四年级奥数(盈亏、容斥、平均数、抽屉原理)
盈亏问题
例1、三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动．如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖．这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？
例2、某校安排学生宿舍，如果每间住5人则有14人没有床位；如果每间住7人，则多出4个床位，问宿舍几间?住宿生几人?
例3、明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元．那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少？
例4、学校新买来一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10本，还差9本，每人发9本，还差2本，请问有多少老师？多少本书？
练习题：
1、秋天到了，小白兔收获了一筐萝卜，它按照计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，
要多出48个萝卜；如果每天吃6个，则又少8个萝卜．那么小白兔买回的萝卜有多少个？计划吃多少天？
2、有一批练习本发给学生，如果每人5本，则多70本，如果每人7本，则多10本，那么
这个班有多少学生，多少练习本呢？
3、幼儿园给获奖的小朋友发糖，如果每人发6块就少12块，如果每人发9块就少24块，
总共有多少块糖呢？
4、老猴子给小猴子分桃，每只小猴分8个桃，就多出9个桃，每只小猴分9个桃则多出2
个桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？
5、某校安排学生宿舍，如果每间住5人则有14人没有床位；如果每间住7人，则多出4
个床位，问宿舍几间?住宿生几人?
容斥问题
例1、四（2）班有50名学生，下课后每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的有35人，做完数学作业的有40人。两种作业都做完的有多少人？
例2、五（1）班有40名学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两组都参加了。那么，有多少人两个小组都没有参加？
例3、一个旅行社有员工36人，其中会英语的有24人，会俄语的有18人，两样都不会的有4人。两样都会的有多少人？
例4、科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有114件不是一年级的，有96件不是二年级的，一、二年级参展的作品共32件。其他年级参展的作品共有多少件？
练习题：
1、光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24
幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法共有多少幅？
2、有40名运动员，其中25人会摔跤，有20人会击剑，有10人击剑摔跤都不会，问既会摔跤又会击剑的运动员有多少人？
3、一个班有学生42人，参加体育代表队的有30人，参加文艺代表队的有25人，并且每人都至少参加了一个队，这个班两队都参加的有多少人？
4、30名学生中，8人学法语，12人学西班牙语，3人既学法语又学西班牙语，问有多少名学生两种语言都不学？
5、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩，其中语
文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？
6、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人？
1、在一次登山比赛中，小刚上山时每分走40米，18分到达山顶。然后按原路下山，每分走60米。小刚上、下山平均每分走多少米？
2、某班有40名学生，期中数学考试，有两名同学因故缺考，这时班级平均分为89分，缺考的同学补考各得99分，这个班期中考试平均分是多少分？
3、有八个数字排成一列，它们的平均数是9.3。已知前五个数的平均数是10.5，后四个数的平均数是11.3。问：第五个数是多少？
4、王新同学期末考试成绩如下：语文和数学平均成绩是94分；数学和外语平均成绩是88分；语文和外语平均成绩是86分。王新语文、数学、外语各得多少分？
5、芳芳上学期期末考试成绩：语文87分，数学96分，地理93分，思想品德94分，外语考试成绩比五科平均成绩低2分，求外语成绩及五科平均成绩。
6、某班统计数学考试成绩，得平均成绩85.13分。事后复查，发现将张小云的成绩87分误作78分计算。经重新计算后，该班的平均成绩是85.31分。这个班有多少学生？
7、数学考试的满分是100分，六位同学的平均分数是91分，这六个人的分数各不相同，其中有一位同学仅得65分。那么，居第三位的同学至少得了多少分？
8、小华爬山，上山的速度是每小时2千米，到达山顶后立即下山，下山的速度是每小时6千米。小华上、下山的平均速度是多少千米？
例1、有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。
例2、一副扑克牌（去掉两张王牌），每人随意摸两张牌，至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的？
例3、袋子里有红、黄、黑、白珠子各15粒，闭上眼睛要想摸出颜色相同的五粒珠子，至少要摸出______粒珠子，才能保证达到目的。
例4、在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是3的倍数？
练习题：
1、把125本书分给五（2）班学生，如果其中至少有1人分到至少4本书，那么，这个班
最多有多少人？
2、夏令营组织2000名营员活动，其中有爬山、参观博物馆和到海滩游玩三个项目。规定
每人必须参加一项或两项活动。那么至少有几名营员参加的活动项目完全相同？
3、幼儿园小朋友分200块饼干，无论怎样分都有人至少分到8块饼干，这群小朋友至多有
多少名？
4、红光小学五（2）班选两名班长。投票时，每个同学只能从4名候选人中挑选2名。这
个班至少应有多少个同学，才能保证有8个或8个以上的同学投了相同的2名候选人的票？
