概率论与数理统计总结
概率论与数理统计总结
3、分布函数与概率的关系 ∞
<<∞-≤=x x X P x F ),()(
)
()()
()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<
4、离散型随机变量的分布函数 (1) 0 – 1 分布 1
,0,)
1()(1=-==-k p p k X P k
k
(2) 二项分布 ),(p n B n
k p p C k X P k n k k n
,,1,0,)1()(Λ=-==- 泊松定理 0
lim >=∞
→λn
n np
有
Λ
,2,1,0!
)
1(lim ==---∞
→k k e
p p C k
k
n n k n
k n
n λλ
(3) 泊松分布 )(λP =Λ
,2,1,0,!
)(===-k k e
k X P k
λλ
（5）几何分布 p q k p q k X P k -====-1,2,1}{1
Λ dt t f x F x ?∞
-=)()(则称X 为连续型随机变量，其中函数
f(x)称为随机变量X 的概率密度函数， 2、分布函数的性质：
（1）连续型随机变量的分布函数F(x )是连续函数。
（2）对于连续型随机变量X 来说，它取任一指定实数a 的概率均为零，即P{X=a }=0。 3、常见随机变量的分布函数 (1) 均匀分布 ),(b a U
f (x ,y )称为二维向量(X ,Y )的(联合)概率密度.
其中： 0),(≥y x f ，??∞
∞-∞∞
-=1),(dxdy y x f
（2）基本二维连续型随机向量分布
均匀分布：
???
??∈=其他
),(1),(G y x A
y x f
二维正态分布：
+∞
<<-∞+∞<<∞--=
-+------
y x e
y x f y y x x ,121
),(])())((2)([)1(21
2
2122
22212121212σμσσμμρσμρρ
σπσ
3、离散型边缘分布律：
3、 连续型边缘概率密度 ,),()(dy y x f x f X
?∞
+∞
-= dx y x f y f Y
?∞
+∞
-=),()(
F (x ，y )=F x (x )F Y (y ) 则称随机变量X 和Y 是相互
独立的
3、连续型随机变量独立的等价条件 设(X ，Y )是连续型随机变量，f (x ，y )，f x (x )，f Y (y )分别为(X ，Y )的概率密度和边缘概率密度，则X 和Y 相互独立的充要条件是等式 f (x ，y ) = f x (x )f Y (y ) 对f (x ，y )，f x (x )，f Y (y )的所有连续点成立. 五、条件分布
1、离散型随机变量的条件分布律： （3）条件分布函数：
2、连续型随机变量的条件分布 （
1
）
条件分
布函数
?
?∞
-∞
-==
x Y Y X Y x Y
X du y f y u f y x F y f du y u f y x F )
()
,()|()
(),()|(||或写成，
（2）条件概率密度
在Y=y 条件下X 的条件概率密度)
(),()|(|y f y x f y x f
Y Y X =
同理 X=x 条件下X 的条件概率密度)
(),()|(|x f y x f x y f X X Y =
六、多维随机函数的分布 1、离散型随机变量函数分布：
二项分布：设X 和Y 独立,分别服从二项分布
b (n 1,p ), 和b (n 2,p )，则 Z=X+Y 的分布律：Z ～b (n 1+n 2,p ).
泊松分布：若X 和Y 相互独立,它们分别服从参
数为2
1
,λλ的泊松分布,则Z=X+Y 服从参数为2
1
λλ+的
泊松分布。
2、连续型随机变量函数分布： （1）Z=X+Y ?∞
+∞
--=dy y y z f z f Z
),()(或?
∞+∞
--=dx
x z x f z f
Z ),()(
若X 和Y 相互独立时，
?
?
