长方形、正方形、三角形

课题名称:长方形、正方形、三角形

教学目标：掌握三角形的特性、内角和、分类

教学重点：三角形的特性、三角形高的画法、三角形的内角和、三角形的分类

教学难点：三角形的特性、三角形的内角和

长方形和正方形

基础填空

1、括号里填上合适的单位名称。

①楼房的高20( ) 。②一块橡皮的面积是6( )。

③一支钢笔长13( ) 。④学校操场的面积是720( )。

⑤一棵大树高12( )。⑥一张邮票的面积是4( )。

教室地面的面积是56 ( )。中国的领土面积大约是960万( )。

课桌面的面积约是42 ( )。小明身高132 ( )。

2、常用的面积单位有平方米、( )和( )；相邻两个面积单位间的进率是( )；常用的周长单位有（），( )和( )，相邻两个周长单位间的进率是( )。

3、80分米=( )米=( )厘米。 9平方千米＝( )公顷

600平方分米=( )平方厘米=( )平方米。

8公顷＝( )平方米 500公顷＝( )平方千米

4、边长是10分米的正方形，面积是( )、周长是( )。

边长是1厘米的正方形，面积是（），周长是（）。面积是1平方米的正方形，边长是（）。

5、一个长方形的长是5厘米，宽是3厘米，它的面积是( )，周长是（）

二、判断题(对的在括号里打“√”，错的打“×”)

1、周长是4分米的正方形，面积是1平方分米。 ( )

2、长度单位的进率是10，面积单位的进率是100。 ( )

3、8平方分米＋4平方厘米=12平方厘米。 ( )

4、长50厘米、宽40厘米的长方形，面积是20平方分米。 ( )

5、用两根同样长的铁丝围成两个不同形状的长方形，它们的面积相等。 ( )

6、一个长方形长增加5厘米，宽减少5厘米，它的周长不变。( )

7、用两个大小相同的正方形，拼成一个长方形，长方形的面积与两个正方形的面积之和相等。( )

8、边长是1厘米的两个正方形，拼成一个长方形，长方形的周长是8厘米。 ( )

9、边长是4米的正方形，它的面积和周长相等。（）

10、正方形的边长扩大2倍，它的面积也扩大2倍。（）

11、边长10厘米的正方形，它的面积是1平方分米。（）

12、用8厘米铁丝围成的正方形要比围成的长方形面积大.（）。

三、在□ 里填上“＞”“＜”或“＝”。

2公顷□1900平方米 3平方千米□ 30公顷

500平方分米□5平方米 4000平方米□ 4公顷

70平方分米□7米 1米□99厘米

四、应用题

1、一块边长是80厘米的正方形木版，它的面积是多少平方厘米？合多少平方分米？

2、一个长方形长20分米，比宽多5分米，这个长方形的面积是多少？

3、一块菜地长8米、宽5米，平均每平方米收菜16千克，在这块地里一共收菜多少千克？

4、有一个边长为4厘米的小正方形，把它的边长分别增加6厘米，做成一个大正方形．大正方形的面积比小正方形的面积多多少？

5、在一块长20米，宽16米的田地上种棉花，平均每平方米种棉花8株，这块地共可以种多少株棉花？

6、学校操场宽30米，长比宽的2倍还多10米．它的面积是多少？

7、一块边长为2米的花布，它的面积是多少平方米？合多少平方分米？把它做成面积是4平方分米的手帕，可以做多少块？

8、一个正方形和一个长方形的周长相等，正方形的周长是40分米，如果长方形的宽是8分米，这个长方形的面积是多少？

9、有一块正方形地砖，周长是24分米，它的面积是多少平方分米?

10、教室前面的墙壁，长6米，宽3米。墙上有一块黑板，长是3米，宽是1米。现在要粉刷这面墙壁，要粉刷的面积是多少平方米?

11、一辆洒水车，每分钟行驶200米，洒水的宽度是8米。洒水车行驶8分钟，能给地面上洒水多少平方米?

