确定，当时。 将a、b、c代入式子就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做。 3.解方程：4x 2 +12x+9=0 我的疑惑：（请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，待课堂上与老师和同学探究解决） 探究案 一、质疑探究——质疑解疑、合作探究 例1 用不同的方法解方程：（x-2）2=（2x+5）2
例2 选择适当的方法解下列方程： （1）2 1（x+3）2=2 （2）x 2-52x+2=0 （3）2（3x-2）=（2-3x ）（x+1） 二、归纳梳理、整合内化 三﹑当堂检测——有效训练、反馈矫正 1．在方程2x 2+3x=1中，b 2-4ac 的值为 。 2.一元二次方程x 2+3x-4=0的解是 。 3.解方程：4（x-3）2-25（x-2）2=0 我的收获（反思静悟﹑体验成功） 训 练 案 使用说明：所有学生必须完成基础巩固题；在综合应用题与拓展探究题中，对于前面已标注“★”题，由每组1 ~4号完成；对于前面已标注“★★”题，由每组1 ~2号完成。 一﹑基础巩固题 选择恰当的方法解下列方程： （1）4x 2-121=0 （2）x 2 +7x+6=0 （3）3x （x-1）=2（x -1） 二﹑拓展探究题 ★1．已知y= x 2+x-6，当 时，y 的值等于0；当 时，y 的值等于24. ★★2.若0是关于x 的方程（m-2）x 2+3x+m 2+2m-8=0的解，求实数m 的值，
一元二次方程解法配方法教学设计
八年级数学教学设计 课题：一元二次方程的解法（配方法）第1课时设计人审核人执教人教学预设时间 一、学习目标 1．正确理解并会运用配方法将形如x2＋px＋q＝0方程 变形为（x＋m）2＝n（n≥0）类型． 2.会用配方法解形如ax2＋bx＋c=0（a≠0）一元二次方程． 3．了解新、旧知识的内在联系及彼此的作用． 二、学习“三点”： 重点：用配方法解一元二次方程． 难点：正确理解把x2＋ax型的代数式配成完全平方式 易错点：忽视了二次项的系数 三、教学准备：多媒体课件 四、教学注意事项： 1、温故的针对性要强，梯度不能过大 2、重难点把握准确：二次项系数不能忽视 五、课堂流程： 第一环：温故导新 (一) 温故 1、直接开平方： 2、完全平方公式：a2±2ab＋b2＝（a±b）2．课前修订或操作注意事项 () 20 x a a =≥ x a =±
3、填空： 1）x2-2x+（）＝[x＋（）]2 2）x2＋6x＋（）＝[x-（）]2 （二）导新 怎样解方程， 方程如何解呢？ 第二环：自主合作新知初探 （三）指导自学 自学教材23-24页的内容（8-10分） 1、对于配方法的探索先由自主学习、小组合作、分析、 交流、总结。 2、学生自主学习例1完成解题过程 第三环：师生对话探究新知 （四）点拨拓展 1、将方程x2-2x-3=0化为（x-m）2=n的形式，指出m，n 分别是多少？ 练习：把下列方程化为（x＋m）2＝n的形式 概念点拨：通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。课前修订或操作注意事项 ()2 215 x-= 2692 x x ++=
2、例题板演，生纠错。 3、引导学生观察例题的求解过程，总结出配方法解一元二次方程的一般步骤： 1、 化二次项系数为1； 2、 移项； 3、 配方；（构建完全平方） 4、 开方。 配方的关键-----方程两边都加上一次项系数一半的平方。 4、对于x 2+ax 型的代数式，只需再加上一次项系数一半的 平方即可完成上述转化工作． （五）强化训练 教材p25练习1、2题； 归一总结： 1．本节课学习用配方法解一元二次方程，其步骤如下： （1）化二次项系数为1． （2）移项，使方程左边为二次项，一次项，右边为常数项． （3）配方．依据等式的基本性质和完全平方公式，在方程的左 右两边同时加上一次项系数一半的平方． （4）用直接开平方法求解． 配方法的关键步骤是配方．配方法是解一元二次方程的通法． 2．配方法的理论依据是完全平方公式： a 2±2a b ＋b 2＝（a ±b ）2，配方法以直接开平方法为基础 课前修订或操作 注意事项
解一元二次方程练习题(韦达定理)
实用标准文档 解一元二次方程练习题(配方法) 1．用适当的数填空： ①、x 2+6x+ =（x+ ）2； ②、x 2－5x+ =（x － ）2； ③、x 2+ x+ =（x+ ）2； ④、x 2－9x+ =（x － ）2 2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2 -ax+1可变为（2x-b ）2 的形式，则ab=_______． 4．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2 =b 的形式为______，?所以方程的根为_______． 5．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 6．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ） A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 7．把方程x+3=4x 配方，得（ ） A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=2 8．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ） A ．2 B ．-2 C ． D ． 9．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（ ） A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数 10．用配方法解下列方程： （1）3x 2-5x=2． （2）x 2+8x=9 （3）x 2+12x-15=0 （4） 4 1 x 2 -x-4=0 7、01842=+--x x 8、0222=-+n mx x 9、()00222>=--m m mx x 11.用配方法求解下列问题 （1）求2x 2-7x+2的最小值 ； （2）求-3x 2+5x+1的最大值。