∞+∞
-∞+∞
--=-=dx
x z f x f z f dy y f y z f z f Y X Z Y X Z )()()()()()(；
正态分布的特点：
a 设X,Y 相互独立且X ~N(μ1，σ12
)，Y ~N(μ2，
σ22
经过计算知Z=X+Y
仍然服从正态分布,且有Z ~N(μ1+μ2，σ12
+σ
2
2).
b 若X ~N(μ,σ2
)，则)
1,0(~*
N X X
σ
μ
-=
c 若X ~N(μ,σ2
)，则())
,(~2
1212
1
σμk k k N k
X k Y ++=
（2）M=max(X,Y) N=min(X,Y)的分布 设X,Y 是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为Fx(x )和F Y (y ) M=max(X,Y)：)()()(max
z F z F z F Y
X
=
N=min(X,Y)：)]
(1)][(1[1)(min
z F z F z F
Y X ---=
(2)几种常见分布的数学期望
i. X 服从参数为p 的(0,1)分布：E (X )=0×(1-p )+1×p=p
ii. 若X ~b (n,p ),则E (X )=np iii.若X ~π(λ)，则 E (X )=λ 2、连续型随机变量的数学期望 (1)
定义：
.
d )()(.)(,d )(,d )(,)(?
?
?
∞
+∞
-∞+∞
-∞
+∞
-=
x x f x X E X E X x x f x x
x f x x f X 即
记为的数学期望的值为随机变量
则称积分绝对收敛积分
若
的概率密度为设连续型随机变量
(2)几个常见连续型随机变量的数学期望 i.若X ~U(a,b),则E(X)=(a+b)/2 ii. 若X ~N(μ,σ2)，则E(X)=μ iii.若X 服从指数分布 ??
?≤>=-00
0)(x x e x f x αα ，则
E(X)=1/α
3、函数 Y = g (X ) 的数学期望
(1)离散型：离散型变量X 的概率分布为
Λ
,2,1,)(===i p x X P i i 若无穷级数∑∞
=1
)(i i
i
p x g 绝对收敛，则
∑∞
==1
)()(i i
i p x g Y E 。
(2)连续型：连续型随机变量X 的 概率密度为f
(x )，若广义积分?+∞∞
-dx x f x g )()(绝对收敛，则
?+∞
∞
-=dx
x f x g Y E )()()(。
4、数学期望的性质： i C 为常数,则有E(C)=C ；
ii 设X 是一个随机变量，C 常数，则有E(CX)=CE(X)；
iii 设X ，Y 是两个随机变量，则有 E(X+Y)=E(X)+E(Y)
这一性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况:
)
()()()(2121n n X E X E X E X X X E +++=+++ΛΛ
iv 设X ，Y 是相互独立的随机变量，则有:E(XY)=E(X)E(Y)
这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况)
()()()(2121
n n X E X E X E X X X E ΛΛ=???
二、方差
1、定义：设X 是一个随机变量，若}])([{2
X E X E -存
在，则称}])([{2
X E X E -为X 方差，记为D(X)或Var(X).
称它的平方根为标准差，记作(X) 2、计算方法：
(1)用定义：离散型：,
)]([)(12k k k
p X E x
X D ∑+∞
=-= 连续型：,
d )()]([)(2x x f X E x X D ?
+∞
∞
--=
(2)用公式：.
)]([)()(22
X E X E X D -=
3、方差的性质
(1) 设C 是常数，则D(C)=0；
(2) 设X 是随机变量，a 是常数，则D(a X)=a 2
D(X),从而 D(a X+b)=a 2D(X)；
(3) 设X ，Y 是两个相互独立的随机变量，则有D(X ±Y)=D(X)+D(Y)；
(4) 对任意常数C, D (X ) ≤ E (X – C )2 , 当且仅当
C = E (X )时等号成立
(5) D (X ) = 0 则P (X = E (X ))=1称为X 依概率 1 等于常数 E (X ) 4、常见分布的方差
(1) (0-1)分布，其分布律为P{X=0}=1-p ，P{X=1}=p,则D(X)=p(1-p)
(2)二项分布 X ~b (n ,p ),，其分布律为
.
,....,2,1,0}{n k q
p C k X P k
n k k n ===-则E(X)=n p ,D(X)=n pq
(3)泊松分布 X ~π(λ),其分布律为
,.....
2,1,0!
}{==
=-k k e k X P k λ
λ 则E(X)=λ,
D(X)=λ
(4)均匀分布 X 在区间(a ，b)均匀分布E(X)=(a+b)/2，
.
12
)()(2
a b X D -=
(5)正态分布X ~N(μ,σ2
)，(),
21
)(2
2
2σμσ
π--=x e
x f E(X)=μ，
D(X)=σ2
.