四年级奥数讲义：容斥原理 (1)
四年级数学讲义 奥数：容斥原理(1) 教学目标：1、理解容斥原理，会画图分析其中关系，正确的找出答案。 2、培养学生的逻辑思维和数学思考能力。 3、培养学生良好的书写习惯。 一、教学衔接 二、教学内容 （一）知识介绍 容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。 容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与 性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=N a＋N b－ N ab。 （二）例题精讲 例1、一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。 【思路导航】完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。 例2、某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对？
【分析与解答】已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。所以，两题都答得不对的有36－33=3人。 例3、某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？ 【分析与解答】要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。 例4、1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？ 【分析与解答】从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。从1到100的自然数中，5的倍数有100÷5=20个，6的倍数有16个 （100÷6=16……4），其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）。因此，是6或5的倍数的个数是16＋20－3=33个，既不是5的倍数又不是6的倍数的数的个数是：100－ 33=67个。 例5、光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？【分析与解答】由题意知，24幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总数，22幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数。24＋ 22=46幅，这是一个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数，从其中去掉五、六两个年级共参展的10幅作品，即得到两个一、
四年级奥数抽屉原理
一、知识点介绍 抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决． 二、抽屉原理的定义 （1）举例 桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。抽屉原理有时也被称为鸽巢原理（“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子”）。它是组合数学中一个重要的原理。 （2）定义 一般情况下，把n ＋1或多于n ＋1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。 三、抽屉原理的解题方案 （一）、利用公式进行解题 苹果÷抽屉＝商……余数 余数：（1）余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数＝x ()()1 1x n -， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 （二）、利用最值原理解题 将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法． 四、应用抽屉原理解题的具体步骤 知识框架 抽屉原理 发现不同
第二步：构造抽屉。这是个关键的一步，这一步就是如何设计抽屉，根据题目的结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的“苹果”及其个数，为使用抽屉铺平道路。第三步：运用抽屉原理。观察题设条件，结合第二步，恰当运用各个原则或综合几个原则，将问题解决。 例题精讲 【例 1】6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子．对吗？ 【巩固】教室里有5名学生正在做作业，现在只有数学、英语、语文、地理四科作业试说明：这5名学生中，至少有两个人在做同一科作业． 【例 2】向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？ 【巩固】人的头发平均有12万根，如果最多不超过20万根，那么13亿中国人中至少有人的头发的根数相同。
四年级奥数容斥原理
四年级奥数容斥原理 数学是思维的体操，问题是数学的心脏！四年级(高年级)数学思维训练 第4课包容与排斥——包容与排斥原理 知识点我们以前遇到过这样的问题吗:从左边看，小明排在第8位，从右边看，小明排在第15位，这一排有多少人？这个问题就是小明是否被反复算计了。如果计算结果没有重复且没有遗漏，则需要排除重复计数。这种计数方法是宽容和排斥的原则，也称为重叠问题。要解决这样的问题，我们还可以用韦恩图来分析定量关系小明有1人 8人，15人 。通常，首先计算所有涉及的量，然后排除重叠部分。我们可以计算出不重复和不遗漏的数量:8+15-1=22(人) 经典范例 例1: 4 (2)班有28名中国兴趣小组的参与者，29名数学兴趣小组的参与者，12名两个小组的参与者，这个班有多少人参加过语文或数学兴趣小组？ 先画一个维恩图分析定量关系，然后用包含和排除的方法计算