12、一条人行道长20米，宽4米，面积是多少平方米？合多少平方分米？，如果用面积8平方分米的水泥方铺地，需要这样的水泥方砖多少块？

13、一块长方形菜地长250米，宽80米，这块菜地的面积是多少公顷？如果每公顷施化肥120千克，共需要化肥多少千克？

年月日

1年 12个月

31天：一、三、五、七、八、十、十二大月（7个）

30天：四、六、九、十一小月（4个） 28天 29天二月特殊月

1、判断平年和闰年1949、1900、1997、2004、2008、2000、1700

2、 24个月=( )年 5年=( )个月 1个大月=( )天

1个世纪=( )年 1星期=( )天

今年全年有( )天合（）个星期零（）天

144时=（）日 1时20分= ( )分

60分=（）时 5年=（）月

48个月=（）年 12时=（） 1星期=（）时

3、判断

一、二、三、四月是第一季度。（）

1992年的上半年有182天。（）

4、小红今年12岁，却只过了3 个生日，小红的生日是哪一天？

知识点：

特征：三条线段围成的图形

三条边、三个角、三个顶点、三条底、三条高

稳定性

特性：两边之和大于第三条边

内角和180度

三角形锐角三角形

直角三角形

分类：钝角三角形

任意三角形

按边等腰三角形

等边三角形

图形的拼组：用任意2个完全一样的三角形一定能拼成一个平行四边形。

用2个相同的三角形可以拼成一个平行四边形。

用2个相同的直角三角形可以拼成一个长方形、一个平行四边形、一个大等腰三角形。

用2个相同的等腰直角的三角形可以拼成一个正方形、一个平行四边形、一个大的等腰的直角的三角形。

基础填空

1．由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做（）。

2．从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的（），这条对边叫做三角形的（）。

3．在一个三角形中，其中两个内角的和是89°，按角分，这个三角形是（）三角形。

4．一个等腰三角形的一条边长8厘米，另一条边长10厘米，它的周长可能是（）厘米，或（）厘米。

5．一个等边三角形的周长是48厘米，那么它的每条边长是（）厘米，每个角是（）°。6．我们的红领巾按边分是（）三角形，其中一个底角是30°，它的顶角是（）°。

7．拼成一个等腰梯形至少要用（）个相同的等边三角形。

例1.画出下面每个三角形底边上的高。

例2.用长分别是5厘米、7厘米和（）厘米的三根小棒一定能摆出一个三角形。

练习

1.在能拼成三角形的小棒下面画“☆”。（单位：厘米）

（）（）（）2.一根10米长的吸管剪成三段拼三角形怎么剪？请写出三条线段长度。

2. 从学校到少年宫有几种走法？哪条路最近？为什么？

例3.下列三角形按角分类各是什么三角形？按边分类各是什么三角形？

练习

1.按要求分一分。

锐角三角形有（）钝角三角形有（）

直角三角形有（）等腰三角形有（）

2.看图分类

左图中分别有（）锐角三角形，( )个钝角三角形，（）个直角三角形。

右图中分别有（）锐角三角形，( )个钝角三角形，（）个直角三角形。

例4.等腰三角形的周长是40厘米，它的一条腰长12厘米，那么，它的底边长多少厘米？

练习

1.王爷爷有一块菜地的形状是近似的等边三角形，一边长16cm。如果在菜地的外面围上一圈篱笆，这个篱笆的周长大约是多少？

例5.王爷爷家的屋顶是一个等腰三角形（如图），求顶角的度数。

练习

1.如果直角三角形的一个锐角是20°，那么另一个角一定是（）。

2.在一个三角形中，∠1=120°∠2=36°，∠3=（），这是一个（）三角形。

3.在一个三角形的三个角中，一个是50度，一个是80度，这个三角形既是（）三角形，又是（）三角形。

4.求出三角形各个角的度数。

5.一个一块等腰三角形广告牌，它的一个底角是65°，它的顶角是多少度？

6.根据三角形的内角和是180°，你能求出下面五边形的内角和吗？

作业

一、选择题。

1、一个三角形的两条边分别是5厘米和8厘米，那么第三条边的长度可能是（）厘米。

A、12厘米

B、13厘米

C、14厘米

2、把一个等边三角形沿其中一条高剪开，分成两个直角三角形，其中一个直角三角形的两个锐角分别是（）。 A、45°和45° B、30°和60° C、30°和30°

3、自行车的支架常常做成三角形，是利用了三角形（）的特性。

A、内角和是180°

B、容易变形

C、稳定性

4、一个三角形中最小的一个内角是46°，那么这个三角形是（）。

A、直角三角形

B、锐角三角形

C、钝角三角形

5、在三角形中，如果两个内角的度数之和等于第三个内角，那么这个三角形是（）。

A、直角三角形

B、锐角三角形

C、钝角三角形

二、判断题。

1．所有的等边三角形都是锐角三角形。（）2．等腰三角形的底角不可能是钝角。（）3．用4厘米、6厘米、10厘米的三根小棒能摆成一个三角形。（）4．等腰直角三角形的底角一定是45°。（）5．两个相同三角形可以拼成一个平行四边形。（）

6.由三条线段组成的图形是三角形。（）

7.自行车车架运用了三角形的稳定性原理。（）

8.三角形有一条高、一条底。（）

9.3个角都是钝角的三角形是钝角三角形。………………（）

10.直角三角形中只有一个直角。…………………………（）

11.最大的角是锐角的三角形是锐角三角形。…………………（）

12.有一个角是锐角的三角形是锐角三角形。…………………（）

13．等边三角形一定是锐角三角形。（）

14.等边三角形也叫正三角形。……………………………………………（）

15.等腰三角形可以是直角三角形。………………………………………（）

16.所有的等边三角形都是等腰三角形。………………………（）

17.一个顶角是80度的等腰三角形，一定是一个钝角三角形。……（）

18.三角形任意两边的和大于第三边。……………………………（）

19.一个三角形可能有两个钝角。………………………………（）

三．解答题

1.哪组能组成三角形？为什么？

（1）6、7、8 （2）5、5、5 （3）1、9、8

（4）7、11、39 （5）13、5、16 （6）16、24 、2

2．一根10米长的吸管剪成三段拼三角形怎么剪？请写出三条线段长度。

3.下面是三块三角形玻璃打碎后留下的碎片，你能判断出它们原来各是什么三角形吗？

4.已知∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个内角，∠1=48°，∠2=72°，求∠3的度数。按角分，这是个什么三角形？

5.计算下列图形的内角和。

初中几何经典培优题型(三角形)

全等三角形辅助线 找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等； （3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种： 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．

3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的 思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是 全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相 等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 常见辅助线写法： ⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F ⑵过点A作BC的垂线，垂足为D ⑶延长AB至C，使BC＝AC ⑷在AB上截取AC，使AC＝DE ⑸作∠ABC的平分线，交AC于D ⑹取AB中点C，连接CD交EF于G点

圆柱与组合图形练习题

圆柱与组合体练习题 1、在一个边长为4厘米的正方体的前后、上下、左右面的中心位置挖去一个底面半径为1厘米，高为1厘米的圆柱，求挖去后物体的表面积。 /2、把一个圆柱切成两个半圆柱，切面是个正方形，已知每个半圆柱的体积是25.12立方厘米，求每个半圆柱的表面积是多少平方厘米？ 3、一个圆柱高8厘米，如果它的高增加2厘米，那么它的表面积增加25.12平 方厘米，求原来圆柱的表面积是多少平方厘米？ 4、如图，在一个底面积为324平方厘米的正方体铸铁中，以相对的两面为底， 挖出一个最大的圆柱，然后在剩下的铸铁表面涂上油漆，求涂油漆的面积是多少？ 5、如图上半部是个半圆柱，下半部是一个长方体，它的表面积是多少平方厘米？ 6、如图在一个圆柱上挖了一个边长为2厘米的方形的孔，现在这个物体的表面 积是多少平方厘米？ 7、一段长宽高的比是5：4：3的长方体木材，棱长总和是96厘米，把它加工成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少？