5、契比雪夫不等式：设随机变量X 的期望和方差都存在，且 E(X)=μ,D(X)=σ2
，则对任意的ε>0,有
.
}|{|22
ε
σεμ≤≥-X P
6、矩的概念：
(1)设X 和Y 是随机变量，若)(k
X E 存在，Λ,2,1=k 称
为k 阶原点矩，简称k 阶矩。
(2)若Λ
,3,2,
})]({[=-k X E X E k
存在，称为k 阶中心矩。
(3)若Λ
,2,1,,
)(=l k Y X E l
k
存在，称为k+l 阶混合矩。
(4)若Λ,2,1,,})]([)]({[=--l k Y E Y X E X E l
k
存在，称为k+l 阶混合中心矩。
7、标准化随机变量 设随机变量 X 的期望
E (X )、方差D (X )都存在, 且D (X ) ≠ 0, 则称
)
()
(X D X E X X -=
*为 X 的标准化随机变量，显然，1
)(,0)(==**X D X E
三、协方差和相关系数 1、协方差
(1)定义：E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}称为随机变量X 与Y 的协方差，记为Cov(X ，Y)，即 Cov(X ，Y)= E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}。
离散型：ij
i
i j i
p Y E y X E x Y X Cov ?--=∑∑∞
=∞
=)]([)]([),(11
连续型：ij
i
i j i
p Y E y X E x Y X Cov ?--=∑∑∞
=∞=)]([)]([),(11
(2)关系公式: i
协方差与方差的关系：D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X ，Y)
ii 协方差与数学期望的关系：Cov(X ，Y)= E(XY)-E(X)E(Y)
iii 若X ，Y 独立，则Cov(X ，Y)=0,但反之不成立。
(3)协方差的性质 Cov(X ，Y)= Cov(Y ，X)；Cov(a X ，b Y)= ab Cov(X ，Y)；
Cov(X 1+X 2，Y)= Cov(X 1，Y)+ Cov(X 2，Y) 2、相关系数
(1)定义：若Cov(X ，Y)存在，并且D(X)、D(Y)存在且不为零，则称
)
()(),(Y D X D Y X Cov XY ?=
ρ为随机变量X 与Y 的相关系数。
(2)性质：i |ρXY |≦1 ii |ρXY |=1 ? 存在常数a ,b 使P{Y=a X+b }=1. 3、利用相关系数计算协方差
)]()()([2
1
),(Y D X D Y X D Y X Cov --+=)()()(Y E X E XY E ?-=)
()(Y D X D XY ??=ρ
4、不相关：若X 与Y 的相关系数ρXY =0，则称X 与Y 不相关。假设随机变量X ，Y 的相关系数ρ
XY
存在，当X 与Y 相互独立时,ρXY =0,即X 与Y
不相关，反之若X 与Y 不相关，X 与Y 却不一定相互独立。 5、协方差矩阵
i 定义：对于n 维随机向量(X 1,X 2,…,Xn),把向量(X 1,X 2,…,Xn)用列向量形式表示并记为X ，即
X=(X 1,X 2,…,Xn)'设X=(X 1,X 2,…,Xn)' 为n 维随机向量,并记μi =E(X i )()
n j i X X Cov C
j i ij
,,2,1,),(Λ== 则称μ
=(μ1,μ2,…,μn)'为向量X 的数学期望或均值，称矩阵
??????
?