数学变成了一件非常轻松愉快的事情！你发现了吗？ - 1- 四年级(高年级)数学思维训练 模仿训练 学校文艺组的每个学生至少能弹一架钢琴和手风琴。众所周知，有24个人会弹钢琴，17个人会拉手风琴，8个人会两种乐器。文艺小组有多少人？ 经典示例 示例2:一家餐厅有40道招牌菜，其中妞妞吃了15道，丁丁吃了9道，两个人都吃了4道。有多少招牌菜没有吃过？首先计算他们吃了什么，然后计算他们没吃什么。 模仿练习 在参加采摘活动的46人中，只有18人采摘了樱桃，7人采摘了樱桃和杏子，6人既不摘樱桃也不摘杏子，有多少人采摘了杏子？ 数学会让你成为一个好的发现孩子！ - 2- 数学是思维的体操，问题是数学的心脏！四年级(高年级)数学思维训练 经典例题
我们在小学四年级奥数已经学过抽屉原理
追击问题练习题 专题简析 追击问题也是行程问题中的一种情况，这类问题的特点是：两个物体同时向同一方向运动，出发的地点不同（或者从同一地点不同时出发，向同一方向运动），慢者在前，快者在后，因而快者离慢者越来越近，最后终于可与追上。 解答这类问题，关键是明确速度差的含义（即单位时间内快者追上慢者的路程）。 追击问题的解答公式：速度差×追击时间=路程差 路程差÷速度差=追击时间 路程差÷追击时间=速度差 速度差+慢者速度=快者速度 快者速度-速度差=慢者速度 例题精讲 例1、甲乙两车相距90千米，两车同时同向而行，甲车每小时行65千米，乙车每小时行50千米，经过多少小时甲车能追上乙车？ 分析：从“甲乙两车相距90千米”可知甲乙两车的路程差是90千米，甲与乙的速度差是65-50=15千米，即每小时甲比乙多行14千米，那么相差90千米的路程，甲追上乙的时间就是90÷15=6小时 解：90÷（65-50）=6（小时） 答：经过6小时甲车能追上乙车。 例2、某港停有甲乙两船，某一天，甲船以每小时24千米，乙船以每小时16千米的速度，同时同地背向出发，2小时后，甲船因事调转船头追乙船，几小时才能追上？ 分析：甲、乙两船背向而行，2小时后两船相距（24+16）×2=80千米，即为甲船的追击路程，甲乙的速度知道，速度差为24-16=8千米/小时，追击时间也就好算了。
解：甲、乙路程差（24+16）×2=80（千米）甲追上乙的时间80÷（24-16）=10（小时） 答：甲10小时才能追上乙。 例3、有快慢两列火车从南京开往天津，慢车上午5时出发，每小时48千米，快车上午9时出发，8小时后追上慢车，快车每小时比慢车多行多少千米？ 分析：慢车比快车早出发9-5=4小时，慢车每小时行48千米，4小时行48×4=182千米，也就是快车要追192千米才能追上，1小时追192÷8=24千米，也就是快车每小时比慢车多行24千米。 解：快车与慢车的路程差48×4=182（千米）快车1小时比慢车多 行192÷8=24（千米） 答：快车每小时比慢车多行24千米。 例4、A、B两城之间的路程长240千米，快车从A城、慢车从B城同时相向开出，3小时相遇，如果两车分别在两城同时向同一方向开出，慢车在前，快车在后，那么15小时快车可以追上慢车，求两车的速度？ 分析：由相遇棵知道速度和是240÷15=16千米/小时，由追击可求出速度差是240÷15=16千米/小时，根据和差公式就能求出两车的速度。 解：快车与慢车的速度和240÷3=80（千米/小时）快车和慢车的速度 差240÷15=16（千米/小时） 快车速度（80+16）÷2=48（千米/小时）慢车速度（80-16）=32（千米/小时） 答：快车速度为48千米每小时，慢车速度为32千米每小时 练习题 1、A 、B两地相距60千米，一辆快车和一辆慢车同时分别从A、B两地朝一个方向出发，快车每小时120千米，慢车每小时90千米，几小时快车追上慢车？ 2、两船从甲码头开往乙码头。客船每小时行30千米，快艇每小时行45千米，客船先出发4小时，多少小时以后快艇能追上客船？ 3、甲、乙两人分别从吴村到刘村，甲骑摩托车每小时行50千米，乙骑自行车每小时20千米，乙先行3小时，结果两人同时到达。求两村的距离。 4、两船从北岸开往南岸，第一艘船以每小时45千米的速度先开了6小时，经过4小时后两船还相距190千米，求第二艘船每小时行多少千米？
小学奥数 容斥原理之重叠问题(二) 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用． 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积． 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题 A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下： 教学目标 知识要点 7-7-2.容斥原理之重叠问题（二） 1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； A B A B +-1 A B 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数， C 1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次， 多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- A B C 3A B C ++-
四年级奥数讲义之：容斥原理(2)
四年级数学讲义 奥数：容斥原理(2) 教学目标：1、理解容斥原理，会画图分析其中关系，正确的找出答案。 2、培养学生的逻辑思维和数学思考能力。 3、培养学生良好的书写习惯。 一、教学衔接 1、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？ 2、某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加．那么有多少人两个小组都不参加? 3、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。两样都会的有多少人？ 二、教学内容 例1．五（1）班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目和人数如下表： 短跑游泳篮球短跑、游泳游泳、篮球篮球、短跑短跑、游泳、篮球 17人18人15人6人6人6人2人 求全班人数。 例2．某班有学生50人，参加无线电小组，航模小组和生物小组的人数分别是20人、20人和12人，其中既参加无线电小组又参加航模小组的有4人，既参加航模小组又参加生物小组的有5人，既参加生物小组又参加无线电小组的有3人。已知全班每人都至少参加了以上三个小组中的某一个，那么，三个小组参加的学生有多少人？