8、如图是一个半径为4厘米，高为4厘米的圆柱，在它的中间依次向下挖去半 径分别为3厘米，2厘米，1厘米，高分别为2厘米，1厘米，0.5厘米的圆柱，最后得的立体图形表面积是多少平方厘米？ 9、如图一块长方体铁皮，利用图中的阴影部分刚好能做成一个圆柱形油桶（接 头处忽略不计），求这个油桶的容积？ 10、一个圆柱体木块切成四块（如图一），表面积增48平方厘米；切成三块（如 图二）表面积增加50.24平方厘米；削成一个最大的圆锥体（如图三），体积减少了多少立方厘米？ 11、有一个高是8厘米，容积是50立方厘米装满水的圆柱形容器，把一个高是4厘米的圆锥形铁块放入其中，再取出后，容器中水面下降了1厘米。求圆锥的体积。 12、有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米（见下图）。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？

关于全等三角形的旋转难题

旋转 已知，如图，三角形ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AB的中点，直线l经过点C，分别过点A、B作l 的垂线，即AD⊥CE，BE⊥CE， （1）如图1，当CE位于点F的右侧时，求证：△ADC≌△CEB； （2）如图2，当CE位于点F的左侧时，求证：ED=BE-AD； （3）如图3，当CE在△ABC的外部时，试猜想ED、AD、BE之间的数量关系，并证明你的猜想． 考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题；探究型．分析：（1）利用同角的余角相等得出∠CAD=∠BCE，进而根据AAS证明△ADC≌△CEB． （2）根据AAS证明△ADC≌△CEB后，得其对应边相等，进而得到ED=BE-AD． （3）根据AAS证明△ADC≌△CEB后，得DC=BE，AD=CE，又有ED=CE+DC，进而得到ED=AD+BE．解答：（1）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE， ∴∠ADC=∠CEB=90°． ∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°， ∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）． 在△ADC与△CEB中 ∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）． （2）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE， ∴∠ADC=∠CEB=90°． ∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°， ∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）． 在△ADC与△CEB中 ∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）． ∴DC=BE，AD=CE． 又∵ED=CD-CE， ∴ED=BE-AD． （3）ED=AD+BE． 证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE， ∴∠ADC=∠CEB=90°． ∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°， ∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）． 在△ADC与△CEB中 ∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）． ∴DC=BE，AD=CE． 又∵ED=CE+DC， ∴ED=AD+BE．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；利用全等三角形的对应边相等进行等量交换，证明线段

三角形旋转

三角形旋转 三角形旋转问题考察旋转变换，三角形全等，三角形相似，三角形面积，线段长度的最值，综合性非常强。 （2011浙江宁波3分）如图，⊙O1 的半径为１，正方形ABCD的边长为6， 点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，O1O2 =8．若将⊙O1 绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边 只有一个公共点的情况一共出现 (A)3次(B)5次(C)6次(D)7次 【答案】B。 【考点】直线与圆的位置关系，正方形的性质 【分析】∵⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形 ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点， 设O1O2交圆O1于M，∴PM=8－3－1=4。∴圆O1与以P为圆心，以4 为半径的圆相外切。 ∴在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共 出现5次。 故选B。 问题：证明边相等 思路：三角形全等 问题：求周长最值 思路：和存在性问题结合。列出周长函数解析式，配方法求出最值 (2012四川省南充市，21，8分) 在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B.

（1）求证：MA=MB; （2）连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值.若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由. 解析：（1）连接OM.证明⊿AMO ≌⊿AMO即可.（2）在Rt⊿AOB中，运用勾股定理得到求AB长的式子，转化成二次函数的问题，运用二次函数的最值求解. 答案：（1）证明：连接OM. ∵⊿PQR是等腰之间三角形且M是斜边PQ的中点， ∴MO=MQ，∠MOA=∠MOAMQB=450. ∵∠AMO+∠OMB=900，∠OMB+∠AMO =900. ∴∠AMO =∠AMO. ∴⊿AMO ≌⊿AMO. ∴MA=MB. （2）解：由（1）中⊿AMO ≌⊿AMO得AO=BQ. 设AO=x，则OB=4-x. 在Rt⊿OAB中， 22222 +(4-)=2(-2)+8 AB OA OB x x x =+= . ∴当x=2时，AB的最小值为22， ∴⊿AOB的周长的最小值为22+4. 点评：本题以直角三角形为基本图形，综合考查了全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、勾股定理和二次函数的性质等知识点.考查了学生综合运用数学知识以及转化的数学思想解决问题的能力.对于几何知识与二次函数的综合，是学生解题的难点之一.难度较大

圆与正方形组合图形的面积

《圆与正方形组合图形面积》教学设计 教学内容：人教版小学数学教材六年级上册第69页例3。 教材分析： 《圆与正方形的组合图形面积》是在学生学习了圆的面积计算的基础上进行探究的，属于圆面积公式的实际应用问题。教材重视让学生经历解决问题的全过程，第一步理解现实的问题情景，转化成要解决的数学问题；第二步分析问题，找到解决问题的方案并解决之，第三步对解答的结果和解决的方法进行检验和回顾反思。在解决问题的过程中，体会转化的数学思想，感受中国传统文化。所以，我在这节课的设计上，以问题为引领，解决问题的步骤为主线，让学生在解决问题的过程中学会解决圆与正方形组合图形面积计算的一般方法，获得成果的喜悦。 学情分析： 学生已经掌握了正方形、三角形、圆等平面图形的面积计算，并在五年多的学习中积累了一定的解决问题的能力，对本课的学习是有一定的知识基础的；学生在研学后教的课堂学习中已具备了较强的独立思考和动手操作的能力，较好地掌握了自主探究、合作交流的学习方法，汇报展示的水平也不断提高，对本课的学习有一定的能力基础。我们班的学生对数学学习有浓厚的兴趣，爱动脑筋，对本课的学习有一定的兴趣基础。 教学目标： 1、结合具体的情境，利用圆的面积公式解决有关“外方内圆”和“外圆内方”的实际问题。 2、通过自主学习，合作学习，培养学生独立思考、合作探究的意识，不断提高分析问题和解决问题的能力。 3、结合例题渗透传统文化的教育，通过体验图形和生活的联系感受数学的价值，提升学习的兴趣。 教学重点：会运用面积公式解决实际问题。 教学难点：理解图形中正方形与圆的关系。 教具及学具：教学课件，外方内圆和外圆内方的纸片。 教学过程： 一、图形欣赏，引入课题。 1、出示生活中的圆与正方形的组合图形。 (同学们，在生活中有见过这些图形吗？……它们有个共同的特点，都是圆和正方形的组