??=nn n n n n C C C
C C C
C C C C Λ
M ΛM M ΛΛ2
122221
11211为向量X 的协方差矩阵。
ii 性质：
(1)协方差矩阵对角线上的元素C ii 为X i 的方差即C ii =D(X i ) i =1，2…，n ；
(2)协方差矩阵C 为对称矩阵,即C ij =C ji ,i ，j =1，2，…，n ；
(3)C 为非负定矩阵,即对于任意实向量t=(t 1，t 2，…，t n )',有t 'Ct ≥0； 6、多维正态分布及其性质
(1)定义：若n 维随机向量X=(X 1，…，Xn)的概率密度为
()()})(21
exp{|
|21
),,,(12
/12/21μμπ-'--=
-x C x C x x x f n n Λ其中X=(X 1，…，Xn)',
μ=(μ1，μ2，…，μn)'为n 维实向量，C 为n 阶正定对称矩阵，则称向量X=(X 1，…，Xn)'服从n 维正态分布，记为X ～N(μ,C) .对于n 维正态分布X ～N(μ,C) ，X 的期望为μ，X 的协方差矩阵为C 。
(2) 性质 n 维正态分布具有下述性质： I n 维随机向量(X 1，…，X n )服从n 维正态分布的充要条件是X 1，…，Xn 的任意线性组合
l 1X 1+l 2X 2+…+l n X n (l 1,l 2,…,l n 不全为0 )服从
一维正态分布。 Ii 若
X=(X 1,…,Xn)'～N(μ,C)，设
Y=(Y 1,Y 2,…,Ym)'=AX,即Y i 为X j (j=1，2，…，n)的线性函数,i =1，2，…，m ，则Y ～N(A ?μ，ACA ')，其中A 为－m 行n 列且秩为m 的矩阵。 iii 设(X 1，…，Xn)服从n 维正态分布，则“X 1，…，Xn 相互独立”与“X 1，…，Xn 两两不相关”是等价的。
第五章 大数定律与中心极限定理 一、大数定律：
1、定义1：设X 1,X 2,…,X n ,…为一随机变量序列,如果对于任意正整数k(k ≥2)及任意k 个随机变量
k
i i i X X X Λ,,21相互独立，则称随机变量序列
X 1,X 2,…,X n ,…相互独立。
定义2：设{X n }是一随机变量序列，若对任意
ε>0，有
{}lim 1,
n n P X X ε→+∞
-<=则称随机变量序列{X n }依概率
收敛于随机变量X 。常记为.
P
n X X ??→
定义3设{X n }为一随机变量序列,E(X n )存在，
若
()11
111,2,n n
i i i i X E X n n n ==-=???
∑∑依概率收敛于零，即对任意
ε> 0，有
()1111lim 1,n n
i i n i i P X E X n n ε→+∞==??-<=????
∑∑则称
随机变量序列{X n }服从（弱）大数定律。 2、几个常见的大数定理：
定理1（契比雪夫大数定律）设 X 1,X 2, …是相互独立的随机变量序列，且有常数C ，使得即
D (X i ) ≤C ，i =1,2, …，则{X n }服从大数定律。
即对任意ε> 0，有
∑∑==∞→=<-n i n
i i i n X E n X n P 11
1}|)(11{|lim ε
推论（契比雪夫大数定律的特殊情况）设
X 1,X 2, …X n ， … 独立同分布，且E (X i ) = μ，
D (X i )= 2
σ， i =1,2,…, 则对任给 ε >0,
1}|1
{|
lim 1
=<-∑=∞
→εμn
i i n X n P
定理2 贝努利大数定律 (贝努利定理) 设n A 是n 重贝努利试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 发生的概率，则对任给的ε> 0，有
贝努利大数定律表明，当重复试验次数n 充分大时，事件A 发生的频率n A /n 与事件A 的概率p 有较大偏差的概率很小。 二、中心极限定理
lim 1.A n n P p n ε→+∞
??-<=????
定理1（独立同分布下的中心极限定理/ Levy-Lindberg ）
设X 1,X 2, …是独立同分布的随机变量序列，且
E (X i )= μ，D (X i )= 2
σ，i =1,2,…，则
2
2
1lim 2x n x
i n i P x e
dx
n σπ
-
-∞
→+∞=??
≤=????
?
dt e x
t ?