例3．一个体育锻炼小组有35名男生，规定他们至少参加篮球、排球、足球三个球队中的一个。结果参加篮球队的有16人，参加排球队的有11人，参加足球队的有20人，其中有4人既参加了排球队又参加了篮球队，有3人既参加了排球队又参加了足球队，没有人三个球队都参加。既参加篮球队又参加足球队的有多少人？ 三、教学练习 1．第三小队的学生有20人，手中分别拿有红、黄蓝三种颜色的球，已知手中有红球、黄球、蓝球折学生人数分别为10人、10人、6人，其中手中既有红球又有黄球的有3人，既有黄球又有蓝球的有2人，既有蓝球又有红球的有4人。已知全队每人手里都至少有一种颜色的球，那么，手中三种颜色的球都有多少人？ 2．某班50名同学全部参加数学、语文、美术三个课外兴趣小组，参加数学小组的有29人，参加语文小组的有21人，参加美术小组的有25人，有17人既参加数学小组又参加美术小组，有15人既参加数学小组又参加语文小组，有10人既参加语文小组又参加美术小组。三个小组都参加的有多少人？ 3．有学生30名，他们中有部分学生参加了乒乓球，羽毛球、排球三个训练小组，各组人数分别为14人、12人、10人，其中既参加羽毛球小组又参加排球小组的有4人，既参加羽毛球小组又参加乒乓球小组的有6人，既参加乒乓球小组又参加排球小组的有5人，三个小组都参加的有1人。这些学生中这三个小组都没有参加的有几人？
2018最新四年级奥数.杂题.抽屉原理(C级).学生版
知识框架 一、知识点介绍 抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决． 二、抽屉原理的定义 （1）举例 桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。 （2）定义 一般情况下，把n＋1或多于n＋1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。 三、抽屉原理的解题方案 （一）、利用公式进行解题 苹果÷抽屉＝商……余数 余数：（1）余数＝1，结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数＝x ()()11x n - ，结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 （二）、利用最值原理解题 将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法．抽屉原理
例题精讲 一、直接利用公式进行解题 【例1】“六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人．试说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等．欢迎关注：“奥数轻松学” 【巩固】五年级数学小组共有20名同学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名同学，他们的朋友人数一样多． 【例2】证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数． 【巩固】证明：任取6个自然数，必有两个数的差是5的倍数。 【例3】任意给定2008个自然数，证明：其中必有若干个自然数，和是2008的倍数(单独一个数也当做和)．
小学奥数之容斥原理
五．容斥原理问题 1．有100种赤贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是( ) A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11 解：根据容斥原理最小值68+43-100＝11 最大值就是含铁的有43种 2．在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是 解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是( ) A，5 B，6 C，7 D，8 解：根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类：只答第1题，只答第2题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、3题，答1、2、3题。 分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123 由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝25…① 由（2）知：a2+a23＝（a3+ a23）×2……② 由（3）知：a12+a13+a123＝a1－1……③ 由（4）知：a1＝a2+a3……④ 再由②得a23＝a2－a3×2……⑤ 再由③④得a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥ 然后将④⑤⑥代入①中，整理得到 a2×4+a3＝26 由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解： 当a2＝6、5、4、3、2、1时，a3＝2、6、10、14、18、22 又根据a23＝a2－a3×2……⑤可知：a2>a3 因此，符合条件的只有a2＝6，a3＝2。 然后可以推出a1＝8，a12+a13+a123＝7，a23＝2，总人数＝8+6+2+7+2＝25，检验所有条件均符。 故只解出第二题的学生人数a2＝6人。 3．一次考试共有5道试题。做对第1、2、3、、4、5题的分别占参加考试人数的95%、80%、79%、74%、85%。如果做对三道或三道以上为合格，那么这次考试的合格率至少是多少？ 答案：及格率至少为71％。 假设一共有100人考试 100-95＝5 100-80＝20 100-79＝21 100-74＝26 100-85＝15 5+20+21+26+15＝87（表示5题中有1题做错的最多人数）
四年级数学A班奥数专题-“最大与最小”问题