求三角形内最大内接正方形面积

思路：假设△ABC是已知三角形，如果内接正方形EFGH有两顶点E、F在BC 上，此时设BC=a，AC=b，AB=c，BC边上的高AD=h1，设正方形EFGH的边长是x， （又假设AC、AB边上的高分别为h2、h3） 1）并且设△ABC是任意锐角三角形，并且a＞b＞c 由△ABC∽△AHG，所以高的比等于相似比 即：x/a=(h1-x)/h1，所以内接正方形边长x=ah1/（a+h1） 如果有两顶点在AB、AC边上时也同样可以得：边长为：bh2/（b+h2），ch3/（c+h3） 要使内接正方形面积最大，则边长应最大， 下面比较ah1/（a+h1）、bh2/（b+h2），ch3/（c+h3）的大小即可 因为△ABC的面积S=ah1/2=bh2/2=ch3/2，即 ah1=bh2=ch3 所以分子相同，分母越小，分数越大 比较a+h1、b+h2、c+h3 由（a+h1）-（b+h2）=（a-b）+（h1-h2）=（a-b）+（2S/a-2s/b）=（a-b）+2S（1/a-1/b）=（a-b）（1-2S/ab）

=（a-b）（ab-2s）/ab （S是△ABC的面积）由垂线段最短，知b大于高h1，即ab＞ah1，而ah1=2S， 所以（a-b）（ab-2s）/ab ＞0 所以 a+h1＞b+h2 ，即如果内接正方形有两个顶点在BC边上时，边长较小，面积也较小 同理，如果有两顶点在AC边上时其面积比两点在AB边上小 因此得结论：当内接正方形有两个顶点在最小边上时，其面积最大此时内接正方形的边长是：ch3/（c+h3）（设最小边是c，这边上的高是h3）面积就是其平方了。 2）直角三角形其内接正方形面积最大应为一顶点与直角顶点重合，三边上各有一顶点。其边长为：两直角边之积/两直角边之和。 3）类似方法讨论，任意钝角三角形，内接正方形的两个顶点在钝角所对的边上时面积最大，其边长为：最大边与这边上的高的积/最大边与这边上高的和

初中数学三角形旋转与极值问题

三角形旋转与极值问题 1.如图所示，AM=3，BM=2，连AB，以AB为边长作等边三角形ABC，连MC，求MC的最大值。 解析：将三角形AMC绕点A顺时针旋转60°，M’、M、B共线MC=M’B最大值为5

2.如图所示:AM=3,BM=5,连AB，以AB为边长作正方形ABCD，连DM，求DM的最大值。 解析：将△AMD绕点A顺时针旋转90°，F、M、B共线MD=FB最大为8 3.如图，正方形ABCD的边长为4，点E为正方形外的一个动点，∠AED=45°，P为AB中点，线段PE的最小值是________,最大值是____________. 解析：将△DEC绕点D顺时针旋转90°，可证∠AEC=90°，E、P、O共线PE=OE-OP，最小 值为22-2，P、O、E共线PE=OE+OP，最大值为22+2

4.如图：正方形ABCD的边长是1，点P是边BC上任意一点（可以与B或C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线段BB′、CC′、DD′， ①写出BB′、CC′、DD′的数量关系等式：并证明你的结论 ②BB′+CC′+DD′的最大值是（） ③BB′+CC′+DD′的最小值是（） 解析：（1）如图△ADD’≌△BCN，DD’=BN=BB’+CC’ （2）P与B重合，BB′+CC′+DD′=2AD，最大值是2 （3）P与C重合，BB′+CC′+DD′=BD，最小值是2 5..在直角平面坐标系中，C（0,4），A在第三象限，B在第四象限，ΔOAB是等腰 直角三角形，AB=8，求SΔCAB最大值。（有两种方法，） 解析：AB长一定，当CM=OM+OC时，S△CAB最大为32.故需将△AOB旋转到C、O、M共线。

圆和组合图形(1)

圆和组合图形（1） 一、填空题 1.算出圆内正方形的面积为 . 2.右图是一个直角等腰三角形,直角边长2厘米,图中阴影部分面积是 平方厘米. 120,以扇形的半径为边长画一个正方形,这个正方形的面积是120平方厘米.这个扇形面积是 . 4.如图所示,以B 、C 为圆心的两个半圆的直径都是2厘米,则阴影部分的周长是 厘米 .(保留两位小数) 5.三角形ABC 是直角三角形,阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小28平方.

6.如右图,阴影部 分的面积为2平方 厘米,等腰直角三角形的面积 7.扇形的面积是31.4平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是 度. 8.图中扇形的半径OA =OB =6厘米.45=∠AOB , AC 垂直OB 于C ,那么图中阴影部分的面积是 平方厘米.)14.3(=π 9.右图中正方形周长是20厘米.图形的总面积是 平方厘米. 10.在右图中(单位:厘米),两个阴影部分面积的和是 平方厘米. 45

二、解答题 11. ABC 是等腰直角三角形. D 是半圆周的中点, BC 是半圆的直径,已知: AB =BC =10,那么阴影部分的面积是多少?(圆周率14.3=π) 12.如图,半圆S 1的面积是14.13平方厘米,圆S 2的面积是19.625平方厘米.那么长方形(阴影部分的面积)是多少平方厘米? 13.如图,已知圆心是O ,半径r =9厘米,1521=∠=∠,那么阴影部分的面积是多少平方厘米?)14.3(≈π 14.右图中4个圆的圆心是正方形的4个顶点,它 们的公共点是该正方形的中心.如果每个圆的半径都 是1厘米,那么阴影部分的总面积是多少平方