∞
--=2
2
21π
定理2 (棣莫佛－拉普拉斯定理） 设随机变量n
Y 服从参数n, p (0
有
})1({lim x p np np Y P n n ≤--∞→dt
e x t
?∞--=2
2
21π
中心极限定理中典型的问题
(1) 设随机变量X 1，X 2，…,相互独立同分布，
E(X k )=μ，D(X k )=σ2
≠0,(k=1,2,…),由定理1，当n 充分大时，σ
μ
n n X
n
k k
-∑=1
近似服从标准正
态分布。
(2) 设ηn ~b(n,p), 由定理2, 当n 充分大时，
()
p np np
n --1η近似服从标准正态分布。
概率论与数理统计期末复习资料(学生)
概率论与数理统计期末复习资料 一 填空 1．设A ，B 为两个随机事件，若A 发生必然导致B 发生，且P (A )=0.6，则P (AB ) =______． 2．设随机事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.7，P (A -B )=0.3，则P (B ) = ______． 3．己知10件产品中有2件次品，从该产品中任意取3件，则恰好取到一件次品的概率等于______． 4．已知某地区的人群吸烟的概率是0.2，不吸烟的概率是0.8，若吸烟使人患某种疾病的概率为0.008，不吸烟使人患该种疾病的概率是0.001，则该人群患这种疾病的概率等于______． 5．设连续型随机变量X 的概率密度为? ??≤≤=,,0; 10,1)(其他x x f 则当10≤≤x 时，X 的分布函数F (x )= ______． 6．设随机变量X ～N (1，32 )，则P{-2≤ X ≤4}=______．(附：)1(Φ=0.8413) 7．设二维随机变量(X ，Y )的分布律为 则P {X <1,Y 2≤}=______． 8．设随机变量X 的期望E (X )=2，方差D (X )=4，随机变量Y 的期望E (Y )=4，方差D (Y )=9，又E (XY )=10，则X ，Y 的相关系数ρ= ______． 9．设随机变量X 服从二项分布)3 1,3(B ，则E (X 2 )= ______． 10．中心极限定理证明了在很一般条件下，无论随机变量Xi 服从什么分布，当n →∞时，∑=n i i X 1 的极限分布是 _________________ 11．设总体X ～N (1，4)，x 1，x 2，…，x 10为来自该总体的样本，∑== 10 110 1 i i x x ，则)(x D = ______.· 12．设总体X ～N (0，1)，x 1，x 2，…，x 5为来自该总体的样本，则 ∑=5 1 2i i x 服从自由度为______ 的2χ分布． 15．对假设检验问题H 0：μ=μ0，H 1：μ≠μ0，若给定显著水平0.05，则该检验犯第一类错误的概率为______． 16．设A ，B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P （A ）=0.3，P （B ）=0.4，则P （A B ）=__________. 17．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的 概率为_________. 18．设随机变量X 的概率密度?? ???≤≤=,,0; 10 ,A )(2其他x x x f 则常数A=_________.
概率论与数理统计第4章作业题解
第四章作业题解 4.1 甲、乙两台机床生产同一种零件, 在一天内生产的次品数分别记为 X 和 Y . 已知 ,X Y 的概率分布如下表所示: 如果两台机床的产量相同, 问哪台机床生产的零件的质量较好？ 解： 11.032.023.014.00)(=?+?+?+?=X E 9.0032.025.013.00)(=?+?+?+?=Y E 因为 )()(Y E X E >，即乙机床的平均次品数比甲机床少，所以乙机床生产的零件质量较好。 4.2 袋中有 5 个球, 编号为1,2,3,4,5, 现从中任意抽取3 个球, 用X 表示取出的3 个球中的 最大编号，求E (X ). 解：X 的可能取值为3,4,5. 因为1.01011)3(35 == = =C X P ；3.010 3)4(35 2 3== = =C C X P ； 6.010 6)5(3 5 24=== =C C X P 所以 5.46.053.041.03)(=?+?+?=X E 4.3 设随机变量X 的概率分布1 {}(0,1,2,),(1) k k a P X k k a +===+ 其中0a >是个常 数，求()E X 解: 1 1 2 1 1 1 ()(1) (1) (1) k k k k k k a a a E X k k a a a -∞ ∞ +-=== = +++∑∑ ，下面求幂级数11 k k k x ∞ -=∑的和函数， 易知幂级数的收敛半径为1=R ，于是有 1 2 1 1 1()( ),1,1(1) k k k k x k x x x x x ∞ ∞ -==''=== <--∑ ∑
《概率论与数理统计》期末考试试题及解答
一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故
《概率论与数理统计》实验报告答案
《概率论与数理统计》实验报告 学生姓名李樟取 学生班级计算机122 学生学号201205070621 指导教师吴志松 学年学期2013-2014学年第1学期