四年级数学A班奥数专题->“最大与最小”问题 在应用数学知识解决日常生活中的一些实际问题时，经常会出现解决方案不止一种，有时还会有无数种的情况。在这种情况下，我们往往需要找最大量或最小量。 例1试求乘积为36，和为最小的两个自然数。 分析与解不考虑因数顺序，乘积是36的两个自然数有以下五种情况：1×36、2×18、3×12、4×9、6×6。相应的两个乘数的和是：1+36=37、2+18=20、3+12=15、4+9=13、6+6=12。显然，乘积是36，和为最小的两个自然数是6与6。 例2试求乘积是80，和为最小的三个自然数。 分析与解不考虑因数顺序，乘积是80的三个自然数有以下八种情况：1×2×40、1×4×20、1×5×16、1×8×10、2×2×20、2×4×10、2×5×8、4×4×5。经过计算，容易得知，乘积是80，和为最小的三个自然数是4、4、5。 结论一：从上述两例可见，m个自然数的乘积是一个常数，则当这m 个乘数相等或最相近时，其和最小。 例3试求和为8，积为最大的两个自然数。
分析与解不考虑加数顺序，和为8的两个自然数有以下四种情况：1+7、2+6、3+5、4+4。相对应的两个加数的积是：1×7=7、2×6=12、3×5=15、4×4=16。显然，和为8，积为最大的两个自然数是4和4。例4试求和为13，积为最大的两个自然数。 分析与解不考虑加数顺序，和为13的两个自然数有以下六种情况：1+12、2+11、3+10、4+9、5+8、6+7。经过计算，不难发现，和为13，积为最大的两个 结论二：从上述两例可知，m个自然数的和是一个常数，则当这m个数相等或最相近时，其积最大。 例5砌一平方米的围墙要用砖50块，现有5600块砖，用来砌一个矩形晒谷场的围墙。如果围墙高2米，则砌成的晒谷场的长和宽各是多少米时，晒的谷最多？ 分析与解根据题意，首先可知5600块砖可砌围墙（5600÷50÷2=）56米，即长方形晒谷场的周长为56米。要使晒谷场晒的谷最多，实际就是长方形晒谷场的面积（长×宽）要最大。而长方形的周长56米一定，即长与宽的和（56÷2=）28米也一定，因此只有当长与宽相等（都是14米）时，面积才最大。所以，晒谷场的长和宽都是14米时，晒的谷最多。这时晒谷场的面积是： 14×14=196（平方米）
小学奥数教程之容斥原理
学习奥数的优点 1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。 2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。要使经过奥数训练的学生，思 维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。 3、锻炼学生优良的意志品质。可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心， 以及战胜难题的勇气。可以养成坚韧不拔的毅力 4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。 容斥原理 学生姓名授课日期 教师姓名授课时长 知识定位 容斥原理中的知识点比较简单，是计数问题中比较浅的一支。这个知识点经常和 数论知识结合出综合型题目。这个原理本身并不是很难理解，不过经常和数论知 识结合出题，所以对学生的理解层次要求较高，学生必须充分理解、吃透。 1.充分理解和掌握容斥原理的基本概念 2.利用图形分析解决容斥原理问题 知识梳理 授课批注： 本讲的知识点必须让学生充分理解、吃透，这个原理本身并不是很难理解，不过经常和数论 知识结合出题所以对学生的理解层次要求较高。
一. 容斥原理的概念 定义 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。我们用|A|表示有限集A 的元素个数。求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数， 用式子可表示成：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|， 我们称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。图示如右:A 表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分， 记为：A∩B，即阴影面积。 用法： 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求|A|+|B|（意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起）； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=|A∩B|（意思是“排除”了重复计算的元素个数） 二.竞赛考点 1.容斥原理的基本概念 2.与数论相结合的综合型题目 例题精讲 【试题来源】 【题目】 在一个炎热的夏日，10个小学生去冷饮店每人都买了冷饮。其中6人买了汽水，6人买了可乐，4人买了果汁，有3人既买了汽水又买了可乐，1人既买了汽水又买了果汁，2人既买了可乐又买了果汁。问： (1)三样都买的有几人？ (2)只买一样的有几人？ 【答案】0,4 【解析】(1)设三样都买的学生有a人，那么6+6+4-3-1-2+a=10，解得a=0，所以没有人三种东西都买了. (2)去冷饮店的学生中除了买一样的外，只有买两样东西的，因为买两样东西的有3+1+2=6(人)，所以买一样东西的学生有10-6=4(人). 【知识点】容斥原理 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3
小学人教四年级数学抽屉原理
《抽屉原理》教学教案 井冈山小学：吴宇峰 本节课的教学目的: 1.知识与能力：初步了解抽屉原理，运用抽屉原理知识解决简单的实际问题。 2.过程和方法：经历抽屉原理的探究过程，通过动手操作、分析、推理等活动， 发现、归纳、总结原理。 3.情感与价值：通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力；提高同学们解 决问题的能力和兴趣。教学重点：经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。教学难点：理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。 新授 一、问题引入。 师：今天，我们教室里来了很多的客人，希望每位同学能够超常发挥，在客人的面前能够充分展示自我，大家有信心吗？ 生:齐答,好! 师：好！，我们一起来玩一个游戏游戏吧！