数学人教版九年级上册旋转法构造全等三角形

典型例题： 已知:AC 是正方形ABCD 的对角线，∠EMF 的顶点在线段AC 上运动，∠EMF 绕点M 旋转，角的两边与CD 、BC 交于点F 、E.(点F 不与C 、D 重合）. (1)当∠EMF=90°时，试探究ME 与MF 的数量关系并说明理由.探究CE 、CM 、CF 之间的数量关系，并说明理由. 变式1： (2)当点M 在直线AC 上运动，∠EMF 绕点M 旋转，当角的两边交CD 、CB 的延长线于点F 、E,其余条件不变，结论是否成立？ 探究CE 、CM 、CF 之间的数量关系，并说明理由.. A A A 变式3： (4)当点M 在直线AC 上，当∠FME=∠ABC,其他条件不变，结论是否成立？并说明理由. 旋转法构造全等 学习目标： 题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形. 活动一： 变式2： (3)将正方形ABCD 改为∠ABC=120°的菱形，当∠FME=120°结论是否成立？并说明理由.

分层练习： （A 层） 1. 把含15°角的三角板ABC ，绕点B 逆时针旋转90°到三角板DBE 位置（如图所示），则sin ∠ADE=_______。 （第1题） （第2题） （第3题） 2. 点p 是等边△ABC 内一点，若PA=13，PB=5，PC=12，∠BPA=_________. 3. 如图所示，把正方形ABCD 绕点A,按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与 BC 交于点 H.(1)线段HG 与线段HB 相等吗？证明你的猜想.(2)若旋转角为30，HG 的长. （B 层） 1.如图，若把△ABC 绕点A 旋转一定角度得到△ADE ，那么对应边AB=___,BC=___,对应角∠CAB=____,∠B=____. （第1题） （第2题） （第3题） 2.已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 上，将△DCE 绕点D 按顺时针方向旋转，与△DAF 重合，那么旋转角等于____度. 3. 在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，如果将该三角形绕点A 按顺时针方向旋转到△ A ’ B ’ C ’的位置，点B ’恰好落在边BC 的中点处，则旋转角_____度.

六年级奥数题：圆和组合图形(A)

一、填空题 1.算出圆内正方形的面积为 . 2.右图是一个直角等腰三角形,直角边长2厘米,图中阴影部分面积是 平方厘米. 3.一个扇形圆心角120,以扇形的半径为边长画一个正方形,这个正方形的面积是120平方厘米.这个扇形面积是 . 4.如图所示,以B 、C 为圆心的两个半圆的直径都是2厘米,则阴影部分的周长是 厘米.(保留两位小数) 5.三角形ABC 是直角三角形,阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小28平方厘米. A B 长

6. , 等腰直角三角形的面积为 . 7.扇形的面积是31.4平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是 度. 8.图中扇形的半径OA =OB =6厘米.45=∠AOB , AC 垂直OB 于C ,那么图中阴影部分的面积是 平方厘米 9.右图中正方形周长是20厘米.图形的总面积是 平方厘米. 10.在右图中(单位:厘米),两个阴影部分面积的和是 平方厘米. 45

二、解答题 11. ABC 是等腰直角三角形. D 是半圆周的中点, BC 是半圆的直径,已知:AB =BC =10, 那么阴影部分的面积是多少?(圆周率14.3=π) 12.如图,半圆S 1的面积是14.13平方厘米,圆S 2的面积是19.625平方厘米.那么长方形(阴影部分的面积)是多少平方厘米? 13.如图,已知圆心是O ,半径r =9厘米,1521=∠=∠,那么阴影部分的面积是多少平方厘米? )14.3(≈π 14.右图中4个圆的圆心是正方形的4个顶点,它们的公共点是该正方形的中心.如果每个圆的半径都是1厘米,那么阴影部分的总面积是多少平方厘米?

初二数学专题练习--三角形旋转

初二数学专题练习三角形旋转 2. 如图，在等腰Rt △ AB(中, / CAB=90 PC= ? ?请利用旋转的方法 求：/ CP的大小. P 是厶AB内一点，且PA=1 , PB=3 , 3. 已知△ AB中，/ ACB=135。，将△绕点BC顺时针旋转 90。，得至^厶AED，连接CE. (1) 求证：△ ACD等腰直角三角形； (2) 若BC=1，AC=2，求四边形ACED的面积.

然后把△ BCD着点C按顺时针方向旋转60。得到△ A如图所 示，已知BD=5 , B C AD=3 . (1) 由旋转可知线段BC，CD，BD的对应线段分别是什么？ (2) 求/ DA的度数； (3) 求/ BD的度数； (4) 求CE的长. 5.如下图是两个等边△ ABC、等边△CDE的纸片叠放在一起的图 形. (1)固定△ ABC，将△ 绕点EC按顺时针方向旋转30。， 连AD，BE,线段BE、AD之间的大小关系如何？证明你的结 论；

(2)若将△ CDE绕点C按顺 时针方向任意旋 转一个角度，连 AD、BE,线段BE、AD之间大小关系如何？证明你的结论.