实验报告一 成绩 日期 年 月 日 实验名称 单个正态总体参数的区间估计 实验性质 综合性 实验目的及要求 1．了解【活动表】的编制方法； 2．掌握【单个正态总体均值Z 估计活动表】的使用方法； 3．掌握【单个正态总体均值t 估计活动表】的使用方法； 4．掌握【单个正态总体方差卡方估计活动表】的使用方法； 5．掌握单个正态总体参数的区间估计方法． 实验原理 利用【Excel 】中提供的统计函数【NORMISINV 】和平方根函数【SQRT 】，编制【单个正态总体均值Z 估计活动表】，在【单个正态总体均值Z 估计活动表】中，只要分别引用或输入【置信水平】、【样本容量】、【样本均值】、【总体标准差】的具体值，就可以得到相应的统计分析结果。 1设总体2~(,)X N μσ，其中2σ已知，12,,,n X X X L 为来自X 的一个样本，12,,,n x x x L 为 样本的观测值 于是得到μ的置信水平为1-α 的置信区间为 利用【Excel 】中提供的统计函数【TINV 】和平方根函数【SQRT 】，编制【单个正态总体均值t 估计活动表】，在【单个正态总体均值t 估计活动表】中，只要分别引用或输入【置信水平】、【样本容量】、【样本均值】、【样本标准差】的具体值，就可以得到相应的统计分析结果。 2.设总体2~(,)X N μσ，其中2 σ未知，12,,,n X X X L 为来自X 的一个样本，12,,,n x x x L 为样本的观测值 整理得 /2/21X z X z n n P αασαμσ? ?=-??? ?-<<+/2||1/X U z P n ασμα????==-??????-
概率论与数理统计知识点总结详细
概率论与数理统计知识点 总结详细 Newly compiled on November 23, 2020
《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P
概率论与数理统计期末总结
第1章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 称满足以下三个条件的试验为随机试验： （1）在相同条件下可以重复进行； （2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果； （3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点 样本空间 随机事件 随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。 样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。 随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本 空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。 样本空间的子集称为随机事件，简称事件。 在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算 （1）包含关系 B A ?，即事件A 发生，导致事件B 发生； （2）相等关系 B A =，即B A ?且A B ?； （3）和事件（也叫并事件） B A C ?=，即事件A 与事件B 至少有一个发生； （4）积事件（也叫交事件） B A AB C ?==，即事件A 与事件B 同时发生； （5）差事件 AB A B A C -=-=，即事件A 发生，同时，事件B 不发生； （6）互斥事件（也叫互不相容事件） A 、 B 满足φ=AB ，即事件A 与事件B 不同时发生； （7）对立事件（也叫逆事件） A A -Ω=，即φ=Ω=?A A A A ,。
1.4 事件的运算律 （1）交换律 BA AB A B B A =?=?,； （2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =??=??,； （3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ??=??=?,； （4）幂等律 A AA A A A ==?, ； （5）差化积 B A AB A B A =-=-； （6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ?==?=?=?,。 1.5 概率的公理化定义 设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足： （1）1)(0≤≤A P ； （2）1)(=ΩP ； （3）若事件 ，，， ，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=????)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质 （1）0)(=φP ； （2）若事件n A A A ，， ， 21两两不互相容，则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=??? ； （3）)(1)(A P A P -=； （4）)()()(AB P B P A B P -=-。 特别地，若B A ?，则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-； （5）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?。
概率论与数理统计期末考试试题及解答
概率论与数理统计期末考 试试题及解答 Prepared on 24 November 2020
一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案： 解： 即 所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则 ==)3(X P ______. 答案： 解答： 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 另解 在(0,2)上函数2y x = 严格单调，反函数为()h y =所以 4．设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答： 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ= 41e -=-. 5．设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案： 解答： 似然函数为 解似然方程得θ的极大似然估计为
(完整word版)概率论与数理统计期末试卷及答案