这个游戏的名字叫做“抢椅子” 现在，老师这里准备了3把椅子，请4个同学上来，谁愿来？ 生：生争先恐后的要上来，师顺势一大组选一代表 师：请听清楚游戏要求，下面的同学为他们进行倒计时，时间一到，请你们5个都坐在椅子上，每个人必须都坐下。听清楚要求了吗？ 游戏完后师述： “不管怎么坐，总有一把椅子上至少坐两个同学”这句话说得对吗？ 不管怎么坐，总有一把椅子上至少坐两个同学？你知道这是什么道理吗？这其中蕴含着一个有趣的数学原理，这节课我们就一起来研究这个原理。 二、探究新知 （一）教学例1 课件出示题目：有4枝铅笔，3个盒子，把4枝铅笔放进3个盒子里，怎么放？有几种不同的放法？ 师：请同学们分小组实际放放看，或者动手画一画。 生：分小组活动 各小组汇报放或者画的情况. （1）、枚举法（师用课件演示各种摆放的过程） （2）、数的分解法：(课件出示) （4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1）， 课件出示问题： 4个人坐在3把椅子上，不管怎么坐，总有一把椅子上至少坐两个同学。4支笔放进3个盒子里呢？ 总结:不管怎么放，总有一个盒子里至少有2枝笔。 课件出示问题，生回答后师课件出示 （1）“总有”是什么意思？（一定有） （2）“至少”有2枝什么意思？（不少于两只，可能是2枝，也可能是多于2枝？）教师引导学生总结规律：我们把4枝笔放进3个盒子里，不管怎么放，总有一个
四年级奥数容斥原理教案
奥数：容斥原理 教学目标：1、理解容斥原理，会画图分析其中关系，正确的找出答案。 2、培养学生的逻辑思维和数学思考能力。 3、培养学生良好的书写习惯。 一、教学容 （一）知识介绍 容斥问题涉及到一个重要原理一一包含与排除原理，也叫容斥原理。即当 两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分容斥原理: 对n个事物，如果采用不同的分类标准, 按性质a分类与性质b 分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数二N+ 2— Mb （二）例题精讲 例1、一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。又“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。最后问：“谁语 数学作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。【思路导航】完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37 + 42=79人，多于全班人数。这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。所以，这个班语文、数作业都完成的有：79 —48=31人。 例2、某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有
23人，两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对？ 【分析与解答】已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25—15=10人。又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10+ 23=33人所以，两题都答得不对的有36 —33=3人。 例3、某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？ 【分析与解答】要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的 人数：56 —25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28+ 27 —31=24人。 例4、1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？ 【分析与解答】从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。从1到100 的自然数中，5的倍数有100-5=20个，6的倍数有16个(100-6=16……4), 其中既是5的倍数又是6的倍数(即5和6的公倍数)的数有3个(100-30=3…… 10)。因此，是6或5的倍数的个数是16+ 20—3=33个，既不是5的倍数又不是6的倍数的数的个数是：100—33=67个。 例5、光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作 品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？ 【分析与解答】由题意知，24幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总 数，22幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数。24 + 22=46幅，这是个
小学四年级奥数抽屉原理二例题练习及复习资料
小学四年级奥数抽屉原理(二)例题、练习及答案 抽屉原理（二） 这一讲我们讲抽屉原理的另一种情况。先看一个例子：如果将13只鸽子放进6只鸽笼里，那么至少有一只笼子要放3只或更多的鸽子。道理很简单。如果每只鸽笼里只放2只鸽子，6只鸽笼共放12只鸽子。剩下的一只鸽子无论放入哪只鸽笼里，总有一只鸽笼放了3只鸽子。这个例子所体现的数学思想，就是下面的抽屉原理2。 抽屉原理2：将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1。 说明这一原理是不难的。假定这n个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到（m＋1）件，即每个抽屉里的物品都不多于m件，这样，n个抽屉中可放物品的总数就不会超过m×n件。这与多于m×n件物品的假设相矛盾。这说明一开始的假定不能成立。所以至少有一个抽屉中物品的件数不少于m＋1。 从最不利原则也可以说明抽屉原理2。为了使抽屉中的物品不少于（m＋1）件，最不利的情况就是n个抽屉中每个都放入m件物品，共放入（m×n）件物品，此时再放入1件物品，无论放入哪个抽屉，都至少有一个抽屉不少于（m＋1）件物品。