6?将两块斜边长相等的等腰直角三角形按如图 A 摆放，斜边AB 分别交CD 、CE （1） 如果把图A 中的ABCN 绕点C 逆时针旋转90。得至UACF ，连接FM ，如图 B ,求证：A CMF 也/CMN : （2） 将A CED 绕点C 旋转： ① 当点M 、N 在AB 上（不与A 、B 重合）时，线段AM 、MN 、NB 之间有一 个不变的关系式，请你写出这个关系式，并说明理由； ② 当点M 在AB 上，点N 在AB 的延长线上（如图C ）时，①中的关系式是否 仍然成立？请说明理由. 7. 在A ABC 中，/ACB=90 °,AC=BC ，直线 MN 经过点 C ,且 AD 丄 MN 于 D ， 于M 、N 点, 图卫 图E 图C

圆和组合图形的面积和周长

WORD 格式整理版 平面图形面积————圆 的面积 班级 姓名 上课时间 专题简析 ：在进行组合图形的面积计算时，要仔细观察，认真思考，看清组合图 形是由几个基本单位组成的，还要 找出图中的隐蔽条件与已知条件和要求的问题间的关系。并且同学们应该牢记几个常见的圆与正方形的关系量：在正 例题 2 。 求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。 方形里的最大圆的面积占所在正方形的面积的 3.14 ,而在圆内的最大正方形占所在圆的面积的 4 2 3.14 ,这些知识点都应 该常记于心，并牢牢掌握！ . 例题 1 。 求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。 分析】如图所示的特点， 阴影部分的面积可以拼成 1/4 圆的面积。 62×3.14 ×1/4 ＝ 28.26（平方厘米） 练习 1 求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。

分析】阴影部分通过翻折移动位置后，构成了一个新的图形（如图所示）。从图中可以看出阴影部分的面积等于 3.14 ×42×1/4 －4 ×4 ÷2÷2 ＝8.56 （平方厘米） 4 ）。 【分析】这道题的难点在于正方形的边长未知，这样扇 形的半径也就不知道。但我们可以看出，AC 是等腰 直角三角形 ACD 的斜边。根据等腰直角三角形的对称性可知，斜边上的高等于斜边的一半（如图所示），我们可以求出等腰直角三角形ACD 的面积，进而求出正方形ABCD 的面积，即扇形半径的平方。这样虽然半径未求出，但可以求出半径的平方，也可以把半径的平方直接代入圆面积公式计算。 既是正方形的面积，又是半径的平方为：6×（6÷2）×2＝18 （平方厘米） 阴影部分的面积为：18－18×3.14÷4＝3.87 （平方厘米） 答：阴影部分的面积是3.87 平方厘米。. 练习3 1 、如图所示，图形中正方形的面积是50 平方厘米，分别求出每个图形中阴影部分的面积。 大扇形的面积减去大三角形面积的一半。 练习2: 计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，正方形边长

专题三 几何证明之三角形中的旋转综合问题 2020年中考数学冲刺难点突破 几何证明问题(解析版)

2020年中考数学冲刺难点突破几何证明问题 专题三几何证明之三角形中的旋转综合问题 1、如图，点P是∠MON内的一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，且OA＝OB． （1）求证：PA＝PB； （2）如图②，点C是射线AM上一点，点D是线段OB上一点，且∠CPD+∠MON＝180°，若OC＝8，OD＝5．求线段OA的长． （3）如图③，若∠MON＝60°，将PB绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转，12秒后，PA开始绕点P以每秒10°的速度顺时针旋转，PA旋转270°后停止，此时PB也随之停止旋转．旋转过程中，PA所在直线与OM所在直线的交点记为G，PB所在直线与ON所在直线的交点记为H．问PB旋转几秒时，PG＝PH？ 2、（1）问题发现： 如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝50°，连接AC，BD交于点M．

填空：①的值为； ②∠AMB的度数为． （2）类比探究：如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，CD＝2OD，AB＝2OB，连接AC交BD的延长线于点M．请求出的值及∠AMB的度数，并说明理由； （3）拓展延伸：在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC、BD所在直线交于点M，若OD＝1，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长． 3、已知在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0）、C（0，c），其中a、b、c满足 ＝0． （1）求△ABC的面积； （2）将线段BC向右平移至AD（点B对应点A，点C对应点D）． ①当点M为x轴上任意点（不与原点重合），ME、CF分别平分∠CMO与∠DCM，若∠AME＝α，∠DCF ＝β，试用含α的代数式表示β； ②点P为线段CD上一点（不与点C、D重合），P的横坐标为t，连接BP、AC，BP交y轴于点E，交 AC于点Q，若△CQE与△PQA的面积分别为S1，S2，试用含t的代数式表示S2﹣S1．

相似三角形应用--内接矩形

相似三角形的应用——三角形的内接矩形问题 一.复习提问： 1．如图△ABC 中，DE ∥BC ，DE ＝2.5，BC ＝3.5，AF ⊥BC 于F ，交DE 于G ，AG ＝2。 求GF 的长。 二.例题讲解： 已知在△ABC 中,BC=12,BC 边上的高AM=8,请回答下列问题: 1.如图⑴ ,四边形EFGH 为△ABC 的内接正方形,求正方形边长. 2.如图⑵,三角形内有并排的两个全等的正方形,恰好组成了△ABC 的内接矩形EFGH,求每个小正方形边长. A B C D E G F E M A C B E F G M A C B

3.如图⑶, △ABC 内的内接矩形是由3个全等的正方形并排放置形成的，求小正方形边长。 4.如图⑷,三角形内并排的n 个全等的正方形组成的矩形内接于△ABC ，由以上结论猜测每个小正方形边长并验证。 三.变式训练 张师傅的困惑: 如图,现有一木板余料,∠B=90°,BC=60cm,AB=80cm,我要把它加工成一个面积最大的正方形椅子面,下面有两位同学的加工方案,请同学们帮我选择哪位同学的加工方案好？ 小亮:如图,我充分利用直角三角形的直角,可使裁出的正方形面积最大,我的方案最好！ 小明:如图,我充分利用直角三角形中的最长边斜边,可使裁出的正方形面积最大,我的方案最好！ F G E N F E N H M A C B M A C B B C A 80c 60c A B C 80c 60c

四．课堂检测： 1、四边形DEFG 是△ABC 的内接矩形， AH ⊥BC 于H ，交DG 于M ，若BC=12cm ，AH=10cm ，DG=xcm ，DE=ycm （1）请用含x 的代数式表示y. （2）请用含x 的代数式表示矩形DEFG 的面积S. 2. △ABC 是一张等腰直角三角形纸板，∠C=90度，AC=BC=2， (1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种 剪法(如图1)，比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形 面积大？请通过计算说明。 (2)图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得正方形面积为1s ； 按照甲种剪法，在余下的△ADE 和△BDF 中，分别剪取正方 形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正 方形面积和为2s (如图2)，则_______s 2=；再在余下的四个 三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形， 称为第3次剪取，并记这四个正方形面积和为3s ，继续操作下去 ……，则第10次剪取时，__________s 10=； (3)求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和。 （图1） (图2) (图 3) A E A E 乙