一、选 择 题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) (1)设A 、B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有( ) (A)0)(>A B P (B))()(A P B A P = (C)0)(=B A P (D))()()(B P A P AB P = (2)将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ ） 3311() () () ()32 8 168 A B C D (3)),4,(~2 μN X ),5,(~2 μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则( ) (A)对任意实数21,p p =μ （B ）对任意实数21,p p <μ (C)只对μ的个别值，才有21p p = （D ）对任意实数μ，都有21p p > (4)设随机变量X 的密度函数为)(x f ，且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数，则对任意 实数a 成立的是( ) （A ）? - =-a dx x f a F 0 )(1)( （B ）?-= -a dx x f a F 0 )(21)( （C ）)()(a F a F =- （D ）1)(2)(-=-a F a F (5)已知1250,,,X X X L 为来自总体()2,4X N :的样本，记50 11,50i i X X ==∑ 则 50 21 1()4i i X X =-∑服从分布为( ) （A ）4(2, )50N (B) 2 (,4)50 N （C ）()250χ (D) ()249χ 二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分) (1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=?B A P ,则___________)(=B A P (2) 设随机变量X 有密度? ??<<=其它01 0,4)(3x x x f , 则使)()(a X P a X P <=> 的常数a = (3) 设随机变量),2(~2 σN X ，若3.0}40{=< 概率论与数理统计课后习题答案 第七章参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2 的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σμ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）? ??>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。 解：（1）X c θc θc c θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θ n n n i i x x x c θ x f θL 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθ d θL d x θc θn θn θL 概率论与数理统计 实验报告 概率论部分实验二 《正态分布综合实验》 实验名称：正态分布综合实验 实验目的：通过本次实验，了解Matlab在概率与数理统计领域的应用，学会用matlab做概率密度曲线，概率分布曲线，直方图，累计百分比曲线等简单应用；同时加深对正态分布的认识，以更好得应用之。 实验内容： 实验分析： 本次实验主要需要运用一些matlab函数，如正态分布随机数发生器normrnd函数、绘制直方图函数hist函数、正态分布密度函数图形绘制函数normpdf函数、正态分布分步函数图形绘制函数normcdf等；同时，考虑到本次实验重复性明显，如，分别生成100,1000,10000个服从正态分布的随机数，进行相同的实验操作，故通过数组和循环可以简化整个实验的操作流程，因此，本次实验程序中要设置数组和循环变量。 实验过程： 1.直方图与累计百分比曲线 1）实验程序 m=[100,1000,10000]; 产生随机数的个数 n=[2,1,0.5]; 组距 for j=1:3 for k=1:3 x=normrnd(6,1,m(j),1); 生成期望为6，方差为1的m(j)个 正态分布随机数 a=min(x); a为生成随机数的最小值 b=max(x); b为生成随机数的最大值 c=(b-a)/n(k); c为按n(k)组距应该分成的组数 subplot(1,2,1); 图形窗口分两份 hist(x,c);xlabel('频数分布图'); 在第一份里绘制频数直方图 yy=hist(x,c)/1000; yy为各个分组的频率 s=[]; s(1)=yy(1); for i=2:length(yy) s(i)=s(i-1)+yy(i); end s[]数组存储累计百分比 x=linspace(a,b,c); subplot(1,2,2); 在第二个图形位置绘制累计百分 比曲线 plot(x,s,x,s);xlabel('累积百分比曲线'); grid on; 加网格 figure; 另行开辟图形窗口，为下一个循 环做准备 end end 2）实验结论及过程截图 实验结果以图像形式展示，以下分别为产生100,1000,10000个正态分布随机数，组距分别为2,1,0.5的频数分布直方图和累积百分比曲线，从实验结果看来，随着产生随机数的数目增多，组距减小，累计直方图逐渐逼近正态分布密度函数图像，累计百分比逐渐逼近正态分布分布函数图像。 概率论与数理统计必考大题解题索引 编制：王健 审核： 题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。 【相关公式】 全概率公式： ()()()()()() n 1122S P()=|()||()() (|)() =()(|)()(|). i n n E S A E B A P A B P B P A B P B P A B P B P AB P B A P A P A P A B P B P A B P B +++= =+12设实验的样本空间为，为的事件，B ，B ，……，B 为的划分，且>0,则有： P ?