这就说明了抽屉原理2。 不难看出，当m＝1时，抽屉原理2就转化为抽屉原理1。即抽屉原理2是抽屉原理1的推广。 例1某幼儿班有40名小朋友，现有各种玩具122件，把这些玩具全部分给小朋友，是否会有小朋友得到4件或4件以上的玩具？ 分析与解：将40名小朋友看成40个抽屉。今有玩具122件，122=3×40＋2。应用抽屉原理2，取n＝40，m＝3，立即知道：至少有一个抽屉中放有4件或4件以上的玩具。也就是说，至少会有一个小朋友得到4件或4件以上的玩具。 例2一个布袋中有40块相同的木块，其中编上号码1，2，3，4的各有10块。问：一次至少要取出多少木块，才能保证其中至少有3块号码相同的木块？ 分析与解：将1，2，3，4四种号码看成4个抽屉。要保证有一个抽屉中至少有3件物品，根据抽屉原理2，至少要有4×2＋1=9（件）物品。所以一次至少要取出9块木块，才能保证其中有3块号码相同的木块。 例3六年级有100名学生，他们都订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、二种或三种。问：至少有多少名学生订阅的杂志种类相同？ 分析与解：首先应当弄清订阅杂志的种类共有多少种不同的情况。 订一种杂志有：订甲、订乙、订丙3种情况； 订二种杂志有：订甲乙、订乙丙、订丙甲3种情况； 订三种杂志有：订甲乙丙1种情况。 1 / 3
四年级奥数容斥原理
四年级奥数容斥原理Revised on November 25, 2020
第4讲 包含与排除——容斥原理 知识要点 以前我们是不是遇到过这样问题：从左边数，小明排在第8个，从右边起小明排在第15个，这一排一共有多少个人这道题是不是小明被重复计算啦，如果要使得计算的结果既不重复，又无遗漏，就需要把重复的计数排除出去，这样的计数方法就是容斥原理，也称之为重叠问题。 解决这类问题，我们还可以借助韦恩图来分析数量关系。 小明 1人 8人 15人 一般先把包含的所有数量都计算出来，再把重叠的部分排除出去，就可以计算出不重复、不遗漏的数量了：8+15-1=22（人） 精典例题 例1:四（2）班参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加了，这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组 模仿练习 学校文艺组的每位同学至少会演奏钢琴和手风琴中的一种乐器，已知会演奏钢琴的有24人，会演奏手风琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人，那么文艺组一共有多少人 精典例题 例2: 某餐馆有40道招牌菜，牛牛吃过其中的15道，丁丁吃过其中的9道，且有4道菜是两人都吃过的，那么有多少道招牌菜两人都没有吃过 模仿练习 先画韦恩图分析数量关系，再利用包含与排除的方法来计算。 先算他们吃过的菜，再算没有吃过的。
在46人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18人，既采了樱桃又采了杏的人有7人，既没有采樱桃又没有采杏的有6人，只采了杏的有多少人 精典例题 例3:在1到100这100个自然数中，5和6的倍数一共有多少个 模仿练习 在1到100这100个自然数中，不能被5和8整除的数一共有多少个 精典例题 例4: 50名同学面向老师站成一行，老师先让大家从左往右按1、2、3……一次报数，然后让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数同学向后转。现在还面向老师的同学有多少名 模仿练习 一根长60里面的木棍，每5厘米用红点标记，每6厘米用蓝点标记，延标记的地方把木棍锯断，木棍总共被锯成了多少段 精典例题 例5：光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个小组进行，参加围棋比赛的有42人，参加中国象棋比赛的有55人，参加国际象棋比赛的有33人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有18人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的人数有10人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有9人，三种都参加了的有5人，问：参加棋类比赛的共有多少人 模仿练习 先弄清楚有多少同学转了，有多少个同学没转，再思考哪些同学转了两 次，因为没转的和转了两次的同学都是面向老师的。 先找5的倍数有多少个6的倍数有多少个再利用包含与排除的方法解决。 这是属于三个数量的容斥问题，先计算参加三类棋人数的总和，在把重复计算了两次的人数减去，但要思考：其中重复计算了3次5人，有没有被
小学四年级奥数 容斥原理
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A∪B＝A＋B－A∩B (其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思。)，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。 图示如下: A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A∩B，即阴影面积。 1．先包含——A＋B 重叠部分A∩B计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A＋B－A∩B 把多加了1次的重叠部分A∩B减去。 A类、B类与C类元素个数的总和＝A类元素的个数＋B类元素个数＋C类元素个数－既是A类又是B 类的元素个数－既是B类又是C类的元素个数－既是A类又是C类的元素个数＋同时是A类、B类、C类的元素个数。 用符号表示为：A∪B∪C＝A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C＋A∩B∩C 图示如下： 图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，大圆表示C的元素的个数。 1．先包含——A＋B＋C A∩B、B∩C、C∩A重叠了2次，多加了1次。 2．再排除——A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C 重叠部分A∩B∩C重叠了3次，但是在进行A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C计算时都被减掉了。3．再包含——A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C＋A∩B∩C 一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积。 例1 容斥原理