六年级奥数题圆和组合图形

陆老师奥数培训讲义 圆和组合图形（六年级）报名电话：例1】.如图,阴影部分的面积是多少 2 1 2 例 2】.大圆的半径比小圆的半径长6厘米,且大圆半径是小圆半径的4倍.大圆的面积比小圆的面积大多少平方厘米. 例】 3.在一个半径是厘米的圆中挖去两个直径都是2厘米的圆.剩下的图形的面积是多少平方厘米 (π取,结果精确到1平方厘米) 例4】.右图中三角形是等腰直角三角形,阴影部分的面积 是 (平方厘米). 例5】.如图所求,圆的周长是厘米,圆的面 积与长方形的面积正好相等.图中阴影部分的 π 周长是厘米.) .3 (= 14 练习题

1.如图,15 1= ∠的圆的周长为厘米,平行四边形的面积为100平方厘米.阴影部分的面积是多少平方厘米. 2.有八个半径为1厘米的小圆,用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形(如图).图中黑点是这些圆的圆心.如果圆周率1416 .3 = π,那么花瓣图形的面积是多少平方厘米. 3.已知:ABC D是正方形, ED=DA=AF=2厘米,阴影部分的面积是多少平方厘米. 4.图中,扇形BAC的面积是半圆ADB的面积的 3 1 1倍,那么,CAB ∠是多少度./ 5.右图中的正方形的边长是2厘米,以圆弧为分界线的甲、乙两部分的面积差(大减小)是多少平方厘米 (π取 E D C B A G F O D C A B 2 甲 乙

———————————————答 案—————————————————————— 例1. 6. 两个扇形面积相等,故阴影部分面积等于一个长为3,宽为2的长方形面积,为6个平方单位. 例2. . 小圆的半径为2)14(6=-÷(厘米),大圆的半径为842=?(厘米).大圆的面积比小圆的面积大4.18814.3)28(22=?-(平方厘米). 例3. 57. 305.57214.3)22(14.35.422=??÷-?(平方厘米)≈57(平方厘米). 例4. . 从圆中可以看出,阴影部分的面积是两个半圆的面积与三角形面积之差,即 26.1062 1 )26(14.322=?-÷?(平方厘米). 例5. . 设圆的半径为r ,则圆面积即长方形面积为2r π,故长方形的长为r DC π=. 阴影部分周长r r r r r r AD BA BC DC ππππ245241)(?=?+-++=+++= 5.204.1645 =?= (厘米). 练习题 1. 6 5 48(平方厘米). 如图,连结OA 、AC ,过A 点作CD 的垂线交CD 于E .三角形ACD 的面积为502100=÷(平方厘米). 又圆半径为10)214.3(28.6=?÷(厘米),因为151=∠又OA=OD ,故30215=?=∠AOC ,扇形AOC 的面积为 6 1 261014.3360302=??(平方厘米).三角形AOC 的面积为25250=÷(平方厘米).方形面积为611256126=-(平方厘米),从而阴影部分的面积为6 5 4861150=-(平 方厘米). 2. . ⌒

三角形之旋转问题(北师版)(含答案)

三角形之旋转问题（北师版） 一、单选题(共6道，每道11分) 1.如图，将等腰直角△ABC（∠ACB=90°，AC=BC）绕C点按逆时针方向旋转到的位置，若=170°，则等于( ) A.35° B.45° C.55° D.65° 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：旋转的的性质 2.如图，等腰直角△ABC绕点A按逆时针方向旋转60°后得到△ADE，且AB=1，那么EC的长为( )

A. B.1 C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：旋转的的性质 3.如图，已知Rt△ABC绕直角顶点A按逆时针方向旋转到的位置，点B在上，∠C=25°，则∠AOB=( ) A.65° B.50° C.75° D.40° 答案：C

解题思路： 试题难度：三颗星知识点：旋转的的性质 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=6，Rt可以看作是由Rt△ABC绕点A逆时针方向旋转60°得到的，则线段的长为( ) A.3 B. C. D. 答案：D 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：旋转的的性质 5.如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到，连接，若∥，则的度数为( ) A.45° B.60° C.70° D.90° 答案：D 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：旋转的的性质 6.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，将△ABC绕C点按逆时针方向旋转 α角（0°<α<90°）得到△DEC，设CD交AB于F，连接AD，若△ADF是等腰三角形，则旋转角α的度数为( ) A.30° B.40° C.20°或40° D.40或60° 答案：C 解题思路：

三角形内接正方形的有趣结论

作者：安宁 单位：中铁十八局集团有限公司兰渝铁路项目部 地址：四川省广元市元坝区石井铺乡 邮编：628023 邮箱：lxjass@https://www.wendangku.net/doc/d53779004.html, 三角形内接正方形的有趣结论 我们在思考三角形内接正方形的问题时，得到了三个有趣结论，整理如下，供大家学习参考．. 结论一：在ABC ?中，AC BC ≠．D 是AB 上的一点,且满足22 BD AD BC AC =.在ACD ?中做正方形PQRS ，S R ,两点在AC 上，Q P ,两点分别在CD AD ,上．在DCB ?中做正方形EFGH ，G F ,两点在BC 上，E H ,两点在DB CD ,上.若正方形PQRS 的边长与正方形EFGH 的边长相等，求证： 90=∠C ． A C B O D P R S H E F G N M 证明：作AC DM ⊥于M ，BC DN ⊥于N ．设两个相等的正方形的边长为m . 记21,,,h DN h DM b AC a BC ==== 在ACD ?中,因为PS 平行DM ,PQ 平行AC ,所以 AD DP AC PQ AD AP DM PS ==,,相加得11=+b m h m (1) 同理在DCB ?中可得12=+a m h m (2) 由(1),(2)得a h b h 111121+=+ （3）

