2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式(第一课时)导学案
§2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时）
丄［导学目标：
1.从函数观点看一元二次方程.会结合一元二次函数的图象，求解一元二次方程.
2.从函数观点看一元二次不等式.会结合一元二次函数图像，求解一元二次不等式.
3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式、方程与其相应函数的联系.
课前准备里——自上预习温故知新____________________________
（预习教材PzP53,回答下列问题）
情景：学校要在长为8,宽为6的一块长方形地面上进行绿化，计
划四周种花卉，花卉带的宽度相同，中间种植草坪（图中阴影部
分）为了美观，现要求草坪的种植面积超过总面积的一半，此时
花卉带的宽度的取值范围是什么？
【知识点一】一元二次不等式的定义
只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式. 其一般形式可表示为：ax2 +bx + c > O或￡用+hx + c < 0 ≠ 0）
自我检测1：下列不等式中是一元二次不等式的是（）
A?a2x2+ 2x≥0 B.丄<3
C ?—x~ + Λ■—〃2 S 0
D ?人‘ + ΛΓ— 4x +1 > 0 【知识点二】一元二次不等式的解法
下图是一元二次函数y =F-7X-6的图像，请根据图像回答：
（1）当牙取时，y = 0
当片取________ 时，y<0
当X取________ 时，>'> 0
由上面可知：
2 _元二次不等式X2-7X-6<0的解集为_____________________________________________
_元二次不等式疋_7x_ 6 VO的解集为_____________________________________ 有何发现:
第二重一元二次曲数、方程和不等式(3) _元二次方程If = 0的解集为_______________________________________________
有何发现：_____________________________________________________________________ 请归纳求解一元二次不等式ax2 +bx+c > 0(< 0)的解集的步骤？
自我检测2：—元二次不等式√-2x V 0的解集是
【知识点三】三个二次之间的关系
请根据右图回答：
—元二次方程OV2 +bx+c = 0(a≠0)、
一元二次不等式α" +bx+c > 0(α≠ 0)
与其对应的一元二次函数y = α? +bx+c(a ≠ 0)图像的关系？
(1)—元二次方程UX2+bx+c = 0(a≠0)的两根为x∣,p是—元二次函数
y = cιx2+bx+c(cι≠ 0)图像与工轴_______________________________________ . (2)一元二次方程ax2+bx+c>0(a≠0)的解集的端点是一元二次方程
ax2 +bx+c = 0(? ≠ 0)的_________________________________________________ . (3)—元二次方程eve2 +bx+c = 0(? ≠0)的两根为x∣,x2,则________________ .
自我检测3：不等式rt√+5x + c>0的解集为｛x∣丄VXV丄L则⑴C的值分别为() l3 2
A. t∕=6, C=I
B. “=—6, C=-I
C.
【知识点四】一元二次不等式恒成立问题
(1) ax2+bx+c>O(a≠Q)恒成立的充要条件是：。>0且b2 -4ac (2) ax2+bx + c< 0(a ≠ 0)恒成立的充要条件是：d <0 且-4ac<0(x∈ R). 3 自我检测4：若-元二次不等式22+总飞 <。对-切实数X都成立加的取值范围? ?2? 课堂活动蜃_________ ω≡_姬?点 题型------ 元二次不等式的解法 【例1】求解下列一元二次不等式 (1)求不等式√-5x + 6>O的解集. (2)求不等式9疋一6兀+1 > O的解集. ⑶求不等式一X2+2X-3> O的解集? 题型二三个“二次”之间的关系 【例2】已知关于A?的不等式ax2+bx + c> O的解集为{Λ∣2 题型三一元二次不等式恒成立问题 【例3-1】要使函数y = mx2+mx + (∕n-l)的值恒为负值，求加的取值范围. 【例3?2】当XG(1,2)时,不等式√÷^A+4<0恒成立，求加的取值范围. 第二重一元二次曲数、方程和不等式 ?4? 学后反星 巩同提崗 1 ?一元二次不等式-2√+x + 3 3 B. {x ?x> —} 2 A. {A 1V <-1 } D. {xlx<-lWtv>∣} A ?(2, +∞) C. (—8, O)U(2, +□o) B. (—8, 2) D ?(0,2) 2?若不等式宀桝垮>。的解集为R ，则实如的取值范围是（） 3.求解下列一元二次不等式 (1) X 2 -7x + 12>0； (3) X* — 2x +1V 0 ； (2) —x~ — 2Λ, + 3 ≥ 0 ； (4) —2.v~ + 3x — 2 < 0 4. 一元二次不等式x 2 + px + q< 0的解集为x∣-i 2 3 qx 2 + px + ?> 0 的解 集. 【参考答案】 课前准备区——自上预习温故知新_________________________________________ 情景：设花卉带的宽为Λ(0 -7x + 6>0. 2 【自我检测1】答案：C (1)x = l 或x = 6； IVxV6； XVI 或x>6 (2){jφvx<6}; {x∣X<>6} 函数位于X轴上方的图像对应的X的取值即为该函数所对应的不等式大于0的解集; 函数位于X轴下方的图像对应的X的取值即为该函数所对应的不等式小于0的解集; ⑶{1,6} 函数图像与-Y轴交点的横坐标即为该函数所对应的方程的解； (1)-化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式. (2)二判：计算对应方程的判别式. (3)三求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根. 第二重一元二次曲数、方程和不等式 (4)四写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集. 【自我检测2】答案：｛x?0 (1)—元二次方程α√ +Z JΛ+C =O(^≠O)的两根为x1, X2是一元二次函数y = CIX2 +bx+c(a ≠ 0)图像与X轴交点的横坐标. (2)一元二次方程俶2 +bx+c>0(a≠0)的解集的端点是一元二次方程 CVC2+/jχ + c = θ(f∕≠θ)的两根几兀2 ? b C (3)—元二次方程CIX~ +bx + C = 0 (?≠ 0)的两根为XPX2 ?则+X2=— —,X]Λ^2=-?【自我检测3】答案：B (1) aX2+bx + c>0(a ≠ 0)恒成立的充要条件是：α > 0且庆一4αc < O(X ∈ R). (2) ax2 +bx-hc< O(U ≠ 0)恒成立的充要条件是：a <0 Kb2 - 4ac 【自我检测4】答案：制―3vkvθ} 课室活动展I ___ 超整~MM?______________________________ 【例1】答案：(1) {xLt<2,或Λ>3}; (2) ?x A≠∣}； (3) 0. 【例2]答案：由不等式a x2+bx+c>0的解集为｛.γ∣2 二次不等式-2√+x+3Vo的解集是（） ?6? Ux1-Vbx+C=0的两根，由根与系数的关系可知夕=一5,牛=6.由XO知c<0, ?=#,故不等式cx2+bΛ?+"<0,即.￡+$+》()，即X2—去+》0,解得或#,所以不等式" + /7A ÷4∕<0 的解集为'ΛI A-<∣°J C V>5