…其中有：。特别地：当n 2时，有： 贝叶斯公式： ()()i 1 00(1,2,,),()(|)() (|)()(|)() =()(|)() (|)()(|)()(|)() i i i i n i i j E S A E A P B i n P B A P A B P B P B A P A P A B P B P AB P A B P B P B A P A P A B P B P A B P B =>>===== +∑12n 设实验的样本空间为。为的事件,B ，B ，……，B 为S 的一个划分，且P ，……则有：特别地： 当n 2时，有： 【相关例题】 1.三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求： （1）恰好取到不合格品的概率； （2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。 解：设事件 表示：“取到的产品是不合格品”；事件i A 表示：“取到的产品是第i 家工 厂生产的”（i =123，，）。 则Ω== 3 1i i A ，且P A i ()>0，321A A A 、、两两互不相容，由全概率公式得 （1）∑=?=3 1 )|()()(i i i A A P A P A P 1000/37100 210035100410025100510040=?+?+?= 《概率论与数理统计》 试卷A （考试时间：90分钟； 考试形式：闭卷） （注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。答案填写在试卷和草稿纸上无效） 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A ，B 为二事件，则A B = U () A 、A B B 、A B C 、A B D 、A B U 2、设A ，B ，C 表示三个事件，则A B C 表示( ) A 、A ， B ， C 中有一个发生 B 、A ，B ，C 中恰有两个发生 C 、A ，B ，C 中不多于一个发生 D 、A ，B ，C 都不发生 3、A 、B 为两事件，若()0.8P A B =U ，()0.2P A =，()0.4P B =， 则( )成立 A 、()0.32P A B = B 、()0.2P A B = C 、()0.4P B A -= D 、()0.48P B A = 4、设A ，B 为任二事件，则( ) A 、()()()P A B P A P B -=- B 、()()()P A B P A P B =+U C 、()()()P AB P A P B = D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是() A 、A 与 B 独立 B 、A 与B 独立 C 、()()()P AB P A P B = D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为 其分布函数为()F x ，则(3)F =() A 、0 B 、0.3 C 、0.8 D 、1 7、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1] ()0, cx x f x ?∈=??其它 ，则常数c = () A 、 15 B 、1 4 C 、4 D 、5 概率论与数理统计实验报告 一、实验目的 1.学会用matlab求密度函数与分布函数 2.熟悉matlab中用于描述性统计的基本操作与命令 3.学会matlab进行参数估计与假设检验的基本命令与操作 二、实验步骤与结果 概率论部分： 实验名称：各种分布的密度函数与分布函数 实验内容： 1.选择三种常见随机变量的分布，计算它们的方差与期望<参数自己设 定）。 2.向空中抛硬币100次，落下为正面的概率为0.5,。记正面向上的次数 为x， （1）计算x=45和x<45的概率， （2）给出随机数x的概率累积分布图像和概率密度图像。 3.比较t(10>分布和标准正态分布的图像<要求写出程序并作图）。 程序： 1.计算三种随机变量分布的方差与期望 [m0,v0]=binostat(10,0.3> %二项分布，取n=10,p=0.3 [m1,v1]=poisstat(5> %泊松分布，取lambda=5 [m2,v2]=normstat(1,0.12> %正态分布，取u=1,sigma=0.12 计算结果： m0 =3 v0 =2.1000 m1 =5 v1 =5 m2 =1 v2 =0.0144 2.计算x=45和x<45的概率，并绘图 Px=binopdf(45,100,0.5> %x=45的概率 Fx=binocdf(45,100,0.5> %x<45的概率 x=1:100。 p1=binopdf(x,100,0.5>。 p2=binocdf(x,100,0.5>。 subplot(2,1,1> plot(x,p1> title('概率密度图像'> subplot(2,1,2> plot(x,p2> title('概率累积分布图像'> 结果： Px =0.0485 Fx =0.1841 3.t(10>分布与标准正态分布的图像 subplot(2,1,1> ezplot('1/sqrt(2*pi>*exp(-1/2*x^2>',[-6,6]> title('标准正态分布概率密度曲线图'> subplot(2,1,2> ezplot('gamma((10+1>/2>/(sqrt(10*pi>*gamma(10/2>>*(1+x^2/10>^(-(10+1>/2>',[-6,6]>。b5E2RGbCAP title('t(10>分布概率密度曲线图'> 结果： 概率论与数理统计试题 与答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】概率论与数理统计第四版课后习题答案
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