中山市2007—2008高二第一学期期末考试数学(理)

中山二级2007—2008学年度第一学期期末统一考试

数学理科试卷

本试卷分第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分。共100分，考试时间100分钟。

第I 卷（选择题共40分）

注意事项：

1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。

3、不可以使用计算器。

4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。

一、选择题（每小题4分，共40分）

1. 若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是( )

A. A sin

B. A cos

C. A tan

D.

A

tan 1

2. 当0a ≠时，“1a >”是“

1

1a

<”( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 3.

12+与12-，两数的等比中项是( )

A. 1

B. 1-

C. 1±

D.

2

1 4. 不等式2

20ax bx ++>的解集是11

{}23

x x -

<<，则a b +的值是( ) A. 10

B. -10

C. 14

D. -14

5. 在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（ ）

A ．1:2:3

B ．3:2:1

C ．2

D ．2

6. 与椭圆14

22

=+y x 有相同的两焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是（ ）

A. 1422=-y x

B. 1222=-y x

C. 13

322=-y x D. 1222

=-

y x 7. 若曲线4

y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 ( )

A. 430x y ++=

B. 450x y +-=

C. 430x y -+=

D. 430x y --= 8. 不等式组360

20

x y x y -+≥??

-+

9. 在等差数列{}n a 中，38,a a 是方程2

350x x --=的两个根，则10S 是( )

A.15

B.30

C.50

D.15+

10.若抛物线2

2y cx =的焦点与椭圆22

162

x y +=的右焦点重合，则c 的值为 ( )

A. 2

B.-2

C. 4

D. -4

第II 卷（非选择题共60分）

二、填空题（每小题4分，共16分）

11命题p ：2

,220x R x x ?∈++≤的否定是

12.已知(1,1,),(2,,)()a x x x b x x x R =--=∈

，则a b - 的是小值为 .

13. 两个等差数列{}{},

,n n b a ,327......2121++=++++++n n b b b a a a n n 则5

5b a

= .

14设2

2

0,0,12

y x y x >>+=，则的最大值为

三、解答题（共5小题. 15、16、17、18题各9分，19题8分，合计44分）

15. 在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边是a 、b 、c ， 且22212

a c

b a

c +-=

. （1）求sin B 的值（4分）

（2

）若b =2，求ΔABC 面积的最大值（5分） 16. 已知函数2

()()f x x x c =-.

⑴当1c =时，求函数的单调区间（5分）

⑵函数()f x 在2x =处有极大值，求c 的值（4分）

17.设抛物线的顶点为O ，经过焦点垂直于轴的直线和抛物线交于 两点B ，C ，经过抛物线上一点P 垂直于轴的直线和轴交于点Q ， 求证：|PQ|是

|BC|和

|OQ|的比例中项.

18.如图所示，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ABC=900，BC=2，CC 1=4，EB 1=1，D ，F ，G 分别为CC 1，B 1C 1，A 1C 1的中点，EF 与

B 1D 相交于点H. （Ⅰ）求证：B 1D ⊥平面ABD ；（3分）

（Ⅱ）求证：平面EGF ∥平面ABD ；（3分） （Ⅲ）求平面EGF 与平面ABD 的距离.（3分）

19. 设{}n a 为等比数列，11a =，23a =． （1）求最小的自然数n ，使2007n a ≥；

（2）求和：212321232n n

n T a a a a =-+-- ．

参考答案

一、选择题：AACDC BDBA C

二、填空题：11：2

,220x R x x ?∈++>；12：15； 13：65

12

；14

：4

三、解答题：

15．解：（1）∵22212a c b ac +-=

，∴2221

2

b a

c ac =+- ∴1

cos 4

B =

∵B 是ΔABC 的内角，则(0,

)2

B π

∈

∴sin 4

B ==

； （2）若b =2，ΔABC

面积1sin 28

ABC S ac B ac ?== 又2

2

1

42

a c ac +-= ∴

221422ac a c ac +=+≥，∴803

ac ≤≤

∴83

ABC S ac ?=

≤

当a c ==

=时，ΔABC

面积ABC S ?=为最大值.

16．解：⑴当1c =时， 232

()(1)2f x x x x x x =-=-+；

2

'()341f x x x =-+，令2

3410x x -+=；得 113

x x ==或 列表：

∴函数()f x 的单调增区间分别为1(,)3

-∞，(1,)+∞；

函数()f x 的单调减区间为1(,1)3

. ⑵∵2

3

2

2

()()2f x x x c x cx c x =-=-+； ∴2

2

'()34f x x cx c =-+

∵函数()f x 在2x =处有极大值， ∴'(2)0f =,即2

1280c c -+=； ∴26c c ==或

17．证明：如图，设抛物线方程：2

2 (0)y px p =>，焦点为(

,0)2

p

F ， 直线BC 的方程为2p x =；解方程组222

y px

p

x ?=?

?=

??，得y p =±， ∴B (

,)2p p ，C (,)2

p

p -，|BC|=2p ； 令P 00(,)x y ，由2

002y px =，其中 |OQ|=0x ，|PQ|=|0y |

∵|PQ|2=0y 2；|BC| |OQ|=02px ∴|PQ|2=|BC| |OQ|；

∴|PQ|是|BC|和|OQ|的比例中项.

18．（Ⅰ）证明：如图所示，建立空间直角坐标系，设A 1（a ，0，0），则C 1（0，2，0），F （0，1，0），E （0，0，1），A （a ，0，4），B （0，0，4），D （0，2，2），

G （

2a

，1，0）， ∴1(0,2,2)B D = ，(,0,0)AB a =- ，(0,2,2)BD =-

，

∴10000B D AB =++= ，10440B D BD =+-=

，

∴B 1D ⊥AB ，B 1D ⊥BD ，又AB ∩BD=B ， ∴B 1D ⊥平面ABD.

（Ⅱ）证明：∵(,0,0)AB a =- ，(0,2,2)BD =-

，

(,0,0)2

a

GF =- ，(0,1,1)EF =- ，

∴GF ∥AB ，EF ∥BD ，

∴GF ∥AB ，EF ∥BD ，又GF ∩EF=F ，AB ∩BD=B ， ∴平面EGF ∥平面ABD

（Ⅲ）解：由 （Ⅰ）、（Ⅱ）可知，DH 为平面EFG 与平面ABD 的公垂线段，

设11(0,2,2)B H B D λλλ== ，则(0,2,21)EH λλ=- ，(0,1,1)EF =-

∵EH 与EF 共线，∴22111λλ-=

-，即14λ=， ∴111(0,,)22B H = ，33

(0,,)22

HD =

，∴2HD = ，

因此，平面EGF 与平面ABD

19．解：（1）由已知条件得1

12113n n n a a a --??== ?

??

，

因为6

7

320073<<，所以，使2007n a ≥成立的最小自然数8n =． （2）因为223211234213333

n n n

T -=-

+-+- ，…………① 2234212112342123333333

n n n n n

T --=-+-++- ，…………② +①②得：2232124111121333333n n n n

T -=-+-+--

2211231313n

n n -=

-+ 22333843

n n

n --= 所以22223924163

n n n

n T +--= ．