解一元二次方程-教学设计
解一元二次方程教学设计 教学设计思想 解一元二次方程有四种方法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，这四种方法各有千秋。为保证学生掌握基本的运算技能，教学中进行了一定量的训练，但要避免学生简单的模仿。我们在探究一元二次方程解法的过程中，要加强思想方法的渗透，发展学生的思维能力。在解一元二次方程的几种方法中，均需要用到转化的思想方法。如配方法需要将方程转化为能直接开平方的形式，公式法能根据一元二次方程转化为两个一元一次方程，所有这些均体现了转化的思想。在教学时老师引导学生在主动进行观察、思考核探究的基础上，体会数学思想方法在其中的作用，充分发展学生的思维能力。 教学目标 知识与技能： 1．会用配方法、公式法、因式分解法解简单数字系数的一元二次方程。 2．能够根据一元二次方程的特点，灵活选用解方程的方法，体会解决问题策略的多样性。 过程与方法： 1．参与对一元二次方程解法的探索，体验数学发现的过程，对结果比较、验证、归纳、理清几种解法之间的关系，并能根据方程的特点灵活选择适当的方法解一元二次方程。 2．在探究一元二次方程的过程中体会转化、降次的数学思想。 情感态度价值观： 在解一元二次方程的实践中，交流、总结经验和规律，体验数学活动乐趣。 教学重难点 重点：掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的步骤，并熟练运用上述方法解题。 难点：根据方程的特点灵活选择适当的方法解一元二次方程。 教学方法 探索发现，讲练结合 教学媒体 多媒体 课时安排 4课时 教学过程设计 第一课时
一、复习引入： 1．一元二次方程的一般形式是什么？其中a 应具备什么条件？ 2．042=-x 是一元二次方程吗？其中二次项的系数，一次项的系数，常数项各是什么？ （是。二次项系数是1，一次项系数是0，常数项是－4） 3．解下列方程： （1）x 2=4 （2）(x+3)2 =9 学生依次回答上述问题。 师总结强调：（1）象这种通过直接开平方求得x 的值的方法，实际上就是求x 2=a （a ≥0）这种特殊形式的一元二次方程的解方法。 （2）对于形如“(x+a) 2=b (b ≥0)”型的方程，只要把x+a 看作一个整体，就可以转化为x 2=b (b ≥0)型的方法去解决，这里渗透了“换元”的方法。 （3）在对方程(x+3) 2=9两边同时开平方后，原方程就转化为两个一次方程。要向学生 指出，这种变形实质上是将原方程“降次”。“降次”也是一种数学方法 二、试着做做 1．如果（x+2）2 =9，那么x=_______________。 2．如果（x-3）2=7，那么x=_______________。 3．完全平方公式是什么？ 4．如果x 2+2x+1=4，那么x=_______________。 学生独立求解 5．对于x 2+2x-3=0这样的方程，该怎样求解呢？能否经过适当变形，将方程转化为（x+m ）2=n （m ，n 是常数，n ≥0）的形式，然后应用直接开平法求解呢？你能总结出你解这个方程的步骤吗？ 学生活动：小组讨论，利用完全平方公式及上述提示寻求解法，将x 2+2x-3=0变形为x 2+2x+1=4，即（x+1）2=4 。并总结出解方程x 2+2x-3=0的一种方法： 三、做一做 把下列方程化为（x+ m ）2 =n （m ，n 是常数，n ≥0）的形式，并求出它们的解。 （1）x 2+2x=48；（2）x 2-4x=12；
一元二次方程的起源和应用
一元二次方程的起源与应用一年七班唐梦雷一、定义：（quadratic equation of one variable）是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。二、起源在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数.可见巴比伦人已知道一元二次方程并知道了求根公式。但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，在公元前4、5世纪时，古中国也已掌握了一元二次方程的求根公式。希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程二次项系数为一的一个求根公式。在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令a、b、c为正数。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的数
学家们为了解三次方程而开始应用复数根。韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解 外，还给出根与系数的关系。我国《九章算术．勾 股》章中的第二十题是通过求相当于的正根而解决的。 我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。三、 一元二次方程的广泛应用x例1：下列关于的方程， 哪些是一元二次方程？；（1）（2）； （3）；（4）；22222（5）； （6）；（7）（8）； x注意点：① 二次项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③是整 式方程；④只含有一个未知数．22例1:当k 时，关于x的方程是一元二次方程。 m例2：方程是关于x的一元二次方程，则m的 值为。2例3：若方程是关 于x的一元二次方程，则m的取值范围 是。mn2例4：若方程nx+x-2x=0是一元二次方程， 则下列不可能的是（） A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 2（一）、一元二次方程的一般 形式：，它的特征是：等式左2边是一 个关于未知数的二次多项式，等式右边是零，其中 叫做二次项，叫ax xa做二次项系数；叫做一次项，叫