因为22 2122212222)()(h h a b ah bh S S BD AD DCB ACD ?===??，a b BC AC =，所以b a h h =2221 (4) 设x a h =1，)0(>x .由（4）得x b h =2，代入（3）得 a x b b x a 1111+=+，即ab a b x ab a b -=- 因为AC BC ≠，所以b a ≠，由上式可得b a ab x += 所以ab x b a a b ah bh S ABC 21)(21212121=+=+= ? 而a ABC ah S 2 1=?，所以a h b =，所以 90=∠C . 结论二：在ABC ?中， 90=∠C ，D 是AB 上的一点.在ACD ?中做正方形PQRS ， S R ,两点在AC 上，Q P ,两点分别在CD AD ,上．在DCB ?中做正方形EFGH ，G F ,两点在BC 上，E H ,两点在DB CD ,上.若正方形PQRS 的边长与正方形EFGH 的边长相等，求证：2 2 BD AD BC AC =． A C B O D P R S H E F G N M 证明：作AC DM ⊥于M ，BC DN ⊥于N .设两个相等的正方形的边长为m ． 记21,,,h DN h DM b AC a BC ==== 在ACD ?中,因为PS 平行DM ,PQ 平行AC ,所以 AD DP AC PQ AD AP DM PS ==,,相加得11=+b m h m (5) 同理在DCB ?中可得12=+a m h m (6)

初中数学三角形全等常用几何模型及构造方法大全(初二)

初二数学三角形全等 常用几何模型及构造方法大全 掌握它轻松搞定全等题！ 全等是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间，这次整理了常用的各大模型，一定要认真掌握~ 全等变换类型： （一）平移全等：平行等线段（平行四边形） （二）对称全等模型：角平分线或垂直或半角 1：角平分线模型； 2：对称半角模型； （三）旋转全等模型：相邻等线段绕公共顶点旋转 1. 旋转半角模型 2. 自旋转模型 3. 共旋转模型 4. 中点旋转

如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE 分析：将△ACE平移使EC与BD重合。B\D，上方交点，左右两个三角形，两边和大于第三边！

1：角平分线模型： 说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。 2：对称半角模型 说明：上图依次是45°、30°、45+ 22.5°、对称（翻折）15°+30°直角三角形对称（翻折）30+60+90直角三角形对称（翻折） 翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

1. 半角：有一个角含1/2角及相邻线段 2. 自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等 3. 共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等（共顶点） 4. 中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题（专题七） 1、旋转半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。 2、自旋转模型 构造方法： 遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角 遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称

全等三角形与旋转问题专题

全等三角形与旋转问题 中考要求 知识点睛 基本知识 把图形G绕平面上的一个定点O旋转一个角度θ，得到图形G'，这样的由图形G到G'变换叫做旋转变换，点O叫做旋转中心，θ叫做旋转角，G'叫做G的象；G叫做G'的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形． 很明显，旋转变换具有以下基本性质： ①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等； ②对应直线的交角等于旋转角． 旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演． 重、难点 重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后 证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是 本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定 是整个直角三角形的重点 难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性 质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件， 决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化

【例1】如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是_____________． 【解析】A 【例2】如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心_____________。 A．顺时针旋转60°得到B．顺时针旋转120°得到 C．逆时针旋转60°得到D．逆时针旋转120°得到 G F E D C B A 【解析】D 【例3】如图，C是线段BD上一点，分别以BC、CD为边在BD同侧作等边△ABC和等边△CDE,AD交CE于F，BE交AC于G，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有_____________。 A．1对B．2对C．3对D．4对 K G F E D C B A 【解析】C 【例4】已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM ?、CBN ?是等边三角形．求证：AN BM =． M D N E C B F A 【解析】∵ACM ?、CBN ?是等边三角形， ∴MC AC =，CN CB =，ACN MCB ∠=∠ ∴ACN MCB ?? ≌，∴AN BM = 【点评】此题放在例题之前回忆，此题是旋转中的基本图形． 【例5】如图，B，C，E三点共线，且ABC ?与DCE ?是等边三角形，连结BD，AE分别交AC，DC 例题精讲

中考数学复习微专题：对三角形内接矩形问题的探究

对三角形内接矩形问题的探究 题目一张等腰三角形纸片，底边长15cm ，底边上的高长22.5cm.现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图1所示.已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是() (A)第4张 (B)第5张(C)第6张(D)第7张分析 根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得结果. 解已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3, 所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x ， 则331522.5 x =，解得 4.5x =，所以另一段长为22.5－4.5=18. 因为18÷3=6，所以是第6张. 点评本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用. 以原题为基础，稍作改变，可进行逐级延伸与拓展. 引申如图2，在Rt ABC ?中，90,4,3C AC BC ∠=?==.四边形DEFG 为ABC ?的内接正方形，求正方形的边长. 解析作CN AB ⊥，再根据//GF AB ，可知CGF ?∽CAB ?，由平行得到两对同位角相等，进而得到两三角形相似，根据相似三角形的性质列出关于x 的方程，即可求出正方形的边长.在图2中作CN AB ⊥，交CF 于点M ,交AB 于点N .

在Rt ABC ?中， 4,3,AC BC == 125,5AB CN ∴==.//,GF AB CGF ∴? ∽CAB ?，CM GF CN AB ∴=.设正方形边长为x ,则12605,125375 x x x -=∴=.变式1如图4,ABC ?内有并排的两个相等的正方形，且它们组成的矩形内接于ABC ?，求正方形的边长 . 解析在图5中作CN AB ⊥，交GF 于点M ，交AB 于点N . //,GF AB CGF ∴? ∽CAB ?,CM GF CN AB ∴ =.设每个正方形边长为x ,122605,125495 x x x -=∴= .变式2如图6,ABC ?内有并排的三个相等的正方形，且它们组成的矩形内接于