四年级奥数之抽屉原理
四年级奥数之抽屉原理 知识概要：抽屉原理1：把多于n个的物体放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的物体 原理2 ：把多于m×n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+l个的物体。 一、填空 1、四年级2班共有54名学生，他们年龄都相同，至少有（）个同学在同一周出生，至少有（）个同学在同一月出生。 2、在2007年出生的1000个孩子当中，至少有（）个孩子是在同一天出生的。至少有（）个孩子将来不单独过生日。 3、班上有50个学生，老师至少拿（）本书，随意分给学生才能保证至少有一个学生分到不少于两本书。 4、黑、白、黄筷子各8根，混杂在一起，黑暗中起从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子，问至少要取（）根才能保证达到要求。 5、一只鱼缸里有很多条鱼，共有5个品种，问至少要捞出（）鱼，才能保证有5条相同品种的鱼。 6、参加元旦文艺演出的合唱队中，最小的队员8岁，最大的队员14岁，从这些队员中任选（）位就一定能保证其中有两位队员的年龄相同。 7、有红、黄、蓝三色的球各10个，混在一个布袋中，一次摸出13个球，其中至少有（）个球是同色的。 8、学校图书室里有甲乙丙丁四类书，规定每个同学最多可以借2本书，在借书的86名同学中，至少有（）个人所借书的类型是完全一样的。 9、第一组有16名学生至少有（）个学生在同一个月过生日。 10、某班有个小图书库，有诗歌、童话、小人书三类课外读物。规定每位同学最多可以借阅两本书，问至少有（）位同学来借阅图书才一定有两名同学借阅书的类型相同。 二、论述题 1、三位同学在操场上玩，其中必有两位同学都是男的或都是女的，这话对吗？
小学数学六年级奥数《容斥原理(1)》练习题(含答案)
小学数学六年级奥数《容斥原理(1)》练习题（含答案） 一、填空题 1.一个班有45个小学生,统计借课外书的情况是:全班学生都借有语文或数学课外书.借语文课外书的有39人,借数学课外书的有32人.语文、数学两种课外书都借的有 人. 2.有长8厘米,宽6厘米的长方形与边长为5厘米的正方形,如图,放在桌面上(阴影是图形的重叠部分),那么这两个图形盖住桌面的面积是 平方厘米. 3.在1~100的自然数中,是5的倍数或是7的倍数的数有 个. 4.某区100个外语教师懂英语或俄语,其中懂英语的75人,既懂英语又懂俄语的20人,那么懂俄语的教师为 人. 5.六一班有学生46人,其中会骑自行车的17人,会游泳的14人,既会骑车又会游泳的4人,问两样都不会的有 人. 6.在1至10000中不能被5或7整除的数共有 个. 7.在1至10000之间既不是完全平方数,也不是完全立方数的整数有 个. 8.某班共有30名男生,其中20人参加足球队,12人参加蓝球队,10人参加排球队.已知没一个人同时参加3个队,且每人至少参加一个队,有6人既参加足球队又参加蓝球队,有2人既参加蓝球队又参加排球队,那么既参加足球队又参加排球队的有 人. 9.分母是1001的最简真分数有 个. 10.在100个学生中,音乐爱好者有56人,体育爱好者有75人,那么既爱好音乐,又爱好体育的人最少有 人,最多有 人. 二、解答题 11.某进修班有50人,开甲、乙、丙三门进修课、选修甲这门课的有38人,选修乙这门课有的35人,选修丙这门课的有31人,兼选甲、乙两门课的有29人,兼选甲、丙两门课的有28人,兼选乙、丙两门课的有26人,甲、乙、丙三科均选的有24人.问三科均未选的人数? 12.求小于1001且与1001互质的所有自然数的和. 13.如图所示,A 、B 、C 分别代表面积为8、9、11的三张不同形状的纸片,它们重叠放在一起盖住的面积是18,且A 与B ,B 与C ,C 与A 公共部分的面积分别是5、3、4,求A 、B 、C 三个图形公共部分(阴影部分)的面积. 6
举一反三- 四年级奥数 - 第35讲 容斥原理
第35讲容斥原理 一、专题简析： 容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。 容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b 分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=N a＋N b－N ab。 Nab Nb Na 二、精讲精练： 例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。 练习一 1、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？
2、四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？ 例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对？ 练习二 1、五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。那么，有多少人两个小组都没有参加？
2、一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种报纸都订阅的有25人。两种报纸都没有订阅的有多少人？ 例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？ 练习三 1、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。两样都会的有多少人？ 2、一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。问这两种棋都会下的有多少人？